12.4综合与实践一次函数模型的应用

巩固练习(学生独学)

1．某旅行团计划今年暑假组织老年团到台湾旅游，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆可供选择，其收费标准为每人每天120元，并且推出各自不同的优惠方案：甲宾馆是35人(含35人)以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙宾馆是45人(含45人)以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．

设老年团的人数为x .

(1)根据题意，用含x 的式子填写下表：

(2)当x 解：(1)108x ＋420 108x ＋420 96x ＋1080

(2)当x ≤35时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同；

当35＜x ≤45时，选择甲宾馆便宜；

当x ＞45时，甲宾馆的收费是y 甲＝108x ＋420，乙宾馆的收费是y 乙＝96x ＋1080， 令108x ＋420＝96x ＋1080，解得x ＝55.

综上，当x ≤35或x ＝55时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同．

2．某学校为改进学校教室空气质量，决定引进一批空气净化器，已知有A ，B 两种型号可供选择，学校要求每台空气净化器必须多配备一套滤芯以便及时更换．已知每套滤芯的价格为200元，若购买20台A 型和15台B 型净化器共花费80 000元；购买10台A 型净化器比购买5台B 型净化器多花费10 000元．

(1)求两种净化器的价格；

(2)若学校购买两种空气净化器共40台，且A 型净化器的数量不多于B 型净化器数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．

解：(1)设每台A 型净化器的价格为a 元，每台B 型净化器的价格为b 元．

由题意，得

⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋＋b ＋＝80 000，a ＋－b ＋

＝10 000. 解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝2000，

b ＝2200. 即每台A 型净化器的价格为2000元，每台B 型净化器的价格为2200元．

(2)设购买台A 型净化器x 台，B 型净化器为(40－x )台，总费用为y 元．

由题意，得x ≤3(40－x )，解得x ≤30.

y ＝(2000＋200)x ＋(2200＋200)(40－x )＝－200x ＋96 000.

∵－200＜0，

∴y随x的增大而减小，

当x＝30时，y取最小值，y＝－200×30＋96 000＝90 000，

40－x＝10，

即购买A型净化器30台，B型净化器10台，最少费用为90 000元．

3．现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：

(1)

(2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式(写出自变量的取值范围)；

(3)在(2)的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．

解：(1)设大货车用x辆，则小货车用(18－x)辆．

根据题意，得16x＋10(18－x)＝228.

解得x＝8，∴18－x＝18－8＝10.

即大货车用8辆，小货车用10辆．

(2)w＝720a＋800(8－a)＋500(9－a)＋650·[10－(9－a)]＝70a＋11 550(0≤a≤8且a 为整数)．

(3)由16a＋10(9－a)≥120，解得a≥5.

又∵0≤a≤8，

∴5≤a≤8且a为整数．

∵w＝70a＋11 550，且70＞0，

∴w随a的增大而增大，

∴当a＝5时，w最小，最小值为w＝70×5＋11 550＝11 900.

故使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为11 900元．