胡不归问题解题策略
胡不归问题解题方法和口诀
胡不归问题解题方法和口诀
胡不归问题是一种常见的计数问题，通常涉及到等差数列和等比数列的求和问题。
下面是胡不归问题的解题方法和口诀。
解题方法:
1. 对于等差数列的胡不归问题，可以通过求和公式求解。
设第 n 个数为 a_n，公差为 d，则前 n-1 个数的和为:
S(n-1) = n*(a_1 + a_2 + ... + a_n) = n*(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) - n*a_n
当 n 趋近于无穷大时，S(n-1) 趋近于正无穷大，因此胡不归的时间点一定是在等差数列的最后一个数 a_n 取最大值或最小值的时候。
2. 对于等比数列的胡不归问题，可以通过乘法公式求解。
设第 n 个数为 a_n，公比为 q，则前 n-1 个数的和为:
S(n-1) = (a_1 + a_2 + ... + a_n)/n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + n*q^(n-1) - n*q^n
当 n 趋近于无穷大时，S(n-1) 趋近于正无穷大，因此胡不归的时间点一定是在等比数列的最后一个数 a_n 取最大值或最小值的时候。
口诀:
1. 胡不归问题，数列求解;等差数列求和，等比数列乘积;
2. 首项加末项，求和公式运用;数列趋近于正无穷大，胡不归时间确定;
3. 掌握等差数列和等比数列的特点，运用极限思想求解。
拓展:
胡不归问题不仅可以应用于计数问题，还可以应用于其他数学领域。
例如，在概率论中，胡不归问题可以应用于判断一个事件是否会发生;在组合数学中，胡不归问题可以应用于求解组合数的总和。
“胡不归”问题的解决及应用
“胡不归”问题的解决及应用后宗新（安徽省芜湖县实验学校 241100）古老的“胡不归”传说，说的是：从前有一个身在A地当学徒的小伙子，当他得知家乡B 地年迈的父亲病危消息后，便立即向掌柜告假借了些钱粮启程赶路。
由于思念心切，他挑选了全是沙砾地带的直线路径AB（如图1所示），他认为走近路必定最省时，因此，他放弃了沿驿道AC先走一程的想法。
当他气喘吁吁地来到父亲跟前时，老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭。
邻舍劝慰小伙子时告诉他说，老人在弥留之际，还不断喃喃地叨念“胡不归？胡不归？……”。
上述古老的传说，引起人们的思索，若小伙子要提前抵达家门，是否有可能呢？倘若有可能，则又应该选择一条什么样的路线呢？这就是曾经流传千年的“胡不归”问题。
在今天学生们学了光的折射定律之后，都渴望知道，耐人寻味的“胡不归”问题怎样来解决。
费马把小伙子看作光粒子，然后，根据光的折射定律建立模型，非常巧妙地解决了“胡不归”问题。
费马（Fermat，1601—1665）是法国的数学家，生于法国南部波蒙镇，以律师为职业，长期任图卢兹议会议员。
他自幼谦虚好静，喜欢博览群书，不仅精于数国语言与文学，而且十分爱好自然科学，特别是数学，著作有《平面及空间位置理论导言》、《求最大和最小值的方法》等。
在物理学上，费马在研究了光的反射现象与折射现象后，推广了亚历山大的海洛（Hero）原理，即在公元100年左右海洛证明的：从A点发出的光经镜面反射到另一点B 时，光所走的路径是AB两点与平面镜连线最短的路径。
费马在推广海洛结论时，把光的折射现象也包括进去，于1650年提出了光传播时的最小时间原理，即光从A点到达B点，光束所走的路径是费时最少的路径。
他把光的直进、反射、折射定律等几何光学定律，概括成一个统一的原理——费马原理：光线由一点传播到另一点，其间无论经历多少次反射或折射，光均沿着光程为极值的路径传播。
一、“胡不归”问题有解的条件人在驿道上速度为v1设B点在A点东偏北β角上，AB相距为d，在沙砾地中速度是v2（v1＞v2），假设从B点发出的一束光经过B→D→A路线传播是符合折射定律，γ＝90°，则α为临界角，sinα＝v2/v1 。
中考数学压轴题复习之胡不归
胡不归整理基本解法：构造直角三角形胡不归问题解法通法：第一步：在速度快的线段与起点相异的一侧，过终点作一射线，使之与该线段构成的角满足：1 sinVα=；第二步：过起点作该射线的垂线；第三步：该垂线与线段的交点即为所求．例题解析：例1、（2016•宜兴市一模）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．【解答】解：过点E作y轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB=∠ABE，∴tan∠HED=tan∠EBA==，设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间==4（s）若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间==4（s），∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s 速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG，∴AD+DH的最小值为AQ的长，当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO==，∴OC=4，则C （0，4），设直线BE 的解析式为y=kx +b ，把B （3，0），C （0，4）代入得，解得，∴直线BE 的解析式为y=﹣x +4， 解方程组得或，则E 点坐标为（﹣，），∴AQ=，∴蚂蚁从A 爬到G 点的时间==（s ），即蚂蚁从A 到E 的最短时间为s ． 故答案为．例2、（2014成都）如图，已知抛物线)4)(2(8-+=x x k y （k 为常数，且0>k ）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +-=33与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止。
2020年中考线段最值问题之胡不归问题
初中线段最值问题之---胡不归问题【引 入】胡不归问题是一个非常古老的数学问题，曾经是历史上非常著名的“难题”。
