2017年高考数学试题分项版—平面向量(解析版)

2017年高考数学试题分项版—平面向量（解析版）
一、选择题
1．(2017·全国Ⅱ文，4)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b |
1．【答案】A
【解析】方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.
∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.
方法二 利用向量加法的平行四边形法则． 在▱
ABCD 中，设AB →＝a ，AD →
＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →
|，
从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A.
2．(2017·北京文，7)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．【答案】A
【解析】方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.
当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.
方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.
反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π，
当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫
π2，π时，m ，n 不共线．
故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.
3．(2017·全国Ⅱ理，12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →
)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32
C ．－43
D ．－1
3．【答案】B
【解析】方法一 (解析法)
建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)， B (－1,0)，C (1,0)．设P 点的坐标为(x ，y )， 则P A →
＝(－x ，3－y )，
PB →
＝(－1－x ，－y )， PC →
＝(1－x ，－y )，
∴P A →·(PB →＋PC →
)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2[x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34]
≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－3
2. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →
)取得最小值，最小值为－32. 故选B.
方法二 (几何法)
如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →
.
要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，
问题转化为求|P A →||PD →
|的最大值． 又|P A →|＋|PD →|＝|AD →
|＝2×32＝3，
∴|P A →||PD →|≤⎝
⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34
， ∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →
)min ＝－2×34＝－32.
故选B.
4．(2017·全国Ⅲ理，12)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →
，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．2 2
C. 5
D ．2
4．【答案】A
【解析】建立如图所示的直角坐标系，
则C 点坐标为(2,1)．
设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5， EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，
即圆C 的半径为25
5
，
∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4
5
.
设P (x 0
，y 0
)，则⎩⎨
⎧
x 0
＝2＋255cos θ，
y 0
＝1＋25
5
sin θ(θ为参数)，
而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →
＝(2,0)． ∵AP →＝λAB →＋μAD →
＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.
两式相加，得
λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，
当且仅当θ＝π
2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.
故选A.
5．(2017·北京理，6)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
5．【答案】A
【解析】方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ.
若存在负数λ，使得m ＝λn ，则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.
当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.
方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.
反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉＜0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．
故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件， 故选A. 二、填空题
1．(2017·全国Ⅰ文，13)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 1．【答案】7
【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.
2．(2017·全国Ⅲ文，13)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 2．【答案】2
【解析】∵a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ， ∴a·b ＝0，即－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2.
3．(2017·天津文，14)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 3．【答案】311
【解析】由题意，知|AB →|＝3，|AC →
|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，
AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)
＝13AB →＋23
AC →
， ∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →) ＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2
＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22
＝113λ－5＝－4，解得λ＝311
. 4．(2017·山东文，11)已知向量a ＝(2,6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 4．【答案】－3
【解析】∵a ∥b ，∴2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3.
5．(2017·浙江，15)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________． 5．【答案】4 2 5
【解析】设a ，b 的夹角为θ， ∵|a |＝1，|b |＝2，
∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 则y 2＝10＋225－16cos 2θ. ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]， ∴y 2∈[16,20]，
∴y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]．
6．(2017·浙江，10)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )
A ．I 1＜I 2＜I 3
B ．I 1＜I 3＜I 2
C ．I 3＜I 1＜I 2
D ．I 2＜I 1＜I 3
6．【答案】C
【解析】∵I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →， 又OB →与CA →
所成角为钝角， ∴I 1－I 2＜0，即I 1＜I 2.
∵I 1－I 3＝OA →·OB →－OC →·OD →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB －|OC →||OD →
|cos ∠COD ＝cos ∠AOB (|OA →||OB →|－|OC →||OD →|)， 又∠AOB 为钝角，OA ＜OC ，OB ＜OD ， ∴I 1－I 3＞0，即I 1＞I 3. ∴I 3＜I 1＜I 2， 故选C.
7．(2017·江苏，12)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →
与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n
＝________.
7．【答案】3
【解析】方法一 因为tan α＝7， 所以cos α＝
210，sin α＝72
10
. 过点C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于点D ，
则OC →＝OD →＋DC →
，∠OCD ＝45°. 又因为OC →＝mOA →＋nOB →， 所以OD →＝mOA →，DC →＝nOB →， 所以|OD →|＝m ，|DC →
|＝n .
在△COD 中，由正弦定理得|DC →|sin α＝|OD →|sin ∠OCD ＝|OC →|
sin ∠ODC ，
因为sin ∠ODC ＝sin(180°－α－∠OCD )＝sin(α＋∠OCD )＝4
5，
即
n 7210
＝
m 22
＝24
5， 所以n ＝74，m ＝5
4
，所以m ＋n ＝3.
方法二 由tan α＝7可得cos α＝152，sin α＝7
52，
则1
52＝OA →·OC →
|OA →||OC →|
＝m ＋nOA →·
OB →2，
由cos ∠BOC ＝22可得22＝OB →·OC →
|OB →||OC →|
＝mOA →·
OB →＋n 2，
cos ∠AOB ＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45° ＝
1
52×22－752×22＝－3
5，
则OA →·OB →
＝－35
，
则m －35n ＝15，－3
5m ＋n ＝1，
则25m ＋25n ＝6
5
，则m ＋n ＝3. 8．(2017·全国Ⅰ理，13)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 8．【答案】2 3 【解析】方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2 ＝a 2＋4a ·b ＋4b 2
＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝12＝2 3. 方法二(数形结合法)
由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，
则|a ＋2b |＝||.
又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.
9．(2017·天津理，13)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 9．【答案】311
【解析】由题意知|AB →|＝3，|AC →
|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，
AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，
∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →
) ＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3
AC →2
＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22
＝113λ－5＝－4，解得λ＝311
. 10．(2017·山东理，12)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 10．【答案】
3
3
【解析】由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，
|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.
所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|
＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，
解得λ＝33
.。