第二章 第二讲 向量组的线性相关性(2013-3-21)

1 2 s
k1α1 + k2α 2 + ⋯ k sα s = 0
(1)
1 2 s
... ... (2.1)
若, k , k ⋯ k 不全为零（2.1）式成立，则称向量组 α ,α ,⋯α 线性相关; (2) 若当且仅当 k , k ⋯ k 全为零， （2.1）式成立，称向量组 α ,α ,⋯α 线性无关 . 定义 2.2.1 易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关. (2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例. 定理 2.2.1 （1） 如果向量组 α ,α ,⋯,α 中有一部分组线性相关,则向量组 α , α ,⋯, α 必线性相关. （2）如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,则任何部分组必线性无关. 证明（ 证明（1） 假设该组向量中 α ,α 线性相关，由定义 2.2.1 必存在 k , k 不全为零，使 得 k α +k α =0 成立。取一组不全为零的数 k , k ,0,0,⋯,0 ，有 k α +k α +0α + ⋯ +0α =0 成立，故 α , α ,⋯, α 线性相关。 证明（2）用反证法即可证得。 定理 2.2.2 如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,而向量组 α ,α ,⋯,α , β 线性相关, 则 β 可由向量组 α ,α ,⋯,α 线性表出且表达式唯一.
3 3
解 令 x α +x α +x α
=0
，得齐次线性方程组
其系数矩阵的最简形
−2 x1 + x2 + x3 = 0 x1 − 2 x2 + x3 = 0 x + x − 2x = 0 1 2 3
−2 1 1 0 0 0 1 −2 1 → 0 1 −1 1 1 −2 1 0 −1
2.2.2
1 2 m 1 1 2 2 m m 1 2 m
k1α 1 + k 2α 2 + ⋯ + k mα m = 0
则知向量组 α ,α
1
2
,⋯, α m
线性相关.若齐次线性方程组(2.1)只有唯一零解:
x1 = x 2 = ⋯ = x m = 0 ,
则向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关. 由此结合上一章第五讲中定理 5.2 可得向量相关性的另一个等价定义：
(1) α1 = (1, −3, 2, 4 ) , α 2 = (2,3, 4, −1)T , α 3 = (4, 2,5, −2)T .
T
(2) α1 = (1, −1, 2, 4 ) , α 2 = (0,3,1, 2)T , α 3 = (3, 0, 7,14)T , α 4 = (1, 2,3, −4)T .
1 0 1 ∵ (b1 , b2 , b3 ) = (a1 , a2 , a3 ) 1 1 0 0 1 1
∴ B = AK
∵ R( K ) = 3
2 3
， K 可逆
∴ R ( A) = R ( B )
向量组 a , a , a 线性无关∴ R( A) = 3 ∴ R( B) = 3 ∴ 向量组 b , b , b 线性无关. 本例给出了三种证法，这三种证法都是常用的。第一种方法根据定义把向量组的线性无 关转化为齐次方程组的零解问题； 第二种方法与第一种本质相同， 只不过采用了矩阵表达式； 第三种方法除了采用矩阵形式表示，还利用了矩阵的相关定理。由此我们发现矩阵理论对向 量性质的推导是十分重要的。 例 2.5 设四维向量组
得通解
x1 = c x2 = c x = x 3
，c ∈ R ,显然当 c 不取零时，x , x
1
2
, x3
不全为零。故向量组线性相关。
向量组的线性相关性的判定 从例 2.1 可看出，向量组 α ,α ,⋯,α 线性相关还是线性无关,取决于齐次线性方程组 x α + x α +⋯+ x α = 0 …… （2.1） 是否有非零解还是只有唯一零解. 即若齐次线性方程组(2.1)有非零解 k , k ,⋯, k ,使
T
(3) α1 = (2,3, 4,1)T , α 2 = ( −2,1, −4, 0)T , α 3 = (1,3, 0, −1)T ,
解:(1)
1 2 4 1 2 +3r 1 r 3 r1 −3 3 2 (r3−− 0 1) r4 A= → 2 4 0 5 0 −1 −2 0 1 0 r4 −9 r2 → 0 0 2 4 1 9 14 r2 ↔ r4 0 → 0 0 −3 1 2 0 2 4 1 2 0 −3 0 0 2 4 1 2 0 −3 9 14 2
∴ R (α1 , α 2 ) = R (α1 , α 2 , α 3 ) = 2
∴
向量组 a , a , a 线性相关，而向量组 a , a 的线性无关. 例 2.4 设向量组 a , a , a 线性无关，令
1 2 3 1 2 1 2 3
b1 = a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1
⋯ a1m a22 ⋯ a2 m α1 , α 2 , ⋯ , α m ⋯ ⋯ ⋯ an 2 ⋯ anm a12
，
与β
1
,β 2 ⋯ β n
分别是矩
阵 A 的例向量组与行向量组，则 R(α ,α ,⋯,α 证明（略）
1 2
m
) = R ( β1 ,β 2 ⋯ β n )
例 2.2 判断下列向量组的线性相关性
1 0 → 0 0
1 1 3 3 3 r3 ↔ r4 0 → 0 0 0 0 0 0 −10 0
1 2 3 4
因为 R( A) = 3 < 4 ,因此 α ,α ,α ,α 线性相关. 解(3) 由推论 2.2.1 知,5 个四维向量必定线性相关.
