初中数学相似三角形之黄金分割专项练习题(附答案详解)

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专题26 相似三角形中的黄金分割问题专练(一)(解析版)九下数学专题培优训练

专题26 相似三角形中的黄金分割问题专练（一）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为()A. 6cmB. 10cmC. 4cmD. 8cm【答案】D【分析】本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．【解答】解：根据已知条件得下半身长是160×0.60=96cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：96+y160+y=0.618，解得：y≈8cm．2.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则有()A. AB2=AP·PBB. AP2=BP·ABC. BP2=AP·ABD. AP·AB=PB·AP【答案】B【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段即可.由AP>BP知AP是较长线段，根据黄金分割点的定义，则AP2=BP·AB．【解答】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，∴AP2=BP·AB．3.矩形的两边长分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是()A. a=4，b=√5+2B. a=4，b=√5−2C. a=2，b=√5+1D. a=2，b=√5−1【答案】D【分析】本题主要考查了黄金矩形，记住定义是解题的关键．根据黄金矩形的定义判断即可．【解答】解：∵宽与长的比是√5−12的矩形叫做黄金矩形，∴ba =√5−12，∴a=2，b=√5−1．4.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=200，则AC的长度是()A. 200(√5−1)B. 100(√5−1)C. 100(3−√5)D. 50(√5−1)【答案】B【分析】根据黄金分割的定义得到AC=√5−12AB，把AB=200代入计算即可．本题主要考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的√5−12倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点，难度适中．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，∴AC=√5−12AB，而AB=200，∴AC=√5−12×200=100(√5−1)．5.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12(√5−12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．某女老师上身长约61.8cm，下身长约94cm，为尽可能达到黄金比的美感效果好，她应穿的高跟鞋的高度大约为(精确到1cm)()A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 7cm 【答案】C【分析】设她应穿的高跟鞋的高度大xcm，利用黄金分割的定义得到61.894+x =√5−12，然后解关于x的方程即可．本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC=√5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．【解答】解：设她应穿的高跟鞋的高度大xcm，根据题意得61.894+x =√5−12，解得x≈6(cm)，答：她应穿的高跟鞋的高度大约6cm(精确到1cm)．6.若点C是线段AB的黄金分割点，且AD>BC，则下列说法正确的有()①AB=√5+12AC；②AC=3−√52AB；③AB：AC=AC：BC；④AC≈0.618AB．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可．本题考查的是黄金分割的概念，掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．【解答】解：∵点C数线段AB的黄金分割点，∴①AB=√5+12AC，正确；②AC=3−√52AB，错误；③AB：AC=AC：BC，正确；④AC≈0.618AB，正确．二、填空题7.如图，扇子的圆心角为x°，余下的圆心角为y°，x与y的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为0.6，则x应为________．【答案】135【分析】本题考查了圆心角的概念，线段的比，黄金分割的知识．解题关键是根据题中黄金比的定义得到x=0.6y，则y=53x，再根据周角的定义得到x+y=360，所以x+53x=360，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得，x=0.6y，∴y=53x而x+y=360°，∴x+53x=360°，∴x=135°．8.已知线段AB=2，P是AB的黄金分割点，且AP>BP，那么AP=______．【答案】√5−1【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值为√5−12计算．本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金比值为√5−12是解题的关键．【解答】解：∵P是AB的黄金分割点，AP>BP，∴AP=√5−12AB=√5−1，9.如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果AB=10.那么CD的长度是______．【答案】10√5−20【分析】根据黄金分割的定义计算．本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB 的黄金分割点．【解答】解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点，∴AD=BC=√5−12AB=√5−12×10=5√5−5，∴CD=AD+CD−AB=2(5√5−5)−10=10√5−20，10.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为6cm，那么AP的长度是________cm．【答案】3√5−3【分析】此题考查了黄金分割有关知识，利用黄金分割的定义计算出AP即可．【解答】解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，AB的长度为6cm，∴AP=√5−12AB=√5−12×6=3√5−3(cm)，11.如图，已知线段AB=2，作BD⊥AB，使BD=12AB；连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E，以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C，则AC长为______．【答案】√5−1【解析】设AB=x，根据题意表示出BD、DE，根据勾股定理求出AD，求出AC与AB 的比值，根据黄金比值进行判断即可．是解题的关键．本题考查的是作图和黄金分割的概念，熟记黄金比的值√5−12×2=1，解：：∵AB=2，则BD=DE=12由勾股定理得，AD=√AB2+BD2=√5，则AC=AE=√5−1，AB=√5−1，∴AC=√5−1212.如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1______S2(填“>”或“=”或“<”)．【答案】=【分析】根据黄金分割的定义可得AP2=BP×AB，得出S1，S2的表达式即可比较S1与S2的大小．本题考查了黄金分割的知识，关键是得出AP2=BP×AB，属于基础题．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，∴AP2=BP×AB，又∵S1=AP2，S2=PB×AB，∴S1=S2．三、解答题13.如图，在矩形ABCD中，CD=2，AD=4，点P在BC上，将△ABP沿AP折叠，点B恰好落在对角线AC上的E点，O为AC上一点，⊙O经过点A，P(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)在边CB上截取CF=CE，点F是线段BC的黄金分割点吗？请说明理由．【分析】(1)通过“连直径、证垂直”的方法，证明∠BAP =∠OPA ，即可求解； (2)CF =CE =AC −AE =√20−4=2√5−2，即可求解．本题考查了圆的切线的性质与证明、黄金分割的应用，题目的关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．【解答】解：(1)连接OP ，则∠PAO =∠APO ，而△AEP 是由△ABP 沿AP 折叠而得：故AE =AB =4，∠OAP =∠PAB ， ∴∠BAP =∠OPA ，∴AB//OP ，∴∠OPC =90°， ∴BC 是⊙O 的切线；(2)CF =CE =AC −AE =√20−4=2√5−2， CFBC=4√5−24=√5−12，故：点F 是线段BC 的黄金分割点．14. 如图1，我们已经学过：点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB =BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S =S2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，∠C 的平分线交AB 于点D ． (1)证明点D 是AB 边上的黄金分割点；(2)证明直线CD 是△ABC 的黄金分割点．【分析】(1)易证△BCD∽△BAC ，则有BC AB =BDBC，再由BC =CD =AD 可得AD AB =BDAD ，由此可得D 是AB 边上的黄金分割点；(2)设△ABC 的边AB 上的高为h ，则S △ADC =12AD ⋅ℎ，S △DBC =12DB ⋅ℎ，S △ABC =12AB ⋅ℎ，即可得到S △ADCS△ABC=AD AB ，S △DBC S △ADC=BD AD .由(1)得AD AB=BDAD，即可知S △ADCS△ABC=S△DBC S △ADC，由此可得CD 是△ABC 的黄金分割线．本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的面积公式，需要注意的是：当比例顺序不确定时，应分情况讨论，避免出现漏解的现象．【解答】解：(1)点D 是边AB 上的黄金分割点，理由如下： ∵∠A =36°，AB =AC ，∴∠B =∠ACB =72°． ∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠DCB =36°， ∴∠BDC =∠B =72°，∠ACD =∠A =36°， ∴BC =DC =AD ． ∵∠A =∠BCD ，∠B =∠B ， ∴△BCD∽△BAC ， ∴BC AB =BD BC． ∴AD AB=BD AD．∴D 是AB 边上的黄金分割点；(2)直线CD 是△ABC 的黄金分割线，理由如下：设△ABC 的边AB 上的高为h ，则S △ADC =12AD ⋅ℎ，S △DBC =12DB ⋅ℎ，S △ABC =12AB ⋅ℎ， ∴S △ADC S △ABC=AD AB ，S △DBC S △ADC=BDAD ．∵D是AB的黄金分割点，∴ADAB =BDAD，∴S△ADCS△ABC =S△DBCS△ADC．∴CD是△ABC的黄金分割线．15.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN =GNMG=√5−12，后人把√5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB= AC=3，BC=4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，求△ADE的面积．【分析】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC 是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=√5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个，也考查了等腰三角形的性质.作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质得到BH=CH=12BC=2，则根据勾股定理可计算出AH=√5，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE=√5−12BC=2√5−2，则计算出HE=2√5−4，然后根据三角形面积公式计算．【答案】解：∵D，E为BC的两个“黄金分割”点，∴DCBC =BDDC=√5−12，BEBC=CEBE=√5−12，∴DCBC =BDDC=BEBC=CEBE，∴DC=BE，∴BD=CE，作AH⊥BC于H，如图，∵AB=AC，BC=2，∴BH=CH=12∴DH=HE，在Rt△ABH中，AH=√AB2−BH2=√32−22=√5，∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，BC=2(√5−1)=2√5−2，∴BE=√5−12∴HE=BE−BH=2√5−2−2=2√5−4，∴DE=2HE=4√5−8×(4√5−8)×√5=10−4√5．∴S△ADE=1216.取长为2的定线段AB为边，作正方形ABCD，P为AB的中点，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上，如图所示。

