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2017年高考数学试题分项版—平面向量(解析版)

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专题07 平面向量 解析版(2016-2020)高考数学(理)真题分项详解

专题07 平面向量 解析版(2016-2020)高考数学(理)真题分项详解

专题07 平面向量【2020年】1.（2020·新课标Ⅲ）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ） A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 2.（2020·山东卷）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ） A. ()2,6- B. (6,2)- C. (2,4)- D. (4,6)-【答案】A 【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，3.（2020·北京卷）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 (1).5 (2). 1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-， 因此，()22215PD =-+=，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.4.（2020·天津卷）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】 (1). 16 (2). 132【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则533,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,2DM x ⎛=- ⎝⎭，333,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()222533321134222222DM DN x x x x x ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 5.（2020·浙江卷）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______． 【答案】2829【解析】12|2|2e e -≤，124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 6.（2020·江苏卷）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185.当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.7.（2020·新课标Ⅱ）已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】2【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.8.（2020·新课标Ⅰ）设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=【2019年】1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ．2．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB →=(2,3)，AC →=(3，t )，BC →=1，则AB →·BC →= A ．−3 B ．−2 C ．2D ．3【答案】C【解析】由BC →=AC →—AB →=（1，t-3），211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．3．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．4．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________. 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．5．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B ，535(,)22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(23)3y x =-， 直线AE 的斜率为33-，其方程为33y x =-. 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.6．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【答案】3.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3ABAC=【2018年】1．【2018·全国I 卷 】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-. 故选A.2．【2018·全国II 卷 】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.3．（2018·浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A ．3−1 B ．3+1 C ．2 D ．2−3【答案】A【解析】设，则由得，由b 2−4e ·b +3=0得因此|a −b |的最小值为圆心到直线的距离23=32减去半径1，为选A.4．【2018·天津卷 】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=1,AB AD ==若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为A ．2116 B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】连接AD ,取AD 中点为O ,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD △为等边三角形，3BD =. 设()01DE tDC t =≤≤AE BE ⋅ ()()()2232AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+ =233322t t -+ ()01t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最大值2116，故选A.5．【2018·北京卷 】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】222222699+63333-=+-=⇔⇔-++⋅=⋅+a a b a b a b a b a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C.6．【2018·全国III 卷 】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________． 【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12.7．【2018·上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________． 【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a =b +2，或b =a +2； 且()()1,2,AE a BF b ==-，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-； ∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．8．【2018·江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________． 【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =【2017年】1．【2017·全国III 卷 】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．3B ．22C ．5D ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ， 易得圆的半径5r =C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤21514z -≤+，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．2．【2017·全国II 卷 】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则3)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以(3)PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，所以(2,2)PB PC x y +=--，22()22(3)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-2333)22-≥-，当3P 时，所求的最小值为32-，故选B ．3．【2017·北京卷 】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.4．【2017·全国I 卷 】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【答案】23【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b ， 所以|2|1223+==a b 方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为235．【2017·江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得72sin α=2cos α= 易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222720210n m ⎧=⎪⎪-=⎪⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．6．【2017·天津卷】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC λ=-()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________．【答案】311【解析】由题可得1232cos 603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+， 则12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=． 7．【2017·山东卷 】已知12,e e 123-e e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是___________．【解析】∵221212112122)()λλλλ-⋅+=⋅-⋅-e e e e e e e ，12|2-==e ，12||λ+===e e ，cos60λ=︒=λ=． 8．【2017·浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b则++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是 【2016年】1.【2016高考山东理数】已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（ ） （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94【答案】B【解析】由43=m n ，可设3,4(0)k k k ==>m n ，又()t ⊥+n m n ， 所以22221()cos ,34(4)41603t t n n t t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+=+=n m n n m m n m n n , 所以4t =-，故选B.2.【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.3.【2016高考新课标3理数】已知向量1(2BA = ，31()2BC = ，则ABC ∠=（ ） (A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒【答案】A【解析】由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 4.【2016年高考北京理数】设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D.5.【2016高考天津理数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ） （A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选 B.6.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA=DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是( ) （A ）434 （B ）494 （C ）37634+ （D ）372334+ 【答案】B【解析】甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-+++=∴∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222+1334x y BM ++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点()1,33--的距离的平方的14，()()2222max149333144BM⎛⎫∴=++= ⎪⎝⎭，故选B.7.【2016高考新课标1卷】设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m = . 【答案】－2【解析】由222||||||+=+a b a b ,得⊥a b ,所以1120m ⨯+⨯=,解得2m =-.8.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（） 9.【2016高考浙江理数】已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】12【解析】221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12。

2017年高考山东卷理数试题解析(解析版)

2017年高考山东卷理数试题解析(解析版)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立，那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ,则A B I =（A ）（1,2） （B ）(1,2] （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故{|22}{|1}{|21}A B x x x x x x =-≤≤<=-≤<I I ，选D.【考点】 1.集合的运算；2.函数的定义域；3.简单不等式的解法【点睛】集合的交、并、补运算问题，应把集合先化简再计算，常借助数轴或韦恩图进行求解.（2）已知a ∈R ,i 是虚数单位.若4z a z z =⋅=，则a =（A ）1或-1 （B（C ）（D【答案】A【解析】由4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A. 【考点】1.复数的概念；2.复数的运算【点睛】复数i(,)a b a b +∈R 的共轭复数是i(,)a b a b -∈R ，据此结合已知条件，求得a 的值. （3）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ）∧p q （B ）⌝∧p q （C ）⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q 【答案】B【解析】由011x x >⇒+>，所以ln(1)0x +>恒成立，故p 为真命题； 令1a =，2b =-，验证可知，命题q 为假.故选A. 【考点】常用逻辑用语【点睛】解答有关逻辑联结词的相关问题，首先要明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断.（4）已知x,y 满足约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ）2 （C ）5 （D ）6 【答案】C【解析】约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数z=x+2y ，即122z y x =-+，平移直线122z y x =-+，可知当直线122zy x =-+经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+取得最大值，为max 3245z =-+⨯=，选C.【考点】简单的线性规划【点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．（5）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+．已知101225ii x==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170 【答案】C【解析】由已知得22.5,160,x y ==则$160422.570,a=-⨯=当24x =时，ˆ42470y =⨯+166=,选C.【考点】线性相关与线性回归方程的求解与应用【点睛】判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 的公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时，在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．（6）执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为（A ）0，0 （B ）1，1 （C ）0，1 （D ）1，0 【答案】D【解析】第一次7x =，227<，3b =，237>，1a =；第二次9x =，229<，3b =，239=，0a =，故选D. 【考点】程序框图【点睛】识别程序框图和完善程序框图是高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确程序框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要理解程序框图解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对程序框图的考查常与函数和数列等相结合，进一步强化框图问题的实际背景． （7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴<+>=12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B. 【考点】1.指数函数与对数函数的性质；2.基本不等式【点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.（8）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．学/科网则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【答案】C【解析】12542C C 5989=⨯ .故选C.【考点】古典概型【点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题. （9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A B = （D ）2B A = 【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A. 【考点】1.三角函数的和差角公式；2.正弦定理【点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.（10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（A ）(])0,1⎡+∞⎣U （B ）(][)0,13,+∞U（C ）()⎡+∞⎣U （D ）([)3,+∞U【答案】B【解析】 若m =，则)[]21,0,1y x =-∈的值域为[]0,1；[]0,1y x =∈的值域为+，所以两个函数的图象无交点，故排除C 、D ；若3m =，则()1,4是两个函数的公共点.故选B.【考点】函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用 【点睛】已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .【答案】4【解析】()13n x +的展开式的通项公式为1C (3)C 3r r r r r r n n T x x +==⋅，令2r =，得22C 354n ⋅=，解得4n =．【考点】二项式定理【点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.（12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是 .【答案】3【解析】)()221212112122-⋅+=⋅-⋅-=λλλe e e e e e e e ，122-===e ，12+===λe e所以22321cos601λλλ-=⨯+⨯=+o ，解得：3λ=． 【考点】1.平面向量的数量积；2.平面向量的夹角；3.单位向量 【点睛】1.平面向量a 与b 的数量积为||||cos θ⋅=a b a b ，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒.2.由向量的数量积的性质有||=⋅a a a ，cos ||||θ⋅=a ba b ，0⋅=⇔⊥a b a b ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立关于λ的方程求解. （13）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .【答案】π22+【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以2π1π21121242V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+.【考点】1.三视图；2.几何体的体积【点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．（14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】22y x =±【解析】||||4222A B A B p p pAF BF y y y y p +=+++=⨯⇒+=. 又22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧+=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，所以222A B pb y y p a +==a ⇒=，所以双曲线的渐近线方程为y x =. 【考点】1.双曲线的几何性质；2.抛物线的定义及其几何性质【点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都与椭圆的有关问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为122=+By Ax 的形式，当0>A ，0>B ，B A ≠时为椭圆，当0<AB 时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理．（15）若函数e ()xf x （e 2.71828=L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -= ②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+【答案】①④【解析】①e e ()e 2()2x x x x f x -=⋅=在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质； ②e e ()e 3()3x x x x f x -=⋅=在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③3e ()e xxf x x =⋅，令3()e x g x x =⋅，则322()e 3e e (3)xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，∴当3x >-时，()0g x '>，当3x <-时，()0g x '<，∴3e ()e x x f x x =⋅在(,3)-∞-上单调递减，在(3,)-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④2e ()e (2)x x f x x =+，令2()e (2)x g x x =+，则22()e (2)2e e [(1)1]0x x x g x x x x '=++=++>，∴2e ()e (2)x x f x x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．【考点】1.新定义问题；2.利用导数研究函数的单调性 【点睛】1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．2.求可导函数单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．(4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．3.由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围的问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．三、解答题：本大题共6小题,共75分.（16）(本小题满分12分)设函数ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，其中03ω<<.已知π()06f =. （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在π3π[,]44-上的最小值.【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）最小值为32-.【解析】（1）因为()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin 2x x ωω⎫==⎪⎪⎭sin 3x ωπ⎫-⎪⎭.由题设知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以63k ωππ-=π，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ，又03ω<<，所以2ω=.（2）由（1）得()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.【考点】1.两角和与差的三角函数；2.三角函数图象的变换与性质【点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽略设定角的范围.难度不大，能较好地考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. （17）（本小题满分12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是»DF的中点. （Ⅰ）设P 是»CE上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； （Ⅱ）当3AB =，2AD =时，求二面角E AG C --的大小.【答案】（Ⅰ）30CBP ∠=︒.（Ⅱ）60︒. 【解析】（Ⅰ）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB AP A =I ，所以BE ⊥平面ABP ，又BP ⊂平面ABP ，所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒， 因此30CBP ∠=︒ （Ⅱ）解法一：取»EC的中点H ，连接EH ，GH ，CH . 因为120EBC ∠=︒， 所以四边形BEHC 为菱形，所以223213AE GE AC GC ===+取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC . 则EM AG ⊥，CM AG ⊥， 所以EMC ∠为所求二面角的平面角.又1AM =，所以13123EM CM ==-=在BEC △中，由于120EBC ∠=︒，由余弦定理得22222222cos12012EC =+-⨯⨯⨯︒=， 所以23EC =，因此EMC △为等边三角形， 故所求的角为60︒. 解法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得(0,0,3)A (2,0,0)E ，3,3)G ，(3,0)C -，故(2,0,3)AE =-u u u r ，3,0)AG =u u u r，(2,0,3)CG =u u u r，设111(,,)x y z =m 是平面AEG 的一个法向量.由00AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m 可得1111230,30,x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取12z =，可得平面AEG 的一个法向量(3,3,2)m . 设222(,,)x y z =n 是平面ACG 的一个法向量.由00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r 可得222230,230,x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 取22z =-，可得平面ACG 的一个法向量(3,3,2)=-n . 所以1cos ,2m n ⋅==⋅m n m n .因此所求的角为60︒.【考点】1.垂直关系；2. 空间角的计算【点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.立体几何中角的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等. （18）（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含1B 的概率；（II ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX . 【答案】（I ）5.(II)X 的分布列为 X 的数学期望是2EX =.【解析】（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，则485105().18C P M C ==(II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.则565101(0),42C P X C ===41645105(1),21C C P X C ===326451010(2),21C C P X C ===23645105(3),21C C P X C ===14645101(4),42C C P X C ===因此X 的分布列为 X 的数学期望是0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯= =151******** 2.4221212142⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【考点】1.古典概型；2.随机变量的分布列与数学期望；3.超几何分布【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率的计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好地考查考生数学的应用意识、基本运算求解能力等. （19）（本小题满分12分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2. （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n+1(x n+1, n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T.【答案】(I)12.n n x -=（II ）(21)21.2n n n T -⨯+=【解析】（1）设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >.由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以23520q q --=，因为0q >，所以12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=（2）过123,,,P P P ……1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +，由（1）得111222.n n n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 所以123n n T b b b b =++++=L 10132325272(21)2(21)2n n n n ---⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯L ① 又012212325272(21)2(21)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯L ②-①②得121132(22 (2))(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯-所以(21)21.2n n n T -⨯+=【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.错位相减法求和【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的错位相减法.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生的计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好地考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. （20）（本小题满分13分）已知函数()22cos f x x x =+，()e (cos sin 22)xg x x x x =-+-，其中e 2.71828=L 是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a =-∈R ，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）222y x ππ=--.（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由题意()22f ππ=-，又()22sin f x x x '=-，所以()2f ππ'=，因此 曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x πππ--=-，即222y x ππ=--.（Ⅱ）由题意得2()(cos sin 22)(2cos )xh x e x x x a x x =-+--+，因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =-，则()1cos 0m x x '=-≥，所以()m x 在R 上单调递增.因为(0)0,m =所以 当0x >时，()0,m x >当0x <时，()0m x <，(1)当0a ≤时，x e a -0>，当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以 当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；(2)当0a >时，()()()ln 2sin x ah x e e x x '=--，由 ()0h x '=得 1ln x a =，2=0x .①当01a <<时，ln 0a <，当(),ln x a ∈-∞时，()ln 0,0x a e e h x '-<>，()h x 单调递增；当()ln ,0x a ∈时，()ln 0,0x a e e h x '-><，()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()ln 0,0x a e e h x '->>，()h x 单调递增.所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；②当1a =时，ln 0a =，所以 当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；③当1a >时，ln 0a >，所以 当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增；当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增.所以 当0x =时()h x 取到极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取到极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--，极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.【考点】1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、极值；3.分类讨论思想【点睛】1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′(x 0)(x −x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或复杂式子变形能力差.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等. （21）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l：1y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M e 的半径为MC ，,OS OT 是M e 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.【答案】（I ）2212x y +=.（Ⅱ）SOT ∠的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为1k =.【解析】（1）由题意知 c e a ==，22c =，所以 a =1b =， 因此椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）设()()1122,,,A xy B x y ，联立方程22112x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得()22114210k x x +--=，由题意知0∆>，且121x x +=()12211221x x k =-+，所以121=-=AB x .由题意可知圆M 的半径r为123r AB==由题设知12k k ，所以21k =因此直线OC 的方程为1y. 联立方程22112x y y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此OC ==由题意可知1sin21SOT rOC r OCr∠==++，而1OCr == 令2112t k =+，则()11,0,1t t>∈，因此1OC r==， 当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时1k =，所以 1sin22SOT ∠…， 因此26SOT ∠π…，所以 SOT ∠最大值为3π. 综上所述：SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l的斜率为1k =. 【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质 【点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）的方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程得到的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题及解决问题的能力等.。

