简单复合函数求导法则
高中数学知识点精讲精析 简单复合函数的求导法则
5 简单复合函数的求导法则1． 设函数)(u f y =与函数)(x u ϕ=构成复合函数))((x f y φ=；如果 ① 函数)(x u ϕ=在点x 处可导；② 函数)(u f y =在对应点)(x u ϕ=可导；则复合函数))((x f y ϕ=在点x 处可导，且)()())((x u f x f x u x ϕ''='，即 x u x u y y ''='，或 . 证 设x 有增量0Δ≠x ，则相应地函数u = φ (x )有增量Δu ，从而函数y = f (u )有增量Δy ，由②及极限与无穷小的关系知 )(u f u 'α+∆∆=∆∆=→∆uy u y u 0lim （其中00→⇒→∆αu ）, 当0≠∆u 时有 uu u f y u ∆+∆'=∆α)(；(1)当0=∆u 时，规定α = 0，上式仍成立。
两边同除以x Δ，得 ⑵由于)(x u ϕ=点x 可导，必定在点x 连续，于是00)()(0→⇒→-∆+=∆⇒→∆αϕϕx x x u x ；再由①知，(2)式令0Δ→x 取极限，即得 x u x u u f xy x x x u x ∆∆⋅+∆∆'=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim )(lim α)()(x u f x u ϕ'⋅'=， 即x d u d u d y d x d y d ⋅=. xu x u u f x y u ∆∆α∆∆∆∆+'=)(xd u d u d y d x d y d ⋅=复合函数的求导法则也形象地称为链式法则——函数对自变量的导数=函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
它是微分运算技巧的重要基础。
1．2sin x y =，求xd y d . 【解析】设 2x u =，则u y sin =，所以 22cos 22)(cos )()(sin x x x u x u xd u d u d y d x d y d =⋅=''=⋅=. 注 熟练后不必写出中间变量了，但一定注意不能漏掉对中间变量的求导：. 2．x y tan ln =，求xd y d . 【解析】 x x x u x u xd u d u d y d x d y d tan sec sec 1)(tan )(ln 22=⋅=''=⋅=. 注 链式法则可以推广到有限多个函数：设函数)(,)(,)(x h v v g u u f y ===均可导，则有)()()(x h v g u f dx dv v d u d u d y d x d y d '⋅'⋅'=⋅⋅=. 3． )e cos(ln x y =，求y d . 【解析】 . 4．x y 1sin e =，求xd y d . 【解析】.5． μx y = ( x > 0 )，求y '.x x x x x x x e x d y d e tan e )()e sin ()e (cos 1)e (cos )e (cos 1-='⋅-='=2222cos 22cos )(cos x x x x x x x d y d =⋅='⋅=x x x x x x x x d y d x x x x 1cos e 1)1()1(cos e )1(1cos e )1(sin e 1sin 221sin 1sin 1sin ⋅-=-⋅⋅='⋅⋅='⋅=【解析】1ln ln ln )ln ()()(-=='='='='μμμμμμμμx x e x e e x y x x x .注 将幂函数转化为指数函数，和将幂指函数转化为指数的复合函数的方法是求极限和导数常用的方法。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式及运算法则是以下这些：1、链式法则：若$f\left( x \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)$,且$g\left( x \right)$关于$f\left( x \right)$的导数为$g'\left( f\left( x \right)\right)$,则$g\left( f\left( x \right) \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x\right)\times g'\left( f\left( x \right) \right)$。
2、乘法法则：若$y=f\left( x \right)\times g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)\times g\left( x \right)+f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)$。
3、除法法则：若$y=f\left( x \right)\div g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$\frac{f'\left( x \right)\times g\left( x \right)-f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)}{\left[ g\left( x \right) \right]^2}$。
4、指数函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则$y$关于$x$的导数为$a^x\cdot \ln\left( a \right)$。
5、指数函数反函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则其反函数$y=\ln _ax$的导数关于$x$的导数为$\frac{1}{a^x\cdot \ln\left( a \right)}$。
简单复合函数求导法则
