小学奥数五年级同余问题
小学奥数五年级同余问题教学内容
小学奥数五年级同余问题同余问题【模块一：带余除法的定义和性质】1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
2、(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？3、(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
4、(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【模块二：三大余数定理的应用】5、(2003年南京市少年数学智力冬令营) 20032与22003的和除以7的余数____． 6、(2004年南京市少年数学智力冬令营)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有___组．7、(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________8、(华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351⨯⨯除以17的余数．9、(2008年奥数网杯)已知20082008200820082008a =L 144424443个，问：a 除以13所得的余数是多少？ 【模块三：余数综合应用】10、著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？答案1、本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。
方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。
五年级奥数同余问题
1.两数相除商37余73，求被除数的最小值。
解析：28812.两数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数的和为415，则被除数是多少？解析：被除数是424，除数是79.3.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，求原来的除数。
解析：除数是10.4.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，余数也比原来大了3.求原来的除数。
解析：除数是9.5.求算式3218+26-757除以9的余数。
解析：3.6.求413除以5的余数。
解析：1.7. 2461×135×6047÷11的余数是多少？解析：5.8. 19992000÷7的余数是多少？解析：0.9.……199200除以9的余数是________;解析：3.10. 数11…1(2007个1),被13除余多少?解析：711.已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .解析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17,因此所求的两位数51或68或84.12.有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果？解析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313——2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .因数与倍数：两数的最大公因数乘最小公倍数等于这两数的乘积。
同余问题的奥数题
同余问题的奥数题同余问题是一个数学中的问题，它涉及到整数除以某个数后的余数的性质和关系。
具体来说，给定一个整数n和一个正整数m，同余问题就是研究关于a 的同余方程a ≡b (mod m) 的性质和解的情况。
其中，a是被除数，b是余数，"≡"表示同余关系，即a除以m的余数等于b，而mod表示取模运算。
这个问题可以进一步扩展为求解满足特定条件的整数解的数量或者找到所有满足条件的整数解等。
以下是一些常见的同余问题奥数题：1. 一个数除以5的余数是4，除以6的余数是3，除以7的余数是2，求这个数是多少？解答：我们可以使用中国剩余定理来解决这个问题。
首先，我们设这个数为x，则有x ≡4 (mod 5)，x ≡3 (mod 6) 和x ≡2 (mod 7)。
根据中国剩余定理，我们有：x = 5 * k1 + 6 * k2 + 7 * k3，其中k1、k2、k3是整数。
由于5、6和7互质，所以可以分别求解得到：k1 = (4 - 2) / 5 = 0k2 = (3 - 0) / 6 = 1/2k3 = (2 - 0) / 7 = 2/7将k1、k2和k3代入x的表达式中，得到x = 5 * 0 + 6 * (1/2) + 7 * (2/7) = 19。
所以这个数是19。
2. 求方程x^2 - y^2 = 1999的所有正整数解。
解答：我们可以使用费马小定理来解决这个问题。
根据费马小定理，如果p 是一个素数且a是模p的一个原根，那么a^(p-1) ≡1 (mod p)。
在本题中，我们考虑模p=n，即要求满足x^2 - y^2 = n的正整数解的数量。
根据费马小定理，有：当n是完全平方数时，若n的质因数分解形式为p^2，且存在整数a使得a^((p-1)/2) ≡±1 (mod p)，则n有一个非平凡的正整数解；当n不是完全平方数时，不存在满足条件的正整数解。
对于本题中的n=1999，它是一个完全平方数，因为1999 = 13 * 153。
小学奥数同余定理单选题100道及答案
小学奥数同余定理单选题100道及答案1. 下列算式中，余数相同的是（）A. 24÷5 35÷6B. 39÷5 27÷4C. 48÷7 45÷6答案：B解析：39÷5 = 7......4，27÷4 = 6......3，余数都是4。
2. 一个数除以8 余5，除以9 余6，这个数最小是（）A. 69B. 72C. 77答案：C解析：这个数加上3 就能被8 和9 整除，8 和9 的最小公倍数是72，所以这个数是72 - 3 = 69。
3. 11÷4 = 2......3，如果被除数和除数都扩大10 倍，那么余数是（）A. 3B. 30C. 0.3答案：B解析：被除数和除数都扩大10 倍，商不变，余数扩大10 倍，3×10 = 30。
4. 有一个数，除以5 余数是2，除以7 余数是3，这个数最小是（）A. 22B. 23C. 27答案：B解析：通过列举，可得23 除以5 余数是2，除以7 余数是3。
5. 47 除以一个数，余数是7，这个数最小是（）A. 8B. 9C. 10答案：B解析：除数要大于余数，所以这个数最小是9。
6. 一个数除以6 余4，除以8 余6，这个数最小是（）A. 22B. 20C. 26答案：A解析：这个数加上2 就能被 6 和8 整除，6 和8 的最小公倍数是24，所以这个数是24 - 2 = 22。
7. 35÷（）= 4......3，括号里应填（）A. 8B. 7C. 9答案：A解析：（35 - 3）÷4 = 8。
8. 下列算式中，余数最大的是（）A. 38÷5B. 47÷8C. 59÷9答案：C解析：38÷5 = 7......3，47÷8 = 5......7，59÷9 = 6......5，5 < 7 < 9。
五年级奥数数学【同余问题课件】
所以，61和180同余180-61=119 而，119=17×7 经检验，A=17
本课总结
1、带余除法
⑴ 一般地，A÷B＝c…d ⑵ 变整除：A－d，可以被B，或c整除.
2、余数的三大性质， ⑴ 余数的和、差、积. ⑵ 大数变小数，转化求解. 3、同余问题：
减掉
因为，连续9个数的和，一定可以被9 整除2009÷=□……2 因此，余数为1+2=3 所以，（原数-3）可以被9整， 即1234567891011121314…20082006可 以被9整除的个位数字，判断商的个位 为4。
拓展
用一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是 多少?
