张量分析第二部分

2.6 张量函数的导数
1.张量函数的定义
张量函数是指自变量是张量，而函数值是标量、矢量和张量的函数。

例如
()B f f =，()
ij B f f = (2.6.01)
()B a a =，()ij
k
k
B a a = (2.6.02) ()B
C C =，()ij
k k B C C 1
1
= (2.6.03)
分别称作二阶自变量张量B 的标量值、矢量值和二阶张量值的张量函数。

一般说来，这些分量函数的形式在不同坐标系中是不同的，如果它们对所有的单位正交基是相同的，我们就称它们是各向同性张量函数。

2.张量函数的梯度
现在考虑只有一个二阶自变量B 的标量值张量函()B f 数。

B 的增量d B 和f 的微分df 仍然是二阶张量和标量。

这时
ij ij
dB B f
df ∂∂=
(2.6.04) 写成不变性形式，则有
B B
d d df
df :=
(2.6.05) 根据商法则可知
B
d df
也是二阶张量，称之为f 的梯度。

若B 是二阶对称张量，则f 是B 的六个独立分量的函数。

这时在求f 的梯度时，需先在f 里用()
ji ij
B B
+2
1代替ij B ，求得扩充
后的九个偏导数后再按ji ij B B =简化。

例如
()()()221122
124
1
B B B f +=
=B (2.6.06) 于是
()1221121221
B B B B f =+=∂∂ (2.6.07) 12
1221B f
B B f ∂∂∂∂== (2.6.08) 这一点需要切记，否则如果对()2
12B f 直接求导，就会导致
1221
2B B f =∂∂的错误结果。

任意二阶张量B 的三个主不变量也是张量函数。

现求它的梯度如下。

由式(1.11.07)—式(1.11.09)知
ir ri βδ=1I (2.6.09)
js ir rst ijt B B e e 21
2=
I (2.6.10) kt js ir rst ijk B B B e e 6
1
3=I (2.6.11)
于是
mn rn im ri mn
r
ri mn B B B I δδδδ∂∂δ∂∂===11 (2.6.12) ()mn
js ir rst ijt mn B B B e e B I ∂∂∂∂21
2= (2.6.13) ()()
sn jm ir js rn im rj is js ir B B δδδδδδδδ+-=
21
()[]
nm jj mn B B -=δ22
1
()T
mn mn jj B B -=δ (2.6.14)
()mn
kt js ir rst ijk mn B B B B e e B I ∂∂∂∂61
3= ()tn km js ir kt js sn jm ir kt js rn im rst ijk B B B B B B B e e δδδδδδ++=61
kt js nst mjk B B e e 21
=
()()()[]
kt js js kn ks jn mt jt kn kt jn ms ks jt kt js mn B B δδδδδδδδδδδδδδδ-+---=21
()[]
mm jj km nk km nt kk nm kt tk kk jj mn B B B B B B B B B B B B -++--=δ2
1
()()()
tn T mt T T
mn kk mn kt tk kk jj B B B B B B B B +--=δ2
1 (2.6.15)
把上列三式写成对任何坐标系都适用的不变性形式，则有
I B =d dI 1
(2.6.16) T I d dI B I B -=12
(2.6.17) ()
2
123T T I I d dI B B I B
+-= (2.6.18) 利用式凯莱—哈密顿定理(1.12.09)，我们可将式(2.6.18)写成下列形式：
()
31
3
I B B
-=T d dI (2.6.19)
在实际应用中常出现复合函数的情形，这时可以利用链式法则进行运算。

张量函数的导数在研究连续介质的本构理论中起着重要的作用。

2.7 积分定理广义积分定理
1.积分定理
专著[非线形弹性理论(郭仲衡著)]以下列J.A 斯克腾(Schouten )对N 维直线坐标系所证明的著名公式
111
k j i f k r j ri f oT df oT df q
q -=-⎰
⎰
+∂ (2.7.01)
为出发点对三维欧氏空间中由体积变为面积分的格林变换和由面积分变换为线积分的开尔文(Kelvin)变换进行了详尽的阐述并给出了格林变换和开尔文变换的不变性形式如下：
T a T o d o dv a
v
-=-∇⎰⎰ (2.7.02) T f T a o d o d f a -=-∇⨯⎰⎰ (2.7.03)
在上列三式中，j ri df 和j i df 分别是1+q 维的和q 维的格拉斯曼(Grassmann)容积元素；1+q f 是左边积分的积分区域，
q f 是其边界；“-o ”代表张量T 和容积元素间的任意代数运算；v 、a 和f 分别表示体积、面积和线段。

