第九章 多元线性回归异方差问题
计量经济学多元线性回归、多重共线性、异方差实验报告(推荐文档)
计量经济学实验报告多元线性回归、多重共线性、异方差实验报告、研究目的和要求:随着经济的发展，人们生活水平的提高，旅游业已经成为中国社会新的经济增长点。
旅游产业是一个关联性很强的综合产业，一次完整的旅游活动包括吃、住、行、游、购、娱六大要素，旅游产业的发展可以直接或者间接推动第三产业、第二产业和第一产业的发展。
尤其是假日旅游，有力刺激了居民消费而拉动内需。
2012年，我国全年国内旅游人数达到30.0亿人次，同比增长13.6%，国内旅游收入2.3万亿元，同比增长19.1%。
旅游业的发展不仅对增加就业和扩大内需起到重要的推动作用，优化产业结构，而且可以增加国家外汇收入，促进国际收支平衡，加强国家、地区间的文化交流。
为了研究影响旅游景区收入增长的主要原因，分析旅游收入增长规律，需要建立计量经济模型。
影响旅游业发展的因素很多，但据分析主要因素可能有国内和国际两个方面，因此在进行旅游景区收入分析模型设定时，引入城镇居民可支配收入和旅游外汇收入为解释变量。
旅游业很大程度上受其产业本身的发展水平和从业人数影响，固定资产和从业人数体现了旅游产业发展规模的内在影响因素，因此引入旅游景区固定资产和旅游业从业人数作为解释变量。
因此选取我国31个省市地区的旅游业相关数据进行定量分析我国旅游业发展的影响因素。
二、模型设定根据以上的分析，建立以下模型57丫=仇+ B1X 1+ 伍X 2+ B 3X 3+ 34 X 4 +Ut参数说明：旅游景区营业收入/万元X 1 旅游业从业人员/人 X 2 旅游景区固定资产/万元 X 3 旅游外汇收入/万美元 X 4城镇居民可支配收入/元收集到的数据如下（见表 2.1）:表2.1 2011年全国旅游景区营业收入及相关数据（按地区分） 地区 北 京 天 津 河 北 山 西内蒙 古辽 丿jA吉营业收入145249.0148712.3182226.8729465.0 70313.0 25665.3 20389.3 从业人 数1454 66 247879645771 3626 64812906 固定资产694252.393529.67 420342.7121809.7206819.146573.27 87827.16外汇收入可支配 收入5416017555 447655671967097 2713138528 32903. 0326920. 8618292. 2318123. 8720407.20466. 8417796.林0 6 57 黑龙38367.8 3034 137426.215696.91762江 1 1 7 18 上194762. 9110 563007.4 57511 36230. 海 3 6 4 8 48 江316051. 1401 1195000. 56529 26340. 苏65 54 60 7 73 浙385976. 1324 1110975. 45417 30970. 江92 59 20 3 68 安79562.7 5584 139769.0 11791 18606. 徽 5 0 2 8 13 福155378. 8030 151897.6 36344 24907. 建95 3 9 4 40 江54961.6 4179 17494.85528.05 41500西 6 1 87 山116995. 1430 327733.2 25507 22791. 东67 26 9 6 84 河222108. 7016 482005.3 18194.54903南33 4 2 80 湖104565. 6276 243794.618373.94018北58 7 2 87 湖118180. 806110143 18844.257226.7南87 5 4 05 广476345. 2265 1160675. 13906 26897. 东50 39 4 19 48 广66195.5 4987 143982.0 10518 18854. 西 5 6 3 8 06 海29081.6 3075 18368.70386.55 37615南0 9 95 重86713.6 5016 230124.0 96806 20249.庆7 0 0 70 四218624. 7075 464763.5 17899.59383川03 6 2 12 贵42214.1 2768 16495.62415.21 13507州 4 3 01 云135897. 6267 348426.0 16086 18575. 南97 9 4 1 62 西30406.7 462971.0 16195.6023 12963藏 3 3 56 陕48692.1 5707 154529.1 12950 18245. 西7 7 9 5 23 —30949.0 3128 14988.56684.68 1740肃0 0 68 青15603.1 -J 638.43 8741 9851.28 2659海31 /宁49509.8 1219 17578.23149.90 620夏 6 6 92 新28993.1 4045 15513.52280.36 46519疆 1 1 62 数据来源：1.中国统计年鉴2012，2.中国旅游年鉴2012。
