521齐次线性微分方程组【精选】
齐次线性微分方程
齐次线性微分方程
y1,y2,y3是二阶微分方程的三个解，则：y2-y1,y3-y1为该方程的两个线性无关解，因此通解为：y=y1+c1(y2-y1)+c2(y3-y1)。
方程通解为：y=1+c1(x-1)+c2(x^2-1)
二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。
自由项f(x)为定义在区间i上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。
若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。
特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。
常微分方程在高等数学中尚无古老的历史，由于它扎根于各种各样的实际问题中，所以稳步维持着行进的动力。
二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占据关键地位，在工程技术及力学和物理学中都存有十分广为的应用领域。
比较常用的解方法就是未定系数法、多项式法、常数变易法和微分算子法等。
齐次线性方程组的解
齐次线性方程组的解
齐次线性方程组是一类特殊的常系数线性微分方程组.它的特点是由相
同的形式的n个方程和相应的n个未知数组成.齐次线性方程组解可以由三
种解法来解决：主元消去法、特征根法和势能法。
主元消去法是一种简单而有效的方法，它使用矩阵形式的表示法，将
齐次线性方程组转换成矩阵形式，其中每一行都有一个主元。
首先，将系
数矩阵分解为三角形矩阵，然后使用向前代替法使解变成一维向量，最后
用逆序求解，从而得到解。
该方法消耗较多的计算阵列，如果有大量的变量，需要大量的存储空间。
另一种常用的算法是特征根法，它采用特征矩阵的思想，将系数矩阵
视为变换矩阵，并以变换矩阵特征来分析计算限制条件，从而得到齐次线
性方程组的解。
该方法精确，不用反复计算，但是如果系数矩阵变换后形
成不完备特征矩阵，则会使原表示变得复杂，在求解时会出现问题，除此
之外，这种方法也需要大量的计算量才能得到解，在有大量的变量的情况
下并不实用。
最后，势能法是一种综合的分析方法，它结合分析学和计算机科学这
两个学科，从分析的角度出发，把线性微分方程写成一个势能函数，然后
用特定的算法求解出势能函数的最小值，从而得到该齐次线性方程组的解。
这种方法有很好的精度，而且不受解空间大小限制，但是计算量很大，速度很慢。
总之，齐次线性方程组可以由主元消去法、特征根法和势能法这三种解法来求解，但是每种方法有各自的优缺点，在变量多的情况下，需要根据实际情况选取合理的解法来求解齐次线性方程组，以达到最优的效果。
常系数齐次线性微分方程组
是特征根， 对应的特征向量也与 对应的特征
向量共轭，因此方程组（2）出现一对共轭
的复值解.
常系数线性方程组
例 求解方程组
dx dt
1
2
5 1 x
解 系数矩阵A的特征方程为
1 5 2 9 0 2 1
故有特征根 1 3i, 2 3i 且是共轭的. 1 3i 对应的特征向量 r (r1, r2 )T 满足方程
2
x1
(t
)
3
et
.
2
常系数线性方程组
对2 1 2i, 有特征向量 r2 (0,1, i)T . 因此
0
0 0
x(t)
1
e(1
2i
)t
et (cos 2t
i
sin
2t
)
1
i
0
i
1 1
0 0
et
cos
2t
iet
sin 2t
.
