高等量子力学 第三章

在转动下，
按照D(j)变换，自己内部彼此之间变换。
凡按照转动群的不可约表示D(j)变换的各态，用一个共同的 量子数 j 来标志，而彼此则可用量子数 m 相区别，它们组 成一个多重态。量子态可以按照它们在旋转下的变换性质 （或转动群的不可约表示）进行分类。 与此相应，体系的力学量算符也可以按照它们在旋转下的变 换性质进行分类。
有时在直积空间中写 A+L，指
A ⊗ 1(2) + 1(1) ⊗ L
举例说明进入表象后，矢量和算符的矩阵表示。
α1 α2 | α 〉⊕ | ψ 〉 = ψ 1 ψ 2 ψ 3
A⊕ L = ( α1ψ 3 | α 〉⊗ | ψ 〉 = α 2ψ 1 α ψ 2 2 α ψ 2 3
谐振子的相干态是 中心以频率ω振动的高斯型波包 更接近于经典谐振子
例如， 例如， 个分量， 空间转动下， x 有3个分量，表示为 xi , i=1,2,3. 空间转动下，其变换规律为 一阶张量，也叫矢量，例如动量， x = ∑ A x 一阶张量，也叫矢量，例如动量，角动量
i' i 'i i i
1 2
α i i 有9个分量，i =1,2,3, i =1,2,3. 空间转动下， 个分量， 空间转动下， α =∑A A α 二阶张量， 二阶张量，例如电极化率
a |α〉 = α |α〉
• 相干态是最接近经典的量子态 是最小测不准波包 • 相干态可以作为展开任意量子态的基
作为非厄米算符本征态的相干态
厄米算符本征态的性质 本征值 En , f 为实数 归一化 正交性 归一化 渐近正交性 湮灭算符本征态的性质 本征值α 本征值α为复数
〈 n | n〉 = 1 〈 n | m〉 = 0, En ≠ Em
〈 f | f '〉 = 0, f ≠ f '
〈α | α 〉 = 1
2 −|α − β |2
| 〈α | β 〉 | = e
当
1维积分
| α − β |→ ∞,| 〈 β | α 〉 |2 → 0
2维积分
完备性
∑ | n〉〈n |= 1
∫ | f 〉〈 f | df = 1
n
超完备性
作为展开任意态矢的基
能否展开任意态矢？
| a〉 = ∫ | f 〉〈 f | a〉 df = ∫ a f | f 〉 df
a f = 〈 f | a〉
| a〉 =
1
π
| α 〉〈α | a〉 d 2α ∫
和 | a〉 一一对应
展开式不唯一， 〈α | a〉 和 | a〉 不一一对应
如何让展开式唯一？ 办法：加进一个指数衰减因子。
D函数 —— 函数
转动算符的矩阵表示。
[ J ,Uϕ ] = 0
2
J 2Uϕ | j , α 〉 = Uϕ J 2 | j , α 〉 = j ( j + 1) ℏ 2Uϕ | j , α 〉
∈ 本征值 j 对应
的简并子空间
体系处于态
转动
用群表示 群表示的语言来讲，对应于每一个转动U，有一个2j+1 群表示 维的矩阵D(j)，称矩阵D(j)构成了转动群的2j+1维不可约表示。 （表示的不可约性是通过矩阵的不可约性来定义的。）
矢量算符的变换为
U † AkU = ∑ Rki Ai
i
k=1,2,3
一阶张量算符的变换为 λ=1，有 3λ = 3 个分量 二阶张量算符的变换为 λ=2，有 3λ= 9个分量 不可约的算符只有 2λ+1=5 个。
角动量的耦合
补充：线性空间的直积与直和
1. 直和空间： 直和空间：
| 设线性空间R1中的矢量是 | α 〉 ，β 〉 … ，算符是A, B, … ； | 设线性空间R2中的矢量是 | ψ 〉 ，ϕ 〉 … ，算符是L, M, … 。 | α 〉⊕ 构造“双矢量”（不计次序） | ψ 〉 ，这类双矢量及其 叠加可以构成一个新的线性空间 新的线性空间，维数为n1+n2。 新的线性空间
F| f〉= f | f〉
H | n〉 = En | n〉
统计物理中应用的态
• 统计系综
用密度矩阵描述
ρ = ∑ e− E
n
n
/ kBT
| n〉〈 n |
希尔伯特空 间中的投影 算符
正则系综，玻尔兹曼分布 是系统处于 En 态的几率
不再是希尔伯特空间中的对象。 ρ不再是希尔伯特空间中的对象。 希尔伯特空间是线性空间， 希尔伯特空间是线性空间，其中的矢量可以线性叠加
x和p的最小测不准态是波包，它是最接近于经典的量子态。 和 的最小测不准态是波包 它是最接近于经典的量子态。 的最小测不准态是波包，
相干态
我们熟悉的态
• 状态 a