近年来陆续成为各地中考模拟题的小热门考点，学生做起题来失分非常高或是无从下手，今天我们一块来探究下。
【实际背景】话说，从前有一小伙子外出务工，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，就走布满沙石的路直线路径，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”这个问题引起了人们的思索，小伙子能否节省路上时间提前到家？如果可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是流传千百年的“胡不归问题。
【模型建立】将上述问题归结为如下图(1)数学模型即是：如图，A 是出发点，B 是目的地，直线AC 是一条驿道，而驿道靠目的地一侧全是砂土，人们走在不同的道路上的速度不同，设走在驿站AC 的速度是m 米/秒，走在砂石道路上的速度是n 米/秒；1、如果小伙子直接从A 到B ，则他需要的时间就是：nAB 秒； 2、如果小伙子先走一段路程的驿站，即先走到D 点，在沿着DB 回到家，则他需要的时间就是：(nBD m AD +)秒。
现在问题就是n BD m AD +的结果有没有可能比n AB 更小呢？ 【宏观分析】虽然沿着折线A -D -B 行走，路程变成长了，但是折线AD 的速度更快，所需要的时间更少；沿着AB 行走，虽然路程变短，但是速度变慢，所需要的时间更多，所以： n BD m AD +完全有可能比nAB 更小。
(图1)【理论分析】小伙子所需要的时间为：nBD m AD +，对它进行变形处理如下： )(1BD AD mn n n BD m AD +=+， 由于n m ,均为题目给定的定值，所以求BD AD mn +的值即可。
由于B A ，均是动点，而D 是动点，故转变为两条折线段之和，故想办法将两条折线段AD mn 和BD 拉直时，其值最小，因此需要在图中构造出一条线段，使得其长度刚好为AD m n ，如下图（2）所示：（图2）在直线AC 的一侧作射线AM ，过D 点作AM 的垂线'DH ，由ADDH 'sin =α可知， 线段AD DH ⋅=αsin '，令mn =αsin ， ∴此时BD AD mn +=BD DH BD AD +=+⋅'sin α， 故由点到直线的距离垂线段最短可知：过B 点作AM 的垂线交AM 于点0H ，0BH 即为最小值。
初中数学胡不归问题
初中数学胡不归问题胡不归问题，也称为“两位数相乘问题”,是初中数学中一个经典的问题，其解法涉及到乘法原理和除法原理。
问题描述如下：假设有两位数的两位数，例如 54 和 78，将它们相乘，求出结果。
例如，54 × 78 = 3996。
现在的问题是，如何将这个结果再次分解为两个两位数的乘积，并且这两个两位数不超过100 ?胡不归问题的解法涉及到乘法原理和除法原理。
具体来说，可以将结果分解成两个两位数的乘积，其中一个乘积的个位数与另一个乘积的十位数相同，而另一个乘积的十位数与另一个乘积的个位数相反。
例如，对于上一个问题，结果为 3996，可以将其分解成:3 × 9 = 27 (个位数与十位数相反)2 × 7 = 14 (个位数与十位数相同)因此，3996 可以分解为 27 和 14 两个两位数的乘积。
胡不归问题的解法中，涉及到乘法原理和除法原理的应用，需要认真思考，并且需要将结果分解成两个两位数的乘积。
在初中数学中，胡不归问题是一个有趣的问题，可以锻炼学生的思维能力和数学素养。
拓展:除了胡不归问题，乘法原理和除法原理还可以在其他领域中得到应用。
例如，在物理学中，牛顿第二定律可以表示为 F = ma，其中 F 表示物体所受的合外力，m 表示物体的质量，a 表示物体的加速度。
这个公式中的乘法，表示物体所受的合外力与物体的质量之间的乘积，即 F × m。
这个公式中的除法，表示物体的加速度与物体的质量之间的除法，即 a ÷ m。
在计算机科学中，乘法和除法也是常用的操作。
例如，在编程中，使用乘法和除法可以实现一些复杂的数学运算，例如求和、求平方根、求模等。
在机器学习中，乘法和除法也是常用的操作，例如在神经网络中，使用乘法和加法可以实现层与层之间的传递和计算。
专题38中考最值难点突破胡不归问题(原卷版)
专题38 中考最值难点突破胡不归问题（原卷版）模块一 典例剖析+针对训练类型一 有辅助角(隐含辅助角)典例1 点P 在直线上运动“胡不归“问题【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路．由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所心以选择了全是沙砾地带的直线路径A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭．邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？何以归”．这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”．针对训练1．（2022春•江汉区月考）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，∠A ＝30°．BD 是△ABC 的边AC 上的高，点P 是BD 上动点，则√32BP +CP 的最小值是 ．2．（2021春•丽水期中）如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点． 求：（1）当PD ＝ 时，PB 最短；（2）PB +12PD 的最小值等于 ．3．（2017春•农安县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0），B （0，−√3），C （2，0），其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点M 为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，求点M 的坐标；（3）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，求12PB +PD 的最小值．