矩阵论第一章
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戴华《矩阵论》 第一章线性空间与内积空间
这说明，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征。在 同构的意义下，n维向量空间Pn并不只是线性空间V 的一 个特殊例子，而是所有的n维线性空间的代表。即每一个
1 0 C1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0
而基 ( III ) 到基 ( II ) 的过渡矩阵为
1 1 C2 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
所以
( A , A2 , A3 , A4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C1 1 ( B1 , B2 , B3 , B4 ) ( E11 , E12 , E21 , E22 )C2
dim(V1 V2 ) dim(V1 ) dim(V2 ) dim(V1 V2 ).
在维数公式中，和空间的维数不大于子空间维数之和。那么何时等号成立呢？
V1 , V2 是数域 P 上线
性空间 V 的两个有限维子空间，则它们的交 与和
例1.4.6 设 S , K 分别是 n 阶实对称矩阵和反对称矩阵 的全体。显然容易证明 S , K 均为线性空间 R nn 的子
( III )
显然
1 A1 0 0 E11 E22 1 1 0 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 0 1
类似地，
1 A2 0 0 E11 E22 1 1 0 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 0 1 0 1 ( E11 , E12 , E21 , E22 ) 1 0
证明：
1 0 取1= 0 0
0 1 3= 0 0 2= 0 1 1 0
矩阵论-线性代数引论
限维空间，记dim V= ∞.
无限维空间很多，如
n
K={ ai i | ai Q, n N}, （为圆周率） i0
K为Q上的无限维线性空间.
设V是数域F上得线性空间， x1, , xr V ,若满足
1)x1, , xr线性无关, 2)V中任一x均可由x1, , xr线性表示. 则称x1, , xr为V的一个基底（基）.
二、维数，基底与坐标
设V为F上线性空间,xi V (i 1, , m), x V .若有ci F,
使得
x
=c 1
x1
c 2
x2
c m
xm
,
则称
x为
x1,
, xm的线性
组合,或者说x可由 x1, , xm线性表示.如果存在一组不
m
全为零的数k1, , km ,使得 ki xi ,则称向量组x1, , i 1
m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi ,则 i 1
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无
下都构成加群.
数域：若一个数集中任意两个数的和， 差，积，商（除数不为0）仍在该数集 中，则称该数集为数域.
如：有理数域，实数域，复数域等
线性空间：设(V, +)是一个加群，F 是一个数域，若 有 F 对 V 的数乘规则，使得 F,u V , 有V中唯
一元与之对应，记为 u ，且此规则满足：
3)存在零元 V 使得 u V , u u; 4)u V , 存在V中唯一负元-u,使得u+(-u)= .
无限维空间很多，如
n
K={ ai i | ai Q, n N}, （为圆周率） i0
K为Q上的无限维线性空间.
设V是数域F上得线性空间， x1, , xr V ,若满足
1)x1, , xr线性无关, 2)V中任一x均可由x1, , xr线性表示. 则称x1, , xr为V的一个基底（基）.
二、维数，基底与坐标
设V为F上线性空间,xi V (i 1, , m), x V .若有ci F,
使得
x
=c 1
x1
c 2
x2
c m
xm
,
则称
x为
x1,
, xm的线性
组合,或者说x可由 x1, , xm线性表示.如果存在一组不
m
全为零的数k1, , km ,使得 ki xi ,则称向量组x1, , i 1
m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi ,则 i 1
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无
下都构成加群.
数域：若一个数集中任意两个数的和， 差，积，商（除数不为0）仍在该数集 中，则称该数集为数域.
如：有理数域，实数域，复数域等
线性空间：设(V, +)是一个加群，F 是一个数域，若 有 F 对 V 的数乘规则，使得 F,u V , 有V中唯
一元与之对应，记为 u ，且此规则满足：
3)存在零元 V 使得 u V , u u; 4)u V , 存在V中唯一负元-u,使得u+(-u)= .
