中科大离散数学图论基础

产地 1
销地
3
16

下面考虑可行的输送方案，用边上方框内的数字表示该运 输线的实际运输量（单位：吨）：
4 21 2 4 2 8 3
产地 1
4 2 1 1
2 2 2
4
7 2
5 2 1 3
6
销地

运输方案：

2吨产品沿有向路P1（V1，V2，V4，V6）运到销地； 1吨产品沿有向路P2（V1，V2，V5，V6）运到销地； 2吨产品沿有向路P3（V1，V3，V5，V6）运到销地。 注意：需要满足实际的物理限制！

就需要定义一种参数来度量连通图连通程度的高低。
9

连通度

定义：连通度为 (G) min{|V || V 是G的顶点割集}



完全图的连通度定义为 ( Kn ) n 1，空图的连通度定义为0； 使得 | V | (G) 的顶点割集V’就是G的最小点割集； 若 (G) k ，则称G为k连通的； 所有非平凡连通图都是1-连通的； 就是一个图G最少要去掉 多少个点会变成非连通图。 若G不连通，则 (G) 0 ； 若G是平凡图，则 (G) 0 。


即从源出发的所有流的总和 或到达汇的所有流的总和
对所有的u,v∈V，要求f(u,v)<=c(u,v)；
对所有的u,v∈V，要求f(u,v)=-f(v,u)； 流量平衡方程
平衡约束（反对称性）：

流守恒性：

对所有u∈V-{s,t}，要求∑f(u,v)=0(v∈V)。
31
根据各点流量守恒的关系，可得下列各式： fsa+fsb+fsc=w (1) a 3 fat+fbt+fdt=w (2) 4 2 3 fsa+fba＝fat+fab (3) 2 3 b t s fsb+fcb+fab＝fba+fbt+fbd (4) 2 4 1 4 fsc＝fcb+fcd (5) c 2 d fbd+fcd＝fdt (6) 0≤fsa≤4，0≤fsb≤3，0≤fsc≤4，0≤fab≤2，0≤fba≤3， 0≤fat≤3，0≤fbt≤2，0≤fbd≤2，0≤fcb≤1，0≤fcd≤2， 0≤fdt≤2，w≥0
则称E’为图G的一个边割集。含有k条边的边割集称为 k-边割集。

对非平凡图G，若E’是一个边割集，则 G \ E 不连通； 一条割边构成一个1－边割集； S V (G ) ， 设 S V (G )， S , S ，记号[S,S’] 表示一端在S中 另一端在S’中的所有边的集合。对图G的每个边割集，必存在 非空的S V (G )，使得 [S, S ] 是G的一个边割集，其中S V \ S 。
4
2
3 8 3
产地 1
4 2 1 1
2
2 4
6
销地
19
4
2 3 8 3 2
产地 1
4 2 1 1
2 2 2 4 2 1 1
4
7 2 3 5 3
2 4
6
销地
4
产地 1
4
4
可以找到一条有向路： P4（V1,V2,V3,V4,V6） 能再增加1吨运输量 7 3 3 5
2 4
8 1
3
2
6 3
销地
1
2 2
20
说明

u
{u,v}是2-点割集
不管去掉多少结点， 剩下的图仍然连通
v
8
图的连通性

之前介绍过割点、割边、连通图的概念； 这里再补充一些概念和理论； 在连通图中，连通的程度也是有高有低；
(a)
(b)
(c)
图(a)、(b)删掉一个割点后，就不连通了，而图(c)，不管删掉那个点， 图仍然连通。（或者也可以用删掉边的条数来说明）
• 若E’是图G的一个边割集，而E’减少任意一条 边都不再是G的边割集，则称E’是G的一个极 小边割集；
• G中含边数最少的边割集称为G的最小边割集。
12