sin 2t cos 2t
常系数线性方程组
(1 3i)r1 5r2 0
取 r1 5 得 r2 1 3i,则 r (5,1 3i)T是 1
对应的特征向量，因此原微分方程组有解
x(t)
1
5 3i
e3it
5e3it
(1
3i)e3it
cos
3t
5cos 3t 5i sin 3t 3sin 3t i(sin 3t
x(t)
X
(t)
1
1
X (t)
t 0
X
(s)
es
0
ds
cos 2s
常系数线性方程组
0
0
et
齐次微分方程概念
齐次微分方程概念全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：齐次微分方程是微积分中一类重要的方程类型，其解的形式非常特殊且具有重要的应用价值。
在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用，因此对齐次微分方程的概念和解法有着深入的研究意义。
我们来介绍一下什么是齐次微分方程。
齐次微分方程是指形如dy/dx=f(y/x)的微分方程，其中f是一个关于y/x的函数。
齐次微分方程的特点是其右端函数中只包含y/x的比值，不包含y和x的独立函数。
这种形式的微分方程在解析上具有很大的优势，因为通过变换可以将其转化为分离变量的形式，从而更容易求解。
齐次微分方程的一般形式为dy/dx=f(y/x)，其中f是一个关于y/x 的函数。
我们可以通过引入新的变量u=y/x来将齐次微分方程转化为分离变量的形式。
令u=y/x，则dy/dx=y'*x-y/x^2=y'-u，带入原方程可得u'=f(u)，这就是一个分离变量的形式。
通过对u=f(y/x)进行积分，可以求得u关于x的表达式，进而求得y关于x的表达式，从而解决齐次微分方程的问题。
齐次微分方程的解法并不复杂，但是要注意一些技巧和方法。
首先要注意将齐次微分方程转化为分离变量的形式，通常引入新的变量来简化方程是一个有效的方法。
其次要注意对分离变量的方程进行积分时，需要注意常数C的选取，通常根据题目给出的初始条件来确定。
在求解过程中要注意对微分方程的变量进行合理的代换和替换，以简化计算和降低难度。
齐次微分方程是微积分中的一个重要概念，具有广泛的应用价值。
通过对齐次微分方程的解法和原理的深入研究，可以更好地理解微分方程的性质和解法，提升数学建模和问题求解的能力。
希望通过这篇文章的介绍，读者对齐次微分方程有更加深入的理解和掌握。
【字数：502】第二篇示例：齐次微分方程是微分方程中的一类重要问题，它在数学中具有重要的应用价值。
齐次微分方程的定义相对较为简单，但是在解题过程中却需要一定的技巧和方法。
线性微分方程组的解法和矩阵法
线性微分方程组的解法和矩阵法线性微分方程组和矩阵法是高等数学课程中非常重要的主题，也是应用数学研究中的基础。
本篇文章就线性微分方程组的解法和矩阵法进行探讨。
1. 线性微分方程组的基本概念线性微分方程组是由一系列的线性微分方程组成的方程组，可以用矩阵的形式表示。
例如：$$x^{'}=Ax$$其中，$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是一个 $n$ 元向量，$A=(a_{ij})_{n\times n}$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵，$x^{'}=(x_1^{'},x_2^{'},\cdots,x_n^{'})$ 是 $x$ 的导数。
2. 线性微分方程组的解法对于线性微分方程组，其解法可以分为两种：一种是齐次线性微分方程组，即 $Ax=\textbf{0}$ 的解法，另一种是非齐次线性微分方程组，即 $Ax=b$ 的解法。
2.1 齐次线性微分方程组的解法对于齐次线性微分方程组 $Ax=\textbf{0}$，我们可以先求出其通解 $x=c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_nx_n$。
其中，$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是该方程的基础解系，$c_1,c_2,\cdots,c_n$ 是任意常数。
求基础解系 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的方法可以分为两种：一种是代数法，使用高斯消元法将矩阵 $A$ 化为最简形，然后就可以求出基础解系；另一种是矩阵法，使用矩阵的特征根和特征向量来求解基础解系。