同余问题
五年级 第19课
本讲主线
1. 带余除法表达式 2、复习余数定理. 3、同余问题初步.
本讲主线
1、带余除法被除数÷除数＝商…余数 一般地，A÷B＝c…d d=0 整除 D≠0 余数 2. 被除数－余数＝除数×商.
小练习（★ ★ ）
1013除以一个两位数，余数是12. 求所有符合条件的两位数.
13 195 299 390 15 23 30
200÷A=…5 300÷A=…1 400÷A=…10
知识链接
余数的三大性质： ⑴ 和的余数等于余数的和 ⑵ 差的余数等于余数的差 ⑶ 积的余数等于余数的积
小练习
算式2007×2008＋2009×2010除以7的余数是 （ 5 ）
余5×余6+余0×余1，2007÷7=…5
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
014年4月13日(星期日)是小学“希望杯”全国数学邀请赛举行 复赛的日子，那么这天以后的第2014＋4×13天是星期
奥数五六年级知识点总结第五讲 余数与同余
第五讲余数与同余一、问题引入上一讲我们已经学习了如何判断一个数能否被另一个数整除（主要总结除数为20以内整数的情况），这一讲中我们将会在此基础上，继续探讨如果一个数不能被另一个数整除，那么余数是多少，这是本讲将要讨论的第一个问题——余数问题。
我们知道，自然数（0和所有正整数），按能否被2整除可以分为偶数和奇数两类，即能被2整除（除以2余0）的数为偶数，不被2整除（除以2余1）的数为奇数，奇数和偶数各自有其特征，它们之间又有相互联系。
同理，如果我们以除以3的余数为标准，就可以将自然数分成三类，余0、余1、余2；如果我们以除以4的余数为标准，就可以将自然数分成四类，余0、余1、余2、余3；以除以n为标准，就可以将自然数划分为n类。
那么除以n余数相同的一类数有何共同的性质呢？除以n余数不同的数之间又有何联系呢？这是本讲将要讨论的第二个问题——同余问题。
二、知识总结1、首先根据上一讲的整除特征，做简单推导，即可得到下列求余方法。
【注】下列方法大家以理解为主，不必死记。
着重掌握除以3、4、8、9、16的余数求法即可。
①求除以2的余数：奇数余1，偶数余0；②求除以3的余数：等于该数的各位数字之和除以3的余数；③求除以4的余数：等于该数末两位组成的数除以4的余数；④求除以5的余数：等于该数个位数除以5的余数；⑤求除以6的余数：该数的各个数字之和除以3得余数a，若该余数与原数同奇同偶，则原数除以6的余数为a，若该余数与原数一奇一偶，则原数除以6的余数为a+3；⑥求除以7的余数：等于该数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差除以7的余数，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程；⑦求除以8的余数：等于该数的末三位除以8的余数；⑧求除以9的余数：等于该数的各位数字之和除以9的余数；⑨求除以10的余数：等于该数的个位数；⑩求除以11的余数：（a）等于该数的奇数位上的数字之和与偶数的数字之和的差除以11的余数（b）等于该数的末三位与末三位之前的数字组成的数之差除以11的余数，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程；⑪求除以13的余数：等于该数的末三位与末三位之前的数字组成的数之差除以13的余数，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程；⑫求除以16的余数：等于该数的后四位除以16的余数;⑬求除以17的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，所得到的数字除以17的余数，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程；⑭求除以18的余数：该数的各个数字之和除以9得余数a，若该余数与原数同奇同偶，则原数除以18的余数为a，若该余数与原数一奇一偶，则原数除以18的余数为a+3；⑮求除以19的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，所得数字除以19的余数。
余数及同余问题小学五年级奥数
余数及同余问题⼩学五年级奥数余数及同余问题（⼀）1、310被⼀个两位数整除，余数是37，这个两位数是_________。
2、⼀个数除以23余数是2，把被除数扩⼤到4倍，余数是________。
3、某数⽤3除余1，⽤5除余3，⽤7除余5，此数最⼩是________。
4、378×196×251除以17的余数是________。
5、若871和633两个⾃然数都被同⼀个两位数相除，所得的余数都是4，除数是__________。
6、有⼀个整数，⽤它去除70,98,143得到的三个余数之和是29，则这个数是___________。
7、⼀个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是__________。
8、有⼀个等于1的整数，⽤它去除967，1000，2001，得到相同余数，那么这个整数是_______。
9、在1——3000之间同时被3，5，7除都余2的数有_______个。
10、数713,1103,830,947被⼀个数整除，所得余数相同（不为0），求这个除数_________。
11、⼀个数除以7余2，如果把被除数扩⼤9倍，那么余数是⼏？_________12、账本上记着买机器⽤去□□12元，其中千位数字和百位数字模糊不清，但采购员还记得这个数减去7能被7整除，减去8能被8整除，减去9能被9整除，你能算出买这台机器⽤去多少元吗？_________。
（⼆）1、如果某数除492，2241,3195都余15，那么这个数是________。
2、有⼀个数除以3余2，除以4余1，那么这个数除以12余_______。
3、乘积34×37×41×43除以13的余数是____________。
4、666…66（1999个6）除以7所得的余数是____________。
5、有⼀个三位数，其中个位上的数字是百位上的数字的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3，这个三位数是_________。
小学五年级奥数 同余问题(一)
⑴ 一般地，A÷B＝c…d ⑵ 变整除：A－d，可以被B，或c整除. 2. 余数的三大性质， ⑴ 余数的和、差、积. ⑵ 大数变小数，转化求解. 3. 同余问题： ⑴ A、B对C同余，则A、B差值可以被C整除 ⑵ C为差值的约数.(检验)
【今日讲题】例3，例4，例5 【讲题心得】 ___________________________________________________________________ 【家长评价】 ___________________________________________________________________
【小练习】(★☆) 算式2007×2008＋2009×2010除以7的余数是_____.