《相似》单元测试题及参考答案(精编)

《相似》单元测试题及参考答案(精编)一、选择题1.如图,点P 是AB 的黄金分割点,即P 点满足BP AP =AP AB ,若AB=2,则AP 的长为( )A.√5-1B.√5+1C.√5+2D.0.618 2.若3a=4b(ab ≠0),则下列比例式正确的是( )A.a 3=b 4B.4a =3bC.a b =34D.a 3=4b3.如图,已知AB//CD//EF,BD:DF =1:2,那么下列结论中,正确的是( )A.AC:AE=1:3B.CE:EA=1:3C.CD:EF=1:2D.AB:EF=1:2 第3题第4题第5题第6题4.如图,在△ABC 中,如果DE 与BC 不平行,那么下列条件中,不能判断△ADE ∽△ACB 的是 ( )A.∠ADE=∠CB.∠AED=∠BC.AD AB =DE BCD.AD AC =AEAB5.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于点D.若AC=3,AB=4,则BD 的长为( )A.125B.165C.203D.154 6.如图,在梯形ABCD 中,AD//BC,对角线AC,BD 相交于点O.若AD=1,BC=3,则AOCO 的值为( )A.12B.13C.14D.19 第7题第8题第9题第10题7.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D,交边BC 于点E,连接BD.若AD=5,BD=2,则DE 的长为( )A.35B.425C.225D.45 8.如图,已知在△ABC 中,点D,E,F 分别是边AB,AC,BC 上的点,DE//BC, EF//AB,且AD:DB=3:5,那么CF:CB 等于( )A.5:8B.3:8C.3:5D.2:59.如图,△ABC ∽△ADE,且BC=2DE,则S 四边形BEDC :S △ABC 的值为( )A.1:4B.3:4C.2:3D.1: 210.如图,D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,DE//AC,AE,CD 相交于点O,若S △DOE :S △COA =1:25,则S △BDE 与S △CDE 的比是( )A.1.3B.1:4C.1.5D.1:2511.已知△ABC ∽△DEF,其对应中线的比为1:3,若△ABC 的周长为3,则△DEF 的周长为( )A.1B.3C.9D.2712.如图,在平行四边形ABCD 中,F 为BC 的中点,延长AD 至点E,使DE:AD=1:3,连接 EF 交DC 于点G,则S △DEG :S △CFG 等于( )A. 2:3B.3:2C.9:4D.4:9第12题第13题第14题第15题13.如图,在△ABC 中,DE//BC,过点A 作AM ⊥BC 于点M,交DE 于点N.若S △ADE :S △ABC =4:9,则AN 与NM 的长度比是( )A.4:9B.3:2C.9:4D.2:114.如图,在△ABC 中,点D,E 分别在AB 和AC 上,DE//BC,M 为BC 边上一点,连接AM 交DE 于点N,若DN NE =13,DN BM =23,则下列选项不成立的是( )A.S △AD NS △AD E =14 B.BM MC =13 C.S △ANE <S 四边形DBMN D.S 四边形DBMN S 四边形NMCE =1315.如图,点E,F,M 在矩形ABCD 的边上,四边形EFMN 是正方形,B,M,N 三点共线.若AB=3,AD=7,则BN MN 的值为()A.2B.178C.√5+12 D.158二、填空题16.若nm =23,则m−nm=____.17.线段a,b,c,d是成比例线段a=9cm,b=6cm,c=3cm,则d的长为____cm.18.如图,利用标杆BE测量建筑物的高度.若标杆BE的高为1.2m,测AB=1.6m,BC=12.4m,则楼高CD为____m.第 18题第19题第20题第21题19.小孔成像的示意图如图所示,光线经过小孔O,物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A,B的对应点分别是C,D).若物体AB的高度为6cm,实像CD的高度为3cm,则小孔O到BC的距离OE为______cm.20.如图,学生用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知纸板的两条直角边DE=60cm,EF=30cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=10m,则树高AB___m.21.如图,△ABC是一块锐角三角形的材料,边BC=60mm,高AD=40mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是_____mm.22.如图,已知△ABC和△DEF为位似图形,点O是位似中心,且△ABC和△DEF的周长之比是4:3,则下列结论:①AB//ED②BOOD =43③△AOC∽△DOF④S△A BC S△DEF =2√33.其中错误的是_____(填序号).三、解答题23.如图,O是△ABC外的一点,分别在射线OA,OB,OC上取点A',B',C’,使O A′OA =O B′OB=O C’OC=3,连接A'B’,B'C’,C'A',判断△A'B'C’与△ABC是否相似,并说明理由.24.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,E是AB边上一点,CE交AD于点F,且CF=CD.(1)求证:△ACE∽△ABC;(2)若EF=2,BD=4,求AB的值.AC25.如图,⊙O是△ABC的外接圆,点O在BC上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD,CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.(1)求证:PD是⊙O的切线;(2)求证:△ABD∽△DCP;(3)若AB=6,AC=8,求点O到AD的距离.26(1)问题:如图①,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°,求证:AD·BC=AP·BP; (2)探究:如图②,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结是否依然成立?请说明理由;(3)应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题:如图③,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5.点P以每秒1个单位长度的速度,由点A出发,沿边AB向点B运动,且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t(秒),当以点D为圆心,以DC长为半径的圆与AB相切时,求t的值.参考答案一、选择题1-5 ABACB 6-10 BDABB 11-15 CDDCA二、填空题16.1317. 218. 10.519. 220. 6.521. 2422.②④三、解答题23.略24(1)略(2)√225(1)略(2)略(3)√2226(1)略(2)略(3)1s或5s。

初中黄金分割试题及答案

初中黄金分割试题及答案黄金分割是指将一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值约为0.618。

这个比例在自然界和艺术设计中非常常见，被认为是一种美学上的比例。

以下是关于黄金分割的几道初中试题及答案：1. 已知线段AB的长度为10厘米，按照黄金分割点C将线段分割，求AC的长度。

答案：根据黄金分割的定义，AC的长度为10 × (√5 - 1) / 2 ≈ 6.18厘米。

2. 如果一个矩形的长宽比符合黄金分割，且长为20厘米，求宽的长度。

答案：设矩形的宽为x厘米，根据黄金分割的定义，有20 / x = (x + 20) / 20。

解这个方程，我们可以得到x = 20 × (√5 - 1) / 2 ≈ 12.36厘米。

3. 在一个正方形中，按照黄金分割点将正方形的一边分割，求分割后较小部分的长度。

答案：设正方形的边长为a厘米，按照黄金分割点分割后，较小部分的长度为a × (√5 - 1) / 2 厘米。

4. 一个等腰三角形的顶角为36°，底角为72°，求这个三角形的高与底边的比例。

答案：根据黄金分割的定义，这个等腰三角形的高与底边的比例为(√5 - 1) / 2 ≈ 0.618。

5. 已知一个五边形的边长都相等，且每个内角都为108°，求这个五边形的对角线与边长的比例。

答案：这个五边形的对角线与边长的比例符合黄金分割，即对角线长度与边长的比例为(√5 + 1) / 2 ≈ 1.618。

这些题目涵盖了黄金分割在不同几何图形中的应用，通过计算和理解黄金分割的定义，可以解决这些问题。

探索三角形相似的条件4.4.4+黄金分割+同步练习+2024-2025学年北师大版九年级数学上册

4.4 探索三角形相似的条件课时4 黄金分割题型1 黄金分割的定义1、已知P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB，则（）A.AP2=AB∙PBB.AP2=AB∙PBC.PB2=AP∙ABD.AP2+ BP2=AB22、如果C是线段AB的黄金分割点，并且AC>CB，AB=1，那么AC的长度为（）A.23 B.12C.√5−12D.3−√523、已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，则BC的长为（）A.(3√5−3)cmB.(9−3√5)cmC.(3√5−3)cm或(9−3√5)cmD. (9−3√5)cm或(6√5−6)cm4、宽与长的比是√5−12（约0.618）的矩形叫黄金矩形，矩形的长与宽分别为a和b，下列数据能构成黄金矩形的是（）A.a=4，b=√5+2B.a=4，b=√5−2C.a=2，b=√5+1D.a=2，b=√5−15、定义：如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC⋅AB,则称点C为线段AB的黄金分割点。

