九年级数学专题复习代数综合问题

中考冲刺：代数综合问题
【中考展望】
初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．
【方法点拨】
(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；
(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；
(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；
(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．
* 审题(读题、断句、找关键)；
* 先宏观(题型、知识块、方法)；
后微观(具体条件，具体定理、公式)
* 由已知，想可知(联想知识)；
由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；
* 观察——挖掘题目结构特征；
联想——联系相关知识网络；
突破——抓往关键实现突破；
寻求——学会寻求解题思路．
(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．
【典型例题】
类型一、函数综合
例1．已知函数
2
y
x
和y＝kx+1(k≠0)．
(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；
(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?
【变式】如图，一元二次方程0322
=-+x x 的两根1x ，2x （1x ＜2x ）是抛物线)
0(2
≠++=a c bx ax y 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标； (3)在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．
类型二、函数与方程综合
例2．已知关于x 的二次函数22
12
m y x mx +=-+与22
22m y x mx +=--，这两个二次函数的图象中
的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．
(1)试判断哪个二次函数的图象经过A ，B 两点；
(2)若A 点坐标为(-1，0)，试求B 点坐标；
(3)在(2)的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小?
x
y
O
【变式】已知关于x 的一元二次方程mx 2+(3m +1)x +3=0． （1）求证该方程有两个实数根；
（2）如果抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与x 轴交于A 、B 两个整数点（点A 在点B 左侧），且m 为正整
数，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与y 轴交于点C ，点B 关于y 轴的对称点为D ，设
此抛物线在－3≤x ≤1
2
之间的部分为图象G ，如果图象G 向右平移n （n ＞0）个单位长度后
与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．
类型三、以代数为主的综合题
例3．如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°得到线段OB．
(1)求点B的坐标；
(2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式；
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
例4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2
10y ax
bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y 轴交于点
C ．
（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；
（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标;
（3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.
举一反三：
【变式】如图所示，抛物线2
3y ax bx =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，1tan 3
OCA ∠=
，6ABC S =△．
(1)求点B 的坐标；
(2)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(3)若E 点在x 轴上，F 点在抛物线上，如果A ，C ，E ，F 构成平行四边形，直接写出点E 的坐标．
例5．已知函数y 1＝x ，y 2＝x 2
+bx+c ，α，β为方程120y y -=的两个根，点M(t ，T)在函数y 2的图象上．
(1)若13α=
，1
2
β=，求函数y 2的解析式； (2)在(1)的条件下，若函数y 1与y 2的图象的两个交点为A ，B ，当△ABM 的面积为
31
12
时，求t 的值； (3)若0＜α＜β＜1，当0＜t ＜l 时，试确定T ，α，β三者之间的大小关系，并说明理由．
【巩固练习】 一、选择题
1. 如图，已知在直角梯形AOBC 中，AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9，对角线OC 、AB 交于点D ，
点E 、F 、G 分别是CD 、BD 、BC 的中点，以O 为原点，直线OB 为x 轴建立平面直角坐标系，则G 、E 、D 、F 四个点中与点A 在同一反比例函数图象上的是 （ ）
A ．点G
B ．点E
C ．点
D D ．点F
2．已知函数y=()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--)
3(1
)5(31
)1(2
2x x x x ，若使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为 （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3.已知二次函数y=ax 2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＜0；②4ac ﹣b 2
=0；③a ＞2；④4a ﹣2b+c ＞0．其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
4．若a+b-21a --42b -=33c --
1
2
c-5，则a+b+c 的值为 .
5．已知关于x 的方程x 2
+（k-5）x+9=0在1＜x ＜2内有一实数根，则实数k 的取值范围是 ．
6.关于x 的方程，2kx 2
-2x-3k=0的两根一个大于1，一个小于1，则实数k 的的取值范围是 .
三、解答题
7．关于x 的一元二次方程x 2
+（2k+1）x+k 2
+1=0有两个不等实根x 1、x 2． （1）求实数k 的取值范围．
（2）若方程两实根x 1、x 2满足x 1+x 2=﹣x 1•x 2，求k 的值．
8. 已知关于x 的一元二次方程()0312
=-+--m x m x ．
（1）求证：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若直线()31+-=x m y 与函数m x y +=2
的图象1C 的一个交点的横坐标为2，求关于x 的一
元二次方程()0312
=-+--m x m x 的解．
（3）在（2）的条件下，将抛物线()312
-+--=m x m x y 绕原点旋转︒180，得到图象2C ，点P
为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别与图象1C 、2C 交于N M 、两点，当线段MN 的长度最小时，求点P 的坐标．
9. 抛物线2y ax bx c =++，a ＞0，c ＜0，2360a b c ++=．
（1）求证：
1
023
b a +>； （2）抛物线经过点1
(,)2
P m ，Q (1,)n ．
① 判断mn 的符号；
② 若抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 1(,0)x ，点B 2(,0)x （点A 在点B 左侧）， 请说明116x <
，21
12
x <<．
10. 已知：二次函数y=22
(2)x n m x m mn +-+-． （1）求证：此二次函数与x 轴有交点；
（2）若m-1=0,求证方程22
(2)0x n m x m mn +-+-=有一个实数根为1；
（3）在（2）的条件下，设方程22
(2)0x n m x m mn +-+-=的另一根为a,当x=2时，关于n 的函
数1y nx am =+与22
2(2)y x n m ax m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线L 与1y nx am =+、22
2(2)y x n m ax m mn =+-+-的图象分别交于点C 、D ，若
CD=6，求点C 、D 的坐标.。