(完整版)2017年湖南高考数学试题(含详解)

(完整版)2017年湖南高考数学试题(含详解)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，学科网然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B =R U C ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．168．下面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017年高考真题(全国Ⅲ卷)数学理科含解析

2017年高考真题(全国Ⅲ卷)数学理科含解析

2017年普通高等学校招生统一考试全国卷Ⅲ理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={}22x y y x│，则A B=(,)(,)1│，B={}x y x y+=中元素的个数为A．3 B．2 C．1D．0【答案】B【解析】【考点】交集运算；集合中的表示方法。

【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件。

集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。

2．设复数z 满足(1+i)z=2i ，则∣z ∣= A ．12 BCD ．2【答案】C 【解析】【考点】 复数的模；复数的运算法则 【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有： (1)1212z zz z ±=± ；(2) 1212z z z z ⨯=⨯；(3)22z z z z⋅== ；(4)121212z z z z z z -≤±≤+ ；(5)1212z zz z =⨯ ；(6)1121z z z z =。

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】动性大，选项D说法正确；故选D。

【考点】折线图【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图，频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律。

高考数学复习知识点专题讲解25---平面向量高考选择填空压轴题专练(培优版)

高考数学复习知识点专题讲解25---平面向量高考选择填空压轴题专练(培优版)

，∴
t
=
1 4
(1−
m)
，
解
得
m
=
3 7
，∴
4
1 2
(1
−
t
)
=
m
t
=
1 7
OM
=
1 7
OA +
3 OB 7
，设 OM
=
xOE
+
yOF
=
xλOA +
yµOB
，则
xλ
yµ
= =
1 7 3 7
7x ，即 7 y
= =
1 λ 3 µ
，
即
1 λ
+
3 µ
=
7
，故
λ
+
µ
=
1 7
(λ
+
µ )
1 λ
=
2 λ
,
PF PD
=
λ
λ +
2
,故选
A.
uuur uuur 7．由点 P 向圆 O ：x2 + y2 = 2 引两条切线，切点为 A ，B ，则 PA⋅ PB 的最小值是（ ）
A． 4 2-6
B． 2 2 − 3
C． 3 − 2 2
D． 6 − 4 2
【答案】A
【解析】
设
OP = x
，
则
PA2 = x 2 − 2
P(x , y) ,
uuur 由已知 AP
=
1 ，得 ( x
−
2)2
+
y2
=
1 ，又
uuuur PM
=
uuuur MC

2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)

2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)

2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5 分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4} 2．（5分）（1+i）（2+i）=（）A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i3．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．4．（5 分）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=|| C．∥D．||＞||5．（5 分）若a＞1，则双曲线﹣y2=1 的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）6．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π7．（5 分）设x，y 满足约束条件，则z=2x+y 的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．98．（5 分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）9．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩10．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．511．（5 分）从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．12．（5 分）过抛物线C：y2=4x 的焦点F，且斜率为的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l为C 的准线，点N 在l 上，且MN⊥l，则M 到直线NF 的距离为（）A．B．2C．2D．3二、填空题，本题共4 小题，每小题5 分，共20 分13．（5 分）函数f（x）=2cosx+sinx 的最大值为．14．（5 分）已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f （x）=2x3+x2，则f（2）=．15．（5 分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为．16．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 至21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分．17．（12 分）已知等差数列{a n}的前n 项和为S n，等比数列{b n}的前n 项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．18．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD 面积为2，求四棱锥P﹣ABCD 的体积．19．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．附：P（K2≥K）0.050 0.010 0.001K 3.841 6.635 10.828K2=．20．（12 分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C：+y2=1 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N，点P 满足= ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x=﹣3 上，且•=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F．21．（12 分）设函数f（x）=（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0 时，f（x）≤ax+1，求a 的取值范围．选考题：共10 分。

专题09 平面向量(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)

专题09 平面向量(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)

专题09平面向量考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：平面向量线性运算2022年新高考全国I 卷数学真题平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．考点2：数量积运算2022年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题考点3：求模问题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2023年北京高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题考点4：求夹角问题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国II 卷数学真题考点5：平行垂直问题2024年上海夏季高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题考点6：平面向量取值与范围问题2024年天津高考数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题2022年新高考天津数学高考真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年天津高考数学真题考点1：平面向量线性运算1．（2022年新高考全国I 卷数学真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 【答案】B【解析】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．考点2：数量积运算2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= ．【答案】11【解析】设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ．故答案为：11．3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A 5B ．3C ．25D ．5【答案】B【解析】方法一：以{},AB AD为基底向量，可知2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，则11,22EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以22111143224EC ED AB AD AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu ur uuu r ；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r，所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r；方法三：由题意可得：5,2ED EC CD ===，在CDE 中，由余弦定理可得2223cos 25255DE CE DC DEC DE CE +-∠==⋅⨯⨯，所以3cos 5535EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .故选：B.4．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，∴1a b ⋅= 故选：C.5．（2024年北京高考数学真题）设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.考点3：求模问题6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量a ，b满足3a b -= ，2a b a b +=- ，则b = ．3【解析】法一：因为2a b a b +=- ，即()()222a ba b +=-，则2222244a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，整理得220a a b -⋅= ，又因为3a b -= ()23a b -= ，则22223a a b b b -⋅+==r r r r r ，所以3b = 法二：设c a b =-r rr ，则3,2,22c a b c b a b c b =+=+-=+r r r r r r r r r ，由题意可得：()()2222c b c b +=+r r r r ，则22224444c c b b c c b b +⋅+=+⋅+r r r r r r r r ，整理得：22c b =r r ，即3b c ==r r 37．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B ．22C ．32D ．1【答案】B【解析】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而22=b .故选：B.8．（2023年北京高考数学真题）已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B9．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -r r （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ，所以()22435-=+-a b .故选：D考点4：求夹角问题10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A ．117B ．1717C 55D 255【答案】B【解析】因为(3,1),(2,2)a b ==，所以()()5,3,1,1a b a b +=-=- ，则225334,112a b a b +=+-=+= ()()()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-= ，所以()()17cos ,342a b a b a b a b a b a b+⋅-+-==⨯+-.故选：B.11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量,,a b c 满足1,2a b c === 0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（）A ．45-B ．25-C ．25D ．45【答案】D【解析】因为0a b c ++=,所以a b c +=-r r r ,即2222a b a b c ++⋅= ,即1122a b ++⋅=r r ,所以0a b ⋅= .如图,设,,OA a OB b OC c ===,由题知,1,2,OA OB OC OAB === 是等腰直角三角形,AB 边上的高2222OD AD =所以22222CD CO OD =+=,1tan ,cos 310AD ACD ACD CD ∠==∠=,2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD 〈--〉=∠=∠=∠-2421510=⨯-=.故选:D.12．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+ a b c a b ，若,,<>=<>a cbc ，则t =（）A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C【解析】()3,4c t =+ ,cos ,cos ,a c b c =,即931635t t c c+++= ,解得5t =,故选：C考点5：平行垂直问题13．（2024年上海夏季高考数学真题））已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．【答案】15【解析】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =．故答案为：15．14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥ ，则m =．【答案】34-/0.75-【解析】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-.故答案为：34-.16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【答案】D【解析】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+可得，()()0a b a b λμ+⋅+= ，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．17．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“13x =-”是“//a b ”的充分条件【答案】C【解析】对A ，当a b ⊥时，则0a b ⋅= ，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得13x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当13x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.考点6：平面向量取值与范围问题18．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+=；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．【答案】43518-【解析】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅ 取到最小值518-；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若2PO =，则PA PD ⋅的最大值为（）A ．122+B ．1222+C ．12+D ．22+【答案】A【解析】如图所示，1,2OA OP ==，则由题意可知:π4APO ∠=，由勾股定理可得221PA OP OA =-=当点,A D 位于直线PO 异侧时或PB 为直径时，设=,04OPC παα∠≤<，则：PA PD⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222sin 22ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=-1cos 21sin 222αα+=-122224πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭04πα≤<，则2444πππα-≤-<∴当ππ244α-=-时，PA PD ⋅ 有最大值1.当点,A D 位于直线PO 同侧时，设,04OPC παα∠<<，则：PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭22222ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=+1cos 21sin 222αα+=+122224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，04πα≤<，则32444πππα≤+<∴当242ππα+=时，PA PD ⋅有最大值122.综上可得，PA PD ⋅的最大值为122.故选：A.20．（2022年新高考北京数学高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=-- ，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈- ；故选：D21．（2022年新高考天津数学高考真题）在ABC 中，,CA a CB b == ，D 是AC 中点，2CB BE = ，试用,a b表示DE 为，若AB DE ⊥ ，则ACB ∠的最大值为【答案】3122b a - 6π【解析】方法一：31=22DE CE CD b a -=- ，,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-= ，2234b a a b +=⋅ 222333cos 244a b a b b a ACB a b a b a b⋅+⇒∠==≥= 3a b = 时取等号，而0πACB <∠<，所以(0,]6ACB π∠∈．故答案为：3122b a - ；6π．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,),(1,)22x y DE AB x y +=--=-- ，23()(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+ 22(1)4x y ⇒++=，所以点A 的轨迹是以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，此时21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a - ；6π．22．（2022年新高考浙江数学高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是．【答案】[122,16]+【解析】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726222222(0,1),,,(1,0),,,(0,1),,,(1,0)222222A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,82222A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++ ，因为cos 22.5||1OP ≤≤ ，所以221cos 4512x y +≤+≤ ，故222128PA PA PA +++ 的取值范围是[1222,16]+.故答案为：[1222,16]+．23．（2023年天津高考数学真题）在ABC 中，160BC A =∠= ，，11,22AD AB CE CD == ，记,AB a AC b == ，用,a b 表示AE = ；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为．【答案】1142a b + 1324【解析】空1：因为E 为CD 的中点，则0ED EC += ，可得AE ED AD AE EC AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，两式相加，可得到2AE AD AC =+ ，即122AE a b =+ ，则1142AE a b =+ ；空2：因为13BF BC = ，则20FB FC += ，可得AF FC AC AF FB AB ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得到()22AF FC AF FB AC AB +++=+ ，即32AF a b =+ ，即2133AF a b =+ .于是()2211211252423312a b a F b a AE A a b b ⎛⎫⎛⎫+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⋅=⎭⎝⎭ .记,AB x AC y ==，则()()222222111525225cos 602221212122A x xy a a b b xy y x y E AF ⎛⎫+⋅+=++=++ ⎪⋅⎝⎭= ，在ABC 中，根据余弦定理：222222cos601BC x y xy x y xy =+-=+-= ，于是1519222122122AE xy x xy AF y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭⋅ ，由221+-=x y xy 和基本不等式，2212x y xy xy xy xy +-=≥-=，故1xy ≤，当且仅当1x y ==取得等号，则1x y ==时，AE AF ⋅ 有最大值1324.故答案为：1142a b + ；1324.。

2017年高考浙江卷数学试题解析(解析版)

