专题十四几何证明之三角形相似与圆综合 2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题(解析版)

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2020-2021中考数学压轴题之圆与相似(中考题型整理,突破提升)

2020-2021中考数学压轴题之圆与相似(中考题型整理,突破提升)一、相似1．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得解得∴抛物线解析式为：y= x2−x−1∴抛物线对称轴为直线x=- ＝1（2）解：存在使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点．设过点C′、O直线解析式为：y=kx∴k=-∴y=- x则P点坐标为（1，- ）（3）解：当△AOC∽△MNC时，如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°∴∠CDN=∠CAO由相似，∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵MN⊥AC∴M、D关于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为（a，- a-1）由△EDN∽△OAC∴ED=2a∴点D坐标为（0，- a−1）∵N为DM中点∴点M坐标为（2a，a−1）把M代入y= x2−x−1，解得a=4则N点坐标为（4，-3）当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N由（2）N（2，-1）∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标，可求出抛物线的解析式，再求出它的对称轴即可解答。

（2）使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小，取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点，利用待定系数法求出直线C′O的解析式，再求出点P的坐标。

2020-2021备战中考数学圆与相似的综合热点考点难点及详细答案

2020-2021备战中考数学圆与相似的综合热点考点难点及详细答案一、相似1．如图①，已知直线l1∥l2，线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2于点C，且AB＝BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2，l1于点D，E(点A，E位于点B的两侧，满足BP＝BE，连接AP，CE．（1）求证：△ABP≌△CBE．（2）连接AD、BD，BD与AP相交于点F，如图②．①当时，求证：AP⊥BD；②当 (n＞1)时，设△PAD的面积为S1，△PCE的面积为S2，求的值．【答案】（1）证明：BC⊥直线l1，∴∠ABP＝∠CBE．在△ABP和△CBE中，（2）①证明：如图，延长AP交CE于点H．∵△ABP≌△CBE，∴∠PAB＝∠ECB，∴∠PAB＋∠AEH＝∠ECB＋∠AEH＝90°，∴∠AHE＝90°，∴AP⊥CE．∵，即P为BC的中点，直线l1∥直线l2，∴△CPD∽△BPE，∴，∴DP＝EP．∴四边形BDCE是平行四边形，∴CE∥BD．∵AP⊥CE，∴AP⊥BD．②解：∵，∴BC＝nBP，∴CP＝(n－1)BP．∵CD∥BE，∴△CPD∽△BPE，∴．令S△BPE＝S，则S2＝(n－1)S，S△PAB＝S△BCE＝nS，S△PAE＝(n＋1)S．∵，∴S1＝(n＋1)(n－1)S，∴．【解析】【分析】（1）由已知条件用边角边即可证得△ABP≌△CBE；（2）①、延长AP交CE于点H，由（1）知△ABP≌△CBE，所以可得∠PAB＝∠ECB，而∠∠ECB+∠BEC=，所以可得∠PAB+∠BEC=，即∠AHE=，所以AP⊥CE；已知=2,则点P为BC的中点，所以易证得BE=CD，由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BDCE是平行四边形，由平行四边形的性质可得CE∥BD，再根据平行线的性质即可求得AP⊥BD；②方法与①类似，由已知条件易证得△CPD∽△BPE，则可得对应线段的比相等，然后可将△PAD的面积和△PCE的面积用三角形BPE的面积表示出来，则这两个三角形的比值即可求解。

2020-2021备战中考数学圆与相似的综合热点考点难点及答案

2020-2021备战中考数学圆与相似的综合热点考点难点及答案一、相似1．如图，抛物线与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B 运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．【答案】（1）解：把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：，对称轴为：直线x=﹣；（2）解：存在，∵AD=2t，∴DF=AD=2t，∴OF=4﹣4t，∴D（2t﹣4，0），∵直线AC的解析式为：，∴E（2t﹣4，t），∵△EFC为直角三角形，分三种情况讨论：①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，∴，即，解得：t= ；②当∠FEC=90°，∴∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴DE= AF，即t=2t，∴t=0，（舍去），③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2，解得：t= ，∴存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t= 或；（3）解：∵B（1，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+2，当D在y轴的左侧时，S= （DE+OC）•OD= （t+2）•（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2）；当D在y轴的右侧时，如图2，∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，S= （DE+OC）•OD= （﹣8t+10+2）•（4t﹣4），即（2＜t＜）．综上所述：【解析】【分析】（1）（1）利用待定系数法，将点A、B、C的坐标代入函数解析式，建立方程组求解即可。

专题十三几何证明之三角形全等与圆综合 2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题(解析版)