多元线性回归(共线性 异方差 自相关)
多元线性回归
南开大学商学院 周宝源
w1xi1 + w2 xi 2 + ... + wk xik = 0
a Collinearity Diagnostics
Model 1
Dimension Eigenvalue 1 2.930 2 6.971E-02 3 1.060E-04
Condition Index 1.000 6.483 166.245
Variance Proportions (Constant) X1 X2 .01 .00 .00 .98 .00 .00 .00 1.00 1.00
（二）原因
1、经济变量的惯性 、 2、模型设定偏琦：省略解释变量的影响 、模型设定偏琦： 3、模型设定偏琦：错误的函数形式的影响 、模型设定偏琦： 4、滞后效应 、 5、其他原因 、
二、自相关主要后果
很可能高估R 很可能高估 2。 t-检验与 检验结果都变得无效。 检验与F-检验结果都变得无效 检验与 检验结果都变得无效。 其他
a. Predictors: (Constant), X b. Dependent Variable: Y
结
束
例：变量X、Y的部分 变量 、 的部分 数据如右表所示。 数据如右表所示。 下面运用图示法进行 分析模型是否存在严 重的异方差现象。 重的异方差现象。
从Analyze → Regression → Linear 打开 Linear 线性回归主对话框 将自变量与因变量分别选入相应框中。 点击“Plot”按钮，在新打开的对话框中将 将“DEPENDNT”选入“X”框中，将“*ZRESID” “*ZRESID”选入“Y”框中. 点击“Continue” 点击“OK”
第九章 REG-多元线性回归
多重共线性的处理方法
• • • • 剔除不重要的自变量； 增大样本容量； 把横截面数据与时间序列数据结合起来使用； 当样本资料来自时间序列时，可以对回归模型进 行差分，然后拟合差分后的模型； • 岭回归方法； • 主成分回归。
岭回归 自变量间存在多重共线性时
X 0,因此给 X 加上一个 k I(k 0), 那么 X X X k I接近奇异的程度会降低 X
K=0.02对应的岭回归方程为： import=-8.9277+0.057gdp+0.59542save+0.127consume 且三个变量的VIF都小于10，多重共线性不明显。
• • • • •
proc reg data=imports outest=result1 outvif; model import=gdp save consume/pcomit=1; run; proc print data=result1; 主成分回归 run;
2 ˆ ˆ 从而使 的方差阵 D ( ) （X ）1对角线上的元素很大， X ˆ 也 var( ) 很大 i
多重共线性的判断
（1）方差膨胀因子VIF：
1 VIFj 1 R2 j
其中R 2为第j个自变量对模型中其余自变量进行线性回 j 归所得到的拟合优度。
一般来说，VIFj 10，表明自变量间存在高度共线性。
outest=result：要求把岭回归估计值输出到数据集result中 Outvif: 要求把岭回归估计的VIF输出到数据集result中 ridge=0.0 to 0.1 by 0.01 0.2 0.3 0.4 0.5;指定一组岭迹参数 Plot/ridgeplot; 要求绘制岭迹图
多元线性回归模型常见问题及解决方法
Yi 0 1 X i1 2 X i 2
k X ik i ; i 1, 2, , n
基本假设 (1)随机扰动项ui数学期望（均值）为零。E(ui)=0 (2)随机扰动项ui的同方差性且无自相关Var(ui)=σ2 (3)解释变量X列线性无关。R(Xn×k)=K (4)随机扰动项ui与解释变量X不相关。cov(ui,X)=0
0 0 0 1 2 0
0 0 0 1 2
0 0 0 0 1
Yt 0 1 X t1
k X tk Yt 1 t
(4)回归模型含有截距项。 D.W.检验的原假设为：H0: ρ=0，即μt不存在一 阶自回归。
构造统计量：
DW . .