矩阵理论第一章课后习题答案
1.按通常矩阵的加法及数与矩阵的乘法，下列数域F 上方阵集合是否构成F 上的线性空间：（1）全体形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a-a 0的二阶方阵的集合； （2）全体n 阶对称（或反对称、上三角）矩阵的集合； （3）{|0,}n n V X AX X F ⨯==∈（A 为给定的n 阶方阵）.解：（1）设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111b a-a 0α⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222a 0b a β⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3330b a a γ ①αββα+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+111222212121222111b a -a 0a 00a 0b a -a 0b a b b a a a a b a ②)(0b a -a 0000a 0b a -a 0)(323232111321321321333212121333222111γβαγβα++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++b b a a a a b b b a a a a a a b a a b b a a a a b a a b a③存在零向量V ∈0，使得对每个V a ∈，a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+111111b a -a 00000b a -a 00④对每个V a ∈，存在负向量a -,使得0b -a a -0b a -a 0)(111111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+a a再令F y x ∈,⑤αα)(b a -a 0xyb xya -xya 0yb ya -ya 0b a -a 0)(111111111111xy xy x y x y x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ⑥αα=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111b a -a 011⑦βαβαx x b a xb xb xa xa xa xa b b a a a a x b a x x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+222111212121212121222111a 0b a -a 000a 0b a -a 0)(⑧ya xa yb xb yaxa ya xa y x y x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+111111*********yb ya -ya 0xb xa -xa 00b a -a 0)()(α所以全体形如⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a -a 0的二阶方阵的集合构成F 上的线性空间。
矩阵论第1章
例 1.1.4 在实数域上，m n 矩阵全体 R mn 按照通常矩阵 的加法，数与矩阵的乘法构成一个线性空间.
线性空间的三个重要例子：
P n , P[ x]n , P mn
1.1.2线性空间的性质
1 线性空间中零元素是唯一的．
2 线性空间中任一元素的负元素是唯一的．
3 0 0 ， (1) ， k 0 0 ．
向量组之间的等价关系具有如下性质． （1）反身性 每一个向量组都与它自身等价； （2）对称性 如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价，则 向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, m 等价； （3）传递性 如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价，且 向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, t 等价，则向量组 1 , 2 ,, m 与
（2）(加法结合律) ( ) ( ) ；
（3）(有零元)在 V 中存在元素 0 ，使对任何 V ，都 有 0 ，称 0 为零元素； （ 4 ） ( 有 负 元 ) 对 任 何 V ， 都 有 元 素 V ， 使
0 ，称 为 的负元素，记为 ；
所以 在基 1 , 2 , , n 下的坐标为 (a1 , a 2 a1 , , a n a n 1 ) ．
T
例 1.2.7 求线性空间 P[ x]n 的一个基、维数以及向量 p 在该基下的坐标．
容易看出，在线性空间 P3 x 2 ,, p n x n1 , p n 1 x n ，
T
例1.2.6 在 R n 中如下的 n 个向量
1 (1,1,1,,1), T 2 (0,1,1,,1) T , ， n (0,0,,0,1) T
矩阵论第一章内容总结
定理(展开定理) 行列式D等于它的任意一行（列） 的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
第一章内容总结
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1Aj1 ai2Aj2 ain Ajn 0, i j. ai1Aj1 ai2Aj2 ain Ajn D, i j.
定理 定理
一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 一个排列经过奇数次对换改变排列的奇偶性，偶数次 对换不改变奇偶性。
n 2 时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，
各为 n!2 个。
第一章内容总结
6. n阶行列式的定义
a11 a12 a1n
a21
a22
a2n
( j1 j2 jn )
(Байду номын сангаас) a a a 1 j1 2 j2
nj n
j1 j2 jn
an1 an2 ann
7. 上三角、下三角、对角行列式的值等于主对角线上元素 的乘积。
第一章内容总结
8、行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.
如果齐次线性方程组(Ⅱ)有非零解，则它的系数行 列式等于零．
11. 拉普拉斯展开
an1 ani ann an1 an i ann
4
第一章内容总结
推论 如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成 m个数(m为大于2的整数)的和, 则此行列式可以写 成m个行列式的和.