2.2 非齐次线性微分方程组的解法对于非齐次线性微分方程组 $Ax=b$，其解法可以分为两步：第一步是求出其通解 $x_h=c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_nx_n$，其中$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是 $Ax=\textbf{0}$ 的基础解系，$c_1,c_2,\cdots,c_n$ 是任意常数；第二步是求出特解 $x_p$，将特解和通解相加即可得到非齐次线性微分方程组的一般解。
齐次线性微分方程的
齐次线性微分方程的
齐次线性微分方程是数学中的一种重要概念，它已经广泛地应用于各种科学和
工程领域，尤其是互联网领域，以及它们之间的交互。
齐次线性微分方程是有关时间变化、位置变化等因素变量之间关系的微分方程组，主要用于研究事件及其趋势发展所带来的计算能力，以及在无线、以太网和其它网络环境中的变化特征。
在互联网的应用中，齐次线性微分方程主要用于处理数据的传输速度和信号功
率的控制，以实现通信的稳定和可靠的数据传输。
如在路由器的工作过程中，需要配合齐次线性微分方程，控制路由器将数据复制到终端的传输速度，保持网络的流畅，避免出现停顿等现象，有效提高网络通信效率。
再比如就是在远程诊断中，齐次线性微分方程可以用来实时分析和处理传感器
的变化，更加准确的记录设备的运行状态，也使远程诊断的效率大大提高。
除此之外，齐次线性微分方程还可以应用于搜索引擎的检索算法，通过动态分析搜索词语之间的结构关系，从而实现更加准确的检索结果。
总之，齐次线性微分方程已经在计算机科学和技术领域发挥着巨大的作用，它
可以有效提升互联网相关领域的运算能力，使互联网更加可靠地实现计算服务。
未来，随着计算机技术的进步，齐次线性微分方程将会扮演更重要的角色，让互联网的网络系统更加安全稳定，让全球用户更好的利用互联网的优势，实现更优的体验。
齐次线性微分方程的解法和特征方程
齐次线性微分方程的解法和特征方程微积分学科中，我们经常会遇到不同形式的微分方程，齐次线性微分方程是其中的一种常见形式。
解这类微分方程的关键是求出特征方程的解。
齐次线性微分方程的一般形式为：$$ a_n(x)y^{(n)}(x)+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=0 $$其中$a_n(x),a_{n-1}(x),\cdots,a_1(x),a_0(x)$是已知函数且不同时为零。
$y^{(n)}(x),y^{(n-1)}(x),\cdots,y'(x),y(x)$是未知函数$y(x)$的各阶导数，$n$是自然数。
我们将这个微分方程转化为特征方程，令：$$ a_n(x)m^n+a_{n-1}(x)m^{n-1}+\cdots+a_1(x)m+a_0(x)=0 $$其解为$m_1,m_2,\cdots,m_n$。
这里有两种情况：情况一：$m_1,m_2,\cdots,m_n$是不相同的实数对于每个不同的实数$m_i(i=1,2,\cdots,n)$，都存在函数$y_i(x)$，满足：$$ y_i(x)=C_i e^{m_ix} $$其中$C_i$是任意常数。
因为$m_1,m_2,\cdots,m_n$都是实数，所以$y_i(x)$都是实函数。
那么原微分方程的通解就可以表示为：$$ y(x)=C_1 e^{m_1x}+C_2 e^{m_2x}+\cdots+C_n e^{m_nx} $$其中$C_1,C_2,\cdots,C_n$都是任意常数。
情况二：$m_1,m_2,\cdots,m_n$存在相同的实数不妨设$m_1=m_2=\cdots=m_k=m$，$m_{k+1},\cdots,m_n$都是不同于$m$的实数。
则存在函数$f(x),y_1(x),y_2(x),\cdots,y_k(x)$，满足：$$ \begin{aligned} f(x)&=C_1 e^{mx}+C_2 xe^{mx}+\cdots+C_k x^{k-1}e^{mx}\\ y_i(x)&=x^i e^{mx},\ i=1,2,\cdots,k \end{aligned} $$其中$C_1,C_2,\cdots,C_k$都是任意常数。
什么是齐次线性方程组
什么是齐次线性方程组
齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思。
微分方程中有两个地方用到“齐次”的叫法：
1、形如y'=f(y/x)的方程称为“齐次方程”，这里是指方程中每一项关于x、y的次数都是相等的，例如x^2,xy,y^2都算是二次项，而y/x算0次项，方程y'=1+y/x中每一项都是0次项，所以是“齐次方程”。