2 ( e e ) t t 1 t 2 2 e t t 1 n
n
该统计量的分布与给定样本中的X值有复杂关 系，其精确分布很难得到。
n1 n 2 2 n
其中，Ω为对称正定矩阵，故存在一可逆矩阵 D，使得 Ω=DD’ 用D-1左乘模型两边，得到新模型： D-1Y=D-1Xβ+D-1μ 即Y*=X*β+μ*
由于 E ( * * ') E[ D 1 '( D 1 ) '] D 1E ( ')( D 1 ) ' D 1 2( D 1 ) ' D 1 2 DD '( D 1 ) ' 2 I 故，可用普通最小二乘法估计新模型，记参数 ˆ * ，则 估计量为 ˆ * ( X * ' X * )1 X * ' Y * [ X '( D 1 ) ' D 1 X ]1 X '( D 1 ) ' D 1Y
多元线性回归模型原理
多元线性回归模型原理Y=β0+β1*X1+β2*X2+...+βn*Xn+ε其中，Y表示因变量，X1、X2、..、Xn表示自变量，β0、β1、β2、..、βn表示模型的参数，ε表示误差项。
通过对数据进行拟合，即最小化误差平方和，可以估计出模型的参数。
多元线性回归模型的原理是基于最小二乘法，即通过最小化残差平方和来估计参数的值。
残差是指模型预测值与真实值之间的差异，最小二乘法的目标是找到一组参数，使得所有数据点的残差平方和最小。
通过求解最小二乘估计，可以得到模型的参数估计值。
为了评估模型的拟合程度，可以使用各种统计指标，例如R方值、调整R方值、标准误差等。
R方值表示模型解释因变量方差的比例，取值范围在0到1之间，值越接近1表示模型对数据的拟合程度越好。
调整R方值考虑了模型中自变量的个数和样本量之间的关系，可以更准确地评估模型的拟合程度。
标准误差表示模型预测值与真实值之间的标准差，可以用于评估模型的预测精度。
在建立多元线性回归模型之前，需要进行一些前提条件的检查，例如线性关系、多重共线性、异方差性和自变量的独立性。
线性关系假设要求自变量与因变量之间存在线性关系，可以通过散点图、相关系数等方法来检验。
多重共线性指的是自变量之间存在高度相关性，会导致参数估计的不稳定性，可以使用方差膨胀因子等指标来检测。
异方差性指的是残差的方差不恒定，可以通过残差图、方差齐性检验等方法来检验。
自变量的独立性要求自变量之间不存在严重的相关性，可以使用相关系数矩阵等方法来检验。
当满足前提条件之后，可以使用最小二乘法来估计模型的参数。
最小二乘法可以通过不同的方法来求解，例如解析解和数值优化方法。
解析解通过最小化误差平方和的一阶导数为零来求解参数的闭式解。
数值优化方法通过迭代来求解参数的数值估计。
除了最小二乘法，还有其他方法可以用于估计多元线性回归模型的参数，例如岭回归和lasso回归等。
岭回归和lasso回归是一种正则化方法，可以对模型进行约束，可以有效地避免过拟合问题。
多元线性回归模型检验
多元线性回归模型检验引言多元线性回归是一种常用的统计分析方法，用于研究两个或多个自变量对目标变量的影响。
在应用多元线性回归前，我们需要确保所建立的模型符合一定的假设，并进行模型检验，以保证结果的可靠性和准确性。
本文将介绍多元线性回归模型的几个常见检验方法，并通过实例进行说明。
一、多元线性回归模型多元线性回归模型的一般形式可以表示为：$$Y = \\beta_0 + \\beta_1X_1 + \\beta_2X_2 + \\ldots + \\beta_pX_p +\\varepsilon$$其中，Y为目标变量，$X_1,X_2,\\ldots,X_p$为自变量，$\\beta_0,\\beta_1,\\beta_2,\\ldots,\\beta_p$为模型的回归系数，$\\varepsilon$为误差项。
多元线性回归模型的目标是通过调整回归系数，使得模型预测值和实际观测值之间的误差最小化。
二、多元线性回归模型检验在进行多元线性回归分析时，我们需要对所建立的模型进行检验，以验证假设是否成立。
常用的多元线性回归模型检验方法包括：1. 假设检验多元线性回归模型的假设包括：线性关系假设、误差项独立同分布假设、误差项方差齐性假设和误差项正态分布假设。
我们可以通过假设检验来验证这些假设的成立情况。
•线性关系假设检验：通过F检验或t检验对回归系数的显著性进行检验，以确定自变量与目标变量之间是否存在线性关系。
•误差项独立同分布假设检验：通过Durbin-Watson检验、Ljung-Box 检验等统计检验，判断误差项是否具有自相关性。
•误差项方差齐性假设检验：通过Cochrane-Orcutt检验、White检验等统计检验，判断误差项的方差是否齐性。
•误差项正态分布假设检验：通过残差的正态概率图和Shapiro-Wilk 检验等方法，检验误差项是否满足正态分布假设。
2. 多重共线性检验多重共线性是指在多元线性回归模型中，自变量之间存在高度相关性的情况。
《多元线性回归》PPT课件
ˆ 0.7226 0.0003 15674 103 .172 1 ˆ β ˆ 0 . 0003 1 . 35 E 07 39648400 0 . 7770 2
x11 x x 1n x k1 x kn
假设6：回归模型是正确设定的
§3.2
多元线性回归模型的参数估计
一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质 三、样本容量问题
参数估计的任务和方法
1、估计目标：回归系数βj、随机误差项方差б2 2、估计方法：OLS、ML或者MM * OLS：普通最小二乘估计 * ML：最大似然估计
E(X(Y Xβ )0
矩条件
*矩条件和矩估计量*
1、 E(X(Y Xβ ) 0 称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了