简单复合函数求导法则根据链式法则，如果y是一个由u=g(x)和v=f(u)组成的复合函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du 是函数f对u的导数，du/dx 是函数g对x的导数。
下面我们将介绍一些常见的简单复合函数求导法则。
一、常数倍数法则如果 f(x) 是一个可导函数，而 c 是一个常数，则 cf(x) 的导数是c * f'(x)。
根据这个法则，我们可以推导出以下常见的函数求导法则。
二、和差法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和f(x)+g(x)的导数是f'(x)+g'(x)差f(x)-g(x)的导数是f'(x)-g'(x)。
三、乘积法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积f(x)g(x)的导数是f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
四、商法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，则它们的商f(x)/g(x)的导数是[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²。
如果f(u)是一个可导函数，而u=g(x)是一个可导的函数，则复合函数y=f(g(x))的导数是dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)。
这个法则是链式法则的核心，也是复合函数求导的关键。
对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 是一个正实数，则它的导数是f'(x) = (ln a) * a^x。
对于对数函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是一个正实数且a ≠ 1，则它的导数是 f'(x) = 1 / (x * ln a)。
这是一些常见的简单复合函数求导法则。
在实际应用中，我们经常会遇到更复杂的函数，需要根据特定函数的性质和结构来应用合适的求导法则。
掌握这些法则可以帮助我们更准确地计算各种复合函数的导数，并应用于相关问题的求解中。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则1.基本公式：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的复合函数为$h(x)=f(g(x))$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}} \cdot\frac{{dg}}{{dx}}$$或者可以写成简洁的形式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这个公式是复合函数导数的基本公式，也是后续运算法则的基础。
2.反函数法则：设有函数$y=f(x)$，如果$f(x)$的反函数存在且可导，那么反函数$f^{-1}(x)$的导数可以表示为：$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{{f'(f^{-1}(x))}}$$3.乘积法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的乘积为$h(x) = f(x) \cdot g(x)$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$这个公式可以直接应用于两个或多个函数的乘积的导数运算。
4.商法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的商为$h(x) =\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}}{{(g(x))^2}}$$这个公式可以用于计算两个函数的商的导数。
5.复合函数的高阶导数：复合函数的高阶导数是指对复合函数进行多次求导的结果。
根据基本公式，我们可以计算复合函数的高阶导数。
例如，对于三次导数，我们可以应用基本公式三次，得到如下的表达式：$$h''(x) = [f'(g(x)) \cdot g'(x)]' = f''(g(x)) \cdot(g'(x))^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$类似地，我们可以计算更高阶的导数。
简单复合函数的求导法则
y ′ = f ′(u )ϕ ′( x ) = f ′(u ) ⋅ cos x = cos xf ′(sin x )
练习
导数的加减法法则： ＊ 导数的加减法法则： ′ [ f ( x ) + g ( x)] = f ′( x ) + g ′( x)
[ f ( x ) − g ( x )]
′
= f ′( x ) − g ′( x )
导数的乘除法法则： ＊ 导数的乘除法法则：
[ f ( x ) g ( x )]
′
′
= f ′( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′( x )
动手做一做
1. 求下列函数的导数： 求下列函数; 2)
(1) y = (5x + 2)10 (2) y = e
1−cos x
′ = sin x ⋅ e1−cos x y
2 2. 求曲线 y = x − ( 2 x − 1) 在 x = 6 处的切线方程。 处的切线方程。
[(2 x − 1) ] = f ′(u )ϕ ′( x)
3
′
= 3u 2 ⋅ 2 = 6( 2 x − 1)2
总结