当-o 分别为并乘、点乘和叉乘时，则格林变换分别具有下列形式：
T aT T dvgrad d dv v a v
⎰⎰⎰==∇ (2.7.04) T T a T dvdiv d dv v a v ⎰⎰⎰=⋅=⋅∇ (2.7.05) T a T a T dcurl d dv v v
⎰⎰⎰
=⨯=⨯∇ (2.7.06)
若式(2.7.05)中取T 为矢量b ，则有
b n b ⋅=⎰⎰da dvdiv a v
(2.7.07)
此即熟知的矢量散度定理，或称为格林—高斯(Gauss )定理，其中n 为外单位法线矢量。

若在式(2.7.03)中，取“-o ”为点乘时，则有
T a T f T a curl d d d a a
⎰⎰⎰
=⋅=⨯∇⋅ (2.7.08)
在上式，取T 为矢量b ，则有 b f b a ⋅=⋅⎰⎰d curl d f a (2.7.09)
此即熟悉的斯托克斯(Stokes )公式。

2.广义积分定理
若在式(2.7.02)和式(2.7.03)中的体积v 内和面积a 上包含间断曲面σ和间断曲线γ，越过它们张量T 发生跳变，我们可以参照专著[张量分析.爱林根著]中所述方法证明下面两个广义积分定理，即广义格林变换定理和广义开尔文变换定理。

定理1 (广义格林变换定理)
设在体积v 内具有间断曲面σ，T 为任意张量，则下式成立：
[]T n T n T o da o da o dv a v ---=-∇⎰⎰
⎰
--σσ
σ
(2.7.10)
式中，v v v -=-⋂σσ，a a a -=-⋂σσ，表示跳变，即
[]-
+-=T T T
这里+
T 和-
T 分别表示间断曲面两侧的T 值。

[证] 把式(2.7.02)分别应用于由++⋃σa 和--⋃σa 所限界的间断曲面σ两侧的v 和-
v ，则得
++-+-=-∇⎰⎰⎰+++T n T n T o da o da o dv a v σ (2.7.11) ---+-=-∇⎰⎰
⎰
--
-
T n T n T o da o da o dv a v σ (2.7.12)
式中带有+和-标示的各量分别表示间断面σ两侧相应的量。

把式(2.7.11)和式(2.7.12)相加，则得
--+++-+-+-=-∇⎰⎰⎰
⎰
-+-
+-
+T n T n T n T o da o da o da o dv a a v v σσ (2.7.13)
令σσ→+，σσ→-，则σσ-=⋂-=+-
+v v v v v ，a a a a a +
-+=-⋂=-σσ；另外，考虑到n n n -=-=-+，
则式(2.7.13)可写成下列形式：
[]T n T n T o da o da o dv a v ---=-∇⎰⎰
⎰
--σσ
σ
(2.7.14)
此即式(2.7.10)。

我们把它称为广义格林变换定理。

若令b T =为矢量，并取-o 为点乘，则式(2.7.10)就变成为
[]da da dv div a v b n b n b ⋅-⋅=⎰⎰
⎰
--σσ
σ
(2.7.15)
我们把此式称为广义格林高斯公式。

定理2 (广义开尔文变换定理)
设在面积a 上具有间断曲线γ，T 为任意张量，则下式成立：
[]T h T T a o df o df o d f a ---=-∇⨯⎰⎰
⎰
--γγ
γ
(2.7.16)
式中γγ⋂-=-a a a ，γγ⋂-=-f f f 。

h 为间断曲线上的切矢量。

[证] 把式(2.7.03)分别应用于由++
⋂γf
和--⋂γf 所限界的间断曲线γ两侧的+a 和-a ，则得
++-+-=-∇⨯⎰⎰⎰+++T h T T a o df o df o d f a γ (2.7.17) ---+-=-∇⨯⎰
⎰⎰
--
-
T h T f T a o df o d o d f a γ (2.7.18)
式中带有+和-标示的各量分别表示间断曲线γ两侧相应的量。