【例3】(★★☆) 2014年4月13日(星期日)是小学“希望杯”全国数学邀请赛举行复赛的 日子，那么这天以后的第2014＋4×13天是星期_____．
版块二：余数三大性质
知识要点屋 5. 同余问题：
若a，b除以c的余数相同，那么， (a－b)能被c整除 称a，b对于模c同余
【例1】(★★☆) 算式2008÷a＝b…6，a、b均为自然数. a有____种不同的取值.
知识要点屋
3. 整除判断
余数判断
⑴ 尾数系，(2,5)(4,25)(8,125)
⑵ 和系，数字和能否整除，(3,9)
⑶ 差系，末三位与其余位的差，7、11、13
11：奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差值能否被11整除.
用“同余式”表示为a≡b(modc) 例如，23、13除以5的余数都是3
那么，(23－13)可以被5整除.
2
【例4】(★★★) 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三 种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同. 请问学校共 有多少个班？
小学五年级奥数—数论之同余问题
一、带余除法的定义及性质：之马矢奏春创作时间：二O二一年七月二十九日一般地,假如a是整数,b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r,也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：(1)当时：我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不成以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图,这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经由打包后共打包了c捆,那么这个c 就是商,最后还残剩d本,这个d就是余数.这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系.并且可以看出余数必定要比除数小.二、三大余数定理：a与b的和除以c的余数,等于a,b辨别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数.例如：23,16除以5的余数辨别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数.例如：23,19除以5的余数辨别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.a与b的乘积除以c的余数,等于a,b辨别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数.例如：23,16除以5的余数辨别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数.例如：23,19除以5的余数辨别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子暗示为：a≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式.同余式读作：a同余于b,模m.由同余的性质,我们可以得到一个很是重要的推论：若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差必定能被m整除用式子暗示为：假若有a≡b ( mod m ),那么必定有a－b＝mk,k是整数,即m|(a－b)三、弃九法道理：在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时常日是在一个铺有沙子的土板长进行,因为害怕以前的计算成果丧掉落而经常考验加法运算是否精确,他们的考验方法是这样进行的：例如：考验算式1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式必定是错的.上述考验方法正好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即假如这个等式是精确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数必定与等式右边和除以9的余数相同.而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,经常不必去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时刻往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九法”.所以我们总结出弃九发道理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和.往后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可.运用十进制的这个特点,不但可以考验几个数相加,对于考验相乘、相除和乘方的成果对不合错误同样适用留心：弃九法只能知道原题必定是错的或有可能精确,但不克不及包管必定精确.例如：考验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的但是反过来,假如一个算式必定是精确的,那么它的等式2两端必定知足弃九法的规律.这个思惟往往可以帮忙我们解决一些较复杂的算式迷问题.四、中国残剩定理：1.中国现代趣题：中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？”答曰：“二十三.”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”.韩信点兵又称为中国残剩定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士若干,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人…….刘邦茫然而不知其数.我们先推敲下列的问题：假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有若干？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积）,然后再加3,得9948（人）.孙子算经的作者及确实著作年代均不成考,不过按照考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人创造得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国残剩定理.中国残剩定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占据一席很是重要的地位.2.核心思惟和方法：对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握即可一通百通的方法,下面我们就以《孙子算经》中的问题为例,阐发此方法:今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？标题中我们可以知道,一个自然数辨别除以3,5,7后,得到三个余数辨别为2,3,2.那么我们首先机关一个数字,使得这个数字除以3余1,并且照样5和7的公倍数.先由,即5和7的最小公倍数出发,先看35除以3余2,不适合要求,那么就中断看5和7的“下一个”倍数是否可以,很显然70除以3余1类似的,我们再机关一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字,显然21可以适合要求.最后再机关除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字,45适合要求,那么所求的自然数可以这样计算：,个中k是从1开始的自然数.也就是说知足上述关系的数有无穷多,假如按照实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所求的数.