中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习含答案
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∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，
二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，
当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴A（5，0）．
由图象，得
当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；
（3）如图2，
∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，
（3）设直线MN的解析式为y=kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可．
试题解析：（1）∵C（0，3），∴﹣9a=3，解得：a= ．
令y=0得： ，∵a≠0，∴ ，解得：x=﹣ 或x= ，∴点A的坐标为（﹣ ，0），B（ ，0），∴抛物线的对称轴为x= ．
3．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．
（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．
（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（ ，y1），D（ ，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．
【解析】
【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；
A（5，0），B（0，5）得
直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
联立EF，AB得方程组 ，
解得 ，
∴点E（ ， ），F（0，1）．
点M在△AOB内，
1＜4b+1＜ ，
∴0＜b＜ ．
当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣ ＝ ﹣b，∴b＝ ，
且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，
综上：①当0＜b＜ 时，y1＞y2，
当AD=DP时，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去），∴点P的坐标为（ ，0）．
当AP=DP时，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4，∴点P的坐标为（ ，﹣4）．
综上所述，点P的坐标为（ ，0）或（ ，﹣4）．
（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得： ，解得：m= ，∴直线AC的解析式为 ．
（3）证明：当直线l绕点D旋转时， 均为定值，并求出该定值．
【答案】（1）a= ，A（﹣ ，0），抛物线的对称轴为x= ；（2）点P的坐标为（ ，0）或（ ，﹣4）；（3） ．
【解析】
试题分析：（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；
整理，得 ．解得 ， （舍去）；
②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时，
NH=CQ= ，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，
NQ2＝CQ2，得： ．
整理，得 ． ．所以 ， （舍去）．
“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.
将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：
，
解得Βιβλιοθήκη Baidu ，
所以二次函数的解析式为：y x2﹣3；
（3）存在，分以下两种情况：
①若M在B上方，设MC交x轴于点D，
则∠ODC＝45°+15°＝60°，
∴OD＝OC•tan30° ，
设DC为y＝kx﹣3，代入（ ，0），可得：k ，
联立两个方程可得： ，
②当b＝ 时，y1＝y2，
③当 ＜b＜ 时，y1＜y2．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．
【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）①当0＜b＜ 时，y1＞y2，②当b＝ 时，y1＝y2，③当 ＜b＜ 时，y1＜y2．
【解析】
【分析】
（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；
（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】
（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，
∴M的坐标是（b，4b+1），
把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，
∴点M在直线y＝4x+1上；
（2）如图1，
直线y＝mx+5交y轴于点B，
∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，
解得 ， ，
∴点 的坐标是 ，
则 ；
假设存在这样的点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ．
设 ，则 ，
设直线 的解析式为 ，
∵直线 过点 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∴点 的坐标为 ，
则 ，
∴
，
∴当 时， 有最大值 ，
此时点 的坐标是 ．
【点睛】
本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF最大进行理解.
6．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到 ，解得t值；②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ= ，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2＝CQ2，得： ，解得t值．
解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4），
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？
（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？
【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3） 或 ．
(3)假设存在这样的点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，线段PF的长度即为两函数值之差，将 的面积计算拆分为 即可.
