利用圆锥曲线的统一定义解题
6.圆锥曲线的定义
，则点M的轨迹
是（ A、椭圆
） B、双曲线
C、不存在
D、直线
2 已知定点 F1 ( −2, 0 ) ，F2 ( 2, 0 ) ，平面内满足下列 条件的动点P的轨迹中，为双曲线的是（
PF1 − PF2 =+ 3 A、 −
PF1 − PF2 = + 4 B、 −
）
C、PF1 − PF2 = 5
+ −
l（F 不在 l上） 的距离相等的点的轨迹。
圆锥曲线的统一定义： 二 圆锥曲线的统一定义：
平面内到一个定点F和一条定直线 l (F不 在l上)的距离之比是一个常数e
例题讲解： 三 例题讲解：
例1：设有两定点 F1 、 2 且 ︳1 F2 ︳= 4， 动点 F F
M 满足 MF1 + MF2 = 4 ， 则动点 M的轨迹
是（
A．椭圆
）
B.直线
C.圆
D.线段
例2：若动圆M过定点A（-3，0），并且在定 2 2 圆B： (x-3) + y = 64 的内部与其内切， 求动圆圆心M的轨迹方程。
例3： 已知圆C1:(x +3) +y =1和圆C2:(x -3) +y =9，
2 2 2 2
动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆 圆心M的轨迹方程。
例 4 ： 圆 与 定 圆 ( x − 2 ) + y =1 外 切 ， 动
2 2
又 与 直 线 x +1= 0 相 切 ， 求 动 圆 圆心的轨迹方程。
四、课堂反馈练习： 课堂反馈练习：
1 若点P( x, y ) 在运动过程中，总满足关系式
x 2 + ( y + 3) + x 2 + ( y − 3) = 10
圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)
2 12丄2(X ∙ a)a y_ 2b2 2.22b丄 b2・・讨=X — Xa a圆锥曲线间的三个统一内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲 线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、 四种圆锥曲线的统一定义动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e,则当O ：：： e ：：： 1时， 动点P 的轨迹是椭圆：当e=1时，动点P 的轨迹是抛物线；当e 1时，动点P 的轨迹是双曲线；若e = O ,我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值(非零)，则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为 焦点，L 为准线。
二、 四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们 把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们2的半通径为P ,则P =L 。
a2 2如图1 ,将椭圆罕■笃=1(a b O)按向量(a,O )平移a b二椭圆的方程可写成 y 2 = 2 px ' (e 2 -1) χ2( O ：：: e ：：: 1 )2 2类似的，如图2，将双曲线 —--^2 -1(a - O, b - O)按向量(-a, O)平移得到a b得到2(X -a)2a2 2bb2…y = X ~ Xaa•••椭圆的半通径 b 2 IF I M I |= p =—，ab 2~ =1 —eT 双曲线的半通径IF 2M 2I = L , b y =e 2 一1a a∙°∙双曲线方程可写成y = 2 px ∙ (e? 一 1)χ2 (e . 1)对于抛物线y 2 =2px(x .0) P 为半通径，离心率e =1，它也可写成2 2 2y 2 px (e -1) X (e =1)对于圆心在(P ，0)，半径为P 的圆，其方程为(X- p)2 + y 2 = p2，它也可 写成『=2 px 亠(e T)x?(^= 0)于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程y 2 =2px (e 2 -1)x 2 ,其中P 是曲线的半通径长，当e=0，0 ::： e ::： 1， e =1,e . 1时分别表示圆、椭圆、 抛物线、双曲线。
圆锥曲线的统一定义
到右焦点的距离等于
那么点P 那么点 13 ,那么点
到左准线的距离是 __________;
x2 y2 上点P到右焦点的距离为 到右焦点的距离为a, (2) 椭圆 2 + 2 = 1上点 到右焦点的距离为 4a a
则点P到左准线的距离是 则点 到左准线的距离是
.
例3．根据下列的条件求椭圆的标准方程: 根据下列的条件求椭圆的标准方程: (1)两准线间的距离为 (1)两准线间的距离为 18 5 ,焦距为 2 5
5
1 x2 y2 + = 1有共同的准线,且离心率为 (2)与椭圆 有共同的准线, (2)与椭圆 2 24 20
(3)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到 (3)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上, 已知
2 4 5 ,过P作长轴的垂 两焦点的距离为 5 和 3 3
线恰好过椭圆的一个焦点. 线恰好过椭圆的一个焦点.
求下列曲线的焦点坐标和准线方程: 例1.求下列曲线的焦点坐标和准线方程 求下列曲线的焦点坐标和准线方程 (1) 25 x 2 + 16 y 2 = 400 (2) x 2 + 2 y 2 = 4 (3) x 2 − 2 y 2 = 1 (4) 2 y − x = 4
2 2
x2 y2 例2 (1) 如果双曲线 上一点P − = 1上一点 13 12
圆 锥 曲 线 的 统一定义
引例： 引例：
已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到 已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到 P(x,y)到定点F(c,0)
a 2 的距离的比是常数 c 定直线 l : x = ( a > c > 0 )， a c
求点P的轨迹. 求点P的轨迹.
