521齐次线性微分方程组【精选】

xn1
(t
)
xn2 (t)

xnn
(t)

称为这些向量函数的伏朗斯基行列式。
定理3 如果向量函数 x1(t), x2 (t),, xn (t) 在区间
a t b 上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式
W (t) 0, a t b
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
§ 5.2 线性微分方程组的一般理论
General Theory of Linear ODEs
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
本节要求/Requirements/
掌握线性齐次微分方程组的解的性质及 代数结构。
掌握线性非齐次微分方程组的解的代数 结构，理解常数变易法的基本思想。
它的系数行列式 W (t0 ) 0 ，所以(5.17)有非零解 c~1,c~2 ,, c~n , c~1x1(t0 ) c~2 x2 (t0 ) c~n xn (t0 ) 0
以这个非零解作向量函数
x(t) c~1x1(t) c~2 x2 (t) c~n xn (t) (5.18)
成立；否则，x1(t), x2 (t),, xm (t) 为线性无关的。
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
1 0
0
例
0,

t
,

,

0

0 0
t
k

线性无关。
t


xnn
(t
)

§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
由这n个向量函数构成的行列式，
x11(t) x12 (t) x1n (t)
W
[
x1
(t
),
x2
(t
),,
xn
(t
)]
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W
(t
)

det

x21(t
)
x22 (t)

x2n (t)
易知 x(t) 是(5.15)的解，且满足初始条件
x(t0 ) 0
(5.19)
而在 a t b 上恒等于零的向量函数 0 也是(5.15)的
满足初始条件(5.19)的解。
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
由解的唯一性，知道 x(t) 0 即 c~1x1(t) c~2 x2 (t) c~n xn (t) 0, a t b 因为 c~1,c~2 ,, c~n 不全为零，这就与
设有 n 个定义在区间 a t b 上的向量函数
x11(t)
x1 (t )


x21
(t
),


xn1
(t
)

x2
(t )


x12 (t)
x22
(t
)


,,
xn
(t )

x1n (t)

x2
n
(t
)


xn
2
(t
)
x Ax
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
5.2.1 齐线性微分方程组
x A(t)x
(5.15)
定理2（叠加原理） 如果 u(t)和 v(t)是(5.15)的解，
则它们的线性组合 u(t) v(t) 也是(5.15)的解。 证明：[ u(t) v(t)] u(t) v(t)
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
dx x A(t) x f (t) dt
(5.14)
如果 f (t) 0 则(5.14)称为非齐次线性的。
如果 f (t) 0 则方程 (5.15）称为齐次线性的。
x A(t)x
(5.15)
若 A(t) 为常数矩阵，则称为常系数线性方程组。

c1xn1(t) c2 xn2 (t) cn xnn (t) 0
其系数行列式恰是 W (t)
W (t) 0 a t b
证毕
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定理4 如果(5.15)的解 x1(t), x2 (t),, xn (t)
证明 由假设，存在不全为零的常数 c1, c2 ,, cn
使得
c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t) 0, a t b
(5.16)
c1x11(t) c2 x12 (t) cn x1n (t) 0
c1x21(t) c2 x22 (t) cn x2n (t) 0
也是(5.15)的解。
可验证
sin t
cost
x1
(t
)

c
ost
,
x2
(t
)


sin
t

是方程组
x

0 1
1 0
x
的解，则
sin t cost
x(t
)

C1
c
ost


C2

sin
t

也是方程组的解。
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
线性无关，那么，它们的伏朗斯基行列式
W (t) 0, a t b
证明 用反证法。
设有某一个 t0 , a t0 b 使得 W (t0 ) 0,
考虑下面的齐次线性代数方程组：
c1x1(t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0
(5.17)
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
基本概念/Basic Concept/
定义在区间 a t b 上的向量函数
x1(t), x2 (t),, xm (t)
是线性相关的，如果存在不全为零的常数
c1, c2 ,, cm , 使得等式
c1x1(t) c2 x2 (t) cm xm (t) 0, a t b
A(t)u(t) A(t) v(t) A(t)[ u(t) v(t)]
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
如果 x1(t), x2 (t),, xn (t) 是(5.15)的解，则
c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t)