类型二 构造辅助角典例2（2021春•金牛区期末）如图，长方形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝2，点P 是线段AD 上一动点，连接BP ，则BP +12DP 的最小值为 ．针对训练1．（2019•灞桥区校级一模）如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC =√3，E 为线段AB 上一动点，连接CE ，则12AE +CE 的最小值为 ．2．（2020秋•宜兴市期中）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2√5，0），点B 为（0，1），若C 为线段OA 上一动点，则BC +23AC 的最小值是 ．3．（2016•随州中考）如图所示，已知抛物线y ＝a （x +3）（x ﹣1）（a ≠0），与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A 的直线y =−√3x +b 与抛物线的另一个交点为D ．（1）若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E 是线段AD 上的一点（不含端点），连接BE ．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒2√33个单位的速度运动到点D 后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少？类型三求PA＋kPB＋PC最短问题典例3（2022秋•雨花台区校级月考）背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，当∠APB＝∠APC＝∠CPB＝120°时，则P A+PB+PC取得最小值．（1）如图2，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数，为了解决本题，我们可以将△APB绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP这样就可以利用旋转变换，将三条线段P A、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．（2）如图3，△ABC三个内角均小于120°，在△ABC外侧作等边三角形△ABB'，连接CB'，求证：CB'过△ABC的费马点．（3）如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为△ABC的费马点，连接AP、BP、CP，求P A+PB+PC的值．针对训练1．（2021春•郫都区校级期中）如图，已知边长为√2的等边△ABC，平面内存在点P，则P A+√3PB+PC的取值范围为．2．（2018秋•江岸区校级月考）如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2√2，则BC＝．模块二2023中考押题预测1．（2023春•将乐县校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（）A．6B．8C．10D．122．（2023•合肥一模）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，点E为BD上动点，连接AE，则AE+12BE的最小值为（）A．1B．√2C．√3D．23．（2022秋•任城区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝15，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+√55BD的最小值是（）A．3√5B．6√5C．5√3D．104．（2023•邗江区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−49x2+83x与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（）A．24B．25C．30D．365．（2022•平南县二模）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点E为AC中点，D是BE上的一个动点，则CD+12 BD的最小值是（）A．3B．3√3C．6D．3+√36．（2022春•覃塘区期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连接AE，AP，若AP+12BP的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是（）A．AB B．AE C．BD D．BE7．（2022春•新罗区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BE⊥AC于点E，BE＝2AE，D是线段BE上的一个动点，则CD+√55BD的最小值是（）A．2√5B．4√5C．5√5D．108．（2021•澄海区期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+3x﹣4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQ+√22PC的最小值是（）A．6B．2+32√2C．2+3√2D．3√29．（2022•南山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+12CP的最小值为（）A．1B．√2C．√3D．210．（2022春•武汉期末）如图，▱ABCD中∠A＝60°，AB＝6，AD＝2，P为边CD上一点，则√3PD+2PB 最小值为．11．（2023春•姑苏区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=√33x−√3分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为．