2、形如y''+py'+qy=0的方程称为“齐次线性方程”，这里“齐次”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y',y'',......的次数都是相等的（都是一次），而方程y''+py'+qy=x就不是“齐次”的，因为方程右边的项x不含y及y的导数，是关于y,y',y'', 0
项，因而就要称为“非齐次线性方程”。
另外在线性代数里也有“齐次”的叫法，例如f=ax^2+bxy+cy^2称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f中每一项都是关于x、y的二次项
齐次线性方程组是指有几个齐次线形方程组成的方程组。
可以,直接对非齐次线性方程组用高斯消元法解,即对增广矩阵用初
等行变换化为阶梯阵,再分析系数矩阵和增广矩阵的秩,必须两者相等,再继续求出全部解(一组或无穷多组)。
齐次微分方程
齐次微分方程或者叫齐次方程、齐次线性方程，也称齐次线性微分方程。
它们在通常情况下可以化为具有特定形式的线性微分方程组。
其中前两个量，即原方程右端项系数矩阵的行列式和未知函数在方程左端的导数都是零。
因此用它们来表示未知函数比较方便。
这类微分方程的基本特点是，对于给定的初始条件，它们总可以写出唯一确定的代数解（当然有些不满足初值条件）；而且能利用各种线性变换把它们转化为线性微分方程组去研究。
我认为它们应该归属于一个范畴，就是说，齐次微分方程和非齐次微分方程，其实是同样的概念。
例如三阶线性方程，二阶线性方程等等。
事实上许多工科专业大都开设过齐次线性微分方程的课程。
他们都认为它们与二次型的内容十分相似。
所谓相似，并不是指对于某个问题，我们只要做几道练习题就可得到答案，而是指：它们的思想方法，甚至书中所使用的符号及术语的含义都很相似。
尽管存在着诸多差异，但作为一门独立的新兴边缘学科，必将逐步发展壮大。
随之提高教师队伍素质也势在必行。
从小处讲，高考会增加它们的试题，在数学竞赛中占据更重要的位置，还要进入各种考试试卷中的热点。
这里面还包括了工程应用部分，譬如：热电厂的选址、油田开采、电网分布……都需要用到非齐次微分方程的解析解。
随着计算机技术的日益普及，齐次线性微分方程将与非齐次线性微分方程，多元函数微分方程一起进入更广泛领域的应用。
同样，非齐次微分方程也不再孤芳自赏。
非齐次线性方程、非齐次常微分方程、非齐次偏微分方程正朝着同一个目标迈进——走向数学建模。
不过，二者虽同属微分方程，却仍有区别：非齐次线性微分方程无确切的解析解。
多少年来人们一直寻找着具有唯一精确解的多元非齐次线性微分方程的数值解，尽管没有取得突破性进展，却促进了这个学科的飞速发展。
非齐次常微分方程的核心概念是微分，有效的数值计算公式则是它的“几何”体现，以至于数学家常戏言道：“数学是在空间上度量长度，在时间上测量角度。
”非齐次微分方程是一个大家族，除了上述的，还有微分方程组。
《齐次线性微分方程》课件
热传导
在研究热传导问题时，齐次线性微分方程可以用来描述温度随时间的变化。通过求解该方程，可以得到物体内部温度分布随时间的变化规律。
电磁学
在电磁学中，齐次线性微分方程可以用来描述电磁波的传播。通过求解该方程，可以得到电磁波在不同介质中的传播规律。
控制系统
在控制系统中，齐次线性微分方程可以用来描述系统的动态特性。通过求解该方程，可以得到系统的响应和稳定性等性质，为系统设计和优化提供依据。
齐次线性微分方程的解具有叠加性，即如果 (y_1(x)) 和 (y_2(x)) 是方程的解，则 (c_1y_1(x) + c_2y_2(x)) （其中 (c_1, c_2) 是任意常数）也是方程的解。
01
02
03
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02
03
在一定条件下，齐次线性微分方程存在唯一解。
如果给定初始条件 (y(x_0) = y_0) ，则存在唯一解满足该条件。
总结词
首先，将未知函数表示为幂级数形式，然后，利用微分方程的特性求解幂级数中的系数。最后，得到未知函数的通解。幂级数法适用于具有特定初值条件或特定边界条件的微分方程。
详细描述
03
CHAPTER
齐次线性微分方程的应用
量子力学
齐次线性微分方程在量子力学中用于描述粒子的波函数随时间的变化。通过求解该方程，可以得到粒子在不同时刻的位置和动量等性质。
航空航天
在航空航天领域，齐次线性微分方程可以用来描述飞行器的动态特性。通过求解该方程，可以得到飞行器的姿态、速度和位置等参数随时间的变化规律。