矩阵论第一章线性空间和线性变换
而开方运算则不是，因为显然有
∃x∈R, x ∉ R
（采用这种观点来读数学，你不觉得别有情致吗？）每一种作用都有 其特性，因而每种运算都有它所服从的规律——运算律，所以在定义 运算时，需要讨论或说明它的运算律。
既然如此，是否有某种方式来描述我们的物质世界呢？就宏观现 象而论，涉及到各式各样的物质，自然的作用使物质产生互变，而且 我们认为物质世界是“完备”的，这句话意味着人类的向往，例如“点 石成金”等这类愿望。从这些粗糙的认识出发，我们来探讨描述它的
§6.1 K 积……………………………………………………（258） §6.2 拉伸算子Vec ……………………………………………（264）
§6.3 几个常见的矩阵方程…………………………………（271） 参考目录……………………………………………………………（275）
第一章 线性空间和线性变换
§1.1 引言
12121212nnnnnxxyyxxyyxyfxyxyxy?????12????????????????????????????????定义数乘12nnnxxaxaxafxfaxaxax??????????????????????????????容易验证这些运算满足公理系的要求nff是线性空间
目录
第二章 特征值和特征向量………………………………………（86） §2.1 引言………………………………………………………（86） §2.2 特征值、特征多项式和最小多项式……………………（87） §2.3 特征矢量和特征子空间………………………………（103） §2.4 约当标准型……………………………………………（113） §2.5 特征值的分布…………………………………………（128） §2.6 几个例子………………………………………………（138）
∃x∈R, x ∉ R
（采用这种观点来读数学，你不觉得别有情致吗？）每一种作用都有 其特性，因而每种运算都有它所服从的规律——运算律，所以在定义 运算时，需要讨论或说明它的运算律。
既然如此，是否有某种方式来描述我们的物质世界呢？就宏观现 象而论，涉及到各式各样的物质，自然的作用使物质产生互变，而且 我们认为物质世界是“完备”的，这句话意味着人类的向往，例如“点 石成金”等这类愿望。从这些粗糙的认识出发，我们来探讨描述它的
§6.1 K 积……………………………………………………（258） §6.2 拉伸算子Vec ……………………………………………（264）
§6.3 几个常见的矩阵方程…………………………………（271） 参考目录……………………………………………………………（275）
第一章 线性空间和线性变换
§1.1 引言
12121212nnnnnxxyyxxyyxyfxyxyxy?????12????????????????????????????????定义数乘12nnnxxaxaxafxfaxaxax??????????????????????????????容易验证这些运算满足公理系的要求nff是线性空间
目录
第二章 特征值和特征向量………………………………………（86） §2.1 引言………………………………………………………（86） §2.2 特征值、特征多项式和最小多项式……………………（87） §2.3 特征矢量和特征子空间………………………………（103） §2.4 约当标准型……………………………………………（113） §2.5 特征值的分布…………………………………………（128） §2.6 几个例子………………………………………………（138）
矩阵论课件
6、基与维数的几何解释——直观解释
R
2
中，常用基
i
(1,0),
j
(0,1)
维数为2
R3 中，常用基 i (1,0，0), j (0,1，0)，k (0,0,1)
维数为3
固有特性：维数相当于向量所在直角系坐标轴的个数
注：含非零向量的任意线性空间必有基。
只含非零向量的零值空间所含的元素是n元向量，但维数为0.
基与维数： 基——极大无关组
维数——秩 3、特殊向量空间 平凡子空间
V自身 零子空间
非平凡子空间——真子空间（部分向量组成）
4、向量在基下的坐标
标准正交基/规范正交基：特殊极大无关组（正交单位向量组）
设 1，2，r 为向量空间的一组基，设 V， 则 k11 k22 krr，称 （k1，k2，kr）为β在 基 1，2，r下的坐标。
①（，）（，）②（ ，）（，）（，）
五、子空间及其判定
例：设 A Pnn (Rnn或C nn ), Pn 的子集W {x | Ax 0, x Pn} 就构成 Pn 的一个子空间，称为A的零空间（或核），也叫
方程 Ax 0 的解空间，记为N(A)，其维数记为null(A)
注：x是n元列向量，N(A)表示A的零空间。
例：设 A Pnn ，对满足 Ax x 的所有 P, x Pn , 称x所构
2、 a b ab
k a ak
构成线性空间
a,b R
注：①线性空间必含有零向量（零元素），且唯一
②线性空间中任意元素的负元素唯一
③ 0 0 零向量 ；k·0=0;(-1)α =-α
数0
二、线性空间的维数和基
