竞赛之第三节、力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心
3.2力矩定轴转动定理课件ppt-高中物理竞赛
m 2
)m2
g
m2
1 2
m
若再不计滑轮质量，m=0 ，则
T1
T2
2m1m2 g m1 m2
a (m1 m2 ) g m1 m2
转动定理
3.2 力矩 定轴转动定理 3、转动惯量
（ miri2) 表示刚体本身特征的物理量叫做刚体的
转i 动惯量，用J表示，
质量连续分布的刚体对某轴的转动惯量
J r2dm m
刚体的转动惯量与下列因素有关：
❖ 刚体的质量 ❖ 刚体的质量分布 ❖ 转轴的位置
3.2 力矩 定轴转动定理
几种常见刚体的转动惯量：
转动惯量为
( Lh)
J dJ 2 2d 3
( L h)
3
2
( Lh) 2
( L h) 2
1 12
mL2
mh2
转动惯量２.ppt
3.2 力矩 定轴转动定理 3、刚体定轴转动定理的应用
提示
① 隔离法 ② 连带体正方向的关联特性 ③ 解方程的技巧，先消去T，求出β
3.2 力矩 定轴转动定理
和。
在国际单位制中，力矩的单位：牛顿 • 米
量纲：M L²T²。־
3.2 力矩 定轴转动定理 二、转动定理
§2-5给出了质点M系 角动dd量Lt 定理微分形式：
在刚体绕z轴做定轴转动时
M M zk L Lzk
对刚体定轴转动有
Mz
dLz dt
3.2 力矩 定轴转动定理
刚体中任一质量元 mi 对转动轴角动量大小为
r dr
R
3.2 力矩 定轴转动定理
式中圆环面积 dS 2 rd r
此圆环对轴的转动惯量为
dJ r 2 dm r 2 m 2 rdr 2m r 3d
物理竞赛讲义(三)力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心
郑梁梅高级中学高一物理竞赛辅导讲义第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心【知识要点】（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。
（二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。
记为M=FL ，单位“牛·米”。
一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。
（三）有固定转轴物体的平衡条件作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。
即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。
（四）重心：物体所受重力的作用点叫重心。
计算重心位置的方法：1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。
2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。
3、公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m 1和m 2的A 、B 两质点坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标为： 212211m m x m x m x C ++= 212211m m y m y m y C ++= 一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系，其重心C 位置由如下公式求得：i i i C m x m x ∑∑= i i i C m y m y ∑∑= ii i C m z m z ∑∑= 本节内容常用方法有：①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。
【典型例题】【例题1】如图所示，光滑圆弧形环上套有两个质量不同的小球A 和B 两球之间连有弹簧，平衡时圆心O 与球所在位置的连线与竖直方向的夹角分别为α和β，求两球质量之比。
力矩-有固定转动轴物体的平衡PPT课件
力所在的平面与转轴不垂直
把力分解到沿转轴方向，和垂直转轴 方向。
沿转轴方向的力，不能使物体绕 轴转动，该力对转轴的力矩为0
-
5
转动平衡条件：M合=0 或： M顺=M逆
平衡条件： F 0 M0
平面力系： FX =0
Fy =0
M 0
该力矩可取任意垂直平面的直线为轴
-
12
❖如图：由五根轻杆和一个拉力器构
成的正方形框架，A、B、C、D四
处由铰链连接，各杆可以自由转动。
AC杆和BD杆交会处不连接。如果
调节拉力器，使它产生的拉力为T。
请分析各杆受力情况。A
B
AD杆受拉力，大小为T
-
6
已知：杆重G1=80N，物重G2=240N
θ=30°
求：钢绳对杆OB的拉力F1
F1lsin-G1
l 2
-G2l
0
A
由此得：F1=G21+si2nG2 560N B
ห้องสมุดไป่ตู้
-
F1
Θ O
G1
F3
7
mgR - F (2R) 0 F mg
2
R 2R
mg
F
-
8
应用转动平衡求解重心
如图所示，边长为a的均匀正方形木板，被 挖去一个半径为a/4的圆孔，圆孔的边缘 和正方形右边缘相切，圆心在对称轴PQ 上，求该木板剩余部分的重心。
力矩
有固定转动轴物 体的平衡
-
1
1．转动平衡：有固定转动轴的物体， 如果保持静止（或匀速转动状态），则 这个物体处于转动平衡状态
高二物理竞赛课件：力矩转动惯量定轴转动定律
面内
即：都在转动平面内
三、定轴转动定律
O’
对刚体中任一质量元 mi ω
Fi (外力)
fi (内力)
ri P
mi
fi
i
Fii
应用牛顿第二定律，可得： O
Fi fi miai
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
Fi sini fi sini miai miri
用ri 乘以上式左右两端：
Firi sini firi sini miri2
d r s是in转轴到力作用线
F1 F
的距离，称为力臂。
因为这个力矩与Z轴平行, 因此我们称这个力矩为力
转动 平面
r
F2
对转轴 Z 的力矩
我们将力对z轴的力矩记作Mz
（2） M Z rF2 sin F2d
d r s是in转轴到力作用线
F1 F
的距离，称为力臂。
（3）F1 对转轴的力矩为零 ，在定轴转动中不予考虑。
设刚体由N 个质点构成，对每个质点可写出上 述类似方程，将N 个方程左右相加，得：
N
N
N
Firi sini firi sini (miri2 )
i1
i1
i1
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
N
firi sini 0
i 1
得到：
N
N
Firi sini (miri2 )
的代数和 M z
.