如图2,在△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长。

题型2 黄金分割的应用6、主持人主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体。

如图所示,如果舞台AB的长为12米,一名主持人现在站在A处,则她要到达最理想的位置至少走（）A.(18−6√5)米B.(6√5−6)米C. (6√5+6)米D. (18−6√5)米或(6√5−6)米7、某种乐器的弦AB长为120cm,点A、B固定在乐器面板上,弦AB之间有一个支撑点C,且点C是AB的黄金分割点(AC>BC),则AC的长为( )A.(120−30√5)cmB.(160−60√5)cmC.(60√5−120)cmD.(60√5−60)cm8、宽与长的比是√5−1（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调2和匀称的美感。

鲁教版2019初三下册第九章相似三角形习题归类(黄金分割) - 副本

鲁教版2019初三下册第九章相似三角形习题归类（黄金分割）一、黄金分割（一）黄金分割中的计算典例：点C 是线段AB 的黄金分割点,且AB=6cm,则BC 的长为A 、35-3)cmB 、(9-35)cmC 、(35-3)cm 或(9-35)cmD 、(9-35)cm 或(65-6)cm思路导析:根据黄金分割点的定义,知BC 可能是较长线段,也可能是较短线段,则BC= 215-AB 或BC= 253- AB ，将AB=6cm 代入计算即可 ∵点C 是线段AB 的黄金分割点,且AB=6cm∴,BC=215-AB=35-3(cm)，或BC=253- AB=9-35(cm) 答案:C方法总结：本题考查了黄金分割的概念:把一条线段AB 分成两部分AC 与BC,使其中较长的线段AC 为全线段AB 与较短线段BC 的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,点C 是线段AB 的黄金分割点,熟记较长的线段AC=215-AB ，较短的线段BC= 253- AB 是解题的关键、注意线段AB 的黄金分割点有两个。

变式1：如图，扇子的圆心角为x °，余下的扇形的圆心角为y °，x 与y 的比通常按黄金比为设计，这样的扇子外形较美观，若取黄金比为0.6，则x 为（）变式2：已知点C,D 是线段AB 的黄金分割点，AB=1，求线段AC 与CD 的长。

（二）:黄金分割中证明典例：如图所示,点C 是线段AB 的黄金分割点,BC>AC,D,E 分别是AC,BC 的中点,那么点C 是线段DE的黄金分割点吗?思路导析:根据黄金分割的定义可知DE CE =CECD ,则点C 是线段DE 的黄金分割点,否则不是. 解:因为D,E 分别是AC,BC 的中点, 所以CD=21AC,CE=21BC, 所以DE=CD+CE=21(AC+BC)=21AB又因为点C 是线段AB 的黄金分割点,BC>AC 所以AB BC =BCAC ,即BC 2=AB ·AC 又CE 2=41BC 2=41AB ·AC=DE ·CD 即DE CE =CE CD 所以点C 是线段DE 的黄金分割点。

黄金分割专项练习题有答案

黄金分割专项练习30题（有答案）1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比．5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．6．如图，线段AB的长度为1．（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB，求线段AC的长度；（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC，求线段AD的长度；（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD，求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求的值．13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD的长．15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．23．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．24．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM 与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是．28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．黄金分割专项练习30题参考答案: 1．（1）证明：∵AB=AC=1，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∴DA=DB，BD=BC，∴AD=BD=BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD?AC，∴AD2=CD?AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，∵AD2=CD?AC，∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，即AD的长为2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=99，整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，而AB＞AD，所以x=11，即AB的长为11cm；（2）不能．理由如下：设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=101，整理得x2﹣20x+101=0，因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得20﹣x=x，解得x=10（﹣1），则20﹣x=10（3﹣），所以矩形的面积=10（﹣1）?10（3﹣）=（400﹣800）cm2．3．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴=，即=， ∴AD 2=AC?CD ．∴点D 是线段AC 的黄金分割点．（2）∵点D 是线段AC 的黄金分割点，∴AD=AC ，∵AC=2，∴AD=﹣14．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，（2）作法：①画线段AB 作为三角形底边；②取AB 的一半作AB 的垂线AC ，连接BC ，在BC 上取CD=CA ．③分别以A 点和B 点为圆心、以BD 为半径划弧，交点为E ；④分别连接EA 、EB ，则△ABE 即是所求的三角形．（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC ﹣CD=﹣1，=． 5．解：（1）由于P 为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×=﹣1，或AP=2﹣（﹣1）=3﹣；（2）如图，点P 是线段AB 的一个黄金分割点．6．解：（1）设AC=x ，则BC=AB ﹣AC=1﹣x ，∵AC 2=BC?AB ，∴x 2=1×（1﹣x ），整理得x 2+x ﹣1=0，解得x 1=，x 2=（舍去），所以线段AC 的长度为；（2）设线段AD 的长度为x ，AC=l ，∵AD 2=CD?AC ，∴x 2=l×（l ﹣x ），∴x 1=，x 2=（舍去），∴线段AD 的长度AC ；（3）同理得到线段AE 的长度AD ；上面各题的结果反映：若线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），则C 点为AB 的黄金分割点7．解：D 是AC 的黄金分割点．理由如下：∵在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°．∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°．∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，∴∠C=∠BDC，∴BC=BD．∵∠A=∠1，∴AD=BC．∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，又∵AB=AC，AD=BC=BD，∴，∴AD2=AC?CD，即D是AC的黄金分割点8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，交于AC于D，∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，∴∠A=∠DBC，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC，∴∵AB=AC，∴=，∵AB=AC=2，BC=﹣1，∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），解得AD=，AD：AC=（）：2．∴点D是线段AC的黄金分割点．9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．∵AE=BC，DF=BC，∴AE=DF=BC=AD，又∵∠ADF=90°，∴四边形AEFD是正方形．BE=，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．解：设正方形ABCD的边长为2，在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB===，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，HB=AB﹣AH=3﹣；∴AH2=（）2=6﹣2，AB?HB=2×（3﹣）=6﹣2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠ADB=108°，∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC?DC，∵BC=AD，∴AD2=AC?DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．12．解：∵D在AB上，且AD2=BD?AB，∴点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点，∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，∴==或==．13．解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD=BC，DE=AB，∴==﹣1==．∴矩形ABFE是黄金矩形．14．解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），∴AD=AB=10﹣10，∵EC+CD=AC+CD=AD，∴EC+CD=（10﹣10）cm．15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据题意得x：1.70=0.618，即x=1.70×0.618≈1.1（m）．答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，DM=AD﹣AM=3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于=，∴点M是AD的黄金分割点．17．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2=BP×AB，又∵S1=AP2，S2=PB×AB，∴S1=S2．18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，∴△BCF∽△EAB，∴，即，把AD=，AB=+1代入得，=，解得：CF=2．故答案为：2．19．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．20．解：（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，由得，BP2=AP×AB，即k2=（1﹣k）×1，解得k=，∵k＞0，∴k=≈0.618；（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，设△ABC的AB上的高为h，则，∴∴直线CP是△ABC的黄金分割线．（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．21．解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得：x≈7.5cm．故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．22．解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB==a，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，HB=AB﹣AH=（3﹣）a；∴AH2=（6﹣2）a2，AB?HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．23．证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，∴AB″∴点B″是线段AB的黄金分割点．24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，∵EF=BE=1，∴AF=AE﹣EF=﹣1，∴AM=AF=﹣1，∴AM：AB=（﹣1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．25．解：（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．∴x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．②△BAC是黄金三角形，∴，∵BC=2，∴AC=﹣1．∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，∴NC=BC=a．在Rt△DNC中，．又∵NE=ND，∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．27．解：（1）（2）CM=AB（4分）28．证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．在Rt△BCF中，BF==，则A′F=BF﹣BA′=﹣1．设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，即，解得x=，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．29．解：（1）如图所示；（2）△BCD是黄金三角形．证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠ABD=∠DBC=36°．又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴△BCD是黄金三角形．（3）设BC=x，AC=y，由（2）知，AD=BD=BC=x．∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，整理，得x2+xy﹣y2=0，解得．因为x、y均为正数，所以．（4）．理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=72°，∴∠ACE=180°﹣72°=108°，∴∠ACE=∠B1A1C1．∵A1B1=AB，∴AC=CE=A1B1=A1C1，∴△ACE≌△B1A1C1，∴AE=B1C1．由（3）知，∴，，∴．30．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC的边AB上的高为h．则，，，∴，．又∵点D为边AB的黄金分割点，∴，∴．故直线CD是△ABC的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴，即，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，∴S△DFC=S△DFE，∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．又∵，∴．因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN 就是平行四边形ABCD的黄金分割线．（9分）。

初中数学相似三角形之黄金分割专项练习题(附答案详解)