12．（2022•马鞍山一模）如图，AC 垂直平分线段BD ，相交于点O ，且OB ＝OC ，∠BAD ＝120°．（1）∠ABC ＝ ．（2）E 为BD 边上的一个动点，BC ＝6，当AE +12BE 最小时BE ＝ ．13．（2021秋•福清市期末）如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，△ABC 的面积为√3，点P 为BD 上动点，连接AP ，则AP +12BP 的最小值为 ．14．（2021秋•北碚区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，CD ＝4，M ，N 分别是边AB ，AD 的动点，满足AM ＝DN ，连接CM 、CN ，E 是边CM 上的动点，F 是CM 上靠近C 的四等分点，连接AE 、BE 、NF ，当△CFN 面积最小时，12BE +AE 的最小值为 ．15．（2021秋•亭湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，点A （﹣3，0），B （1，0）．根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：在Rt △ABC 中，AB ＝2BC ．请在这一结论的基础上继续思考：若点D 是AB 边上的动点，则CD +12AD 的最小值为 ．16．（2021秋•宜兴市期末）如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，点C 沿BE 折叠与AB 上的点D 重合．连接DE ，请你探究：BC AB = ；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在△OPM 中，∠OPM ＝90°，∠M ＝30°，若OM ＝2，点G 是OM 边上的动点，则PG +12MG 的最小值为 ．17．（2021秋•汕尾期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B （0，﹣3），若P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连接PD ，则C 点的坐标是 ，√2PD +PC 的最小值是 ．18．（2021秋•缙云县期末）如图，在直角坐标系中，点M 的坐标为（0，2），P 是直线y =√3x 在第一象限内的一个动点．（1）∠MOP ＝ ．（2）当MP +12OP 的值最小时，点P 的坐标是 ．19．（2022秋•碑林区校级期末）问题提出（1）如图1，在等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，P 为高AE 上的动点，过点P 作PH ⊥AC 于H ，则PH AP 的值为 ；问题探究（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线y =−√3x +2√3与x 轴、y 轴分别交于点 A 、B ．若点P 是直线AB 上一个动点，过点P 作PH ⊥OB 于H ，求OP +PH 的最小值．问题解决（3）如图3，在平面直角坐标系中，长方形OABC 的OA 边在x 轴上，OC 在y 轴上，且B （6，8）．点D 在OA 边上，且OD ＝2，点E 在AB 边上，将△ADE 沿DE 翻折，使得点A 恰好落在OC 边上的点A ′处，那么在折痕DE 上是否存在点P 使得√22EP +A ′P 最小，若存在，请求最小值，若不存在，请说明理由．。
2023年中考数学专题复习：线段最值问题——“胡不归”(课件)
感谢各位的观看
再见！
不积洼步 无以至千里。
不积洼步 无以至千里。
典例精讲
例1．1.如图，正方形ABCD的对角线BD上有一点P，AB=6，则
2PA+PB的最小值为_______
3 2+ 3 6
分析：
1
2PA+PB=2（PA+ 2 PB）
1
作BE使∠PBE=30°，过点p作PF⊥BE，PF= 2 1PB
显然A、P、F共线时PA+ 1 PB最小。此时PA+2 PB=AF
2.过程与方法：学生通过探索总结归纳出胡不归问题的基本步
骤，得出实质，学会转化、数形结合的思想
3.情感态度、价值观：通过探究，提高学生的数学素养,培养
全体学生学习的兴趣和他们的逻辑思维综合能力
二.教学重点：胡不归问题的解法与步骤
n
n
三.教学难点：将PA+ m PB （0＜ m ＜1）的和转化成垂线段
）
2
A．
3
2
B． 3 C．1 +
3
2
D．1 + 3
不积洼步 无以至千里。
3
如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，
P为边CD上的一动点，则 PB+
D
A
3
PD的最小值等于________．
2
3 3
P
C
B
不积洼步 无以至千里。
课堂小结
同学们，分享以至千里。
2
2
1
2
分析：当点P运动到BC边上时，此时PC=3,根据题意要求构造 ，在BC上
3
2
1
河南中考数学胡不归讲解
河南中考数学胡不归讲解
河南中考数学胡不归讲解
一、胡不归算法
胡不归算法是一种能够快速解决特定数学问题的算法，可以用来计算一元二次方程、非线性方程组等各种数学问题的解。
胡不归算法是一种数值解法，它使用了“启发式”策略来解决某些特定的数学问题，这种策略有助于找到最优解，其基本思想是：从初始点出发，步步迈进，朝着目标点前进，每一步都是一种最优决策，最后抵达目标点，获得最优解。
二、胡不归算法的实例
1、求解一元二次方程ax2+bx+c=0
解：用胡不归算法求解一元二次方程 ax2+bx+c=0，首先设置初始点x0为 x0=0，从x0开始，步步迈进，每一步都是一种最优决策，最终抵达根的数值。
实施胡不归算法来求解上述一元二次方程，得到根的数值x1, 其中：
x1 = （-b ±√(b2-4ac)）/2a
2、求解非线性方程组
例：求解方程组 {x2+y2 -1=0, xy2+1=0} 的解。
解：设初始点为(x0,y0)=(0,0),从（x0,y0）出发，步步迈进，朝着目标点前进，每一步都是一种最优决策，最终抵达满足以上方程组的解，满足以上方程组的解为(x1,y1)=(-1,0), (x1,y1)=(0,1).