高考数学圆锥曲线的定义及应用
圆锥曲线的定义及应用一、圆锥曲线的定义1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。
即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。
即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
二、圆锥曲线的方程。
1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）三、圆锥曲线的性质1.椭圆：+=1（a>b>0）（1）X围：|x|≤a，|y|≤b（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(0,1)（5）准线：x=±2.双曲线：-=1（a>0, b>0）（1）X围：|x|≥a, y∈R（2）顶点：(±a,0)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(1,+∞)（5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x3.抛物线：y2=2px(p>0)（1）X围：x≥0, y∈R（2）顶点：（0,0）（3）焦点：（,0）（4）离心率：e=1（5）准线：x=-四、例题选讲：例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。
解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义一、椭圆的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()01ce e a=<<时,这个点的轨迹是椭圆.一般称之为椭圆的第二定义,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率. 2.推导过程:例1 点()M x y ,与定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数()0ca c a>>,求点M 的轨迹.解:设d 是点M 到直线l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭. 由此得222()x c y c aa x c-+=-. 将上式两边平方,并化简,得22222222()()a c x a y a a c -+=-. 设222a cb -=,就可化成22221(0)x y a b a b+=>>.这是椭圆的标准方程,所以点M 的轨迹是长轴长为2a ,短轴长为2b 的椭圆. 二、双曲线的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()1ce e a=>时,这个点的轨迹是双曲线圆.一般称之为双曲线的第二定义,定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e 是双曲线的离心率. 2.推导过程:例2 点()M x y ,到定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数()0cc a a>>,求点M 的轨迹. 解:设d 是点M 到直线l 的距离.根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭, 由此得222()x c y c aa x c-+=-,化简,得22222222()()c a x a y a c a --=-. 设222c a b -=,就可化为22221(00)x y a b a b-=>>,这是双曲线的标准方程,所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线(如图1).对于双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，,相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c =,根据双曲线的对称性,相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-,所以双曲线有两条准线.三、几点说明:1.圆锥曲线的统一定义:平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离之比等于常数e 的点的轨迹:0<e <1时, 它表示椭圆；e >1时, 它表示双曲线；e =1时, 它表示抛物线,这里e 为离心率, F 为焦点,l 为准线2.第二定义中的定直线是任意直线,定点也是任意的(不在定直线上),这样得到的圆锥曲线方程不一定是标准形式.3.应用圆锥的第二定义要把握两个关键点:①必须是点到焦点的距离与点到相应准线的距离的比；②必须是焦点距与对应准线距的比.四、第二定义的典型应用 1、直接应用与求焦点弦长.例 1 (1)椭圆22110064x y +=上有一点P ,它到椭圆的左准线的距离等于10,则点P 到它的右焦点的距离为 ；(2)过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,A x y B x y ,,,若126x x +=,则AB 的长为 .解:(1) 解:∵2210064a b ==，,∴22100646c a b =-=-=.∴63105c e a ===. 依椭圆的第二定义,设P 点到椭圆左焦点的距离为x ,则3105x =.∴6x =. ∴点P 到椭圆右焦点距离为210614⨯-=.(2)设AB 的中点为E,点A 、E 、B 在抛物线准线l :1x -=上的射影分别为G 、H 、M.由第二定义知:8)1(2x x 2|EH |2|BM ||AG ||BF ||AF ||AB |21=--+==+=+=. 2、求离心率及其取值范围.例2 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为1F ,右准线为l 1,若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离,求椭圆的离心率.解:如图,AB 是过F 1垂直于x 轴的弦,|C F |1为F 1到准线l 1的距离,AD ⊥l 1于D,则|AD|=|F 1C|,由题意知|AB |21|AF |1=.由椭圆的第二定义知:21|AB ||AB |21|C F ||AB |21|AD ||AF |e 11==== 例3 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>,12F F ,分别是左、右焦点,若椭圆上存在点P ,使∠F 1PF 2=90°,求椭圆的离心率e 的取值范围.解:设点P(00y x ，),则由第二定义得0201ex a c a x e |PF |+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=,0022ex a x c a e |PF |-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. 因为21F PF ∆为直角三角形,所以2212221|F F ||PF ||PF |=+.即222020c 4)c 2()ex a ()ex a (==-++解得2222e a c 2x -=,由椭圆方程中x 的范围知220a x 0≤≤.2222a e a c 20<-≤∴,解得1e 22<≤. 3、求点的坐标例4 双曲线2213y x -=的右支上一点P ,到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2:1,求点P 的坐标.解:设点P(00y x ，)(0x 0>),双曲线的左准线为l 1:21x -=,右准线为l 2:21x =,则点P 到l 1、l 2的距离分别为21x d 21x d 0201-=+=，.所以,1221x 21x d d PF PF 002121=-+==,解得23x 0=. 将其代入原方程,得215y 0±=.因此,点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±21523，. 