2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题专题十三几何证明之三角形全等与圆综合1、已知，如图1，AB为⊙O直径，△ACD内接于⊙O，∠D+∠ACE＝90°，点E在线段AD上，连接CE．（1）若CE⊥AD，求证：CA＝CD；（2）如图2，连接BD，若AE＝DE，求证：BD平行CE；（3）如图，在（2）的条件下，过点C作AB的垂线交AB于点K，交AD于点L，4AK＝9BK，若OL＝，求BD的值．解：（1）∵CE⊥AD，∴∠D+∠ECD＝90°，∠AEC＝∠DEC＝90°，∵∠D+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠DCE，在△ACE和△DCE中，，∴△ACE≌△DCE（ASA），∴CA＝CD；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADC+∠BDC＝90°，∵∠ADC+∠ACE＝90°，∴∠BDC＝∠ACE，∵∠BDC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACE，设AB与CE的交点为M，则MA＝MC，∴M在AC的垂直平分线上，∵弦的垂直平分线过圆心O，即弦的垂直平分线与直径的交点是圆心，∴M与点O重合，即CE过圆心O，∵AE＝DE，∴CE⊥AD，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴CE∥BD；（3）∵4AK＝9BK，∴AK：BK＝9：4，设BK＝4m，则AK＝9m，∴AB＝13m，∴OA＝OB＝6.5m，∴OK＝OB﹣BK＝2.5m，∵AK⊥CL，∴∠AKC＝90°＝∠AEO，在△OAE和△OCK中，，∴△OAE≌△OCK（AAS），∴OE＝OK＝2.5m，∵OA＝OB，AE＝DE，∴BD＝2OE＝5m，∴AD＝，∵∠AKL＝∠ADB＝90°，∠LAK＝∠BAD，∴△AKL∽△ADB，∴，即，∴LK＝，∵OK2+LK2＝OL2，∴，解得，m＝0.8，∴BD＝5m＝4．2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，点D在⊙O上，BD＝BC，DE⊥AC，垂足为点E，DE与⊙O和AB分别交于点M、F．连接BO、DO、AM．（1）证明：BD是⊙O的切线；（2）若tan∠AMD＝，AD＝2，求⊙O的半径长；（3）在（2）的条件下，求DF的长．解：（1）在△BDO和△BCO中，BD＝BC，OD＝OC，BO＝BO，故△BDO≌△BCO（SSS），∴∠BDO＝∠ABC＝90°，BD是⊙O的切线；（2）连接CD，则∠AMD＝∠ACD，AB是直径，故∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD＝tan∠AMD＝＝，∵AD＝2，∴CD＝4，故圆的半径为5；（3）在Rt△ADC中，DE⊥AC，则DE＝＝4，则AE＝2，由（1）知△BDO≌△BCO，∴∠BOC＝∠BOD＝∠DOC，∵∠DAE＝∠DOC，∴∠DAE＝∠BOC，∵ED⊥AC，∴∠AED＝∠OCB＝90°，∴△DAE∽△BOC，∴，即，解得：BC＝10，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠FAE＝∠AFE＝45°，∴FE＝AE＝2，DF＝DE﹣EF＝2．3、已知正方形ABCD内接于⊙O，点E为上一点，连接BE、CE、DE．（1）如图1，求证：∠DEC+∠BEC＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥CE交BE于点F，连接AF，M为AE的中点，连接DM并延长交AF于点N，求证：DN⊥AF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OM，若AB＝10，tan∠DCE＝，求OM的长．（1）证明：连接BD，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝90°，BC＝CD，∴BD为⊙O的直径，∵OB＝OD，∴OC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠BEC＝∠BOC＝45°，∵正方形ABED是圆O的内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∴∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠BEC＝∠DEB+∠BEC+∠BEC＝180°；（2）证明：如图2，延长ED至G，使ED＝DG，连接AG，∵CE⊥CF，∴∠ECF＝90°，∵∠CEF＝45°，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴CE＝CF，∵∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠BCF＝∠DCF，∵BC＝CD，∴△BFC≌△DEC（SAS），∴BF＝DE，∵DE＝DG，∴BF＝DG，∵四边形ABED为圆O的内接四边形，∴∠ABE+∠ADE＝180°，∵∠ADE+∠ADG＝180°，∴∠ABE＝∠ADG，∵AB＝AD，∴△ABF≌△ADG（SAS），∴∠BAF＝∠DAC，∵∠BAF+∠FAD＝∠BAD＝90°，∴∠DAG+∠FAD＝90°，∴∠FAG＝90°，∵M为AE的中点，∴DM为△AEG的中位线，∴DM∥AG，∴∠DNF＝∠FAG＝90°，∴DN⊥AF，（3）解：如图3，连接BD，OC，过点B作BK⊥CF交CF的延长线于点K，过点B作BT⊥AE于点T，由（1）知∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝，由（1）知BD为⊙O的直径，在Rt△ABD中，BD＝AB＝10，∵，∴∠DBE＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠DBE＝，∴，设DE＝x，则BE＝7x，在Rt△BDE中，BD＝＝5x，∴，∴x＝2，∴DE＝2，∴BF＝2，∵∠EFC＝45°，∴∠BFK＝∠EFC＝45°，∴∠KBF＝∠BFK＝45°，∴，由（2）知∠BCF＝∠DCE，∴tan∠BCF＝tan∠DCE＝，∴，∴，∴，在Rt△ECF中，EF＝CF＝12，∴BE＝EF+BF＝14，∵∠AEB＝∠AEC﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，∴∠TBE＝∠TEB，∴TB＝TE＝，∴＝，∴，∴，∵M为AE的中点，∴OM⊥AE，在Rt△OME中，OM＝＝3．4、已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F．（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；（2）如图2，连接OC，若AC＝BC，求证：OC平分∠ACB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若AB＝3，DN＝9．求sin∠ADB的值．（1）证明：如图1，∵AC⊥BD，DE⊥BC，∴∠AHD＝∠BED＝90°，∴∠DAH+∠ADH＝90°，∠DBE+∠BDE＝90°，∵∠DAC＝∠DBC，∴∠ADH＝∠BDE，∴BD平分∠ADF．（2）证明：连接OA、OB．∵OB＝OC＝OA，AC＝BC∴△OCB≌△OCA（SSS），∴OBC＝∠OCA，∴OC平分∠ACB；（3）如图3中，连接BN，过点O作OP⊥BD于点P，过点O作OQ⊥AC于点Q．则四边形OPHQ是矩形，∵DN∥AC，∴∠BDN＝∠BHC＝90°，∴BN是直径，则OP＝DN＝，∴HQ＝OP＝，设AH＝x，则AQ＝x+，AC＝2AQ＝2x+9，BC＝AC＝2x+9，∴CH＝AC﹣AH＝2x+9﹣x＝x+9在Rt△AHB中，BH2＝AB2﹣AH2＝（）2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2＝BH2+CH2，即（2x+9）2＝（）2﹣x2+（x+9）2，整理得2x2+9x﹣45＝0，（x﹣3）（2x+15）＝0解得x＝3（负值舍去），BC＝2x+9＝15，CH＝x+9＝12∵∠ADB＝∠BCH，∴sin∠ADB＝sin∠BCH＝＝＝．即sin∠ADB的值为．5、如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．（3）在（2）中的条件下，∠ABD＝30°，将△ABD以点A为中心逆时针旋转120°，求BD扫过的图形的面积（结果用π表示）．证明：（1）连接DO，如图，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．在△COD和△COB中∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，∴∠CDO＝90°，∴OD⊥CE，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；（2）设圆O的半径为R，则OD＝R，OE＝R+1，∵CD是圆O的切线，∴∠EDO＝90°，∴ED2+OD2＝OE2，∴9+R2＝（R+1）2，∴R＝4，∴圆O的半径为4；（3）∵∠ABD＝30°，AB＝2R＝8，∴AD＝4，∴BD扫过的图形的面积＝＝16π．6、如图，在△ABC中，A B＝AC，△O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与△O交于点F，延长BA到点G，使得△BGF＝△GBC，连接FG．（1）求证：FG是△O的切线；（2）若△O的径为4．△当OD＝3，求AD的长度；△当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．（1）证明：连接AF，△BF为△O的直径，△△BAF＝90°，△F AG＝90°，△△BGF+△AFG＝90°，△AB＝AC，△△ABC＝△ACB，△△ACB＝△AFB，△BGF＝△ABC，△△BGF＝△AFB，△△AFB+△AFG＝90°，即△OFG＝90°，又△OF为半径，△FG是△O的切线；（2）解：△连接CF，则△ACF＝△ABF，△AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO，△△ABO△△ACO（SSS），△△ABO＝△BAO＝△CAO＝△ACO，△△CAO＝△ACF，△AO△CF，△＝，△半径是4，OD＝3，△DF＝1，BD＝7，△＝＝3，即CD＝AD，△△ABD＝△FCD，△ADB＝△FDC，△△ADB△△FDC，△＝，△AD•CD＝BD•DF，△AD•CD＝7，即AD2＝7，△AD＝（取正值）；△△△ODC为直角三角形，△DCO不可能等于90°，△存在△ODC＝90°或△COD＝90°，当△ODC＝90°时，△△ACO＝△ACF，△OD＝DF＝2，BD＝6，△AD＝CD，△AD•CD＝AD2＝12，△AD＝2，AC＝4，△S△ABC＝×4×6＝12；当△COD＝90°时，△OB＝OC＝4，△△OBC是等腰直角三角形，△BC＝4，延长AO交BC于点M，则AM△BC，△MO＝2，△AM＝4+2，△S△ABC＝×4×（4+2）＝8+8，△△ABC的面积为12或8+8．7、如图I，四边形ADBC内接于△O，E为BD延长线上一点，AD平分△EDC，（1）求证：AB＝AC；（2）如图2，若CD为直径，过A点的圆的切线交BD延长线于E，若DE＝1，AE＝2．求△O的半径．（1）证明：△四边形ADBC内接于△O，△△EDA＝△ACB，由圆周角定理得，△CDA＝△ABC，△AD平分△EDC，△△EDA＝△CDA，△△ABC＝△ACB，△AB＝AC；（2）解：连接AO并延长交BC于H，AM△CD于M，△AB＝AC，△AH△BC，又AH△AE，△AE△BC，△CD为△O的直径，△△DBC＝90°，△△E＝△DBC＝90°，△四边形AEBH为矩形，△BH＝AE＝2，△BC＝4，△AD平分△EDC，△E＝90°，AM△CD，△DE＝DM＝1，AE＝AM＝2，在Rt△ABE和Rt△ACM中，△Rt△ABE△Rt△ACM（HL），△BE＝CM，设BE＝x，CD＝x+2，在Rt△BDC中，x2+42＝（x+2）2，解得，x＝3，△CD＝5，△△O的半径为2.5．8、如图，AB为△O的直径，弦CD△AB，垂足为F，CG△AE，交弦AE的延长线于点G，且CG＝CF．（1）求证：CG是△O的切线；（2）若AE＝2，EG＝1，求由弦BC和所围成的弓形的面积．解：（1）证明：连接OC．△CD△AB，CG△AE，CG＝CF，△△CAG＝△BAC，△AFC＝△G＝90°，△OA＝OC，△△ACO＝△BAC．△△CAG＝△ACO，△OC△AG，△△OCG＝180°﹣△G＝90°，△CG是△O的切线；（2）过点O作OM△AE，垂足为M，则AM＝ME＝AE＝1，△OMG＝△OCG＝△G＝90°．△四边形OCGM为矩形，△OC＝MG＝ME+EG＝2．在Rt△AGC和Rt△AFC中△Rt△AGC△Rt△AFC（HL），△AF＝AG＝AE+EG＝3，△OF＝AF﹣OA＝1，在Rt△COF中，△cos△COF＝＝．△△COF＝60°，CF＝OC•sin△COF＝2×＝，△S弓形BC＝﹣×2×＝π﹣．9、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在AB上，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作△Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交△Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）求证：△BDE＝△ADP；（3）设DE＝x，DF＝y．请求出y关于x的函数解析式．解：（1）设直线AB的函数解析式为y＝kx+4，将点B（4，0）代入y＝kx+4，得：4k+4＝0，解得：k＝﹣1，则直线AB的函数解析式为y＝﹣x+4；（2）由已知得：OB＝OC，△BOD＝△COD＝90°，又△OD＝OD，△△BOD△△COD（SAS），△△BDO＝△CDO，△△CDO＝△ADP，△△BDE＝△ADP；（3）如图2，连结PE，△△ADP是△DPE的一个外角，△△ADP＝△DEP+△DPE，△△BDE是△ABD的一个外角，△△BDE＝△ABD+△OAB，△△ADP＝△BDE，△DEP＝△ABD，△△DPE＝△OAB，△OA＝OB＝4，△AOB＝90°，△△OAB＝45°，△△DPE＝45°，△△DFE＝△DPE＝45°，△DF是△Q的直径，△△DEF＝90°，△△DEF是等腰直角三角形，△DF＝DE，即y＝x．10、如图1，在△ABC中，△ACB＝90°，△ABC的角平分线交AC上点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆△O与CB交于点D．（1）求证：AC是△O的切线；（2）若BC＝9，EH＝3，求△O的半径长；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP△AB于P，求CP的长．（1）证明：连接OE．如图1所示：△BE△EF，△△BEF＝90°，△BF是圆O的直径，△OB＝OE，△△OBE＝△OEB，△BE平分△ABC，△△CBE＝△OBE，△△OEB＝△CBE，△OE△BC，△△AEO＝△C＝90°，△AC△OE，△AC是△O的切线；（2）解：△△ACB＝90°，△EC△BC，△BE平分△ABC，EH△AB，△EH＝EC，△BHE＝90°，在Rt△BHE和Rt△BCE中，，△Rt△BHE△Rt△BCE（HL），△BH＝BC＝9，△BE△EF，△△BEF＝90°＝△BHE，BF是圆O的直径，△BE＝＝＝3，△△EBH＝△FBE，△△BEH△△BFE，△＝，即＝，解得：BF＝10，△△O的半径长＝BF＝5；（3）解：连接OE，如图2所示：由（2）得：OE＝OF＝5，EC＝EH＝3，△EH△AB，△OH＝＝＝4，在Rt△OHE中，cos△EOA＝＝，在Rt△EOA中，cos△EOA＝＝，△OA＝OE＝，△AE＝＝＝，△AC＝AE+EC＝+3＝，，△AB＝OB+OA＝5+＝，△ACB＝90°，△△ABC的面积＝AB×CP＝BC×AC，△CP＝＝＝．11、△ABC内接于△O，弦BD与AC相交于点E，连接BO，且AC△BD．（1）如图1，求证：△OBC＝△ABD；（2）如图2，作CG△AB于G，交BD于F，若△BAC＝△ABO+30°，求证：BO＝BF；（3）如图3，在（2）的条件下，直线OF与AB相交于点M，与BC相交于点N，若NC：MA＝5：3，且S△BMN＝16，求线段AE的长．解：（1）延长BO交△O于点K，连接CK，则BK为△O的直径，△△BCK＝90°，△△OBC+△K＝90°，△AC△BD，△△AEB＝90°，△△ABE+△A＝90°，△，△△A＝△K△△OBC＝△ABD；（2）作OH△BC于H，则BC＝2BH，△△K+△KBC＝90°，△△BAC+△KBC＝90°，△△ABO+30°+△KBC＝90°，△△ABC＝60°△BC＝2BG，△BG＝BH，且△ABD＝△OBC，△BGF＝△BHO＝90°，△△BFG△△BOH（AAS）△BO＝BF；（3）作OH△BC于H，△△BFG△△BOH，△BF＝BO，△△MFB＝△BON，且BF＝BO，△ABD＝△OBN，△△BFM△△BON（ASA）△BM＝BN，且△ABC＝60°，△△MBN为等边三角形，△S△BMN＝BM2＝16，△BM＝BN＝8，△NC：MA＝5：3，△设NC＝5x，AM＝3x，△BC＝8+5x，BH＝＝BG，CG＝BG＝•（）△GM＝HN＝8﹣＝，△△MNB＝60°，△OH＝HN＝•（），△△OBC＝△ABD＝△ACG，△tan△OBC＝tan△ACG，△，△＝，△x＝1，△AM＝3，CN＝5，HN＝GM＝，OH＝，BH＝△OB＝＝＝7，△sin△OBH＝sin△ABD，△△AE＝＝．12、如图1，AB为△O的直径，BC为△O的切线，过点B作OC的垂线与△O的另一交点为点E，连接CE．（1）求证：CE为△O的切线；（2）如图2，过点C作BC的垂线交AE的延长线于点F，若BC＝AB，求的值．解：（1）证明：如图，连接OE，设OC与BE的交点为M△OB＝OE△OBM＝△OEM△BE△OC△△BMO＝△EMO△△BOC＝△EOC△在△OBC和△OEC中△△OBC△△OEC（SAS）△△OEC＝△OBC△BC为△O的切线△OB△BC△△OBC＝90°△△OEC＝90°△CE为△O的切线；（2）△AB为△O的直径，△△BEA＝90°△OB△BC△AF△OC△AB△BC，CF△BC△AO△CF△四边形AOCF为平行四边形△AF＝OC△BC＝AB△设BC＝AB＝2k，则OB＝OA＝k 在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC＝＝k△AF＝k△△ABE+△CBE＝90°，△CBE+△BCO＝90°△△ABE＝△BCO△sin△ABE＝sin△BCO△＝sin△BCO＝＝△＝sin△ABE＝△AE＝×2k＝△EF＝AF﹣AE＝△＝．。

2020-2021备战中考数学圆与相似的综合热点考点难点含详细答案

2020-2021备战中考数学圆与相似的综合热点考点难点含详细答案一、相似1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1．（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0）∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，当x=0时，y=﹣3a，∴C（0，﹣3a）（2）解：∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），∴AB=4，OC=3a，∴S△ACB= AB•OC=6，∴6a=6，解得a=1，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3（3）解：设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图，∵点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，∴QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3，∴OF=2m+1，HF=1，当∠CGF=90°时，∵∠QGH+∠FGH=90°，∠QGH+∠GQH=90°，∴∠GQH=∠HGF，∴Rt△QGH∽Rt△GFH，∴ = ，即，解得m=9，∴Q的坐标为（9，0）；当∠CFG=90°时，∵∠GFH+∠CFO=90°，∠GFH+∠FGH=90°，∴∠CFO=∠FGH，∴Rt△GFH∽Rt△FCO，∴ = ，即 = ，解得m=4，∴Q的坐标为（4，0）；∠GCF=90°不存在，综上所述，点Q的坐标为（4，0）或（9，0）．【解析】【分析】（1）根据抛物线是轴对称图形和已知条件可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，再用交点式可求得抛物线的解析式，然后根据抛物线与y轴交于点C可得x=0，把x=0代入解析式即可求得点C的坐标；（2）由（1）的结论可求得AB=4，OC=3a，根据三角形ABC的面积=AB•OC=6可求得a的值，则解析式可求解；（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，根据中心对称的性质可得QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3。

相似三角形知识点总结 2020 初中数学知识点及技巧(全)