例如对上面的问题加上限制前提“知足上面前提最小的自然数”,那么我们可以计算得到所求假如加上限制前提“知足上面前提最小的三位自然数”,我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可,即23+105=128.例题精讲：【模块一：带余除法的定义和性质】【例 1】(第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数去除,得到商是46,余数是,乞降．【解析】因为是的倍还多,得到,得,所以,．【巩固】(清华附中小升初分班测验)甲、乙两数的和是,甲数除以乙数商余,求甲、乙两数．【解析】(法1)因为甲乙,所以甲乙乙乙乙；则乙,甲乙．(法2)将余数先去掉落落变成整除性问题,运用倍数关系来做：从中减掉落落往后,就应该是乙数的倍,所以得到乙数,甲数．【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数.【解析】本题为余数问题的根本题型,需要学生明白一个重要常识点,就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题.方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”,也可以得到一个除数的倍数.本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数,而273=3×7×13,所求的两位数约数还要知足比37大,适合前提的有39,91.【例 1】(年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除,商是,余数是,已知被除数、除数、商与余数之和为,则被除数是若干？【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113,所以被除数除数=2083,因为被除数是除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115,所以被除数=2083-115=1968．【巩固】用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是若干？【解析】本题为带余除法定义式的底子题型.按照题意设两个自然数辨别为x,y,可以得到,解方程组得,即这两个自然数辨别是856,21.【例 2】(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不合的自然数的和为2001,它们辨别除以19,23,31所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是_______,_______,_______.【解析】设所得的商为,除数为．,,由,可求得,．所以,这三个数辨别是,,.【巩固】(2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数,除以11时所得到的商和余数是相等的,除以9时所得到的商是余数的3倍,这个自然数是_________．【解析】设这个自然数除以11余,除以9余,则有,即,只有,,所以这个自然数为.【例 3】(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小同伙,已知第二组比第一组多5人．假如把书全部分给第一组,那么每人4本,有残剩；每人5本,书不敷．假如把书全分给第二组,那么每人3本,有残剩；每人4本,书不敷．问：第二组有若干人?【解析】由,知,一组是10或11人．同理可知,知,二组是13、14或15人,因为二组比一组多5人,所以二组只能是15人,一组10人．【巩固】一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数．【解析】因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数必定大于,并且小于；又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数为．【模块二：三大余数定理的运用】【例 4】有一个大于1的整数,除所得的余数相同,求这个数.【解析】这个题没有奉告我们,这三个数除以这个数的余数辨别是若干,但是因为所得的余数相同,按照同余定理,我们可以得到：这个数必定能整除这三个数中的随便率性两数的差,也就是说它是随便率性两数差的合同数．,,,的约数有,所以这个数可能为.【巩固】有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.【解析】(法1),,,12的约数是,因为余数为3要小于除数,这个数是；(法2)因为所得的余数相同,得到这个数必定能整除这三个数中的随便率性两数的差,也就是说它是随便率性两数差的合同数．,,,所以这个数是．【巩固】在小于1000的自然数中,辨别除以18及33所得余数相同的数有若干个?(余数可以为0)【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,所以每198个数一次．1～198之间只有1,2,3,…,17,198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同,而999÷198=5……9,所以共有5×18+9=99个这样的数．【巩固】(2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数,并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是若干,最小数是若干？【解析】设这个三位数为,它除以17和19的商辨别为和,余数辨别为和,则．按照题意可知,所以,即,得．所所以9的倍数,是8的倍数．此时,由知．因为为三位数,最小为100,最大为999,所以,而,所以,,得到,而是9的倍数,所以最小为9,最大为54．当时,,而,所以,故此时最大为；当时,,因为,所以此时最小为．所以这样的三位数中最大的是930,最小的是154．【例 5】两位自然数与除以7都余1,并且,求．【解析】能被7整除,即能被7整除．所以只能有,那么可能为92和81,验算可得当时,知足标题要求,【巩固】黉舍新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,假如将这三种物品等分给每个班级,那么这三种物品剩下的数目相同．请问黉舍共有若干个班？【解析】所求班级数是除以余数相同的数．那么可知该数应该为和的合同数,所求答案为17．【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．【解析】因为, ,因为13511,13903,14589要被同一个数除时,余数相同,那么,它们两两之差必能被同一个数整除．,所以所求的最大整数是98．【例 6】(2003年南京市少年数学智力冬令营试题)与的和除以7的余数是________．【解析】找规律．用7除2,,,,,,…的余数辨别是2,4,1,2,4,1,2,4,1,…,2的个数是3的倍数时,用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时,用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时,用7除的余数为4．因为,所以除以7余4．又两个数的积除以7的余数,与两个数辨别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1,所以除以7余1．故与的和除以7的余数是．【巩固】(2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995,1998,2000,2001,2003中,若个中几个数的和被9除余7,则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【解析】1995,1998,2000,2001,2003除以9的余数依次是6,0,2,3,5．因为,,所以这样的数组共有下面4个：, ,,．【例 7】(2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数,用它去除70,110,160所得到的3个余数之和是50,那么这个整数是______．【解析】,,除数应该是290的大于17小于70的约数,只可能是29和58,,,所以除数不是58．