机械工程
在机械工程中，齐次线性微分方程可以用来描述机械系统的振动和平衡。通过求解该方程，可以得到机械系统的稳定性和优化设计。
04
齐次线性微分方程
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推广:
y ( n) a1 y ( n 1) an 1 y an y 0 ( ak 均为常数 )
特征方程:
r n a1 r n 1 an 1r an 0
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 若特征方程含 k 重复根 对应项 则其通解中必含
2
解: 特征方程 r 2 2 r 1 0 有重根 r1 r2 1 , 因此原方程的通解为 s (C1 C2 t ) e t 利用初始条件得
C1 4, C2 2
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于是所求初值问题的解为
例3. 求方程 y y y 0的通解. r 2 r 1 0, 特征根为共轭复根: 解: 特征方程
e cos3 i sin 3 e cos3 ie sin 3
2
e
( i ) x
e
x
cos x i sin x
其中 , , x 为实数
二阶常系数齐次线性微分方程:
① 和它的导数只差常数因子, 所以令①的解为 y e r x ( r 为待定常数 ), 代入①得
r4 2 r3 5r2 8r 4 0
故所求方程为 其通解为
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内容小结
y p y q y 0 ( p, q 为常数 ) 特征根: r1 , r 2
(1) 当 r1 r 2 时, 通解为 y C 1 e
r1 x
C2 e
r2 x
1 3 1 3 r1 i , r2 i, 2 2 2 2
一阶齐次线性微分方程组解的一个结论-2019年精选文档
一阶齐次线性微分方程组解的一个结论1 预备知识在实际问题中,我们将会看到稍微复杂的物理系统(例如两个或两个以上回路电流变化规律,几个互相作用的质点的运动等等)的数学模型会导出多于一个微分方程的方程组。
通过某些简化的假设,在相当广泛的问题里,这种方程组可以化为一阶线性微分方程组。
本文主要给出了一个一阶齐线性微分方程组解的伏朗斯基行列式的结论。
为讨论问题的方便,引入以下定义。
定义1 对于线性微分方程组(1)其中A(t)是区间a≤x≤b上的已知n×n连续矩阵,它的元素为aij(t),i,j=1,2,…,n。
f (t)是区间a≤x≤b上的已知n 维连续列向量。
如果f (t)≠0,则方程组(1)称为非齐线性的;如果f (t)=0,则方程组的形式为(2)(2)称为齐线性的。
本文主要讨论齐线性微分方程组(2)的问题。
定义2 设有n个定义在区间a≤x≤b上的向量函数由这n个向量函数构成的行列式称为这些向量函数的伏朗斯基行列式。
定理 12 一阶齐线性微分方程组(2)解的伏朗斯基行列式的结论定理2 考虑一阶齐线性微分方程组(2),其中A(t)是区间a≤x≤b上的已知n×n连续矩阵,它的元素为aij(t),i,j=1,2,…,n。
a.如果x1(t),x2(t),…xn(t)是方程组(2)的任意n个解,那么他们的伏朗斯基行列式W[x1(t),x2(t),…xn(t)]≡W(t)满足下面的一阶线性微分方程W′=[a11(t)+a22(t)+…+ann(t)]W (6)b.解上面的一阶线性微分方程,有下式成立。
证明 a.设因为根据定理1而由已知x1(t),x2(t),…xn(t)是方程组(2)的任意n个解,故所以(8)式等于根据行列式的性质即满足(6)式。
b.将上面的一阶线性微分方程(6)变量分离积分求解得结论b.得证3 总结本文结合微分方程和矩阵代数的有关理论,给出的一阶齐线性微分方程组(2)解的伏朗斯基行列式具有的两个结论,这在线性方程组的解的结构中占有重要地位。
常系数齐次线性微分方程
思考与练习
求方程 答案:
a 0: a 0: a 0:
的通解 .
通解为 y C1 C2 x 通解为 y C1 cos a x C2 sin a x 通解为 y C1 e a x C2 e a x
作业 P340 1 (3) , (6) , (10) ;
例3.
的通解.
解: 特征方程 r 4 2 r3 5 r 2 0, 特征根:
r1 r2 0, r3 , 4 1 2 i
因此原方程通解为
y C1 C2x ex (C3 cos 2x C4 sin 2x )
例4. 解方程 y(5) y(4) 0.