例：全体n阶方阵构成线性空间，且维数为n 2
第一章矩阵理论(管理数学基础)
定理1：若1， ，s是方阵A的互异的特征值， x1， ，xs是分别相应于它们的特征向量，则 x1， ，xs 线性无关。 证：对s使用数学归纳法。 当s 1，因为任一个非零向量线性无关，所以定理 成立。 设对s 1个互异的特征值定理成立，要证对s个互异 的特征值定理也成立，为此令 k1 x1 ks 1 xs 1 k s xs 0， （） 1
T 线性( p11T1 pn1Tn， ，p1nT1 pnnT n ) (T1， ，T n ) P T (1 n ) P (1 n ) AP P 1 AP B P 1 AP。 称满足此关系式的A、B矩阵为相似的。
线性空间：即赋予了线性运算的非空集合。具体定义为： 设X是一个非空集合，K是数域（K为实数域R或复数域
C），若定义X中二元素之间的加法运算以及数域K中的数
与X中元素之间的数乘运算，并满足下列条件： • 加法运算“+”满足：对任意x、y∈X，x+y∈X，且
(1)交换律：x+y=y+x；
(2)结合律：对任意z∈X，(x+y)+z=x+(y+z)； (3)有零元：存在0∈X，使得对一切x∈X，有x+0=x（0称X
n T n 解： 记X x ( x1， ，xn ) R | xi 0 则 (1) i 1 任x，y X ，x y ( x 1 y1， ，xn yn )T 其分量和
(x y ) x y
i 1 i i i 1 i i 1 n n
在上式两边同乘以s 得 k1s x1 ks s xs 0， （2） 因为Axi i xi (i 1， ，s )，用A左乘(1)式得 k11 x1 ks 1s 1 xs 1 ks s xs 0， （3） 将(3)、 二式两边分别相减得 (2) k1 (1 s ) x1 ks 1 (s 1 s ) xs 1 0 由于x1， ，xS 1线性无关，且i s (i 1， s 1)，故必有k1 k s 1 0， 从而k s 0。即x1， ，xs 线性无关。
(课件)矩阵论
=
aB 11 1
+
(a12
−
a 11
)
B 2
+
( a 21
−
a 12
)
B 3
+
( a 22
−
a
21
)
B 4
坐标为
β
=
(a11
,
a 12
−
a 11
,
a
21
−
a 12
,
a 22
− a21 )Τ
[注] 一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同，也可能不同．
例如：
A
=
E 22
在上述两个基下的坐标都是 (0,
0,
(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即
∀ x ∈V , ∀ k ∈ K , 对应唯一 元素(kx)∈V , 且满足 (5) 数对元素分配律： k( x + y) = kx + ky (∀y ∈V ) (6) 元素对数分配律： (k + l )x = kx + lx (∀l ∈ K ) (7) 数因子结合律： k(lx) = (kl )x (∀l ∈ K ) (8) 有单位数：单位数1∈ K , 使得 1x = x . 则称V 为 K 上的线性空间．
mn
∑ ∑ (2) A = (ai j )m×n =
ai j Ei j ．
i=1 j=1
故 Ei j (i = 1,2,L, m ; j = 1,2,L, n) 是 R m×n 的一个基, dimR m×n = mn .
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
5
2．坐标：给定线性空间V
n
的基
x 1
解 采用中介法求过渡矩阵.
01_矩阵论_第一章线性空间与线性变换
则有
1 0 0 1 0 0 0 0 A a11 0 0 a12 0 0 a21 1 0 a22 0 1
因此 R22 中任何一个向量都可写成向量组
1 0 0 1 0 0 0 0 E11 0 0 , E12 0 0 , E21 1 0 , E22 0 1
Pn [ x] { ai xi | ai R}
i 0 n 1
在通常多项式加法和数乘多项式运算下构成线性 空间 Pn[x]。 值得指出的是次数等于 n 1 的多项式集合
V { ai x | ai R, an1 0}
i i [a, b] = {f (x) | f (x) 是区间 [a, b] 上 实连续函数 } ，对于函数的加法与数乘运算构成 实数域上的线性空间。
定义 1.3 设 1, 2, …, n 是线性空间 Vn(F) 的一组基，若 V,
xi i (1 2
i 1 n
x1 x2 n ) x n
(1.1)
则称数 x1, x2, …, xn 是 在基 {1, 2, …, n} 下 的坐标，(1.1) 式中向量 (x1, x2, …, xn)T 为 的坐 标向量，也简称为坐标。
从上述线性空间例子中可以看到，许多常见 的研究对象都可以在线性空间中作为向量来研究。 另外应理解加法和数乘分别是 V 中的一个二元运 算和数域 F 和 V 中元素间的运算，要求运算满足 定义 1.1 中的八条性质，它们已不再局限在数的 加法、乘法的概念中。
