利用圆锥曲线的统一定义解题

利用圆锥曲线的统一定义解题

圆锥曲线的统一定义揭示了圆锥曲线的内在联系，使焦点、离心率、准线等构成了一个和谐的整体。恰当而灵活运用统一定义来解题，往往能化难为易，化繁为简，起到事半功倍的效果．下面谈一谈圆锥曲线的统一定义的解题功能。 一、“统一定义”活解曲线方程

例1、已知圆锥曲线过点(4,8)P --，它的一个焦点(4,0)F -，对应这个焦点的准线方程为4x =，求这条曲线的轨迹方程．

解：设(,)M x y 为该圆锥曲线上任一点，由统一定义得：4

44

MF PF

x =---，即

=

216y x =-，故所求曲线的方程为2

16y x =-

点评：利用圆锥曲线的统一定义来解，体现问题的本质，避免不必要的讨论，解题过程简捷．求圆锥曲线的轨迹方程时，涉及到焦点、准线、离心率和曲线上点4个条件中的3个，往往用圆锥曲线的统一定义解．

练习1：在平面内到定点（0，4）的距离比它到定直线5y =-的距离小1的动点的轨迹方程。

解：由题设可知：平面内动点到定点（0，4）的距离等于到定直线4y =-距离，由“统一定义”可知，动点的轨迹是以（0，4）为焦点，4y =-为准线的一条抛物线，其方程为216x y =。 二、“统一定义”妙解圆锥曲线的最值

例2、已知点(2,1)A 在椭圆内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P ，使||2||PA PF +最小．

分析：如果直译，很难使问题得到解决．根据所提供数据的特点，已知椭圆的离心率为

1

2

，而表达式||2||PA PF +中有系数２，可以考虑构造表达式||2||PA PF +的几何意义，紧扣椭圆的定义解答．

解：设椭圆上点P 到准线的距离为d ，则

1

2

PF e d ==，即2||d PF =，则问题转化为，在椭圆上求一点，使它到焦点F 与对应准线的距离之和最小，如图６，根据平面几何中的“垂线段最短”的性质，作2AM 垂直于准线，其与椭圆的交点即为所求点P ，故设

(,1)P x ，代入椭圆方程得x =P 为所求．

点评：根据椭圆的第二定义，通过离心率把到焦点的距离与到对应准线的距离之间进行

转化，结合图形的性质，探求解题方法，优化解题过程。

练习2：已知点A （3，0）、F （2，0），在双曲线22

13y x -=上求一点P ，使1

||||2

PA PF +

的值最小。

解：1,2,2a b c e ==∴=∴=。设点P 到与焦点F （2，0）相应的准线的距离为d ，则

||2PF d =。∴1

||2

PF d =。1||||||2PA PF PA d ∴+=+，这问题就转化为在双曲线上求点P ，

使P 到定点A 的距离与到准线的距离和最小。即直线PA 垂直于准线时合题意，∴P （1，0）。 三、“统一定义”妙求离心率

例3、已知椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>，过左焦点F 作倾斜角为060的直线交椭圆于,A B

两点，若2AF FB =，则椭圆的离心率e 为

解：如图，设2BF =，点B 到左准线的距离为d ，则4AF =， 点A 到左准线的距离3d +，由圆锥曲线的统一定义得

422

33

e d d =

==+ 点评：解法的关键是抓住了题设条件的特点，取2BF =并利

用了060的直角三角形的特性，根据椭圆的第二定义得到了比例式，从而利用等比定理简化了求解程序．

练习3：设点P 是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 右支上的任意一点，21,F F 分别是其

左、右焦点，离心率为e ，若21PF e PF ⋅=，求此双曲线的离心率e 的取值范围。

解：由双曲线的第一定义可知：a PF PF 221=-，又21PF e PF ⋅=，故1

22-=

e a PF ，121-=

e ae

PF ，在21PF F ∆中，2121F F PF PF ≥+（当且仅当点21,,F P F 共线时取等号），即c e e a 21

)

1(2≥-+，所以0122≤--e e ，即211+≤

例4、设椭圆的左焦点为F ，AB 为椭圆中过点F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与左准线的位置关系．

解：设M 为弦AB 的中点（即以AB 为直径的圆的圆心），

111A B M ，，分别是A 、B 、M 在准线l 上的射影（如图）．由圆锥曲

线的共同性质得111()2AB AF BF e AA BB e MM =+=+=． ∵01e <<，∴12AB MM <，即

12

AB

MM <．∴以AB 为直径的圆与左准线相离． 练习4：在抛物线2

2y px =中（如图）A 为抛物线上异于顶点的任一点，问以|PA|为直径的圆与y 轴的位置关系如何。

解：如图，设过A 点且平行于x 轴的直线交y 轴于B 点，交直线L 于C 点，由统一定义可知|AC|=|AF|，设x 轴与准线L 交于D ，则|OF|=|OD|=|BC|，取AF 的中点M ，过点M 且平行于x 轴的直线交于y 轴于N ，则1111||(||||)(||||)||||2

2

2

2

MN AB OF AB BC AC AF =+=+==。所

Y X

C B A N

M

F

O D