解: 特征方程: r5 r 4 0, 特征根 :
(1) 当 r1 r2 时, 通解为 y C1 er1 x C 2 er2 x (2) 当 r1 r2 时, 通解为 y (C1 C 2 x ) er1 x
(3) 当 r1,2 i 时, 通解为 y e x (C1 cos x C 2 sin x)
d2s dt2
2
d d
s t
s
0
s t0 4 ,
ds dt
t
0 2
解: 特征方程 r 2 2 r 1 0 有重根 r1 r2 1 ,
因此原方程的通解为 s (C1 C2 t ) e t
利用初始条件得
C1 4, C2 2
于是所求初值问题的解为
代入方程得:
er1 x [ (u 2 r1u r12u ) p(u r1u ) q u 0
u ( 2 r1 p )u ( r12 p r1 q )u 0
线性代数拓展案例 21 齐次线性微分方程的矩阵方法求解
线性代数拓展案例 齐次线性微分方程的矩阵方法求解1.问题描述一阶线性齐次常系数微分方程组：11111221221122221122n n n nn n n nn ndy a y a y a y dt dy a y a y a y dt dy a y a y a y dt⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪⎪⎪=+++⎪⎩ （1）令()T12,,,n Y y y y =，T12,,,n dy dy dy dY dt dt dt dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()ij A a =是方程（1）的系数矩阵，则（1）写作矩阵形式为dYAY dt= (2) 令（1）的解为t Y e X λ=，即1122t n n y x y x e y x λ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当矩阵A 有n 个互不相同的特征值12,,nλλλ时，由A 的特征值及相应的 n 个线性无关的特征向量12,,n X X X 可以求得（2）的 n 个线性无关的特解1212,,nt t t n e X e X e X λλλ (3)它们的线性组合121122nt t t n n Y c e X c e X c e X λλλ=+++ (4) 即为方程组（1）的通解（一般解）（其中12,,n c c c 为任意常数）其一般解（4）式写成矩阵形式[]121212nttn t n c e c e Y X X X c e λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (5) 记[]12n P X X X =，则[]112n P AP diag λλλ-==Λ，记12nt tt t e e e e λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Λ，12n c c C c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则方程组（1）的一般解（5）式可写为t Y Pe C =Λ。
2.模型分析在信息大类专业的必修课程《信号与系统》中，系统的状态变量分析是一个重要的知识点。
线性微分方程组的一般理论
线性无关组不一 定能构成解！
例1 验证
e t (t ) 0
te t t e
是方程组
1 1 x' x 0 1
的基解矩阵。
解（步骤）：
其中
x1 x x2
1、首先验证是解矩阵：即把矩阵的每一列作为一个向量验证是否是解？ 2、计算解矩阵的行列式值，并进行判断。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
定理８
设 (t ) 是（5.15）的基解矩阵， 则向量函数
(t ) (t ) 1 (s) f (s)ds （5.26 ）
t0
t
是（5.14）的解，且满足初始条件： (t0 ) 0 .
分析定理7和定理8，非齐线性微分方程组（5.14）的满足初 始条件
是（5.15）的解 .
基本思想：代入式验证。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
2、非齐线性微分方程组解的结构
定理7
设 (t ) 是（5.15）的基解矩阵， (t ) 是（5.14）的
某一解，则（5.14）的任一解 (t ) 都可表示为
(t ) (t )C (t ),
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
3、向量函数的伏朗斯基（Wronsky）行列式
由定义在区间 t [a, b] 上的n个向量函数 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 所 作成的如下行列式称为伏朗斯基行列式，即
W [ x1 (t ), x2 (t ), , xn (t )] W (t ) x11 (t ) x21 (t ) xn1 (t ) x12 (t ) x1n (t ) x22 (t ) x2 n (t ) xn 2 (t )
6.4 二阶常系数线性齐次微分方程
②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
要求：能根据方程①熟练写出其特征方程并求出特征根.
高等数学(GAO DENG SHU XUE)
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6.4.3 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 微分方程:
特征方程: 2 p q 0
特征根:
(1)当������2 − 4������ > 0时, 特征方程有两个不等的实根������1, ������2 则微分方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为：y (C1 C2 x)e2 x
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6.4.3 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 微分方程:
特征方程: 2 p q 0
特征根:
(2)当������2 − 4������ < 0时, 特征方程有一对共轭复数根：
代入初始条件������′ ������=0 = 1, 解得������2 = 1,
(1) 写出相应的特征方程: 2 p q 0;
(2) 求出特征方程的两个根: 1 与 2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
特征方程的两个根1 ，2 微分方程的通解
两个不相等的实根1 ，2 两个相等的实根 1 =2
y C1e1x C2e2x y (C1 C2 x)e1x
若 ������(������) 0, 即������′′ + ������������′ + ������ = ������(������) 称为二阶常系数线性非齐次微分方程.
