六年级奥数 几何;第3讲;直线型面积_三_;学生版

9
例题 9
(第 21 届迎春杯试题)如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4 ，F 是 BC 边的中点，E 是 DC 边上的点，且 DE : EC = 1: 3 ， AF 与 BE 相交于点 G ，求 S△ABG
A
B
G F
D E
C
1
已知长方形 ABCD 的面积为 70 厘米， E 是 AD 的中点， F 、 G 是 BC 边上的三等
则 S△ADE : S四边形DEGF : S四边形FGCB =
．
A
D F M P
E G N Q
B
C
3
例题 3
已知正方形 ABCD ，过 C 的直线分别交 AB 、 AD 的延长线于点 E 、 F ，且
A
B
E
D
C
4
例题 4
F
如图，三角形 ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC = 120 毫米，高 AD = 80 毫米， 要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB 、 AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
D M N
B
EF
C
2
如图，三角形 ABC 的面积是1， BD = DE = EC ， CF = FG = GA ，三角形 ABC 被
例题 22 分成 9 部分，请写出这 9 部分的面积各是多少?
A
G
F
B
D
E
C
【巩固】 如图， ΔABC 的面积为 1，点 D 、 E 是 BC 边的三等分点，点 F 、 G 是 AC 边的三等分点，那么四 边形 JKIH 的面积是多少？ C
F
D
J
G
E
KI H
A
B
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2
如图，面积为 l 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的三
例题 23 等分点,求阴影部分面积.
A
D E
I H
B
F
G
C
2
如图，面积为 l 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的三
A
D
E
B
C
2
练习 2
如图，O 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为 3 和 4 ，那 么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？
D
A
4 O E3
C
F
B
3
练习 3
如图，三角形 PDM 的面积是 8 平方厘米，长方形 ABCD 的长是 6 厘米，宽是 4
厘米， M 是 BC 的中点，则三角形 APD 的面积是
的比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习．（左边是金字塔模型，右边是沙漏模型） A EG D
AD AE DE AG
== =
A
AB AC BC AF
D
G
E
B
FC
B
相似三角形面积之比等于对应边长之比的平方： SΔABC = AB2 . SΔADE AD2
F
C
在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化．
例题 24 等分点,求中心六边形面积.
A
D E
I H
B
F
G
C
2
已知四边形 ABCD ，CHFG 为正方形，S甲 : S乙 = 1: 8 ，a 与 b 是两个正方形的边长， 求a:b =?
例题 25
A
B
a
甲
D
C
G
O
乙
E
H
b
F
（2009 年清华附中入学测试题）如图，四边形 ABCD 是矩形，E 、F 分别是 AB 、
AF = 2FC ，那么 ΔABC 的面积是阴影三角形面积的
倍．
A
D
G
F
H
I
B
E
CFra Baidu bibliotek
2
如图，三角形 ABC 被分成 6 个三角形，已知其中 4 个三角形的面积，问三角形 ABC
例题 20 的面积是多少?
A
F B
84
O
E
35
40 30
D
C
【巩固】 (101 中入学考题)一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪．一看到小灵通，王师傅热 情地打招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、 北四部分(如图).修剪西部、东部、南部各需 10 分钟、16 分钟、20 分钟，请你想一想修剪北部需要 多少分钟？”
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A
D xy
E
10 20 F
16
B
C
2
如右图， △ABC 中， G 是 AC 的中点， D 、 E 、 F 是 BC 边上的四等分点， AD
例题 21 与 BG 交于 M ， AF 与 BG 交于 N ，已知 △ABM 的面积比四边形 FCGN 的面积
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A
E
F
B
D
C
【巩固】 如图，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米， EC = 2DE ， F 是 DG 的中点．阴影部分的面积是多少 平方厘米?
A
D
F
E
B
G
C
1
例题 16
ABCD 是边长为12 厘米的正方形， E 、 F 分别是 AB 、 BC 边的中点， AF 与 CE 交于 G ，则四边形 AGCD 的面积是_________平方厘米．
板块二、燕尾模型
DE
FC
R
S
Q
P
AM
NB
1
如右图，三角形 ABC 中， BD : DC = 4 : 9 ， CE : EA = 4 : 3 ，求 AF : FB ．
例题 14
A
FO
E
B
D
C
【巩固】 如图， BD : DC = 2 : 3 , AE : CE = 5 : 3 ,则 AF : BF =
二、燕尾定理：
在三角形 ABC 中， AD ， BE ， CF 相交于同一点 O ，那么 SΔABO : SΔACO = BD : DC ．具体关系如下： A
D
F
G
S ΔABG :S ΔAGC =S ΔBGE :S ΔCGE =BE:EC S ΔAGB :S ΔCGB =S ΔAGF :S ΔCGF =AF:FC S ΔAGC :S ΔBGC =S ΔAGD :S ΔBGD =AD:DB
例题 18
A F
D
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B
EC
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【巩固】 在 ΔABC 中， BD : DC = 3 : 2 ， AE : EC = 3 :1，求 OB : OE = ？ A
O
E
B
D
C
(2008 年 “ 学 而 思 杯 ” 六 年 级 数 学 试 题 ) 如 右 图 ， 三 角 形 ABC 中 ，
大 7.2 平方厘米，则 △ABC 的面积是多少平方厘米？
A
NG M
B DE F C
【巩固】 （2007 年四中分班考试题)如图， ΔABC 中，点 D 是边 AC 的中点，点 E 、 F 是边 BC 的三等分点， 若 ΔABC 的面积为 1，那么四边形 CDMF 的面积是_________． A
A
E
D
G O H
F
B
C
1
( 2008 年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛(队际赛))如图， ABCD 为正方
例题 13 形，AM = NB = DE = FC = 1 cm 且 MN = 2 cm ，请问四边形 PQRS 的面积为多少？
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D
C
F G
A
E
B
1
如图，正方形 ABCD 的面积是120 平方厘米， E 是 AB 的中点， F 是 BC 的中点，
例题 17 四边形 BGHF 的面积是_____平方厘米．
A
D
E
G
H
B
F
C
1
如图所示，在 △ABC 中，BE : EC = 3 :1 ，D 是 AE 的中点，那么 AF : FC =
．
第三讲 直线型面积（三）
1. 相似模型的熟练运用； 2. 燕尾定理模型的熟练运用.