注意：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；⎪ =相似三角形的判定及有关性质知识点 1：比例线段的相关概念a c比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 =b d（或 a : b =c :d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．注意：⑴在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．⑵当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．⑶比例线段是有顺序的，如果说 a 是b , c , d 的第四比例项，那么应得比例式为： b = d ．ca知识点 2：比例的性质基本性质：(1) a : b = c : d ⇔ ad = bc ；(2) a : c = c : b ⇔ c 2= a ⋅ b ．反比性质(把比的前项、后项交换)： a = c ⇒ b = d ．a ca ± bb d acc ± d⎧b - a =d - c合比性质： =⇒=．发生同样和差变化比例仍成立．如： a = c ⇒ ⎪ a c 等等． b d b db d ⎨ a - b = ⎩ a + bc - dc + da c 等比性质：如果 = e = = m (b + d + f + + n ≠ 0) ，那么 a +c + e + + m = a ．知识点 3：比例线段的有关定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.（三角形中位线定理的逆定理）推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰.（梯形中位线定理的逆定理）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．知识点:4：黄金分割把线段 AB 分成两条线段 AC , BC ( AC > BC ) ，且使 AC 是 AB 和BC 的比例中项，叫做把线段 AB 黄金分割，点C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中 AC =AB ≈ 0.618AB ． 2知识点 5：相似图形1、相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）. 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）5 -1 ⎪（4）相似用“∽”表示，读作“相似于”；（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．2、相似三角形的判定方法预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理的基本图形语言：数学符号语言表述是： DE // BC ∴∆ADE ∽∆ABC．判定定理 1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似.判定定理 2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理 3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.判定定理 4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法.3、相似三角形的性质定理：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形的周长比等于相似比；（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方；（4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.4、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一∆ABC有∆ABC∽∆ABC．(2)对称性：若∆ABC∽∆A'B'C' ，则∆A'B'C' ∽∆ABC．(3)传递性：若∆ABC∽ ∆A' B'C'，且∆A' B'C'∽ ∆A'B'C'，则∆ABC∽ ∆A'B'C'．5、相似直角三角形引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的线段成比例，那么这两条直线平行于三角形的第三边.（与三角形的中位线定理类似）定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似.定理：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 定理：如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 6、直角三角形的射影定理从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项.推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂的图形中分解出（构造出）上述基本图形．知识点6：与位似图形有关的概念1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.2、位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.3、画位似图形⑴画位似图形的一般步骤： ①确定位似中心；②分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）； ③根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置；④顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ⑵位似中心的选取：①位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外； ②位似中心可取在多边形的一条边上； ③位似中心可取在多边形的某一顶点上.说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小.重要总结相似三角形中有关证明题或者求解题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳：（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”（2）找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.（3）找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。

2023年中考数学二轮复习高频考点突破——相似三角形与圆综合

2023年中考数学高频考点突破——相似三角形与圆综合 1．如图，点B 为圆O 外一点，过点B 作圆O 的切线，切点为A ，点P 为OB 上一点，连接AP 并延长交圆O 于点C ，连接OC ，若OB 与OC 垂直．(1)求证：BP AB ；(2)若=10OB ，圆O 的半径为8，求AP 的长．2．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC 、AB 分别交于点D 、E ，且CBD A ∠=∠．(1)求证：BD 是O 的切线；(2)若:5:3AD AO =，4BC =，则BD 的长为______．3．如图，以等腰ABC 的腰AB 为直径作O ，交底边BC 于点D ，过点D 作DG AC ⊥于点G ，延长CA 交O 于点E ，连接DE ，交AB 于点F ．(1)求证：DG 是圆O 的切线；(2)若1EA EF ==，求圆O 的半径．4．如图，Rt ABC △中，在斜边AB 上选一点O 为圆心画圆，此圆恰好经过点A ，且与直角边BC 相切于点D ，连接AD 、DE ．求证：EAD DAC∽；30CAD=︒，2BE=，求阴影部分图形的周长．．如图，O是ABC的外接圆，为O的直径，点为O上一点，的延长线于点F，CE与AB，连接BE12BCE ABC=∠是O的切线．sin BEC∠=，求O的半径．是O的直径，点E、F在圆上，且2BF BE=，连接作O的切线，，求O的半径．上的三个点，AB＝ACE，连接BD，延长DC(1)求证：AF 是⊙O 的切线；(2)若AE ＝3，DE ＝5，求AB 的长．8．如图，O 是ABC 的外接圆，AB 为O 的直径，点E 为O 上一点，EF AC ∥交AB 的延长线于点F ，CE 与AB 交于点D ，连接BE ，若12BCE ABC ∠=∠．(1)求证：EF 是O 的切线．(2)若2BF =，3sin 5BEC ∠=，求O 的半径． 9．如图，⊙O 是ABD △的外接圆，AB 是⊙O 的直径，且10AB =．C 是AB 延长线上一点，EDB △在⊙O 上，连接DC ，若DEB CDB ∠=∠．(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若6BD DE ==，求BE 的长．10．如图，已知圆O 是ABC 的外接圆，AB 是圆O 的直径，C 是圆上的一点，D 是AB 延长线上的一点，AE CD ⊥交DC 的延长线于点E ，且AC 平分EAB ∠．是O的直径，点∠的延长线上，且BCD是O的切线；AE=，求，4在等腰ABC中，△，O是AEF是O的切线；=⋅BC EF BF．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，(1)求证：ABE ACB ∽△△；(2)若46AD BC ==，，求线段DE 的长度．14．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F ，FH ∥BC ，连结AF 交BC 于E ，∠ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．（1）求证：AF 平分∠BAC ；（2）若EF ＝4，DE ＝3，求AD 的长．15．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是AB 边上一点，作△BCD 的外接圆⊙O ，CE 是⊙O 的直径，且CE 与AB 交于点G ，DF ∥EC 交AC 于点F ．（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若23AD DG =，AC ＝5，求⊙O 的半径长． 16．如图，O 是ABC 的外接圆，点D 是BC 的中点，过点D 作//EF BC 分别交AB 、AC 的延长线于点E 和点F ，连接AD 、BD ，ABC ∠的平分线BM 交AD 于点M ．是O的切线；5:2，ADABCD是菱形，相交于点E、．如图，O是ABC的外接圆，是O的直径，交O于点G若O的半径为BP AB ；中，由勾股定理得Rt COP 中，由勾股定理得，证明BPH CPO ∽，则PH BP PO CP =645PH =）证明：由题意知，AB OA ⊥，，BP AB ；）解：如图，作∵AB PB =，Rt COP 中，由勾股定理得∴BPH CPO ∽，PH BP PO CP =，即4PH 解得655PH =， 1255AP =， BCD ADE △，，得对应边成比例求解．，∵OA OD =，OD 为半径∴BD 与O 相切；△，BCD ADEBD，AEAO=，5:33x=，则AD，BD（2）解：如图所示，连接AD，【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，相似三角形证得DOE 为等边三角形，易得DE OE ==即可求解．【解析】（1）证明：连接由题意可知，=90ACD ∠︒，AE 为直径，与O 相切于点BC ⊥，则AC ，CAD ADO =∠OD =，DAO ADO =∠∴EAD DAC ∽； ∴DOE 为等边三角形，则∵ODB ∠30BDE ∠=DE BE =OD DE =60360DE ︒=⨯︒(2)O 的半径为【分析】(1) 证明 FEO ACB ∽，列出比列式计算即可．【解析】（1）证明：连接OE11为O 的直径，是O 的半径，是O 的切线．）解：∵EF ∥∴FEO ACB ∽，EO FO BC AB=， 2BF =，sin BEC ∠设O 的半径为r ，2FO r =+，AB =2625r r r r +=解得：3r =，∴O 的半径为【点评】本题考查了切线的判定，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，圆周角定理，三角函数，熟练掌握切线的判定，三角形相似的判定，三角函数是解题的关键．．(1)详见解析(2)半径为3则可判断OBC ABD ∽，Rt DBF Rt DAB ∽，然后利用相似比可计算出CD 即为所求；BF 的中点2BF BE =，BM MF BE ∴==，12COB BOF ∴∠=∠， 12A BOF ∠=∠， COB ∴∠=连接BF ，CD 为O 的切线，AB CD ∴⊥，OBC ABD ∴∠=∠=COB A ∠=∠，OBC ∴∽ABD △12OB BC AB BD ∴==，4CB =，8BD ∴=，AB 是O 的直径，90AFB ∴∠=︒，BDF ADB ∠=∠Rt DBF∽Rt DAB，∴的半径为O【点评】本题考查作图查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，掌握相关性质定理推理论证是解题的关键．．(1)见解析(2)AB=26∵AB=AC，）先说明FEO ACB，再设O的半径为边成比例得出EO FOBC AB=，根据比例式求出半径即可．）证明：连接OE．11是O 的半径，是O 的切线．EF AC ∥，∴FEO ACB ．BF=2，sin BEC ∠设O 的半径为r ，2FO r =+，AB EO FO BC AB= 262r r =∴O 的半径是【点评】本题主要考查了切线的性质和判定，键．．(1)见解析(2)9.6【分析】（1）连接为O的直径，ADO+∠ODB=90+∠BDC ODEDC，为O的切线Rt ABD中22=-AB BD⊥如图，作DM BE=∠DEM DAB△△∽ABD EDMEM ED=，即AD AB【点评】本题是圆的综合，考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆周角的有关性是O的切线，只要连接）已知两边长，求其它边的长，可以用三角形相似，对应边成比例来求．）证明：如图，连接OC∵AC 平分EAB ∠，是O 的切线；）解：∵D ∠=∴DCO DEA ∽，=DO CO AD AE ， =DB BO CO AB BD AE ++， 33=6 4.8DB BD ++， Rt Rt EAC CAB ∽，EA AC AC AB =， 4.86AC AC =， 21445AC =，再根据OCD AED∽，可求出OC OA=，OCA∴∠=DCB∠=DCB∴∠=AB是直径，ACB∴∠=OCA∴∠+∠DCB∴∠+即OCD∠OC CD∴⊥OC是半径，CD∴是O的切线；（2）解：OB OD=设OA OB OC===235 AD x x∴=+=AE DE ⊥E ∴∠=∠OC AE ∴∥OCD AED ∴∽，∴35OC OD AE AD ==，4AE =，125OC ∴=， 65x ∴=，BD OD ∴=【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆的切线的判定等知识，证明OCD AED ∽是解题的关键．(1)见解析见解析【分析】（1）由BE AC ⊥AFE BFD =∠，BD DE =FAE OEA =∠，得出OEA ∠是O 的切线；）先证明EAF EBC ≌，得出DF BF=，进而EF BF =⋅，即可证明）证明：BE AC ⊥90AEF =︒，BD DC =12DC BC == AFE ∠=FAE ∴∠=FBD DEF =∠OA OE =FAE ∴∠=OEA ∴∠=OEA ∠+∠DEF ∴∠+∠OE 是O 的半径，DE ∴是O 的切线；（2）证明：BE AC ⊥90BEC AEF ∴=∠=∠︒EAF EBC ∠=∠，AE =在EAF △和EBC 中，ADF BEC AE BE EAF EBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠⎩， (ASA)EAF EBC ∴≌AF BC ∴=，90AEF BDF ∠=∠=︒，AEF DBF ∴∽，∴EF DF AF BF=， DF AF EF BF ∴⋅=⋅，DF BC EF BF ∴⋅=⋅．【点评】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，（2）解∵∠ABC的平分线BD交AF于D，在△BFE和△AFB中，∵∠ACB=90°，AC=BC，∽，可得，再证明BDN ADB∵:5:2AB BE=，14EF BC，AD=，//∽，∴BDN ADBDN BD=，即：DB ADBD=2，∠的平分线BMABC∴∠ABM=∠CBM，∵EG∥AB，又AD∥BC，∽，然后根据相似三角形的性质可进行求解．得AOF CGF【解析】（1）证明：∵是O的直径，由（1）可得点E为BC的中点，∴AOF CGF∽，OA OFCG GF=，3OE=，6CG=，∵O的半径为5，5OA OG==，5 6OF GF =，511OF OG=【点评】本题主要考查垂径定理、。