Mz Jzβ
z
Fej
O rj mj
Fij
Mz
Jz Jz
d
dt
讨论：
（1） M 一定，J
β 转动惯量是转动
高中物理奥林匹克竞赛专题力矩 刚体定轴转动定律 (共15张PPT)
解：以转台和二人为研究对象，所受外力只有重
力及轴的支撑力，诸力对转轴的合力矩为零，所
以系统角动量守恒．各转动惯量分别为
J 1 m R2 ，2
JA
1 mR2 2
JB
1mR/22
2
以，地面为参照系，A处的人走动的角速度为
＋(v / R)，B处的人走动的角速度为
(2v1R)-(4v/R)
2
由角动量守恒定律
0
0
mg x k x 2
0 .2
2
J
2
4
0
2
12 .6 故： v R 1 .26 m / s
3、质量为M的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于 盘的固定光滑轴转动，转动惯量为Mr2/2，绕过盘的 边缘挂有质量为m，长为l的匀质柔软绳索（如 图）．设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧 绳长之差为S时，绳的加速度的大小．
大小： M z F2rsin F 2 d
方向：
M
方向:
z
OZ
3、总力矩的大小= 所有外力力矩的代数和
M
正方向的规定：促进转动的力矩为正
z
1
§3-3 力矩 刚体定轴转动定律
二、定轴转动定律
F=mam d v
dt
dp
F=
dt
牛二
类比法
M z J
J
dw dt
已知： m i : p 点质量
M
z
dL dt
r
M
a
S
解：选坐标如图所示，任一时刻圆盘两侧的绳长
分别为x1、x2 选长度为x1、x2的两段绳和绕着绳 的盘为研究对象．设a为绳的加速度，β为盘的
角加速度，r为盘的半径，为绳的线密度，且在
(完整版)第三讲力矩平衡条件及应用(竞赛辅导—含答案)
第三讲力矩平衡条件及应用（竞赛辅导—含答案）一、力矩1．力和转动轴之间的距离，即从转动轴到力的作用线的距离，叫做力臂。
2．力矩：定义力F与其力臂L的乘积叫做力对转动轴的力矩。
用字母M表示。
表达式M＝FL。
二、物体平衡条件力矩的平衡条件：有固定转动轴物体的平衡条件是力矩的代数和等于零。
即M1＋M2＋M3＋ 0或者：M合＝0力矩平衡以其广泛的实用性，其难点分布于：（1）从实际背景中构建有固定转动轴的物理模型.（2）灵活恰当地选取固定转动轴.（3）将转动模型从相关系统（连结体）中隔离分析等.实际上一个物体的平衡，应同时满足F合=0和M合=0.共点力作用下的物体如果满足F合=0，同时也就满足了M合=0，达到了平衡状态；而转动的物体只满足M合=0就不一定能达到平衡状态，还应同时满足F合=0方可.三、有固定转动轴物体平衡问题解题步骤1.明确研究对象，即明确绕固定转动轴转动的是哪一个物体.2.分析研究对象所受力的大小和方向，并画出力的示意图.3.依题意选取转动轴，并找出各个力对转动轴的力臂，力矩的大小和方向.4.根据平衡条件（使物体顺时针方向转动的力矩之和等于使物体逆时针方向转动的力矩之和）列方程，并求解.【解题方法指导】例1.一个重要特例：请分析杆秤上的刻度为什么是均匀的？例2. 如图所示，重G的均匀木杆可绕O轴在竖直平面内转动，现将杆的A端放在光滑地面上的木块上面，杆与竖直方向的夹角为30°，用水平力F＝G/20匀速拉动木块，求杆和木块间的动摩擦因数。
【典型例题分析】例1.如下图是半径分别为r和2r的两个质量不计的圆盘，共轴固定连结在一起，可以绕水平轴O无摩擦转动，大圆盘的边缘上固定有一个质量为m的质点，小圆盘上绕有细绳。
开始时圆盘静止，质点处在水平轴O的正下方位置。
现以水平恒力F拉细绳，使两圆盘转动，若恒力F＝mg，两圆盘转过的角度θ＝时，质点m的速度最大。
例2.有人设计了一种新型伸缩拉杆秤。
高二物理竞赛课件：力矩和转动定律
1 mgl
2
例2）现有一质量为m，半径为R的匀质薄圆盘在 平面内以角速度ω转动，求摩擦力产生的力矩。
dr 解： 取细圆环为质元
ωr
dm
ds
m
R2
2rdr
dM r dF rgdmk
rg
m
R2
2rdrk
M
R
dM g
m 2r 2dr 2 gmR
0
R 2
3
(二）转动定律
要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一个 类似于牛顿定律的、确定刚体在外力矩作用下运动状