三、胡不归算法的应用
胡不归算法既可以用来解决线性和非线性方程组，也可以用来处理更复杂的数学问题，它可以用于求解线性规划、广义规划、混合整数规划和组合优化问题等。
此外，该算法也可以应用于图像处理、信号处理、机器学习等领域。
28.28专题11：胡不归问题
28.28专题11：胡不归问题一．【知识要点】1.线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点之间线段最短；③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
2.“PA K PB +•”（K ≠1）型最值问题：点P 在直线上运动型问题称为“胡不归问题”；3.【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙硕地带的直线路径A →B （如图），而忽略了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何时归”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
模型构造：起点构造所需角（sin k CAE =∠）-------过终点作所构角边的垂线---------利用垂线段最短解决问题：构造某角的正弦值等于k （如k>1，则要先提取k 去构造某角的正弦 值等于1k 或等于21k k ）将k 倍线段转化。
二．【经典例题】22.如图，等腰△ABC 中，AB=AC=3，BC=2，BC 边上的高为AO ，点D 为射线AO 上一点，一动点P 从点A 出发，沿AD-DC 运动，动点P 在AD 上运动速度3个单位每秒，动点P 在CD 上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=______________时，运动时间最短为_____秒.3.如图,已知抛物线y=a(x+2)(x−4)(a为常数,且a>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,3.（绵阳2019年第24题12分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2(a＞0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；PA的最小值．(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE＋35三．【题库】【A 】【B 】【C 】 1.如图，四边形ABCD 是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，则2AM BM +的最小值为_______________.【D 】1.如图,在平面直角坐标系中,二次函数2y ax bx c =++的图象经过点A(−1,0),B(0,②连接MA,MB,若∠AMB 不小于60°，求t 的取值范围。
专题训练：胡不归问题解题策略
专题：动点问题——将军饮马、胡不归考点一：将军饮马问题三种构图法：A 、B 为定点，P 为l 上一动点，A 、B 为定点，P 、Q 为l 上动点，且PQ a =P 为何处时，PA PB +最小？P 为何处时，PQBA 四边形周长最小？A 、B 为平面直角坐标轴上的定点，P 为y 轴动点，Q 为x 轴上动点。
P 、Q 在何处时，PQBA 四边形周长最小？【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点A （-3,0）和点B （1,0），与y 轴相交于点C(0，-3),抛物线的顶点为点D ，连接AC 、BC.（1）求这条抛物线的表达式及顶点D 的坐标。
（2）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点M 的坐标为（—1,0），问：是否存在这样的直线l ，使得OF++MF 最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
考点二：胡不归问题将军饮马与胡不归的异同点相同点1、都是动点问题，一般都是两定一动2、动点的轨迹都为直线3、都是求线段和的最小值4、所用定理：≥≥折线段线段垂线段不同点1、胡不归问题的线段带有系数，而且01<<系数，例如12PA PB +2、将军饮马利用两点之间线段最短，胡不归利用点到直线垂线段最短3、胡不归问题构图使用的是直角三角形（三角函数）胡不归的由来：情景：从工作地点会老家，有一条驿道，驿道上可以坐马车，速度为1v ，驿道与老家中间是荒地，荒地上只能走路，速度较慢2v ，如何才能最快回家？方案一：两点之间，线段最短，直接走荒地方案二：在驿道中存在一个点，先从A 坐马车到D 点，在走荒地到老家方案三：BE ⊥驿道，先坐马车到E,再沿BE 走回老家经过古代数学家们的努力，发现方案二所用时间最短，但是你能找到这个D 点吗？12AD DB t v v =+，2211v t AD BD v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以：当21v AD BD v +最小时，时间最少，此时2101v v <<，这就是胡不归问题胡不归问题的构图法：12P PB PA+在何处时最小22P PB PA+在何处时最小32P PB PA+在何处时最小35P PB PA+在何处时最小核心思想：PB kPA+（01k<<），即利用AP构造一条射线AC，夹角sin kα=，便将kPA转换为另一条线段，再利用点到直线垂线段最短来完成。
[小学语文阅读解题思路] 胡不归问题的解题思路
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[小学语文阅读解题思路] 胡不归问题的解题思路阅读理解是衡量同学们的语言综合运用能力的重要标尺，解题思路是做阅读的关键，接下来小编为你整理了小学语文阅读解题思路，一起来看看吧。
小学语文阅读解题思路：联系上下文理解加点字、词1、联系上下文解释词语例如：瞻前顾后。
所谓瞻前顾后具体是指联系文章前后文的句子明确词义，在具体语境中揣摩词义的变化，用自己最通俗的语言表达出来。
答题方法：应先答出本来意思，再答出在文中的意思。
解释词语的方法有很多，找近、反义词;抓住关键词解释等。
2、直接理解加点字、词，表达作者什么感情?(举例：《梅花魂》中祖父轻轻地用刀片刮去，慢慢地抹这几个词体现了什么?/在文中有什么表达效果?/你如何理解这几个词?)方法：解释字、词在句子中的意思，结合文章中心。
3、加点字、词换成另外的字、词，好不好?4、加点字、词删去，好不好?方法(3、4)：表态，解释原字、词的意思，在句子中有何表达效果，换(删)有何效果，所以不能换(删)。
例如：春风又绿江南岸中绿字用得很好，可不可以将它换成吹字?为什么?答：不可以。
(表明态度)绿在文中是作为动词，有吹绿染绿的意思，(解释字的意思)，更能体现春风所带来的生机(在文中的作用和表达效果)，而吹只是表示春风的动作，如果换了就不能体现这种生机，所以不能换。