4、求最值例5 已知点()23A -，,设点F 为椭圆2211612x y +=的右焦点,点M 为椭圆上一动点,求2MA MF +的最小值,并求此时点M 的坐标.解:如图,过点A 作右准线l 的垂线,垂足为N,与椭圆交于点M.∵椭圆的离心率21e =∴由第二定义得|MN ||MF |2= ∴|MF |2|AM |+的最小值为|AN|的长,且1082|AN |=+=∴|MF |2|AM |+的最小值为10,此时点M 的坐标为(32,3).巩固练习:1.椭圆222214x y b b+=上一点到右准线的距离是23b ,则该点到椭圆左焦点的距离为 .解:设该椭圆的的左右焦点分别是12,F F ,该椭圆的离心率为3e =,由圆锥曲线的统一定义可知,23232332PF e b b b =⋅=⨯=所以,12443PF b PF b b b =-=-=即该点到椭圆左焦点的距离为b .2.点P 在椭圆225x +29y =1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P 的横坐标是_____.12253.椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则2PF 等于 .27解法一:(如下图)设椭圆的右焦点为F 1,左焦点为F 2,过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .∵42x +y 2=1,∴a =2,b =1,c =3.∴F 1(3,0).设P (3,y P )代入42x +y 2=1,得y P =21,∴P (3,21),|PF 1|=21.又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4,∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二:椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23,∴|PF 2|=27. 解法三:由解法一得P (3,21),又F 2(－3,0),∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.4.如果双曲线264x －236y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8,那么P 到它的右准线距离是 .532解析:利用双曲线的第二定义知P 到右准线的距离为e 8=8×108=532. 5.点M 与点()4,0F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程为 . 解:可知原条件⇔M 点到(4,0)F 和到4x =-距离相等,由抛物线的定义,点M 的轨迹是以(4,0)F 为焦点,4x =-为准线的抛物线.∴8=p ∴所求方程是x y 162=.6.已知P 为抛物线24y x =上任一动点,记点P 到y 轴的距离为d ,对于给定点A (4,5),则PA d +的最小值为 .134-7.已知点()()3220A F ，,，,在双曲线2213y x -=上求一点P ,使12PA PF +的值最小.解:∵1a b ==，∴2c =,∴2e =.设点P 到与焦点(20)F ，相应的准线的距离为d ,则2PFd=, ∴12PF d =.∴12PA PF PA d +=+,该问题就转化为在双曲线上求点P ,使点P 到定点A 的距离与到准线的距离和最小,即直线PA 垂直于准线时符合题意,∴23P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.8.定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动,设点M 为线段AB 的中点,求点M 到y 轴的最小距离. 解:抛物线焦点1(,0)4F ,准线l :14x =-, 设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ,设点00(,)M x y , 则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥,又11111||(||||)||22MM AA BB AB =+≥, 又101|4MM x =+,||3AB =,∴01342x +≥,所以054x ≥,即0x 的最小值是54.∴点M 到y 轴的最小距离是54,当且仅当AB 过点F 是取得最小距离.9.已知双曲线22x a -22y b=1的离心率e >12+,左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为l ,能否在双曲线的左支上找一点P ,使得212PF PF d =⋅(其中d 是P 到l 的距离)?解:设在左支上存在P 点,使|PF 1|2=|PF 2|·d ,由双曲线的第二定义知d PF ||1=||||12PF PF =e ,即|PF 2|=e |PF 1|. ①再由双曲线的第一定义,得|PF 2|－|PF 1|=2a . ②由①②,解得|PF 1|=12-e a ,|PF 2|=12-e ae ,∵|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|,∴12-e a +12-e ae≥2c . ③ 利用e =ac,由③得e 2－2e －1≤0,解得1－2≤e ≤1+2.∵e >1, ∴1<e ≤1+2与已知e >1+2矛盾.∴在双曲线的左支上找不到点P ,使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项.10.已知点P 在双曲线221169x y -=上,并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰好是P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,求P 点的横坐标.M1M。
高考数学解题方法与技巧---圆锥曲线的离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线的一个重要性质，我们知道，椭圆的离心率 0 < e < 1 ，双曲线 的离心率 e > 1，抛物线的离心率 e = 1．因此求椭圆，双曲线，抛物线的离心率成了近 年高考热点，为了使大家更也的理解和撑握此类题型解题方法与技巧，本人结合近年 高考以及实际经验，介绍以下几种求圆锥曲线离心率常用方法，希望能对大家有所帮 助。
A. 3 4
B. 2 3
C. 1 2
D. 1 4
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解：由 F1(1,0) 、F2 (3,0) 知 2c = 3 −1，∴ c = 1 ，又∵椭圆过原点，∴ a − c = 1，a + c = 3 ，
∴ a = 2 ， c = 1 ，所以离心率 e = c = 1 .故选 C. a2
−
a
，得
c a
2
−
2
c a
−
2
=
0
，解得
e = c =1+ a
3 （1−
3 舍去），故选 D
x2 变式练习 1：设双曲线 a 2
−
y2 b2
= 1（ 0 < a < b ）的半焦距为 c ，直线 L 过 (a,0)，(0,b) 两
点.已知原点到直线的距离为 3 c ，则双曲线的离心率为(
)
= −6x 的准线是 x
=
3 2
，即双曲线的右准线 x
=
a2 c
=
c2 −1 = c
3
，则 2
2c2 − 3c − 2 = 0 ，解得 c = 2 ， a = 3 ， e = c = 2 3 ，故选 D a3