原总体回归方程所具有的内在特征。
2、如果随机抽出原总体的一个样本，估计出的样本回归方程：
ˆ 能够近似代表总体回归方程的话，则应成立： ˆ X Y
1 ˆ)0 X (Y Xβ n
第三章
多元线性回归模型
§ 3.1 多元线性回归模型
§ 3.2 多元线性回归模型的参数估计 § 3.3 多元线性回归模型的统计检验 § 3.4 多元线性回归模型的预测 § 3.5 可线性化的多元非线性回归模型 § 3.6 受约束回归
§3.1
多元线性回归模型
一、模型形式 二、基本假定
一、模型形式
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i ... k X ki i 0 j X ji i
#参数估计的实例
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，
第9章多元线性回归习题答案
第9章多元线性回归教材习题答案9.1 根据下面的数据用Excel进行回归，并对回归结果进行讨论，计算、时y 的预测值。
y x1x212 174 318 281 931 189 428 202 852 149 947 188 1238 215 522 150 1136 167 817 135 5详细答案：由Excel输出的回归结果如下：回归统计Multiple R 0.459234R Square 0.210896Adjusted R Square -0.01456标准误差13.34122观测值10方差分析df SS MS F Significance F回归分析 2 332.9837 166.4919 0.93541 0.436485残差7 1245.916 177.988总计9 1578.9Coefficients 标准误差t Stat P-value Lower 95% Upper 95%Intercept 25.0287 22.27863 1.12344 0.298298 -27.6519 77.70928X Variable 1 -0.04971 0.105992 -0.46904 0.653301 -0.30035 0.200918X Variable 2 1.928169 1.47216 1.309755 0.231624 -1.55294 5.409276得到的回证方程为：。
表示，在不变的条件下，每变化一个单位，y平均下降0.04971个单位；表示，在不变的条件下，每变化一个单位，y平均增加1.928169个单位。
判定系数，表示在因变量y的变差中能够被y与和之间的线性关系所解释的比例为21.09%。
由于这一比例很低，表明回归方程的拟合程度很差。
估计标准误差，预测误差也较大。
方差分析表显示，Significance F=0.436485>a=0.05，表明y与和之间的线性关系不显著。
南开大学计量课件多元线性回归异方差问题共43页文档
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
南开大学计量课件多元线性回归异方 问题
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
多元回归分析异方差73页PPT
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不待人 。
Hale Waihona Puke 61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
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多元线性回归参考答案
多元线性回归参考答案多元线性回归是统计学中一种常用的数据分析方法，它可以用来建立多个自变量与一个因变量之间的关系模型。
在实际应用中，多元线性回归被广泛用于预测、预测和解释变量之间的关系。
本文将介绍多元线性回归的基本概念、模型建立和解释结果的方法。
多元线性回归的基本概念是建立一个线性方程，其中有多个自变量和一个因变量。
方程的形式可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示回归系数，ε表示误差项。
回归系数表示自变量对因变量的影响程度，而误差项则表示模型无法解释的部分。
在建立多元线性回归模型之前，需要满足一些前提条件。
首先，自变量之间应该是线性关系，即自变量与因变量之间的关系可以用一条直线来表示。
其次，误差项应该是独立同分布的，并且服从正态分布。
最后，自变量之间不应该存在多重共线性，即自变量之间不应该有高度相关性。
建立多元线性回归模型的方法有很多，其中最常用的是最小二乘法。
最小二乘法的思想是通过最小化实际观测值与模型预测值之间的残差平方和来确定回归系数的估计值。
具体而言，通过求解最小化目标函数来得到回归系数的估计值。
目标函数可以表示为：min Σ(yi - (β0 + β1xi1 + β2xi2 + ... + βnxin))^2其中，yi表示第i个观测值的因变量的值，xi1、xi2、...、xin表示第i个观测值的自变量的值，β0、β1、β2、...、βn表示回归系数的估计值。
在得到回归系数的估计值之后，我们可以进行模型的解释和预测。
模型的解释可以通过回归系数的显著性检验来进行。
显著性检验可以判断回归系数是否与因变量存在显著的关联。
常用的显著性检验方法包括t检验和F检验。
t检验用于检验单个回归系数是否显著，而F检验用于检验整个模型是否显著。
模型的预测可以通过将自变量的值代入回归方程来进行。
多元回归异方差模型方差的局部多项式估计ppt
m(x0 )
m(x0 )(x
x0 )
m(x0 ) 2!
(x
x0 )2
...
m
p (x0 p!