把式(2.7.17)和式(2.7.18)相加
--+++++-+-+-=-∇⨯⎰
⎰⎰⎰--
+-
+T h T h T f T a o df o df o d o d f
f a
a γγ
(2.7.19)
令γγ
→+
,γγ→-则γγ-=⋂-=+-+a a a a a ，γγ-=⋂-=+-+f f f f f ；另外，考虑到h h h ==-+，则式
(2.7.19)可写成下列形式：
[]T h T f T a o df o d o d f a ---=-∇⨯⎰⎰
⎰--γγ
γ
(2.7.20)
此即式(2.7.16)。

我们把它称为广义开尔文变换定理。

若令b T =为矢量，并取-o 为点乘，则式(2.7.16)就变成
[]b h b f b a b a b a ⋅-⋅=⋅=⨯∇⋅=⋅∇⨯⎰⎰
⎰
⎰
⎰
----df d curl d d d f a a a γγ
γ
γ
γ
(2.7.21)
我们把此式称为广义斯托克斯公式。

2.8 曲线坐标∙基矢量∙度量张量
到目前为止，我们只讲述了直角坐标系下的问题。

从现在起，我们讲述曲线坐标系下的问题。

1.曲线坐标
设空间中任一点P ，其位置可用矢径P 表示。

在曲线坐标系中，指标可为上标或下标。

在斜角坐标系{}
i x 中，P 为i x 的函数，即(
)()
i x x x x P P P ==321,,。

P 也可用另外三个变量 1x ， 2x ，
3x 来表示，即
(
)()
3 2 1''
'',,i x x x x P P P ==，这种坐标系记为{}
'i x 。

这两组变量()3
2
1
,,x x x 和()
3 2
1'
'',,x x x 表示同一空间点的位置。

两者由下
列坐标变换联系起来： ()
'
i i i x x x =，3,2,1 ,'=i i (2.8.01)
若i
x 是'i x 的线性函数，则 '
i x 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为
'
'
''i i i i i i i
x x x x
A x ∂∂=
= (2.8.02)
这里i i A '为变换系数，它是常数。

若i
x 不是
'i x 的线性函数，则{}
'
i x 称为曲线坐标。

在曲线坐标系{}
'
i x 中，若雅可比(Jacobi )行列式J 不为零，即
0det
'
'≠=
=i i i i x x A J ∂∂ (2.8.03)
则坐标变换(2.8.01)具有逆变换，即有
()
i i i x x x '
'
= (2.8.04)
若在式(2.8.01)中，令=
1'x 常数，则由式(2.8.04)决定一组曲面，其中过P 点的曲面称为 1'x 坐标曲面。

同样地，可决定
2'
x 和
3'x
坐标曲面。

2'x
坐标曲面和
3'x
坐标曲面的交线上，x 2'和x 3'为常数，只x 1'变化,这条交线称为x 1'坐标曲线。

同样可得x
2'
和x 3'
坐标曲线。

三条坐标曲线交于P 点。

由这些坐标曲面和坐标曲线所构成的坐标系称为曲线坐标系。

斜角坐标系是一种固定的坐标系，它不随P 点的改变而改变，但曲线坐标则随P 点的位置改变而改变。

直角坐标系是斜角坐标系的特殊情形。

正交曲线坐标系是一般曲线坐标系的特殊情形。

当然，一般曲线坐标系是最一般的。

连续介质力学中最常用的正交曲线坐标系是柱面坐标系和球面坐标系。

现叙述如下。

(1)柱面坐标系
设直角坐标系为{
}3
21,,:x
x x x i ，曲线坐标系为{}
z x x r x x
i === 3 2 1
'
''',,:ϕ，则式(2.8.01)的具体形式取为
ϕcos
1
1
'
'r x x x i =⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
()
ϕsin 22'
r x x x i ==
()
z x x x i == 33'
(2.8.05)
其中0≥r ，πϕ20<≤，∞<<-∞z 。