小学语文阅读解题思路：理解句子的含义1、你怎么理解这句话?谈谈自己读句子的体会字面+中心，所谓字面+中心指的是，先理解句子的字面意思，解释句中的关键词语，连词成句;联系文章前后的内容来解释句子，联系文章中心来理解句意，作者写文章的目的是表达自己的情感，或者说明一个道理，希望与我们达到共鸣，我们要联系自己的生活，来谈体会。
方法：从文中理解，把文章中的这句话用最通俗的方法再说一遍，可以给这个句子换说法，也可以给这个句子作解释。
然后根据文章的中心再理解句子，说出自己的看法，最后可以联系生活再说说。
举例：《窃读记》中国学老师说的话你们是吃饭长大的，也是读书长大的。
专题02 特殊的平行四边形中的最值模型-胡不归模型(解析版)
专题02 特殊的平行四边形中的最值模型--胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。
本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.补充知识：在直角三角形中锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin 。
若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。
【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）1）121121=V AC BC BC AC V V V V æö++ç÷èø，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值.2）构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CHk AC=，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值.3）过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题2驿道2MMM转化为“PA +PC ”型．（若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
中考数学复习之胡不归问题
中考数学复习之胡不归问题中考数学复习之胡不归问题中考数学复习是一个关键的阶段，学生需要将过去几年的数学知识进行梳理和复习，以便在中考中取得好成绩。
在复习过程中，有一种问题被称为“胡不归问题”，这类问题通常涉及了速度、时间和距离等概念，需要学生掌握一定的解题技巧和方法。
“胡不归问题”是一种经典的数学问题，通常涉及到运动学中的速度、时间和距离等概念。
这类问题的基本思路是通过已知的速度、时间和距离等量之间的关系，来求解未知量。
在求解过程中，需要学生掌握一定的代数知识和方程构建能力。
针对“胡不归问题”，学生需要掌握以下解题步骤和方法：1、仔细审题，理解题意。
在理解题意的过程中，需要明确已知量和未知量，以及它们之间的关系。
2、根据题意构建方程。
通过分析题意，确定方程的形式和内容，并列出方程。
3、解方程。
通过代数方法或计算工具，解出未知量。
4、验证答案。
根据题意和已知条件，验证所得答案是否合理。
在复习过程中，学生可以通过做一些相关的练习题来加深对“胡不归问题”的理解和掌握。
也可以通过向老师或同学请教，解决自己在解题过程中遇到的问题和困难。
总之，“胡不归问题”是中考数学复习中的一个重要问题，学生需要认真掌握其解题技巧和方法。
在解题过程中，需要审题仔细、构建方程准确、解方程无误、验证答案严谨。
通过不断的练习和思考，相信学生一定可以在中考数学中取得好成绩。
中考数学最值—胡不归问题中考数学最值问题一直是同学们关注的焦点，而胡不归问题又是其中的一种常见类型。
本文将结合实例，详细解析胡不归问题的解决方法，帮助大家更好地掌握这一难点。
首先，需要明确胡不归问题的基本形式。
一般情况下，胡不归问题可以转化为以下形式：在一条直线上有若干个点，求这些点关于某一点对称的点中最远（或最近）的点的距离。
解决这类问题的关键在于如何找到对称点，以及如何运用勾股定理等数学知识进行计算。
下面，我们通过具体例子来解析胡不归问题的解决方法。
例如，在中考数学最值问题中，经常会出现求正六边形内一点到六边形的六条边的距离之和的最小值。
2022年中考数学二次函数压轴题专题04 胡不归求最小值(学生版+解析版)
中考数学压轴题--二次函数第4节 胡不归求最小值内容导航方法点拨从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。
由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B （如图所示：A 是出发地，B 是目的地，AC 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他赶到父亲眼前时，老人已去世了，邻舍告诉小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归?胡不归？一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小． V 2V 1MNCBA121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =， 即求BC +kAC 的最小值．构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．CH=kACsin α=CH AC=kHDαA BCNM将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．MNCBAαDH在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型．胡不归模型问题解题步骤如下：1、将所求线段和改写为“PA+a b PB”的形式（a b <1，若ab>1，提取系数，转化为小于1的形式解决）。
2、在PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得sinα=ab3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题例题演练题组1：PA+k •PB例1．如图①，已知抛物线y ＝﹣x 2+x +2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线的顶点为Q，连接BC．（1）求直线BC的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PD⊥BC于点D，在直线BC上有一动点M，当线段PD最大时，求PM+MB最小值；练1.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D，B（﹣3，0），A（0，）（1）求抛物线解析式及D点坐标；（2）如图1，P为线段OB上（不与O、B重舍）一动点，过点P作y轴的平行线交线段AB于点M，交抛物线于点N，点N作NK⊥BA交BA于点K，当△MNK与△MPB的面积相等时，在X 轴上找一动点Q，使得CQ+QN最小时，求点Q的坐标及CQ+QN最小值；练1.2如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x 轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求直线BD的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，当△DQB面积最大时，在x轴上找一点E，使QE+EB的值最小，求E的坐标和最小值．