备战中考数学圆与相似的综合热点考点难点附详细答案

备战中考数学圆与相似的综合热点考点难点附详细答案一、相似1．如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角内部作Rt△ABE，且∠AEB=90°，连接EO．求证：（1）∠OAE=∠OBE；（2）AE=BE+ OE．【答案】（1）证明：在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，∴OB⊥AC，∴∠AOB=90°，∵∠AEB=90°，∴A，B，E，O四点共圆，∴∠OAE=∠OBE（2）证明：在AE上截取EF=BE，则△EFB是等腰直角三角形，∴，∠FBE=45°，∵在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，∴∠ABO=45°，∴∠ABF=∠OBE，∵，∴，∴△ABF∽△BOE，∴ = ，∴AF= OE，∵AE=AF+EF，∴AE=BE+ OE．【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，可证得∠AOB=∠AEB=90°，可得出A，B，E，O四点共圆，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得结论。

（2）在AE上截取EF=BE，易证△EFB是等腰直角三角形，可得出BF与BE的比值为，再证明∠ABF=∠OBE，AB与BO的比值为，就可证得AB、BO、BF、BE四条线段成比例，然后利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABF∽△BOE，可证得AF= OE，由AE=AF+EF，可证得结论。

2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x+ 与x轴、y轴分别交于点B、A，与直线y= 相交于点C．动点P从O出发在x轴上以每秒5个单位长度的速度向B匀速运动，点Q从C出发在OC上以每秒4个单位长度的速度，向O匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2）．（1）直接写出点C坐标及OC、BC长；（2）连接PQ，若△OPQ与△OBC相似，求t的值；（3）连接CP、BQ，若CP⊥BQ，直接写出点P坐标．【答案】（1）解：对于直线y=﹣ x+ ，令x=0，得到y= ，∴A（0，），令y=0，则x=10，∴B（10，0），由，解得，∴C（，）．∴OC= =8，BC= =10（2）解：①当时，△OPQ∽△OCB，∴，∴t= ．②当时，△OPQ∽△OBC，∴，∴t=1，综上所述，t的值为或1s时，△OPQ与△OBC相似（3）解：如图作PH⊥OC于H．∵OC=8，BC=6，OB=10，∴OC2+BC2=OB2，∴∠OCB=90°，∴当∠PCH=∠CBQ时，PC⊥BQ．∵∠PHO=∠BCO=90°，∴PH∥BC，∴，∴，∴PH=3t，OH=4t，∴tan∠PCH=tan∠CBQ，∴，∴t= 或0（舍弃），∴t= s时，PC⊥BQ．【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出A,B点的坐标，解联立直线AB,与直线OC的解析式组成的方程组，求出C点的坐标，根据两点间的距离公式即可直接算出OC,OB的长；（2）根据速度乘以时间表示出OP=5t，CQ=4t，OQ=8-4t，①当OP∶OC=OQ∶OB时，△OPQ∽△OCB，根据比例式列出方程，求解得出t的值；②当OP∶OB=OQ∶OC时，△OPQ∽△OBC，根据比例式列出方程，求解得出t的值，综上所述即可得出t的值；（3）如图作PH⊥OC于H．根据勾股定理的逆定理判断出∠OCB=90°，从而得出当∠PCH=∠CBQ时，PC⊥BQ．根据同位角相等二直线平行得出PH∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出OP∶OB=PH∶BC=OH∶OC,根据比例式得出PH=3t，OH=4t，根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，由tan∠PCH=tan∠CBQ，列出方程，求解得出t的值，经检验即可得出答案。

专题十几何证明之圆中的三角形相似问题 2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题(解析版)

2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题专题十几何证明之圆中的三角形相似问题1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AD延长线于E点．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长．解：（1）连接OC，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，又∵AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠CAO＝∠OCA，∴OC∥AE，∵CE⊥AD，即可得OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD＝6，延长BC交AE的延长线于F，∵∠BAC＝∠FAC，AC＝AC，∠ACB＝∠ACF＝90°，∴△ACB≌△ACF（ASA），∴FC＝BC＝6，AF＝AB＝10，∵∠CDF＝180°﹣∠ADC，∠ABF＝180°﹣∠ADC，∴∠CDF＝∠ABF，∵∠CFD＝∠AFB，∴△CFD∽△AFB，∴＝，∴＝，∴AD＝．2、如图，△AOB中，A（﹣8，0），B（0，），AC平分∠OAB，交y轴于点C，点P是x轴上一点，⊙P经过点A、C，与x轴交于点D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，EC的延长线交x轴于点F．（1）求证：EF为⊙P的切线；（2）求⊙P的半径．（1）证明：连接CP，∵AP＝CP，∴∠PAC＝∠PCA，∵AC平分∠OAB，∴∠PAC＝∠EAC，∴∠PCA＝∠EAC，∴PC∥AE，∵CE⊥AB，∴CP⊥EF，即EF是⊙P的切线；（2）∵AC平分∠OAB，∴∠BAC＝∠OAC，∵PA＝PC，∴∠PCA＝∠PAC，∴∠BAC＝∠ACP，∴PC∥AB，∴△OPC∽△OAB，∴＝，∵A（﹣8，0），B（0，），∴OA＝8，OB＝，∴AB＝，∴＝，∴PC＝5，∴⊙P的半径为5．3、如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tan F＝，BC＝5，求DM的值．解：（1）连接OE，则∠OCB＝∠OBC＝α，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝β，∵H是AB的中点，∴CH⊥AB，∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵CH⊥AB，∴＝∴∠CBA＝∠CEB，∵EF∥BC，∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，∴∠FBE＝∠GBE，∴△FEB∽△EGB，∴BE2＝BG•BF；（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，则sinγ＝，cosγ＝，CH＝BC sinγ＝5×＝3，同理HB＝4；设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，连接DE，则∠CED＝90°，在Rt△CDE中cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，在△FEG中，cosβ＝＝＝，解得：FG＝；∵FH＝FG+GH＝，∴HM＝FH tan∠F＝×＝；∵CM＝HM+CH＝，∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．4、如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE；（3）若DE＝4，sin C＝，求AD之长．（1）证明：连接OD、BD，∵AB为圆O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：如图，连接BD．由（1）知，∠ODE＝∠ADB＝90°，BD⊥AC．∵E是BC的中点，O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴OE⊥BD．∴OE∥AC，∴∠1＝∠2．又∵∠1＝∠A，∴∠A＝∠2．即在△ADB与△ODE中，∠ADB＝∠ODE，∠A＝∠2，∴△ADB∽△ODE．∴＝，即＝．∴r2＝AD•OE；（3）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵点E为BC的中点，∴BC＝2DE＝8，∵sin C＝，∴设AB＝3x，AC＝5x，根据勾股定理得：（3x）2+82＝（5x）2，解得x＝2．则AC＝10．由切割线定理可知：82＝（10﹣AD）×10，解得，AD＝3.6．5、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）若EA＝EF＝2，求⊙O的半径；解：（1）连接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，∵EF＝EA，∴∠EFA＝∠EAF，∵OD∥EC，∴∠FOD＝∠EAF，则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，∴DF＝OD＝r，∴DE＝DF+EF＝r+2，∴BD＝CD＝DE＝r+2，在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，∴BF＝BD＝r+2，∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（2+r）＝r﹣2，∵∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E，∴△BFD∽△EFA，∴，即＝解得：r1＝1+，r2＝1﹣（舍），综上所述，⊙O的半径为1+．6、如图所示，以△ABC的边AB为直径作△O，点C在△O上，BD是△O的弦，△A＝△CBD，过点C作CF△AB于点F，交BD于点G过C作CE△BD交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是△O的切线；（2）求证：CG＝BG；（3）若△DBA＝30°，CG＝8，求BE的长．（1）证明：连接OC，△△A＝△CBD，△＝，△OC△BD，△CE△BD，△OC△CE，△CE是△O的切线；（2）证明：△AB为直径，△△ACB＝90°，△CF△AB，△△ACB＝△CFB＝90°，△△ABC＝△CBF，△△A＝△BCF，△△A＝△CBD，△△BCF＝△CBD，△CG＝BG；（3）解：连接AD，△AB为直径，△△ADB＝90°，△△DBA＝30°，△△BAD＝60°，△＝，△△DAC＝△BAC＝△BAD＝30°，△＝tan30°＝，△CE△BD，△△E＝△DBA＝30°，△AC＝CE，△＝，△△A＝△BCF＝△CBD＝30°，△△BCE＝30°，△BE＝BC，△△CGB△△CBE，△＝＝，△CG＝8，△BC＝8，△BE＝8．7、如图，B，E是△O上的两个定点，A为优弧BE上的动点，过点B作BC△AB交射线AE于点C，过点C作CF△BC，点D在CF上，且△EBD＝△A．（1）求证：BD与△O相切；（2）已知△A＝30°．△若BE＝3，求BD的长；△当O，C两点间的距离最短时，判断A，B，C，D四点所组成的四边形的形状，并说明理由．（1）证明：如图1，作直径BG，连接GE，则△GEB＝90°，△△G+△GBE＝90°，△△A＝△EBD，△A＝△G，△△EBD＝△G，△△EBD+△GBE＝90°，△△GBD＝90°，△BD△OB，△BD与△O相切；（2）解：如图2，连接AG，△BC△AB，△△ABC＝90°，由（1）知△GBD＝90°，△△GBD＝△ABC，△△GBA＝△CBD，又△△GAB＝△DCB＝90°，△△BCD△△BAG，△＝＝tan30°＝，又△Rt△BGE中，△BGE＝30°，BE＝3，△BG＝2BE＝6，△BD＝6×＝2；（3）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下，由（2）知＝，＝，△＝，△B，E为定点，BE为定值，△BD为定值，D为定点，△△BCD＝90°，△点C在以BD为直径的△M上运动，△当点C在线段OM上时，OC最小，此时在Rt△OBM中，＝＝，△△OMB＝60°，△MC＝MB，△△MDC＝△MCD＝30°＝△A，△AB△BC，CD△BC，△△ABC＝△DCB＝90°，△AB△CD，△△A+△ACD＝180°，△△BDC+△ACD＝180°，△AC△BD，△四边形ABCD为平行四边形．8、如图，AB、CE是△O的直径，过点C的切线与AB的延长线交于点P，AD△PC于D，连接AC、OD、PE．（1）求证：AC是△DAP的角平分线；（2）求证：PC2＝P A•PB；（3）若AD＝3，PE＝2DO，求△O的半径．证明：（1）△PC是圆的切线，AD△PD，△AD△OC，△△DAC＝△ACO，△AO＝CO，△△CAO＝△ACO，△△DAC＝△CAO，△AC是△DAP的平分线；（2）如右图，连接BC，△OC＝OB，△△OCB＝△OBC，△AB为△O的直径，△△ACB＝90°，△△CAB+△OBC＝90°，△PC是△O的切线，△△OCB+△BCP＝90°，△△CAB＝△BCP，又△△CPB＝△APC，△△CPB△△APC，△＝，△PC2＝P A•PB；（3）设半径为r，在Rt△PCE中，PE2＝（2r）2+PC2＝4r2+PC2，△PE＝2DO，△4DO2＝4r2+PC2，△4（DO2﹣r2）＝PC2，△4DC2＝PC2，△PC＝2CD，△AD△OC，△△PCO△△PDA，△＝，△＝，△r＝2．9、如图，AB是直经，D是的中点，DE△AC交AC的延长线于E，△O的切线BF交AD的延长线于点F．（1）求证：DE是△O的切线．（2）试探究AE，AD，AB三者之间的等量关系．（3）若DE＝3，△O的半径为5，求BF的长．（1）证明：如图1，连接OC，OD，BC，△AB是直径，△△ACB＝90°，△DE△AC于E，△△E＝90°，△△ACB＝△E，△BC△DE，△点D是的中点，△，△△COD＝△BOD，又△OC＝OB，△OD垂直平分BC，△BC△DE，△OD△DE，△DE是△O的切线；（2）AD2＝AE•AB，理由如下：如图2，连接BD，由（1）知，，△△EAD＝△DAB，△AB为直径，△△ADB＝△E＝90°，△△AED△△ADB，△＝，即AD2＝AE•AB；（3）由（1）知，△E＝△ECH＝△CHD＝90°，△四边形CHDE为矩形，△ED＝CH＝BH＝3，△OH＝＝＝4，△CE＝HD＝OD﹣OH＝5﹣4＝1，AC＝＝＝8，△AE＝AC+CE＝9，△BF是△O的切线，△△FBA＝△E＝90°，又△△EAD＝△DAB，△△EAD△△BAF，△＝，即＝，△BF＝．10、如图，AB为△O的直径，CB，CD分别切△O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交△O于点G，EF△OG于点F.（1）求证：△FEB＝△ECF；（2）若BC＝6，DE＝4，求EF的长．（1）证明：△EF△OG，BC是△O的切线，△△CBA＝△EFC＝90°，△△EOF＋△FEB＝90°，△BOC＋△BCO＝90°，△△EOF＝△COB，△△FEB＝△BCO，△CB，CD是△O的切线，△△ECF＝△BCO，△△FEB＝△ECF；（2）解：如解图，连接OD，则OD△CE，△CB，CD为△O的切线，BC＝6，DE＝4，△CD＝BC＝6，△CE＝CD＋DE＝6＋4＝10，在Rt△CBE中，根据勾股定理得BE＝CE2－BC2＝102－62＝8，设OD＝x，则OE＝8－x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得OE2＝OD2＋ED2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，则OE＝5.在Rt△ODC中，根据勾股定理得OC＝CD2＋OD2＝62＋32＝35，△△EOF＝△COB，△EFO＝△CBO，△△EFO△△CBO，△EFCB＝OEOC，即EF6＝535，解得EF＝2 5.11、如图，△O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，△BAC的平分线交△O于点D，连接BD，CD.过点D 作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.（1）求证：PD是△O的切线；（2）求证：△PBD△△DCA；（3）当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．（1）证明：△圆心O在BC上，△BC是△O的直径，△△BAC＝90°.如解图，连接OD.△AD平分△BAC，△△BAC＝2△DAC.△△DOC＝2△DAC，△△DOC＝△BAC＝90°.即OD△BC.△PD△BC，△OD△PD.又OD是△O的半径，△PD是△O的切线；（2）证明：△PD△BC，△△P＝△ABC.又△ABC＝△ADC，△△P＝△ADC.△△PBD＋△ABD＝180°，△ACD＋△ABD＝180°，△△PBD＝△ACD.△△PBD△△DCA；（3）解：△△ABC是直角三角形，△BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100.△BC＝10.△OD垂直平分BC，△DB＝DC.△BC 是△O 的直径，△△BDC ＝90°.在等腰直角三角形BDC 中，DC ＝DB ＝5 2.△△PBD △△DCA ，△PB DC ＝BD CA，即PB ＝DC·BD CA ＝52×528＝254. 12、如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，以BC 为直径的△O 交AB 于点D ，E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F .（1）若△BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长；（2）判断直线DE 与△O 的位置关系，并说明理由；（3）求证：2CE 2＝AB ·EF .（1）解：如解图，连接OD ，△△BCD ＝36°，△△BOD ＝2△BCD ＝2×36°＝72°，△BC 是△O 的直径，BC ＝10，△OB ＝5，△l BD ︵＝72π×5180＝2π；（2）解：DE 是△O 的切线；理由如下： △BC 是△O 的直径，△△ADC ＝180°－△BDC ＝90°，又△点E 是线段AC 中点，△DE ＝12AC ＝EC ，在△DOE 与△COE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC OE ＝OE DE ＝CE，△△DOE △△COE (SSS)．△△ACB ＝90°，△△ODE ＝△OCE ＝90°，△OD 是△O 的半径，△DE 是△O 的切线；（3）证明：由（2）知，△DOE △△COE ， △OE 是线段CD 的垂直平分线， △点F 是线段CD 中点，△点E 是线段AC 中点，则EF ＝12AD ， △△BAC ＝△CAD ，△ADC ＝△ACB ， △△ACD △△ABC ，则AC AB ＝AD AC，即AC 2＝AB ·AD ，而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ，△(2CE)2＝AB·2EF，即4CE2＝AB·2EF，△2CE2＝AB·EF.。