2017年高考浙江卷数学试题解析(解析版)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|11}P x x =-<<，{02}Q x =<<，那么P Q =U A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)【答案】A【解析】P Q U 取,P Q 集合的所有元素，即12x -<<.故选A ． 【考点】集合运算【点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．2．椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．59【答案】B【解析】e =B ． 【考点】 椭圆的简单几何性质【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（第3题图）A ．12π+ B ．32π+ C ．312π+ D ．332π+ 【答案】A【解析】 有三视图可知，直观图是有半个圆锥与一个三棱锥构成，半圆锥体积()2111=13232S π⨯π⨯⨯=，棱锥体积211=213=132S ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，所以几何体体积1212S S S π=+=+． 故选A ．【考点】 三视图【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整． 4．若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．【考点】 简单线性规划【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．5．若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】取0,0a b ==；得1M m -=；取0,1a b ==得1M m -=； 取1,0a b ==；得2M m -=； 故与a 有关；与b 无关.故选B ． 【考点】二次函数的最值【点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．6．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【考点】 等差数列、充分必要性【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．7．函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（第7题图）【答案】D【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D ．【考点】 导函数的图象【点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数()f'x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．8．已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1–p i ，i =1，2． 若0<p 1<p 2<12，则 A ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ<2()D ξ B ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ C ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ<2()D ξD ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ【答案】A【解析】∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<，∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<，故选A ． 【考点】 两点分布【点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量iξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A 正确．9．如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α，β，γ，则（第9题图）A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B【解析】 设D 在底面ABC 内射影为O ，判断O 到PR ，PQ ，QR 的距离， 显然有,αβ,γ均为锐角．1P 为三等分点，O 到1PQR △三边距离相等．动态研究问题．1P P ®，所以O 到QR 距离不变，O 到PQ 距离减少，O 到PR 距离变大．所以αγβ<<．【考点】 空间角（二面角）【点睛】立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点．这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理进行；解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解．10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OA OB u u u r u u u r＝，2·I OB OC u u u r u u u r ＝，3·I OC OD u u u r u u u r＝，则（第10题图）A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<【答案】C【解析】如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO AF <，而90AFB ∠=o ，∴AOB ∠与COD ∠为钝角，AOD ∠与BOC ∠为锐角．根据题意12()I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA -=⋅-⋅=⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||cos 0OB CA AOB ∠<u u u r u u u r，∴12I I <，同理23I I >．做AG BD ⊥于G ，又AB AD =．∴OB BG GD OD <=<，而OA AF FC OC <=<，∴||||||||OA OB OC OD ⋅<⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，而cos cos 0AOB COD ∠=∠<，∴OA OB OC OD ⋅>⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，即13I I >，∴312I I I <<，选C ．G FOD【考点】 平面向量的数量积运算【点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得90AOB COD ∠=∠>o ，由AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，可求得OA OC <，OB OD <，进而得到312I I I <<．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（ ）A．A∩B={x|x＜}B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．A∪B=R2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x 轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ）A．B．C．D．6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）A．B．C．D．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（ ）A．0B．1C．2D．38．（5分）函数y=的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+211．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（ ）A．B．C．D．12．（5分）设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题三 平面向量的平行与垂直(解析版)

专题三 平面向量的平行与垂直(解析版)

专题三 平面向量的平行与垂直1．平面向量平行(共线)的充要条件的两种形式(1)平面向量平行(共线)充要条件的非坐标形式：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ．(2)平面向量平行充要条件的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0； 至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的用(2)．这是代数运算，用它解决平面向量平行(共线)问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．乘积形式可总结为：“相异坐标的乘积的差为0”．2．三点共线的充要条件的三种形式(1)A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)(2)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )(3)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．3．非零向量垂直的充要条件的两种形式(1)平面向量垂直的非坐标形式：a ⊥b ⇔ a ·b ＝0．(2)平面向量垂直的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，数量积的运算a ·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b ．一般情况涉及坐标的用(2)．坐标形式可总结为：“相应坐标的乘积的和为0”．考点一 平面向量的平行【方法总结】两平面向量平行的充要条件既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当然也可解决三点共线的问题．高考试题中一般是考查已知两向量平行或三点共线求参数，并且以给出向量的坐标为主．解决此类问题的方法是借助两平面向量平行的充要条件列出方程(组)，求出参数的值．注意方程思想和待定系数法的运用．【例题选讲】[例1] (1)设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2BF →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直答案 A 解析 由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB )＝CB ＋23BC ＝－13BC ，故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．(2)已知向量m ＝(1，7)与向量n ＝(k ，k ＋18)平行，则k 的值为( )A ．－6B ．3C ．4D ．6答案 B 解析 因为m ∥n ，所以7k ＝k ＋18，解得k ＝3．故选B ．(3)(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．答案 12 解析 2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以1×2＝4λ，即λ＝12． (4)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B 解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD →，AB →共线，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选B ．(5)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案 －54解析 AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54． (6)已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB →∥a ，则点B 的坐标为________．答案 (－3，－6) 解析 设B (x ，2x )，则AB →＝(x －3，2x )．∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6)．【对点训练】1．已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________．1．答案 6 解析 ∵a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6．2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．122．答案 A 解析 ∵a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4，2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4 ＝0，解得λ＝－2，故选A ．3．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________．3．答案 5 解析 因为a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，所以a －c ＝(3－k ，－6)．因为(a －c )∥b ，所 以1×(－6)＝3×(3－k )，解得k ＝5．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________．4．答案 1 解析 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1．5．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝( )A ．4B ．－5C ．6D ．－65．答案 D 解析 a ＋2b ＝(－3，3＋2k )，3a －b ＝(5，9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6．故选D ．6．已知向量a ＝(λ＋1，1)，b ＝(λ＋2，2)，若(a ＋b )∥(a －b )，则λ＝________．6．答案 0 解析 因为a ＋b ＝(2λ＋3，3)，a －b ＝(－1，－1)，且(a ＋b )∥(a －b )，所以2λ＋3－1＝3－1，所 以λ＝0．7．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2，3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( )A ．25B ．－25C ．35D ．－357．答案 B 解析 解法一：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，因为a ＋λb 与c 共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a ＋λb ＝μc ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，4＋λ＝3μ，解得⎩⎨⎧μ＝65，λ＝－25.解法二：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，由a ＋λb 与c 共线可知3(2－λ)＝2(4＋λ)，得λ＝－25． 8．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则m n＝________． 8．答案 －13 解析 由2－1≠32，所以a 与b 不共线，又a －3b ＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0．那么 当m a ＋n b 与a －3b 共线时，有m 1＝n －3，即得m n ＝－13． 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (0，1)，B (1，－2)，C (m ，0)．若OB →∥AC →，则实数m的值为( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2 9．答案 C 解析 因为OB →＝(1，－2)，AC →＝(m ，－1)．又因为OB →∥AC →，所以m 1＝－1－2，m ＝12．故选C ． 10．已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b )，若A ，B ，C 三点共线，则a ，b 的关系式为________．10．答案 a ＋b ＝2 解析 由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →．∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2．11．已知点A (0，1)，B (3，2)，C (2，k )，且A ，B ，C 三点共线，则向量AC →＝( )A ．⎝⎛⎭⎫2，23B ．⎝⎛⎭⎫2，53C ．⎝⎛⎭⎫23，2D ．⎝⎛⎭⎫53，2 11．答案 A 解析 AB →＝(3，1)，AC →＝(2，k －1)，因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB →＝λAC →，即(3，1)＝λ(2，k －1)，所以2λ＝3，即λ＝32，所以AC →＝1λAB →＝⎝⎛⎭⎫2，23． 12．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0．若a ∥b ，则m n＝________． 12．答案 －2 解析 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m n＝－2． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．13．答案 12 解析 ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得 ⎩⎨⎧ λ＝12，t ＝12.14．已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．14．答案 (3，3) 解析 法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以点P 的坐标为(3，3)． 法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y ．又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3，3)．15．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1，1)，且a ∥b ，则向量a 的坐标是__________．15．答案 ⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22 解析 a ＝(x ，y )，因为平面向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(1，1)，且 a ∥b ，所以x 2＋y 2＝1，且x －y ＝0，解得x ＝y ＝±22．所以a ＝⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22． 16．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是__________．16．答案 ⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45 17．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D17．答案 B 解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．18．已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B ．43C ．12D ．1318．答案 A 解析 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23． 19．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．219．答案 B 解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ．又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1．20．设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n ，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为( )A ．－3B ．－2C ．2D ．320．答案 A 解析 由题意易知，AB →∥AC →，其中AB →＝OB →－OA →＝(2m －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2n －1，2)，所以(2m －1)×2＝1×(－2n －1)，得：2m ＋1＋2n ＝1．2m ＋1＋2n ≥22m＋n ＋1，所以2m ＋n ＋1≤2－2，即m ＋n ≤－3．考点二 两个非零向量的垂直【方法总结】两平面向量垂直的充要条件既可以判定两向量垂直，也可以由垂直求参数．高考试题中一般是考查已知两向量垂直求参数，如果已知向量的坐标，根据两平面向量垂直的充要条件(2)，列出相应的关系式，进而求解参数．如果未知向量的坐标，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量，根据两平面向量垂直的充要条件(1)，列出相应的关系式，进而求解参数．如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标从而把问题转化为已知向量的坐标求参数的问题．注意方程思想和等价转化思想的运用．【例题选讲】[例1](1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC答案 D 解析 在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b|cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D ．(2)(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________．答案 7 解析 因为a ＋b ＝(m －1，3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7．(3)(2018·北京)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________．答案 －1 解析 由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1．(4)(2020·全国Ⅲ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．答案 22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0．因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22． (5)(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos<m ，n >＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94答案 B 解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t|m ||n |cos<m ，n >＋|n |2＝0．又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4．故选B ． (6)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB＝λ，则当AE →·DF →＝0时，λ的值所在的区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫18，14B ．⎝⎛⎭⎫14，38C ．⎝⎛⎭⎫38，12D ．⎝⎛⎭⎫12，58 答案 B 解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，可得<AD →，BC →>＝60°，所以<AB →，AD →>＝60°，<AB →，BC →>＝120°，所以AB →·AD →＝4×2×12＝4，AB →·BC →＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2，又BE BC ＝AF AB＝λ，所以BE →＝λBC →，AF →＝λAB →，则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →，DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →，所以AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →)＝λAB →2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，即2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334∈⎝⎛⎭⎫14，38． 【对点训练】1．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( )A ．－23B ．23C ．43D ．631．答案 B 解析 因为a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，所以a －b ＝(－2，m )－(1，3)＝(－3，m －3)．由 (a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，即(－3，m －3)·(1，3)＝－3＋3m －3＝3m －6＝0，解得m ＝23，故选B ．2．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．82．答案 D 解析 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以 (a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝83．设向量a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，若(a －b )⊥a ，则实数m ＝( )A ．12B ．13C ．1D ．2 3．答案 C 解析 因为a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，所以a －b ＝(1，m )－(m －1，2)＝(2－m ， m －2)，又(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝0，可得(2－m )×1＋m (m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2．当m ＝2时，a ＝b ，不符合题意，舍去，故选C ．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－14．答案 A 解析 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0， 解得k ＝－3．5．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D ．1525．答案 C 解析 ∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0．∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3， －6)．∴(2k －3，－6)·(2,1)＝0，即(2k －3)×2－6＝0．∴k ＝3．6．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－16．答案 A 解析 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0， 解得k ＝－3．7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( )A ．－311B ．－113C ．12D ．357．答案 A 解析 b ＋λa ＝(1，0)＋λ(1，2)＝(1＋λ，2λ)，又c ＝(3，4)，且(b ＋λa )⊥c ，所以(b ＋λa )·c＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311． 8．在△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (3，t )，B (t ，－1)，C (－3，－1)，若△ABC 是以B 为直角顶点 的直角三角形，则t ＝________．8．答案 3 解析 由已知，得BA →·BC →＝0，则(3－t ，t ＋1)·(－3－t ，0)＝0，∴(3－t )(－3－t )＝0，解得t＝3或t ＝－3，当t ＝－3时，点B 与点C 重合，舍去．故t ＝3．9．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________．9．答案 1 解析 ∵a 与b 为两个不共线的单位向量，∴|a|＝|b |＝1，又a ＋b 与k a －b 垂直，∴(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2＋k a ·b －a ·b －b 2＝0，∴k －1＋k a ·b －a ·b ＝0，即k －1＋k cos θ－cos θ＝0(θ为a 与b 的夹角)，∴(k －1)(1＋cos θ)＝0．又a 与b 不共线，∴cos θ≠－1，∴k ＝1．10．(2013·全国Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________．10．答案 2 解析 因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12， 由b ·c ＝0得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2． 11．已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( )A ．2215B ．103C ．6D ．12711．答案 A 解析 因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝2215．。

平面向量——2021年高考数学复习必备之2015-2020年浙江省高考试题分项解析

平面向量——2021年高考数学复习必备之2015-2020年浙江省高考试题分项解析

专题五 平面向量一、选择题1.（2018年浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ）A ．B ．C ．2D ．2.（2017年浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记 ，，，则A ．I １<I ２<I ３B ．I １<I ３<I ２C ．I ３< I １<I ２D ．I ２<I １<I ３二、填空题3．（2020·浙江高考真题）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．4.（2019年浙江卷）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.5.（2017年浙江卷）已知向量a,b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______。

6.（2016年浙江文）已知平面向量a ，b ，|a|=1，|b|=2，a·b=1.若e 为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______.7.（2016年浙江理）已知向量a ，b ，｜a ｜ =1，｜b ｜=2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a·e ｜+｜b·e ｜≤6,则a·b 的最大值是 ． 8.（2015年浙江文）已知1e ， 2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b = ．9.（2015年浙江理）已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，b = ．优质高三试题一、选择题 1．（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ）A B C D ．52．（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知单位向量e ，向量(1,2)i b i =，满足i i e b e b -=⋅，且12xb yb e +=，其中1x y +=，当12||b b -取到最小时，12b b ⋅=( )A ．0B ．1CD ．1-3．（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知C ，D 是以AB 为直径的圆O 上的动点，且4AB =，则AC BD ⋅的最大值是（ ）A．2 B ． C ．D ．44．（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 翻折，使得二面角A BD C --的平面角的大小为π3，若点E ,F 分别是线段AC 和BD 上的动点，则BE CF ⋅的取值范围为（ ）A ．[1,0]-B ．1[1,]4-C ．1[,0]2-D ．11[,]24- 二.填空题 5．（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知向量a 、b 满足1a b +=，2a b -=，则a b +的取值范围为___________.6．（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）设平面向量a ，b 满足12a ≤≤，23b ≤≤，则a b a b ++-的取值范围是________.7．（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知平面向量a ，b 满足1a =，42a b a b -⋅=-，则a b +的取值范围是______.8．（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）平面中存在三个向量a ，b ，c ，若||4a =，||4b =，且0a b ⋅=，且c 满足22150c a c -⋅+=，则||4||c a b c ++-的最小值______． 9．（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）已知向量a ，b 满足21a b +=，且()1a a b ⋅-=，则a b -的取值范围为______.10．（2020·浙江温州中学3月高考模拟）如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.11．（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知A ，B ，C ，D ，E 为半径为1的圆上相异的5点(没有任何两点重合)，这5个点两两相连可得到10条线段，则这10条线段长度平方和的最大值为____________. 12．（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足||||1a e b e +=-=，a b ⋅的取值范围是____.13．（2020·浙江温州中学高三3月月考）已知平面向量a ，b 满足4a =，33b =+，0a b ⋅=.记()(),1f x b xa b x a =++-，则()()11f x f x ++-的最大值为______.14．（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）在ABC ∆中，1AC BC ==，3AB =且CE xCA =，CF yCB =，其中(),0,1x y ∈，且41x y +=，若M ，N 分别为线段EF ，AB 中点，当线段MN 取最小值时x y +=__________.15.（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）已知平面向量,,,a b c d →→→→，满足||||||1a b c →→→===，0a b →→⋅=，||||c d b c →→→→-=⋅，则a d →→⋅的取值范围为______.。

