九年级数学专题复习代数综合问题

中考冲刺：代数综合问题

【中考展望】

初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．

【方法点拨】

(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；

(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；

(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；

(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．

* 审题(读题、断句、找关键)；

* 先宏观(题型、知识块、方法)；

后微观(具体条件，具体定理、公式)

* 由已知，想可知(联想知识)；

由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；

* 观察——挖掘题目结构特征；

联想——联系相关知识网络；

突破——抓往关键实现突破；

寻求——学会寻求解题思路．

(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．

【典型例题】

类型一、函数综合

例1．已知函数

2

y

x

和y＝kx+1(k≠0)．

(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；

(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?

【变式】如图，一元二次方程0322

=-+x x 的两根1x ，2x （1x ＜2x ）是抛物线)

0(2

≠++=a c bx ax y 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．

(1)求此二次函数的解析式；

(2)设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标； (3)在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．

类型二、函数与方程综合

例2．已知关于x 的二次函数22

12

m y x mx +=-+与22

22m y x mx +=--，这两个二次函数的图象中

的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．

(1)试判断哪个二次函数的图象经过A ，B 两点；

(2)若A 点坐标为(-1，0)，试求B 点坐标；

(3)在(2)的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小?

x

y

O

【变式】已知关于x 的一元二次方程mx 2+(3m +1)x +3=0． （1）求证该方程有两个实数根；

（2）如果抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与x 轴交于A 、B 两个整数点（点A 在点B 左侧），且m 为正整

数，求此抛物线的表达式；

（3）在（2）的条件下，抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与y 轴交于点C ，点B 关于y 轴的对称点为D ，设

此抛物线在－3≤x ≤1

2

之间的部分为图象G ，如果图象G 向右平移n （n ＞0）个单位长度后

与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．

类型三、以代数为主的综合题

例3．如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°得到线段OB．

(1)求点B的坐标；

(2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式；

(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

例4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2

10y ax

bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y 轴交于点

C ．

（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；

（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标;

（3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.

举一反三：

【变式】如图所示，抛物线2

3y ax bx =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，1tan 3

OCA ∠=

，6ABC S =△．

(1)求点B 的坐标；

(2)求抛物线的解析式及顶点坐标；

(3)若E 点在x 轴上，F 点在抛物线上，如果A ，C ，E ，F 构成平行四边形，直接写出点E 的坐标．

例5．已知函数y 1＝x ，y 2＝x 2

+bx+c ，α，β为方程120y y -=的两个根，点M(t ，T)在函数y 2的图象上．

(1)若13α=

，1

2

β=，求函数y 2的解析式； (2)在(1)的条件下，若函数y 1与y 2的图象的两个交点为A ，B ，当△ABM 的面积为

31

12

时，求t 的值； (3)若0＜α＜β＜1，当0＜t ＜l 时，试确定T ，α，β三者之间的大小关系，并说明理由．

【巩固练习】 一、选择题

1. 如图，已知在直角梯形AOBC 中，AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9，对角线OC 、AB 交于点D ，

点E 、F 、G 分别是CD 、BD 、BC 的中点，以O 为原点，直线OB 为x 轴建立平面直角坐标系，则G 、E 、D 、F 四个点中与点A 在同一反比例函数图象上的是 （ ）

A ．点G

B ．点E

C ．点

D D ．点F

2．已知函数y=()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--)

3(1

)5(31

)1(2

2x x x x ，若使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为 （ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3