2020-2021中考数学压轴题之圆与相似(中考题型整理,突破提升)含答案

2020-2021中考数学压轴题之圆与相似(中考题型整理,突破提升)含答案一、相似1．如图，在Rt△ABC中，，角平分线交BC于O，以OB为半径作⊙O.（1）判定直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由;（2）连接AO交⊙O于点E，其延长线交⊙O于点D，，求的值;（3）在（2）的条件下，设的半径为3，求AC的长.【答案】（1）解：AC是⊙O的切线理由：，，作于，是的角平分线，，AC是⊙O的切线（2）解：连接，是⊙O的直径，,即 ..又 (同角) ，∽ ,（3）解：设在和中，由三角函数定义有：得：解之得：即的长为【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等证得点O到AC的距离为半径长，即可证得AC与圆O相切；（2）先连接BE构造一个可以利用正切值的直角三角形，再证得∠1=∠D，从而证得两个三角形ABE与ABD相似，即可求得两个线段长的比值；（3）也可以应用三角形相似的判定与性质解题，其中AB的长度是利用勾股定理与（2）中AE与AB的比值求得的.2．已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：________．（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB．【答案】（1）PA=PB（2）解：把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，，∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点，∴PD=PE，∴PC=PE；∵PD=PE，∴∠CDE=∠PEB，∵直线m∥n，∴∠CDE=∠PCA，∴∠PCA=∠PEB，又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，∴l∥CE，∴AC=BE，在△PAC和△PBE中，∴△PAC∽△PBE，∴PA=PB（3）解：如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，，∵直线m∥n，∴，∴AP=PF，∵∠APB=90°，∴BP⊥AF，又∵AP=PF，∴BF=AB；在△AEF和△BPF中，∴△AEF∽△BPF，∴，∴AF•BP=AE•BF，∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB，∴2PA•PB=2k．AB，∴PA•PB=k•AB．【解析】【解答】解：（1）∵l⊥n，∴BC⊥BD，∴三角形CBD是直角三角形，又∵点P 为线段CD的中点，∴PA=PB．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半；（2）把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半得出PD=PE=PC，根据等边对等角得出∠CDE=∠PEB，根据二直线平行，内错角相等得出∠CDE=∠PCA，故∠PCA=∠PEB，根据夹在两平行线间的平行线相等得出AC=BE，然后利用SAS判断出△PAC∽△PBE，根据全等三角形的对应边相等得出PA=PB；（3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，根据平行线分线段成比例定理得出AP=PF，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BF=AB；然后判断出△AEF∽△BPF，根据相似三角形的对应边成比例即可得出AF•BP=AE•BF，根据等量代换得出2PA•PB=2k．AB，即PA•PB=k•AB．3．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，在中，分别是的中点，（2）解：如图1，过点作于，（舍）或秒（3）解：四边形为矩形时,如图所示：解得：（4）解：当点在上时，如图2，当点在上时，如图3，时，如图4，时，如图5，综上所述，或或或秒时，是等腰三角形【解析】【分析】（1）要证△BEF∽△DCB，根据有两对角对应相等的两个三角形相似可得证。

2020-2021中考数学——圆与相似的综合压轴题专题复习附答案

2020-2021中考数学——圆与相似的综合压轴题专题复习附答案一、相似1．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE=EF=FD.连结BE、BF。

使它们分别与AO相交于点G、H（1）求EG ：BG的值（2）求证：AG=OG（3）设AG =a ,GH =b，HO =c，求a : b : c的值【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO= AC，AD=BC，AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴ = = ．∵AE=EF=FD，∴BC=AD=3AE，∴GC=3AG，GB=3EG，∴EG：BG=1：3（2）解：∵GC=3AG（已证），∴AC=4AG，∴AO= AC=2AG，∴GO=AO﹣AG=AG（3）解：∵AE=EF=FD，∴BC=AD=3AE，AF=2AE．∵AD∥BC，∴△AFH∽△CBH，∴ = = = ，∴ = ，即AH= AC．∵AC=4AG，∴a=AG= AC，b=AH﹣AG= AC﹣ AC= AC，c=AO﹣AH= AC﹣ AC= AC，∴a：b：c= ：： =5：3：2【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AO=AC，AD=BC，AD∥BC，从而可证得△AEG∽△CBG，得出对应边成比例，由AE=EF=FD可得BC=3AE，就可证得GB=3EG，即可求出EG：BG的值。

（2）根据相似三角形的性质可得GC=3AG，就可证得AC=4AG，从而可得AO=2AG，即可证得结论。

（3）根据平行可证得三角形相似，再根据相似三角形的性质可得AG=AC，AH=AC，结合AO=AC，即可得到用含AC的代数式分别表示出a、b、c，就可得到a：b：c的值。

2．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D 重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．【答案】（1）解：如图，∵矩形ABCD ，∴，∴，∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵PF⊥BP ，∴，∴，∵，∴，∴，又∵∠BAP =∠FPE，∴∽，∴，∵AD//BC ，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴（3）解：∠CPF=∠BPE，①如图所示，当点F在CE上时，∵∠BPF=∠FPD=90°，∴∠DPC=∠FPE，∵∠FPE=∠BAP，∴∠DPC=∠BAP，∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，∴△PAB∽△CPD，∴PB：CD=AB：PD，∴PB·PD=CD·AB，∴x（）=2×2，∴x= ；②如图所示，当点F在EC延长线上时，过点P作PN⊥CD于点N，在CD上取一点M，连接PM，使∠MPF=∠CPF，则有PC：PM=CH：MH，∵∠BPF=∠DPF=90°，∴∠BPC=∠DPM，∵∠BPE=∠CPF，∴∠BPE=∠EPF，∵∠BAP=∠FPE，∴∠BAP=∠DPM，∵∠ABD=∠BDC，∴△PAB∽△MPD，∴PB：MD=AB：PD，由PD=x，tan∠PDM=tan∠PFC=2，易得：DN= ，PN= ，CN=2- ，PH=2x，FH= ，CH=2- x，由PB：MD=AB：PD可得MD= ，从而可得MN，在Rt△PCN中利用勾股定理可得PC，由PC：PM=CH：MH可得PM，在在Rt△PMN中利用勾股定理可得关于x 的方程，解得x= ，综上：PD的长为：或【解析】【分析】（1）要求三角形ABF的面积，由题意只须求出BF的长即可。

2020-2021中考数学圆与相似的综合热点考点难点附答案

2020-2021中考数学圆与相似的综合热点考点难点附答案一、相似1．如图，抛物线过点，．为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标．【答案】（1）解：设直线的解析式为（）∵，∴解得∴直线的解析式为∵抛物线经过点，∴解得∴（2）解：∵轴，则，∴，∵点是的中点∴∴解得，（不合题意，舍去）∴（3）解：∵，，∴，∴∵∴当与相似时，存在以下两种情况：∴解得∴∴ ,解得∴【解析】【分析】（1）运用待定系数法解答即可。