利用复合函数的求导法则来求导数时， 利用复合函数的求导法则来求导数时，选择中间 变量是复合函数求导的关键。必须正确分析复合函数 变量是复合函数求导的关键。必须正确分析复合函数 是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的 是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清 其间的复合关系。要善于把一部分量、式子暂时当作 其间的复合关系。要善于把一部分量、 一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量。 一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量。求导时 需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中 需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏， 特别要注意中间变量的系数，求导后， 特别要注意中间变量的系数，求导后，要把中间变量 转换成自变量的函数。 转换成自变量的函数。 概括
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。
3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。
4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。
5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。
下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。
例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。
解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。
简单的复合函数的求导法则
知识回顾 1、导数公式表
函数
y c(c是常数）
y x (为实数）
y cos x
x
y sin x
y x 1
导函数 y 0
y cos x
y sin x
x y e
Title ye y log a x(a 0, a 1)
y a x (a 0, a 1)
y a x ln a
y 1 x ln a
y ln x
y
1Leabharlann 2.导数的四则运算法则：设函数 f(x)、g(x) 是 x 的可导函数,则
1)[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x) 2)[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g ( x) f ( x) g '( x)
1 1 1 2 1. y x( x 2 ), 求y '；y ' 2 x 2 x x x x x 1 2. y x sin cos , 求y '；y ' 1 cos x 2 2 2
2
二、讲授新课： 1.复合函数的概念:
对于函数y f ( ( x)), 令u ( x), 若y f (u )是中间变量u的函数， u ( x)是自变量x的函数，则称
求下列函数的导数.
(1) y (2 x 1) ；
5
(2) y ln(5 x 1)； 1 (3) y ； 3x 1 (4) y cos(1 2 x)；
复习检测
一般地，设函数u ( x)在点x处有导数u ' '( x), x 函数y f (u )在点x对应u处有导数y ' f '(u ), 则复合 u 函数y f ( ( x))在点x处也有导数，且y ' y ' u '， x u x 或写作 f ( ( x)) ' f '(u ) '( x). x
高中数学简单复合函数的求导法则
2u , ux 3, 从而 yx y 则 yu u ux 18 x 12
练习:指出下列函数是怎样复合而成的. 1 3 （1） y sin (1 ) （2） y (1 sin 2 x)4 x （3） y cos ln( x 1)
2
（4） y ae
2 x2 1
例：求下列函数的导数 (1) y (2 x 3)2
yx ' yu ' ux ' (u 2 )'(2x 3)' 4u 8x 12
(2) y e
0.05 x 1
yx ' yu ' ux ' (eu ) '(0.05x 1) ' 0.05e 0.05e
二、导数运算法则
[ f ( x) g ( x)]' f ( x)' g ( x)' [ f ( x) g ( x)]' f ( x)' g ( x) f ( x) g ( x)' f ( x) f ( x)' g ( x) f ( x) g ( x)' [ ]' 2 g ( x) [ g ( x)]
§5 简单复合函数的求导法则
一、基本初等函数的求导公式
1.若y c(c是常数),则y / 0; 2.若y x (是实数),则y / x 1; 3.若y a x (a 0, a 1),则y / a x ln a 特别地(e x ) / e x ; 4.若y log x(a 0, a 1),则y /
想一的导数 把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导. 是否还有用其它的办法求导呢? 2).又如我们知道函数y=1/x2的导数是y’=- 2/x 3 那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
复合函数求导法则有哪些呢
复合函数求导法则有哪些呢复合函数的求导法则同学们清楚吗，如果不清楚，快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“复合函数求导法则有哪些呢”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数求导法则有哪些呢Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3拓展阅读：求导公式运算法则是什么运算法则是：加(减)法则，[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则，[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则，[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