一个数学例子 取集合为正实数集合 R+，F 为实数域 R，加 法“”和数乘“”如下定义 ：a, bR+，ab = ab， ：kR(i.e. F )，aR+，k a = ak。 在此运算下，R+ 是 R 上的一个线性空间，其中 加法零元素是 R+ 中的数 1，R+ 中元素 a 的负元素 是 a1。
矩阵论第一章
k1 , k2 ,L, kr ∈ P ，使得
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
线性相关的 则称向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 为线性相关的；
不是线性相关的 （4）如果向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 不是线性相关的，即 ）
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
上零多项式作成的集合， 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘 上的一个线性空间， 表示． 法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示． 上的一个线性空间
P [ x ]n = { f ( x ) = a n − 1 x n − 1 + L + a 1 x + a 0 a n − 1 ,L , a 1 , a 0 ∈ P }
+ ∀a ∈ R + , ∀k ∈ R, k o a = a k ∈ R,且 ak 唯一确定． 唯一确定．
其次， 其次，加法和数量乘法满足下列算律 ① a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a ② (a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = (ab)c = a(bc) = a ⊕(bc) = a ⊕(b ⊕ c)
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的. 、零元素是唯一的
证明：假设线性空间 有两个零元素 有两个零元素0 证明：假设线性空间V有两个零元素 1、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 α ∈V ，的负元素是唯一的，记为- α ． 、 的负元素是唯一的，记为∀
证明： 证明：假设α 有两个负元素 β、γ ，则有
k ,α 的数量乘积 并记做 kα , 如果加法和数量乘法 的数量乘积,并记做
矩阵论第一章
二、基与维数
设X是数域K上的线性空间, { x1 , x2 ,L , xn } ⊂ X . 相关与无关 若存在不全为零的数 ai ∈ K , i = 1, 2,L , n, 使 则称 { x1 , x2 ,L , xn } 是线性相关的，否则称为线性无关的. 生成空间 设 E ⊂ X , 称
M中元素 的个数
当 A1 = A2 = L = An 时，记A = A1 × A2 ×L × An
n
习惯上：有理数集Q、实数集R、整数集Z、
{ } C = {α α = ( x , x ,L, x ) ,其中x ,L, x ∈ C} R = { A A = ( a ) , a ∈ R} C = { A A = ( a ) , a ∈ C}
矩阵论课件
2013.9
矩阵论简介 矩阵论是线性代数的深入，是用现代数学 的方法对有限维空间的描述与分析；对复杂矩 阵的分析、刻画与处理。 矩阵论不仅是学习数学理论的一个基本工 具，也是工程技术领域处理大量有限维空间形 式与数量关系的强有力工具。因此也是许多研 究方向的博士生入学考试的规定课程。
第一章
=0
故M为R
的子线性空间。
二、基与维数
1 0 0 1 0 0 取e1 = , e2 = , e3 = ∈ M. 0 −1 0 0 1 0 x1 x2 0 0 因为 x1e1 + x2e2 + x3e3 = = x − x 0 0 1 3
是Z到Z的双射；
x11 f4 x21
x12 x22
x13 = ( x11 , x12 , x13 , x21 , x22 , x23 ) x23
是R2×3到R6的双射。
第一章 矩阵论
A (a1 a2 an ) (a1 , a2 ,, an )
b1 b2 (3) 列矩阵 (又称为列向量) B bm
6
矩阵概念
(4)方阵中从左上角元素到右下角元素的元 素族称为主对角线.主对角线以外的元素都 是零的方阵称为对角矩阵，简称对角阵.记 为 a11 0 0 0 a22 0 diag a11 , a22 ,, ann 0 ann 0
第一章 矩阵论
1.1 矩阵的概念及其运算
1.2 矩阵的行列式
1.3 矩阵的初等变换与矩阵的秩
1.4 矩阵的逆
1.5 矩阵的分块、克莱默法则
1
1.1 矩阵的概念及其运算
1.1.1 矩阵的概念 1.1.2 矩阵的线性运算与乘法 1.1.3 矩阵的转置
2
矩阵概念
引例 产品分配问题：某厂向三个商店发送四个产品.