2017年高考江苏数学试题及答案(word解析版)

2017年高考江苏数学试题及答案(word解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2017年江苏，1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =,则实数a 的值为_______．【答案】1【解析】∵集合}2{1A =，,23{},B a a =+．{}1A B =，∴1a =或231a +=,解得1a =．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．（2）【2017年江苏，2,5分】已知复数()()1i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴()221310z =-+=．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2017年江苏，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400，300，100件．为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为6061000100=，则应从丙 种型号的产品中抽取630018100⨯=件．【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．(4）【2017年江苏，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为116，则输出y 的值是_______．【答案】2-【解析】初始值116x =,不满足1x ≥，所以41216222log 2log 2y =+=-=-． 【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累，属于基础题．（5)【2017年江苏，5，5分】若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．则tan α=_______．【答案】75【解析】tan tantan 114tan 4tan 161tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题． （6）【2017年江苏，6,5分】如如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱12O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ，则12VV 的值是________．【答案】32【解析】设球的半径为R ，则球的体积为：343R π，圆柱的体积为：2322R R R ππ⋅=．则313223423V R R V ππ==．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．(7）【2017年江苏，7,5分】记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D ．在区间[45]-，上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．【答案】59【解析】由260x x +-≥得260x x --≤，得23x -≤≤，则2[]3D =-，，则在区间[45]-，上随机取一个数x ,则x ∈D 的概率()()325549P --==--． 【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D ，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．（8）【2017年江苏,8，5分】在平面直角坐标系xoy 中 ，双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是1F ，2F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______． 【答案】23【解析】双曲线2213x y -=的右准线:32x =，双曲线渐近线方程为：33y x =，所以33,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,33,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ()12,0F -．()22,0F ．则四边形12F PF Q 的面积是：143232⨯⨯=．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．（9)【2017年江苏，9，5分】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =,则8a =________． 【答案】32【解析】设等比数列{}n a 的公比为1q ≠,∵374S =，6634S =，∴()311714a q q -=-，()6116314a q q -=-， 解得114a =,2q =．则7812324a =⨯=．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （10）【2017年江苏，10,5分】某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x 的值是________． 【答案】30【解析】由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=6009006442240x x x x⨯+≥⨯⨯⋅=（万元）． 当且仅当30x =时取等号．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力,属于基础题．（11）【2017年江苏，11，5分】已知函数()312x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然数对数的底数，若()()2120f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是________．【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】函数()312x xf x x x e e =-+-的导数为：()21132220x xxx f x x e e e e '=-++≥-+⋅=，可得()f x 在R 上 递增;又()()()331220x x x x f x f x x x e e x x e e--+=-++-+-+-=，可得()f x 为奇函数，则()()2120f a f a -+≤，即有()()()2211f a f a f a ≤--=-，即有221a a ≤-，解得112a -≤≤．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．（12）【2017年江苏，12，5分】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC ，的模分别为1，1,2，OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45︒。

2017年高考浙江数学试题及答案(word解析版)

2017年高考浙江数学试题及答案(word解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1)【2017年浙江，1，4分】已知{|11}P x x =-<<，{20}Q x =-<<,则P Q =（ )（A ）(2,1)- （B)(1,0)- (C ）(0,1) （D ）(2,1)-- 【答案】A【解析】取,P Q 所有元素，得P Q =(2,1)-，故选A ．【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法,考查计算能力．(2）【2017年浙江，2，4分】椭圆22194x y +=的离心率是（ ）（A ）133 （B ）53 （C ）23 （D ）59【答案】B【解析】94533e -==，故选B ． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．（3)【2017年浙江，3，4分】某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位:cm 3）是( )（A ）12π+ （B ）32π+(C)312π+ （D)332π+【答案】A【解析】由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成,圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形,圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为2111π3(21)13222V π⨯=⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征,是基础题目．（4）【2017年浙江,4,4分】若x ,y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）(A)[]0,6 （B ）[]0,4(C)[]6,+∞ （D ）[]4,+∞【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点()2,1时取最小值4，无最大值，故选D ．【点评】本题考查线性规划的简单应用,画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．（5）【2017年浙江,5,4分】若函数()2f x x ax b =++在区间[]01，上的最大值是M ，最小值是m ，则–M m （ ） （A ）与a 有关，且与b 有关 (B ）与a 有关,但与b 无关(C ）与a 无关,且与b 无关 (D ）与a 无关，但与b 有关 【答案】B【解析】解法一：因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关,故选B ．解法二：函数()2f x x ax b =++的图象是开口朝上且以直线2a x =-为对称轴的抛物线,①当12a->或02a-<，即2a <-,或0a >时，函数()f x 在区间[]0,1上单调,此时()()10M m f f a -=-=，故M m -的值与a 有关,与b 无关；②当1122a ≤-≤，即21a -≤≤-时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减,在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，且()()01f f >，此时()2024a aM m f f ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关；③当1022a ≤-<，即10a -<≤时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，且()()01f f <，此时()2024a a M m f f a ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关,与b 无关．综上可得:M m -的值与a 有关,与b 无关，故选B ．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． （6）【2017年浙江，6,4分】已知等差数列[]n a 的公差为d ,前n 项和为n S ，则“0d >"是“4652S S S +>"的（ ）（A ）充分不必要条件 (B ）必要不充分条件 （C)充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由()46511210212510S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>,反之，若4652S S S +>,则0d >,所以“0d >”是“4652S S S +>"的充要条件，故选C ．【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题．（7)【2017年浙江,7,4分】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是( ）（A)（B)(C ）（D ） 【答案】D 【解析】解法一：由当()0f x '<时，函数f x （）单调递减，当()0f x '>时,函数f x （）单调递增，则由导函数()y f x =' 的图象可知：()f x 先单调递减,再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A ，C,且第二个拐点(即函数的极大值点)在x 轴上的右侧，排除B ，，故选D ．解法二：原函数先减再增，再减再增,且0x =位于增区间内，故选D ．【点评】本题考查导数的应用,考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想,属于基础题．(8）【2017年浙江,8，4分】已知随机变量1ξ满足()11i P p ξ==，()101i P p ξ==-，1,2i =．若12102p p <<<，则（ ）（A ）12E()E()ξξ<，12D()D()ξξ<(B)12E()E()ξξ<,12D()D()ξξ>（C)12E()E()ξξ>,12D()D()ξξ< (D)12E()E()ξξ>，12D()D()ξξ< 【答案】A【解析】112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴<111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，121212()()()(1)0D D p p p p ξξ∴-=---<,故选A ．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．（9）【2017年浙江，9,4分】如图，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥）,PQR分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角––D PR Q ，––D PQ R ，––D QR P 的平面较为α，β，γ,则( )（A ）γαβ<< （B ）αγβ<< (C ）αβγ<< (D ）βγα<< 【答案】B【解析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面ABC ∆的中心为O ．不妨设3OP =．则()0,0,0O ，()0,3,0P -，()0,6,0C -，()0,0,62D ，()3,2,0Q ，()23,0,0R -，()23,3,0PR =-，()0,3,62PD =，()3,5,0PQ =，()33,2,0QR =--,()3,2,62QD =--．设平面PDR 的法向量为(),,n x y z =，则0n PR n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得 23303620x y y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，可得()6,22,1n =-，取平面ABC 的法向量()0,0,1m =． 则1cos ,15m n m n m n⋅==-，取1arccos 15α=．同理可得:3arccos 681β=． 2arccos95γ=．∵1231595681>>．∴αγβ<<．解法二:如图所示,连接OD OQ OR ，，，过点O 发布作垂线：OE DR ⊥,OF DQ ⊥，OG QR ⊥，垂足分别为E F G ，，,连接PE PF PG ，，．设OP h =．则cos ODR PDR S OES PE α∆∆==22OE OE h =+．同理可得：22cos OF OF PF OF h β==+c,22cos OG OG PG OG hγ==+．由已知可得：OE OG OF >>．∴cos cos cos αγβ>>，αβγ，，为锐角．∴α＜γ＜β，故选B ．【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（10)【2017年浙江，10，4分】如图,已知平面四边形ABCD ,AB BC ⊥,2AB BC AD ＝＝＝，3CD ＝，AC 与BD 交于点O ，记1·I OA OB ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝,则（ ) （A ）123I I I << （B ）132I I I << （C ）312I I I << （D ）223I I I <<【答案】C【解析】∵AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，∴22AC =，∴90AOB COD ∠=∠>︒,由图象知OA OC <，OB OD <，∴0OA OB OC OD >⋅>⋅，0OB OC ⋅>,即312I I I <<，故选C ．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．（11）【2017年浙江,11，4分】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术"可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 内，S =内 ． 【答案】332【解析】如图所示，单位圆的半径为1,则其内接正六边形ABCDEF 中，AOB ∆是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF 的面积为133=611sin 6022S ⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭内． 【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题,是基础题．(12）【2017年浙江，12，6分】已知ab ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = ． 【答案】5；2【解析】由题意可得222i 34i a b ab -+=+，则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩,则225,2a b ab +==．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法,考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（13）【2017年浙江，13，6分】已知多项式()()12543211234512x x x a x a x a x a x a +++++++=，则4a = ，5a = ．【答案】16；4【解析】由二项式展开式可得通项公式为：32r r m mC x C x ,分别取0,1r m ==和1,0r m ==可得441216a =+=，令0x =可得325124a =⨯=．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题．（14）【2017年浙江，14，6分】已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =． 点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连结CD ，则BDC ∆的面积是 ；cos BDC ∠= ．【答案】152；104【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，ABE ∆中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1115cos ,sin 14164DBC DBC ∴∠=-∠=-=,BC 115sin 22D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△．又2110cos 12sin ,sin 44DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，10cos sin 4BDC DBF ∴∠=∠=,综上可得，BCD ∆面积为152，10cos 4BDC ∠=．【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题． (15）【2017年浙江,15，6分】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是 __;最大值是 __． 【答案】4；25【解析】解法一:设向量a 和b 的夹角为θ，由余弦定理有2212212cos 54cos a b θθ-=+-⨯⨯⨯=-, ()2212212cos 54cos a b πθθ+=+-⨯⨯⨯-=+，则54cos 54cos a b a b θθ++-=++-, 令54cos 54cos y θθ=++-,则[]221022516cos 16,20y θ=+-∈,据此可得:()maxa b a b ++-2025==,()min164a b a b++-==,即a b a b ++-的最小值为4,最大值为25．解法二记AOB α∠=,则0απ≤≤，如图，由余弦定理可得：54cos a b θ-=-，54cos a b θ+=+,令54cos x θ=-，54cos y θ=+，则()2210,1x y x y +=≥， 其图象为一段圆弧MN ,如图,令z x y =+，则y x z =-+，则直线y x z =-+过M 、N 时z 最小为13314min z =+=+=，当直线y x z =-+与圆弧MN 相切时z 最大，由平面几 何知识易知max z 即为原点到切线的距离的2倍，也就是圆弧MN 所在圆的半径的2倍， 所以21025max z =⨯=．综上所述，a b a b ++-的最小值为4，最大值为25．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力,涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．(16)【2017年浙江，16，4分】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人,普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 中不同的选法．（用数字作答） 【答案】660【解析】解法一:由题意可得:“从8名学生中选出队长1人，副队长1人,普通队员2人组成4人服务队”中的选择方法为:411843C C C ⨯⨯种方法,其中“服务队中没有女生"的选法有411643C C C ⨯⨯种方法，则满足题意的选法有：411411843643660C C C C C C ⨯⨯-⨯⨯=种．解法二：第一类，先选1女3男，有316240C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有4012480⨯=种,第二类,先选2女2男，有226215C C =种,这4人选2人作为队长和副队有2412A =种， 故有1512180⨯=种,根据分类计数原理共有480180660+=种，故答案为:660．【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理,属于中档题．（17）【2017年浙江，17，4分】已知α∈R ,函数()4f x x a a x=+-+在区间[]1,4上的最大值是5，则a 的取值 范围是 ．【答案】9(,]2-∞【解析】[][]41,4,4,5x x x ∈+∈，分类讨论：①当5a ≥时,()442f x a x a a x x x =--+=--,函数的最大值245a -=，92a ∴=，舍去；②当4a ≤时，()445f x x a a x x x =+-+=+≤，此时命题成立;③当45a <<时，(){}maxmax 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦,则:4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或：4555a a a aa a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：92a =或92a <，综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数,考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 三、解答题:本大题共5题,共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2017年浙江,18，14分】已知函数()22sin cos 23sin cos fx x x x x x =--∈R （）． (1)求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值;(2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．解：(1）()22πsin cos 23sin cos cos 23sin 22sin 26f x x x x x x x x ⎛⎫=--=--=-+ ⎪⎝⎭，4ππsin 232236f π⎛⎫+=⎪⎝⎛⎫=- ⎪⎭⎭⎝． （2)由()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为π．令πππ2π22π262k x k -≤+≤+，k Z ∈，得ππππ36k x k -≤≤+，k Z ∈,函数()f x 的单调递增区间为ππππ.36k k k Z ，，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性,三角函数的单调区间，难度中档． （19）【2017年浙江,19，15分】如图,已知四棱锥–P ABCD ,PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ,CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点． （1）证明://CE 平面PAB ；（2)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值． 解：解法一:（1）取AD 的中点F ，连接EF ,CF ,∵E 为PD 的重点,∴//EF PA ，在四边形ABCD 中，//BC AD ,22AD DC CB ==,F 为中点易得//CF AB ，∴平面//EFC 平面ABP ， EC ⊂平面EFC ，//EC ∴平面PAB ．（2)连结BF ，过F 作FM PB ⊥与M ，连结PF ，因为PA PD =,所以PF AD ⊥,易知四边形BCDF 为矩形，所以BF AD ⊥,所以AD ⊥平面PBF ，又//AD BC ， 所以BC ⊥平面PBF ，所以BC PB ⊥，设1DC CB ==,则2AD PC ==，所以2PB =，1BF PF ==，所以12MF =，又BC ⊥平面PBF ，所以BC MF ⊥,所以MF ⊥平面PBC ,即点F 到平面PBC 的距离为12,也即点D 到平面PBC 的距离为12,因为E 为PD 的中点，所以点E 到平面PBC 的距离为14，在PCD ∆中,2PC =，1CD =，2PD =，由余弦定理可得2CE =，设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则124sin =8CE θ=．解法二：(1）略;构造平行四边形．（2）过P 作PH CD ⊥,交CD 的延长线于点H 在Rt PDH 中,设DH x =，则易知2222(2)(1)2x x -++=（Rt PCH )，解得12DH =,过H 作BC 的平行线，取 1DH BC ==,由题易得3,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，30,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 113,,424E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则513(,,)424CE =-- ，33(,0,)22PB =-,(0,1,0)BC =, 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，则330220n PB x z n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ,令1x =,则3t =，故(1,0,3)n =, 设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则531|3|2442sin =|cos <,n|=8251322216416CE θθ-+⨯==++⨯ 故直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为28． 【点评】本题考查线面平行的证明,考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．（20）【2017年浙江，20，15分】已知函数()()1212x f x x x e x -⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭．(1）求()f x 的导函数；（2)求()f x 在区间1[+)2∞，上的取值范围．解:（1)()()()11212112111212121x xx x f x e x x e x x e x e x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=----=--+-=-- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2）令()21g x x x =--，则()1121g x x '=--，当112x ≤<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则()g x在1x =处取得最小值,既最小值为0,又0x e ->，则()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最小值为0．当x 变化时,()f x ，()f x '的变化如下表：x 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1 51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 52 5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ()f x ' — 0 + 0 — ()f x↘↗↘又121122f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =,525122f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最大值为1212e -．综上，()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围是1210,2e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．．【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．（21）【2017年浙江，21,15分】如图,已知抛物线2x y =，点11,24A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，39,24B ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线上的点()1124P x y x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，．过点B 作直线AP 的垂线,垂足为Q ．(1）求直线AP 斜率的取值范围;(2）求AP PQ ⋅的最大值．解：（1）由题易得()2,P x x ，1322x -<<，故()21141,1122AP x K x x -==-∈-+，故直线AP 斜率的取值范围为()1,1-． （2）由（1)知()2,P x x ，1322x -<<，所以211,24PA x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，设直线AP 的斜率为k ，则11:24AP y kx k =++， 139:24BP y x k k =-++,联立直线AP 、BP 方程可知222234981,2244k k k k Q k k ⎛⎫+-++ ⎪++⎝⎭， 故23432221,11k k k k k k k PQ k k ⎛⎫+----++= ⎪++⎝⎭,又因为()21,PA k k k =----， 故()()()()()()33232211111111k k k k k PA PQ PA PQ k k kk+-+--⋅=⋅=+=+-++，所以()()311PA PQ k k ⋅=+-,令()()()311f x x x =+-，11x -<<，则()()()()()221242121f x x x x x '=+-=-+-，由于当112x -<<-时()0f x '>,当112x <<时()0f x '<，故()max 127216f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即PA PQ ⋅的最大值为2716． 【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题． （22）【2017年浙江，22，15分】已知数列{}n x 满足:11x =，()()11ln 1*n n n x x x n N ++=++∈．证明:当*n N ∈时，(1）10n n x x +＜＜;(2）1122n n n n x x x x++-≤;(3）121122n n n x ++≤≤．解:（1)令函数()ln(1)f x x x =++，则易得()f x 在[0,)+∞上为增函数．又1()n n x f x +=，若0n x >⇒1()(0)0n f x f +>=恒成立10n x +⇒>，又由11ln(1)n n n x x x ++=++可知0n x >,由111111ln(1)ln(1)0n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-=++-=+>⇒>．所以10n n x x +<<．（2）令()()()()22ln 1ln 1ln 1222x x x g x x x x x x x +=++--+=++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,0x >，则()()()()()()()121111ln 11ln 1ln 12212212212x x g x x x x x x x x x x +'=+++-=+-+=+++-+++， 令()()()111ln 12212h x x x x =+++-+，则()()()()2221125210212121x x h x x x x ++'=-+=>+++， 所以()h x 单调递增．所以()()00h x h >=，即()0g x '>,()g x 单调递增．所以()()00g x g >=⇒()()ln 1ln 12xx x x x ++>-+⎡⎤⎣⎦， 所以()()11111112ln 1ln 122n n n n n n n n n x x x x x x x x x +++++++⎡⎤-=-+≤++=⎣⎦，1122n n n n x xx x ++-≤． （3)11112111212222n n n n n n n n x x x x x x x x ++++-≤⇒-≤⇒≥-，即121111222n n n n n x x +++≥-⇒递推得 12+11111(1)11111182122224212n n nk n k n x x -+=-≥-=-=+⇒-∑2211(2)1222n n n x n --≤≤≥+． 由11x =知21(N*)2n n x n -≤∈，又由()ln(1)0h x x x =-+>可知112()()0n n n x x h x h x ++-=>=．即11111112(N*)222n n n n n n n n x x x x x x n ++-->⇒>⇒≥=∈．综上可知,121122n n n x --≤≤． 【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系,不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力,放缩能力,运算能力,属于难题．。