构成的矩阵为
当秩 R( A) < m 时，我们称向量组线性相关; 当秩 R( A) = m 时，我们称向量组线性无 关. 由于 R( A) ≤ min {n , m} ,因此可得下面的结论: 推论 2.2.1 （1） 若 n 维向量组中向量的个数 m 大于 n, 则该向量组必线性相关.
（2） 设
a11 a A = 21 ⋯ an1
1 2 s 1 2 s 1 2 s
1
2
m
1
2
m
1
2
m
1
2
1
2
1 1
2
2
1
2
1 1
2
2
3
m
1
2
m
1
2
m

1
2
m
1
2
m
证明 由已知存在一组不全为零的数 k , k ⋯ k
1 2
m
,km+1
k1α1 +k2α 2 +⋯ +α m km +km +1β =0
，使得 成立。
2 m
此时，一定有 k 组合 k α +k α +⋯ +α
4 1 1 2 r4 − 4 3 r3 0 → 0 0 −3 0 −4 0
因为 解(2)
R ( A) = 3 ,
所以 α ,α
1
2
,α 3
线性无关.
1 −1 A= 2 4
1 r3 − ( ) r2 3 2 r4 − ( ) r2 3
∵ α1，α 2，α 3
线性无关
x1 + x3 = 0 ∴ x1 + x2 = 0 x + x = 0 2 3
易解得该方程组只有零解 x = x = x = 0 ∴ 向量组 b , b , b 线性无关.
1 2 3 1 2 3
解二 记
1 0 1 x1 A = (a1 , a2 , a3 ), B = (b1 , b2 , b3 ), K = 1 1 0 , x = x2 0 1 1 x3 1 0 1 ∵ (b1 , b2 , b3 ) = (a1 , a2 , a3 ) 1 1 0 0 1 1
1 1 2 +r 1 r r3 − 2 r1 3 0 2 r4 − 4 r1 0 → 0 1 7 3 2 14 −4 0 0 3 0 3
0 3
1 3 3 3 1 1 1 2 2 −8 0 3 1 3 3 3 0 0 −10 0 0 0
1 1 2 2
m +1
≠0 k
m m
，若不然，由条件知， α ,α ,⋯,α 线性无关，所以 =0 中 k , k ⋯ k 全为零，矛盾。于是有
1
1 2 m
β =-
k k1 k α1 − 2 α 2 − ⋯ − m α m k m+1 km +1 km +1
1 2 m
即， β 可由向量组 α ,α ,⋯,α 线性表出。 设 β 可由向量组 α ,α ,⋯,α 有两种线性表示：
1 2 m
β = λ1α1 +λ2α 2 +⋯ +λmα m
... ... (2.2) ... ... (2.3)
及 β = η α +η α + ⋯ +η α 用（2.2）—（2.3） ，有
1 1 2 2 m
m
(λ1 − η1 )α1 +(λ2 − η2 )α 2 + ⋯ +(λm − η m )α m = 0
，设 Bx = 0
，即