2019高考数学考点突破——圆锥曲线曲线与方程学案

曲线与方程

【考点梳理】

1．曲线与方程的定义

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立如下的对应关系：

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.

2．求动点的轨迹方程的基本步骤

【考点突破】

考点一、直接法求轨迹方程

【例1】已知△ABC 的顶点B (0，0)，C (5，0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为________.

[答案] (1) A (2) (2，2) [解析] 设A (x ，y )，由题意可知D ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2，y 2. 又∵|CD |＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫y 22

＝9，即(x －10)2＋y 2＝36， 由于A ，B ，C 三点不共线，∴点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，

∴点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0).

【类题通法】

直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译

的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．

【对点训练】

在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点且直线AP

与BP 的斜率之积等于－13

，则动点P 的轨迹方程为________________． [答案] x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)

[解析] 因为点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，

所以点B 的坐标为(1，－1)．

设点P 的坐标为(x ，y )，

由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13

，化简得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)， 故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．

考点二、相关点(代入)法求轨迹方程

【例2】设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN ―→＝2MP ―→，PM ―→⊥PF ―→，当点P

在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．

[解析] 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，

∵PM ―→⊥PF ―→，PM ―→＝(x 0，－y 0)，PF ―→＝(1，－y 0)，

∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，

∴x 0＋y 20＝0.

由MN ―→＝2MP ―→，得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－x ，y 0＝12y ， ∴－x ＋y 2

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＝0，即y 2＝4x . 故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x .

【类题通法】

代入法求轨迹方程的四个步骤

(1)设出所求动点坐标P (x ，y )．

(2)寻找所求动点P (x ，y )与已知动点Q (x ′，y ′)的关系．

(3)建立P ，Q 两坐标间的关系，并表示出x ′，y ′.

(4)将x ′，y ′代入已知曲线方程中化简求解．

【对点训练】

如图，已知P 是椭圆x 2

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＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于点M .若PN ―→＝λNM ―→. (1)求N 点的轨迹方程；

(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．

[解析] (1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )，

则M 的坐标为(x 1，0)，且x ＝x 1，

∴PN ―→＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM ―→＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )，

由PN ―→＝λNM ―→得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )．

∴y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y .

∵P (x 1，y 1)在椭圆x 24

＋y 2＝1上， 则x 214

＋y 21＝1， ∴x 24

＋(1＋λ)2y 2＝1， 故x 24

＋(1＋λ)2y 2

＝1即为所求的N 点的轨迹方程． (2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14

， 解得λ＝－12或λ＝－32

. ∴当λ＝－12或λ＝－32

时，N 点的轨迹是圆． 考点三、定义法求轨迹方程

【例3】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.

[解析] 由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；

圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.

设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .

因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，

所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞|MN |＝2.

由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的

椭圆(左顶点除外)，其方程为 x 24＋y 23

＝1(x ≠－2). 【变式1】将本例的条件“动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切”改为“动圆P 与圆M 、圆N 都外切”，求圆心P 的轨迹方程.

[解析] 由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；

圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.

设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R ，

因为圆P 与圆M ，N 都外切，所以|PM |－|PN |＝(R ＋r 1)－(R ＋r 2)＝r 1－r 2＝－2， 即|PN |－|PM |＝2，又|MN |＝2，所以点P 的轨迹方程为y ＝0(x <－2).

【变式2】把本例中圆M 的方程换为：(x ＋3)2＋y 2＝1，圆N 的方程换为：(x －3)2＋y 2＝1，求圆心P 的轨迹方程.

[解析] 由已知条件可知圆M 和N 外离，所以|PM |＝1＋R ，|PN |＝R －1，

故|PM |－|PN |＝(1＋R )－(R －1)＝2<|MN |＝6，

由双曲线的定义知点P 的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 2－y 2

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＝1(x >1).

【变式3】在本例中，若动圆P 过圆N 的圆心，并且与直线x ＝－1相切，求圆心P 的轨迹方程.[解析] 由于点P 到定点N (1，0)和定直线x ＝－1的距离相等，

所以根据抛物线的定义可知，点P 的轨迹是以N (1，0)为焦点，以x 轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y 2＝4x .

【类题通法】

应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．

【对点训练】