考点20 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理(解析版)

考点20 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理(解析版)

【2022版】典型高考数学试题解读与变式考点20 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理【考纲要求】1.了解向量的实际背景．2.了解向量线性运算的性质及其几何意义．3.了解平面向量的基本定理及其意义．4.理解平面向量的概念及向量的几何表示，理解两个向量相等的含义．5.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．6.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．7.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 ．8.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．9.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 【命题规律】高考对平面向量的考查，在选择题或填空题中一般是平面向量的线性运算、坐标运算，用向量方法解决平面几何问题，在解答题中也会出现与共线向量、数量积有关的问题. 【典型高考试题变式】 （一）平面向量的线性运算例1．（2018年高考全国I 文7理6）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ）A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【考点】1。

平面向量的线性运算；2．平面向量基本定理的应用． 【答案】A【解析】试题分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法的三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果．试题解析：根据向量的运算法则，可得()111131222444BE BA BD BA BA AC BA AC =+=++=+， 3144EB AB AC ∴=-，故选A ． 【名师点睛】该题考查的是平面向量基本定理的应用，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算．【拓展、技巧与警示】求解平面向量问题，要掌握平面向量的基本运算及性质，以及数形结合解决问题的能力． 【变式1】【改变条件】在ABC △中，AB 边的高为CD ，若012CB a CA b ==⋅===,,,,a b a b ，则AD =( D )A ．1133-　a bB ．2233-a b C ．3355-a b D ．4455-a b 【变式2】【改变条件】如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C D ,是半圆弧的两个三等分点，AB a AC b ==,，则AD =( D )A ．12-　a b B ．12-a b C ．12+a b D ．12+a b（二）平面向量的坐标运算例2．（2021高考全国乙卷文13）已知向量()()2,5,,4λ==a b ，若a //b ，则λ= ．【答案】85【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值． 【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=，解方程可得：85λ=．【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略:（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于与共线.【变式1】【改变条件】已知向量a =（2,6），a +b =(1,)λ- ，若//a b ，则λ= . 【答案】3【解析】由已知可得b )6,3(--=λ，因为//a b ，所以12218-=-λ，解得3=λ. 【变式2】【改变结论】已知向量a =（2,6），b =(1,)λ- ，若//a b ，则a+λb = .【答案】(5,15)【解析】由//a b 得62λ-=，解得3λ=-，所以a+λb =)15,5()9,3()6,2(=+.例3.【2017•新课标卷】已知向量=a (2,3)-，=b (3,)m 且⊥a b ，则=m . 【答案】2【解析】由题意可得：2330m -⨯+=，所以2m =. 【名师点睛】向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=.【变式1】【改变例题中的条件】已知向量=a )2,1(-，=b （m ，1）．若向量+a b 与a 垂直，则=m ________． 【答案】7【解析】由题得()1,3m +=-a b ，因为向量+a b 与a 垂直，所以()0+⋅=a b a ， 所以(1)230m --+⨯=，解得7m =.【变式2】【改变例题中的结论】已知向量=a (2,3)-，=b (3,)m 且⊥a b ，则|a +b |= .【答案】3【解析】由题意0⋅=a b ，2(1)0x x ++=，23x =-.所以+a b =)37,1(，所以a +b |=358)37(122=+.（三）平面向量共线定理的应用例4．（2018年高考全国III 文理13）已知向量()12=,a ，()22=-,b ，()1λ=,c ．若()2+∥c a b ，则λ=________． 【答案】12【解析】试题分析：由两向量共线的坐标关系计算即可．试题解析：由题可得()24,2+=a b ．()//2+c a b ，又()11,,4λ20,λ2λ=∴-=∴=c ，故答案为12． 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．【变式1】【改变条件】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．【变式2】【改变条件和结论】设20πθ<<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a=，若b a //，则=θtan _______. 【答案】12【解析】因为b a//，所以2sin 21cos 0θθ⨯-=，即2sin 2cos θθ=，所以22sin cos cos θθθ=.因为20πθ<<，所以cos 0θ≠,所以2sin cos θθ=,所以sin 1tan cos 2θθθ==,故答案为12. （四）平面向量的基本定理及其应用3.（2017课标3理12）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】试题分析：如图所示，建立平面直角坐标系【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【变式1】【改变条件】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．【答案】3【解析】由tan 7α=可得72sin 10α=，2cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩，即2222102720210n m n m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．【变式2】【改变条件和结论】在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN x AB y AC =+，则x = ；y = ．【答案】11,26-【解析】特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥==，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2A M CB N ，1(2,),(4,0),2MN AB =-=(0,3)AC =，则1(2,)(4,0)(0,3)2x y -=+，11142,3,,226x y x y ==-∴==-. 【数学思想】①数形结合思想:向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．A C BO②分类讨论思想:对向量的方向、向量的位置关系、参数进行讨论．③转化与化归思想.【温馨提示】①作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点．②在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．③注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．④要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．⑤0与实数0的区别：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；②0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．⑥a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.【典例试题演练】1．（2022·全国高三模拟（理））已知向量a，b为非零向量，则“向量a，b的夹角为180°”是“//a b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】判断命题“若向量a，b的夹角为180°，则//a b，则向量a，b的夹角为a b”和命题“若//180°”的真假即可得解.【详解】因向量a，b为非零向量，则当向量a，b的夹角为180°时，a与b方向相反，即//a b成立，当//a b时，a与b方向相同或者方向相反，即向量a，b的夹角为0°或者180°，可以不为180°，所以“向量a，b的夹角为180°”是“//a b”的充分不必要条件.故选：A2．（2022·全国）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa→＝0（λ为实数），则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa→＝μb→，则a→与b→共线.其中错误的命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；②错误，当a →＝0时，λ不一定为零；③错误，当λ＝μ＝0时，此时，a →与b →可以是任意向量.即得解. 【详解】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点. ②错误，当a →＝0时，不论λ为何值，λa →＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa →＝μb →＝0→，此时，a →与b →可以是任意向量. 故错误的命题有3个. 故选；D3．（2022·山西长治·高三月考（理））已知a ＝（1，－2），则与a 反方向的单位向量是（ ）A ．（）B ．（15-，25）C ．（15，25-）D ．，） 【答案】A 【分析】利用相反向量和单位向量的概念求解. 【详解】因为a ＝（1，－2），所以与a 反方向的单位向量是（），故选：A4．（2022·河北·天津十四中高三月考）O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，,[)0λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．外心 B ．垂心 C ．内心 D ．重心【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，利用中点公式化简即可求解. 【详解】令D 为BC 的中点，则()2OP OA AB AC OA AD λλ=++=+，于是有2AP AD λ=，∴点A ､D ､P 共线，即点P 的轨迹通过三角形ABC 的重心.故选：D5．（2022·正定·河北正中实验中学高三月考）已知1,0A 、()2,1B ，若向量a 是与AB 方向相同的单位向量，则a =（ ）A ．()1,1B ．()1,0C ．⎝⎭D ．⎝⎭【答案】D 【分析】计算出向量AB 的坐标，即可得出AB a AB=，即可得解.【详解】由题意可得()1,1AB =，则2AB =)11,1222AB a AB===⎝⎭. 故选：D.6．（2022·吉林长春外国语学校高三开学考试（理））“||||a b a b ⋅=”是“a 与b 共线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合向量的数量积运算进行判断即可 【详解】因为cos ,a b a b a b a b ⋅==，所以cos ,1a b =，因为,[0,]a b π∈，所以,0a b =，所以a 与b 共线，当a 与b 共线时，,0a b =或,a b π=，所以cos ,a b a b a b a b ⋅==或cos ,a b a b a b a b ⋅==-，所以“||||a b a b ⋅=”是“a 与b 共线”的充分不必要条件， 故选：A.7．（2022·陕西宝鸡·高三月考（理））下列四个结论：①设,a b 为向量，若a b a b ⋅=，则//a b 恒成立；②命题“若sin 0x x -=，则0x =”的逆命题为“若0x ≠，则sin 0x x -≠”；③不等式11x xx x >--解集为{}01x x <<； 其中正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个【答案】B 【分析】①若,a b 为非零向量，a b a b ⋅=易知,0a b <>=或π，若,a b 存在零向量，命题恒成立，即可知正误；②由逆命题的定义写出逆命题，判断正误；③由题设有01xx <-，求解即可确定正误. 【详解】①,a b 为向量，若a b a b ⋅=，则//a b 恒成立，正确；②“若sin 0x x -=，则0x =”的逆命题为“若0x =，则sin 0x x -=”，错误； ③11x x x x >--，即01xx <-，可得01x <<，故解集为{}01x x <<，正确； 故选：B 。

