概率统计案例-2020年高考复习典型试题精选

高考复习-概率统计案例典型试题精选

1. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为

A.ma n

B.na m

C. 2ma n

D. 2na m

【答案】C

设图形Ω面积的为S ,则由实验结果得2S m a n

=，解2

ma

S n =,所以选C.

2．为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”．比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表： 成绩等级

A

B C D E 成绩（分） 90 70 60 40 30 人数（名） 4

6

10

7

3

（Ⅰ）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B ”的概率；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数，求X 的分布列及其数学期望EX ； （Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率．

考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 专题： 概率与统计． 分析： （I ）本题是一个统计问题，根据统计数据，从而得出从本地区参加“数独比赛”的小学

生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B ”的概率得到结果．

（II ）由题意知由题意知随机变量X 可取0，1，2，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式写出变量的概率，写出分布列和做出期望值． （III ）设事件M ：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分．设从这30名学生中，随机选取2人，记两个人的成绩分别为m ，n ．得到基本事件的总数，不妨设m ＞n ，再对m ，n 的取值情形进行分类讨论算出各自的基本事件数，最

Ω

后根据概率公式计算即可求得事件M的概率．

解答：解：（I）根据统计数据可知，从本地区参加“数独比赛”的30名小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为=，

即从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为．

（II）由题意知随机变量X可取0，1，2，3，

∴P（X=0）=C（）0（）3=；P（X=1）=C（）1（）2=；

P（X=2）=C（）2（）=；

P（X=3）=C（）3（）0=；

所以X的分布列为（必须写出分布列，否则扣1分）

X0123

P

…（11分）

故Eξ=0×+1×+2×+3×=1，所求期望值为1．

（III）设事件M：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分．设从这30名学生中，随机选取2人，记两个人的成绩分别为m，n．

则基本事件的总数为，

不妨设m＞n，

当m=90时，n=60或40或30，基本事件的数为C（C+C+C）；

当m=70时，n=40或30，基本事件的数为C（C+C）；

当m=60时，n=30，基本事件的数为C C；

∴P（M）==．

∴从这30名学生中，随机选取2人，“这两个人的成绩之差大于20分”的概率为．

点评：本题考查等可能事件的概率，考查相互独立事件同时发生的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个典型的综合题目．

3．某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级．测试结果如下表：（单位：人）

优秀良好合格

男180 70 20

女120 a 30

按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人．

（1）求a的值；

（2）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X为抽取女生的人数，求X的分布列及数学期望．

考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．

专题：概率与统计．

分析：（I）利用分层抽样的计算公式即可得出，进而求出a的值；

（II）由题意，X所有取值0，1，2．在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生数=，抽取的女生数=5﹣2=3．根据古典概型的概率计算

公式分别计算出概率，即可得到分布列及数学期望．

解答：

解：（∴）设该年级共n人，由题意得，解得n=500．

则a=500﹣（180+120+70+20+30）=80．

（∴）依题意，X所有取值0，1，2．

在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生数=，抽取的女生数=5﹣2=3．

∴P（X=0）=，P（X=1）==，P（X=2）==．

X的分布列为：

X012

P

EX=．

点评：熟练掌握分层抽样的意义及其计算公式、古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望是解题的关键．

4．小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路

线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为．

（Ⅰ）若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率；

（Ⅱ）若小明上学走路线2，求遇到红灯次数X的数学期望；

（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择

一条最好的上学路线，并说明理由．

考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．

专题：概率与统计．

分析：（∴）走路线1最多遇到1次红灯为事件A，分为两种情况，一种是3次都没有遇到红灯，一种是很

重要一次遇到红灯，可知A～B，计算出即可；

（∴）由题意可得，X可能取值为0，1，2．利用独立事件的概率计算公式和互斥事件的概率计算公式即可得出概率，再利用数学期望计算公式即可；

（∴）设选择路线1遇到红灯次数为ξ，则ξ～B（3，），利用公式计算出Eξ与EX比较即可．

解答：解：（∴）设走路线1最多遇到1次红灯为事件A，则

P（A）==．

（∴）由题意可得，X可能取值为0，1，2．

∴P（X=0）==，

P（X=1）==，

P（X=2）=．

∴随机变量X的分布列为

遇到红灯次数X的数学期望EX==．

（∴）设选择路线1遇到红灯次数为ξ，则ξ～B（3，），

∴Eξ=．

∴Eξ＜EX，∴选择路线1上学最好．