,,,,所以除数是【巩固】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为25,那么n=________【解析】n能整除．因为,所以n是258大于8的约数．显然,n不能大于63．适合前提的只有43．【巩固】号码辨别为101,126,173,193的4个运策动进行乒乓球竞赛,规定每两人竞赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运策动打了若干盘?【解析】本题可以表现出加法余数定理的巧用.计算101,126,173,193除以3的余数辨别为2,0,2,1.那么随便率性两名运策动的竞赛盘数只需要用2,0,2,1两两相加除以3即可.显然126运策动打5盘是最多的.【例 8】(2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生辨别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱,一路到新华书店采办《成语大词典》．一看定价才创造有5集团带的钱不敷,但是个中甲、乙、丙3人的钱凑在一路正好可买2本,丁、戊2人的钱凑在一路正好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【解析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱正好能买3本,所以他们五人带的钱数是3的倍数,另一人带的钱除以3余1．易知,这个钱数只能是37元,所以每本《成语大词典》的定价是(元) ．【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)市廛里有六箱货品,辨别重15,16,18,19,20,31千克,两个顾客买走了个中的五箱．已知一个顾客买的货品重量是另一个顾客的2倍,那么市廛剩下的一箱货品重量是________千克．【解析】两个顾客买的货品重量是的倍数．,剩下的一箱货品重量除以3应该余2,只能是20千克．【例 9】求的余数．【解析】因为,,,按照同余定理(三),的余数等于的余数,而,,所以的余数为5．【巩固】(华罗庚金杯赛模拟试题)求除以17的余数．【解析】先求出乘积再求余数,计算量较大．可先辨别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数．除以17的余数辨别为2,7和11,．【巩固】求的最后两位数．【解析】即推敲除以100的余数．因为,因为除以25余2,所以除以25余8,除以25余24,那么除以25余1；又因为除以4余1,则除以4余1；即能被4 和25整除,而4与25互质,所以能被100整除,即除以100余1,因为,所以除以100的余数即等于除以100的余数,而除以100余29,除以100余43,,所以除以100的余数等于除以100的余数,而除以100余63,所以除以100余63,即的最后两位数为63．【巩固】除以13所得余数是_____.【解析】我们创造222222整除13,2000÷6余2,所以答案为22÷13余9.【巩固】求除以7的余数．【解析】法一：因为 (143被7除余3),所以 (被7除所得余数与被7除所得余数相等)而,（729除以7的余数为1）,所以．故除以7的余数为5.法二：计算被7除所得的余数可以用找规律的方法,规律如下表：于是余数以6为周期变更．所以．【巩固】（2007年实验中学考题）除以7的余数是若干？【解析】因为,而1001是7的倍数,所以这个乘积也是7的倍数,故除以7的余数是0；【巩固】被除所得的余数是若干？【解析】31被13除所得的余数为5,当n取1,2,3,时被13除所得余数辨别是5,12,8,1,5,12,8,1以4为周期轮回消掉,所以被13除的余数与被13除的余数相同,余12,则除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4,当n取1,2,3,时,被13除所得的余数辨别是4,3,12,9,10,1,4,3,12,9,10,以6为周期轮回消掉,所以被13除所得的余数等于被13除所得的余数,即4,故除以13的余数为4；所以被13除所得的余数是．【巩固】(2008年奥数网杯)已知,问：除以13所得的余数是若干？【解析】2008除以13余6,10000除以13余3,留心到；；；按照这样的递推规律求出余数的变更规律：20082008除以13余,200820082008除以13余,即200820082008是13的倍数．而除以3余1,所以除以13的余数与除以13的余数相同,为6.【巩固】除以41的余数是若干？【解析】找规律：,,,,,……,所以77777是41的倍数,而,所以可以分红399段77777和1个7组成,那么它除以41的余数为7．【巩固】除以10所得的余数为若干？【解析】求成果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一轮回的,而对一个数的幂方的个位数,我们知道它老是4个一轮回的,是以把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组,则不合组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算的个位数字,为的个位数字,为4,因为2005个加数共可分红100组另5个数,100组的个位数字和是的个位数即0,别的5个数为、、、、,它们和的个位数字是的个位数 3,所以原式的个位数字是3,即除以10的余数是3．【例 10】 求所有的质数P,使得与也是质数．【解析】 假如,则,都是质数,所以5适合题意．假如P 不等于5,那么P 除以5的余数为1、2、3或者4,除以5的余数即等于、、或者除以5的余数,即1、4、9或者16除以5的余数,只有1和4两种情况．假如除以5的余数为1,那么除以5的余数等于除以5的余数,为0,即此时被5整除,而大于5,所以此时不是质数；假如除以5的余数为4,同理可知不是质数,所以P 不等于5,与至少有一个不是质数,所以只有知足前提．【巩固】 在图表的第二行中,正好填上这十个数,使得每一竖列凹凸两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数,等于两个数辨别除以11的余数之积．是以原题中的可以改换为,这样凹凸两数的乘积除以11余3就随便马虎计算了．我们得到下面的成果：因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98因数因数 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98因数37195621048进而得到本题的答案是：89909192939495969798因数91958997939490989296因数【巩固】(2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式(个中), 在校正时,创造右边的积的数字次序消掉错误,但是知道最后一位6是精确的,问原式中的是若干？【解析】因为,, 于是,从而(用代入上式考验)…(1),对进行谈论：假如,那么…(2),又的个位数字是6,所以的个位数字为4,可能为、、、,个中只有适合(2),经考验只有适合题意．假如,那么…(3),又的个位数字为2或7,则可能为、、、、,个中只有适合(3),经考验,不合题意．假如,那么…(4),则可能为、,个中没有适合(4)的．假如,那么,,,是以这时不成能适合题意．综上所述,是本题独一的解．【例 11】一个大于1的数去除290,235,200时,得余数辨别为,,,则这个自然数是若干？【解析】按照题意可知,这个自然数去除290,233,195时,得到相同的余数（都为）．既然余数相同,我们可以运用余数定理,可知个中随便率性两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是的约数,又是的约数,是以就是57和38的合同数,因为57和38的合同数只有19和1,而这个数大于1,所以这个自然数是19．【巩固】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数,则这个自然数是若干？【解析】这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除后所得的余数,所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同,是以这个自然数是的约数,又大于10,这个自然数只能是17或者是34．