第一步：如图(1)，先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF.
第二步：如图(2)，将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）
18．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由.
【详解】
解：设MP＝x，则PN＝1﹣x，根据题意得，
解得，x＝＞1（不合题意，舍去），
又因为题中没强调MP是长的一段还是短的一段，所以MP的长也可以为1﹣ ＝．
故选：C．
【点睛】
本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割点的概念.
9．B
【解析】
【分析】
根据黄金分割的概念表示出比例式，再结合正方形的面积进行分析计算．
5．A
【解析】
【分析】
利用黄金分割的定义得到PA= AB，然后把AB=4代入计算即可．
【详解】
∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴PA= AB= ×4=2 -2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC= AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
6．B
【解析】
【分析】
把AB当作已知数求出AC，求出BC，再分别求出各个比值，根据结果判断即可．
【详解】
∵AC2=BC•AB，
∴AC2﹣BC•AB=0，
∵AB=AC+BC

初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习1(附答案详解)

12．
【解析】
【分析】
根据若点是线段的黄金分割点（），则 = 计算即可．
【详解】
当PM＞PN时，PM= MN= ，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．
13．
【解析】
【分析】
如图，连接PD．由B、D关于AC对称，推出PB=PD，推出PB+PE=PD+PE，推出当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB=9，推出AE=EB=3，AD=AB=6，分别求出PB+PE的最小值，PC的长即可解决问题.
【详解】
如图，连接PD．
∵B、D关于AC对称，
∴PB＝PD，
∴PB+PE＝PD+PE，
∴当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，
观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB＝9，
∴AE＝EB＝3，AD＝AB＝6，
在Rt△AED中，DE＝，
∴PB+PE的最小值为3 ，
∴点H的纵坐标为3 ，
∵AE∥CD，
【分析】
根据题意先计算出BD=60-13=47，AE=BE=30，AF=37，则E点为AB的中点，则计算BD：AB和AF：AB，然后把计算的结果与0.618比较，则可判断哪一点最接近线段AB的黄金分割点．
【详解】
解：∵线段AB=60，AD=13，DE=17，EF=7，
∴BD=60-13=47，AE=BE=30，AF=37，
∴BD：AB=47：60≈0.783，AF：AB=37：60=0.617，
∴点F最接近线段AB的黄金分割点．
故选：C．
【点睛】

初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习1(附答案详解)

材料2：由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的“黄金分割线”．
（1）如图2，点C是线段AB的黄金分割点（AC>CB），取线段AB的中点O，作点C关于点O的对称点，则；继续取线段AC的中点，作点关于点的对称点，试猜想点是否线段A 的黄金分割点，若是，请证明，若不是，请说明理由；
∴S1=S2．
故选B．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
6．A
【解析】
【分析】
根据黄金分割的定义可得到AC＝ AB，然后把AB＝4代入计算即可．
【详解】
21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）
22．已知a，b，c，是△ABC的三边，满足 = = ，且a+b+c=24
adchbdchabch直线cd是abc的黄金分割线bcdacdacdabcbdadadab是线段ab的黄金分割点adab直线cd是abc的黄金分割线acdbcdbcdabcadbdbdab是线段ab的黄金分割点bdab1010点睛此题考查线段的中点对称点的性质待定系数法求函数解析式黄金分割的性质解题中注意分类讨论的思想避免漏解241236解析分析设雕像下部的设计高度为xm那么雕像上部的高度为2xm

九下相似三角形 6.2黄金分割含答案

6. 2 黄金分割知识点黄金分割1. 如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，则下列各式正确的是()A. AC AB BC AC= B. BC AC AB BC = C. AC AB AB BC = D. BC AC AB AB= 2. 如果点C 是线段AB 的黄金分割点，并且,1AC CB AB >=，那么AC 的长度为( )A.23B.123. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图，若舞台AB 长为20米，主持人现站在A 处，请问主持人应走到离A 点米处才最自然得体?(黄金比的值取0. 618，结果精确到0. 1米) 4. 以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上.(1)求,AM DM 的长;(2)求证:2AM AD DM =;(3)根据(2)的结论你能找出图中的黄金分割点吗?【作业精选】1. 如图，点P 为线段AB 的黄金分割点()PB PA >，四边形AMNB 、四边形PBFE 都为正方形，且面积分别为12,S S .四边形APHM 、四边形APEQ 都为矩形，且面积分别为34,S S .下列说法正确的是( )A. 2112S S = B. 23S S = C. 34S S = D. 41S = 2. 如果点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP PB >，则下列命题:①2AB AP PB =，②2BP AP AB =，③2AP PB AB =，④::AP AB PB AP =，其中正确的是 .3. 如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点(212AP PP < )，点3P 是线段2AP 的黄金分割点(323AP P P <)……依此类推，则线段2017AP 的长度是 .4. 的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示):第一步:作一个正方形ABCD ;第二步:分别取,AD BC 的中点,M N ，连接MN ;第三步:以点N 为圆心，ND 的长为半径画弧，交BC 的延长线于点E ;第四步:过点E 作EF AD ⊥，交AD 的延长线于点F .请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形.参考答案1. B2. C3.7.6或12.44. (1)在Rt APD ∆中，11,22AP AB AD ===∴PD ==∴1AM AF PF PA PD PA ==-=-=21)3DM AD AM =-=-=-(2)∵221)6AM ==-2(36AD DM ==- ∴2AM AD DM =(3)能，点M 是AD 的黄金分割点.∵2AM AD DM =，1,2AM AD ==∴AM DM AD AM == ∴点M 是AD 的黄金分割点【作业精选】1. B2. ③④3. 20174. 在正方形ABCD 中，令2AB a = ∵点N 为BC 的中点∴12NC BC a ==在Rt DNC ∆中，ND ===又∵NE ND =∴1)CE NE NC a =-=∴1)122CE a CD a == 故矩形DCEF 为黄金矩形。

沪科版九年级数学上册黄金分割与相似三角形

5相关资料练习一、请你填一填（1）如图 4—2—1，若点 P 是 AB 的黄金分割点，则线段 A P 、PB 、AB 满足关系式，即 AP是与的比例中项.图 4—2—1（2）黄金矩形的宽与长的比大约为（精确到 0.001）. （3）如果线段 d 是线段 a 、b 、c 的第四比例项，其中 a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则 d =cm.（4）已知 O 点是正方形 ABCD 的两条对角线的交点，则 AO ∶AB ∶AC =.（5）若 a = c =3（b +d ≠0），则a + c=.b d b + d二、认真选一选（1）已知 3= 2 ,那么下列式子成立的是（） x yA.3x =2yB.xy =6C. x =2D. y = 2y 3x3 （2）把 ab = 1 cd 写成比例式，不正确的写法是（）2A. a =dB. a = dc 2b 2c b C. 2a =d D. c = 2acbbd（3）已知线段 x ,y 满足（x +y ）∶（x －y ）=3∶1,那么 x ∶y 等于（）A.3∶1B.2∶3C.2∶1D.3∶2（4）有以下命题:①如果线段 d 是线段 a ,b ,c 的第四比例项，则有 a= cbd②如果点 C 是线段 AB 的中点，那么 AC 是 AB 、BC 的比例中项③如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC >BC ，那么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项④如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC >BC ，且 AB =2，则 AC = －1其中正确的判断有（）A.1 个C.3 个B.2 个D.4 个三、细心算一算已知实数 a ,b ,c 满足b +c = c + a = a + b ,求 b + c的值. a b c a3 332 35 3 15四、好好想一想以长为 2 的线段 AB 为边作正方形 ABCD ，取 AB 的中点 P ，连结 PD ，在 BA 的延长线上取点 F ，使PF =PD ，以 AF 为边作正方形 AMEF ，点 M 在 AD 上，如图 4—2—2.图 4—2—2（1）求 AM 、DM 的长. （2）求证：AM 2=AD ·DM .（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？黄金分割同步练习一、选择题1. 等边三角形的一边与这边上的高的比是()A. ∶2B.∶1C.2∶D.1∶2. 下列各组中的四条线段成比例的是()A.a = ，b =3，c =2，d =B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b = ，c =2 ，d =D.a =2，b =3，c =4，d =13. 已知线段 a 、b 、c 、d 满足 ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是()A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶d3= C.d ∶a =b ∶c D.a ∶c =d ∶b4. 若 ac =bd ，则下列各式一定成立的是()A. a = cB. a + d = b + cb dd ca 2 d C.b 2 cD. ab = a cd d5. 已知点 M 将线段 AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是()A.AM ∶BM =AB ∶AMB.AM =5 -1 AB2C.BM =5 -1 AB2D.AM ≈0.618AB二、填空题6. 在 1∶500000 的地图上，A 、B 两地的距离是 64 cm ，则这两地间的实际距离是.7. 正方形 ABCD 的一边与其对角线的比等于.8.若 2x －5y =0，则 y ∶x =9. 若 a - b = 3 ，则 a =， x + y=.x.b 5 b三、解答题10. 已知x + y = 4 ，求 x. 2x 3 y11. 在△ABC 中，D 是 BC 上一点，若 AB =15 cm ，AC =10 cm ，且 BD ∶DC =AB ∶AC ，BD－DC =2 cm ，求 B C.212.现有三个数1，，2，请你再添上一个数写出一个比例式，这样的比例式唯一吗？*13.如果一个矩形ABCD(AB＜BC)中，AB=BC5 -1≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，2黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE(如图1)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.图 1相似三角形知识补充：相似三角形练习一、选择题1.如果多边形ABCDEF∽多边形A＇B＇C＇D＇E＇F＇，且∠A＝68°，则∠A＇等于（）．A．22 o B．112 o C．68 o D．54o2.两个相似三角形的相似比是2：3，其中较小的三角形的面积是12，则另一个三角形的面积是（）．A.8B.16C.24D.27二、填空题（每小题3 分，共24 分）3.相似多边形对应边之比叫做，两个相似多边形的最长边分别为10cm 和20cm，其中一个多边形的最短边为5cm，则另一个多边形的最短边为.4.下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中正确的是(把你认为正确的说法的序号都填上).5.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB 的长为18cm，AC 被分为60 等份.如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20 等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE 是．ba甲乙6.已知：如图，在△PAB 中，M 、N 是 AB 上两点，且△PMN 是等边三角形，△BPM ∽△PAN ，则∠APB 的度数是.三、解答题7. 如图所示，四边形 ABCD ∽四边形 A ' B 'C ' D '，求未知边 x 的长度和的大小.8. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，AEAE ＝2，BD ＝4，求的值以及 AC 、EC 的长度.AC9. 阅读理解：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．.如图所示，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（ a : b ）．设 S 、S 分别表示这两个正方体的表面积，则 S6a 2a 2 .甲乙甲= S 乙 6b 2= ( ) b又设 V 、V 分别表示这两个正方体的体积，则 V 甲= a V 乙 b = ( a b)3 .（1）下列几何体中，一定属于相似体的是 .A.两个球体B.两个圆锥体C.两个圆柱体D.两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于；②相似体表面积的比等于；③相似体体积的比等于.（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的人体是相似体.一个小朋友上幼儿园时身高为1.1 m ，体重为 18 kg.到了初三时，身高为 1.65 m ，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的3 3。