一、相似三角形性质(平行线分线段成比例)
相交线段 AD 和 AE 被平行线段 BC 和 DE 所截，得到的三角形 ABC 和 ADE 形状完全相似．所谓“形状
完全相似”的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例．这种关系称为“相似”，相似三角形对应边
A
F B
G D
E C
1
(2009 年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形 ABC 的面积是1，E 是 AC
例题 15
的中点，点 D 在 BC 上，且 BD : DC = 1: 2 ，AD 与 BE 交于点 F ．则四边形 DFEC
的面积等于
．
A
E
F
B
D
C
【巩固】 如图，三角形 ABC 的面积是 200 cm2 ，E 在 AC 上，点 D 在 BC 上，且 AE : EC = 3 : 5 , BD : DC = 2 : 3 ，
2
BC 上的点，且 AE = 1 AB ， CF = 1 BC ， AF 与 CE 相交于 G ，若矩形 ABCD 的
例题 26
3
4
面积为120 ，则 ΔAEG 与 ΔCGF 的面积之和为
．
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A
D
E G
B
FC
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练习 1
已 知 △ABC 中 ， DE 平 行 BC ， 若 AD : DB = 2 : 3 ， 且 S梯形DBCE 比 S△ADE 大 8.5 cm2 ，求 S△ABC ．
D
C
F
A
B
E
【巩固】 如图， DE 平行 BC ，若 AD : DB = 2 : 3 ，那么 S△ADE : S△ECB = ________．
A
D
E
B
C
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例题 2
如图， △ABC 中， DE ， FG ， BC 互相平行， AD = DF = FB ，
B G H FC
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例题 5
在图中的正方形中， A ， B ， C 分别是所在边的中点， +CDO 的面积是 +ABO 面 积的几倍？
C
B O
A
D
6
例题 6
图中 ABCD 是边长为12cm 的正方形，从 G 到正方形顶点 C 、D 连成一个三角形， 已知这个三角形在 AB 上截得的 EF 长度为 4cm ，那么三角形 GDC 的面积是多 少？
G
A
E
FB
D
C
7
例题 7
如图，将一个边长为 2 的正方形两边长分别延长1和 3 ，割出图中的阴影部分，求 阴影部分的面积是多少？
8
例题 8
如右图，长方形 ABCD 中， EF = 16 ， FG = 9 ，求 AG 的长．
D
A
G F
E C
B
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A
P
N
B
H DG C
【巩固】 如图，在 △ABC 中，有长方形 DEFG ，G 、F 在 BC 上，D 、E 分别在 AB 、AC 上，AH 是 △ABC 边 BC 的高，交 DE 于 M ， DG : DE = 1: 2 ， BC = 12 厘米， AH = 8 厘米，求长方形的长和宽． A
D
ME
AD 与 BE 交于点 F ．则四边形 DFEC 的面积等于
．
A
E
F
B
D
C
【巩固】 如图，E 在 AC 上，D 在 BC 上，且 AE : EC = 2 : 3 , BD : DC = 1: 2 ，AD 与 BE 交于点 F ．四边形 DFEC
的面积等于 22 cm2 ，则三角形 ABC 的面积
．
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平方厘米．
A
D
4
练习 4
P
B
M
C
如图，已知 BD = 3DC ，EC = 2AE ，BE 与 CD 相交于点 O ,则 △ABC 被分成的 4 部 分面积各占 △ABC 面积的几分之几？
例题 10 分点，求阴影 △EHO 的面积是多少厘米？
A
E
D
H
O
B
FG
C
已知三角形 ABC 的面积为 a ， AF : FC = 2 :1， E 是 BD 的中点，且 EF ∥ BC ，交
1
CD 于 G ，求阴影部分的面积．
例题 11
A
D
E
F
G
B
C
1
例题 12
如图，长方形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，AF 与 BE 、BD 分别交于 G 、H ，OE 垂直 AD 于 E ，交 AF 于 O ，已知 AH = 5 cm ， HF = 3 cm ，求 AG ．
1
AF : FB = BD : DC = CE : AE = 3 : 2 ，且三角形 ABC 的面积是1，则三角形 ABE 的
例题 19 面积为______，三角形 AGE 的面积为________，三角形 GHI 的面积为______．
A
E FG
HI
B
D
C
【巩固】 (2009 年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图， ΔABC 中 BD = 2DA ， CE = 2EB ，
B
E
C

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 ΔABO 和 ΔACO 的形状很象燕子的尾巴，所
以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用．
模块一：相似模型
1
例题 1
如图，已知在平行四边形 ABCD 中， AB = 16 ， AD = 10 ， BE = 4 ，那么 FC 的长 度是多少？