数形结合的典型例题

数形结合思想

、数学结合思想

所谓的数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相

互转化来解决数学问题的思想。

数学结合思想的应用包括以下几个方面：

(1)“以形助数”把，某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维有形象思维，

提示数学问题的本质；

(2)“以数助形”，把直观图形数量化，使形更加精确。

二、运用数形结合需要熟练掌握“数”、“形”及其相互转化：

1．“数”：主要是指数和数量关系。

中学阶段的“数”有以下几类：

(1)复数；(2)代数式；(3)函数；(4)不等式；(5)方程；(6)向量。

2．“形”：主要是指图形，有点、线、面、体等。

中学阶段的“形”有以下几类：

(1)数轴；(2)Venn 图；(3)函数图象；( 4)单位圆；(5)方程的曲线；(6)平面几

何的图形；(7)立体几何图形；(8)可行域；

三、数形结合思想应用的关键：

1 ．由“数”联想到“；形2”．由“图”想“。数”

四、数形结合思想解决的问题类型：

1．运用数轴、Venn 图解决不等(组)的解集、

集合的运算问题；

2．运用平面直角坐标系和函数的图象解决

函数问题、不等式问题、方程问题; 3.三角函数与解三角形问题; 4 .立体几何问题; 5.可行域求最优解问题; 6.数列问题;

7 .方程曲线与曲线方程等解析几何问题; 8.复数冋题。

数形结合思想的典型试题 以形助数探索解题思路

sin7ix(0 < X < 1)

例6 :(改编题)已知函数f(x)斗'

'，若a,b,c 互不相等,且

Iog 2011 x(x >1)

f (a) = f (b) = f (c)，则 a +b +c 的取值范围是(C )

例7 .设0

【分析及解】 由式子 沁的结构可知,沁的的几何意义是连接两点 0(0,0 ) x x T(x,si nx )的直线的斜率，于是，可以画出y=s in x 的图象，研究两点Ax 1,si n 为)和 Bx 2,sinx 2 )与O(O,O )连线的斜率，由图象可知，k OA Ak oB ,即a Ab.

A . (1,2011)

B . (1,2012)

C . (2,2012)

D . [2,2012]

O a /b1

► x

2011

X 2

x

5

例8: (1)下列四个函数图象，只有一个是符合y =|k i x+b, | + |k 2x + b 2 ITk s x+b s I (其中

k i ,k 2,k 3为正实数，b i ,b 2,b 3为非零实数)的图象，则根据你所判断的图 象，k

1

, k 2

/

斗可一定成立的关系是

>x

变式: 已知函数f(x) =sn ^

x

(1)给出下列三个命题，其中真命题是

①②

①f(x)偶函数；②fg ;③当xp 时，f(x)取得极小值。

O

O

A . k t + k^ = k s

B . k t

= k^ =

k 3 C . k t + k 2》k 3 D . k t 中 k 2 吒 k 3

可行域与最值问题

例9.(周末练习7)设f (X)是定义在R 上的增函数，且对于任意的

X 都有

f(1^x +f (1片 X =0 恒成立.

「f(m 2-6m + 23 ) + f(n 2-8n)<0

2

2

如果实数m n 满足不等式组4 (

)(

丿，那么m 2 + n 2的取

m 〉3

值范围是()

解析：由已知可得f (X )的图象关于点(1,0)对中心对称，于是由

f(m 2 —6 m +23) + f(n 2 —8 n) c 0 可知：m 2—6 m + 23+n 2—8 n c 2

即(m -3)2 +(n -4)2 •<4，又由m >3，可得可行域如图: 答案：D

借助图形巧求参数的范围(值) 例 10.已知 m 忘 R ，函数 f(x) =x 2 +2(m 2 +1)x + 7,g(x) = —(2m 2 -m+2)x + m 。

(1)设函数p(x) = f (X )+g(x)，如果p(x) =0在(1,5)内有解但无重根，求实数 m 的取值范围;

A.(3, 7)

B.(9, 25)

C. (9, 49)

D. (13, 49)

fy

⑵函数h(x^J

f(x),^

，是否存在m ，对于任意非零实数a ，总存在 ig(x),x c0

唯一非零的实数b(bHa)，使得h(a)=h(b)成立，若存在，求m 的值, 若不存在，请说明理由。

⑵由题意得，当x>0时，h(x)=x 2 +2(m 2 +1)x + 7，h(x)在x>0时单调递增, 且值域A =[7,畑)，当X c O 时，h(x) = -(2m 2 -m +2)x + m 在x c 0时单调递减, 且值域B =(m,畑)

解析：(1) T p(x)=f(x) + g(x) =x 2 +mx +7+m ，令 p (x)=0，①

因为方程①在(1,5)内有

实数解，且没有重根，由p(x) = 0得

m = -x

^ =2-(X +1)-£，寫 x-(1,5)，

X +1 X +1

+6

令t =x +1,2 C t c 6，

8

从而原问题转化为函数y =2-1-8

(2<心6) 与直线y = m 有

交点但不相切。如图，-16 < m

3

但m =2 -4血 时有两个相等的根， 2-442

2-4^2

<2-442 16 3

>x

6