由此可见，i
x 不是
'i x 的线性函数，故{}
'
i x 属于曲线坐标系。

这种坐标变换的雅可比行列式为
r r r z
x x r x z
x x r x z x x r x x x J i i =-===
1
000cos sin 0sin cos 3332
22111
'
ϕϕϕϕ∂∂∂ϕ∂∂∂∂∂∂ϕ∂∂∂∂∂∂ϕ∂∂∂∂∂ (2.8.06) 除0=r 外，0≠J ，故有逆变换(2.8.04)的具体形式如下： ()()
2
22
1
1'x x r x +=
=
1
2
1
2'x x tg
x
-==ϕ z x ='
3 (2.8.07)
由此可得坐标曲面：
(i) 1 1'
C r x ==(常数)为以z 轴为公共轴的圆柱面(当01=C 时，即为z 轴)； (ii) 2 2'C x ==ϕ(常数)为通过z 轴的平面； (iii)3 3'C z x ==(常数)为垂直于z 轴的平面； 和坐标曲线：
(i) 1 1'C r x ==和2 2'
C x ==ϕ的交线(z 线)是直线； (ii) 2 2'
C x ==ϕ和3 3'
C z x ==的交线(r 线)是直线； (iii) 1 1'
C r x ==和3 3'
C z x ==的交线(ϕ线)是圆。

这种坐标系称为柱面坐标系。

(2)球面坐标系
设直角坐标系为{}
,,,:321x x x x i ，曲线坐标系为{
}
ϕϑ=== 3 2 1 '
''',,:x x r x x i ，则式(2.8.01)的具体形式取为 ϕϑcos sin 1r x = ϕϑsin sin 2r x =
ϑcos 3
r x = (2.8.08)
其中0≥r ，πϕ20<≤，πϑ<≤0。

由此可见，i
x 不是 '
i x 的线性函数，故{}
'
i x 属于曲线坐标系，这种坐标变换的雅可比行列式为
ϑϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑϕϑϕϑ∂ϕ
∂∂ϑ∂∂∂∂ϕ
∂∂ϑ∂∂∂∂ϕ∂∂ϑ∂∂∂sin 0
sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin 23332
22111r r r r r r x x r x x x r x x x r x J =--== (2.8.09)
除0=r ，0=ϑ，π， 外，0≠J ，故有逆变换(2.8.04)的具体形式如下：
()()()2
32
22
1
1'x x x r x
++=
=
()()3
2
2211
2'
x x x fg
x +==-ϑ
12
1
3'x
x tg
x -==ϕ (2.8.10) 由此可得坐标曲面：
(i) 1 1'
C r x ==(常数)为中心在原点的球面(当01=C 时，即为原点)；
(ii) 2 2'
C x ==ϑ(常数)为以原点为顶点的圆锥(当02=C 或π=2C 时变为直 线，当C 2
2
=
π
时为2
1x x 面)；
(iii)3 3'
C x ==ϕ(常数)为通过3
x 轴的平面； 和坐标曲线：
(i) 1C r =和2C =ϑ的交线(ϕ线)是圆； (ii) 2C =ϑ和ϕ
=C 3的交线(r 线)是直线；
(iii) 1C r =和3C =ϕ的交线(ϑ线)是半圆。

这种坐标系称为球面坐标系。

2.基矢量∙度量张量
给定曲线坐标之后，过空间任意一点沿每一族坐标曲线可以得到一个切矢量：
'i x
∂∂P g =
(2.8.11)
为书写简单起见，常取{} '
i x 为{}i
y
，于是上式可写成：
i
i y ∂∂P g =
(2.8.12)
在斜角坐标系中，设其协变基矢量为i i ，则
i i x i P = (2.8.13)
注意，在曲线坐标系和斜角坐标系中爱因斯坦求和约定中两个重复的指标应为一个是上标，而另一个是下标。

由于i i 是常数
，故有
i i i j i y
y x ∂∂∂∂P
i g == (2.8.14)
由雅可比行列式0≠J 知，1g ，2g ，3g 是线性独立的矢量组，我们称为协变基矢量组，它们可以构成一个标架。