导数也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念。
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
求导运算法则是：加(减)法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些复合函数的求导公式有哪些呢?想来绝大部分的人都不知道，为了满足大家的好奇心。
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复合函数求导公式有哪些链式法则(英文chain rule)是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数。
所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。
如设f(x)=3x，g(x)=3x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g′(f(x))=9。
要注意f(x)的自变量x与g(x)的自变量x之间并不等同。
链式法则(chain rule)若h(a)=f[g(x)]则h'(a)=f'[g(x)]g'(x)链式法则用文字描述，就是"由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里函数代入外函数的值之导数，乘以里边函数的导数。
"拓展阅读：复合函数的奇偶性复合函数中只要有偶函数则复合函数为偶函数，如一奇一偶为偶;若只有奇函数则复合函数为奇函数，无论奇数个还是偶数个，如两奇仍为奇。
1、f(x)*g(x)*h(x)这种相乘的复合函数。
奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。
奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。
2、f(g(h(x)))这种多层的复合函数。
函数中的有偶数，复合函数就是偶函数。
函数中的没有偶数，奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。
函数中的没有偶数，奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。
复合函数的单调性的判断方法复合函数单调性就2句话：2个函数(或多个)都递增或者都递减那么复合函数就是单调递增函数2个函数一个递增一个递减那么复合函数就是单调递减函数简单记法：负负得正,正在得正,负正得负。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式1.链式法则：链式法则是用于求解复合函数导数的基本法则。
设y=f(u)，u=g(x)为两个可导函数，且y=f(u)和u=g(x)均是一对一函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则求得。
链式法则的公式为：dy/dx=dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数y=f(u)对u的导数，du/dx表示函数u=g(x)对x的导数。
例如，设y=sin(x^2)，我们需要求解dy/dx。
首先，令u=x^2，y=sin(u)，则dy/du=cos(u)=cos(x^2)。
其次，求解du/dx=2x。
最后，根据链式法则，dy/dx=dy/du * du/dx = cos(x^2) * 2x = 2x*cos(x^2)。
2.乘积法则：乘积法则用于求解两个函数乘积的导数。
设y=u*v为两个可导函数的乘积，则乘积函数y=u*v的导数可以通过乘积法则求得。
乘积法则的公式为：dy/dx = u * dv/dx + v * du/dx例如，设y=x*sin(x)，我们需要求解dy/dx。
根据乘积法则，将u=x，v=sin(x)代入上述公式，dy/dx = x * cos(x) + sin(x)。
3.商规则：商规则用于求解两个函数的商的导数。
设y=u/v为两个可导函数的商，则商函数y=u/v的导数可以通过商规则求得。
商规则的公式为：dy/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2例如，设y=(x^2+1) / x，我们需要求解dy/dx。
根据商规则，将u=x^2+1，v=x代入上述公式，dy/dx = ((x) * (2x) - (x^2+1) * (1)) / (x^2)^2 = (x^2 - 1) / x^4小结：复合函数求导法则包括链式法则、乘积法则和商规则。
链式法则适用于求解复合函数的导数，乘积法则适用于求解两个函数乘积的导数，商规则适用于求解两个函数的商的导数。
复合函数求导公式16个
复合函数求导公式16个求导是微积分中的一个重要概念，是用来确定函数在其中一点的变化率的工具。
而复合函数则是由多个函数组合而成的新函数，其求导过程相对复杂一些。
下面将介绍16个常见的复合函数求导公式。
1.设有函数y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))。
对这个复合函数求导，可以使用链式法则。
链式法则给出了复合函数求导的一个基本公式：(dy/dx) = (dy/du) * (du/dx)这个公式表示，对于复合函数y=f(g(x))，其导数等于f'(g(x))*g'(x)。
2.平方函数的链式法则：设有函数y=f(u)=u^2，u=g(x)，则y=f(g(x))=g(x)^2、求导的结果为：(dy/dx) = 2 * g(x) * g'(x)3.倒数函数的链式法则：设有函数y=f(u)=1/u，u=g(x)，则y=f(g(x))=1/g(x)。