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义【新知导读】1c a x c=-，这个式子的几何意义为 .2.圆锥曲线可以统一定义为： . 当01e <<时，它表示 ；当1e >时，它表示 ；当1e =时，它表示 .其中e 是圆锥曲线的 ，定点F 是圆锥曲线的 ，定直线 l 是圆锥曲线的 .3. 设椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为1l ，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到1l 的距离，则椭圆的离心率为________ . （这一题，我们能否不通过计算得到结果？） 答案：21 4.抛物线x y 122=上与焦点的距离等于9的点的坐标是_____ __ _. 答案：)266(， 、)266(-， 【范例点睛】例1二：双曲线191622=-y x 的左右焦点分别为21F F 、，在双曲线的右支上求点P ，使|PF 1|=3|PF 2|．分析：欲求点P 的坐标(x ，y )，必须建立两个关于x 、y 的方程，由题意及两点间距离公式很容易得到方程组，但想必解起来麻烦些，进一步分析题意，PF 1，PF 2都是焦半径，于是联想到双曲线的两个定义，从不同的定义出发，我们得到以下两种不同的解法：解法1：易知F 1(－5，0)，F 2 (5，0)821=-PF PF213PF PF =∴42=PF ，则有：16)5(22=+-y x ①16916922⨯=-y x ②消去y ，得25x 2-160x =0∴532=x 代入②得3953±=y ∴所求点P 坐标为（532，3953±） 解法2：设点P 到左、右准线的距离分别为d 1、d 2．则11ed PF =， 22ed PF =，2==ac e ∵|PF 1|=3|PF 2|∴d 1=3d 2于是51622==c a d ∴点P 的横坐标为53222==d x 再将532=x 代入双曲线方程，得3953±=y ∴所求点P 坐标为（532，3953±）. 例2已知点A （1，2）在椭圆1121622=+y x 内，F 的坐标为（2，0），在椭圆上求一点P 使PF PA 2+最小.（对这种距离问题，我们有可能会想到应用两点间距离公式来解，但是很快就发现这种解法极为复杂，这时我们就想到能否另辟蹊径？请大家打开几何画板演示，四人小组合作探索这条题的解法）（其实，有了上几题的启示，我们很快就可以想到能不能从PF 这条焦半径入手，由椭圆方程知道21=e ，从而有d ed PF 21==，很快我们就可以发现d PF =2，且这样就可以把焦半径PF 转化为PP ’，从而使得问题的规律性更为明显――只需把折线拉直了就可以得到最小值。
圆锥曲线统一定义的应用
圆锥曲线统一定义的应用一、圆锥曲线的统一定义椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线，在解题过程中，我们经常用到它们的统一定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当01e <<时，轨迹是椭圆；当1e >时，轨迹是双曲线；当1e =时，轨迹是抛物线．其中，点F 是曲线的焦点，直线l 是对应于焦点F 的曲线的准线，e 为离心率．圆锥曲线的统一定义把焦点、准线和离心率巧妙地联系起来，在解相关的题目时，巧妙运用统一定义，能起到化繁为简的作用，使问题简洁明快的得以解决．二、圆锥曲线统一定义的应用1．求距离问题例1 椭圆22110036x y +=上一点P 到左焦点的距离为6，则点P 到右准线的距离是多少？解：由第一定义，点P 到右焦点的距离为2614a -=，再由统一定义，得14810e d ==， ∴352d =，所以点P 到右准线的距离为352． 2．求最值问题例2 已知椭圆方程为2211612x y +=，右焦点为F ，(21)A ，为其内部一点，P 为椭圆上一动点，求P 点坐标，使2PA PF +最小．解：如图，由题意得4a =，b =，∴2c =，12c e a ==，由统一定义知2PF 即为P 到右准线的距离， 因此，要使2PA PF +最小，P 点除了应在y 轴的右侧外，还要使AP 与过P 点且与准线垂直的线共线即可，由22111612y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，，解得P 点坐标为13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，． 3．求轨迹方程例3 点M 与点(02)F -，的距离比它到直线:30l y -=的距离小1，求点M 的轨迹方程．解：由题意可知，点M 与点(02)F -，的距离和它到直线2y =的距离相等，根据定义知，轨迹是抛物线．因此22p =，∴28p =，故点M 的轨迹方程是28x y =-．4．求参数范围问题例4 在平面直角坐标系中，若方程222(21)(23)m x y y x y +++=-+表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围为（ ）． Ａ．(01)， Ｂ．(1)+∞，Ｃ．(05)， Ｄ．(5)+∞，=，此式可看成点()x y ，到定点(01)-，的距离与到直线230x y -+=由统一定义<，所以51m>，故答案为Ｄ．。
圆锥曲线统一定义在解题中的应用
＼
解： 圆锥 曲线上 的任意点 Ｍ（， ） 由统一定 义知： 设 ｘ ｙ，
Ｉ ＭＦＩ Ｉ ＦＪ Ａ
： １ ＿
－
解： 如上图 ， 设椭 圆的左准线与抛 物线 的准线分别 为 ｌ ｌ， 。２ 、
即
业
～
，
过 Ｐ点作 ｌ ｌ的垂线，垂足分别为 Ａ、 ，由圆锥 曲线统一定义 。ｚ 、 Ｂ
所以 Ｉ Ｆ Ｉ＝Ｊ ＢＪ ｚ Ｐ ②。 Ｐ 将①、 ②代人条件 ｅ ＝
为： Ｘ＝一３ ． ｃ
碍 Ｊ ＡＩ＝Ｊ ＢＪ Ｐ ， Ｐ
即椭 圆的左准线 与抛物线 的准线重合． 易求 得准线方 程
例 ｌ 过椭 圆的左焦点 Ｆ 作直线与椭圆交于 Ａ Ｂ两点 （ 、 见下
圆锥曲线统一定义： 面内动点 Ｍ（，Ｙ 到定点 Ｆ的距离 平 ｘ ） 与它到定直 线 ｌ 的距离的比是常数 ｅｅ ）的点的轨迹，当 ０ （＞０ （ ： ｅＩ ｌ时是椭 圆； ｅ 时是抛物线 ； ｅ 当 ：ｌ 当 ＞ｌ是时双曲线 ， ｅ 是离心率， Ｆ是焦点 。下面说 明圆锥 曲线统一定义的应用 。
维普资讯
Ｖｏ． ４ ｏ ６ Ｎｏ １ １２ ２ Ｄ ．０
学生普通话考前剖 Ｉ Ｉ 之我见
李孝英
（ 兰州交通大学铁道校 区， 甘肃 兰州 ７ ００ ） ３ ０ ０
摘 要： 针对学生普通话考前培训中存在的问 结合 自 题， 身多 年的培训实践， 从理论和实践 ２ 方面进行探讨， 提出了以 人为 本、 科学培训的理念和有效培训等 ５ 个步骤。
ＩＣｌ ＩＤＩ ＾ Ｂ
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Ｉ Ｂ Ｉｍ ４ ｏ Ａ ｅ ５ ． ５
圆锥曲线定义在解题中的应用
圆锥曲线定义在解题中的应用湖南省望城县第一中学 严文鸳 yan0112@圆锥曲线是高中阶段非常重要的一部分，是解析几何的核心内容，是高考重点考察的内容之一，也是学生感到比较难掌握的知识点之一。
确实，圆锥曲线问题的计算量相对偏大，技巧方法也比较多，但是做为最基础的圆锥曲线的定义，却往往被学生所忽视，而事实上，圆锥曲线的几何性质都是由定义得到的，许多问题特别是一些选择题和填空题借助于圆锥曲线的定义都能得以顺利解决。
下面就几种常见的问题加以说明： 一．焦三角形的问题例1．椭圆221169x y +=的焦点为1F ，2F ，椭圆的弦DE 过焦点1F ，DE 的倾斜角为α，0α≠，则△2DEF 的周长为（ ）A ．16B ．20C ．8D ．随α焦点的三角形的问题，直接利用椭圆的定义，122PF PF a +=，122EF EF a +=，而2l DE DF =++12214DF EF EF DF a =+++=，又由221169x y +=可知，4a =，从而得416l a == 练习：若双曲线方程22221(0,0)x y a b a b-=> >，过焦点1F 的弦AB 的长为m ，另一个焦点为2F ，则△2ABF 的周长为（ ）A ．4aB ．4a m -C ．42a m +D ．4a m -例2． 设1F ，2F 是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ∠=，则△12F PF 的面积 分析：∵1212S PF PF =⋅，若能求出1PF ，2PF 或12PF PF ⋅的值，则△12FPF 的面积便能求出，12PF PF ⊥，以及点P 满足2214x y -=，可以求出P 的坐标，从而求出1PF ，2PF ，但是此方法计算量较大，特别是对于填空题，其实由122222121224PF PF aPF PF F F c⎧+=⎪⎨+==⎪⎩⇒ 222121224PF PF PF PF a ++=⇒2124PF PF b =⇒23S b ==二．圆锥曲线类型问题例3．