力矩和转动定律
力矩和转动定律
——寻求类似于牛顿定律、确定刚体 在外力矩作用下运动状态发生变化的 规律——转动定律。
（一）刚体定轴转动的力矩 1 .对固定点的力矩 M r F
2 .对固定转轴的力矩 （1）力垂直于转轴
M
F
Or
d
Pr
这种情况相当于质点绕固定点
O 转动的情形, 可用上面公式.
（2）力与转轴不垂直
FN
FN
i
ri Fi Mi
i
注意: (a) M合
i ri
Fi
i
i
(b) 以上公式中, 力都应理解为垂直于转轴的分量, 下同.
(4) 若作用在刚体各处的力是连续分布的，可将
刚体分割成很多小质元，先求作用在每个质
元上的元力矩，再对所有元力矩求和
M合 r dF
(5) 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,即
在以角速度ω作定轴转动的刚体内, 取
质元 mi , 则其对OZ 轴的角动量为
ΔLi ri Δmivi ri Δmiri Δmi ri2ω
高中物理竞赛力矩和力矩平衡知识点讲解
高中物理竞赛力矩和力矩平衡知识点讲解力矩是表示力对物体产生转动作用的物理量，是物体转动转动状态改变的原因。
它等于力和力臂的乘积。
表达式为：M=FL，其中力臂L是转动轴到F的力线的（垂直）距离。
单位：Nm 效果：可以使物体转动.正确理解力矩的概念力矩是改变转动物体的运动状态变化的物理量，门、窗等转动物体从静止状态变为转动状态或从转动状态变为静止状态时，必须受到力的作用。
但是，我们若将力作用在门、窗的转轴上，则无论施加多大的力都不会改变其运动状态，可见转动物体的运动状态的变化不仅与力的大小有关，还受力的方向、力的作用点的影响。
力的作用点离转轴越远，力的方向与转轴所在平面越趋于垂直，力使转动物体运动状态变化得就越明显。
物理学中力的作用点和力的作用方向对转动物体运动状态变化的影响，用力矩这个物理量综合表示，因此，力矩被定义为力与力臂的乘积。
力矩概括了影响转动物体运动状态变化的所有规律，力矩是改变转动物体运动状态的物理量。
力矩是矢量，在中学物理中，作用在物体上的力都在同一平面内，各力对转轴的力矩只能使物体顺时针转动或逆时针转动，这样，求几个力矩的合力就简化为代数运算。
力对物体的转动效果使物体转动改变的效果不仅跟力的大小有关，还跟力臂有关，即力对物体的转动效果决定于力矩。
①当臂等于零时，不论作用力多么大，对物体都不会产生转动作用。
②当作用力与转动轴平行时，不会对物体产生转动作用，计算力矩，关键是找力臂。
需注意力臂是转动轴到力的作用线的距离，而不是转动轴到力的作用点的距离。
大小一定的力有最大力矩的条件：①力作用在离转动轴最远的点上；②力的方向垂直于力作用点与转轴的连线。
力矩的计算：①先求出力的力臂，再由定义求力矩M＝FL如图中，力F 的力臂为LF=Lsin θ 力矩M ＝F •L sin θ②先把力沿平行于杆和垂直于杆的两个方向分解，平行于杆的分力对杆无转动效果，力矩为零；平行于杆的分力的力矩为该分力的大小与杆长的乘积。
高中物理竞赛 专题5：力矩及物体的平衡 (精品)
2.求力臂作图
L甲 D
若OP D
L乙
D 2
D L丙 2
L丁 0
L甲 L乙 L丙 L丁 垂直与杠杆的施力 , 力臂最大 , 转动效果最好
3.范例解说
欲施力將一圆柱（r=10cm）推上楼梯，如图：
①标出物体转动時的转轴（支点）位置。 ②如图的四个力F1、F2、F3、F4，其力臂依序为： L1＝ 10 cm；L2＝ 20 cm ,L3＝ 如图cm ；L4＝ cm 。 如图
F F F1
L M＝FL sin L
F2
M＝F1L ＝FL sin
五、合力矩的意义
1.合力矩的意义： 当物体同时受到几个力产生的力矩时，合力矩 为 順逆力矩之和 。 （1）如果力矩的方向相同，转动效果会增強。 （2）力矩的方向不同，转动效果会減弱。 （3）当順时针方向的力矩和逆时针方向的力矩大 小相等，则合力矩为零，对物体的转动效果也 为零，原本静止的物体 不会转动 。
A6B6上一点，这一点与此薄片中点
的距离等于它与小突起A6的距离，
平板上，现设板向上运动而棒AB匀速转动，则木板
对棒的弹力如变化？
FN
B
Ff G
A