【详解】
设此函数的解析式为 ，
∵函数图象顶点为 ，
∴ ，
又∵函数图象经过点 ，
∴
解得 ，
∴此函数的解析式为 ，即 ；
∵点 是函数 的图象与 轴的交点，
∴点 的坐标是 ，
又当 时，有 ，
2．如图所示，抛物线 的顶点为 ，与 轴交于 、 两点，且 ，与 轴交于点 ．
求抛物线的函数解析式；
求 的面积；
能否在抛物线第三象限的图象上找到一点 ，使 的面积最大？若能，请求出点 的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】 ； ； 点 的坐标是 ．
【解析】
【分析】
(1)设顶点式并代入已知点 即可；
(2)令y=0，求出A、B和C点坐标，运用三角形面积公式计算即可；
∵抛物线的顶点为A，
设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，
代入点C（3, 0），可得a＝－1．
∴y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．
（2）∵P（ ，４），
将 代入抛物线的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝ ，
∴M（ ， ），
设直线AC的解析式为 ，
将A（１,４），C（３,０）代入 ，得： ，
（2）∵OA= ，OC=3，∴tan∠CAO= ，∴∠CAO=60°．
∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAO=30°，∴DO= AO=1，∴点D的坐标为（0，1）．
设点P的坐标为（ ，a）．
依据两点间的距离公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．
当AD=PA时，4=12+a2，方程无解．
（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO=60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO=30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（ ，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可；
将 代入得 ，
∴N（ ， ），
∴MN ，
∴ ，
∴当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1．
（3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时，
∵Ｎ（ ， ），P（ ，４），
∴PＮ＝４—（ ）＝ ＝CQ，
又∵PN∥CQ，
∴四边形PNCQ为平行四边形，
∴当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，
PQ2＝PD2+DQ2＝ ，
∴ ，
4．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线 与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．
（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知顶点为 的抛物线 与 轴交于 ， 两点，直线 过顶点 和点 ．
（1）求 的值；
（2）求函数 的解析式；
（3）抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）﹣3；（2）y x2﹣3；（3）M的坐标为（3 ，6）或（ ，﹣2）．
设直线MN的解析式为y=kx+1．
把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x= ，∴点N的坐标为（ ，0），∴AN= = ．
将 与y=kx+1联立解得：x= ，∴点M的横坐标为 ．
过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG= ．
∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，∴AM=2AG= = ，∴ = = = = ．
【解析】
【分析】
（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；
（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；
（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．
【详解】
（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：
m＝﹣3；
（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：
x＝3，
所以点B的坐标为（3，0），
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．
①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC的距离的最大值为 ，此时点P的坐标为（ ， ）．
【解析】
（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，把点C的坐标代入即可求得a的值；
（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；
点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M的坐标和点N的坐标是解答问题（3）的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3, 4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，以每秒 个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．
解得： ，
所以M1（3 ，6）；
②若M在B下方，设MC交x轴于点E，
则∠OEC＝45°-15°＝30°，
∴OE＝OC•tan60°＝3 ，
设EC为y＝kx﹣3，代入（3 ，0）可得：k ，
联立两个方程可得： ，
解得： ，
所以M2（ ，﹣2）．
综上所述M的坐标为（3 ，6）或（ ，﹣2）．
【点睛】
此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．
二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，
当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴A（5，0）．
由图象，得
当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；
（3）如图2，
∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，
（3）设直线MN的解析式为y=kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可．
试题解析：（1）∵C（0，3），∴﹣9a=3，解得：a= ．
令y=0得： ，∵a≠0，∴ ，解得：x=﹣ 或x= ，∴点A的坐标为（﹣ ，0），B（ ，0），∴抛物线的对称轴为x= ．
3．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．
（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．
（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（ ，y1），D（ ，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．
【解析】
【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；
A（5，0），B（0，5）得
直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
联立EF，AB得方程组 ，
解得 ，
∴点E（ ， ），F（0，1）．
点M在△AOB内，
1＜4b+1＜ ，
∴0＜b＜ ．
当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣ ＝ ﹣b，∴b＝ ，
且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，
综上：①当0＜b＜ 时，y1＞y2，
当AD=DP时，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去），∴点P的坐标为（ ，0）．
当AP=DP时，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4，∴点P的坐标为（ ，﹣4）．
综上所述，点P的坐标为（ ，0）或（ ，﹣4）．
（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得： ，解得：m= ，∴直线AC的解析式为 ．
（3）证明：当直线l绕点D旋转时， 均为定值，并求出该定值．
【答案】（1）a= ，A（﹣ ，0），抛物线的对称轴为x= ；（2）点P的坐标为（ ，0）或（ ，﹣4）；（3） ．
【解析】
试题分析：（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；
整理，得 ．解得 ， （舍去）；
②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时，
NH=CQ= ，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，
NQ2＝CQ2，得： ．
整理，得 ． ．所以 ， （舍去）．
“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.