假如这个数是34,那么它去除90、164、220后所得的余数辨别是22、28、16,不适合标题前提；假如这个数是17,那么他去除90、164、220后所得的余数辨别是5、11、16,适合标题前提,所以这个自然数是17．【例 12】甲、乙、丙三数辨别为603,939,393．某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍,除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求等于若干？【解析】按照题意,这三个数除以都有余数,则可以用带余除法的形式将它们暗示出来：因为,,要消去余数,,,我们只能先把余数处理成相同的,再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2,使得被除数和余数都扩大2倍,同理,第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数,意味着能被整除．,,．51的约数有1、3、17、51,个中1、3显然不知足,考验17和51可知17知足,所以等于17．【巩固】一个自然数除429、791、500所得的余数辨别是、、,求这个自然数和的值.【解析】将这些数转化成被该自然数除后余数为的数：,、,这样这些数被这个自然数除所得的余数都是,故同余.将这三个数相减,得到、,所求的自然数必定是和的合同数,而,所以这个自然数是的约数,显然1是不适合前提的,那么只能是19.经由验证,当这个自然数是时,除、、所得的余数辨别为、、,时成立,所以这个自然数是,.【模块三：余数分化运用】【例 13】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为若干？【解析】斐波那契数列的组成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和,由此可以按照余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项中断两个是1,与第一项和第二项的值相同且地位中断,所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期轮回消掉,因为2008除以8的余数为0,所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数,为0.【巩固】（2009年走美初赛六年级）有一串数：1,1,2,3,5,8,……,从第三个数起,每个数都是前两个数之和,在这串数的前2009个数中,有几个是5的倍数？【解析】因为两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．所以这串数除以5的余数辨别为：1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2,3,0,……可以创造这串余数中,每20个数为一个轮回,且一个轮回中,每5个数中第五个数是5的倍数．因为,所以前2009个数中,有401个是5的倍数．【例 14】(圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数,并且求出了它辨别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．【解析】除以3、6和9的余数辨别不超出2,5,8,所以这三个余数的和永远不超出,既然它们的和等于15,所以这三个余数辨别就是2,5,8．所以该数加1后能被3,6,9整除,而,设该数为,则,即（为非零自然数）,所以它除以18的余数只能为17．【巩固】(2005年喷鼻香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭,有父、母、兄、妹四人,他们随便率性三人的岁数之和都是3的整数倍,每人的岁数都是一个质数,四人岁数之和是100,父亲岁数最大,问：母亲是若干岁?【解析】从随便率性三人岁数之和是3的倍数,100除以3余1,就知四个岁数都是型的数,又是质数．只有7,13,19,31,37,43,就随便马虎看出：父43岁,母37岁,兄13岁,妹7岁．【例 15】(华杯赛试题)如图,在一个圆圈上有几十个孔(不到100个),小明像玩跳棋那样,从孔出发沿着逆时针标的目标,每隔几孔跳一步,欲望一圈往后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步,成果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步,也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步,正好跳回到A孔,你知道这个圆圈上共有若干个孔吗?【解析】设想圆圈上的孔已按下面方法编了号：A孔编号为1,然后沿逆时针标的目标按序编号为2,3,4,…,B孔的编号就是圆圈上的孔数．我们先看每隔2孔跳一步时,小明跳在哪些孔上?很随便马虎看出应在1,4,7,10,…上,也就是说,小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1．按题意,小明最后跳到B孔,是以总孔数是3的倍数加1．同样道理,每隔4孔跳一步最后跳到B孔,就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔,就意味着总孔数是7的倍数．假如将孔数减1,那么得数既是3的倍数也是5的倍数,因而是15的倍数．这个15的倍数加上1 就等于孔数,设孔数为,则（为非零自然数）并且能被7整除．留心15被7除余1,所以被7除余6,15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出,15的其他(小于的7)倍数加1都不克不及被7整除,罢了经大于100．7以上的倍数都不必推敲,是以,总孔数只能是．【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克试题)将依次写到第1997个数字,组成一个1997位数,那么此数除以。
高斯小学奥数五年级上册含答案_物不知数与同余
第二十二讲物不知数与同余- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -故事中的余数问题就是我们今天要研究的“物不知数”问题，也称为中国古余数问题．简单来说，这类问题就是先知道了除数和余数，反求被除数的问题．通常在不同的题目中，余数限制条件的数量也是不同的，但都是从一个条件入手，逐个条件的去满足．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1．（1）一个数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？第二小是多少？（2）一个数除以11余7，除以10余6．这个数最小是多少？第二小是多少？「分析」（1）这个数除以21和20都余17，那么减去17以后得到的差跟21和20有什么关系呢：（2）除以11和10的余数不一样，所以不能同时减去一个数了．反方向考虑一下？练习1．（1）一个自然数除以4余3，除以5也余3，这个自然数最小是多少？（2）一个自然数除以5余1，除以7余3，这个自然数最小是多少？例题2．（1）一个三位数除以8余3，除以12也余3．这个三位数最小是多少？（2）一个三位数除以6余1，除以10余5．这个三位数最小是多少？「分析」看起来和例题1没有太多区别．不过要小心哦，8和12的最小公倍数是81296⨯=吗？练习2．一个三位数除以4余3，除以6也余3．这个三位数最大是多少？例题3．（1）一个数除以7余2，除以11余1．这个数最小是多少？（2）有一队解放军战士，人数在150人到200人之间，从第一个开始依次按1，2，3，，9的顺序报数，最后一名战士报的数是3；如果按1，2，3，，7的顺序报数，最后一名战士报的数是4．请问：一共有多少名战士？「分析」所求自然数要满足两个余数条件，直接处理并不容易，但我们可以先让它满足其中一个余数条件，在此前提下满足另一个余数条件．一个三位数除以5余2，除以7余3．这个三位数最小是多少？如果两个数除以同一个数，所得的余数相同，我们称这两个数同余．例如195除以9余6，15除以9也余6，我们就说“195和15除以9同余”．