三角形相似综合训练-2023年中考数学拉分专题(教师版含解析)

专题02 三角形相似综合训练1．如图，在矩形ABCD 中，将ADC △绕点D 逆时针旋转90︒得到FDE B F E ，、、三点恰好在同一直线上，AC 与BE 相交于点G ，连接DG ．以下结论正确的是( )①AC BE ⊥；BCG GAD ~②；③点F 是线段CD 的黄金分割点；④CG EG = A ．①②③ B ．①③C ．①②③D ．①③④【答案】D 【详解】证明：FDE ADC ≌，∴AD DF DC DE ==，又∴四边形ABCD 是矩形，∴90ADC ∠=︒， ∴90DAC DCA ∠+∠=即DAG DEF ∠+∠=即BGC 是直角三角形，而AGD 不是直角三角形，∴②错误；Rt FCB 和Rt 中， BFC EFC ∠=∠Rt FCB Rt FDE ∽， FC BCDF DE=， BC AD DF DE DC ===，FC DFDF DC=， F 是线段CD 的黄金分割点，和DEG '中，∴SAS DCG DEG '≌（DG DG CDG ='∠=，90CDG GDA ∠+∠=︒90EDG GDA ∠'+∠=90GDG ∠'=︒，∴GDG '是等腰直角三角形，2GG DG '=EG CG '=EG EG ='故选：D ．【我思故我在】2．如图，在ABC 中，D 、E 分别在AB 边和AC 边上，//DE BC ，M 为BC 边上一点(不与B 、C 重合)，连结AM 交DE 于点N ，则( )A ．ADANANAEB ．BD MNMN CEC ．DN NEBM MCD ．DN NEMC BM,AN ANNE DN NEAM AMMCBMMC，故选相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握3．如图，在ABC ∆中，2AC =，4BC =，D 为BC 边上的一点，且CAD B ∠=∠．若ADC ∆的面积为a ，则ABD ∆的面积为( )A ．2aB ．52aC ．3aD ．72aACD BCA ∆，再由相似三角形的性质得到答案ACD BCA ∆，2AC BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即BCA ∆的面积为的面积为：．4．如图，在矩形ABCD 中，E，F分别为边BC 、CD 中点，线段AE ，AF 与对角线BD 分别交于点G ，H ．设矩形ABCD 的面积为S ，则以下4个结论中：①AG ：GE =2：1 ②BG ：GH ：HD =1：1：1；③12325S S S S ++=；④ 246124S S S =：：：：正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C∴,BGE DGA ∽ 2,AG AD BGGE BE DG===②∴AG AD BGGE BE DG==13BG BD =，1所以本题的3个结论符合题意；故选：C ．【我思故我在】本题考查了矩形的性质，三角形相似的性质和判定，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，等底同高三角形面积相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 5．如图，在正方形ABCD 中，BPC △是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于E 、F ，连接BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ．给出以下结论：①3BE AE =；②DFP BPH ；③2DP PH PC =⋅；④若2AB =，则1BPD S △．其中正确结论的是( )A ．①②③④B ．②③④C ．①②④D ．①③④从而证明DFP BPH ，正确；利用DPH CPD ~，得DP PC ，将ΔBPD S 转化为S 四边形解：BPC ∆是等边三角形，BC ，60PBC PCB BPC ∠=∠=∠=ABCD 中，AB BC CD =，A ∠30ABE DCF ∴∠==︒2BE AE ∴=故①错误PC CD =PDC ∴∠=FDP ∴∠=DBA =∠DFP ∠=DFP BPH ∴~，故②正确；30PDH PCD ∠=∠=︒DPH CPD ∴~，∴DP PHPC DP=， 2DP PH PC ∴=⋅，故③正确；如图，过点P 作PM正方形的边长6．如图，在平行四边形ABCD 中，点,M N 分别是AD BC 、上的点，且22AM DM BN CN ==，，点O 是CM ， DN 的交点，直线AB 分别与CM DN ，的延长线交于点,P Q ．若平行四边形ABCD 的面积为144 ，则POQ △的面积为( )A ．72B ．216C ．268D ．300∴AMP DMC ∽， AP AMDC DM=， 2AM DM = 2AP AMDC DM==， 2AP CD =， ∴COD POQ ∽， 1215h CD h PQ ==， ∴∴POQ 的高为56h ，144ABCDS CD h =⋅=151POQS=故选：D 【我思故我在】的性质及平行四边形的性质是解题的关键．7．如图，在正方形ABCD 中，点G 是BC 上一点，且12GC BG =，连接DG 交对角线AC 于F 点，过D 点作DE DG ⊥交CA 的延长线于点E ，若5AE =，则DF 的长为( )A ．BC ．92D ，证明DEH DGC ∽，推出，求出5EH HA ==延长线于H ，DE DG ⊥EDG ∠∴21∴∠+∠1∠∠∴=DEH DGC ∴∽，∴EH DHGC DC =， 12GC BG =， ∴设GC x =，则BG =∴3EH DHGC x=， AC 是正方形DAC ∴∠EAH ∠=HEA ∴∠=EH HA ∴=2EH HA ∴+EH HA ∴=在正方形8．已知，如图，平行四边形ABCD 中，:1:3=CE BE ，且1EFC S =△，那么ABCS=_____．ACD ABC SS =，证明1:4AD =，则CE AD =． 9．P 是ABC 边上的任一点(P 不与A 、B 、C 重合)，过点P 的一条直线截ABC ，如果截得的三角形与ABC 相似，我们称这条直线为过点P 的∴ABC 的“相似线”．Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，当点P 是边BC 上一个三等分点时(PB PC >)，过点P 的ABC 的“相似线”最多有___________条．【答案】4【分析】根据相似线的定义，可知截得的三角形与ABC 有一个公共角，分①公共角为A ∠时；②公共角为B ∠时；③公共角为C ∠时；三种情况进行讨论，即可得出答案．【详解】解：①当公共角为A ∠时，不存在；②公共角为B ∠时，过点P 作PD BC ⊥，交AB 于点D ，如图所示：∴90DPB C ∠=∠=︒，B B ∠=∠，∴BPD BCA ∽；过点P 作PD AB ⊥于点D ，如图所示：∴90PDB C ∠=∠=︒，B B ∠=∠，∴BPD BAC ∽△△；③公共角为C ∠时，连接AP ，如图所示：∴30B ∠=︒，∴2AB AC =，设AC a =，则2AB a =，∴ACP BCA∽；过点P作PD AB∥，交∴CDP CAB∽；综上分析可知，过点的ABC的“相似线故答案为：4.【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．10．如图，在ABC中，6BC=，AE AFEB FC=，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，CBP∠的平分线交CE于点Q，当14CQ CE=时，EP BP+的值为______．【答案】18【分析】如图，延长EF交BQ的延长线于G．首先证明PB PG=，EP PB EG+=，由EG BC∥，11．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是,==∠=︒∠=︒，则BC的长度是___________．