7
矩阵概念
(5)单位矩阵 主对角线上的元素全是1的对角阵
(6)上三角阵 主对角线下方所有元素均为零的 方阵; 下三角阵 主对角线上方所有元素均为零的 方阵.
1 0 E 0 0 0 1 0 0 1
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n A 0 0 ann
a11 0 0 a21 a22 0 B an1 an 2 ann
8
1.1.2 矩阵的线性运算与乘法
线性运算
加法 ：两同型矩阵
a11 a12 a21 a22 A am1 am 2 之和为 A B ( aij
b11 b12 b1n a1n b21 b22 b22 a 22 , B bm1 bm 2 bmn amn bij ) m n .
b1 b2 (3) 列矩阵 (又称为列向量) B bm
6
矩阵概念
(4)方阵中从左上角元素到右下角元素的元 素族称为主对角线.主对角线以外的元素都 是零的方阵称为对角矩阵，简称对角阵.记 为 a11 0 0 0 a22 0 diag a11 , a22 ,, ann 0 ann 0
第一章 矩阵论
1.1 矩阵的概念及其运算
1.2 矩阵的行列式
1.3 矩阵的初等变换与矩阵的秩
1.4 矩阵的逆
1.5 矩阵的分块、克莱默法则
1
1.1 矩阵的概念及其运算
1.1.1 矩阵的概念 1.1.2 矩阵的线性运算与乘法 1.1.3 矩阵的转置
2
矩阵概念
引例 产品分配问题：某厂向三个商店发送四个产品.
7
矩阵概念
(5)单位矩阵 主对角线上的元素全是1的对角阵
(6)上三角阵 主对角线下方所有元素均为零的 方阵; 下三角阵 主对角线上方所有元素均为零的 方阵.
1 0 E 0 0 0 1 0 0 1
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n A 0 0 ann
a11 0 0 a21 a22 0 B an1 an 2 ann
8
1.1.2 矩阵的线性运算与乘法
线性运算
加法 ：两同型矩阵
a11 a12 a21 a22 A am1 am 2 之和为 A B ( aij
b11 b12 b1n a1n b21 b22 b22 a 22 , B bm1 bm 2 bmn amn bij ) m n .
矩阵论课件
P 是数域， 若 n是正整数， 则系数属于 P 而未知元为 x 的
所有次数不超过 n 的多项式的集合，此集合连同零多 项式在内按通常多项式的加法及数与多项式的乘法， 构成数域 P 上的一个线性空间全体记作： Pn [ x ].
4 December 2014 河北科技大学
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, t 可以由1 , 2 ,
, s 线性表
, t 线性相关.
推论1 若 1 , 2 ,
, t 可 以 由 1 , 2 ,
, s 线 性 表 示 ， 且
1 , 2 , , t 线性无关，则 t s .
推论2 若 1 , 2 ,
, t 与 1 , 2 , , s 等 价 ，且 均 线性 无
实数域 R 上的线性空间简称为实线性空间； 复数域 C 上的线性空间简称为复线性空间.
下面看几个线性空间的例子.
4 December 2014
河北科技大学
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矩阵论
例1 若 P= 是数域，V 是分量属于 P= 的 n元有序数组的集合
V a1 , a2 ,
, an | ai P，i 1, 2,
矩阵论
例4 所有定义在区间 a , b a t b 上的实值连续
函数全体构成的集合， 按照函数的加法及数与函数 的数量乘法，构成实数域 R 上的一个线性空间，记 作： R a , b .
例5 实（复）系数齐次线性方程组 Ax 0（ A R mn
或 C mn ； x R n 或 C n ；行向量和列向量不做区别） 的解空间 S 构成 R 或C 上的一个线性空间.
才成立，称 x1 , x2 ,
第一章 矩阵论
例 设V为数域P上的线性空间， 1 , 2 ,, m 是V中的一组元素，则
Span 1 , 2 , , m k1 1 k 2 2 k m m k1 , k 2 , , k m P
是V 的子空间，称为 1 , 2 ,, m的生成子空 间， 1 , 2 ,, m称为该子空间的生成元. •
定义1.7 设 1 , 2 ,, n和 1 , 2 ,, n是n维线性空间 V 的两组基，显然它们可以互相线性表示，若
1 c11 1 c 21 2 c n1 n , 2 c12 1 c 22 2 c n 2 n , n c1n 1 c 2n 2 c nn n ,
1 x 3 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 1 3 x 3 2x 2 x 1 4 x 3 x 2 1
求由基 渡矩阵.