4.如图，均匀细杆AB质量为M，A端装有转轴，B端 连接细线通过光滑滑轮和质量为m的重物C相连，若杆 AB呈水平，细线与水平方向夹角为 时恰能保持静止， 则M与m的关系是_____，杆对轴A的作用力大小为 ______。
1.2 力矩及物体的平衡
一、影响转动的因素探讨
O 转轴 OO’
A B C
在门 C 位置上施力，门很容易转动。
O’
二、力臂的定义
1.力臂的定义：
高中物理竞赛辅导资料四：力、力矩、平衡
高中物理竞赛辅导资料四：力、力矩、平衡（一）重力重力大小G=mg，方向竖直向下。
一般来说，重力是万有引力的一个分力，静止在地球表面的物体，其万有引力的另一个分力充当物体随地球自转的向心力，但向心力极小。
（二）弹力当物体在外力作用下发生形变时，其内部产生的反抗外力作用而企图恢复形变的力叫弹力。
胡克弹力的大小由F=k△x确定。
a)当劲度系数分别为k1、k2…的若干弹簧串联使用时，等效弹簧的劲度系数为：b)当劲度系数分别为k1、k2…的若干弹簧并联使用时，等效弹簧的劲度系数为：例一：一根重力不计的弹簧一端固定，挂上重100N的物体时伸长了30cm，若把弹簧减去2/3，再把100N物体挂在弹簧下端，则弹簧伸长了多少？劲度系数变为多少？（三）摩擦力1、摩擦力方向一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力叫摩擦力。
方向沿接触面的切线且阻碍物体间相对运动或相对运动趋势。
2、滑动摩擦力的大小由公式f=μN计算。
3、静摩擦力的大小是可变化的，无特定计算式，一般根据物体运动性质和受力情况分析求解。
其大小范围在0＜f≤f m之间。
（四）力矩力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。
记为M=FL，单位“牛·米”。
一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。
力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂例二：.如图所示是一根弯成直角的杆，它可绕O点转动.杆的OA段长30cm，AB段长40cm.现用F=10N的力作用在杆上，要使力F对轴O逆时针方向的力矩最大，F应怎样作用在杆上?画出示意图，并求出力F的最大力矩.（五）共点力作用下物体平衡条件：这些力的合力为零，即ΣF=0。
例三：如图所示，质量m =5kg 的物体，置于倾角θ=30°的粗糙斜面块上，用一平行于斜面的大小为30N 的力推物体，使其沿斜面向上匀速运动.求地面对斜面块M 的静摩擦力.（六）三力汇交原理：若一个物体受三个非平行力作用而处于平衡状态，则这三个力必为共点力。
高中物理竞赛辅导力学部分专用讲义
高中物理《竞赛辅导》力学部分目录第一讲：力学中的三种力第二讲：共点力作用下物体的平衡第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心第四讲：一般物体的平衡、稳度第五讲：运动的基本概念、运动的合成与分解第六讲：相对运动与相关速度第七讲：匀变速直线运动第八讲：抛物的运动第九讲：牛顿运动定律（动力学）第十讲：力和直线运动第十一讲：质点的圆周运动、刚体的定轴转动第十二讲：力和曲线运动第十三讲：功和功率第十四讲：动能定理第十五讲：机械能、功能关系第十六讲：动量和冲量第十七讲：动量守恒《动量守恒》练习题第十八讲：碰撞《碰撞》专题练习题第十九讲：动量和能量《动量与能量》专题练习题第二十讲：机械振动《机械振动》专题练习第二十一：讲机械波第二十二讲：驻波和多普勒效应第一讲： 力学中的三种力【知识要点】（一）重力重力大小G=mg ，方向竖直向下。
一般来说，重力是万有引力的一个分力，静止在地球表面的物体，其万有引力的另一个分力充当物体随地球自转的向心力，但向心力极小。