（2）由（1）可得直线AB的解析式和抛物线的解析式，由点M（m,0）可得点N，P用m 表示的坐标，则可求得NP与PM，由NP=PM构造方程，解出m的值即可。

（3）在△BPN与△APM中，∠BPN=∠APM，则有和这两种情况，分别用含m的代数式表示出BP，PN，PM，PA，代入建立方程解答即可。

2．（1）问题发现如图1，四边形ABCD为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF的两条直角边PE，PF分别交BC，DC于点M，N，当PM⊥BC，PN⊥CD时， =________（用含a，b的代数式表示）．（2）拓展探究在（1）中，固定点P，使△PEF绕点P旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决如图3，四边形ABCD为正方形，AB=BC=a，点P在对角线AC上，M，N分别在BC，CD 上，PM⊥PN，当AP=nPC时，（n是正实数），直接写出四边形PMCN的面积是________（用含n，a的代数式表示）【答案】（1）（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°∵Rt△PEF中，∠FPE=90°∴∠GPM=∠HPN∴△PGM∽△PHN∴由PG∥AB，PH∥AD可得， ,∵AB=a，BC=b∴，即 ,∴，故答案为（3）【解析】【解答解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∵PM⊥BC，∴△PMC∽△ABC∴∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴∠PMC=∠PNC=90°=∠BCD，∴四边形CNPM是矩形，∴CM=PN，∴，故答案为；（ 3 ）∵PM⊥BC，AB⊥BC∴△PMC∽△ABC∴当AP=nPC时（n是正实数），∴PM= a∴四边形PMCN的面积= ，故答案为：．【分析】（1）由题意易得△PMC∽△ABC，可得比例式，由矩形的性质可得CM=PN，则结论可得证；（2）过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，由辅助线和已知条件易得△PGM∽△PHN，则得比例式，由（1）可得比例式，即比值不变；（3）由（2）的方法可得，则四边形PMCN的面积= .3．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形A BCD的边BC在x轴上，D点在y 轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．（1）请直接写出点B、D的坐标：B（________），D（________）；（2）求抛物线的解析式；（3）求证：ED是⊙P的切线；（4）若点M为抛物线的顶点，请直接写出平面上点N的坐标，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形．【答案】（1）-4，0；0，2（2）解：将（2，0），B（-4,0），D(0,);三点分别代入y=ax2+bx+c得，解得∴所求抛物线的解析式y=- x2- x+（3）证明：在Rt△OCD中，CD=2OC=4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，∵AE=3BE，∴AE=3，∴，∵∴∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAE=∠DCB=60°，∴△AED∽△COD，∴∠ADE=∠CDO，而∠ADE+∠ODE=90°∴∠CDO+∠ODE=90°，∴CD⊥DE，∵∠DOC=90°，∴CD为⊙P的直径，∴ED是⊙P的切线（4）解：点N的坐标为（-5，）、（3，）、（-3，- ）【解析】【解析】解：（1）∵C点坐标为（2，0），∴OC=2 ,∵BC=6 ,∴OB=BC-OC=4 ,∴B（-4,0），∵∠BCD=60°，tan∠BCD= ,∴ ,∴OD=,∴D(0,);（4存在,∵y=−x2−x+=−(x+1)2+∴M(−1,)，∵B(−4,0),D(0,)，如图，当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位,再向下平移个单位得到B，则点M(−1,)向左平移4个单位,再向下平移个单位得到N1(−5,)；当DM为平行四边形BDMN的对角线时，点B向右平移3个单位,再向上平移个单位得到D，则点M(−1,)向右平移4个单位,再向上平移个单位得到N2(3,)；当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向右平移1个单位,再向下平移个单位得到D，则点B(−4,0)向右平移1个单位,再向下平移个单位得到N3(−3,−)；综上所述,以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形时,点N的坐标为(−5，,)或(3,)或(−3,−）【分析】（1）根据点C的坐标，求出OC的长度，进而求出OB的长度，得出B点的坐标。

2020中考数学几何专项突破：全等和相似三角形(含详解版)

2020中考数学几何专项突破全等与相似三角形（含答案）典例探究例1.△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△ADE的位置，使得DC ∥AB,求∠EAB的度数。

例2. 如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。

请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

D例 3.如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点．（1）求证：；（2）当为边中点，时，如图2，求的值；（3）当为边中点，时，请直接写出的值．例4.如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。

（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积；（3）△AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

Rt ABC △90BAC ∠=°AD BC ⊥D O AC BO AD F OE OB ⊥BC E ABF COE △∽△O AC 2AC AB =OFOE O AC AC n AB =OFOEx y BBAACO E D D EC OF图1图2F巩固练习-全等三角形1.如图，给出下列四组条件：①； ②； ③； ④．其中，能使的条件共有（） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组2、如图，AD 是△ABC 的中线，AB AC =。

1∠与2∠相等吗？请说明理由。

3.已知：如图 , 点A 、D 、C 、F 在同一条直线上 , AB=DE , BC ∥EF,∠B=∠E. 求证：ΔABC ≌ΔDEF.4.如图,△OAB 和△COD 均为等腰直角三角形，90AOB COD ∠=∠=︒, 连接AC 、BD .求证: AC BD =.AB DE BC EF AC DF ===，，AB DE B E BC EF =∠=∠=，，B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，AB DE AC DF B E ==∠=∠，，ABC DEF △≌△21DCBA5、如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，添加一个条件，使DE = DF ，并说明理由．6、如图，AB 是⊙O 的直径，AC ＝AD ，试说明△ABC 和△ABD 全等.7、已知，如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，AB ⊥BE ，垂足为B ，DE ⊥BE ，垂足为E ，且AB ＝DE ，BF ＝CE 。

2023年九年级中考数学高频专题突破--相似三角形与圆的综合(含解析)

2023年中考数学高频专题突破--相似三角形与圆的综合1．如图，△ABC 内接于△O ，且AB 为△O 的直径，OD△AB ，与AC 交于点E ，与过点C 的△O 的切线交于点D ．（1）若AC=4，BC=2，求OE 的长．（2）试判断△A 与△CDE 的数量关系，并说明理由．2．如图，已知三角形ABC 的边AB 是△0的切线，切点为B ．AC 经过圆心0并与圆相交于点D 、C ，过C 作直线CE 丄AB ，交AB 的延长线于点E ．（1）求证：CB 平分△ACE 。

（2）若BE=3，CE=4，求△O 的半径．3．如图，在 ABC 中， CA CB = ，BC 与 A 相切于点D ，过点A 作AC 的垂线交CB 的延长线于点E ，交 A 于点F ，连结BF.（1）求证：BF 是 A 的切线.（2）若 5BE = ， 20AC = ，求EF 的长.4．如图，已知BC 是△O 的直径，点D 为BC 延长线上的一点，点A 为圆上一点，且AB=AD ，AC=CD ．（1）求证：△ACD△△BAD；（2）求证：AD是△O的切线．5．如图，AB是△O的直径，BC切△O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE△AB 于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：（1）PE=PD（2）AC•PD=AP•BC6．如图，AB是△O的直径，弦CD△AB，垂足为H，连接AC，过BD上一点E作EG△AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG．（1）求证：EG是△O的切线；（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH=2，CH ，求OM的长．7．如图，O是ABC的外接圆，直线EG与O相切于点E EG BC，连接AE交BC于点D．,//（1）求证： AE 平分 BAC ∠ ；（2）若 ABC ∠ 的平分线 BF 交 AD 于点F ，且 3DE = ， 2DF = ，求 AF 的长．8．如图，以 Rt ABC ∆ 的直角边 AB 为直径作 O 交斜边 AC 于点 D ，过圆心 O 作 //OE AC ，交 BC 于点 E ，连接 DE .（1）判断 DE 与 O 的位置关系并说明理由；（2）求证： 22DE CD OE =⋅ ；（3）若 4tan 3C =， 52DE = ，求 AD 的长. 9．如图， ABC 内接于,O AB 是 O 的直径， BD 与 O 相切于点B ， BD 交 AC 的延长线于点D ，E 为 BD 的中点，连接 CE ．（1）求证： CE 是 O 的切线．（2）已知 5BD CD == ，求O ，E 两点之间的距离．10．如图，已知直线PT 与△O 相切于点T ，直线PO 与△O 相交于A ，B 两点．（1）求证：PT 2=PA•PB ；（2）若PT=TB= ，求图中阴影部分的面积．11．如图，在矩形ABCD 中，以BC 边为直径作半圆O ，OE△OA 交CD 边于点E ，对角线AC 与半圆O 的另一个交点为P ，连接AE.（1）求证：AE 是半圆O 的切线；（2）若PA ＝2，PC ＝4，求AE 的长.12．如图，AB 是△O 的直径，点C 、D 在圆上， BC ＝ CD ，过点C 作CE△AD 延长线于点E.（1）求证：CE 是△O 的切线；（2）若BC ＝3，AC ＝4，求CE 和AD 的长.13．将一副三角板Rt△ABD 与Rt△ACB （其中△ABD=90°，△D=60°，△ACB=90°，△ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD 中△D 所对直角边与Rt△ACB 斜边恰好重合．以AB 为直径的圆经过点C ，且与AD 交于点 E ，分别连接EB ，EC ．（1）求证：EC 平分△AEB ；（2）求 ACE BEC SS 的值．14．如图，在等腰锐角三角形ABC 中，AB ＝AC ，过点B 作BD△AC 于D ，延长BD 交△ABC 的外接圆于点E ，过点A 作AF△CE 于F ，AE ，BC 的延长线交于点G.（1）判断EA 是否平分△DEF ，并说明理由；（2）求证：①BD ＝CF ；②BD 2＝DE 2+AE•EG.15．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，点E 是BC 的中点，以AC 为直径的△O 与AB 边交于点D ，连接DE.（1）判断直线DE 与△O 的位置关系，并说明理由；（2）若CD ＝3，DE ＝ 52，求△O 的直径. 16．如图，已知BC△AC ，圆心O 在AC 上，点M 与点C 分别是AC 与△O 的交点，点D 是MB 与△O 的交点，点P 是AD 延长线与BC 的交点，且 AD AP =AM AO．（1）求证：PD是△O的切线；（2）若AD=12，AM=MC，求BPMD的值．17．如图，已知三角形ABC的边AB是O的切线，切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点D，C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E.（1）求证：CB平分△ACE；（2）若BE=3，CE=4，求O的半径.18．已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作△O，与BC相切于点D，交OA于E，交OC于F，连接OD，DF．（1）求证：AB是△O的切线；（2）连接EF交OD于点G，若△C=45°，求证：GF2=DG•OE．19．已知：如图，MN为△O的直径，ME是△O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分△DMN．求证：（1）DE 是△O 的切线；（2）ME 2=MD•MN ．20．如图，在 ABC ∆ 中， 90C ∠=︒ ， AD 平分 BAC ∠ 交 BC 于点D ，过点A 和点D 的圆，圆心O 在线段 AB 上， O 交 AB 于点E ，交 AC 于点F ．（1）判断 BC 与 O 的位置关系，并说明理由；（2）若 8AD = ， 10AE = ，求 BD 的长．21．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径的△O 交AB 于点D ，交BC 于点E ．（1）求证：BE=CE ；（2）若BD=2，BE=3，求AC 的长．答案解析部分1．【答案】（1）解：∵AB 为△O 的直径，∴△ACB=90°，在Rt△ABC 中，由勾股定理得：AB== =2 ，∴OA= 12 AB= ，∵OD△AB ，∴△AOE=△ACB=90°，又∵△A=△A ，∴△AOE△△ACB ，∴OE OA BC AC = ，即 24OE = ，解得：OE= （2）解：△CDE=2△A ，理由如下：连接OC ，如图所示：∵OA=OC ，∴△1=△A ，∵CD 是△O 的切线，∴OC△CD ，∴△OCD=90°，∴△2+△CDE=90°，∵OD△AB ，∴△2+△3=90°，∴△3=△CDE ，∵△3=△A+△1=2△A ，∴△CDE=2△A ．【解析】【分析】（1）由圆周角定理得出△ACB=90°，由勾股定理求出AB==2 ，得出OA= 12 AB= ，证明△AOE△△ACB ，得出对应边成比例即可得出答案；（2）连接OC ，由等腰三角形的性质得出△1=△A ，由切线的性质得出OC△CD ，得出△2+△CDE=90°，证出△3=△CDE ，再由三角形的外角性质即可得出结论．2．【答案】（1）证明：如图1，连接OB ，∵AB 是△0的切线，∴OB△AB ，∵CE 丄AB ，∴OB△CE ，∴△1=△3，∵OB=OC ，∴△1=△2，∴△2=△3，∴CB 平分△ACE ；（2）解：如图2，连接BD ，∵CE 丄AB ，∴△E=90°，∴，∵CD 是△O 的直径，∴△DBC=90°，∴△E=△DBC ，∴△DBC△△CBE ，∴CD BC =BC EC，∴BC 2=CD•CE ，∴CD=254=254，∴OC=12CD=258， ∴△O 的半径=258【解析】【解答】（1）证明：如图1，连接OB ，由AB 是△0的切线，得到OB△AB ，由于CE 丄AB ，的OB△CE ，于是得到△1=△3，根据等腰三角形的性质得到△1=△2，通过等量代换得到结果．（2）如图2，连接BD 通过△DBC△△CBE ，得到比例式CD BC =BC EC，列方程可得结果．【分析】此题是圆的应用，涉及有切线性质，等腰三角形性质和三角形相似对应边成比例进而求得线段的值、3．【答案】（1）证明：如图，连接 AD ，CA CB = ，CAB ABC ∴∠=∠ ，AE AC ⊥ ，90CAB EAB ∴∠+∠=︒又 A 切BC 于点D ，=90ADB ∴∠︒ ，90ABD BAD ∴∠+∠=︒ ，BAE BAD ∴∠=∠ .又 AB AB = ， AF AD = ，()ABF ABD SAS ∴≌ ，90AFB ADB ∴∠=∠=︒ ，BF ∴ 是 A 的切线（2）解：由（1）得： 90AFB FAC ∠=∠=︒ ， //BF AC ∴ ，BEF CEA ∴∽ ，BE BF CE CA∴= ， 20CB CA == ， 5BE = ，552020BF ∴=+ ， 4BF ∴= ，3EF ∴==【解析】【分析】（1）连接AD ，利用等腰三角形的性质可证得△CAB=△ABC ，利用垂直的定义可求出△CAB+△EAB=90°；再利用切线的性质和余角的性质去证明△BAE=△BAD；然后根据SAS证明△ABF△△ABD，利用全等三角形的性质，可求出△AFB=90°，利用切线的判定定理，可证得结论.（2）由BF△AC，可证得△BEF△△CEA，利用相似三角形的性质可求出BF的长；再利用勾股定理求出EF的长.4．【答案】（1）证明：∵AB=AD，∴△B=△D，∵AC=CD，∴△CAD=△D，∴△CAD=△B，∵△D=△D，∴△ACD△△BAD（2）证明：连接OA，∵OA=OB，∴△B=△OAB，∴△OAB=△CAD，∵BC是△O的直径，∴△BAC=90°，∴OA△AD，∴AD是△O的切线．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到△CAD=△B，由于△D=△D，于是得到△ACD△△BAD；（2）连接OA，根据的一句熟悉的性质得到△B=△OAB，得到△OAB=△CAD，由BC是△O的直径，得到△BAC=90°即可得到结论．5．【答案】（1）证明：∵AB是△O的直径，BC是切线，∴AB△BC，∵DE△AB，∴DE△BC，∴△AEP△△ABC，∴EP AEBC AB…①，又∵AD△OC，∴△DAE=△COB，∴△AED△△OBC，∴212ED AE AE AE BC OB AB AB ===…②，由①②，可得ED=2EP ，∴PE=PD ．（2）证明：∵AB 是△O 的直径，BC 是切线，∴AB△BC ，∵DE△AB ，∴DE△BC ，∴△AEP△△ABC ，∴AP PE AC BC =， ∵PE=PD ，∴AP PD AC BC=，∴AC•PD=AP•BC ．【解析】【解答】首先根据AB 是△O 的直径，BC 是切线，可得AB△BC ，再根据DE△AB ，判断出DE△BC ，△AEP△△ABC ，所以EP AE BC AB =；然后判断出2ED AE BC AB=，即可判断出ED=2EP ，据此判断出PE=PD 即可．【分析】首先根据△AEP△△ABC ，判断出AP PE AC BC=；然后根据PE=PD ，可得AP PD AC BC=，据此判断出AC•PD=AP•BC 即可． 6．【答案】（1）证明：连接OE ，如图，∵GE=GF ，∴△GEF=△GFE ，而△GFE=△AFH ，∴△GEF=△AFH ，∵AB△CD ，∴△OAF+△AFH=90°，∴△GEA+△OAF=90°，∵OA=OE ，∴△OEA=△OAF ，∴△GEA+△OEA=90°，即△GEO=90°，∴OE△GE ，∴EG 是△O 的切线（2）解：连接OC ，如图，设△O 的半径为r ，则OC=r ，OH=r-2，在Rt△OCH 中， 2222)r r -+=（，解得r=3，在Rt△ACH 中，AC===， ∵AC△GE ，∴△M=△CAH ，∴Rt△OEM△Rt△CHA ， ∴OM OE AC CH= ，即= ，解得：OM= ．【解析】【分析】（1）连接OE ，如图，通过证明△GEA+△OEA=90°得到OE△GE ，然后根据切线的判定定理得到EG 是△O 的切线；（2）连接OC ，如图，设△O 的半径为r ，则OC=r ，OH=r-2，利用勾股定理得到 2222)r r -+=（，解得r=3，然后证明Rt△OEM△Rt△CHA ，再利用相似比计算OM 的长．7．【答案】（1）解：连接OE ．∵直线EG与△O相切于E，∴OE△EG．∵EG△BC，∴OE△BC，∴BE CE=，∴△BAE=△CAE．∴AE平分△BAC；（2）解：如图，∵AE平分△BAC，∴△1=△4，∵△1=△5，∴△4=△5，∵BF平分△ABC，∴△2=△3，∵△6=△3+△4=△2+△5，即△6=△EBF，∴EB=EF，∵DE=3，DF=2，∴BE=EF=DE+DF=5，∵△5=△4，△BED=△AEB，∴△EBD△△EAB，∴BE DEEA BE=，即535EA=，∴AE= 253，∴AF=AE-EF= 253-5=103．【解析】【分析】（1）连接OE，利用垂径定理、圆周角、弧、弦的关系证得结论；（2）根据题意证明BE=EF ，得到BE 的长，再证明△EBD△△EAB 得到BE DE EA BE= ，求出AE ，从而得到AF ． 8．【答案】（1）解：DE 是圆O 的切线证明：连接OD∵OE△AC∴△1=△3，△2=△A∵OA=OD∴△1=△A∴△2=△3在△BOE 和△DOE 中OE=OD ，△2=△3，OE=OE∴△BOE△△DOE （SAS ）∴△ODE=△OBE=90°∴OD△DE∴DE 是圆O 的切线（2）解：证明：连接BD∵AB 是直径∴△BDC=△ADB=△ABC=90°∵OE△AC ，O 是AB 的中点∴OE 是△ABC 的中位线∴AC=2OE∵△BDC=△ABC ，△C=△C∴△ABC△△BDC ∴2BC AC BC AC CD CD BC==⋅，即 ∴BC 2=2CD•OE∵BC=2DE，∴（2DE）2=2CD•OE ∴22DE CD OE=⋅（3）解：∵4tan3BD CDC==设：BD=4x，CD=3x∵在△BDC中，52DE=，∴BC=2DE=5∴（4x）2+（3x）2=25解之：x=1，x=-1（舍去）∴BD=4∵△ABD=△C∴AD=BD•tan△ABD=416 433⨯=【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质及等腰三角形的性质证明△2=△3，再证明△BOE△△DOE，可证出OD△DE，即可得证。