求导的结果为：(dy/dx) = -g'(x) / (g(x))^24.指数函数的链式法则：设有函数y=f(u)=e^u，u=g(x)，则y=f(g(x))=e^(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = g'(x) * e^(g(x))5. 对数函数的链式法则：设有函数y=f(u)=ln(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=ln(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = g'(x) / g(x)6. 正弦函数的链式法则：设有函数y=f(u)=sin(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=sin(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = g'(x) * cos(g(x))7. 余弦函数的链式法则：设有函数y=f(u)=cos(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=cos(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = -g'(x) * sin(g(x))8. 正切函数的链式法则：设有函数y=f(u)=tan(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=tan(g(x))。
复合函数求导法则
复合函数求导法则复合函数是由两个或多个函数构成的函数，形式为f(g(x))，其中g(x)是一个函数，f(u)是一个与u相关的函数。
在求复合函数的导数时，我们可以使用复合函数求导法则，该法则有三个部分：链式法则，反链式法则和迭代法则。
1.链式法则：链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个内层函数，f(u)是一个外层函数。
链式法则的公式如下：[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)例如，我们考虑函数f(u) = sin(u^2)，其中g(x) = x^2、我们先计算g'(x)，然后计算f'(u)，最后使用链式法则计算出f(g(x))的导数。
首先，计算g'(x)如下：g'(x)=2x接下来，计算f'(u)如下：f'(u) = cos(u^2) * 2u最后，使用链式法则计算f(g(x))的导数如下：[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)= cos((x^2)^2) * 2(x^2)= cos(x^4) * 2x^2所以，f(g(x)) = sin(x^4) 的导数为 cos(x^4) * 2x^22.反链式法则：反链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个外层函数，f(u)是一个内层函数。
反链式法则的公式如下：[f(g(x))]'=f'(u)*u'例如，我们考虑函数f(u) = u^3，其中g(x) = sin(x)。
我们可以直接计算出g'(x)和f'(u)，然后使用反链式法则计算出f(g(x))的导数。
首先，计算g'(x)如下：g'(x) = cos(x)接下来，计算f'(u)如下：f'(u)=3u^2最后，使用反链式法则计算f(g(x))的导数如下：[f(g(x))]'=f'(u)*u'= 3(sin(x))^2 * cos(x)= 3sin^2(x) * cos(x)所以，f(g(x)) = sin^3(x) 的导数为 3sin^2(x) * cos(x)。
简单复合函数的求导法则
简单复合函数的求导法则简单复合函数的求导法则是微积分中的重要内容之一，它可以帮助我们求解复杂的函数导数问题。
在这里，我将详细介绍简单复合函数的求导法则及其应用。
什么是简单复合函数？简单复合函数是指由两个或多个基本函数组成的新函数，其中一个基本函数作为另一个基本函数的自变量。
例如，f(x) = sin(2x)就是一个简单复合函数。
如何求解简单复合函数的导数？对于简单复合函数f(g(x))，我们可以使用链式法则来计算其导数。
具体来说，链式法则可以表达为：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)其中，f'表示f(x)的导数，g'表示g(x)的导数。
例如，对于f(x) = sin(2x)，我们可以设g(x) = 2x，则：f'(x) = cos(2x)g'(x) = 2因此，(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)= cos(2*2x) * 2= 2cos(4x)这样就得到了sin(2x)的导数为2cos(4x)，这个结果可以进一步用于计算更加复杂的函数。
需要注意的是，在使用链式法则时，我们需要先计算内层函数（即g(x)）的导数，并将其代入到外层函数（即f(x)）的导数中。
简单复合函数的应用简单复合函数的求导法则在实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 物理学中，运动物体的位置、速度和加速度之间可以用简单复合函数表示。
对于这些函数，我们可以使用链式法则来计算它们的导数，从而得到运动物体在不同时刻的速度和加速度。
2. 金融学中，利率和时间之间可以用简单复合函数表示。
对于这些函数，我们可以使用链式法则来计算它们的导数，从而得到不同时间点上的利率变化率。
3. 工程学中，电路元件之间的电流和电压之间可以用简单复合函数表示。
对于这些函数，我们可以使用链式法则来计算它们的导数，从而得到电路元件在不同时刻上的功率和能量变化率。
复合函数求导数的四步
复合函数求导数的四步
复合函数求导法则如下：