（二）弹力1．弹力产生在直接接触又发生非永久性形变的物体之间(或发生非永久性形变的物体一部分和另一部分之间)，两物体间的弹力的方向和接触面的法线方向平行，作用点在两物体的接触面上．2．弹力的方向确定要根据实际情况而定．3．弹力的大小一般情况下不能计算，只能根据平衡法或动力学方法求得．但弹簧弹力的大小可用．f=kx(k 为弹簧劲度系数，x 为弹簧的拉伸或压缩量)来计算 ．在高考中，弹簧弹力的计算往往是一根弹簧，而竞赛中经常扩展到弹簧组．例如：当劲度系数分别为k 1,k 2,…的若干个弹簧串联使用时．等效弹簧的劲度系数的倒数为：nk k k 1...111+=，即弹簧变软；反之．若以上弹簧并联使用时，弹簧的劲度系数为：k=k 1+…k n ，即弹簧变硬．(k=k 1+…k n 适用于所有并联弹簧的原长相等；弹簧原长不相等时，应具体考虑) 长为0L 的弹簧的劲度系数为k ，则剪去一半后，剩余2L 的弹簧的劲度系数为2k （三）摩擦力 1．摩擦力一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力叫摩擦力。
2019-2020年高中物理竞赛《力矩平衡条件及其应用》名师专题辅导讲义导学案
2019-2020年高中物理竞赛《力矩平衡条件及其应用》名师专题辅导讲义导学案基本知识：1、力矩的定义：力矩M＝力F×力臂L（顺时针转动效果和逆时针转动效果的力矩方向相反）2、一般物体受力平衡的条件：（1）合外力等于0，即：F合＝0（2）所有力对任意转动轴的合力距为0（力矩平衡），即：M合＝0。
推论：如果所有外力对某一点的力矩的代数和为0，则对任意一点的力矩的代数和为0.基本练习：1．如图：BO是一根质量均匀的横梁，重量G1＝80N，BO的一端安在B点，可绕通过B点且垂直于纸面的轴转动，另一端用钢绳AO拉着横梁保持水平，与钢绳的夹角，在横梁的O点挂一个重物，重要G2＝240N，则钢绳对横梁的拉力F1N。
2．如图所示，OAB是一弯成直角的杠杆，可绕过O点垂直于纸面的轴转动，杆OA长30cm，AB段长为40cm，杆的质量分布均匀，已知OAB的总质量为7kg，现在施加一个外力F，使杆的AB段保持水平，则该力作用于杆上点，F的最小值为N。
3．一辆汽车重1.2×104N，使它的前轮压在地秤上，测得的结果为6.7×103N，汽车前后轮之间的举例是 2.7m，则汽车重心的位置距离前轮与地面接触点的水平距离为m。
4．如图，一块均匀木板MN长L＝15m，G1＝400N，搁在相距8m的两个支架A、B上，MA＝NB，重G2＝600N的人从A向B走去，则人走到距离A支架1.6m处时，木板对A支架的压力是N，对B支架的压力是N；人走过B点m后木板会翘起来。
5．如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平。
O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。
一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为=60°。
两小球的质量比为。
6．要使质量为m的重球滚上台阶，作用力应该作用在球面上的力在什么地方、沿什么方向，才最省力？最小力为多少？答：7．如图1-58所示，A、B是两个完全相同的长方形木块，长为，叠放在一起，放在水平桌面上，端面与桌边平行．A木块放在B上，右端有伸出，为保证两块不翻倒，木块B伸出桌边的长度不能超过（）(A)/2 (B)3/8 (C)/4 (D)/8 图1-588．如图1-60所示，将粗细均匀、直径相同的均匀棒A 和B 粘合在一起，并在粘合处用绳悬挂起来，恰好处于水平位置而平衡，如果A 的密度是B 的两倍，那么A 的重力大小是B 的_______倍．9．如图1-61所示，一个质量为m 、半径为R 的球，用长为R 的绳悬挂在L 形的直角支架上，支架的重力不计，AB 长为2R ，BC 长为，为使支架不会在水平桌面上绕B 点翻倒，应在A 端至少加多大的力？10．棒AB 的一端A 固定于地面,可绕A 点无摩擦地转动,B 端靠在物C 上,物C 靠在光滑的竖直墙上,如图1-63所示.若在C 物上再放上一个小物体,整个装置仍保持平衡,则B 端与C 物之间的弹力大小将（ ）(A)变大 (B)变小 (C)不变 (D)无法确定11．如图1-64所示，质量为m 的运动员站在质量为m 的均匀长板AB 的中点，板位于水平地面上，可绕通过A 点的水平轴无摩擦转动，板的B 端系有轻绳，轻绳的另一端绕过两个定滑轮后，握在运动员的手中，当运动员用力拉绳子时，滑轮的两侧的绳子都保持在竖直方向，则要使板的B 端离开地面，运动员作用于绳的最小拉力是_________．12．