已知点(,)P x y1y =-+，求P 的轨迹图形是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段分析：这是个判断曲线类型的问题，如果直接化简很难，学生也难依据方程判断曲线的类型，表示(,)P x y 到(1,1)A 的距离，表示(,)P x y 到直线10x y -+=的距离，则原等式可变形为21=>，由圆锥曲线的统一定义可得(,)P x y 的轨迹是双曲线1k x y =-+，则方程表示的曲线又分别是什么？ 例4．过已知圆M 内的一个定点（不同于圆心M ）做圆C 与已知圆相切，则圆心C 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．圆或椭圆D ．线段 分析：设已知圆M 的半径为R ，动圆圆心的半径为r ，r CP = 由题意可得，MC R r =-＝R CP -，即MC CP R +=∵R MP >，（∵P 在圆内），由椭圆的定义可得，圆心C 的轨迹是椭圆 练习：若题中没有“不同于圆心M ”这个条件，圆心C 的轨迹是 二．最值问题例5．（2004年全国Ⅲ 理16）设P 是曲线24(1)y x =-上的一个动点，则点P 到点(0, 1)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值是 。
圆锥曲线统一的定义方程及性质例析
圆锥曲线统一的定义方程及性质例析作者：周丹来源：《黑龙江教育·中学教学案例与研究》2014年第04期圆锥曲线是解析几何的重要部分，在考试大纲中大部分都是掌握的内容，而且分值占了20多分，足见其作用的重要.教材中主要从椭圆、双曲线、抛物线这三种曲线的定义、方程及性质横向的分别来研究的，可这三种曲线各有特点又都有共性，这就给记忆、证明及应用带来了麻烦，这里想对它们共同的特点，如统一的定义及方程、部分统一性质，从纵向的角度加以探究.圆锥曲线各自都有很多性质，其实性质的证明方法及应用都大同小异，因此对常用的性质进行研究.一、圆锥曲线的几种统一定义及方程1.它们都是平面内到一个定点的距离和到一个定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值的取值范围不同形成了不同的曲线.教材中为了能得到椭圆、双曲线的标准方程，选的点和直线方程与抛物线选的不同，表面上看好象此定义不是完全统一的，其实这个点都是它们的焦点，直线都是它们的准线，比值就是离心率 .例1：平面内点M到点F（0，0）的距离和它到直线l∶x=-p（p>0）的距离之比是一个常数e，求点M的轨迹.解：过点M作MH⊥l，H为垂足，设M（x，y）则MF=eMH.即=e|x+p|两边平方，化简得（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0（*）.当00，M轨迹是椭圆.当e>1时，（*）式整理得（e2-1）（x-）2-y2=>0，M轨迹是双曲线.当e=1时，（*）式整理得y2=2px+P 2，点M的轨迹是抛物线.评注：此种定义的缺陷：不能表示圆的方程.（*）式为统一方程.2. 一动点与两个定点连线的斜率之积或差为实数的点的轨迹是圆锥曲线.例2：设A（a，0）B（-a，0）（a≠0），直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是实数P（P≠0），求点M的轨迹.解：设M（x，y）则kAM ·kBM =P即=P（x≠±a），整理得y2-Px2+Pa2=0-=1（*）（x≠±a）.当p=>0时（*）式+=1（x≠±a）为双曲线方程，当p=当p=-1时（*）式x2+y2= a2（x≠±a）为圆的方程.变式：若直线AM，BM的斜率之差是实数p（p≠0），求点M的轨迹.解：-=p，整理得y=（x2-a2），点M的轨迹是抛物线.评注：这种定义源于教材中的例题.动点的轨迹是圆锥曲线，主要是因为它的轨迹方程是关于x，y的二元二次方程.此定义能得到圆、椭圆、双曲线的标准方程.由例题可知，两个定点是椭圆、双曲线的顶点.如果两定点只是椭圆或双曲线上的两个关于原点对称的点，kAM kBM =P，点M的轨迹是什麽呢？变式：已知椭圆+=1（a>b>0），A、B为在椭圆上关于原点对称的两点，直线AM，BM 相交于M，且它们的斜率之积是实数p=-（p≠0），求点M的轨迹.解：设A（m，n）、B（-m，-n），M（x0，y0）.∵A在椭圆上，∴+=1，变形得n2 = b2 (1- )，∴kAM·kBM= ==-，∴+=1，∴点M的轨迹是方程为++=1（x0≠±m）的椭圆.思考：双曲线有这个结论吗？有，同理可证.3. 圆O半径为定长r，A是平面内一定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交与点Q，当P在圆上运动时，点Q的轨迹是什麽？解：QP=QA，①若点A在圆内（QA则OP=OQ+QP=OQ+QA=r>OA，Q的轨迹是以O、A为焦点，r为长轴长的椭圆.②若点A在圆上（QA=r），则点Q与点O重合，Q与点O重合，Q的轨迹就是O点.③若点A在圆外（QA>r），则OP=QP-OQ= QA-OQ =rQ的轨迹是以O、A为焦点，r为实轴长的双曲线.评注：这种定义源于教材中的书后习题，适当建系后可得到曲线方程，但不够完整，无法表示抛物线.二、圆锥曲线的统一性质性质1：圆锥曲线（不包括圆）上过焦点的弦中，通径最短.证明：设曲线上过焦点的弦AB，由例1可知焦点F（0，0）且A、B满足方程（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0（*）.设弦AB直线方程若斜率不存在，则x=0 ，此时AB=2ep（通径），若斜率存在，弦AB直线方程y=kx，y=kx（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0（1-e2+k2）x2-2e2px-e2p2=0（*），Δ=4e2p2（1+k2），AB==2ep|1+|>2ep，∴AB的最小值是2ep.性质2：圆锥曲线（不包括圆）中，过焦点的弦长与焦点弦的中点到相应准线的距离之比为常数.证明：由性质1可知，过焦点F（0，0）的弦AB=且AB中点的横坐标为，由例1可知曲线的一条准线l∶x=p，设AB中点的横坐标到准线的距离为d=|+p|==即=2e.特别当e=1时，即轨迹为抛物线，以焦点弦为直径的圆与准线相切.性质3：过曲线某点处的切线，结论相似.①过抛物线y2 =2px（p>0）上一点（x0，y0）作切线，切线方程为yy0=p（x+x0）；②过椭圆+=1（a>0，b>0）上一点（x0，y0）作切线，切线方程为+=1；③过双曲线-=1（a，b>0）上一点（x0，y0）作切线，切线方程为-=1；结论②、③与圆的切线结论相似，同样有：④过圆x2+y2=r2上一点（x0，y0）作其切线，切线方程为 xx0+yy0=r2.证明方法一致，直线与曲线连立Δ=0.上述四个结论，如出一辙，曲线方程与切线方程的关联之处，不言而喻.性质4：以焦半径为直径的圆与以长（实）轴为直径的圆相切.证明：设曲线（椭圆、双曲线）上一点P（x，y）由例1可知焦点F（0，0），且P满足方程（1-e2）x2-2e2px+y2-e2p2=0（*），则PF===e|x+p|，PF的中点坐标M（，），以长（实）轴为直径的圆C的方程为（x-）2+y2=，则CM===|x-|=|x+p-|，由x的范围可知=|e|x+p±|||=|=PF±Rc|，∴以PF为直径的圆与圆C相切.补充：当P在方程y2=2px（p>0）的抛物线上，则以PF为直径的圆与y轴相切.证明：设P（x0，y0），则PF=x0+，PF的中点坐标M（，），∴以PF为直径的圆与y轴相切.。
上课圆锥曲线的统一定义
a cx a ( x c) y
2 2
2
将其变形为:
你能解释这个式子的几何意义吗？
圆锥曲线统一定义:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比 为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）
(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. (2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
其中常数e叫做圆锥曲线的离心率, 定点F叫做圆锥曲线的焦点,
定直线l就是该圆锥曲线的准线.