练1.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D．（1）求直线BC的解析式；（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上一点，连接PB、PC．当△PBC的面积最大时，在线段BC上找一点E（不与B、C重合），使PE+BE的值最小，求点P的坐标和PE+BE的最小值；题组2：PA+QB+k•PQ例2．如图1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点A在点B左边），O为坐标原点．点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE∥x轴交直线BC于点E．点P为∠CAB角平分线上的一动点，过点P作PQ⊥BC于点H，交x轴于点Q；点F是直线BC上的一个动点．（1）当线段DE的长度最大时，求DF+FQ+PQ的最小值．练2.1如图1，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接AD、BD．（1）求△ABD的面积；（2）如图2，连接AC、BC，若点P是直线AC上方抛物线上一动点，过P作PE∥BC交AC于点E，作PQ∥y轴交AC于点Q，当△PQE周长最大时，将△PQE沿着直线AC平移，记移动中的△PQE为△P′Q′E′，连接CP′，求△PQE的周长的最大值及CP′+P′E′+AE′的最小值；练2.2在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点C 关于抛物线对称轴对称的点为D．（1）求点D的坐标及直线BD的解析式；（2）如图1，连接CD、AD、BD，点E为线段CD上一动点．过E作EF∥BD交线段AD于F点，当△CEF的面积最大时，在x轴上找一点P，在y轴上找一点Q，使EQ+PQ+BP最小，并求其最小值；练2.3如图①，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．（1）过点A且平行于BC的直线交于y轴于点D，求AD的解析式；（2）如图②，P是直线BC上方抛物线上的一动点，在抛物线的对称轴l上有一动点M，在x轴上有一动点N，连接PM、MN，当△P AD的面积最大时，求PM+MN+BN的最小值；中考数学压轴题--二次函数第4节 胡不归求最小值内容导航方法点拨从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。
初中数学 “最值系列之胡不归问题” 精讲+例题精练(附答案)
最值系列之“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA +kPB ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BC V V 的值最小．【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD 使得sin∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC最小．【模型总结】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．【2019长沙中考】如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则5CD +的最小值是_______．【分析】本题关键在于处理“5BD ”，考虑tan A =2，△ABE 三边之比为1:2sin 5ABE ∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H 点，则DH =．问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H 共线时值最小，此时CD DH CH BE +===．【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD上的一动点，则2PB PD +的最小值等于________．【分析】考虑如何构造“2PD ”，已知∠A =60°，且sin60°=2，故延长AD ，作PH ⊥AD延长线于H 点，即可得2PH PD =，将问题转化为：求PB +PH 最小值．当B 、P 、H 三点共线时，可得PB +PH 取到最小值，即BH 的长，解直角△ABH 即可得BH 长．【2014成都中考】如图，已知抛物线()()248k y x x =+-（k 为常数，且k >0）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线3y x b =+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A （-2,0），B （4,0），直线解析式为33y x =-+，D 点坐标为(-，故抛物线解析式为()()249y x x =+-，化简为：2y =--点M 运动的时间为12AF DF ⎛⎫+⎪⎝⎭，即求12AF DF ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值．接下来问题便是如何构造2DF ，考虑BD 与x 轴夹角为30°，且DF 方向不变，故过点D 作DM ∥x 轴，过点F 作FH ⊥DM 交DM 于H 点，则任意位置均有FH =2DF ．当A 、F 、H 共线时取到最小值，根据A 、D 两点坐标可得结果．【2018重庆中考】抛物线263y x =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O1B1，当12PE EC +的值最大时，求四边形PO1B1C 周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）【分析】根据抛物线解析式得A ()-、B )、C (，直线AC 的解析式为：3y x =+可知AC 与x 轴夹角为30°．根据题意考虑，P 在何处时，PE +2EC 取到最大值．过点E 作EH ⊥y 轴交y 轴于H 点，则∠CEH =30°，故CH =2EC ，问题转化为PE +CH 何时取到最小值．考虑到PE 于CH 并无公共端点，故用代数法计算，设2,P m ⎛-+ ⎝，则E m ⎛+ ⎝，H ⎛ ⎝，26PE m =--，3CH =，22=PE CH m +=--++sin ABE ∠=当P 点坐标为(-时，取到最小值，故确定P 、C 、求四边形面积最小值，运用将军饮马模型解题即可．。
2022中考压轴：胡不归（8PAkPB）型最短问题（一）
2022中考压轴：胡不归（8PAkPB）型最短问题（一）