2020-2021中考数学压轴题之圆与相似(中考题型整理,突破提升)及详细答案

2020-2021中考数学压轴题之圆与相似(中考题型整理,突破提升)及详细答案一、相似1．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．【答案】（1）解：如图1，∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴，∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB=2，AB⊥OC，∴AC=BC=1，∠BOC=30°，∴OC= ，∴A（-1，），把A（-1，）代入抛物线y=ax2（a＞0）中得：a= ；（2）解：如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，∵CF∥BG，∴，∵AC=4BC，∴ =4，∴AF=4FG，∵A的横坐标为-4，∴B的横坐标为1，∴A（-4，16a），B（1，a），∵∠AOB=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，∵∠AOD+∠DAO=90°，∴∠BOE=∠DAO，∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△ADO∽△OEB，∴，∴，∴16a2=4，a=± ，∵a＞0，∴a= ；∴B（1，）；（3）解：如图3，设AC=nBC，由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（-mn，am2n2），∴AD=am2n2，过B作BF⊥x轴于F，∴DE∥BF，∴△BOF∽△EOD，∴，∴，∴，DE=am2n，∴，∵OC∥AE，∴△BCO∽△BAE，∴，∴，∴CO= =am2n，∴DE=CO．【解析】【分析】（1）抛物线y=ax2关于y轴对称，根据AB∥x轴，得出A与B是对称点，可知AC=BC=1，由∠AOB=60°，可证得△AOB是等边三角形，利用解直角三角形求出OC的长，就可得出点A的坐标，利用待定系数法就可求出a的值。

2020年中考数学压轴解答题05 圆与三角函数、相似结合的综合问题(学生版)

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题05圆与三角函数、相似结合的综合问题【典例分析】【例1】如图是以AB为直径的0O上的点，且AN=BN，弦MN交AB于点CBM平分Z ABDM”丄BD (2)若CN=3BN=4,求CM的长.【例2】如图AB为0O直径AC为0O的弦,过0O外的点D作DE丄OA于点交AC于点F,连接DC并延长交AB的延长线于点尸，且Z D=2Z A,作CH丄AB于点H.(1)判断直线DC与0O的位置关系,并说明理由;3(1)求证：MF是0O的切线;【例3】如图,AB是0O的直径,D、E为0O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交0O于点F,连接AE、DE、DF.(1)证明：Z E=Z C；(2)若Z E=55°,求Z BDF的度数；2(3)设DE交AB于点G,若DF=4,cosB=3,E是弧AB的中点，求EG・ED的值.【例5】如图,△ABC 内接于0O,BC =2,AB 二 AC ，点D 为AC 上的动点，且cosB = J10 lo"E【例4】如图，在△AOB 中,Z AOB 为直角,OA =6,OB =8,半径为2的动圆圆心Q 从点O 出发，沿着OA 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点A 出发，沿着AB 方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动,设运动时间为t 秒(0V t S5)以P 为圆心,PA 长为半径的。

P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ,连结CD 、QC .(1) 当t 为何值时，点Q 与点D 重合？(2) 当0Q 经过点A 时，求0P 被OB 截得的弦长.(3) 若0P 与线段QC 只有一个公共点，求t 的取值范围.⑴求AB 的长度；⑵在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E,问AD ・AE 的值是否变化？若不变，请求出AD ・AE 的值；若变化，请说明理由.⑶在点D 的运动过程中，过A 点作AH 丄BD,求证：BH =CD +DH .C【例6】已知如图,抛物线•=「一：一：与，轴相交于B(1,0),C(5,0)两点，与y轴的正半轴相交于A点,过A,B,C三点的0P与y轴相切于点A,M为…轴负半轴上的一个动点，直线MB交抛物线于N,交0P于D.(1)填空:A点坐标是,O P半径的长是，口=，归£=；⑵若S A BN C：S A AOB=48:5,求N点的坐标；⑶若A AOB与以A,B,D为顶点的三角形相似，求MB・MD的值.【变式训练】1.如图，已知圆O的内接六边形ABCDEF的边心距OM=2，则该圆的内接正三角形ACE的面积为()A.2B.4C.6^3D.4j32.如图，在A ABC中,O是AB边上的点，以O为圆心,OB为半径的与AC相切于点D,BD平分ZABC,AD=43OD,AB=12,CD的长是()A.2J3B.2C.D.4-33.如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点,CA丄AB,PD丄AC于点D，连接AP，设AP=x，PA-PD=y,则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（）4.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB、AC于点E、D,DF是圆的切线,过点F 作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为（）A.4B.1三C.65.如图，已知AB是G>O的直径，点P在BA的延长线上fD与G>O相切于点D,过点B作PD的垂线交PDC.3D.2.5的延长线于点C,若OO的半径为4,BC=6，则PA的长为（）C.2.5cm6.如图,AC是0O的直径，弦BD丄AO于E,连接BC,过点O作OF丄BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF7.如图，四边形ABCD中,AD〃BC,Z ABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC、BD,以BD为直径的圆交AC于点A.5B.4C.3*5D.2\<58.如图,^ABC内接于O O,AB为0O的直径,Z CAB=60。

专题14 圆与相似三角形-恩施州中考数学高频考点、重点专题突破精练精解(原卷版)