专题11 平面向量-三年(2017-2019)高考真题数学(文)分项汇编(带解析)

专题11 平面向量-三年(2017-2019)高考真题数学(文)分项汇编(带解析)

专题11 平面向量1．【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷文数】已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |= A 2 B ．2 C ．52D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ， 所以22||(1)12-=-+=a b ， 故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．3．【2018年高考全国I 卷文数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u v1113124444BA BA AC BA AC =++=+u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以3144EB AB AC =-u u u r u u u r u u u r ，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 4．【2018年高考全国II 卷文数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.5．【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A ．3−1 B ．3+1 C ．2 D ．2−3【答案】A【解析】设，则由得，由b 2−4e ·b +3=0得因此|a −b |的最小值为圆心到直线的距离23=3减去半径1，为选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算. 6．【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r则·BC OM u u u r u u u u r 的值为A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN ，由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C 选项.【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 7．【2017年高考全国II 卷文数】设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则 A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．>a b【答案】A【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量a ，b 的模长为边长的平行四边形是矩形，从而可得a ⊥b .故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的数量积与向量的垂直.8．【2017年高考北京卷文数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算，及充分必要条件的判断，属于容易题.9．【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．【答案】8【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.10．【2019年高考全国III 卷文数】已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,=a b ___________.【答案】210-【解析】222228262cos ,||||1022(8)6⨯-+⨯⋅===-⋅+⨯-+a b a b a b ． 【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．11．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD 中，,23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B，535(,)22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE 的斜率为3，其方程为3(23)3y x =-， 直线AE 的斜率为3-，其方程为3y x =-. 由3(23),33y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-u u u r u u u rg g .【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.12．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABAC的值是_____.【答案】3.【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE=-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC⎛⎫=-+=-+=⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g，得2213,22AB AC=u u u r u u u r即3,AB=u u u r u u r故3ABAC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)iiλ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BDλλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；25【解析】以,AB AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,令()()2212345613562456y AB BC CD DA AC BD λλλλλλλλλλλλλλ=+++++=-+-+-++≥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 00.又因为(1,2,3,4,5,6)i i λ=可取遍1±，所以当1345621,1λλλλλλ======-时，有最小值min 0y =. 因为()135λλλ-+和()245λλλ-+的取值不相关，61λ=或61λ=-， 所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值， 所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值22max242025y =+==.故答案为0；25.【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.14．【2018年高考全国III 卷文数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2Q ∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12. 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.15．【2018年高考北京卷文数】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________.【答案】【解析】，，由得：，，即.【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0． 16．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u ur ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，； ∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r ；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．17．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.18．【2017年高考全国III 卷文数】已知向量(2,3),(3,)m =-=a b ，且⊥a b ，则m =________．【答案】2【解析】由题意可得02330,m ⋅=⇒-⨯+=a b 解得2m =. 【名师点睛】（1）向量平行：1221∥x y x y ⇒=a b ，,,∥≠⇒∃∈=λλ0R a b b a b ,111BAAC OA OB OC λλλλ=⇔=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .（3）向量的运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b .19．【2017年高考全国I 卷文数】已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b ，因为()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =． 【名师点睛】如果a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0．20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OCu u u r的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得2sin 10α=，2cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222102720n m n m +=⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．21．【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________． 【答案】4，25【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则2212212cos 54cos θθ-=+-⨯⨯⨯=-a b ，2212212cos 54cos θθ+=++⨯⨯⨯=+a b则54cos 54cos θθ++-=+-a b a b 令54cos 54cos y θθ=+-，则[]221022516cos 16,20y θ=+-，据此可得：()()maxmin 2025,164++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是25【名师点睛】本题通过设向量,a b 的夹角为θ，结合模长公式，可得54cos θ++-=+a b a b54cos θ-能力有一定的要求．22．【2017年高考天津卷文数】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =u u u r u u u r ，AE AC λ=-u u u r u u u r ()AB λ∈R u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为________．【答案】311【解析】由题可得1232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则12()33AD AE AB AC ⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r 2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=u u u r u u u r ．【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中,AB AC u u u r u u u r已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．23．【2017年高考山东卷文数】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ=________．【答案】3-【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则∥a b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．（2）利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．（3）三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →共线.。

2017年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)

2017年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一(tǒngyī)考试（山东(shān dōnɡ)卷）数学(shùxué)（理科(lǐkē)）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有(zhǐyǒu)一项是符合题目要求的．（1）【2017年山东，理1，5分】设函数的定义域为，函数的定义域为，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】由得，由得，，故选D．（2）【2017年山东，理2，5分】已知，是虚数单位，若，，则（）（A）1或（B）或（C）（D）【答案】A【解析】由得，所以，故选A．（3）【2017年山东，理3，5分】已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由时有意义，知p是真命题，由可知q是假命题，即p，均是真命题，故选B．（4）【2017年山东，理4，5分】已知、满足约束条件，则的最大值是（）（A）0 （B）2 （C）5 （D）6【答案】C【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移20x y+=发现，当其经过直线与的交点时，2=+最大为z x y，故选C．（5）【2017年山东，理5，5分】为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）（A）160 （B）163 （C）166 （D）170【答案】C【解析】，故选C．（6）【2017年山东(shān dōnɡ)，理6，5分】执行(zhíxíng)两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入(shūrù)的x值为9，则第一次、第二次输出(shūchū)的值分别(fēnbié)为（）（A）0，0 （B）1，1 （C）0，1 （D）1，0【答案】D【解析】第一次；第二次，故选D．（7）【2017年山东，理7，5分】若，且，则下列不等式成立的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】，故选B．（8）【2017年山东，理8，5分】从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】，故选C．（9）【2017年山东，理9，5分】在中，角A、B、的对边分别为a、、，若ABC∆为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】所以，故选A．（10）【2017年山东，理10，5分】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】当时，，2=+单调递=-单调递减，且，y x m(1)y mx增，且，此时有且仅有一个交点；当时，，2=-在y mx(1)上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需，故选B．第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2017年山东，理11，5分】已知的展开式中含有的系数是54，则．【答案】4【解析】，令得：，解得．（12）【2017年山东，理12，5分】已知、是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ． 【答案(dá àn)】【解析(jiě xī)】，，，，解得：．（13）【2017年山东(shān dōnɡ)，理13，5分】由一个(yī ɡè)长方体和两个圆柱体构成(gòuchéng)的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ． 【答案】【解析】该几何体的体积为．（14）【2017年山东，理14，5分】在平面直角坐标系中，双曲线（，）的右支与焦点为的抛物线（）交于A 、B 两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 ．【答案】【解析】，因为，所以渐近线方程为22y x =±． （15）【2017年山东，理15，5分】若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质。

2017高考数学(浙江专版)二轮复习与策略课件 专题3 平面向量

2017高考数学(浙江专版)二轮复习与策略课件 专题3 平面向量
2 2
即θ确定，|b|唯一确定.]
2017版高三二轮复习与策略
3.(2012· 浙江高考设 a，b 是两个非零向量( A.若|a＋b|＝|a|－|b|，则 a⊥b B.若 a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b| C.若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数 λ，使得 b＝λa D.若存在实数 λ，使得 b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
2017版高三二轮复习与策略
1.平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向 量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现. 2.正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重 数形结合思想、方程思想与转化思想的应用. 提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向.
2017版高三二轮复习与策略 提炼2 数量积常见的三种应用
已知两个非零向量a＝(x1，y1，b＝(x2，y2，则 (1证明向量垂直：a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
2 (2求向量的长度：|a|＝ a· a＝ x1 ＋y2 1.
x1x2＋y1y2 a· b (3求向量的夹角：cos〈a，b〉＝|a||b|＝ 2 2 2 2. x1＋y1· x2＋y2
A. C. 5 ， ＋∞ 5 5 ， 1 5

B.[ 2，＋∞ D.[1，＋∞
2017版高三二轮复习与策略
(2(2016· 天津高考已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边 →· → 的值为( AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF BC 5 A.－8 1 C.4 1 B.8 11 D. 8
2017版高三二轮复习与策略
→ ＝PB →· → ＝PA →· → ⇔P为△ABC的垂心. →· (4PA PB PC PC (5非零向量a，b垂直的充要条件：a⊥b⇔a· b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|⇔x1x2＋ y1y2＝0. a· b (6向量b在a的方向上的投影为|b|cos θ＝ |a| ， a· b 向量a在b的方向上的投影为|a|cos θ＝ . |b|

专题07 平面向量-【中职专用】河南省近十年对口高考数学真题分类汇编(解析版)

专题07 平面向量-【中职专用】河南省近十年对口高考数学真题分类汇编(解析版)