)
(x
x0
)p
O
(x x0 ) p1
在统计建模方面，对x0周围的局部点，我们建模
m(x) 为
p
m(x) j x x0 j
j0
参数 j依赖于 x0 ，故称为局部参数。显然局部
多元回归异方差模型方差 的局部多项式估计
重庆理工大学 数学与统计学院
苏理云
合作者：赵彦勇 2011.3.3
目标：
• 通过对异方差的多元局部多项式估计， 改进多元线性异方差回归模型对参数估 计的不精准性。本文利用局部多项式回 归的非参数方法用于多元线性异方差模 型中的方差进行两阶段估计，改进了传 统的两阶段法，得到了估计的渐近正态 性，并且使得估计的精度进一步提高。
K Xi
X，yi
y
(7)
达到最小解，其中 0,1, , p T 为待估参数，h 为
带宽，K Xi X，yi y KHi Xi X ，在这里 KHi
定义为 KHi
Xi X
1 Hi
KHi
H i 1
Xi X
待估参数.讨论较多也较详细的是假定 2 2 cT , xi 2 和 i2 2 expcT , xi 等情况.这些模型的讨论，一方
面要求模型分析着必须对问题的实际背景有较深
入的了解，如公司利润的方差常常与家庭 收入呈正比；另一方面，方差函数形式的假
第09章 线性回归模型的异方差问题
ˆ y = a + bx
∑
ˆ ) 2 = m in (y − y
2
ˆ 由∑ ( y − y ) = min ，有 ∑ ( y − a − bx ) = min, 分别对函数中 a、 b求偏导数，并令其为零 ，有 2∑ ( y − a − bx )(− 1) = 0 2∑ ( y − a − bx )(− x ) = 0
14
(0.0019)
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
9.2 异方差的性质－方程回归结果图
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计量经济学讲义
9.2 异方差的性质－残差与观察值（销售额）关系图
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计量经济学讲义
9.2 异方差的性质
从残差图可以看出：残差的绝对值随着销售额的 增加而增加。 尽管残差ei与扰动项ui是两个不同的概念，根据ei 的变化并不能断言ui的方差也是变化的。但是，实践 u 中很难观察到ui，只能利用检验ei的变动来推断ui的 变化。 问题：如何理解残差ei与扰动项ui两个概念的差 别？
7
安徽大学经济学院
计量经济学讲义
一元线性回归分析－回归的假定条件
假定3 给定X，扰动误差项u的数学期望或均值为0， 即E（u|X）＝ 0。 Y
＋u ＋u －u －u －u
＋u
E(Y|X)=α+β*X
0
X
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计量经济学讲义
一元线性回归分析－回归的假定条件
假定4 误差扰动项u的方差为常数，即Var（u）＝σ2，称 之为同方差(homoscedasticity) 同方差的含义：每个Y值以相同的方差分布在其均值周 围，即Y偏离其均值的程度相同。 Y
多元回归分析异方差(共75张PPT)
Illustration of Heteroskedasticity 异方差图示
f(y|x)
wage
.
.
E(y|x) = b0 + b1x
.
primary secondary
college
Education level
5
A specific example: histograms of wage rates for each education degree, from only educated 1 year to 18 years. 一个具体例子：每一个教育年限（1－18年）对应人群的工资直方图
对异方差稳健的标准差，或
White standard error, or
White标准差，或 Huber standard error, or
Huber标准差，或
Eicker standard errors, or
Eicker 标准差
14
Robust Standard Errors 稳健标准差
残差平方和。
13
Variance with Heteroskedasticity 异方差存在时的方差
The square root of Var( bˆ j )is called: Var( bˆ j ) 开平方被称为
Heteroskedasticity-robust standard error, or
HSK－异方差稳健t, F, LM统计量
3
What is Heteroskedasticity (HSK) 什么是异方差
Recall the assumption of homoskedasticity implied that conditional on the explanatory variables, the variance of the unobserved error, u, was constant 同方差假定意味着条件于解释变量，不可观测误差的方差为常数