如图1-65所示，半径是0.1m ，重为N 的均匀小球，放在光滑的竖直墙和长为1m 的光滑木板（不计重力）OA 之间，木板可绕轴O 转动，木板和竖直墙的夹角为θ=60°，求墙对球的弹力和水平绳对木板的拉力．13．如图1-66所示，均匀杆AB 每米重为30N ，将A 端支起，在离A 端0.2m 的C 处挂一重300N 的物体，在B 端施一竖直向上的拉力F ，使杆保持水平方向平衡，则杆长为多少m 时所需的拉力F 最小？最小值为多少N ？A B 图1-60 B A C 图1-61AB图1-64 O A θ 图1-65 A B C F图1—66 图1-6314．图1-67中是用电动砂轮打磨工件的装置，砂轮的转轴过图中O 点垂直于纸面，AB 是一长度，质量的均匀刚性细杆，可绕过A 端的固定轴在竖直面（图中纸面）内无摩擦地转动，工件C 固定在AB 杆上，其质量，工件的重心、工件与砂轮的接触点P 以及O 点都在过AB 中点的竖直线上，P 到AB 杆的垂直距离，AB 杆始终处于水平位置，砂轮与工件之间的动摩擦因数。
高二物理竞赛力矩转动惯量定轴转动定律PPT(课件)
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
目录
第一章 力和运动
第二章 运动的守恒量和守恒定律
第三章 刚体和流体的运动
第四章 相对§论3-1基刚础体模型及其运动 第五章 气体§动3-2理力论矩 转动惯量 定轴转动定律 第六章 热力§学3-3基定础轴转动中的功能关系
第七章 静止§电3-4荷定的轴电转场动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
J
T1 T2
T1' T2'
m
a r
a m2 m1 g M r / r
m2
m1
1 2
m
m1 参考：P117、P35
mr
a m2
T1
T2
T1
T2
m1
a
a
G1
m2
G2
27
例题 3-4 dm r d dr e m e R2
解: 阻力矩：M rdmg g rr d dr e
v
推导：
切向加速度 向心加速度
a dv d r dr
dt dt
dt
9
例题
0 t 2 n t 0
0t
1t2
2
2
N
v r sin 90
at r an 2r
0
O
an r
v
a
at
10
例题
d (at bt 3 ct 4 ) a 3bt 2 4ct 3
dt
d d (a 3bt2 4ct3 ) 6bt 12ct2
定轴转动定律
1
J 15 6 第九章 电磁感应 电磁场理论
总质量相同，质量分别离轴越远，J 越大。
F 平行转轴的力不产生转动效果，
第四章 第三节 有固定转动轴物体的平衡
第四章第三节有固定转动轴物体的平衡在力学中，平衡是指物体所处的状态，使得它们保持不动或者匀速运动的能力。
而当物体是通过一个固定的转动轴转动时，平衡的问题则更为复杂。
在本文中，我们将讨论有固定转动轴物体的平衡问题，并探讨该问题的一些关键概念和技巧。
1、重心和质量中心在研究有固定转动轴物体的平衡时，需要先了解两个概念，分别是重心和质量中心。
物体的重心是指物体所受重力的合力所在的点，而质量中心则指物体所有质点的质心。
因此，在讨论平衡问题时，这两个概念是至关重要的。
在一个平面内的物体上，当它们绕固定转动轴旋转时，它们的重心和质量中心之间的距离是一定的。
若重心和转轴的连线过转轴，那么重心和质量中心将重合，物体将处于稳定的平衡状态。
2、角动量和力矩在讨论有固定转动轴物体的平衡时，还需要考虑角动量和力矩。
角动量是指物体的旋转惯量与角速度的乘积，而力矩则是指力在物体上产生的旋转效应，宇宙中的许多运动都遵循这些定律。
对于有固定转动轴物体的平衡问题，我们需要探讨一个重要的概念——力臂。
力臂指力线与转动轴之间的垂线距离，它对物体的平衡状态影响极大。
若作用在物体上的外力使得物体沿转动轴旋转，那么该力在物体上产生的力臂就会影响物体的平衡状态。
当力臂较大时，物体的平衡状态会更加不稳定。
3、一些实例分析通过以上的理论分析，我们来看一些具体的例子。
如果一个长条形物体的重心恰好位于固定转动轴上，那么它将保持平衡状态。
如果重心偏离转轴，物体将出现倾斜现象。
另一种情况是杠杆的平衡问题，即通过杠杆来平衡两个物体的重量。
在这种情况下，需要准确测量实验中物体的质量和测量距离，才能计算出适当的力臂，从而达到平衡状态。