边连通度：
(G) min{|[S , S ]|| S V (G), S } 定义： 完全图的边连通度定义为 ( K ) 1 ；

网络流图中需要解决的基本问题



最大流问题 最大流最小割问题 最小费用最大流问题
25


流网络G=(V,E)是一个有向图，其中每条边(u,v)∈E均有 一个非负容量c(u,v)>=0； 如果(u,v)不属于E，则假定c(u,v)=0； 流网络中有两个特别的顶点：源点s和汇点t；
一个流网络的实例（红 色数字表示边的最大容 量，蓝色数字表示边上 的实际流量）
4
Biblioteka Baidu
2 4 8 1
产地 1
4 2 1 1 2 2 2 2
4
7 4
这里要注意，节点4 到节点6一定还应该 有剩余的运输能力。
3 4
3 5
6 3
销地
3 2
4 8 0 3
4
产地 1
4 3 1 1
2 2 2 2
4
再找不到可“改进”的 有向路了，该交通网的 最大运输量为8吨。 7 5 3 5 3 6
4 4
销地


空图的边连通度定义为0； (G) 0 ； 对平凡图或不连通图G， 若图G是含有割边的连通图，则 (G) 1 ； 若 (G) k，则称G为k－边连通的； 所有非平凡连通图都是1－边连通的； 使得 | E | (G ) 的边割集E’就是G的最小边割集。
去掉一个节点后，图不再连 通，或者连通分支增加了
u
v
7

点割集（顶点割集）
定义：

去掉结点集合后，图不再连 通，或者连通分支增加了


对图G，若V(G)的子集V’使得 w(G V ) w(G)，则称V’为图G 的一个点割集； 含有k个顶点的点割集称为k-点割集； 若V’是图G的一个点割集，而V’减少任意一个点都不再是G的 点割集，则称V’是G的一个极小点割集； G中含点数最少的点割集称为G的最小点割集。 割点是1－顶点割集； 完全图没有点割集。
连通度分别是多少？
10

割边
定义：设 e E (G)，如果 w(G e) w(G) ，则称e为G的一
条割边。
u
v
• 边e是G的割边当且仅当e不在G的任何回路中； • 一个连通图是树当且仅当它的每条边都是割边。
11

边割集
定义：对图G，若E(G)的子集E’使得 w(G E ) w(G) ，
非连通图
3

定义8.6 一个有向图，如果忽略其边的方向后得 到的无向图是连通的，则称此有向图是连通图， 否则称为非连通图。
有向连通图
非连通图
4

5
6

割点
定义：设 v V (G) ，如果 w(G v ) w(G) ，则称v为G的
一个割点。

w(G)表示图G的连通分支数。
去掉v后，连通 分支增加了
图G的结点中最小的度
定理： (G) (G) (G)
点连通度 边连通度
13

可靠通信网络的设计
问题描述：


要设计一个有线通讯网，使得敌人炸坏几通讯站后，其余的通 讯站仍然可彼此通话； 两个要求：

不怕被敌人炸坏站的数目要多； 整个造价最小。
可靠网络设计问题：给定赋权图G和正整数m，求G的
4
产地 1
4
3 4
8 1 3
2 1 1 2
4
7 4
3 5 3
6
销地
2
2 2
反向边上流量含义：
• 节点2需要发出1吨货物，而节点3需要接收1吨货物； • 可以让该路径上的节点3前一条边增加流量，保持节点3的总进 入流量不变； • 同时让该路径上节点2之后的边上也增加流量，保持节点2的出 发流量不变。
23
29
例：一个网络流图上的可行流：
a
(4,3)
容量
(3,2) (3,0)
容许流fat
s
(2,1) (3,2) (4,3)
b
(2,2)
t
(4,4)
(1,1)
(2,2)
(2,2)
c
d
30

整个流网络G的流量为： |f|=∑f(s,v)(v∈V) 或 |f|=∑f(u,t)(u∈V) 『三个重要性质』
容量约束：
具有最小权的m连通生成子图；

当m=1时，就是求最小生成树问题； 当m>1时，问题尚未解决； 当G=Kn且每边权皆为1时，问题成为：求Kn中边数最少的m-连 通生成子图。这一问题于1962年由Harary解决。
14
网络流理论

网络流理论是图论中的一种理论与方法，研究网络上的一 类最优化问题； 1955年，T.E.哈里斯在研究铁路最大通量时首先提出在一 个给定的网络上寻求两点间最大运输量的问题。1956年， L.R.福特和D.R.富尔克森等人给出了解决这类问题的算法， 从而建立了网络流理论； 目前网络流理论和应用在不断发展，出现了具有增益的流、 多终端流、多商品流以及网络流的分解与合成等新课题； 网络流的应用已遍及通讯、运输、电力、工程规划、任务 分派、设备更新以及计算机辅助设计等众多领域。


