第三章 行列式讲解
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第三章 行列式
在第一章中，我们用矩阵的初等行变换解决了线性方程组是否有解及求解的问题. 但这种方法，早已把方程组的系数和常数项变得面目全非了，无法给出解与方程组的系数和常数项之间的关系，本章就利用行列式来解决这一问题. 行列式不仅是研究线性代数的重要工具，在其它领域也有广泛应用. 本章介绍行列式的概念、性质、计算及应用.
3. 1行列式的概念
一、二阶和三阶行列式
首先我们通过解二元、三元线性方程组引入二阶和三阶行列式的定义. 对于二元线性方程组1111221
2112222
a x a x
b a x a x b +=⎧⎨+=⎩，利用消元法知，当112212210a a a a -≠时，求
得其解为
122212211121121122122111221221
,b a b a b a b a
x x a a a a a a a a --=
=--. （3. 1）
上式作为二元线性方程组解的公式，给出了解与方程组的系数和常数项之间的关系，
但不好记忆. 为便于应用这个公式，我们引入二阶行列式的定义.
我们把四个数11122122,,,a a a a 排成两行两列构成的二阶方阵11122122a a A a a ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
所确定的算式11221221a a a a -称为二阶行列式. 记为
1112
2122
a a a a 或A 或D ，即 1112
112212212122
==
=-a a D A a a a a a a .
二阶行列式的定义可以用对角线法则来记忆，把11a 到22a 所在的连线称为主对角线，把12a 到21a 所在的连线称为副对角线，则二阶行列式等于主对角线上两元素乘积减去副对角线上两元素乘积.
利用二阶行列式的定义，（3. 1）式中1x ，2x 的分母可记为
1112
112212212122
a a a a a a D a a -==，称为线性方程组的系数行列式.
分子可记为
11212221212
22
b a b a b a D b a -=
=，111
2111212212
a b b a b a D a b -=
=，
其中1D 是用常数项12,b b 替换系数行列式D 的第一列得到的行列式，2D 是用常数项
12,b b 替换系数行列式D 的第二列得到的行列式.
于是，利用二阶行列式的定义，（3. 1）式可表示为
1
12111
22221212121112111221222122
,b a a b b a a b D D
x x a a a a D D a a a a =
===. 例3. 1 求解二元线性方程组1212324
21
x x x x -=⎧⎨
+=⎩.
解 由于 ()3234702
1
D -=
=--=≠，
()1424261
1D -=
=--=，
23438521
D =
=-=-，
因此 121265
,77
D D x x D D -=
===
. 类似地，在解三元线性方程组1111221331
21122223323113223333
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩的过程中引入三阶行列式的定
义.
把三阶方阵11121321
222331
32
33a a a A a a a a a a ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
所确定的算式 112233122331132132a a a a a a a a a ++132231122133112332a a a a a a a a a ---
称为三阶行列式，记为11
1213
21
222331
32
33
a a a a a a a a a 或A 或D . 即
1112132122
2331
32
33
a a a A a a a a a a = 112233122331132132a a a a a a a a a =++132231122133112332a a a a a a a a a ---.
由三阶行列式的定义，我们注意到：
注1三阶行列式是6项的代数和，并且正负各占一半； 注2它的每一项是不同行、不同列的三个元素的乘积.
三阶行列式的算式很难记忆，下面我们考察三阶行列式与二阶行列式之间的关系. 事实上
111213
2122
2331
32
33
a a a a a a a a a 112233122331132132a a a a a a a a a =++132231122133112332a a a a a a a a a --- ()()()112233233212213323311321322231a a a a a a a a a a a a a a a =---+- ()
()
()
11
12
13
22232123212211121332
33
31
33
31
32
111a a a a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-其中
222332
33
a a a a 是划掉三阶方阵A 中元素11a 所在的第一行和第一列，剩下元素构成的二阶
行列式，该行列式称为元素11a 的余子式，记为11M .
记()
11
11111A M +=-，称为元素11a 的代数余子式. 相应的有
()12
21231231
33
1a a A a a +=-，称为元素12a 的代数余子式.
()
13
21221331
32
1a a A a a +=-，称为元素13a 的代数余子式.
于是
1112
13
21222311111212131331
32
33
a a a a a a a A a A a A a a a =++. 这说明三阶行列式可转化为二阶行列式来计算.
例3. 2计算三阶行列式113
211
3
1
-.