思考
1、上述定义中只给出了一个焦点，一条准线，还有 另一焦点，是否还有另一准线？ 2、另一焦点的坐标和准线的方程是什么？ 3、题中的|MF|=ed的距离d到底是到哪一条准线 的距离？能否随意选一条？
1、对于焦点在x轴上的椭圆、双曲线有两个焦点，两条准线， 相对于焦点F2（c,0）的准线是x=a2/c；相对于焦点F1（-c,0） 的准线是x=-a2/c
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离）
平面内动点P到一个定点F的距离PF和到一条定 直线l (F不在l上)的距离d相等时,动点P的轨迹为抛 物线,此时PF/d=1.
探究与思考:
若PF/d≠1呢?
在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样 一个式子：
答案 8
课前预习
课堂互动
课堂反馈
方向1 应用统一定义转化求最值
x2 y2 【例 3】 已知椭圆 ＋ ＝1 内有一点 P(1，－1)，F 是椭圆 8 6 的右焦点，在椭圆上求一点 M，使 MP＋2MF 的值为最小.
解
设 d 为 M 到右准线 l 的距离.
圆锥曲线统一定义
则m= (2)已知椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长是短轴长的
2倍,两准线间的距离为4,则椭圆的方程为
x 2 - 4 y 2 = 20 (3)已知双曲线 上有一点P,它到右焦点
的距离为6,则它到左准线的距离为
(4)双曲线的两条准线与对称轴交点是两个焦点 构成线段的三等分点,则双曲线的离心率为 例３.分别根据下列条件求椭圆的标准方程： (1)长短轴之比为２：１，一条准线为x+4=0;
a2 y= c a2 y= c
x= - a c e= c > 1
2
例1.求下列曲线的焦4 y2 = 16;
(2)16 x 2 + 9 y2 = 144; (4)2 y - x = 8;
2 2
(3) x - 9 y = 36;
2
2
例2.填空题: 2 x2 + y = 1 y= - 9 , (1)椭圆 m + 4 9 的一条准线方程为 2
３.已知椭圆 ，能否在此椭圆位于y 轴左侧部分找到一点Ｍ，使它到左准线的距离 为它到两焦点的距离的等比中项？若存在，求 出Ｍ点的坐标；若不存在请说明理由．（你能 用几种方法解题？）
y2 x + =1 4 3
2
2 x2 + y = 1 上的点，且Ｐ 25 16
选做题
１.过椭圆左焦点作弦ＰＱ，以ＰＱ为直径作圆⊙Ｍ， 试判断⊙Ｍ与左准线的位置关系．对于双曲线是否有 类似的结论？抛物线呢？ ２.已知椭圆的焦点是 F1 (- 4,0), F2 (4,0) ，过点 F2 并垂
例5.椭圆 动点，当 ÐF1 PF2 为钝角时，求Ｐ点横坐标的取 值范围．
y2 x + =1 的焦点F1 , F2 ，点Ｐ为其上的 9 4
高中三年级数学 圆锥曲线的统一定义及其应用
问题2 刘洋同学身高1.7 m, 若在这次跳投中，球在 头顶上方0.25 m处出手， 问：球出手时，他跳离 地面的高度是多少？
3.5m 2.5m
4m
3.05 m
三 归纳小结
1、圆锥曲线的统一定义 2、利用统一定义解决求轨迹，求最值等问题 3、圆锥曲线在生活中的作用
一 创设情境 问题1:圆锥曲线形成的方法： 问题2：抛物线的定义是什么？ 问题3：当距离不相等，动点的轨迹又是什么呢？
一 创设情境
问题3：根据这个常数的变化，你能总结出椭圆、 双曲线、抛物线与这个常数有什么关系？
问题4：你能根据椭圆、双曲线、抛物线的联系给它们 下一个统一的定义吗？ 圆锥曲线的统一定义：
A y 8x2( x 0) B y2 8x( x 0) C x2 8 y( x 0) D x 8 y2( x 0)
练习一
1.动点P到点F（2，0）的距离比到x=-3的距离小1， 则点P的轨迹为（ ）
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.双曲线的一支
2.动点P(x,y)满足 ( x 1)2 ( y ， 2则)2点P1的
如下图,花坛水池中央有一喷泉,水管OP=1 m,水从 喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下,若最 高点距水面2m,P距抛物线对称轴1m,则在水池直径 的下列可选值中,最合适的是( )
A 2.5m B 4m
C 5m
D 6m
P O
练习三
如图，有一次,我班刘洋同学在距篮下4m处跳 起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水 平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确 落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
平面上到一个定点F的距离和它到定直线L的距 离之比是一个常数e的点的轨迹是圆锥曲线。
圆锥曲线统一定义的考点例析
圆锥曲线统一定义的考点例析圆锥曲线是解析几何的核心内容，在高考中占有较大比例，圆锥曲线是历届高考的热点，也是高考的难点，它主要有效考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度。
圆锥曲线中的统一定义（抛物线的定义、双曲线及椭圆的第二定义）是考查的重点对象，本文用案例进行如下剖析：案例1：已知双曲线116922=-y x 的左焦1F ，点()2,9A 不在曲线上，在这个曲线上任一点M ，则153MF MA +的值最小为 。
[思路点拨]求153MF MA +的最小值，53为双曲线离心率的倒数，则可利用双曲线的第二定义求解。
[解析]设点M 到左准线的距离为d ，过A 点作平行于x 轴交左准线为D.则554531=≥+=+AD d MA MF MA所以153MF MA +的最小值为554。
[反思]在圆锥曲线中，求形如11MF eMA +，其中M 为圆锥曲线曲线上任一点，A 点为平面内任一点，F 为焦点的最小值时将利用⇒=e dMF d eMF =||将式子转化为d MA +求解。
练习1：已知椭圆的方程为192522=+y x ，点()2,1A ，M 是椭圆上任一点，1F 为椭圆的左焦点，则145MF MA +的最小值为 。
练习2：点()2,6P 为抛物线x y 42=内一点，F 为焦点，在抛物线上有一点M ，使FM PM +最小，则M 点坐标为（ ）。
A.（1，2） B.（2，1） C.（2，22） D.（1，1）案例2：设AB 是过椭圆焦点F 的弦，所以AB 为直径的圆与F 所对应的准线l 的位置关系是（ ）。
A ．相交B 。
相切C 。
相离D 。
不能确定[思路点拨]此题主要考查弦的中点到相应准线的距离与半径的关系，通过椭圆的第二定义求解。
[解析]设弦AB 的中点为M ，A 、B 、M 在相应准线的投影为M B A ''',,，2AB r =则ereAB e BF eAFB B A A M M ==+='+'='222又10<<e ，所以r MA > 故正确答案为C 。
圆锥曲线的统一定义(3)
N F M N M F
M
o
F'
x
F'
oxΒιβλιοθήκη F其中e 离心率,F 焦点, 是准线. ,F是 其中e 是离心率,F是焦点,l是准线.