我们之前总结的余数性质以及余数的可替代性都是在同余的前提下进行的，例如195与它的数字和除以9是同余的，1135与它的末两位数字除以4是同余的．而处理余数问题的方法，除了用余数性质、余数可替代性以及分解求余几种方法以外，我们还有一个极其有用的手段：转化成整除问题！195与15除以9的时候同余，19515180-=则是9的倍数；1135与35除以4的时候同余，则1135351100-=是4的倍数．也就是说：- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．（1）1024除以一个两位数，余数为23，那么这个两位数可能是多少？（2）100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？被除数除数商余数，被除数是1024，余数是23，说明除数和商要满「分析」（1）由÷=足什么条件？（2）利用同余的定义就可以解决这个问题．练习4．（1）用150除以一个整数，所得余数是15，请问：这个除数可能是多少？（2）80和56除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？例题5．刘叔叔养了400多只兔子．如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？「分析」兔子数量要满足哪些余数条件？把63个苹果，90个桔子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？「分析」这些同学一共分了多少个水果？人数和分掉的水果数有什么关系？未来的数学家——节选自《怎样解题》乔治·波利亚未来的数学家应该是一个聪明的解题者，但仅仅做一个聪明的解题者是不够的．在适当的时候，他应该去解答重大的数学题目，而首先他应该搞清楚他的天资特别适合于哪种类型的题目．对他来说，工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答．通过考察他的工作过程和最后的解答形式，他会发现要认识的东西真是千变万化，层出不穷．他可以深思题目的困难之处及决定性的观念，他可以尝试去了解是什么阻碍了他，又是什么最后帮助了他．他可以注意寻找简单直观的念头：你能一眼就看出它来吗？他可以比较和发展各种方法：你能以不同的方式推导这个结果吗？他可以尝试通过将当前的题目和以前的解过的题目作比较以使当前的题目更加清晰．他可以尝试创造一些新题目，而这些新题目可以根据他刚刚完成的工作解答出来：你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？如果他对解答过的题目尽可能地完全消化吸收，他就可以获得井然有序的知识，以备今后随时调用．和其他所有人一样，未来的数学家通过模仿和练习来学习．他应该注意寻找正确的模范；他应该觉察到一个能激励人心的教师；他应该和一位能干的朋友竞赛．然后，可能最重要的是，他不仅应该阅读通用的教材，还应阅读优秀作者的作品，直到他找到一个作者，其方式是他天生倾向于模仿的．他应该欣赏和寻求在他看来简单的或有启发性的或美的东西．他应该解题，选择适合他思路的那些题目，思考它们的解答，并创造新的题目．他应该通过这些方法及所有其他方法来努力做出他的第一个重大发现：他应该发现自己的好恶、趣味以及自己的思路．陶哲轩（1975-）澳籍华裔数学家，“菲尔兹”奖获得者．13岁成为国际奥林匹克数学金牌得主．20岁获得普林斯顿大学博士学位．24岁成为加利福尼亚大学洛杉矶分校有史以来最年轻的正教授．2006年，31岁时获得数学界的诺贝尔奖“菲尔兹”奖．目前已发表超过230篇学术论文．作业1.在小于50的数中，与67除以11同余的数有哪些？作业2.一个自然数除以7余3，除以27余5，这个自然数最小是多少？作业3.2025除以一个两位数，余数是75，这个两位数是多少？作业4.1986和2011这两个数除以同一个两位数，得到相同的余数，这个两位数是多少？作业5.韩信点兵：有兵四五百，五五数之余三，七七数之余四，九九数之余五．那么这队兵有多少人？第二十二讲物不知数与同余例题1.答案：（1）17；437．（2）106；216详解：（1）这是一道余同的问题．这个数最小是17，第二小是[21,20]17437+=．（2）这是一道缺同的问题．这个自然数加上4即可被11和10整除，[11,10]110=，因此这个数最小为1104106⨯-=．-=．第二小的是11024216例题2.答案：（1）123．（2）115详解：（1）这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为[8,12]3⨯+，其中n为自然n数．要求满足条件的最小三位数，应令n为5，即[8,12]53123⨯+=．（2）这是一道缺同的问题．满足条件的数可表示为[6,10]5⨯-，其中n为自然数．要求满足条件的最n小三位数，应令n为4，即[6,10]45115⨯-=．例题3.答案：（1）23；（2）165详解：（1）采用逐步满足条件法．满足第二个条件的数为1，12，23，……发现23同时满足第一个条件，因此这个数最小是23；（2）战士的人数除以9余3，除以7余4，满足这两个条件最小的数是39，不断加63，直到满足限制条件，最后得到165．例题4.答案：（1）77、91；（2）16、8详解：（1）1024231001-=，可知除数是1001的约数．其中大于23的有77和91；（2）-=，可知除数是16的约数，可能是1、2、4、8和16．但因为余数不为0，1008416只能是16和8．例题5.答案：467详解：兔子数除以3余2，除以5余2，除以7余5．所有满足前两个条件的数为2[3,5]n+⨯，其中n为自然数，即2，17，32，47，……其中47同时满足第三个条件．所有满足条件的数为47[3,5,7]n+⨯，其中n为自然数．n取4时满足条件，为467．例题6.答案：20详解：从整体的角度出发考虑问题，水果总数减去没有分出去的水果数，得到的数应为学生数的倍数．639013025258++-=，258的约数有1、2、3、6、43、86、129、258，其中43满足条件．苹果剩下20个，桔子剩下4个，梨剩下1个，因此剩下个数最多的水果剩下20个．练习1.答案：（1）3．（2）31简答：（1）这个自然数减去3以后是4和5的公倍数，所以最小是3；（2）这个自然数加上4以后是5和7的公倍数，所以最小是31．练习2.答案：999这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为[4,6]3⨯+，其中n为自然数．要求满n足条件的最大三位数，应令n为83，即[4,6]833999⨯+=．练习3.答案：122简答：使用逐步满足条件法，满足第一个条件的数依次为2、7、12、17，17正好除以7余3，那么同时满足两个条件的数最小是17．然后依次为52、87、122．最小是三位数是122．练习4.（1）27、45、135；（2）24、12、6、3简答：（1）15015135-=，除数是135的约数．其中大于15的有135、45和27；（2）-=，除数是24的约数，可能是1、2、3、4、6、8、12和24．但要满足余数805624不为0，除数只能是3、6、12和24．作业1.答案：1，12，23，34，45简答：除以11的余数都是1．作业2.答案：59简答：除以27余5的数有5、32、59、…，其中除以7余3的第一个数是59．作业3.答案：78简答：这个两位数是2025751950-=的约数，其中比75大的只有78．作业4.答案：25简答：这个两位数是2011198625-=的约数，只能是25．作业5.答案：473简答：先列出除以9余5的数，从中找除以7余4的数，再从剩下的数中找除以5余3的数．。
小学奥数 同余问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小学奥数 同余问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小学五年级奥数 同余问题(二)_PDF压缩
【例5】(★★★★) 一个四位数是这个数的数字和的83倍，求这个四位数
【例6】(★★★☆) 在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为 多少？
知识大总结 1. 余数的三大性质
⑴ 余数的和、差、积. ⑵ 大数转小数，数列找规律. 2. 同余问题： ⑴ 整除判断法则，余数问题。 ⑵ 弃九法，原数、数字和同余。
同余 (二)
本讲主线 1. 余数的三大性质. 2. 同余问题中的弃九法.