对应的 齐次方程
常微分方程的常系数线性齐次方程
常微分方程的常系数线性齐次方程一、前言在科学研究，物理、化学、工程等学科中，经常需要研究动态系统及其特性，而常微分方程是研究动态系统的重要工具，常微分方程常常是一些简单的描述自然规律的数学模型。
而常微分方程中最常见的方程就是线性齐次方程，本文将重点探讨常系数线性齐次方程。
二、线性齐次方程线性齐次方程是指一个方程形如$y''+p(x)y'+q(x)y=0$，其中$p(x)$和$q(x)$是$x$的函数，$y$是$x$的函数。
这个方程的特点是它的二阶导数、一阶导数和本函数都是线性的，并且本函数的系数为$0$，因此它是齐次的。
这个方程的一般形式可以写为下面的形式：$y''+ay'+by=0$其中$a,b$都是常数。
三、常系数线性齐次方程常系数线性齐次方程是指常数$a,b$都是常数的线性齐次方程，即：$y''+ay'+by=0$对于这个方程，可以得到它的特征方程：$r^2+ar+b=0$特征方程的根决定了方程的通解的形状。
根据根的不同情况，可以分为三种情况：1. 两个实根当特征方程有两个实根$r_1$和$r_2$时，通解可以写为：$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$其中$C_1,C_2$是任意常数。
2. 一个实根当特征方程只有一个实根$r$时，通解可以写为：$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$其中$C_1,C_2$是任意常数。
3. 两个复根当特征方程有两个复根时，通解可以写为：$y=e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\sin bx)$其中$a$是实数，$b$是非零实数，$C_1,C_2$是任意常数。
四、应用常系数线性齐次方程可以应用于多个领域，如化学动力学、机械振动、电路分析等领域。
在机械振动领域，常系数线性齐次方程可以描述弹簧振子、摆钟等系统的运动，分析它们的振幅、周期等特性。
在电路分析领域，常系数线性齐次方程可以描述电路中电感、电容的影响，预测电路的响应等。
二阶齐次线性微分方程教案
二阶齐次线性微分方程教案一、引言微分方程作为数学的一个分支，是现代科学和工程领域中非常重要的工具。
其中，二阶齐次线性微分方程是一类常见的微分方程形式，对于学习微分方程的初学者来说，理解和掌握二阶齐次线性微分方程的解法是非常重要的。
本教案将从基本概念、解法和应用三个方面进行介绍和讲解。
二、基本概念1. 二阶齐次线性微分方程的定义二阶齐次线性微分方程是指形式为\[ y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 \]的微分方程，其中 y 是要求解的未知函数，p(x) 和 q(x) 是已知函数，满足一定的条件。
2. 齐次性和线性性二阶齐次线性微分方程中，当 q(x) = 0 时称为齐次方程，否则称为非齐次方程。
另外，对于任意常数 c1 和 c2，如果 y1(x) 和 y2(x)是方程的解，那么 c1y1(x) + c2y2(x) 也是方程的解，这说明二阶齐次线性微分方程具有线性性质。
三、解法1. 特征方程法特征方程法是解二阶齐次线性微分方程的一种常用方法。
对于形如\[ y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 \]的微分方程，我们引入一个新的函数 y = e^(rx)，其中 r 是常数。
将 y 带入微分方程，得到一个关于 r 的方程，即特征方程。
解特征方程可以得到 y 的通解。
2. 常数变易法对于某些特殊形式的二阶齐次线性微分方程，特征方程法并不适用。
此时可以采用常数变易法来求解。
假设 y = u(x)e^(rx) 是方程的解，通过对 u(x) 的求导和代入原方程，可以确定 u(x) 的形式，从而得到 y 的通解。
四、应用1. 振动问题二阶齐次线性微分方程经常被应用在振动问题中。
例如，弹簧振子、摆动等问题都可以建模成二阶齐次线性微分方程。
通过求解微分方程，可以得到系统的振动模式和频率等重要信息。
2. 电路问题在电路分析中，二阶齐次线性微分方程也被广泛应用。
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xnn
(t
)
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
由这n个向量函数构成的行列式，
x11(t) x12 (t) x1n (t)
W
[
x1
(t
),
x2
(t
),,
xn
(t
)]
W
(t
)
det
x21(t
)
x22 (t)
x2n (t)
A(t)u(t) A(t) v(t) A(t)[ u(t) v(t)]
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
如果 x1(t), x2 (t),, xn (t) 是(5.15)的解，则
c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t)
x Ax
