安徽省合肥168中学宏志班2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

安徽省合肥168中学宏志班2019-2020学年高一上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合A ={−1,1，3，5}，B ={0,1，3，4，6}，则A ∪B =( )

A. {1,3}

B. {1}

C. {−1,0，1，1，3，4，5，6}

D. {−1,0，1，3，4，5，6}

2. 函数f (x )=√x 2−4+1

x−3的定义域为( )

A. [2,+∞)∪(−∞,−2]

B. [2,3)∪(3,+∞)

C. [2,3)∪(3,+∞)∪(−∞,−2]

D. (−∞,−2]

3. sin600°=( )

A. 1

2

B. −1

2

C. √32

D. −√32

4. 已知a ⃗ =(4,3)，则a ⃗ 在b ⃗ =(1,0)上的投影为( )

A. −4

B. 4

C. 3

D. −3

5. 已知函数f(x)={

sin(π

2x)−1,x <0

log a x,x >0

(a >0,a ≠1)的图象上关于y 轴对称的点恰好有3对，则实数a 的取值范围是( )

A. (0,√5

5

)

B. (1

3,1)

C. (13,√5

5)

D. (√5

5

,1)

6. 如图是函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象，

则f(π)=( )

A. √22

B. −√22

C. 1

2

D. −1

2

7. 设α,β为锐角，且sinα=√55,cosβ=3√10

10

，则α+β的值为( )

A. 3π

4

B. 5π

4

C. π

4

D. π4或3π

4

8. 函数y =log 2(6−x −x 2)的单调递减区间为( )

A. (−∞,−1

2]

B. [−1

2,+∞)

C. (−3,−1

2]

D. [−1

2,2)

9. 已知偶函数f(x)在(−∞,0]上单调递减，则满足f(2x −1)

3)的x 取值范围是( )

A. (12,2

3)

B. [13,2

3)

C. (13,2

3)

D. [12,2

3)

10. 函数f(x)=|x −1|−1，x ∈[0,3]的值域是( )

A. [0,1]

B. [0,3]

C. [−1,0]

D. [−1,1]

11. 已知函数f(x)={2−x ,x ≤0

−lnx,x >0

若关于x 的方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同实数根，则m 的

取值范围是( )

A. m <1

4

B. m ≤−2

C. −2≤m <1

4

D. m >2

12. 在△ABC 中，AD ⊥BC ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知两个单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为120∘，则|2a ⃗ −b ⃗ |的值为______．

14. 已知向量a ⃗ =(sinx,−1),b ⃗ =(cosx,2)，若a ⃗ //b ⃗ ，则cosx−sinx

cosx+sinx =__________．

15. 已知扇形OAB 的圆心角α=120°，半径r =6，那么弧AB 的长为____．

16. 已知函数f(x)=−x 2+ax +b 2−b +1 (a ∈R, b ∈R)，对任意实数x 都有f(1−x)=f(1+x)

成立，若当x ∈[−1,1]时，f(x)>0恒成立，则b 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 设集合A ={1,2，3，…，10}，求集合A 的所有非空子集元素的和．

18. 已知|a ⃗ =|√3，|b ⃗ |=√5，|a ⃗ +b ⃗ |=3√2．

(1)求a ⃗ ⋅b ⃗ ；

(2)若(2a ⃗ −b ⃗ )⊥(a ⃗ +k b ⃗ )，求k 的值．

19.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内图象如图所示．

(1)试确定A，ω，φ的值．

(2)求y=√3与函数f(x)的交点坐标．

20.已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)为偶函数．

(1)求k的值；

)>0(a>0)．

(2)解关于x的不等式f(x)−log9(a+1

a

21. 如图，某小区准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，△

ABC 外的地方种草，其余地方种花，若BC =a,∠ABC =θ，设△ABC 的面积为S 1，正方形PQRS

的面积为S 2，将比值S 1

S 2

称为“规划合理度”．

(1)试用a,θ表示S 1和S 2；

(2)若a 为定值，当θ为何值时，“规划合理度”最小？并求出这个最小值．

22. 设f(x)=x 2−2x ，x ∈[t,t +1](t ∈R)，函数f(x)的最小值为g(t)

(1)求g(t)的解析式． (2)求函数g(t)的值域．