源点s：流出量 = 整个网络的流量 汇点t：流入量 = 整个网络的流量 中间点：总流入量 = 总流出量
那么整个网络中的流量称为一个可行流。
这个是真实的实体网络中的情况，如果针对通信网络来说，不一定满 足这样的条件：比如对于汇点来说，流入量可能大于整个网络的流量 （当然多的那些是重复的，但是它们还是占用了网络资源）



15
引例：运输方案


连接产品产地V1和销地V6的交通网，每一条边（Vi，Vj） 表示从Vi到Vj的运输线，产品经这条边由Vi输送到Vj，边上 的数字表示这条运输线的最大通行能力（简称容量）； 产品经过交通网从V1输送到V6，现要求制定一个输送方案， 使得从V1运到V6的产品数量最多。
4 2 8 4 1 2 4 4 7 6 5 2 3
24

通过上述实例分析，包含了流量因素的问题，是一类特殊 的图；

引例给出的交通网，其实具体的物理模型是多种多样的：


网络的有向边可以表示为城市之间的公路、电信网之间的通讯线路、 天然气站之间的输气管道等； 边的容量则可以表示为允许通过的物资数量、汽车数量、速率或最大 信号流量等。

这一类特殊的图，称为网络流图；
4
s 1
2 4 2 1 3
3 3
4 3 5
1 6
2 4
5 t
26

定义：带权的有向图G=(V,E)，满足以下条件，则 称为网络流图(flow network)：
（1）仅有一个入度为0的顶点s，称s为源点(source)或
出发点； （2）仅有一个出度为0的顶点t，称t为汇点(sink) 或结 束点； （3）每条边(u,v)的权值都为非负数，称为该边的容量， 记作c(u,v)； 满足上述的条件的图称为网络流图，也可以记作记为 G=(V,E,c)
27
例：一个网络流图：
a
源点
容量
4
s
2 3 3 b 1
3 2
汇点
t 4
4
2
d
c 2
中间点 中间点
28

对一个流网络G=(V,E,c)，每条边(u,v)上给定一个实数 f(u,v)，满足：0≤f(u,v) ≤ c(u,v)，则f(u,v)称为边(u,v)上的 流量。其中满足f(u,v)=c(u,v)的边称为饱和边。 如果有一组流量满足条件：
17
产地 1
4 21 2 4
2 8
4 2 1 1 2 2 2
4
7 2
3
合并各个边上的运输 量，得到运输方案 4
5
2 1 3
6
销地
总共有5吨产 品从V1运到V6
2
3 8 3
产地 1
4 2 1 1
2 2 2
4
7 2 3 5 3
2 4
6
销地
18

可行的运输方案必须满足以下三个条件：

实际运输量不能是负的； 每条边的实际运输量不能大于该边的容量； 除了起点V1和终点V6，对其它结点（中间点）来说，不能囤积物资， 即运到它那儿的物资是多少，从它那儿运走的物资也应该是多少。 思考：有没有可能改进运输方案？即 根据这个运输网，是否可增大运输量？ 4 7 2 3 2 2 5 3
正方向的边（V1，V3）、（V2，V4）、（V4，V6）都可
增加运输量； 反方向的边（V3，V2）的运输量为1；
4
2
4 8 1 3
产地 1
4 2 1 1
2 2 2 2
4
7 4 3 5 3
3 4
6
销地
22

如果将反向边（V3，V2）的运量调到正向边（V2，V4）上 去完成，这样有向路P6（V1，V3，V2，V4，V6）的运量可增 加1。 4 2
4
2
4 8 1 3 2 4
产地 1
P5（V1，V3，V4，V6） 也可再增加1吨运输量
4 2 1 1 2 1
4
7 3 3 5 3
2 4
6
销地
2 2
4
产地 1
思考：还能再增 加运输量吗？
3 4
8 1
3
4 2 1 1
4
7 4 3 5
2
6 3
销地
2
2 2
21

观察有向路P6（V1，V3，V2，V4，V6）
University of Science and Technology of China
图论补充内容
图的连通性 网络流 网络编码 图着色 超图 复杂网络

2
图的连通性相关概念

定义8.5 一个无向图G，如果它的任何两点间均 是可达的，则称图G为连通图，否则称为非连通 图。
连通图