全等三角形专题练习(word版
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全等三角形专题练习(word版
一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)
1.如图,在长方形ABCD的边AD上找一点P,使得点P到B、C两点的距离之和最短,则点P的位置应该在_____.
【答案】AD的中点
【解析】
【分析】
【详解】
分析:过AD作C点的对称点C′,根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出
AC=PC′,从而根据两点之间线段最短,得出这时的P点使BP+PC的之最短.
详解:如图,过AD作C点的对称点C′,
根据轴对称的性质可得:PC=PC′,CD=C′D
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD
∴△ABP≌△DC′P
∴AP=PD
即P为AD的中点.
故答案为P为AB的中点.
点睛:本题考查了轴对称-最短路线问题,矩形的性质,两点之间线段最短的性质.得出动点P所在的位置是解题的关键.
2.已知A、B两点的坐标分别为(0,3),(2,0),以线段AB为直角边,在第一象限
内作等腰直角三角形ABC,使∠BAC=90°,如果在第二象限内有一点P(a,1
2
),且
△ABP 和△ABC 的面积相等,则a =_____.
【答案】-83
. 【解析】
【分析】
先根据AB 两点的坐标求出OA 、OB 的值,再由勾股定理求出AB 的长度,根据三角形的面积公式即可得出△ABC 的面积;连接OP ,过点P 作PE ⊥x 轴,由△ABP 的面积与△ABC 的面积相等,可知S △ABP =S △POA +S △AOB ﹣S △BOP =132,故可得出a 的值. 【详解】
∵A 、B 两点的坐标分别为 (0,3),(2,0),
∴OA =3,OB =2, ∴223+213AB ==,
∵△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC =90°, ∴1113•1313222
ABC S AB AC ⨯⨯===, 作PE ⊥x 轴于E ,连接OP ,
此时BE =2﹣a ,
∵△ABP 的面积与△ABC 的面积相等,
∴111•••222
ABP POA AOB BOP S S S S OA OE OB OA OB PE ++=﹣=﹣, 111113332222222a ⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=(﹣)﹣=
,
解得a =﹣83
.
故答案为﹣83.
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质,坐标与图象性质,三角形的面积公式,解题的关键是根据S △ABP =S △POA +S △AOB -S △BOP 列出关于a 的方程.
3.如图,BD 是ABC 的角平分线,AE BD ⊥,垂足为F ,且交线段BC 于点E ,连
结DE ,若50C ∠=︒,设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,
,则y 关于x 的函数表达式为
_____________.
【答案】80y x =-
【解析】
【分析】
根据题意,由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线,进而得到AD =ED ,求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式.
【详解】
∵BD 是ABC ∆的角平分线,AE BD ⊥
∴1122
ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=︒,90AFB EFB ∠=∠=︒ ∴1902BAF BEF x ∠=∠=︒-
︒ ∴AB BE =
∴AF EF =
∴AD ED =
∴DAF DEF ∠=∠
∵180BAC ABC C ∠=︒-∠-∠,50C ∠=︒
∴130BAC x ∠=︒-︒
∴130BED BAD x ∠=∠=︒-︒
∵CDE BED C ∠=∠-∠
∴1305080y x x ︒=-︒-︒=︒-︒
∴80y x =-,
故答案为:80y x =-.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及判定,三角形的内角和定理,三角形外角定理,角的和差倍分等相关知识,熟练运用角的计算是解决本题的关键.
4.如图,在△ABC 中,P ,Q 分别是BC ,AC 上的点,PR ⊥AB ,PS ⊥AC ,垂足分别是R ,S ,若AQ PQ =,PR PS =,那么下面四个结论:①AS AR =;
②QP //AR ;③△BRP ≌△QSP ;④BR
QS ,其中一定正确的是(填写编号)
_____________.
【答案】①,②
【解析】
【分析】
连接AP,根据角平分线性质即可推出①,根据勾股定理即可推出AR=AS,根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA,推出∠QPA=∠BAP,根据平行线判定推出QP∥AB即可;在Rt△BRP和Rt△QSP中,只有PR=PS.无法判断△BRP≌△QSP也无法证明BR QS.【详解】
解:连接AP
①∵PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS,
∴点P在∠BAC的平分线上,∠ARP=∠ASP=90°,
∴∠SAP=∠RAP,
在Rt△ARP和Rt△ASP中,由勾股定理得:AR2=AP2-PR2,AS2=AP2-PS2,
∵AP=AP,PR=PS,
∴AR=AS,
∴①正确;
②∵AQ=QP,
∴∠QAP=∠QPA,
∵∠QAP=∠BAP,
∴∠QPA=∠BAP,
∴QP∥AR,
∴②正确;
③在Rt△BRP和Rt△QSP中,只有PR=PS,
不满足三角形全等的条件,故③④错误;