将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：
，
解得Βιβλιοθήκη Baidu ，
所以二次函数的解析式为：y x2﹣3；
（3）存在，分以下两种情况：
①若M在B上方，设MC交x轴于点D，
则∠ODC＝45°+15°＝60°，
∴OD＝OC•tan30° ，
设DC为y＝kx﹣3，代入（ ，0），可得：k ，
联立两个方程可得： ，
②当b＝ 时，y1＝y2，
③当 ＜b＜ 时，y1＜y2．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．
【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）①当0＜b＜ 时，y1＞y2，②当b＝ 时，y1＝y2，③当 ＜b＜ 时，y1＜y2．
【解析】
【分析】
（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；
（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】
（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，
∴M的坐标是（b，4b+1），
把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，
∴点M在直线y＝4x+1上；
（2）如图1，
直线y＝mx+5交y轴于点B，
∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，
解得 ， ，
∴点 的坐标是 ，
则 ；
假设存在这样的点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ．
设 ，则 ，
设直线 的解析式为 ，
∵直线 过点 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∴点 的坐标为 ，
则 ，
∴
，
∴当 时， 有最大值 ，
此时点 的坐标是 ．
【点睛】
本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF最大进行理解.
6．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到 ，解得t值；②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ= ，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2＝CQ2，得： ，解得t值．
解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4），
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？
（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？
【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3） 或 ．
(3)假设存在这样的点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，线段PF的长度即为两函数值之差，将 的面积计算拆分为 即可.
【详解】
设此函数的解析式为 ，
∵函数图象顶点为 ，
∴ ，
又∵函数图象经过点 ，
∴
解得 ，
∴此函数的解析式为 ，即 ；
∵点 是函数 的图象与 轴的交点，
∴点 的坐标是 ，
又当 时，有 ，
2．如图所示，抛物线 的顶点为 ，与 轴交于 、 两点，且 ，与 轴交于点 ．
求抛物线的函数解析式；
求 的面积；
能否在抛物线第三象限的图象上找到一点 ，使 的面积最大？若能，请求出点 的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】 ； ； 点 的坐标是 ．
【解析】
【分析】
(1)设顶点式并代入已知点 即可；
(2)令y=0，求出A、B和C点坐标，运用三角形面积公式计算即可；
∵抛物线的顶点为A，
设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，
代入点C（3, 0），可得a＝－1．
∴y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．
（2）∵P（ ，４），
将 代入抛物线的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝ ，
∴M（ ， ），
设直线AC的解析式为 ，
将A（１,４），C（３,０）代入 ，得： ，
（2）∵OA= ，OC=3，∴tan∠CAO= ，∴∠CAO=60°．
∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAO=30°，∴DO= AO=1，∴点D的坐标为（0，1）．
设点P的坐标为（ ，a）．
依据两点间的距离公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．
当AD=PA时，4=12+a2，方程无解．
（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO=60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO=30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（ ，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可；
将 代入得 ，
∴N（ ， ），
∴MN ，
∴ ，
∴当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1．
（3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时，
∵Ｎ（ ， ），P（ ，４），
∴PＮ＝４—（ ）＝ ＝CQ，
又∵PN∥CQ，
∴四边形PNCQ为平行四边形，
∴当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，
PQ2＝PD2+DQ2＝ ，
∴ ，
4．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线 与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．
（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知顶点为 的抛物线 与 轴交于 ， 两点，直线 过顶点 和点 ．
（1）求 的值；
（2）求函数 的解析式；
（3）抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）﹣3；（2）y x2﹣3；（3）M的坐标为（3 ，6）或（ ，﹣2）．
设直线MN的解析式为y=kx+1．
把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x= ，∴点N的坐标为（ ，0），∴AN= = ．
将 与y=kx+1联立解得：x= ，∴点M的横坐标为 ．
过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG= ．
∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，∴AM=2AG= = ，∴ = = = = ．
【解析】
【分析】
（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；
（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；
（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．
【详解】
（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：
m＝﹣3；
（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：
x＝3，
所以点B的坐标为（3，0），
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．
①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC的距离的最大值为 ，此时点P的坐标为（ ， ）．
【解析】
（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，把点C的坐标代入即可求得a的值；
（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；
点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M的坐标和点N的坐标是解答问题（3）的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3, 4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，以每秒 个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．
解得： ，
所以M1（3 ，6）；
②若M在B下方，设MC交x轴于点E，
则∠OEC＝45°-15°＝30°，
∴OE＝OC•tan60°＝3 ，
设EC为y＝kx﹣3，代入（3 ，0）可得：k ，
联立两个方程可得： ，
解得： ，
所以M2（ ，﹣2）．
综上所述M的坐标为（3 ，6）或（ ，﹣2）．
【点睛】
此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．