例题讲解 的坐标为( 例2 若点A 的坐标为(3,2),F 为抛 , 2 的焦点， 物线 y = 2 x 的焦点，点M 在抛物线上 移动时， 的最小值， 移动时，求|MA|+|MF|的最小值，并求 的坐标. 这时M 的坐标. y
y
变式练习 2 x 2 − y = 1 右支上的一 2. 已知 为双曲线 已知P为双曲线 3
D
P A ( 3 , 1)
O F
x
例题讲解
1.已知F是抛物线y =2px(p>0)的焦点 的焦点, 1.已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,抛物线上 已知 p 的坐标为(x ),求证 求证:PF= 点P的坐标为(x0,y0),求证:PF= x0 +
变式练习
x y 4.已知 已知F 的左焦点, 4.已知F是双曲线 2 − 2 = 1 的左焦点, P(x0,y0) a b −ex − a 是双曲线左支上一点, 是双曲线左支上一点,则PF=_________ 0 x y 5.已知 已知F 的左焦点, 5.已知F是双曲线 2 − 2 = 1 的左焦点, P(x0,y0) a b ex0 + a 是双曲线右支上一点, 是双曲线右支上一点,则PF=_________
Q o P
2
F
x
变式:已知F是抛物线x 2py(p>0)的焦点 的焦点, 变式:已知F是抛物线x2=-2py(p>0)的焦点, p 是抛物线上一点, P(x0,y0)是抛物线上一点,则PF=_________ − y0
巧用圆锥曲线统一定义
Ａ１
．
Ｄ
直 线 ｚ 的 倾 斜 角 为 （ ｌ ０ ＜ ＜ １ ， 则 ｃ 。 ： 。
ｍ ＋ｌ
．
日 Ｏ ＼ｌ ／ Ｆ
ｌ
证明
同结 论 １ 。
例３ （ ２ ｏ ｏ ８ － ＃ － 全 国Ｉ Ｉ ， 理） 已知Ｆ 是 抛 物 线 ｃ： ＝ 的 焦
・
．
＝
２
＇ ＿ ． 一
３ ＋２
。
上 述结 论 仅仅 是 圆锥 曲线 的统 一 定 义其 中的一 个 简单 应 用 ，圆锥 曲线 还 具有 其 他 的一 些 性 质 和结论 ， 等 待 同学们 去 发 掘 、 总结 。 ． ． 一
ａ１ Ｌ
－ － ５ － １ 结论２ 如图所示 ： 已知 双 曲线 ｃ： ～ ＝ （ ｎ ＞ ０ ， ６ ＞ ｏ ） 的右
＿
Ｄ
‘ 一－ １ Ａ ’
焦点为Ｆ ， 过Ｆ 的直线ｆ 与双曲线ｃ 相交 于Ａ、 Ｂ 两点 ， 且 ｍ 商（ ｍ＞
ｊ
１ ） ， 直 线 ｚ 的 倾 斜 角 为 ０ ＜ ＜ ５ １ Ｔ － １ ， 双曲 线的 离 心 率 为 ｅ ， 则 与 ｅ 的
与椭 圆ｃ 相 交ＴＡ、 两点 ， 直线ｚ 的倾斜 角为６ ０ 。 ， 且 ２ － Ｆ － ｇ， 求椭 圆的 离心率。
解 析 由结 论 １ 可 知ｅ ． ｃ ｏ ｓ ：
６０ 。． ． Ｉ ． 一 １
：
， 又ｍ ： ２．
， ｎ＋ ｌ
ｅ ：
ｅ：
２
２ ＋１
３
关 系为 ｃ 。 ｓ ０ ［ ＝ ｍ－ １
。
Ｂ１ 一
让 明 同 笫 论 １ 。
例２ （ ２ ０ ０ ９ － ￣ 国１ １， 理） 已知 双 曲线ｃ： ２ 一 ＝ １ （ ｎ ＞ ０ ， ６ ＞ ｏ ） 的右 焦 点 为 Ｆ ， 过Ｆ 且斜
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利用圆锥曲线的统一定义解题
圆锥曲线的统一定义揭示了圆锥曲线的内在联系，使焦点、离心率、准线等构成了一个和谐的整体。
恰当而灵活运用统一定义来解题，往往能化难为易，化繁为简，起到事半功倍的效果．下面谈一谈圆锥曲线的统一定义的解题功能。
一、“统一定义”活解曲线方程
例1、已知圆锥曲线过点(4,8)P --，它的一个焦点(4,0)F -，对应这个焦点的准线方程为4x =，求这条曲线的轨迹方程．
解：设(,)M x y 为该圆锥曲线上任一点，由统一定义得：4
44
MF PF
x =---，即
=
216y x =-，故所求曲线的方程为2
16y x =-
点评：利用圆锥曲线的统一定义来解，体现问题的本质，避免不必要的讨论，解题过程简捷．求圆锥曲线的轨迹方程时，涉及到焦点、准线、离心率和曲线上点4个条件中的3个，往往用圆锥曲线的统一定义解．
练习1：在平面内到定点（0，4）的距离比它到定直线5y =-的距离小1的动点的轨迹方程。
解：由题设可知：平面内动点到定点（0，4）的距离等于到定直线4y =-距离，由“统一定义”可知，动点的轨迹是以（0，4）为焦点，4y =-为准线的一条抛物线，其方程为216x y =。
二、“统一定义”妙解圆锥曲线的最值
例2、已知点(2,1)A 在椭圆内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P ，使||2||PA PF +最小．
分析：如果直译，很难使问题得到解决．根据所提供数据的特点，已知椭圆的离心率为
1
2
，而表达式||2||PA PF +中有系数２，可以考虑构造表达式||2||PA PF +的几何意义，紧扣椭圆的定义解答．
解：设椭圆上点P 到准线的距离为d ，则
1
2
PF e d ==，即2||d PF =，则问题转化为，在椭圆上求一点，使它到焦点F 与对应准线的距离之和最小，如图６，根据平面几何中的“垂线段最短”的性质，作2AM 垂直于准线，其与椭圆的交点即为所求点P ，故设
(,1)P x ，代入椭圆方程得x =P 为所求．
点评：根据椭圆的第二定义，通过离心率把到焦点的距离与到对应准线的距离之间进行
转化，结合图形的性质，探求解题方法，优化解题过程。
练习2：已知点A （3，0）、F （2，0），在双曲线22
13y x -=上求一点P ，使1
||||2
PA PF +
的值最小。