4、总结有固定转动轴物体的平衡问题，需要掌握重心与质量中心，角动量和力矩等概念，并考虑作用力在物体上的力臂。
在实际解决问题时，还需要充分理解各种实例并运用所学知识。
通过不断的实践和学习，我们可以更好地理解有固定转动轴物体的平衡问题，并在实际应用中取得出色的成果。
第三节力矩与重心
第三节 力矩与重心一、力矩如图3—14所示，若作用在扳手的力为F ，力臂为L ，拧螺母的转动效应的大小可用两者的乘积FL 来度量。
表示力对物体绕某点的转动作用的量称为力对点之矩，力矩以Mo 表示。
如扳手，Mo=F ·L 。
图3—14 力矩力对点之矩为一代数量，它用正负号表示力矩在平面上的转动方向。
一般规定力使物体绕矩心逆时针方向旋转为正，顺时针方向旋转为负，其计算公式如下：Mo(F)＝±FL力矩的国际单位为牛顿·米，简称牛·米，国际符号N ·m 。
二、力矩的平衡力矩平衡的例子很多，起重吊运中经常使用平衡梁，就是典型一例。
它和我们看到的杆称是一样的道理。
其计算简图见图3—15。
图3—15 力矩平衡计算简图F 1绕O 点的力矩大小为Mo ＝F 1L 1，逆时针转动；F 2绕O 点的力矩大小为Mo ＝－F 2L 2，顺时针转动；当两个力矩相等时，平衡梁处于平衡状态。
平衡梁平衡的条件是对O 点的力矩之和等于零。
即：Mo(F 1)+Mo(F 2)＝0F 1·L 1+(—F 2·L 2)＝0F 1L 1＝F 2L 2从式中就可求出所需力和距离，如求F 1，则：1221L L F F。
三、合力矩定理与重心计算1．合力矩定理图3—16 弯柄扳手上力矩计算以图3—16弯柄扳手为例，在A点作用力F，其作用线垂直与O、A两点。
如果分为F1、F2的垂直距离为a、b，不难看出，它们的力矩效果是相等的，MoF＝F1·a+F2·b。
定理：在某一平面内受到力F1、F2…Fn的作用，这些力的合力为R，则合力对力与平面内任一点的力矩等于各分力对同一点的力矩的代数和。
2．重心计算：(1)物体的重心由于地球的引力，物体内部各质点都要受到重力的作用，各质点重力的合力作用点，就是物体的重心位置。
如图3—17所示物体的重心。
图3—17 物体的重心实际上，对于具有简单几何形状、材料均匀分布的物体，它的重心位置我们是熟悉的，例如图3—18中，球的重心在球心(图a)，矩形薄板的重心在它对角线的交点上(图b)，三角形薄板的重心在它的三条中线的交点上(图c)，圆柱体的重心在轴线的中点(图d)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心
【知识要点】
（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。
（二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。
记为M=FL ，单位“牛·米”。
一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。
（三）有固定转轴物体的平衡条件
作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。
即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。
（四）重心：物体所受重力的作用点叫重心。
计算重心位置的方法：
1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。
2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。
（见上一讲）
3、公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m 1和m 2的A 、B 两质点坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标为： 212211m m x m x m x C ++= 212211m m y m y m y C ++= 一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系，
其重心C 位置由如下公式求得：
i i i C m x m x ∑∑= i i i C m y m y ∑∑= i