【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）分CP＝BC、BP＝BC、CP＝BP三种情况，利用菱形的性质和中垂线的性质，分别求解即可；（3）如图，连接BC，作EH⊥BC于H，交OB于M，此时1/2BM+MD最小，进而求解．
【分析】（1）点A、B的横坐标分别为x1，x2，利用tan∠CAB·tan∠CBA＝1和一元二次方程根与系数之间的关系求解；
（2）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，得到x轴是角平分线，作点C关于x轴的对称点C'（0，﹣2），直线AC'的解析式，联立抛物线求交点坐标；（3）此题为胡不归模型，构建模型求解．
【分析】（1）利用尺规作出∠ADC的角平分线即可；（2）①延长DE交AB的延长线于F．只要证明AD＝AF，DE＝EF，利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题；②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK．由MB＝MK，推出MB+MN＝KM+MN，根据垂线段最短可知：当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长；。
中考数学专题 '胡不归'经典讲解
胡不归知识背景：从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。
由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B （如图1所示：A 是出发地，B 是目的地，AC 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他气喘吁吁地赶到父亲眼前时，老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭，邻舍劝慰小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归?胡不归？这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢？倘有可能，他应该选择条怎样的路线呢？这就是风靡千年的“胡不归问题”.由于在驿道和沙砾地的行走速度不一样，那么，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢？ 设在沙砾地行驶速度为1v ，在驿道行驶速度为2v ，显然1v ＜2v . 思路：不妨假设从C 处进入砂砾地.设总共用时为t,t=1v BC +2v AC =1v 1(BC+21v vAC). 因为1v ，2v 是确定的，所以只要(BC+21v v AC)最小，用时就最少。
可以A 为顶点作一条射线ON ，使得∠MAN=α，且sin α=21v v ,过点C 作AN 的垂线，交于点E ，这样21v v AC=CE,当点B 、C 、E 在一条直线上时，即过点B 作AN 的垂线交AM 于点D ，交AN 于点F ，即(BC+21v v AC)的值最小为BF ，小伙子可以先在驿道上走到点D 处，然后再走砂砾地。
这样时间可以更短。
总结：在驿道上从点A走到点D的距离，其实就相当于，在砂砾上走了DF的距离，而 AB>BF,所以从点A直接到点B，用的时间肯定比先从点A到D再从点D到B所有的时间。
“胡不归”模型建立：如图所示，已知sin∠MBN=k，点 P为角∠MBN其中一边 BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA+k·PB”最小时，P点的位置如何确定? (构造的角的正弦值为PB线段的系数值)分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”系数化为1，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ, “PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值，即A、P、Q三点共线时最小。
动点最值问题系列之“胡不归”问题
动点最值问题系列之“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．式微，式微，胡不归？——《诗·邶风·式微》【背景介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．【问题分析】，，即求BC+kAC的最小值．【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．模型总结在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．2019长沙中考如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是_______．【分析】本题关键在于处理“”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为，，故作DH⊥AB交AB于H点，则．问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时．【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．2019南通中考如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于．【分析】考虑如何构造“”，已知∠A=60°，且sin60°=，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，即可得，将问题转化为：求PB+PH最小值．当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．2014成都中考如图，已知抛物线（k为常数，且k>0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y 轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A（-2,0），B（4,0），直线解析式为，D点坐标为，故抛物线解析式为，化简为：．另外为了突出问题，此处略去了该题的第二小问．点M运动的时间为，即求的最小值．接下来问题便是如何构造，考虑BD与x轴夹角为30°，且DF方向不变，故过点D作DM∥x轴，过点F作FH⊥DM交DM 于H点，则任意位置均有FH=．当A、F、H共线时取到最小值，根据A、D两点坐标可得结果．2018重庆中考抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）【分析】根据抛物线解析式得A、B、C ，直线AC的解析式为：，可知AC与x轴夹角为30°．根据题意考虑，P在何处时，PE+EC/2取到最大值．过点E作EH⊥y轴交y轴于H点，则∠CEH=30°，故CH=EC/2，问题转化为PE+CH何时取到最小值．考虑到PE于CH并无公共端点，故用代数法计算，设，，，，，当P点坐标为时，取到最小值，故确定P、C、求四边形面积最小值，运用将军饮马模型解题即可．排版我尽力了，什么对齐不对齐的将就着看吧~。