带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题

带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题

在高三物理复习中，带电粒子在磁场中的运动的问题是重点内容。其中有一类最小面积的问题，这类问题的规律性很强，本文作一归纳，供大家参考。

已知带电粒子的进、出磁场的方向，带电粒子在磁场中运动，轨迹圆的圆心在以进出磁场方向夹角的角分线上。由已知条件求轨迹圆半径并在对角线上确定位置，画出运动轨迹，就可以确定磁场的最小面积。下面我就以几道典型题验证这个思路。

例题1.一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的电带粒子，由原点O开始运动，初速度为v，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。

解：粒子在磁场中受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，设其半径为r，qvB=m■①

据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上，且P点在磁场区之外。过P沿速度方向作延长线，它与x轴相交于Q点。作角PQO 的对角线，与y轴的交点就是C点。这样也求得圆弧轨迹的圆心C，如图所示。

由图中几何关系得

L=3r②

由①、②求得

B=■③

图中OA的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得

R=■L④

例题2.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B ■，E的大小为0.5×10■V/m，B■大小为0.5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B■，磁场的下边界与x轴重合。一质量m=1×10■kg、电荷量q=1×10■C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限内的磁场B■区域。一段时间后，小球经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出。M点的坐标为（0，-10），N点的坐标为（0，30），不计粒子重力，g取10m/s■。

（1）请分析判断匀强电场E■的方向并求出微粒的运动速度v；

（2）匀强磁场B■的大小为多大？

（3）B■磁场区域的最小面积为多少？

解：（1）由于重力忽略不计，微粒在第四象限内仅受电场力和洛伦兹力的作用，且微粒做直线运动，速度的变化会引起洛伦兹力的变化，所以微粒必做匀速直线运动。这样，电场力和洛仑兹力大小相等，方向相反，电场E的方向与微粒运动的方向垂直，即与y轴负方向成60°角斜向下。（2分）

由力的平衡有

Eq=B■qv

∴v=■=■m/s=10■m/s

（2）作进出磁场方向的夹角，作出夹角的对角线，圆心就在对角线上。半径垂直于MP。画出微粒的运动轨迹如图。

由几何关系可知粒子在第一象限内做圆周运动的半径为R=■m

微粒做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，即

qB■v=m■

解之得B■=■T

（3）由图可知，磁场B■的最小区域应该分布在图示的矩形PACD内。

由几何关系易得PD=2Rsin60°=0.2m

PA=R（1-cos60°）=■m

所以，所求磁场的最小面积为S=■·■=■×■=■m■

例题3.一个质量为m，带+q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点垂直于AC 边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：

（1）该粒子在磁场里运动的时间t；

（2）该正三角形区域磁场的最小边长；

（3）画出磁场区域及粒子运动的轨迹。

解：

（1）如图，正三角形区域磁场的边长最小时，三角形DEF为磁场区域，⊙O为粒子运动的轨迹，与三角形DEF的两边DE、DF相切。

（2）由qvB=m■，且周期T=■，得轨迹半径r=■，T=■.

该粒子在磁场里运动的时间t=■T，即t=■.

（3）DG为底边EF上的高，DG=DO+OG=2r+rcos30°，则正三角形区域磁场的最小边长为：

L=■=■，解得L=■（■+1）.

对于这类问题，正确画出运动轨迹和确定圆心是解决的关键。