因为对空间每一点都存在一个这样的标架，所以这些标架的全体在空间中构成一个标架场，称之为活动标架场。

对于一个矢量a 可有两种类型的分量i
a 和i a ，设其对应的基矢量为i g 和i g ，则
i i i i a a g g a == (2.8.15)
由ijk e 的定义可知，下列混合积等式成立：
[][]ijk k j i
k
j
i
e 321g g g g g g
g g g =⋅⨯= (2.8.16)
[][]
ijk k j i
k
j
i
e 321g g g g g g
g g g =⋅⨯= (2.8.17)
这两个量定义为爱丁顿(Eddington )张量并分别记为ijk ε和ijk
ε。

由此定义可知
[]321123g g g =ε (2.8.18)
[]
321123g g g =ε (2.8.19)
对于矢量0≠a ，则有 ()()()
j i j i j j i i a a a a g g g g a a a
⋅=⋅=⋅=2
()()()j
i
j
i
j
j
i
i
a a a a g g g g ⋅=⋅= ()()()j
j
j
i
j
j
i
i
a a a a g g g g ⋅=⋅=
0>=i i a a (2.8.20)
我们令
j i ij g g g ⋅= (2.8.21)
j i ij g g g ⋅= (2.8.22)
i j j i j i g g g g g ⋅=⋅= (2.8.23)
它们分别称为协变度量张量、逆变度量张量和混合度量张量。

前两者分别起着升标和降标的作用。

考虑到矢量a 的任意性，故由式(2.8.20)可知
j
i j i i j δ=⋅=g g g (2.8.24)
式(2.8.24)说明，基矢量i g 与i g 是正交的，它俩称为互逆基矢量，i g 称为协变基矢量，而i g 则称为逆变基矢量。

容易看出互逆基矢量间具有下列关系：
[]
3213
21g g g g g g ⨯= (2.8.25)
[]
3211
32g g g g g g ⨯= (2.8.26)
[]
3212
13g g g g g g ⨯=
(2.8.27)
或
[]
k ijk k k j i j i g g g g g g g ε==⨯ (2.8.28) []k ijk
k
j i
j
i g g g g g g ε
==⋅ (2.8.29)
由于
()()
11g g g g g j k ik j i i j g g ⋅=⋅=
jk ik k j ik g g g g ==1
1δ
i j kj ik g g δ== (2.8.30)
故知[]ij
g
和[]ij
g 互为逆阵。

因为它们均为正定矩阵，故行列式
032133
3231232221
13
1211
>===ijk k j i ij e g g g g g g g g g g g g g g (2.8.31) 01
32133
32
31
232221
13
1211>===ijk k j i ij e g g g g g g g g g g g g g g
(2.8.32) 下面来证明下列等式：
[]2
321g g g ==ij g g (2.8.33)
事实上，
[]
()()()
[]
3
3212113323
21g g g g g g g g g g g g ⨯⨯⨯⋅⨯=
()()[]3
3211
21332g g g g g g g g g ⋅⨯=
[]
3211
g g g =
(2.8.34)
另外
[][
]
k k j j i i g g g g g g g g g 321321= []k
j
i
k
j i g g g g g g 321=
[]321321g g g k j i g g g =
[]3211
g g g g
=
(2.8.35) 由式(2.8.34)和式(2.8.35)可得
[][
]
3
212
3211
g g g g g g =
=g (2.8.36)
即
[][
]
3
21
3211
g g g g g g =
=g (2.8.37)
于是爱丁顿张量可以写成下列形式：
[]k j i k j i ijk e e e g ==g g g ε (2.8.38)
[]
k j i k j i ijk e e e g
1=
=g g g ε (2.8.39)
写成不变性形式，则为
k j i ijk k j i ijk g g g g g g εεε==
(2.8.40)
在直角坐标系下，1=g ，故有
k j i ijk ijk e e e ==εε (2.8.41)
在曲线坐标系中，任意张量，例如二阶逆变一阶协变张量可表示成下列四种记法： (1)不变性记法 T (2)分量记法 ij k T (3)并矢记法 k j i ij k T g g g。