3,6,30,45BE CD FED FDE【答案】3##3+【分析】作FN DE ⊥于点N ，延长DE 交CB 的延长线于点M ，先证FND ∆是等腰直角三角形，设FN x =，利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求出DN ，EF ，NE 的长度，FDE ∠=DFN ∴∠FND ∴∆是等腰直角三角形．由题意得：设FN x =FED ∠=2EF FN ∴=NE ∴=DE DN ∴=3BE =，AE BE ∴=又EAD ∠=EAD ∴∆∆≌AD BM ∴=EBM ∠=EBM ∴∆∽BM BE MN NF ∴=解得：BM 12．如图，在ABC 中，146AB AC ==，，在AC 上取一点D ，使2AD =，如果在AB 上取点E ，使ADE 和ABC 相似，则AE =___________．①ABC AED ；②ABC ADE ；可根据各四条线段的比例关系式求出AE 的长．此时ADE ACB ，::AC AE AD =，146AC AD ==，，此时ADE ABC ，::AC AD AE =，146AC AD ==，，67=，故答案为：143或67．13．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M 在旋转中心O 的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA 、OB ，此时各叶片影子在点M 右侧成线段CD ．测得8.5m MC =，13m CD =，垂直于地面的木棒EF 与影子FG 的比为23：．则点O 、M 之间的距离等于___________m ；【答案】10【分析】连接OM 交AC 于点H ，过点C 作CN BD ⊥，通过证明HMC EFG HAO ∽∽△△△，通过相似三角形对应边成比例即可解答．【详解】解：连接OM 交AC 于点H ，过点C 作CN BD ⊥，14．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE 并延长，交对角线BD 于点F 、DC 的延长线于点G ．如果23CE BE =，求FE EG的值．15．矩形ABCD 中，AC BD ，为对角线，6cm 8cm AB BC ==，，E 为DC 中点，动点P 从点A 出发沿AB 方向，向点B 运动，动点Q 同时以相同速度，从点B 出发沿BC 方向向点C 运动，P 、Q 的速度都是1cm/秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为x 秒．()06t <<(1)PQ AC ∥时，求运动时间t ；(2)PQ BD ⊥时，求运动时间t ；(3)当t 为何值时，以点P ，B ，Q 为顶点的三角形与QCE 相似？(4)连接PE PQE ，△的面积能否达到矩形ABCD 面积的三分之一，若能求出t 的值；若不能，说明理由．7BP BQBP BQ为顶点的三角形与QCE相似216．解答题=；(1)如图1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD、CE，求证，BD CE[类比探究](2)如图2，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=︒，连接BD CE ，．求BD CE的值．[拓展提升](3)如图3，ABC 和ADE 都是直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=︒，2AC AE AB AD==．连接BD CE 、，延长CE 交BD 于点F ，连接AF ．若AFC ∠恰好等于90︒，请直接写出此时AF BF CF ，，之间的数量关系．证明BAD CAE ∽，从而得出结果；B 作BH CF ⊥，垂足为点AOF BOH ∆∽，根据对应边成比例，【详解】(1)解：∴ABC 和ADE 都是等边三角形，AC ，AD AE =，∠∠DAE BAC =BAC BAE ∠-∠，即：在BAD 和CAE 中，AB AC DAB EAC AD AE =∠=∠=，(SAS BAD CAE ≌△△BD CE =．∴ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，45BAC =∠=︒，ADE ∠ADE △∽，AE AC ，则AD AB AE AC=，BAE BAC -∠=∠-∠在BAD 和CAE 中，DAB EAC =∠，AD AE ∴BAD CAE ∽，BD AB CE AC =，令AB x =，根据勾股定理可得：2BD AB x CE AC x===(3)∴BAD CAE ∽，ACE ABD ∠=∠，在FOB ∆和AOC ∆中，ACE ABD ∠=∠，∠60OFB OAC ∠=∠=设FH x =，OH y =，则17．在△ABC 中，90ACB ∠=，BE 是AC 边上的中线，点D 在射线BC 上．(1)如图1，点D 在BC 边上，:1:2CD BD =，AD 与BE 相交于点P ，过点A 作AF BC ，交BE 的延长线于点F ，易得AP PD的值为； (2)如图2，在△ABC 中，90ACB ∠=，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，:1:2DC BC =，求AP PD的值； (3)在(2)的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ．18．在∴ABC 中，CA CB =，ACB α∠=，点P 在平面内不与点A ，C 重合，连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接,,AD BD CP ．(1)如图①，当60α=︒，BD CP的值是，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是． (2)如图②，当90α=︒时，请写出BD CP的值及直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数，并说明理由． (3)当90α=︒时，若点E ，F 分别是,CA CB 中点，点P 在直线EF 上，请直接写出当C ，P ，D 在同一直线上时，求AD CP 的值．，ABC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质证明，利用相似的性质即可得解；上，和P 在线段解：如图，延长CP 交60︒，∴ABC 是等边三角形，由题意可知∴PAD 是等边三角形，PAD ∠=∠CAP ∠+∠在CAP 和BAD 中，CA BA CAP BAD AP AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CAP BAD △≌△ (SAS),PC BD ACP =∠=∠在AOC 和△1BD PC=，直线BD ∴ABC 是等腰直角三角形，CAB ∠=∠∴ AB AC =AB AD AC AP∴=CAB ∠+∠AD是ABC的中位线，2219．如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一动点(点F与点B，点C不重合)，线段DE和:AF相交于点P，连接PC．(1)若在线段DP 上取一点Q ，使得2DP EQ =，连接AQ ，猜想PC 与AQ 的关系并证明；(2)若AF DE ⊥时，8,10AB AD ==，求BF 的长；(3)当点F 为BC 的中点时，求AP PF 的值． AEQCDP ∆，即可得出结论；，再判断出DAE ABF ，即可得出结论；，先判断出(AAS)ADE BGE ∆≅∆，再判断出2,2AD BF BG BF ==，进而判断出，即可得出结论．∴90BAF AED ．90BAF AFB ∠+∠=︒，AED AFB ∠=∠，90DAE ABF ∠=∠=︒，∴DAEABF ， AD AE AB BF =，即1083.2BF =；(3)解：如图，延长AD GC ，APD FPG ∆，23AD GF ==．【我思故我在】此题查了矩形的性质，构造出相似三角形是解本题的关键．。