一般地，对于函数y=f(u)和u=g(ⅹ)复合而成的函数y=f(g(ⅹ))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yⅹ＇=yu＇·u ⅹ＇，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x导数的乘积。
总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)
比如说：求ln(x+2)的导函数
[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x'】×1【注：1即为(x+2)的导数】
复合函数求导的步骤:
1、分层：选择中间变量，写出构成它的内，外层函数。
2、分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数。
3、相乘：把上述求导的结果相乘。
4、变量回代：把中间变量回代。
主要方法：
先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
例如，复合函数求导。
求复合函数的导数注意:
1、分解的函数通常为基本初等函数。
2、求导时分清是对哪个变量求导。
3、计算结果尽量简单。
4、对含有三角函数的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导。
5、分析待求导的函数的运算结构，弄清函数是由哪些基本初等函数通过何种运算而构成的，确定所需的求导公式。
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探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
分析复合函数的结构，找准中间变量是
反思与感悟
求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个 整体，并且它们必须是一些常见的基本函数. 复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再 写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由
外及内逐层求导.
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
跟踪训练2 求下列函数的导数： (1)y＝(2x＋3)2；(2)y＝e－0.05x＋1；(3)y＝sin(πx＋φ). 解 (1)函数y＝(2x＋3)2可以看成函数y＝u2，u＝2x＋
3的复合函数. ∴yx′＝ yu′· ux′ ＝ (u2)′· (2x＋ 3)′＝ 2u· 2 ＝ 4(2x＋ 3) ＝8x＋12.
探究点一
思考1
复合函数的定义
观察函数y＝2xcos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，
说明它们分别是由哪些基本函数组成的？
答 y＝2xcos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；
而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复
合”得到的，
即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点三
复合函数导数的应用
2x＋ 1
1 例 3 求曲线 y＝e 在点(－ ，1)处的切线方程. 2 解 ∵y′＝e2x＋1· (2x＋1)′＝2e2x＋1，
∴y′ ＝ 2，
2x＋ 1
∴曲线 y＝e
1 在点(－ ，1)处的切线方程为 2
1 y－ 1＝2(x＋ )， 2 即2x－y＋2＝0.
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、Байду номын сангаас疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
(2)函数y＝e－0.05x＋1可以看成函数y＝eu和函数
u＝－0.05x＋1的复合函数.
∴yx′ ＝ yu′· ux′ ＝ (eu)′· ( － 0.05x ＋ 1)′ ＝－ 0.05eu
＝－0.05 e－0.05x＋1.
当堂测、查疑缺
1
2
3
4
2.若函数y＝sin2x，则y′等于(
A
)
A.sin 2x
C.sin xcos x 解析
B.2sin x
D.cos2x
y′＝2sin x· (sin x)′＝2sin x· cos x＝sin 2x.
明目标、知重点
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
1
3.若y＝f(x2)，则y′等于(
明目标、知重点 填要点、记疑点
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当堂测、查疑缺
探究点一
复合函数的定义
思考 3
在复合函数中，内层函数的值域 A 与外层函
数的定义域B有何关系？ 答 A⊆B.
明目标、知重点
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点一
复合函数的定义
小结
要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，
对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几
量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系.
明目标、知重点
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点一
复合函数的定义
跟踪训练 1 指出下列函数由哪些函数复合而成： (1)y＝ln x；(2)y＝esin x；(3)y＝cos ( 3x＋1).
解 (1)y＝ln u， u＝ x；
(2)y＝eu，u＝sin x；
(3)y＝cos u， u＝ 3x＋1.