第三节 线性子空间
一.子空间的概念 定义 设V为数域P上的线性空间，W是V 的非空子集，若W关于V中的线性运算也 构成数域P上的线性空间，则称W是V的 线性子空间，简称子空间. 对任何线性空间V ,显然由V中单个零向 量构成的子集是V的子空间,称为V的零子空 间; V本身也是V的子空间.这两个子空间称 为V的平凡子空间.其它子空间称为V的非平 凡子空间.
二.线性空பைடு நூலகம்的定义与性质
1、线性空间的定义
定义
n 例2 n维向量空间 R（及其子空间）按照向量的加 法以及向量与实数的数乘都构成实线性空间。
例3 全体 m n实矩阵，在矩阵的加法及数乘两种运 算下构成一个实线性空间，记为 R mn .
例4 区间[a,b]上的全体连续实函数，按照函数的 加法及数与函数的乘法构成一个实线性空间，记为 C[a,b].
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定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为 集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作
a M
(或
a M ) .
表示法：
(1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 .
例: 有限集合 A a1 , a2 , , an
实质：二元关系是描述两个集合之间元素与元素 的关系或者是一个集合内部两个元素之间的关系， 它是满足某种规律的有序对全体。
例 1：
A与B之间是一个住宿关系。
设A {甲，乙，丙，丁}(四个人），B {1, 2,3} （三套房间），
显然，R {(甲，1),(乙，3),(丁，3),(丙，2)} A B
逆映射与复合映射
1.1.8 逆映射的定义
定义: 设有映射 使 称此映射 g为 f 的逆映射 , 习惯上 计为 f 1. 若f有逆映射，则称f可逆. 例如, 映射
A
f
f 1
若存在一新映射
B
其逆映射为
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定理1.1.4 设映射f :A→B是可逆的，则f 的逆 映射 f 1 是唯一的。
实数集合
R x x 为有理数或无理数
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2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B
若 A B 且 B A 则称 A 与 B 相等, 记作 A B . 例如 , , ,
主讲人: 赵洪涌教授 E-mail:h2862753@
课时:
60学时
教材: 《矩阵论》，戴华编，科学出版社。
主要参考书：
1. 方保镕，周继东编，矩阵论，清华大学出版社，2004.
2. 刘慧等，矩阵论及应用，化学工业出版，2003.
3.程云鹏，矩阵论，西安工业大学出版，2000. 4. 罗家洪，矩阵分析引论，华南理工大学出版，2002.
(3).分配律 : A (B C) ( A A (B C) ( A
B) B)
(A (A
C) C)
1.1.2
二元关系与等价关系
定义1.1.2 设A、B是两个非空集合，元素对 的集合 {( a, b) | a A, b B} 为A与B 的笛卡 儿积，记作 A B ，即
A B {( a, b) | a A, b B}
f 3 : C D, 则有
(1)
(2)
f 3 ( f 2 f1 ) ( f 3 f 2 ) f1;
f1 I A I B f1 f1.
f1 (1) 2
注意：复合映射一般不满足交换律。
如设A B C {1, 2}.定义： {
则(f 2 . f1 )(1) f 2 ( f1 (1)) f 2 (2) 1, 而
531教室座位 的集合
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定义1.1.7 则 f , 使得
设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
有唯一确定的 与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f ( x).
A R {[ a] | a A}
称为A关于R的商集。
特点： 1. 同一等价类之间有关系R, 而不同等价类之间 无此关系。 2. 由对集合中各元素性质的研究转化为对一个 等价类的研究，大大减少了工作量。
例 4： A={矩阵论五班学生}， R: 为同性别关系。
则【男】 ，【女1】 。 1 R {男生} R {女生}
称为映射 f1 和 f 2 的乘积（复合），记为 f 3 f 2 f1
C
f1 ( A)
注意: 构成复合映射的条件 f `1 ( A) B 不可少. 以上定义也可推广到多个映射的情形.
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定理1.1.3 设有映射 f1 : A B, f 2 : B C,
f1 (2) 1
,{
f 2 (1) 1
f 2 (2) 1
.
( f1. f 2 )(1) f1 ( f 2 (1)) f1 (1) 2, f 2 . f1 f1. f 2 .