2020年中考复习--黄金分割专题训练(一)(有答案)

2020中考复习--黄金分割专题训练（一）一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D.0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，则下列结论中错误的是()A. 点D是线段BC的黄金分割点B. 点E是线段BC的黄金分割点C. 点E是线段CD的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9.据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10.如果线段AB=10cm，P是线段AB的黄金分割点，那么线段BP=________cm．11.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割(BC<AC).已知AB=4cm，则BC的长约为________cm.(结果精确到0.1)12.在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62cm，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则宽约为________(精确到1cm)．15.已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。

4.4探索三角形相似的条件（第4课时）黄金分割同步练习含答案

第4课时黄金分割关键问答①点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，当这三条线段之间存在什么关系时，可以称线段AB被点C黄金分割？②黄金比的值是多少？1.①已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是()A．AC2＝BC·AB B．AC2＝2AB·BCC．AB2＝AC·BC D．BC2＝AC·AB2．·六盘水矩形的长与宽分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是()A．a＝4，b＝5＋2 B．a＝4，b＝5－2C．a＝2，b＝5＋1 D．a＝2，b＝5－13．②在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为()A．32.36 cm B．13.6 cm C．12.36 cm D．7.64 cm命题点1利用黄金分割的结论进行计算[热度：83%]4．③如图4－4－34，已知点P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，若S1表示以P A 为边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为PB的矩形的面积，则()图4－4－34A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定S1和S2的大小方法点拨③根据黄金分割的概念将线段比转化为面积比．5．④如图4－4－35，在▱ABCD中，点E是BC边上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F，那么BF∶DF的值为________．图4－4－35解题突破④求BF∶DF可以转化为求BE∶DA吗？如果可以，根据黄金分割点的定义先求出BE∶BC的值.6．把一根长为4 m的铁丝弯成一个矩形框，使它的宽与长的比为黄金比5－12，则这个矩形的面积为__________m2.图4－4－367．⑤·台州模拟如图4－4－36，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5－12.若AB＝5－12，则MN＝________．方法点拨⑤黄金三角形是比较特殊的三角形，解决与黄金三角形有关的计算问题，往往需要借助黄金比及相似三角形的对应边成比例来完成．命题点2黄金分割在实际生活中的应用[热度：80%]8．·乳山期中某种乐器的弦AB长为120 cm，点A，B固定在乐器面板上，弦AB上有一个支撑点C，且C是AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC的长为()A．(120－305)cm B．(160－605)cmC．(605－120)cm D．(605－60)cm9．⑥大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图4－4－37，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果AB的长度为10 cm，那么PB的长度为________．图4－4－37解题突破⑥先利用黄金分割的定义计算出AP的长，然后通过AB－AP即可得到PB的长．10．⑦人体下半身的长度与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高 1.68 m，下半身长 1.02 m，她应该选择穿________(精确到0.1 cm)的高跟鞋看起来更美．易错警示⑦注意身高包括高跟鞋的高度．命题点3有关黄金分割的证明[热度：75%]11.⑧如图4－4－38，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E.(1)求证：E为线段AB的黄金分割点；(2)若AB＝4，求BC的长．图4－4－38知识链接⑧顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，底角的平分线与腰的交点就是腰的黄金分割点，并且被底角的平分线分成的两个三角形都是等腰三角形，其中的锐角三角形与原等腰三角形相似．12．⑨宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形．现将折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图4－4－39所示)：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．'图4－4－39解题突破⑨对于没有出现具体数据的计算题或证明题，我们可以考虑设参数，如假设正方形的边长是2a，接下来你知道该怎么做了吗？13．⑩三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图4－4－37①，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝36°.(1)在图①中，用尺规作AB 的垂直平分线交AC 于点D ，并连接BD (保留作图痕迹，不写作法)．(2)△BCD 是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由． (3)设BCAC＝k ，试求k 的值．图4－4－40解题突破○10(1)可根据基本作图中线段垂直平分线的作法进行作图； (2)根据角度判断；(3)根据相似三角形的性质求解.14．⑪如图4－4－41①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图②)，则直线CD 是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？(2)三角形的中线是该三角形的黄金分割线吗？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线，请你说明理由；(4)如图④，点E是▱ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是▱ABCD的黄金分割线．请你画一条▱ABCD的黄金分割线，使它不经过▱ABCD 各边的黄金分割点．图4－4－41解题突破⑪对于新定义问题，关键是理解新定义的概念，解决此题的关键是把黄金分割线与黄金分割点联系起来，把面积与边长联系起来．详解详析【关键问答】①当AC 2＝BC·AB 时，线段AB 被点C 黄金分割． ②5－12≈0.618. 1．A [解析] 根据线段黄金分割的定义，得AC 2＝BC·AB. 2．D [解析] ∵宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形，∴ba ＝5－12，∴当a ＝2，b ＝5－1时满足题意．故选D .3．C [解析] 方法1：设这本书的宽为x cm ，则有2020＋x ＝x20，解得x ≈12.36(负值已舍去)．方法2：书的宽约为20×0.618＝12.36(cm )．4．B [解析] 根据黄金分割的概念，得AP AB ＝PB AP ，则S 1S 2＝AP 2AB ·PB ＝1，即S 1＝S 2.故选B.5.5－12[解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC ∥AD ，BC ＝AD ， ∴△BEF ∽△DAF ， ∴BE ∶DA ＝BF ∶DF . ∵BC ＝AD ， ∴BE ∶BC ＝BF ∶DF .∵点E 是BC 边上的黄金分割点， ∴BE ∶BC ＝5－12， ∴BF ∶DF ＝5－12. 6．(4 5－8) [解析] 设这个矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝2. 由题意，得y x ＝xx ＋y ＝5－12，解得x ＝5－1，y ＝3－5，所以这个矩形的面积为(5－1)×(3－5)＝(4 5－8)m 2. 7.5－2 [解析] 设MN ＝x .由题意可知DE ＝AB ＝5－12. ∵∠EDM ＝∠ECD ＝36°，∠END ＝∠EDN ＝72°，∴DE ＝EN ，同理CD ＝CM ， ∴EM ＝5－12－x ， EC ＝EN ＋CM －MN ＝5－1－x .∵∠DEM ＝∠DEC ，∴△DEM ∽△CED ， ∴DE 2＝EM ·EC ， ∴(5－12)2＝(5－12－x )(5－1－x )，整理，得x 2－32×(5－1)x ＋（5－1）24＝0， ∴⎣⎡⎦⎤x －34×（5－1）2＝516×(5－1)2， ∴x ＝5－2或x ＝12(5＋1)(不合题意，舍去)，∴MN ＝5－2.8．D [解析] 根据黄金分割点的概念，得AC ＝5－12AB ＝(605－60)cm.故选D. 9．(15－5 5)cm [解析] ∵P 为AB 的黄金分割点(AP ＞PB )， ∴AP ＝5－12AB ＝5－12×10＝(5 5－5)cm ， ∴PB ＝AB －AP ＝10－(5 5－5)＝(15－5 5)cm. 10．4.8 cm [解析] 设她应选择高跟鞋的高度是x cm ，则 102＋x168＋x ＝0.618，解得x ≈4.8.经检验，x ≈4.8是原分式方程的解且符合题意，即她应该选择穿4.8 cm 的高跟鞋看起来更美．11．[解析] (1)根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB ＝72°，再根据角平分线的定义求出∠BCE ＝36°，从而得到∠BCE ＝∠A ，然后判定△ABC 和△CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证；(2)根据等角对等边的性质可得AE ＝BC ，再根据黄金比求解即可．解：(1)证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°， ∴∠ACB ＝∠B ＝12×(180°－36°)＝72°.∵CE 平分∠ACB ，∴∠BCE ＝∠ACE ＝12∠ACB ＝12×72°＝36°，∴∠BCE ＝∠A ＝∠ACE ＝36°，∴AE ＝CE ， ∴∠BEC ＝180°－∠BCE －∠B ＝72°， ∴∠BEC ＝∠B ， ∴BC ＝CE ＝AE . 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△CBE ， ∴AB BC ＝BCBE， ∴BC 2＝AB ·BE ，即AE 2＝AB ·BE ，∴E 为线段AB 的黄金分割点．(2)∵E 为AB 的黄金分割点，∴AEAB ＝5－12.又BC ＝AE ， ∴BC ＝5－12·AB ＝5－12×4＝2 5－2. 12．证明：在正方形ABCD 中，设AB ＝2a . ∵N 为BC 的中点，∴NC ＝12BC ＝a .在Rt △DNC 中，ND ＝NC 2＋CD 2＝a 2＋（2a ）2＝5a .又∵NE ＝ND ，∴CE ＝NE －NC ＝(5－1)a ， ∴CE CD ＝()5－1a2a ＝5－12， ∴矩形DCEF 为黄金矩形． 13．解：(1)如图所示．(2)△BCD 是黄金三角形．证明如下：∵点D 在AB 的垂直平分线上， ∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝36°.∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝72°， ∴∠ABD ＝∠DBC ＝36°.又∵∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝72°， ∴∠BDC ＝∠C ，∴BD ＝BC ， ∴△BCD 是黄金三角形．(3)设BC ＝x ，AC ＝y ，由(2)知，AD ＝BD ＝BC ＝x . ∵∠DBC ＝∠A ，∠C ＝∠C ， ∴△BDC ∽△ABC ， ∴BC AC ＝DC BC ，即x y ＝y －x x，整理，得x 2＋xy －y 2＝0，解得x ＝－1±52y .∵x ，y 均为正数，∴k ＝xy ＝5－12.14．解：(1)对．理由如下：设△ABC 的边AB 上的高为h .11 / 11 则S △ADC ＝12AD ·h ，S △BDC ＝12BD ·h ，S △ABC ＝12AB ·h ， ∴S △ADC S △ABC ＝AD AB ，S △BDC S △ADC ＝BD AD. 又∵点D 为边AB 的黄金分割点，∴AD AB ＝BD AD， ∴S △ADC S △ABC ＝S △BDC S △ADC ， ∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(2)∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴S 1＝S 2＝12S ，即S 1S ≠S 2S 1，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．(3)∵DF ∥CE ，∴△DFC 和△DFE 的公共边DF 上的高也相等，∴S △DFC ＝S △DFE ，∴S △ADC ＝S △ADF ＋S △DFC ＝S △ADF ＋S △DFE ＝S △AEF ，S △BDC ＝S 四边形BEFC .又∵S △ADC S △ABC ＝S △BDC S △ADC， ∴S △AEF S △ABC ＝S 四边形BEFC S △AEF，因此，直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．(4)画法不唯一，现提供两种画法；画法一：如图①，取EF 的中点G ，过点G 作一条直线分别交AB ，DC 于M ，N 两点，则直线MN 就是▱ABCD 的黄金分割线；画法二：如图②，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM ∥EN 交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是▱ABCD 的黄金分割线．。