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
5.2.1 齐线性微分Байду номын сангаас程组
x A(t)x
(5.15)
定理2（叠加原理） 如果 u(t)和 v(t)是(5.15)的解，
则它们的线性组合 u(t) v(t) 也是(5.15)的解。 证明：[ u(t) v(t)] u(t) v(t)
成立；否则，x1(t), x2 (t),, xm (t) 为线性无关的。
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
1 0
0
例
0,
t
,
,
0
0 0
t
k
线性无关。
t
c1xn1(t) c2 xn2 (t) cn xnn (t) 0
其系数行列式恰是 W (t)
W (t) 0 a t b
证毕
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
定理4 如果(5.15)的解 x1(t), x2 (t),, xn (t)
xn1
(t
)
xn2 (t)
xnn
(t)
称为这些向量函数的伏朗斯基行列式。
定理3 如果向量函数 x1(t), x2 (t),, xn (t) 在区间
a t b 上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式
W (t) 0, a t b
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
设有 n 个定义在区间 a t b 上的向量函数
x11(t)
x1 (t )
x21
(t
),
xn1
(t
)
x2
(t )
x12 (t)
x22
(t
)
,,
xn
(t )
x1n (t)
x2
n
(t
)
xn
2
(t
)
它的系数行列式 W (t0 ) 0 ，所以(5.17)有非零解 c~1,c~2 ,, c~n , c~1x1(t0 ) c~2 x2 (t0 ) c~n xn (t0 ) 0
以这个非零解作向量函数
x(t) c~1x1(t) c~2 x2 (t) c~n xn (t) (5.18)
证明 由假设，存在不全为零的常数 c1, c2 ,, cn
使得
c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t) 0, a t b
(5.16)
c1x11(t) c2 x12 (t) cn x1n (t) 0
c1x21(t) c2 x22 (t) cn x2n (t) 0
易知 x(t) 是(5.15)的解，且满足初始条件
x(t0 ) 0
(5.19)
而在 a t b 上恒等于零的向量函数 0 也是(5.15)的
满足初始条件(5.19)的解。
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
由解的唯一性，知道 x(t) 0 即 c~1x1(t) c~2 x2 (t) c~n xn (t) 0, a t b 因为 c~1,c~2 ,, c~n 不全为零，这就与
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
dx x A(t) x f (t) dt
(5.14)
如果 f (t) 0 则(5.14)称为非齐次线性的。
如果 f (t) 0 则方程 (5.15）称为齐次线性的。
x A(t)x
(5.15)
若 A(t) 为常数矩阵，则称为常系数线性方程组。
也是(5.15)的解。
可验证
sin t
cost
x1
(t
)
c
ost
,
x2
(t
)
sin
t
是方程组
x
0 1
1 0
x
的解，则
sin t cost
x(t
)
C1
c
ost
C2
sin
t
也是方程组的解。
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
线性无关，那么，它们的伏朗斯基行列式
W (t) 0, a t b
证明 用反证法。
设有某一个 t0 , a t0 b 使得 W (t0 ) 0,
考虑下面的齐次线性代数方程组：
c1x1(t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0
(5.17)
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
§ 5.2 线性微分方程组的一般理论
General Theory of Linear ODEs
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
本节要求/Requirements/
掌握线性齐次微分方程组的解的性质及 代数结构。
掌握线性非齐次微分方程组的解的代数 结构，理解常数变易法的基本思想。
基本概念/Basic Concept/
定义在区间 a t b 上的向量函数
x1(t), x2 (t),, xm (t)
是线性相关的，如果存在不全为零的常数
c1, c2 ,, cm , 使得等式
c1x1(t) c2 x2 (t) cm xm (t) 0, a t b