专题07平面向量1.（2021年河南对口高考）已知向量(2,3)a =- ，向量(,6)b x =- ，若a b ⊥，则x 的值为（）A.4B.4- C.9D.9-【答案】D【解析】若a b ⊥ ，则0a b ⋅=，23(6)0x -+⨯-=，9x =-，故选D.2.（2021年河南对口高考）已知a ，b 是单位向量，夹角为60︒，则a b +=.【答案】【解析】因为a ，b是单位向量，夹角为60︒，所以a b +== 3.（2021年河南对口）已知向量()1,3m = ，(1,1)n =-，则||m n -= （）AB ．C ．4D ．8【答案】B【解析】因为()1,3m = ，()1,1n =-，则(2,2)m n -= ，所以||m n -== B .4.（2020年河南对口高考）已知向量(2,1)a =- ，(3,4)b =- ，则a 与a b +的夹角为（）A.4πB.3π C.2π D.34π【答案】D【解析】a == (2)31(4)10a b ⋅=-⨯+⨯-=- ，2()5a a b a a b +=+⋅=-，a b +=()cos 2a a b a a bθ+==-+，所以夹角为34π，故选D.5.（2020年河南对口高考）已知向量(1,2)a = ，(3,)b k =- ，a b，则=k .【答案】6-【解析】因为a b，所以1230k ⨯+⨯=，6k =-，故答案为6-.6.（2020年河南对口）已知向量a ，b 满足2a = ，1a b ⋅= ，且a 与b的夹角为60︒，则b 的值为.【答案】1【解析】由题意可知，1cos 60212a b a b b ⋅=⋅︒=⋅= ，解得1b = ，故答案为1.7.（2019年河南对口高考）已知(2,1)A ，(1,3)B -，(3,4)C ，则AB AC ⋅=（）A.4-B.4C.3- D.3【答案】D【解析】(3,2)AB =- ，(1,3)AC = ，31233AB AC ⋅=-⨯+⨯=，故选D.8.（2019年河南对口高考）若向量(1,2)a = ，(3,1)b =- ，则()()a b a b ⋅-=.【答案】(4,1)--【解析】1(3)211a b ⋅=⨯-+⨯=- ，(4,1)a b -= ，所以()()(4,1)a b a b ⋅-=--，故答案为：(4,1)--.9.（2019年河南对口）已知向量a ，b的夹角为60°，1a = ，2b = ，则2a b -= （）A ．1B ．CD ．2【答案】D【解析】∵向量a ，b的夹角为60°，且1a = ，2b = ，∴12cos601a b ⋅=⨯⨯︒= ，∴22a b -= ，故选D ．10.（2018年河南对口高考）下列命题中，正确的是（）A.若→→=b a ，则→→=ba B.若→→=b a ，则→a 与→b 是平行向量C.若→→>b a ，则→→>ba D.若→→≠b a ，则向量→a 与→b 不共线【答案】B【解析】向量相等包含两层含义，一个是方向相同，一个是大小相等，两个向量是不能比较大小的，只有向量的模长可以比较大小，所以应选B.11.（2018年河南对口高考）若向量)1,2(-=→a ，)3,1(=→b ，→→→+=b a c 2，则=→c .【答案】(0,7)【解析】2(2,1)(2,6)(0,7)c a b →→→=+=-+=，故答案为：(0,7).12.（2018年河南对口）已知平面向量()2,1a =，()1,1b =-r ，若a b λ- 与a b + 垂直，则λ=.【答案】2【解析】()()()()()2210a b a b a b a b a a b b λλλλ-⊥+⇒-⋅+=+-⋅-= ，因为()2,1a = ，()1,1b =-r ，所以25a =，22b = ，1a b ⋅= ，所以()5120l l +--=，解得2λ=，故答案为2.13.（2017年河南对口高考）“向量0a b +=”是a b“”=A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】两向量相加为零向量，说明两向量是相反向量，模的大小相等方向相反，所以0a b +=能推出a b =，但a b=推不出0a b +=，故选A.14.（2017年河南对口高考）已知()()1,3,2,1A B AB，则--=.【答案】5【解析】(3,4)AB =-- ，5AB ==，故答案为：5.15.（2017年河南对口）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知3cos 5A =.(1)若ABC ∆的面积为3，求AB AC的值；(2)设2sin ,1,cos ,cos 22B B m n B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且//m n ，求cos C 的值.【答案】(1)92；(2)10【解析】解：(1)因为3cos 5A =，所以4sin 5A =，则12||||sin ||||325ABC S AB AC A AB AC ∆=== ，即15||||2AB AC = ，又3cos 5||||AB ACA AB AC ==，所以92AB AC = .(2)因为//m n ，所以2sin cos cos 22B B B =，即sin cos B B =，所以4B π=，所以cos cos()cos cos sin sin 10C A B A B A B =-+=-+=.16.（2016年河南对口高考）设向量(2,1)AB = ，(1,)AC a = ，且AB AC ⊥，则a 的值是（）A.12B.12-C.2-D.2【答案】D【解析】因为(2,1)AB = ，(1,)AC a = ，且AB AC ⊥ ，所以20AB AC a ⋅=+=，2a =-，故选D.17.（2016年河南对口）已知向量(1,1),(1,3)a b =-=- ，则(2)a a b ⋅+=r r r（）A ．0B ．1C ．1-D ．2【答案】A【解析】由题意，向量(1,1),(1,3)a b =-=- ，可得22,1(1)(1)34a a b =⋅=⨯-+-⨯=-，所以2(2)22240a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯-=，故选A .18.（2016年河南对口）已知向量()1,2AB =- ，()2,AC x = ，若AB AC ⊥，则BC =.【解析】()1,2BC AC AB x =-=+ ，AB AC ⊥ ，220AB AC x ∴⋅=-= ，解得：1x =，()1,3BC ∴=，BC ∴= .19.（2015年河南对口高考）若向量()2,1=a ,()1,1-=b ,则2a b +等于（）A．()3,3B．()3,3-C．()3,3-D．()3,3--【答案】D【解析】2(2,4)(1,1)(3,3)a b +=+-=，故选D.20.（2015年河南对口高考）已知向量()0,3=a ，()1,1-=b，则=.【答案】2【解析】3a ==，b == ，3(1)013a b ⋅=⨯-+⨯=-，2cos ,2a b a b a b⋅===-，故答案为：22.21.（2015年河南对口高考）已知()()()0,3,3,2,2,1C B A ，求证：AC AB ⊥.【答案】证明见解析【解析】证明：因为(1,1)AB = ，(2,2)AC =- ，12120AB AC ⋅=⨯-⨯= ，所以AB AC ⊥，即AC AB ⊥.22.（2014年河南对口高考）已知向量(3,1)a - =，(1,2)b -- =，(1,1)c - =，则a b c ++ 模长等于（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A【解析】(3,4)a b c ++=-，5a b c ++= ，故选A.23.（2014年河南对口高考）向量a 的模为3，向量b 的模为2，二者的夹角为60，则二者的内积等于.【答案】3【解析】因为3a = ，2b = ，,60a b =︒ ，所以cos ,32cos 603a b a b a b ⋅==⨯︒=，故答案为：3.24.（2014年河南对口高考）下列命题中，正确的是（）A ．若a ∥b ，则a 与b方向相同或相反B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等D ．若a b = ，b c = ，则a c= 【答案】D【解析】由于零向量的方向是任意的，取0a =，则对于任意向量b ，都有a ∥b ，知A 错；取0b = ，则对于任意向量a ，c 都有a ∥b ，b ∥c ，但得不到a ∥c，知B 错；两个单位向量互相平行，方向可能相反，知C 错；由两向量相等的概念知D 正确，故选D ．25.（2013年河南对口高考）已知向量(3,2)a =- ，(1,1)b =- ，则32a b +等于（）A ．(7,4)-B ．(7,4)C ．(7,4)--D ．(7,4)-【答案】D【解析】32(9,6)(2,2)(7,4)a b +=-+-=-，故选D.26.（2013年河南对口高考）若向量(1,3)a =- 与向量(2,)b m =平行，则m =．【答案】6-【解析】因为向量(1,3)a =- 与向量(2,)b m =平行，所以1230m ⨯+⨯=，6m =-，故答案为：6-.27.（2013年河南对口高考）已知(1,2)a =- ，(2,1)b =- ，证明：4cos ,5a b = ．【答案】证明见解析【解析】证明：a ==，b ==(1)(2)214a b ⋅=-⨯-+⨯= ，所以4cos ,5a ba b a b⋅===，得证.28.（2012年河南对口高考）已知向量(1,2)a = ，(2,1)b =- ，则a ，b之间的位置关系为（）A ．平行B ．不平行也不垂直C ．垂直D ．以上都不对【答案】C【解析】因为(1,2)a = ，(2,1)b =- ，1(2)210a b ⋅=⨯-+⨯= ，所以a b ⊥，故选C.29.（2012年河南对口高考）已知两点()3,4A -和()1,1B ，则AB =.【答案】5【解析】因为()3,4A -和()1,1B ，所以(4,3)AB =-，5AB == ，故答案为：5.30.（2012年河南对口）已知向量a ，b 满足||1a =，||b = ()a a b ⊥- ，则a 与b 的夹角是.【答案】4π【解析】由()a a b ⊥- ，得2()0a a b a a b ⋅-=-⋅= ，所以21a b a ⋅==，所以cos ,2a b a b a b ⋅==⋅，所以,4a b π= ，故答案为4π.。

2017年浙江省高考数学试卷(含解析版)

2017年浙江省高考数学试卷(含解析版)

2017年浙江省高考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，2）2．（4分）椭圆A．+=1的离心率是（）B．C．D．3．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1B．+3C．+1D．+34．（4分）若x、y满足约束条件A．[0，6]B．[0，4]，则z=x+2y的取值范围是（）C．[6，+∞）D．[4，+∞）5．（4分）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关C．与a无关，且与b无关B．与a有关，但与b无关D．与a无关，但与b有关6．（4分）已知等差数列{a}的公差为d，前n项和为S，则“d＞0”是“S+Sn n4＞2S”的（）56A．充分不必要条件C．充分必要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）1的图象可能是（）A．B．C．D．8．（4分）已知随机变量ξ满足P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1﹣p，i=1，2．若i i i i i0＜p＜p＜，则（）12A．E（ξ）＜E（ξ），D（ξ）＜D（ξ）B．E（ξ）＜E（ξ），D（ξ）1212121＞D（ξ）2C．E（ξ）＞E（ξ），D（ξ）＜D（ξ）D．E（ξ）＞E（ξ），D（ξ）1212121＞D（ξ）29．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D ﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜γ＜α10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I=•，I=•，I=•，则（）1232（ 3 2A ．I ＜I ＜I 123B ．I ＜I ＜I 1 32C ．I ＜I ＜I 3 12D ．I ＜I ＜I 2 13二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分11．（4 分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 π，理论上能把 π 的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将 π 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 S ，S =．6612．（6 分）已知 a 、b∈R ，（a+bi ）2=3+4i （i 是虚数单位），则 a 2+b 2=，ab=．13． 6 分）已知多项式（x+1）（x+2） =x 5+a x 4+a x 3+a x 2+a x+a ，则 a = ，12 3 4 5 4a =．514．（6 分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点 D 为 AB 延长线上一点，BD=2，连结△C D ，则 BDC 的面积是 ，cos∠BDC= ．15 ．（ 6 分）已知向量、 满足 | |=1 ， | |=2 ，则 | + |+| ﹣ | 的最小值是，最大值是．16．（4 分）从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）17．（4 分）已知 a∈R，函数 f （x ）=|x+ ﹣a|+a 在区间[1，4]上的最大值是 5，则 a 的取值范围是．三、解答题（共 5 小题，满分 74 分）18．（14 分）已知函数 f （x ）=sin 2x ﹣cos 2x ﹣2（Ⅰ）求 f （）的值．（Ⅱ）求 f （x ）的最小正周期及单调递增区间．sinx cosx （x∈R ）．319．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围．421．（15分）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|PA||PQ|的最大值．22．（15分）已知数列{x}满足：x=1，x=x+ln（1+x）（n∈N*），证明：当nn1n n+1n+1∈N*时，（Ⅰ）0＜x＜x；n+1n（Ⅱ）2x﹣x≤n+1n （Ⅲ）≤x≤n；．52017年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，2）【考点】1D：并集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；5J：集合．【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）．故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．2．（4分）椭圆A．+=1的离心率是（）B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．【解答】解：椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为：=．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．63．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1B．+3C．+1D．+3【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，××3=+1，故该几何体的体积为××π×12×3+××故选：A．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目．74．（4分）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，+∞）D．[4，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．【解答】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．5．（4分）若函数f（x）=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关C．与a无关，且与b无关B．与a有关，但与b无关D．与a无关，但与b有关8【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】32：分类讨论；4C：分类法；51：函数的性质及应用．【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下M﹣m的取值与a，b 的关系，综合可得答案．【解答】解：函数f（x）=x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，①当﹣＞1或﹣＜0，即a＜﹣2，或a＞0时，函数f（x）在区间[0，1]上单调，此时M﹣m=|f（1）﹣f（0）|=|a+1|，故M﹣m的值与a有关，与b无关②当≤﹣≤1，即﹣2≤a≤﹣1时，函数f（x）在区间[0，﹣]上递减，在[﹣，1]上递增，且f（0）＞f（1），此时M﹣m=f（0）﹣f（﹣）=，故M﹣m的值与a有关，与b无关③当0≤﹣＜，即﹣1＜a≤0时，函数f（x）在区间[0，﹣]上递减，在[﹣，1]上递增，且f（0）＜f（1），此时M﹣m=f（1）﹣f（﹣）=1+a+，故M﹣m的值与a有关，与b无关综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关故选：B．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．6．（4分）已知等差数列{a}的公差为d，前n项和为S，则“d＞0”是“S+S6n n4＞2S”的（）59A．充分不必要条件C．充分必要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列；5L：简易逻辑．【分析】根据等差数列的求和公式和S+S＞2S，可以得到d＞0，根据充分必要465条件的定义即可判断．【解答】解：∵S+S＞2S，465∴4a+6d+6a+15d＞2（5a+10d），111∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S+S＞2S”充分必要条件，465故选：C．【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题7．（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．10E【考点】3A ：函数的图象与图象的变换．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；52：导数的概念及应用．【分析】根据导数与函数单调性的关系，当 f′（x ）＜0 时，函数 f （x ）单调递减，当 f′（x ）＞0 时，函数 f （x ）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数 y=f （x ）的图象可能【解答】解：由当 f′（x ）＜0 时，函数 f （x ）单调递减，当 f′（x ）＞0 时，函数 f （x ）单调递增，则由导函数 y=f′（x ）的图象可知：f （x ）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除 A ，C ，且第二个拐点（即函数的极大值点）在 x 轴上的右侧，排除 B ，故选：D ．【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．8．（4 分）已知随机变量 ξ 满足 P （ξ =1）=p ，P （ξ =0）=1﹣p ，i=1，2．若iiiii0＜p ＜p ＜ ，则（）12A ．E （ξ ）＜E （ξ ），D （ξ ）＜D （ξ ）B ．E （ξ ）＜E （ξ ），D （ξ ）1212121＞D （ξ ）2C ．E （ξ ）＞E （ξ ），D （ξ ）＜D （ξ ） D ．E （ξ ）＞E （ξ ），D （ξ ）12 1 2 1 2 1＞D （ξ ）2【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I ：概率与统计．【分析】由已知得 0＜p ＜p ＜ ， ＜1﹣p ＜1﹣p ＜1，求出 E （ξ ）=p ，（ξ ）1221112=p ，从而求出 D （ξ ），D （ξ ），由此能求出结果．21 2【解答】解：∵随机变量 ξ 满足 P （ξ =1）=p ，P （ξ =0）=1﹣p ，i=1，2，…，iiiii0＜p ＜p ＜ ，1211∴＜1﹣p＜1﹣p＜1，21E（ξ）=1×p+0×（1﹣p）=p，1111E（ξ）=1×p+0×（1﹣p）=p，2222D（ξ）=（1﹣p）2p+（0﹣p）2（1﹣p）= 11111D（ξ）=（1﹣p）2p+（0﹣p）2（1﹣p）= 22222，，D（ξ）﹣D（ξ）=p﹣p2﹣（1211）=（p﹣p）（p+p﹣1）＜0，2112∴E（ξ）＜E（ξ），D（ξ）＜D（ξ）．1212故选：A．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．9．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D ﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜γ＜α【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6），Q，R，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，12OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG．．可得tanα=．tanβ=，tanγ=．由已知可得：OE＞OG＞OF．即可得出．【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6），B（3 ==，﹣3，0）．Q，=（0，3，6．，R），=（，，6，0），=，设平面PDR的法向量为=（x，y，z），则，可得，可得=，取平面ABC的法向量=（0，0，1）．则cos==，取α=arccos．同理可得：β=arccos．γ=arccos．∵＞＞．∴α＜γ＜β．解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG．设OD=h．则tanα=．同理可得：tanβ=，tanγ=．由已知可得：OE＞OG＞OF．∴tanα＜tanγ＜tanβ，α，β，γ为锐角．∴α＜γ＜β．故选：B．13【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD 交于点O，记I=•，I=•，I=•，则（）123A．I＜I＜I123B．I＜I＜I132C．I＜I＜I312D．I＜I＜I213【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；48：分析法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，14∴AC=2，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I＜I＜I，312故选：C．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（4分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S，S=．66【考点】CE：模拟方法估计概率．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5B：直线与圆．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．【解答】解：如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，△AOB是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF的面积为S=6××1×1×sin60°=．6故答案为：．15【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题．12．（6分）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），则a2+b2=5，ab= 2．【考点】A5：复数的运算．【专题】34：方程思想；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），可得3+4i=a2﹣b2+2abi，可得3=a2﹣b2，2ab=4，解出即可得出．【解答】解：a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位），∴3+4i=a2﹣b2+2abi，∴3=a2﹣b2，2ab=4，解得ab=2，，．则a2+b2=5，故答案为：5，2．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．（6分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a x4+a x3+a x2+a x+a，则a=16，123454 a=4．5【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；5P：二项式定理．【分析】利用二项式定理的展开式，求解x的系数就是两个多项式的展开式中x 16与常数乘积之和，a就是常数的乘积．5【解答】解：多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a x4+a x3+a x2+a x+a，12345（x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4，a=3×4+1×4=16；4a=1×4=4．5故答案为：16；4．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题．14．（6分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结△C D，则BDC的面积是，cos∠BDC=．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】如图，取BC得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出△SABC，再根据△SBDC =△SABC即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出【解答】解：如图，取BC得中点E，∵AB=AC=4，BC=2，∴BE=BC=1，AE⊥BC，∴AE==，∴△SABC=BC AE=×2×=，∵BD=2，∴△SBDC =△SABC=，∵BC=BD=2，∴∠BDC=∠BCD，∴∠ABE=2∠BDC 在△R t ABE中，∵cos∠ABE==，17（ |∴cos∠ABE=2cos 2∠BDC﹣1= ，∴cos∠BDC=故答案为：，，【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题15． 6 分）已知向量 、 满足| |=1，|=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是 4 ，最大值是．【考点】3H ：函数的最值及其几何意义；91：向量的概念与向量的模．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知| + |=| ﹣ |=，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．【解答】解：记∠AOB=α，则 0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：、| + |=| ﹣ |=令 x=，，，y= ，则 x 2+y 2=10（x 、y≥1），其图象为一段圆弧 MN ，如图，令 z=x+y ，则 y=﹣x+z ，则直线 y=﹣x+z 过 M 、N 时 z 最小为 z =1+3=3+1=4，min18当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z即为原点到切线的距离的倍，max倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的所以z=×=．max．综上所述，|+|+|﹣|的最小值是4，最大值是故答案为：4、．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有660种不同的选法．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；32：分类讨论；4O：定义法；5O：排列组合．【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可【解答】解：第一类，先选1女3男，有C3C1=40种，这4人选2人作为队长和6219副队有A2=12种，故有40×12=480种，4第二类，先选2女2男，有C2C2=15种，这4人选2人作为队长和副队有A2=12624种，故有15×12=180种，根据分类计数原理共有480+180=660种，故答案为：660【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题17．（4分）已知a∈R，函数f（x）=|x+﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是（﹣∞，]．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】通过转化可知|x+﹣a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+≤5，进而计算可得结论．【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，又因为|x+﹣a|≤5﹣a，所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a，所以2a﹣5≤x+≤5，又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，所以2a﹣5≤4，解得a≤，故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．20f f（Ⅰ）求 f （）的值．（Ⅱ）求 f （x ）的最小正周期及单调递增区间．【考点】3G ：复合函数的单调性；GF ：三角函数的恒等变换及化简求值；H1：三角函数的周期性；H5：正弦函数的单调性．【专题】35：转化思想；4R ：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，（Ⅰ）代入可得：f （）的值．（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得 f （x ）的最小正周期及单调递增区间【解答】解：∵函数 （x ）=sin 2x ﹣cos 2x ﹣2 sinx cosx=﹣ sin2x ﹣cos2x=2sin（2x+（Ⅰ）f （））=2sin （2× + ）=2sin =2，（Ⅱ）∵ω=2，故 T=π，即 f （x ）的最小正周期为 π，由 2x+x∈[﹣∈[﹣ +2kπ， +2kπ]，k∈Z 得：+kπ，﹣ +kπ]，k∈Z，故 （x ）的单调递增区间为[﹣ +kπ，﹣ +kπ]或写成[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．19．（15 分）如图，已知四棱锥 P ﹣ABCD ，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB ，E 为 PD 的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面 PAB ；（Ⅱ）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值．21【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，推导出EF∥PA，CF∥AB，从而平面EFC∥平面ABP，由此能证明EC∥平面PAB．（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而BF⊥AD，进而AD⊥平面PBF，由AD∥BC，得BC⊥PB，再求出BC⊥MF，由此能求出sinθ．【解答】证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，∵E为PD的中点，∴EF∥PA，在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点，∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP，∵EC平面EFC，∴EC∥平面PAB．解：（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，∵PA=PD，∴PF⊥AD，推导出四边形BCDF为矩形，∴BF⊥AD，∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC，∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB，设DC=CB=1，由PC=AD=2DC=2CB，得AD=PC=2，∴PB===，BF=PF=1，∴MF=，又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF，22∴MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，∵MF=，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，∴E到平面PBC的距离为，，在由余弦定理得CE=，设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ==．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；（2）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当＜x＜1时，当1＜x＜时，当x＞时，f（x）的单调性，判断f（x）≥0，计算f（），f（1），f（），23即可得到所求取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥），导数f′（x）=（1﹣••2）e﹣x﹣（x﹣）e﹣x=（1﹣x+）e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；（2）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣）e﹣x，可得f′（x）=0时，x=1或，当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，且x≥⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0，则f（x）≥0．由f（）=e，f（1）=0，f（）=e，即有f（x）的最大值为e，最小值为f（1）=0．则f（x）在区间[，+∞）上的取值范围是[0，e]．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．21．（15分）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．24【考点】KI：圆锥曲线的综合；KN：直线与抛物线的综合．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣＜x ＜可得结论；（Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣＜x＜，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BQ方程可知Q点坐标，进而可用k表示出、，计算可知|PA||PQ|=（1+k）3（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣＜x＜，所以k==x﹣∈（﹣1，1），AP故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣＜x＜，所以=（﹣﹣x，﹣x2），设直线AP的斜率为k，则k==x﹣，即x=k+，则AP：y=kx+k+，BQ：y=﹣x+联立直线AP、BQ方程可知Q（+，，），25•=故=（ ，），又因为=（﹣1﹣k ，﹣k 2﹣k ），故﹣|PA|• |PQ|=+ =（1+k ）3（k ﹣1），所以|PA|• |PQ|=（1+k ）3（1﹣k ），令 f （x ）=（1+x ）3（1﹣x ），﹣1＜x ＜1，则 f′（x ）=（1+x ）2（2﹣4x ）=﹣2（1+x ）2（2x ﹣1），由于当﹣1＜x ＜ 时 f′（x ）＞0，当 ＜x ＜1 时 f′（x ）＜0，故 f （x ） =f （ ）=，即|PA|• |PQ|的最大值为 ．max【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．22．（15 分）已知数列{x }满足：x =1，x =x +ln （1+x ）（n∈N *），证明：当 nn1 n n+1 n+1∈N *时，（Ⅰ）0＜x ＜x ；n+1n（Ⅱ）2x ﹣x ≤n+1n；（Ⅲ） ≤x ≤n．【考点】8H ：数列递推式；8K ：数列与不等式的综合．【专题】15：综合题；33：函数思想；35：转化思想；49：综合法；4M ：构造法；53：导数的综合应用； 54：等差数列与等比数列； 55：点列、递归数列与数学归纳法；5T ：不等式．【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，（Ⅲ）由 ≥2x ﹣x 得﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0，继续放缩即可证明n+1n26【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：x＞0，n当n=1时，x=1＞0，成立，1假设当n=k时成立，则x＞0，k那么n=k+1时，若x＜0，则0＜x=x+ln（1+x）＜0，矛盾，k+1k k+1k+1故x＞0，n+1因此x＞0，（n∈N*）n∴x=x+ln（1+x）＞x，n n+1n+1n+1因此0＜x＜x（n∈N*），n+1n（Ⅱ）由x=x+ln（1+x）得x x﹣4x+2x=xn n+1n+1n n+1n+1n n+12﹣2x+（x+2）ln（1+x），n+1n+1n+1记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0∴f′（x）=+ln（1+x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）=0，因此xn+12﹣2x+（x+2）ln（1+x）≥0，n+1n+1n+1故2x﹣x≤；n+1n（Ⅲ）∵x=x+ln（1+x）≤x+x=2x，n n+1n+1n+1n+1n+1∴x≥n 由，≥2x﹣x得n+1n﹣≥2（﹣）＞0，∴﹣≥2（﹣）≥…≥2n﹣1（﹣）=2n﹣2，∴x≤n，综上所述≤x≤．n【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题27。