九年级数学上册相似三角形比例线段黄金分割同步练习新版浙教版

第3课时黄金分割一、选择题1．已知线段a ，b ，c ，其中c 是a 和b 的比例中项，a ＝4，b ＝9，则c 等于( ) A ．4 B ．6 C ．9 D ．362．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( )A ． cmB ． cmC ． cmD ． cm3．若b 是a 和c 的比例中项，c 是b 和d 的比例中项，则下列各式中不一定成立的是( )＝b c ＝b c＝c d ＝c d4．美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近时越给人一种美感．已知某女士身高160 cm ，下半身长与身高的比值是，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为( )A ．6 cmB ．10 cmC ．4 cmD ．8 cm5．已知C 是线段AB 上的一个点(AC ＞BC )，有以下命题：①若AC AB ＝BC AC ，则C 是线段AB 的黄金分割点；②若AC AB ＝5－12，则C 是线段AB 的黄金分割点； ③若BC AC＝5－12，则C 是线段AB 的黄金分割点； ④若AC 2＝BC ·AB ，则C 是线段AB 的黄金分割点. 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知P ，Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10，则PQ 的长为( ) A ．5( 5－1) B ．5( 5＋1) C ．10( 5－2) D ．5(3－5)7．宽与长的比是5－12(约的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图K －29－1②，作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连结EF ；如图③，以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是( )图K －29－1A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH 二、填空题8．(1)实数2和18的比例中项是________；(2)已知线段a ＝5 cm ，b ＝15 cm ，则a 与b 的比例中项是________；(3)已知数3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是________(只需填写一个数)．9．已知C 为线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则BC AB ＝________，BC AC＝________.10．据有关试验测定，当气温处于人体正常体温(37 ℃)的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为________℃(精确到1 ℃).链接学习手册例2归纳总结11．如图K －29－2所示，已知P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB .若S 1是以PA 为边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1________S2(填“＞”“＝”或“＜”)．图K－29－2三、解答题12．如图K－29－3，扇子的圆心角为x°，余下的扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形较美观．若取黄金比为，求x的值(精确到1°)．图K－29－313．我们定义：顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边与腰的比值为黄金分割比)．如图K－29－4，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形．已知AB＝1，求DE的长．图K－29－414．以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取一点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图K －29－5所示．(1)求AM ，DM 的长；(2)求证：M 是线段AD 的黄金分割点．图K －29－515思维拓展如图K －29－6①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BCAC，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．(1)研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边的黄金分割点(如图②)，则直线CD 是△ABC 的黄金分割线．你认为对吗为什么(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF∥CE，交AC于点F，连结EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．图K－29－61．[答案]B2．[解析] A 设这本书的宽为x cm ，则x20≈，解得x≈，故选A.3．[答案]B4．[解析] D 先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．根据已知条件得下半身长是160×＝96(cm)．设需要穿的高跟鞋的高度是y cm ，则根据黄金分割的定义，得y ＋96160＋y ≈.解得y≈8.故选D. 5．[答案]D6．[解析] C 由黄金分割的意义可得PQ ＝10×⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－12－（1－5－12）＝10( 5－2)．7．[解析] D 设正方形的边长为2，则CD ＝2，CF ＝1. 在Rt △DCF 中，DF ＝12＋22＝5， ∴FG ＝5，∴CG ＝5－1， ∴CG CD ＝5－12， ∴矩形DCGH 为黄金矩形．故选D.8．[答案] (1)±6 (2)5 3cm (3)32，12或±3 2(写出一个即可) [解析] (3)设这个数为x ，则3，6或x 都可能是比例中项，因此本题应分三种情况讨论．设这个数为x ，则32＝6x 或62＝3x 或x 2＝3×6，解得x ＝32或x ＝12或x ＝±3 2.9．[答案]3－525－12[解析] 因为C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，所以AC AB ＝5－12.又因为BC ＝AB －AC ，所以BC AB ＝AB －AC AB ＝1－AC AB ＝1－5－12＝3－52.由黄金分割可知BC AC ＝AC AB ＝5－12.10．[答案] 23[解析] 用近似的黄金比值直接与37相乘即可． 11．答案] ＝[解析] 根据黄金分割的定义得到PA 2＝PB·AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S 1＝PA 2，S 2＝PB·AB，即可得到S 1＝S 2.∵P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ， ∴PA 2＝PB·AB.又∵S 1是以PA 为边的正方形的面积，S 2表示长是AB ，宽是PB 的矩形的面积， ∴S 1＝PA 2，S 2＝PB·AB，∴S 1＝S 2.12．解：∵x 与y 的比通常按黄金比来设计， ∴x ∶y ≈，∴y ≈53x.又∵x＋y ＝360，∴x ＋53x≈360，解得x≈135.13．解：∵△ABC，△BDC ，△DEC 都是黄金三角形，AB ＝1，∴AB ＝AC ，AD ＝BD ＝BC ，DE ＝BE ＝CD.设DE ＝x ，则CD ＝BE ＝x ，AD ＝BC ＝1－x.∵EC DE ＝BCAB ，EC ＝BC －BE ＝1－x －x ＝1－2x ，∴1－2x x ＝1－x1，解得x ＝3－52(x ＝3＋52>1舍去)，∴DE 的长为3－52.14．解：(1)∵正方形ABCD 的边长为2，P 是AB 的中点， ∴AB ＝AD ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°， ∴PD ＝AP 2＋AD 2＝5，∴在正方形AMEF 中，AM ＝AF ＝5－1，DM ＝AD －AM ＝3－ 5. (2)证明：由(1)，得AD·DM＝2(3－5)＝6－2 5. 又∵AM 2＝(5－1)2＝6－2 5. ∴AM 2＝AD·DM，即M 是线段AD 的黄金分割点． 15解：(1)对．理由如下：设△ABC 中边AB 上的高为h.则S △ADC ＝12AD·h，S △BDC ＝12BD·h，S △ABC ＝12AB·h，∴S △ADC S △ABC ＝AD AB ，S △BDC S △ADC ＝BD AD. 又∵点D 为AB 边的黄金分割点， ∴AD AB ＝BD AD ， ∴S △ADC S △ABC ＝S △BDCS △ADC，∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(2)∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时S 1＝S 2＝12S ，即S 1S ≠S 2S 1，∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线． (3)∵DF∥CE，∴△DEC 和△FCE 的公共边CE 上的高相等，∴S △DEC ＝S △FCE .设直线EF 与CD 交于点G ， ∴S △DGE ＝S △FGC ，∴S △ADC ＝S 四边形AFGD ＋S △FGC ＝S 四边形AFGD ＋S △DGE ＝S △AEF ，S △BDC ＝S 四边形BEFC . 又∵S △ADC S △ABC ＝S △BDC S △ADC ，∴S △AEF S △ABC ＝S 四边形BEFCS △AEF ，∴直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．。

八年级数学线段的比、黄金分割及相似多边形(相似图形)基础练习(含答案)

八年级数学线段的比、黄金分割及相似多边形（相似图形）基础练习试卷简介:这套试卷通过5道选择题考察了学生比例的基本性质，相似多边形的判定，相似三角形的性质，涵盖面较广，题目易错点较高。

学习建议:对于比例的基本性质，牢记设k法，对于相似多边形需要记牢相似多边形的定义要满足两个条件；对于相似三角形的性质需要找准对应边，对应角才能应用。

一、单选题(共5道，每道20分)1.如果，则的值为（）A.B.C.D.答案：D解题思路：易错点：不会整体代入，不会应用合比性质试题难度：二颗星知识点：比例的性质2.如果，则的值为（）A.B.0C.1D.-1答案：A解题思路：，易错点：对于等比性质的变形应用不理解，不能转化试题难度：三颗星知识点：比例的性质3.下列说法中正确的是：所有的（）都相似.A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形答案：C解题思路：相似多边形要求对应角相等，对应边成比例同时满足，所以只有正方形满足易错点：对于相似多边形的定义不明确试题难度：二颗星知识点：相似图形4.△ABC∽△A’B’C’，其中∠B=60°，∠C’=70°，则∠A=（）A.60°B.70°C.50°D.不确定答案：C解题思路：相似三角形对应角相等，∠C’=∠C=70°，所以∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-70°=50°易错点：没有掌握相似三角形的性质，对应角相等.试题难度：二颗星知识点：相似三角形的性质5.下列说法中正确的是（）（1）相似三角形一定全等（2）不相似的三角形一定不全等（3）全等的三角形不一定是相似三角形（4）全等的三角形一定是相似三角形A.（1）（2）B.（2）（3）C.（2）（4）D.（3）（4）答案：C解题思路：当相似图形中相似比为1时，此时图形全等，所以全等是相似的特例.相似的三角形不一定全等，不相似的三角形一定不全等，全等三角形一定是相似三角形，所以选（2）（4）易错点：对于全等和相似分不清定义、性质、判定试题难度：三颗星知识点：相似图形。

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