解：1,2,2a b c e ==∴=∴=。
设点P 到与焦点F （2，0）相应的准线的距离为d ，则
||2PF d =。
∴1
||2
PF d =。
1||||||2PA PF PA d ∴+=+，这问题就转化为在双曲线上求点P ，
使P 到定点A 的距离与到准线的距离和最小。
即直线PA 垂直于准线时合题意，∴P （1，0）。
三、“统一定义”妙求离心率
例3、已知椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>，过左焦点F 作倾斜角为060的直线交椭圆于,A B
两点，若2AF FB =，则椭圆的离心率e 为
解：如图，设2BF =，点B 到左准线的距离为d ，则4AF =， 点A 到左准线的距离3d +，由圆锥曲线的统一定义得
422
33
e d d =
==+ 点评：解法的关键是抓住了题设条件的特点，取2BF =并利
用了060的直角三角形的特性，根据椭圆的第二定义得到了比例式，从而利用等比定理简化了求解程序．
练习3：设点P 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 右支上的任意一点，21,F F 分别是其
左、右焦点，离心率为e ，若21PF e PF ⋅=，求此双曲线的离心率e 的取值范围。
解：由双曲线的第一定义可知：a PF PF 221=-，又21PF e PF ⋅=，故1
22-=
e a PF ，121-=
e ae
PF ，在21PF F ∆中，2121F F PF PF ≥+（当且仅当点21,,F P F 共线时取等号），即c e e a 21
)
1(2≥-+，所以0122≤--e e ，即211+≤<e ，故所求双曲线的离心率e 的取值范围是]21,1(+。
四、“统一定义”妙定位置关系
例4、设椭圆的左焦点为F ，AB 为椭圆中过点F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与左准线的位置关系．
解：设M 为弦AB 的中点（即以AB 为直径的圆的圆心），
111A B M ，，分别是A 、B 、M 在准线l 上的射影（如图）．由圆锥曲
线的共同性质得111()2AB AF BF e AA BB e MM =+=+=． ∵01e <<，∴12AB MM <，即
12
AB
MM <．∴以AB 为直径的圆与左准线相离． 练习4：在抛物线2
2y px =中（如图）A 为抛物线上异于顶点的任一点，问以|PA|为直径的圆与y 轴的位置关系如何。
解：如图，设过A 点且平行于x 轴的直线交y 轴于B 点，交直线L 于C 点，由统一定义可知|AC|=|AF|，设x 轴与准线L 交于D ，则|OF|=|OD|=|BC|，取AF 的中点M ，过点M 且平行于x 轴的直线交于y 轴于N ，则1111||(||||)(||||)||||2
2
2
2
MN AB OF AB BC AC AF =+=+==。
所
Y X
C B A N
M
F
O D
以|FA|为直径的圆与y 轴相切。
五、“统一定义”妙解探索性问题
例5、已知双曲线22
125144
x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ,左准线为l .能否在双曲线的
左支上求一点P ,使1||PF 是P 到l 的距离d 与2||PF 的等比中项?若能,求出P 的坐标.若不能,说明理由.
解：我们可假设存在满足条件的点P ,则212||||PF d PF =,即121||||||
PF PF e d
PF ==.又
5,12a b ==,所以1313,5c e ==
,则2113
||||5
PF PF =.而21||||210PF PF a -==,所以122565||,||44PF PF ==,121245
||||||2
PF PF F F +=<,这与1212|||||PF PF F F +≥矛盾.故不存在
满足条件的点P .
点评：圆锥曲线的定义上其性质属性的深刻反映，运用其定义法求解是最直接、最基本，也是很简洁的方法。
这里将2
12||||PF d PF =化为比式,借助统一定义确定12||,||PF PF 的关
系,再联系第一定义,得到矛盾不等式.两个定义联手,可谓天衣无缝.
练习5：已知双曲线122
22=-b
y a x 的离心率21+>e ，左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线
为l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得1
PF 是P 到l 的距离d 与2PF 的等比中项？ 解：设在左半支上存在P 点，使d PF PF ⋅=22
1，由双曲线的第二定义，知 e PF PF d PF ==1
21，即12PF e PF =．①再由双曲线的第一定义，得a
PF PF 212=-．② 由①、②，解得121-=e a PF ，1
22-=e ae
PF ． 在21F PF ∆中，有c
PF PF 221≥+，∴c e ae e a 21
212≥-+-．③ 利用a
c e =
，从③式得0122
≤--e e ．解得2121+≤≤-e ． 由1>e ，得211+
≤<e ，与已知21+>e 矛盾．∴符合条件的点P 不存在．
总之，我们在解决圆锥曲线的问题时，从定义的角度考虑出发是一种很好的解题思路。
定义是分析、解决问题的重要依据，巧妙简捷的解题常常来源于定义的恰当合理应用，只有熟练掌握每一个定义的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地用定义解题。