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
思考 如何求复合函数的导数？ 答 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分 解 —— 求导 —— 回代”，即： (1) 弄清复合关系，将
复合函数分解成基本初等函数形式；
(2)利用求导法则分层求导；
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点三
复合函数导数的应用
反思与感悟
求曲线切线的关键是正确求复合函数的
导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线” 两种不同的说法.
明目标、知重点
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点三
复合函数导数的应用
跟踪训练 3 曲线 y＝esin x 在(0,1)处的切线与直线 l 平行， 且与 l 的距离为 2，求直线 l 的方程. 解 设u＝sin x，则y′＝(esin x)′＝(eu)′(sin x)′.
第二章
变化率与导数
§5 简单复合函数的求导法则
明目标、知重点
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导
法则. 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经 学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅 限于形如f(ax＋b)的导数).
填要点、记疑点
1. 复合函数的概念 2. 复合函数的求导法则
1.复合函数的概念
成的；
(2)y ＝ log3(x2 － 2x ＋ 5) 是由函数 y ＝ log3u ， u ＝ x2 － 2x
＋5复合而成的；
(3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的.
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点一
复合函数的定义
反思与感悟
分析函数的复合过程主要是设出中间变
2
3
4
A
)
A.2xf′(x2)
C.4x2f(x)
B.2xf′(x)
D.f′(x2)
解析 设x2＝u，则y′＝f′(u)· ux′
＝f′(x2)· (x2)′＝2xf′(x2).
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
1
2
3
4
4.设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0
明目标、知重点
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
(3)函数 y＝ sin(πx＋ φ) 可以看成函数 y＝ sin u ， u ＝ πx
＋φ的复合函数.
∴yx′＝yu′· ux′＝(sin u)′·(πx＋φ)′＝cos u·π
＝π cos(πx＋φ).
明目标、知重点
个基本初等函数的方法.
明目标、知重点
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点一
复合函数的定义
例1 指出下列函数是怎样复合而成的：
(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.
解 (1)y＝ (3＋ 5x)2是由函数 y ＝ u2， u＝ 3＋ 5x复合而
(3) 最终结果要将中间变量换成自变量 .注意不要漏掉
第(3)步回代的过程.
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
例 2 求下列函数的导数： 1 4 (1)y＝(2x－1) ；(2)y＝ ； 1－2x π 2x＋ 3 (3)y＝sin(－2x＋ )；(4)y＝10 . 3 解 (1)原函数可看作y＝u4，u＝2x－1的复合函数，
则yx′＝yu′· ux′＝(u4)′· (2x－1)′＝4u3· 2 ＝8(2x－1)3.
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点二
复合函数导数的求解
可看作 y＝ ， u＝1－2x 的
1 (2)y＝ ＝ 1－2x 复合函数，
则 yx′＝yu′· ux′＝ 1 ＝ ； 1－2x 1－2x
所以y＝ln(x＋2)称为复合函数.
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探究点一
思考2 答
复合函数的定义
对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？
复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的
函数的过程 . 在分析时可以从外向里出发，先根据最
外层的主体函数结构找出y＝f(u)； 再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y ＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x)).
当堂测、查疑缺
2.复合函数的求导法则
复合函数 y＝ f(φ(x))的导数和函数 y ＝ f(u) ， u ＝ φ(x) 的 ux′ 导数间的关系为yx′＝ yu′· .即y对x的导数是 y对u 的导数与u对x的导数的乘积 .
明目标、知重点
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点一 探究点二 探究点三 复合函数的定义 复合函数导数的求解 复合函数导数的应用
明目标、知重点 填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
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垂直，则a＝________. 2
解析 由题意知y′|x＝0＝aeax|x＝0＝a＝2.
明目标、知重点
填要点、记疑点
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
呈重点、现规律
求简单复合函数f(ax＋b)的导数 求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单 复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后 再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘. 灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是 关键.