形式语言与自动机

头位置和带内容组成。这里，M有q个状态。它的带长度是
n，所以读写头可能处于n个位置之一，且gn多个带符号串 可能出现在带上。此三个量的乘积就是带长为n的M的格局 总数。
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语言理论中的不可判定问题
定理 定义 5.8 5.6 ALBA是可判定的。
证明 判定ALBA的算法如下： L=“对于输入<M，w >，其中M是LBA，w 是串： 1)在w 上模拟M qngn步，或者直到它停机。 2)如果M停机，则当它接受时接受，拒绝时拒绝。如果它还没
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语言理论中的不可判定问题
再假设TM R判定ETM。如下构造判定ATM的TM S:
S=“在输入<M，w >上，此处<M，w >是TM M和串w的编码：
1) 用M和w的描述来构造上述TM M1。
2)在输入< M1 >上运行R。
3)如果R接受，则拒绝；如果R拒绝，则接受。” 不空，M接受w
说明L(M1)是空集 ，因此M1不接受w
有停机，就拒绝。”
计算理论
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前言
在第4章已经确定采用图灵机作为通用计算器机的模型，并
介绍了几个在图灵机上可解的问题，还给出了一个计算机不可
解的问题 ，即ATM。本章讨论另外几个不可解的问题 。在讨论 过程 中，将介绍一个基本方法，可用来证明问题是计算上不可 解的，这个方法称为可归约性。 归约旨在将一个问题转化为另一个问题，且使得可以用第
为得到矛盾，假设TM R判定HALTTM，由之可以构造TM S来判定 ATM, 其构造如下： S=“在输入<M，w >上，此处<M，w >是TM M和串w 的编码： 1) 在输入<M，w >上运行TM R。 2)如果R拒绝，则拒绝。 3)如果R接受，则在w 上模拟M，直到它停机。 4)如果M已经接受，则接受；如果M已经拒绝，则拒绝。 显然，如果R判定HALTTM，则S判定ATM。因为ATM是不可判定的， 故HALTTM也必定是不可判定的。
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语言理论中的不可判定问题
另一个与图灵机有关的计算问题也很有意思，该问题是：
给定一个图灵机和一个可由某个更简单的计算模型识别的
语言，测定此图灵机是否识别此语言。
例如：令REGULARTM是测定一个给定的图机是否有一个与
之等价的有穷自动机问题，则这个问题与测定一个给定的图 灵机是否识别一个与此正则语言的问题相同。设： REGULARTM={<M>| M是一个TM，且L(M)是一个正则语言}
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Hale Waihona Puke Baidu
主要内容
5.1 语言理论中的不可判定问题
5.2 一个简单的不可判定问题
5.3 映射可归约性
5.3.1 可计算函数 5.3.2 映射可归约性的形式定义
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语言理论中的不可判定问题
ATM是不可判定的，即确定个图灵机是否接受一个给定的
输入问题是不可判定的。
下面考虑一个与之相关的问题：HALTTM，即确定一个图
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语言理论中的不可判定问题
定理 5.3 REGULARTM是不可判定的。
设R是判定REGULARTM 的一个TM，下面构造判定ATM的TM S。
S的运行方式如下：
S=“对于输入<M，w>，其中M是TM，w是串： 1)构造下述TM M2：
M2=“在输入x上：
a) 如果x具有形式0n1n，则接受。 b)如果x不具有此形式，则在输入w上运行M。如果M接受w，则接受。”
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语言理论中的不可判定问题
定义 设M是一个图灵机，w是一个串。M在w上的一个 5.5 接受计算历史是一个格局序列C1，C2，．．．,Cl， 其中C1是M在w上的起始格局，Cl是M的一个接受
格局，且每个Ci都是Ci-1的合法结果，即符合M的
规则。M在w上的一拒绝计算历史可类似定义，只是 Cl应是一个拒绝格局。
二个问题的解来解第一个问题，在日常生活中，虽然不这样称
呼，但时常会遇见可归约性问题。
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前言
例如，在一个新城市中认路，如果有一张地图，事情就容
易了。这样，就将在城市认路问题归约为得到地图问题。
可归约性总是涉及两个问题，称之为A和B。如果A可归约
到B，就可用B的解来解A。在上述例子中，A是城市认路 问题，B是得到地图问题。注意，可归约性说的不是怎样 去解A或B，而是在知道B的解时怎么去解A。
灵机对给定输入是否停机（通过接受或拒绝）问题。若将
ATM归约到HALTTM，就可以利用ATM的不可判定性证明 HALTTM的不可判定性。设: HALTTM={<M, w>| M是一个TM, 且对输入w停机}
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语言理论中的不可判定问题
定理 5.1 HALTTM是不可判定的。
反证法，假设可判定， 证明ATM是可判定的。
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语言理论中的不可判定问题
定义 线性界限自动机是一种受到限制的图灵机，它不允 5.6 许其读写头离开包含输入的带区域。如果此机器 试图将它的读写头移出输入的两个端点，则读写
头就保持在原地不动。这与普通图灵机的读写头
不会离开带子的左端点的方式一样。
控制器
a
b
a
b
a
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语言理论中的不可判定问题
引理 定义 设M是有q个状态和g个带符号的LBA。对于长度为 5.7 5.6 n的带子，M恰有qngn个不同的格局。 M的格局就像计算中间的一快照。格局由控制状态、读写
2)在输入<M2>上运行R。
3) 如果R接受，则接受；如果R拒绝，则拒绝。”
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语言理论中的不可判定问题
定理 5.4 EQTM是不可判定的。
设TM R判定EQTM。如下构造判定ETM 的TM S：
S=“对于输入<M>，其中M是TM：
1)在输入<M，M1>上运行R，其中M1是拒绝所有输入的图 灵机。 2)如果R接受，则接受；如果R拒绝，则拒绝。 如果R判定EQTM，则S判定ETM。但由定理5.2，ETM是不可 判定的，故EQTM也是不可判定的。
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语言理论中的不可判定问题
定理 5.2 ETM 是不可判定的。
反证法，假设可判定， 证明ATM是可判定的。
除w外M1拒绝所 有串
先用标准术语来写在证明思路中描述的那上修改型机器M1.
M1=“在输入x上： 1)如果x≠w，则拒绝。 2)如果x=w，则在x上运行M，当M接受时，就接受。” 这个机器以w作为它的描述的一部分。检查x=w是否成立的方法很 显然， 即扫描输入并用一个字符一个字符地将它与w进行比较，就可确定它们 是否相同。