多元线性回归模型计量经济学
多重共线性诊断
通过计算自变量之间的相关系 数、条件指数等方法诊断是否
存在多重共线性问题。
异方差性检验
通过计算异方差性统计量、图 形化方法等检验误差项是否存
在异方差性。
03
多元线性回归模型的应用
经济数据的收集与整理
原始数据收集
通过调查、统计、实验等方式获取原始数据，确保数据的真实性 和准确性。
数据清洗和整理
在实际应用中，多元线性回归模型可能无法处理 非线性关系和复杂的数据结构，需要进一步探索 其他模型和方法。
随着大数据和人工智能技术的发展，多元线性回 归模型的应用场景将更加广泛和复杂，需要进一 步探索如何利用新技术提高模型的预测能力和解 释能力。
07
参考文献
参考文献
期刊论文
学术期刊是学术研究的重要载体， 提供了大量关于多元线性回归模 型计量经济学的最新研究成果。
学位论文
学位论文是学术研究的重要组成 部分，特别是硕士和博士论文， 对多元线性回归模型计量经济学 进行了深入的研究和探讨会议论文集中反映了多元线性回 归模型计量经济学领域的最新进 展和研究成果。
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模型定义
多元线性回归模型是一种用于描 述因变量与一个或多个自变量之 间线性关系的统计模型。
假设条件
假设误差项独立同分布，且误差项 的均值为0，方差恒定；自变量与 误差项不相关；自变量之间不存在 完全的多重共线性。
模型参数估计
最小二乘法
01
通过最小化残差平方和来估计模型参数，是一种常用的参数估
计方法。
05
案例分析
案例选择与数据来源
案例选择
选择房地产市场作为案例，研究房价 与影响房价的因素之间的关系。
多元线性回归方法及其应用实例
多元线性回归方法及其应用实例多元线性回归方法（Multiple Linear Regression）是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的回归分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
与简单线性回归不同，多元线性回归允许同时考虑多个自变量对因变量的影响。
多元线性回归建立了自变量与因变量之间的线性关系模型，通过最小二乘法估计回归系数，从而预测因变量的值。
其数学表达式为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中Y是因变量，Xi是自变量，βi是回归系数，ε是误差项。
1.房价预测：使用多个自变量（如房屋面积、地理位置、房间数量等）来预测房价。
通过建立多元线性回归模型，可以估计出各个自变量对房价的影响权重，从而帮助房产中介或购房者进行房价预测和定价。
2.营销分析：通过分析多个自变量（如广告投入、促销活动、客户特征等）与销售额之间的关系，可以帮助企业制定更有效的营销策略。
多元线性回归可以用于估计各个自变量对销售额的影响程度，并进行优化。
3.股票分析：通过研究多个自变量（如市盈率、市净率、经济指标等）与股票收益率之间的关系，可以辅助投资者进行股票选择和投资决策。
多元线性回归可以用于构建股票收益率的预测模型，并评估不同自变量对收益率的贡献程度。
4.生理学研究：多元线性回归可应用于生理学领域，研究多个自变量（如年龄、性别、体重等）对生理指标（如心率、血压等）的影响。
通过建立回归模型，可以探索不同因素对生理指标的影响，并确定其重要性。
5.经济增长预测：通过多元线性回归，可以将多个自变量（如人均GDP、人口增长率、外商直接投资等）与经济增长率进行建模。
这有助于政府和决策者了解各个因素对经济发展的影响力，从而制定相关政策。
在实际应用中，多元线性回归方法有时也会面临一些挑战，例如共线性（多个自变量之间存在高度相关性）、异方差性（误差项方差不恒定）、自相关（误差项之间存在相关性）等问题。
为解决这些问题，研究人员提出了一些改进和扩展的方法，如岭回归、Lasso回归等。
多元线性回归课件
线性关系
自变量与因变量之间存在线性 关系。
无异方差性
误差项的方差在所有观测值中 保持恒定。
无异常值
数据集中没有异常值。
02
多元线性回归的参 数估计
最小二乘法
最小二乘法是一种数学优化技术，其 基本思想是寻找一个函数，使得该函 数与已知数据点的总误差（或总偏差 ）的平方和最小。
最小二乘法通过构建残差平方和பைடு நூலகம்数 学模型，并对其求最小值来估计参数 ，这种方法具有简单、直观和易于计 算的特点。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是找到最佳参数值，使得实际观测 值与通过模型预测的值之间的残差平 方和最小。
参数的估计值与估计量的性质
参数的估计值是通过最小二乘法 或其他优化算法从样本数据中得
多元线性回归课件
目录
CONTENTS
• 多元线性回归概述 • 多元线性回归的参数估计 • 多元线性回归的评估与诊断 • 多元线性回归的进阶应用 • 多元线性回归的软件实现 • 多元线性回归的案例分析