定理1.1.5 映射f :A→B是可逆映射的充 分必要条件是 f 是A 到B 的双映射。
-1 设 f:A B 是可逆映射 ,f :B A为f的逆映射. 证明：
定理1.1.2 （1） 集合A上的每个等价关系R 都决定A的一个分类。 （2） 集合A的每个分类都决定A 上的一个等价关系。
证明 （1） 如果R是A上的等价关系，则 A/R给出了A的一个分类。
（2） 如果 {Bi } 是A的一个分类，令 R {( x, y) |存在 Bi ，使得 x Bi , y Bi } 则R是A上的一个等价关系。
自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n ,
(2) 描述法：指把集合中元素所具有的特征性质表示出来。
M x x 所具有的特征
x N Z x xN 或 例: 整数集合 p p 与 q 互质 Q p Z , q N , 有理数集 q
先证f是单映射。 对a1 , a2 A, f (a1 ) f (a2 ),
则 a1 (f-1 f )(a1 )=f-1 ( f (a1 ))=f-1 ( f (a2 ))=a2 , f是A B单映射;
再证f是满映射。对b B, 设f (b) a, 则
-1
f(a)=f(f-1 (b)) (f f-1 )(b) b,f是A B满映射， f是A B的双射。
显然有下列关系 :
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x
交集 A B x 差集 余集
或
A B
B A
A\ B
A B
且
且 x B
A \ B x
c BA
A \ B ( 其中B A )
A c BA
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f ( X ) f ( x) x X
称为 f 的 值域 .
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
必要性（略）。
定义1.1.11 设A 是一个非空集合，A 到 自身的映射称为A 的变换；A 到自身的双 映射称为A 的一 一变换；如果A 是有限集， A 的一一变换称为A 的置换。
复合映射
引例.
B
A f1
手电筒
f 2 . f1
C
复合映射
A
f 2 . f1
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定义1.1.9 设A、B、C是三个非空集合，并 设 有两个映射 f1 : A B, f 2 : B C, 由 f1 , f 2
确定 A 到 C 的映射 f 3 : a f 2 ( f1 (a))( a A)
A / R 【男】【女】 { 1 R, 1 R }.
例 5： Ａ＝｛５２张扑克｝ Ｒ1＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同花，ａ，ｂ是扑克｝ Ｒ2＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同点，ａ，ｂ是扑克｝
则
Ｒ1把Ａ分为四类同花类，
Ｒ2把Ａ分为１３类同点类。
定义1.1.6 设每个 Bi (i I ) 都是集合A的非空 子集，如果 A Bi ，并且对任意 i, j I ， iI 当 i j 时有 Bi B j ，则称 {Bi } 是A的 一个分类。
为A B上的一个二元关系。
例 2： A={矩阵论五班学生}。
显然，均来自于南京的同学关系R是A上的 一个二元关系。
想一想： 在该例中还存在什么关系？
例３： Ａ＝｛ 张华 ， 王兵 ， 陈平 ， 李兰
a1 a2 a3 a4
Ｂ＝｛ 软件， 硬件， 自动化， 遥感
b1 b2 b3 b4
则：Ｒ1＝｛（ａ1，ｂ1），（ａ1，ｂ3）， （ａ2，ｂ2），（ａ2，ｂ4）， （ａ3，ｂ3），（ａ3，ｂ4）, （ａ4，ｂ1），（ａ4，ｂ4） ｝ 是选双学位专业的二元关系。
特例: R R
记
R
2
B
A B
A
为平面上的全体点集
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定义1.1.3 设A、B是两个集合， A B 的子集 R 称为 A B 中的一个二元关系，即按某种 规定，定义了一个有序对(a,b)的集合R， 其中 a A, b B. 记为：aRb.
特别地，A A 中的二元关系简称为A上的 二元关系。
1.1 预备知识：集合· 映射与数域 1.2 线性空间 1.3 基与坐标
1.4 线性子空间
1.5 线性空间的同构
1.6 内积空间
1.1 预备知识：集合· 映射与数域
1.1.1 集合及其运算 1.1.2 二元关系与等价关系
1.1.3 映射
1.1.4 数域与代数运算
1.1.1
1. 定义及表示法
集合
定义1.1.4 若集合A上的一个二元关系R 满足
（1） 自反性：对任意 a A ，有aRa； （2） 对称性：对任意 则bRa；