知识要点屋 1. 余数的三大性质：
⑴ 和的余数等于余数的和 ⑵ 差的余数等于余数的差 ⑶ 积的余数等于余数的积
版块一：余数的三大性质 【课前小练习】(★)
算式：72×98－64×23除以7的余数是_____
【例1】(★★) ⑴ 220除以7的余数是多少？ ⑵ 1414除以1九法
知识要点屋 1. 同余问题：
若a，b除以c的余数相同，那么， (a－b)能被c整除 称a，b对于模c同余
用“同余式”表示为a≡b(modc) 例如，23、13除以5的余数都是3
那么，(23－13)可以被5整除.
【例4】(★★★☆) 从0~9这十个数字中，选出九个数字，组成一个两位数、一个三位数和 一个四位数，使这三个数的和等于2010，那么其中未被选中的数字是 ______.
【拓展】(★★☆) 算式1×4×7×10×……×2011的计算结果除以9的余数是多少？
小学五年级奥数余数同余练习题
小学五年级奥数余数同余练习题1、一个两位数去除251，得到的余数是41、求这个两位数2、用一个自然数去除另一个整数，商是40，余数是16。
被除数,除数，商与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？3、某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？4、3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），得1993天是星期几5、一个数除以三余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数6、一个数除以5余三，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小自然数7、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合此条件的最小自然数8、一个布袋中装有小球若干个，如果每次取出3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个。
布袋中至少有小球多少个？9、69、90和125倍某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。
10、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是11被除数、除数、余数这四个数的和是463，求除数12、某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，求这个数最小是多少？13、某数除以除以8余3，除以9余4，除以12余7，在1000以内这样的数有哪几个？14、用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋。
这批贷至少有多少袋15、57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零。
求284被这个自然数除的余数16、判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？17、求乘积418×814×1616除以13所的得余数。
18、求14389除以7的余数19、四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且没0秒钟的定的颜色改变一次，每一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，，每三次又上下两灯互换颜色…、,这样一直进行下去。
请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？ 20、用弃九法检验下边的计算是否正确：23372458÷7312=354421、求自然数2100+3101+4102的个位数字22、1993年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？23、求33335555+55553333被7除的余数。
小学奥数教程：同余问题_全国通用(含答案)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711-（）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 (法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12例题精讲知识点拨教学目标5-5-3.同余问题【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
小学五年级奥数课件 同余问题
1. 带余除法表达式 2、复习余数定理. 3、同余问题初步.
本讲主线
1、带余除法被除数÷除数＝商…余数 一般地,A÷B＝c…d d=0 整除 D≠0 余数 2. 被除数－余数＝除数×商.
小练习（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ★ ）
1013除以一个两位数,余数是12. 求所有符合条件的两位数.
减余数,变整除, 1013-12=1001 1001=7×11×13 那么所有的两位数有11,13,77,91 因为“余数小于除数”, 所有,只有13,77,91符合
余5×余6+余0×余1,2007÷7=…5
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
014年4月13日(星期日)是小学“希望杯”全国数学邀请赛举行 复赛的日子,那么这天以后的第2014＋4×13天是星期
．
2014÷7,余数5 4÷7,余数是4 13÷7余数是6 根据余数定理, 5+4×6,除以7的余数是1 所以,之后的第2014+4×13天是一周。
知识链接
同余问题：
若a,b除以c的余数相同, 那么, (a－b)能被c整除 称a,b对于模c同余用 “同余式”表示为a≡b(modc)
例如,23、13除以5的余数都是3 那么,(23－13)可以被5整除.
例题【四】（★ ★ ★ ）
学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将 这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同. 请问学校共有多少个班？
拓展
用一个数除200余5,除300余1,除400余10,这个数是多 少?
13 195 299 390 15 23 30
200÷A=…5 300÷A=…1 400÷A=…10
知识链接
余数的三大性质： ⑴ 和的余数等于余数的和 ⑵ 差的余数等于余数的差 ⑶ 积的余数等于余数的积
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
同余问题
【模块一：带余除法的定义和性质】
1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
2、(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？
3、(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
4、(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?
【模块二：三大余数定理的应用】
5、(2003年南京市少年数学智力冬令营) 20032与22003的和除以7的余数____．
6、(2004年南京市少年数学智力冬令营)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有___组．
7、(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________
8、(华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351⨯⨯除以17的余数．
9、(2008年奥数网杯)已知2008200820082008
2008a =个，问：a 除以13所得的余数是多少？
【模块三：余数综合应用】
10、著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？
答案
1、本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。
方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。
本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.
2、被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．
3、设所得的商为a ，除数为b ．(19)(23)(31)2001a b a b a b +++++=，7332001a b +=，由19b <，可求得27a =，10b =．所以，这三个数分别是19523a b +=，23631a b +=，31847a b +=。
4、由48412÷=，4859.6÷=知，一组是10或11人．同理可知48316÷=，48412÷=知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．
5、找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222⨯+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．
6、1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为252507+=++=，25360253679+++=++++=+，所以这样的数组共有下面4个：()2003,2000，()2003,2000,1998 ，()1995,2001,2003,2000 ，()1995,2001,2003,2000,1998．
7、n 能整除258251299163=-++．因为258=2×3×43，所以这个数可能是2，3,43,6,86,129．显然，n 不能大于63且要大于25．符合条件的只有43．
8、先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，(2711)179......1⨯⨯÷=．
9、2008除以13余6，10000除以13余3，注意到200820082008100002008=⨯+；
+++=++
20082008200820082008100002008=⨯+；
2008200820082008200820082008100002008=⨯+；
根据这样的递推规律求出余数的变化规律：
20082008除以13余6361311⨯+-=，200820082008除以13余1136390⨯+-=，即200820082008是13的倍数．而2008除以3余1，所以2008200820082008
2008a =个除以13的余数与2008除以13的余数相同，为6.
10、斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：
1、1、
2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……
第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0.。