专题十四 几何证明之三角形相似与圆综合 2020年中考数学冲刺难点突破 几何证明问题(解析版)

2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题

专题十四几何证明之三角形相似与圆综合

1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AD延长线于E点．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长．

解：（1）连接OC，

∵OC＝OA，

∴∠OAC＝∠OCA，

又∵AC平分∠BAD，

∴∠CAD＝∠CAO＝∠OCA，

∴OC∥AE，

∵CE⊥AD，

即可得OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴BC＝＝＝6，

∵∠BAC＝∠DAC，

∴＝，

∴BC＝CD＝6，

延长BC交AE的延长线于F，

∵∠BAC＝∠FAC，AC＝AC，∠ACB＝∠ACF＝90°，∴△ACB≌△ACF（ASA），

∴FC＝BC＝6，AF＝AB＝10，

∵∠CDF＝180°﹣∠ADC，∠ABF＝180°﹣∠ADC，∴∠CDF＝∠ABF，

∵∠CFD＝∠AFB，

∴△CFD∽△AFB，

∴＝，

∴＝，

∴AD＝．

2、如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE；

（3）若DE＝4，sin C＝，求AD之长．

（1）证明：连接OD、BD，

∵AB为圆O的直径，

∴∠BDA＝90°，

∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，

∵E为BC的中点，

∴DE＝BC＝BE，

∴∠EBD＝∠EDB，

∵OD＝OB，

∴∠OBD＝∠ODB，

∵∠EBD+∠DBO＝90°，

∴∠EDB+∠ODB＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴DE是圆O的切线．

（2）证明：如图，连接BD．

由（1）知，∠ODE＝∠ADB＝90°，BD⊥AC．

∵E是BC的中点，O是AB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴OE∥AC，

∴OE⊥BD．

∴OE∥AC，

∴∠1＝∠2．

又∵∠1＝∠A，

∴∠A＝∠2．

即在△ADB与△ODE中，∠ADB＝∠ODE，∠A＝∠2，∴△ADB∽△ODE．

∴＝，即＝．

∴r2＝AD•OE；

（3）∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠BDC＝90°，

∵点E为BC的中点，

∴BC＝2DE＝8，

∵sin C＝，

∴设AB＝3x，AC＝5x，

根据勾股定理得：（3x）2+82＝（5x）2，

解得x＝2．

则AC＝10．

由切割线定理可知：82＝（10﹣AD）×10，

解得，AD＝3.6．

4、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D

作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．

（1）求证：DH是⊙O的切线；

（2）若EA＝EF＝2，求⊙O的半径；

解：（1）连接OD，

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠ODB＝∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴DH⊥OD，

∴DH是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，

∵EF＝EA，

∴∠EFA＝∠EAF，

∵OD∥EC，

∴∠FOD＝∠EAF，

则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，

∴DF＝OD＝r，

∴DE＝DF+EF＝r+2，

∴BD＝CD＝DE＝r+2，

在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，

∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，

∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，

∴BF＝BD＝r+2，

∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（2+r）＝r﹣2，

∵∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E，

∴△BFD∽△EFA，

∴，

即＝

解得：r1＝1+，r2＝1﹣（舍），

综上所述，⊙O的半径为1+．

5、如图，△AOB中，A（﹣8，0），B（0，），AC平分∠OAB，交y轴于点C，点P是x轴上一点，

⊙P经过点A、C，与x轴交于点D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，EC的延长线交x轴于点F．（1）求证：EF为⊙P的切线；

（2）求⊙P的半径．

（1）证明：连接CP，

∵AP＝CP，

∴∠PAC＝∠PCA，

∵AC平分∠OAB，

∴∠PAC＝∠EAC，

∴∠PCA＝∠EAC，

∴PC∥AE，

∵CE⊥AB，

∴CP⊥EF，

即EF是⊙P的切线；

（2）∵AC平分∠OAB，

∴∠BAC＝∠OAC，

∵PA＝PC，

∴∠PCA＝∠PAC，

∴∠BAC＝∠ACP，

∴PC∥AB，

∴△OPC∽△OAB，

∴＝，

∵A（﹣8，0），B（0，），∴OA＝8，OB＝，

∴AB＝，

∴＝，

∴PC＝5，

∴⊙P的半径为5．