专题14 圆与相似三角形【达标要求】圆与相似三角形相综合是中考中的热门考点，解圆与相似三角形相综合的问题时，关键是要从圆中去抽取出相似三角形模型，然后利用相似三角形的性质去证明和求解相关问题．在证两三角形相似时，往往构造同弧所对的圆周角相等或直径所对的圆周角是直角，从而为证两三角形相似创造角相等的条件．【精练精解】1.如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，连结DE .过点A 作AF ⊥DE ，垂足为F .⊙O 经过点C ，D ，F ，与AD 相交于点G .(1)求证：△AFG ∽△DFC ；(2)若正方形ABCD 的边长为4，AE ＝1，求⊙O 的半径．2.如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝11，BC ＝5，以C 为圆心，BC 为半径作圆交BA 的延长线于D ，则AD 的长为____．答图3.如图，AB 为圆的直径，若AB ＝AC ＝5，BD ＝4，则AE BE＝____．4.如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，点D 在⊙O 上，OD ∥BC ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连结CD 交OE 于点F .(1)求证：△DOE ∽△ABC ； (2)求证：∠ODF ＝∠BDE ；(3)连结OC ，设△DOE 的面积为S 1，四边形BCOD 的面积为S 2，若S 1S 2＝27，求OEOD的值．5.如图1，直线l ：y ＝－34x ＋b 与x 轴交于点A (4，0)，与y 轴交于点B ，点C 是线段OA 上一动点⎝ ⎛⎭⎪⎫0<AC <165，以点A 为圆心，AC 长为半径作⊙A 交x 轴于另一点D ，交线段AB 于点E .连结OE 并延长交⊙A 于点F .(1)求直线l 的函数表达式和tan ∠BAO 的值． (2)如图2，连结CE ，当CE ＝EF 时． ①求证：△OCE ∽△OEA ； ②求点E 的坐标．(3)当点C 在线段OA 上运动时，求OE ·EF 的最大值．6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连结OF交AD于点G.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；(3)若BE＝8，sin B＝513，求DG的长．7.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D 作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.(1)求证：直线DM是⊙O的切线；(2)求证：DE2＝DF·DA.(第7题)8.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB PC＝1 2.(1)求证：AC平分∠BAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；(3)若AD＝3，求△ABC的面积．(第8题)9.如图，在锐角△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线DE交边BC于点E，连结BD．（1）求证：∠ABD＝∠CDE．（2）若AC＝28，tan A＝2，AD：DC＝1：3，求DE的长．10.如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求线段BP的长．11.如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OB＝4，D是OB的中点，点E是弧BC上的动点，连接AE，DE．（1）当点E是弧BC的中点时，求△ADE的面积；，求AE的长；（2）若tan∠AED=32（3）点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m，①当△DEF是等腰直角三角形时，求m的值；②延长DF交半圆弧于点G，若弧AG＝弧EG，AG∥DE，直接写出DE的长．̂=BÊ，BE与CD交于点F．12.已知：AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为H，点E为⊙O上一点，AE（1）如图1，求证：BH＝FH；（2）如图2，过点F作FG⊥BE，分别交AC、AB于点G、N，连接EG，求证：EB＝EG；（3）如图3，在（2）的条件下，延长EG交⊙O于M，连接CM、BG，若ON＝1，△CMG的面积为6，求线段BG的长．13.四边形ABCD内接于⊙O，弦AC、BD交于点E，且∠BAC+∠ACD＝∠ADC（1）如图1，求证：AB＝AD；̂上，弦BF交AC于点G，交AD于点H，点K在BD上，FK∥CD，连接OK，若AG （2）如图2，点F在AD＝AH，求证：OK⊥BF；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠OKD＝∠AED，BE＝6，DE＝10，求⊙O的半径长．14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，过点B作BD⊥AB，点C，D都在AB上方，AD交△BCD的外接圆⊙O于点E．（1）求证：∠CAB＝∠AEC．（2）若BC＝3．①EC∥BD，求AE的长．②若△BDC为直角三角形，求所有满足条件的BD的长．（3）若BC＝EC=√5，则S△BCDS△ACE =1+2√1915．（直接写出结果即可）15.如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，过C作射线CE交AB的延长线于点E，且∠BAC＝∠ECB．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）若AB＝6，CE＝4，求BE的长．（3）求证：EB：EA＝CB2：CA2．16.如图1所示，已知AB，CD是⊙O的直径，T是CD延长线的一点，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，OA2＝OE•OT．（1）如图1，求证：BT是⊙O的切线；（2）在图1中连接CB，DB，若DBCB =12，求tan T的值；（3）如图2，连接DF交AB于点G，过G作GP⊥CD于点P，若BT＝6√2，DT＝6．求：DG的长．17.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．点P是劣弧AD̂上任一点（不与点A，D重合），CP交AB 于点M，AP与CD的延长相交于点F．（1）设∠CPF＝α，∠BDC＝β，求证：α＝β+90°；（2）若OE＝BE，设tan∠AFC＝x，AMBM=y．①求∠APC的度数；②求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．18.如图，CD是⊙O直径，弦AB⊥CD，垂足为H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC交BA的延长线于点F，CE交AB于点G，∠FEG＝∠FGE，CD延长线交EF于点E．（1）求证：EK是⊙O的切线；（2）求证：EBFB =EGEF；（3）若sin F=35，CH＝2√6，求DE的值．19.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC＝AB，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AF．（1）求证：AF∥BE；（2）求证：PAPC =AFAB；（3）若AB＝2，求tan∠F的值．20.如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝8，求CD的长．21.△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于D，交BC于E（BE＞EC），过点D作⊙O的切线DF，交AB的延长线于F．（1）求证：DF∥BC；（2）连接OF，若tan∠BAC=2√2，BD=4√3，DF＝8，求OF的长．22.如图1，在⊙O中，AB是弦，OH⊥AB于H，交⊙O于N，C为⊙O上一点，连接AC，BC，NC．（1）求证：∠ACN＝∠BCN；（2）如图2，D为弧AC上一点，且弧CB＝弧CD，连接AD，过C作CE⊥AB于E，求证：AD＝2EH；（3）如图3，在（2）的条件下，若AB为⊙O的直径，BG＝5，CE＝6，BE＞EG，求△ADC的周长．23.已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，直径AC与对角线BD相交于点E，作CH⊥BD于H，CH与过A点的直线相交于点F，∠FAD＝∠ABD．（1）求证：AF为⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABC，求证：DA＝DC；（3）在（2）的条件下，N为AF的中点，连接EN，若∠AED+∠AEN＝135°，⊙O的半径为2√2，求EN 的长．24.如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E.(1)求证：AC·BC＝2BD·CD；(2)若AE＝3，CD＝25，求弦AB和直径BC的长．25.如图，AB，AC，AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且AB＝AC＝AE.请你说明以下各式成立的理由：(1)∠CAD＝2∠DBE；(2)AD2－AB2＝BD·DC.26.如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连结PB，PC，PC交AB于点E，且PA＝PB.(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)若∠APC ＝3∠BPC ，求PE CE 的值．27.如图，已知线段AB ＝2，MN ⊥AB 于点M ，且AM ＝BM ，P 是射线MN 上一动点，E ，D 分别是PA ，PB 的中点，过点A ，M ，D 的圆与BP 的另一交点为C (点C 在线段BD 上)，连结AC ，DE .(1)当∠APB ＝28°时，求∠B 和CM ︵所对的圆心角的度数．(2)求证：AC ＝AB .(3)在点P 的运动过程中．①当MP ＝4时，取四边形ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点Q ，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q 为锐角顶点，求所有满足条件的MQ 的值；②记AP 与圆的另一个交点为F ，将点F 绕点D 旋转90°得点G ，当点G 恰好落在MN 上，连结AG ，CG ，DG ，EG ，直接写出△ACG 与△DEG 的面积比．。

2020-2021备战中考数学圆与相似的综合热点考点难点附详细答案

2020-2021备战中考数学圆与相似的综合热点考点难点附详细答案一、相似1．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE沿直线BC翻折到△CDF，连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I．（1）求证：AF⊥BE；（2）求证：AD=3DI．【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点，∴AD=BD=CD，∠ACB=45°，∵在△ADC中，AD=DC，DE⊥AC，∴AE=CE，∵△CDE沿直线BC翻折到△CDF，∴△CDE≌△CDF，∴CF=CE，∠DCF=∠ACB=45°，∴CF=AE，∠ACF=∠DCF+∠ACB=90°，在△ABE与△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴∠ABE=∠FAC，∵∠BAG+∠CAF=90°，∴∠BAG+∠ABE=90°，∴∠AGB=90°，∴AF⊥BE（2）证明：作IC的中点M，连接EM，由（1）∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°∴四边形DECF是正方形，∴EC∥DF，EC=DF，∴∠EAH=∠HFD，AE=DF，在△AEH与△FDH中，∴△AEH≌△FDH（AAS），∴EH=DH，∵∠BAG+∠CAF=90°，∴∠BAG+∠ABE=90°，∴∠AGB=90°，∴AF⊥BE，∵M是IC的中点，E是AC的中点，∴EM∥AI，∴，∴DI=IM，∴CD=DI+IM+MC=3DI，∴AD=3DI【解析】【分析】（1）根据翻折的性质和SAS证明△ABE≌△ACF，利用全等三角形的性质得出∠ABE=∠FAC，再证明∠AGB=90°，可证得结论。

（2）作IC的中点M，结合正方形的性质，可证得∠EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS证明△AEH与△FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。

2020-2021备战中考数学压轴题之圆与相似(备战中考题型整理,突破提升)附详细答案

2020-2021备战中考数学压轴题之圆与相似(备战中考题型整理,突破提升)附详细答案一、相似1．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=4求BN的长；（2）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D，使C，D 是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；（3）如图3，正方形ABCD中，M，N分别在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN=45°，AM，AN分别交BD于E，F.求证：①E、F是线段BD的勾股分割点；②△AMN的面积是△AEF面积的两倍．【答案】（1）解：（1）①当MN为最大线段时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BM= = = ，②当BN为最大线段时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN= = =5，综上，BN= 或5；（2）解：作法：①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；点D即为所求；如图2所示．（3）解：①如图3中，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．∵∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°，∠DAF=∠BAH，∴∠EAH=∠EAF=45°，∵EA=EA，AH=AF，∴△EAH≌△EAF，∴EF=HE，∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，∴∠HBE=90°，在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2，∵BH=DF，EF=HE，∵EF2=BE2+DF2，∴E、F是线段BD的勾股分割点．②证明：如图4中，连接FM，EN．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠EDN，∵∠AFE=∠FDN，∴△AFE∽△DFN，∴∠AEF=∠DNF，，∴，∵∠AFD=∠EFN，∴△AFD∽△EFN，∴∠DAF=∠FEN，∵∠DAF+∠DNF=90°，∴∠AEF+∠FEN=90°，∴∠AEN=90°∴△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形；∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，∴AM= AF，AN= AE，∵S△AMN= AM•AN•sin45°，S△AEF= AE•AF•sin45°，∴ =2，∴S△AMN=2S△AEF．【解析】【分析】（1）此题分两种情况：①当MN为最大线段时，②当BN为最大线段时，根据线段的勾股分割点的定义，利用勾股定理分别得出BM的长；（2）利用尺规作图，将线段AC,CD,DB转化到同一个直角三角形中，①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；这样的作图可以保证直角的出现，及AC 是一条直角边，③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；这样的作图意图利用垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，即BD=DF，从而实现将三条线段转化到同一直角三角形的目的；（3）①如图3中，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．根据正方形的性质及旋转的性质得出∠EAH=∠EAF=45°，AH=AF，利用SAS判断出△EAH≌△EAF，根据全等三角形对应边相等得出EF=HE，根据正方形的每条对角线平分一组对角，及旋转的性质得出∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，故∠HBE=90°，在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2，根据等量代换得出结论；②证明：如图4中，连接FM，EN．根据正方形的性质及对顶角相等判断出△AFE∽△DFN，根据相似三角形对应角相等，对应边成比例得出∠AEF=∠DNF， AF∶DF =EF∶FN ，根据比例的性质进而得出AF∶EF =DF∶FN,再判断出△AFD∽△EFN，根据相似三角形对应角相等得出∠DAF=∠FEN，根据直角三角形两锐角互余，及等量代换由∠DAF+∠DNF=90°，得出∠AEF+∠FEN=90°，即∠AEN=90°，从而判断出△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形；根据等腰直角三角形的边之间的关系AM= AF，AN= AE，从而分别表示出S△AMN与S△AEF，求出它们的比值即可得出答案。