i i C m z m z ∑∑= 本节内容常用方法有：①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。
【例题1】如图所示，c 为杆秤秤杆系统的重心，a 为杆称的定盘星，证明：无论称杆的粗细如何变化，杆秤的刻度沿杆轴线的方向总是均匀分布的。
【例题2】（第十届全国预赛）半径为R ，质量为m 1的均匀圆球与一质量为m 2的重物分别用细绳AD 和ACE 悬挂于同一点
A ，并处于平衡。
如图所示，已知悬点A 到球心O 的距离为L ，若不考
虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD 和竖直方向的夹角
θ。
y y y 2
【例题3】（第十届全国决赛）用20块质量均匀分布的相同的光滑积木块，在光滑水平面一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块的长度为L ，横截面为4
L h 的正方形，求此桥具有的最大跨度（即桥孔底宽），试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。
练习题：1、如图所示，木棒的一端用一根足够短的绳子拴住悬挂在天花板上，另一端搁在滑动摩擦因数为μ的水平木板上，木板放在光滑的水平面上，若向右匀速拉出木板时的水平拉力为F 1，向左匀速拉出时的水平拉力为F 2，两种情况下，木棒与木板间的夹角均保持为θ
不变，试比较F 1和F 2的大小？
2、（99上海）如图所示，是一种手控制动器，a 是一个转动着的轮子，b 是摩擦制动片，C 是杠杆，O 是其固定转动轴，手在A 点施加一作用力F 时，b 将压紧轮子使轮子制动，若使轮子制动需要的力矩是一定的，则下列说法正确的是：
A 、轮a 逆时针转动时，所需力F 小
B 、轮a 顺时针转动时，所需力F 小
C 、无论轮a 逆时针还是顺时针转动所需的力F 相同
D 、无法比较力F 的大小
3、（99上海）如图所示，质量不计的杆O 1B 和O 2A
转轴，A 处有一凸起物搁在O 1B 中点，B 处用绳子系在O
2A 根长杆，今在O 1B 杆上C 点（
C 为AB 中点）悬挂重为G 的物体，则在A 处受到的支承力大小为
；B 处受绳拉力大小为 。
4、（第7届全国决赛）一薄壁圆柱形烧杯，半径为r ，质量为
m ，重心位于中心线上，离杯底的距离为H ，今将水慢慢注入杯中，
问烧杯连同杯内的水共同重心最低时水面离杯底的距离等于多少？（设水的密度为ρ）
5、为保证市场的公平交易，我国已有不少地区禁止在市场中使用杆秤。
杆秤确实容易为不法商贩坑骗顾客提供可乘之机。
请看下例。
秤砣质量为1千克，秤杆和秤盘总质量为0.5千克，定盘星到提纽的距离为2厘米，秤盘到提纽的距离为10厘米（图9）。
若有人换了一个质量为0.8千克的秤驼，售出2.5千克的物品，物品的实际质量是多少？
F
6、（俄罗斯奥林匹克试题）如图所示，三根相同的轻杆用铰链连接并固定在同一水平线上的A 、B 两点，AB 间的距离是杆长的2倍，铰链C 上悬挂一质量为m 的重物，问：为使杆CD 保持水平，在铰链D 上应施的最小力F 为多大？
7、如图所示，一铰链由2n 个相同的链环组成，每两个链环间的接触是光滑的，铰链两端分别在一不光滑的水平铁丝上滑动，它们的摩擦系数为μ，证明：当锁链在铁丝上刚好相对静止时，末个链环与铅垂线交角为⎪⎭
⎫ ⎝⎛--1221n n tg μ。
8、（第六届预赛）有6个完全相同的刚性长条薄片A i B i （i=1，2…），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此6个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起B i 恰在碗口上，另一端小突起A i 位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m 的质点放在薄片A 6B 6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A 6的距离，则薄片A 6B 6中点所受的（由另一薄片的小突起A 1所施的）压力。
O ' O
12 3 B。