01
多元线性回归概述
定义与模型
定义
多元线性回归是一种统计学方法，用于 研究多个自变量与因变量之间的线性关 系。
决定系数（R^2）
衡量模型解释变量变异程度的指标，值越接近1表示模型拟合度越好。
调整决定系数（Adjusted R^2）
考虑了模型中自变量的增加，对R^2进行调整后的拟合度指标。
均方误差（MSE）
衡量模型预测误差大小的指标，值越小表示模型预测精度越高。
变量的显著性检验
t检验
通过t统计量检验自变量对因变量 的影响是否显著，值越大表明该 变量越重要。
用于判断自变量之间是否存在多重共线性的指标，值小于阈值时可能存在多重共线性问 题。
第九章多元线性回归-异方差问题
记下这个回归的R平方 （3）构造F或LM统计量并计算p值（前者为 F2，n－3分布， 后者用 2 分布。
2
13
（五） 实例
使用Wooldridge中的数据HPRICE.RAW中的数据 来检验一个简单的住房价格方程中的异方差性。水平 变量模型为（分别采用水平变量和其对数项分别进行
回归分析）
price 0 1lotsize 2 sqrft 3bdrms
（2）误差方差与xi2成比例 Var(ui)=σ2 * xi2 其中σ2为常数，这时可以令权序列
wi 1/ xi
wi 1/ xi
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（一）加权最小二乘法
方差已知的情形 实例：住房支出模型 给出由四组家庭住房支出和年收入组成的截面数据， 建立住房支出模型，并检验和修正异方差。 （3）其他的与自变量xi的加权形式f(xi)
第九章 多元线性回归的异方差问题
一、异方差及其影响 二、异方差的发现和判断 三、异方差的解决方法
1
一、异方差及其影响
1、异方差的定义：
对于多元线性回归模型，如果随机扰动项的方差并非是 不变的常数，则称为存在异方差（heteroscedasticity)。
异方差可以表示为 Var i i2 。 或
2 下这个回归的R平方Ru 2。
4、检验零假设是
H 0 : 1 2 k 0
2 2 LM n Ru ~ 2 k
对方程（2）进行F检验，或计算LM统计量进行检验。
9
（三）戈里瑟检验
1、通常拟合 e 和 X j 之间的回归模型：
e X lj 根据图形中的分布选择
2000
1000
0
-1000
多元线性回归异方差问题
目 录
• 引言 • 异方差问题的识别 • 异方差问题的处理方法 • 异方差问题的实际应用 • 结论
01 引言
异方差问题的定义
异方差性
指回归模型中误差项的方差不恒 定，即随着解释变量的变化，误 差项的方差也会发生变化。
异方差性的来源
数据本身特性、模型设定误差、 随机误差等。
异方差问题对回归模型的影响
02
根据实际情况选择合适的权重，以使模型更加准确。
模型应用
03
将加权最小二乘法应用于多元线性回归模型中，以减少异方差
问题的影响。
04 异方差问题的实际应用
经济领域中的应用
预测经济指标
异方差问题在经济领域中常用于预测各种经济指标，如GDP、CPI、失业率等。 通过对历史数据的分析，可以建立多元线性回归模型，预测未来经济走势。
风险评估
金融机构在进行风险评估时，需要考虑各种风险因素对资产价值的影响程度。通 过解决异方差问题，可以更准确地评估风险水平，为风险管理提供依据。
医学领域中的应用
疾病预测与诊断
在医学领域中，疾病的发生和发展受到多种因素的影响，如基因、环境、生活习惯等。通过解决异方差问题，可 以建立多元线性回归模型，预测疾病的发生概率和诊断结果。
药物疗效评估
在临床试验中，药物疗效受到多种因素的影响，如患者个体差异、用药剂量等。通过解决异方差问题，可以更准 确地评估药物疗效，为新药研发提供科学依据。
05 结论
对多元线性回归模型的改进建议
使用稳健的标准误
在异方差情况下，使用稳健的 标准误（robust standard errors）可以更准确地估计回归 系数的标准误，从而更准确地 评估模型的有效性。
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方差的变异趋势相反, wi =1/i,, 将原模型两端同乘以wi。
wi使异方差经受了“压缩”和“扩张”变为同方差。
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（一）加权最小二乘法
方差已知的情形 对于一元线性回归模型y=b0+b1x+u，加权最小化残差平方
和为
w w y i b0 b1xi 获得的估计量就是加权最小二乘估计量。对于多元线性回
（2）误差方差与xi2成比例 Var(ui)=σ2 * xi2 其中σ2为常数，这时可以令权序列
wi 1/ xi
wi 1/ xi
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（一）加权最小二乘法
方差已知的情形 实例：住房支出模型 给出由四组家庭住房支出和年收入组成的截面数据， 建立住房支出模型，并检验和修正异方差。 （3）其他的与自变量xi的加权形式f(xi)