希尔伯特空间中的矢量
| a〉
• 状态 a ,b 的线性叠加
α | a 〉 + β | b〉
也是希尔伯特空间中的矢量
• 厄米算符 (F，H) 的本征态 (|f>, |n>) ，
12
i1 ' i2 ' i1 ' i1 i2 ' i2 i1i2 i1i2
对于微观系统，所有张量的分量都成为算符 张量的分量都成为算符， 张量本身则 对于微观系统，所有张量的分量都成为算符，而张量本身则 成为张量算符 张量算符。 成为张量算符。张量算符在空间转动下变换的规律与张量的 规律不同， 规律不同，
矢量的加法运算 | α 〉⊕ | ψ 〉+ | β 〉⊕ | ϕ 〉 = (| α 〉+ | β 〉 ) ⊕ (| ψ 〉+ | ϕ 〉 ) 矢量的内积
(〈α | ⊕〈ψ |)(| β 〉⊕ | ϕ 〉 ) = 〈α | β 〉 + 〈ψ | ϕ 〉
算符对矢量的作用
( A ⊕ L)(| α 〉⊕ | ψ 〉 ) = A | α 〉 ⊕ L | ψ 〉
第三章 和 第五章
第三章 角动量
角动量的定义是什么？ —— 转动变换的生成元 角动量的定义是什么？ 的定义是什么 原子转动 --- 在几何空间中， 在几何空间中， 在希尔伯特空间中。 描述原子状态的态矢发生相应的改变 --- 在希尔伯特空间中。
Rδ
=
Uδ|a> = |a>δ Uδ = e-i/hFδ
最小测不准 --- 最接近经典
最小测不准条件：
=
由此得到最小测不准态的方程
其解为
振幅为高斯形的波包
• 波包是由不同单色平面波叠加而成的态
单色平面波是动量的本征态， 是弥散在全空间的波，全空间所有地方几率相等。 局限在有限空间体积中的波包 将不同动量的态相干叠加，得到波包。
波包是波和粒子之间的桥梁
• 密度矩阵的叠加 ρc = A | a〉〈 a | + B | b〉〈b |
不是希尔伯特 空间中的对象 希尔伯特空间中的并矢
量子干涉
希尔伯特空间是线性空间， 希尔伯特空间是线性空间，只允许矢量线性叠加
无量子干涉
几率 P = trρ = Atrρ + Btrρ = AP + BP c c a b a b
独立表象 { j1 , j2 , j1z , j2 z }
2
2
耦合表象 {J 2 , J z , j12 , j22 }
表象变换
第五章 测不准关系、相干态
海森堡不等式
测不准原理
在旧量子论中是原理
测不准关系
在量子力学中是定理
定理的出发点是对易关系
是微观粒子波动性的体现， 不同状态中有不同的△x ,△p，其乘积均≥h/2 取等号时波动性最弱，最接近粒子性。
| a〉 = ∑ an | n〉
n
密度矩阵不是线性叠加得来的。 密度矩阵不是线性叠加得来的。
态的两种叠加
• 量子态的叠加 几率
| c〉 = α | a〉 + β | b〉
是希尔伯特空间中的矢量
Pc = 〈c | c〉 =| α |2 〈 a | a〉+ | β |2 〈b | b〉
+α * β 〈 a | b〉 + β *α 〈b | a〉
A⊗ L = (
)
遍乘 遍乘
角动量的耦合
是直积空间中的算符 直积空间的维数：(2j1+1)(2j2+2) 根据算符的对易情况，可以选两组表象基。 这两种表象张开的是同一空间， 这两种表象张开的是同一空间，它们之间可以通过幺正变换 联系， 系数是这个幺正变换的矩阵元 系数是这个幺正变换的矩阵元。 联系，CG系数是这个幺正变换的矩阵元。
用 代替
和
一一对应。
是一个全纯函数。 它和态矢 一一对应， 构成量子态的全纯表象 全纯表象。 全纯表象
不唯一的展开 有唯一性的展开
展开点 均匀分 布在全 复平面
展开点 集中分 布在复 平面中 心附近
相干态的物理性质
相干态更接近于经典 相干态是最小测不准态
算符
最小测不准态方程
aψ ∝
∝a
相干态的波包函数是
密度矩阵的叠加是量子态的 密度矩阵的叠加是量子态的经典叠加 量子态 是混合态
相干态
• 相干态是纯量子态
定态的非相干叠加 反过来，不同定态的相干叠加不一定是相干态 • 相干态是不同定态的相干叠加 ρ = ∑ e − E
n
/ k BT
| n >< n |
| α 〉 = ∑ cn | n〉
n
n
• 相干态是非厄米算符 (湮灭算符a ) 的本征态 (湮灭算符
(算符只对自己空间的矢量有作用，对别的空间的矢量没有作用。) 算符的加法
( A ⊕ L) + ( B ⊕ M ) = ( A + B ) ⊕ ( L + M )