高考数学复习考点题型专题讲解 题型64 平面向量数量积运算率及处理垂直问题(解析版)

高考数学复习考点题型专题讲解 题型64 平面向量数量积运算率及处理垂直问题(解析版)

高考数学复习考点题型专题讲解 题型：平面向量数量积运算率及处理垂直问题【高考题型二】：向量数量积的运算率。

『解题策略』：运算率：①交换率：⋅=⋅； ②分配率：()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+;③不满足结合率：()()⋅⋅≠⋅⋅，因为前面表示与c 共线的向量，后面表示与a 共线的向量。

1.(高考题)对于向量,,a b c 和实数λ，下列命题中真命题是 ( ) A.若0a b ⋅=，则0a =或0b = B.若0a λ=，则0λ=或0a =C.若22a b =，则a b =或a b =- D.若a b a c ⋅=⋅，则b c = 【解析】：选B 。

2.(高考题)关于平面向量,,a b c 有下列三个命题:①若a b a c ⋅=⋅，则b c =； ②若)6,2(),,1(-==k ，//a b ，则3k =-； ③非零向量a 和b 满足a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60。

其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）【解析】： a b a c ⋅=⋅()-⊥⇒，①错误；a b a b ==-⇒a 与a b +的夹角为︒30，③错误；②正确。

【高考题型三】：求合成向量的模。

『解题策略』：利用平方，转化为单一向量模与向量数量积运算问题。

1.(高考题)若向量,a b 的夹角为 150，3,4a b ==，则=+b a2 。

【解析】：平方得2。

2.(高考题)若向量a ,b 满足12a b ==，，且a 与b 的夹角为3π，则a b += 。

【解析】：平方得7。

3.(2012年新课标全国卷13)已知向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=，则b= 。

【解析】=23。

4.(2014年新课标全国卷II3)设向量,满足|+|-⋅= ( )A.1B.2C.3D.5 【解析】：平方相减，选 A 。

5.(2017年新课标全国卷I13)已知向量,的夹角为60°,2=，1=，则+= 。

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2017年高考数学试题分项版—平面向量（解析版）一、选择题1．(2017·全国Ⅱ文，4)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b |1．【答案】A【解析】方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A.2．(2017·北京文，7)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．【答案】A【解析】方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.3．(2017·全国Ⅱ理，12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32C ．－43D ．－13．【答案】B【解析】方法一 (解析法)建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)， B (－1,0)，C (1,0)．设P 点的坐标为(x ，y )， 则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2[x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34]≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32. 故选B.方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →.要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值． 又|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34， ∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.4．(2017·全国Ⅲ理，12)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．2 2C. 5D ．24．【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5， EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)． ∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.5．(2017·北京理，6)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．【答案】A【解析】方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ.若存在负数λ，使得m ＝λn ，则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉＜0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件， 故选A. 二、填空题1．(2017·全国Ⅰ文，13)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 1．【答案】7【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.2．(2017·全国Ⅲ文，13)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 2．【答案】2【解析】∵a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ， ∴a·b ＝0，即－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2.3．(2017·天津文，14)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 3．【答案】311【解析】由题意，知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →， ∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →) ＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 4．(2017·山东文，11)已知向量a ＝(2,6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 4．【答案】－3【解析】∵a ∥b ，∴2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3.5．(2017·浙江，15)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________． 5．【答案】4 2 5【解析】设a ，b 的夹角为θ， ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 则y 2＝10＋225－16cos 2θ. ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]， ∴y 2∈[16,20]，∴y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]．6．(2017·浙江，10)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 36．【答案】C【解析】∵I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →， 又OB →与CA →所成角为钝角， ∴I 1－I 2＜0，即I 1＜I 2.∵I 1－I 3＝OA →·OB →－OC →·OD →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB －|OC →||OD →|cos ∠COD ＝cos ∠AOB (|OA →||OB →|－|OC →||OD →|)， 又∠AOB 为钝角，OA ＜OC ，OB ＜OD ， ∴I 1－I 3＞0，即I 1＞I 3. ∴I 3＜I 1＜I 2， 故选C.7．(2017·江苏，12)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n＝________.7．【答案】3【解析】方法一 因为tan α＝7， 所以cos α＝210，sin α＝7210. 过点C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于点D ，则OC →＝OD →＋DC →，∠OCD ＝45°. 又因为OC →＝mOA →＋nOB →， 所以OD →＝mOA →，DC →＝nOB →， 所以|OD →|＝m ，|DC →|＝n .在△COD 中，由正弦定理得|DC →|sin α＝|OD →|sin ∠OCD ＝|OC →|sin ∠ODC ，因为sin ∠ODC ＝sin(180°－α－∠OCD )＝sin(α＋∠OCD )＝45，即n 7210＝m 22＝245， 所以n ＝74，m ＝54，所以m ＋n ＝3.方法二 由tan α＝7可得cos α＝152，sin α＝752，则152＝OA →·OC →|OA →||OC →|＝m ＋nOA →·OB →2，由cos ∠BOC ＝22可得22＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝mOA →·OB →＋n 2，cos ∠AOB ＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45° ＝152×22－752×22＝－35，则OA →·OB →＝－35，则m －35n ＝15，－35m ＋n ＝1，则25m ＋25n ＝65，则m ＋n ＝3. 8．(2017·全国Ⅰ理，13)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 8．【答案】2 3 【解析】方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2 ＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝12＝2 3. 方法二(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝||.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.9．(2017·天津理，13)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 9．【答案】311【解析】由题意知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →) ＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 10．(2017·山东理，12)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 10．【答案】33【解析】由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.。

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