1
两变量线性回归模型的异方差
Y
0
Xi
Xj
X
2
1、异方差的定义
异方差主要出现在截面数据分析中，例如大公司的利 润变化幅度要比小公司的利润变化幅度大，即大公司利润 的方差比小公司利润的方差大。这取决于公司的规模、产 业特点和研究开发支出多少等因素。又如高收入家庭通常 比低收入家庭对某些商品的支出有更大的方差。 例6-1：人均家庭支出（cum)和可支配收入（in)的关系模型 给出中国1998年各地区城镇居民平均每人全年家庭交 通及通讯支出（cum)和可支配收入（in)的数据，估计两者 之间的关系模型
2 下这个回归的R平方Ru 2。
4、检验零假设是
H 0 : 1 2 k 0
2 2 LM n Ru ~ 2 k
对方程（2）进行F检验，或计算LM统计量进行检验。
8
（三）戈里瑟检验
1、通常拟合 e 和 X j 之间的回归模型：
e X lj 根据图形中的分布选择
（四）怀特检验（White test）
5
（一）残差的图形检验
这是一种最直观的方法，它以某一变量（通常取因变 量）作为横坐标，以随机项的估计量e或e2为纵坐标， 根据作出的散点图直观地判断是否存在相关性。如果
存在相关性，则存在异方差。通常的方法是先产生残
差序列，再把它和因变量一起绘制散点图。 例6-2：利用该方法绘制上一章关于美国机动车消费量 的模型中QMG与残差的散点图。
6
（二）Breusch-Pagan检验
假设回归模型如下：
Y 0 1x1 2 x2 k xk u
检验假定线性函数
(1)
u 2 0 1x1 2 x2 k xk v
(2)
7
步骤：
1、作普通最小二乘回归（1），不考虑异方差问题。 2、从原始回归方程中得残差ui，并求其平方。 3、利用原始模型中的解释变量作形如上式(2)的回归，记
一、异方差及其影响
1、异方差的定义：
对于多元线性回归模型，如果随机扰动项的方差并非是 不变的常数，则称为存在异方差（heteroscedasticity)。
异方差可以表示为 Var i i2 。 或
12 2 2 Ω Varε E εε 2 n
记下这个回归的R平方 （3）构造F或LM统计量并计算p值（前者为 F2，n－3分布， 后者用 2 分布。
2
12
（五） 实例
使用Wooldridge中的数据HPRICE.RAW中的数据 来检验一个简单的住房价格方程中的异方差性。水平 变量模型为（分别采用水平变量和其对数项分别进行
回归分析）
price 0 1lotsize 2 sqrft 3bdrms
5、Eviews计算：View-Residual Tests-White Heteroskedasticity . 应用：对例6-1进行White异方差检验
11
等价的White检验
（1）用OLS估计模型（3），得到残差和拟合值，计算它 们的平方； （2）做回归
u 2 0 1 y 2 y 2 v
l 1,1或 1 2
2、再检验零假设 ＝0（不存在异方差）。如果零假设 被拒绝，则表明可能存在异方差。
9
（四）怀特检验
假设有如下模型：
yi B0 B1x1i B2 x2i ui （3）
基本步骤：
1、首先用OLS方法估计回归方程（3）式。
2、然后作辅助回归：
2 （4） ui2 A0 A1x1i A2 x2i A3 x12i A4 x2 A x x v i 6 1i 2i i
10
（四）怀特检验
3、求辅助回归方程的R2值。在零假设：不存在异方差下，
White证明了，从方程（4）中获得R2值与样本容量（n）的
积服从卡方分布
n R2 2
自由度等于（4）式中的解释变量的个数。 4、根据样本计算统计量n*R2值，并与所选取的显著性水平进行
比较，看是否接受零假设（零假设为残差不存在异方差性）。
3
2、异方差的影响
1、OLS估计量不再是BLUE，其是无偏和一致的，但并 非有效的，即不再具有方差最小性。 2、检验假设的统计量不再成立，建立在t分布和F分布之 上的置信区间和假设检验不可靠。
4
二、异方差的发现和判断
（一）残差的图形检验
（二）帕克检验（Park test）
（三）戈里瑟检验（Glejser test）
2 i 2 i 2 i 2
归模型y=Xβ＋u，令权数序列wi =1/i ，W为N×N对角矩
阵，对角线上为wi ，其他元素为0。则变换后的模型为
Wy WX Wu
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（一）加权最小二乘法
方差已知的情形 （1）误差方差与xi成比例 Var(ui)=σ2 * xi 其中σ2为常数，这时可以令权序列
发现：采用水平模型存在异方差性，但采用对数模型不
存在异方差性。
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三、异方差的解决方法
加权最小二乘法 模型的每个观测值不同权数，从而
使模型的随机误差项具有同方差性。
15
（一）加权最小二乘法
方差已知的情形 假设已知随机误差项的方差为var(ui)= i2 , 设权数wi与异