2020年高中数学·各类题型汇总

目录

第1讲做题十大陷阱 (3)

陷阱1 混淆概念致误 (3)

陷阱2 错求目标失分 (4)

陷阱3 错用结论失分 (5)

陷阱4 遗漏条件致误 (6)

陷阱5 画图不准致误 (7)

陷阱6 忽视特例失分 (8)

陷阱7 跳步计算出错 (9)

陷阱8 推论不当致误 (11)

陷阱9 分类标准不正确致误 (12)

陷阱10 忽视验证出错 (14)

第2讲五招妙解高考客观题 (16)

第3讲高考压轴大题巧得分 (27)

第1讲做题十大陷阱

陷阱1 混淆概念致误

【典例1】 若z ＝sin θ－35＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫θ－π4的值为( )

A ．－7

B ．－

1

7C ．7

D ．－7或－1

7

[易错分析] 本题易混淆复数的有关概念，忽视虚部不为零的限制条件，导致所求tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

θ－π4的值为多解，

从而错选D 而导致错误．

[正确解析]

由纯虚数的概念，可知⎩

⎪⎨⎪

⎧sin θ－3

5

＝0，①

cos θ－4

5≠0，②由①，得sin θ＝3

5，故cos θ＝±

1－sin 2θ＝±

1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫352＝±45，而由②，可得cos θ≠45，故cos θ＝

－45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－34

. 而tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

θ－π4＝

tan θ－tan

π

4

1＋tan θtan π4＝－3

4

－11＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－34×1

＝－7.故选A.

[答案] A

[跳出陷阱] 在解答概念类试题时，一定要仔细辨析试题中待求的问题，在准确用好概念的前提下再对试题进行解答，这样才能避免概念性错误．如本题，要搞清楚虚数，纯虚数，实数与复数的概念．

陷阱2 错求目标失分

【典例2】设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝3，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|等于( )

A．12 B．2 3

C．4 D．4 3

[易错分析] 在本题求解向量模的运算过程中易忘记开平方，误把向量模的平方当成所求结论而错选结果．[正确解析] 法一：由a·(a－b)＝0，可得a·b＝a2＝1.

由|a－b|＝3，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4.

故(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，故|2a＋b|＝2 3.故选B.

法二：由a·(a－b)＝0，可知a⊥(a－b)．

而2a＋b＝3a－(a－b)．

所以(2a＋b)2＝[3a－(a－b)2]＝(3a)2＋(a－b)2－2×3a·(a－b)＝9a2＋(a－b)2＝9×12＋(3)2＝12，

故|2a＋b|＝23，故选B.

[答案] B

[跳出陷阱] 求解向量模的问题，一般是先求该向量的自身的数量积，即向量模的平方，易出现的问题就是最后忘记开方导致失误．求解此类问题一定要注意审题，明确解题目标，求出结果之后再对照所求验证一遍，就可以避免此类失误．

陷阱3 错用结论失分

【典例3】 函数f (x )的图象由函数g (x )＝4sin x cos x 的图象向左平移π

6

个单位，再把所得图象上所有点的

横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)而得到，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π4等于( )

A.6＋2

3 B.

6－2

3C.6－22

D.

6＋22

[易错分析] 该题易出现的问题主要有两个方面：一是不能准确确定函数解析式的变换与图象左右平移方向之间的关系；二是记错函数图象上点的横坐标的变化规律与函数解析式的变换的关系．

[正确解析] 函数g (x )＝4sin x cos x ＝2sin 2x 的图象向左平移π

6个单位得到函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝

2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

2x ＋π3的图象，该函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)所得图象对应的函数，

即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12×2x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋π3.

所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝2⎝ ⎛⎭⎪

⎫

sin π4cos π3＋cos π4·sin π3＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫22×12＋22×

32＝6＋22.故选D.

[答案] D

[跳出陷阱] 三角函数图象的平移与伸缩变换问题，关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系，熟记相关的规律．如函数y ＝f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位，得到函数y ＝f (x ＋m )的图象；若向右平移

m (m >0)个单位，得到函数y ＝f (x －m )的图象．若函数y ＝f (x )的图象上点的横坐标变为原来的ω倍，则得

到函数y ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1ωx 的图象．

陷阱4 遗漏条件致误

【典例4】 若a ，b ∈{－1,0,1,2}，则函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 有零点的概率为( ) A.1316 B.78C.34

D.58

[易错分析] 该题易出现的问题是求解基本事件的个数时，不按照一定的顺序列举导致漏、重现象． [正确解析] 法一：因为a ，b ∈{－1,0,1,2}，所以不同的取法为：

(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共16种．

当a ＝0时，f (x )＝2x ＋b ，无论b 取{－1,0,1,2}中何值，原函数必有零点，所以有4种取法；

当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 为二次函数，若有零点须使Δ≥0，即4－4ab ≥0，即ab ≤1，所以a ，

b 取值组成的数对分别为：(－1,0)，(1,0)，(2,0)，(－1,1)，(－1，－1)，(1,1)，(1，－1)，(－1,2)，(2，－

1)，共9种，

综上，所求的概率为

9＋416＝13

16

，故选A. 法二：(排除法)：由法一可知，总的方法种数为16， 其中原函数若无零点，则有a ≠0且Δ<0即ab >1，