2018年高中理科数学优化设计第一轮复习1.1
2018届高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习必修一 §1.1 集合及其运算
解析 集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，
易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，
故A∩B中有2个元素.
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题型分类 深度剖析
题型一
集合的含义
(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个 B.3 C.5 D.9
{x|x≤2或x≥10} ＝_______________.
解析 ∵A∪B＝{x|2<x<10}，
∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}.
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解析答案
5.已知集合A＝{(x，y)| x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y
＝x}，则A∩B的元素个数为___. 2
失误与防范
1.解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、
数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算.
2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集
的讨论，防止漏解.
3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与
集合的包含关系.
(∁RP)∩Q等于( C )
A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2]
解析 ∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁RP＝{x|0＜x＜2}，
∴(∁RP)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C.
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解析答案
4.(教材改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)
解析 由题意知，∁UB＝{2,5,8}， 则A∩(∁UB)＝{2,5}，选A.
【人教A版】2017-2018学年数学选修1-1优化练习：1.1 1.1.1 命 题 Word版含解析
[课时作业][A组基础巩固]1．以下语句中①{0}∈N②x2＋y2＝0③x2>x④{x|x2＋1＝0}命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假不是命题；④不是陈述句，不是命题．答案：B2．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：A应写成“若p则q”的形式，B是命题，C是假命题，当a>4时，方程x2－4x＋a＝0无实根，所以D项是假命题，故选D.答案：D3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是() A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交解析：由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b有可能异面．答案：D4．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4 B．2 C．0 D．－3解析：方程无实根，应满足Δ＝a2－4<0，故a＝0时适合条件．答案：C5．“若x2－2x－8＜0，则p”为真命题，那么p是()A．{x|－2＜x＜4}B．{x|2＜x＜4}C．{x|x＞4或x＜－2} D．{x|x＞4或x＜2}解析：由x2－2x－8＜0易得－2＜x＜4，故选A.答案：A6．命题“若a >0，则二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p ：________，结论q ：________________.它是______命题(填“真”或“假”)．解析：a >0时，设a ＝1，把(0,0)代入x ＋y －1≥0得－1≥0不成立，∴x ＋y －1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．答案：a >0 二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包含边界) 真7．把命题“已知a ，b 为正数，当a >b 时，有log 2a >log 2b ”写成“若p ，则q ”的形式：________________________________________________________________________.解析：“已知a ，b 是正数”是一个大前提．答案：已知a ，b 为正数，若a >b ，则log 2a >log 2b8．下列命题中，真命题是________．①若a 2＝b 2，则|a |＝|b |；②若M ∪N ＝N ，则M ⊆N ；③函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]是周期函数；④若直线l 与m 异面，m 与n 异面，则l 与n 异面．解析：①中a 2＝|a |2，b 2＝|b |2，故①正确；②正确；③x ∈[0,2π]时不符合周期函数的定义，不是周期函数；④l 与n 有可能共面．答案：①②9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假．(1)当1a >1b时，a <b ； (2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；(3)同弧所对的圆周角不相等．解析：(1)若1a >1b，则a <b ，假命题； (2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，真命题；(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，假命题．10．已知A ：5x －1>a ，B ：x >1，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．解析：若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1＋a 5，则x >1”．由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4； 若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1，则x >1＋a 5”．由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4. 故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如这里取a ＝1，则有真命题“若x >1，则x >25”． [B 组 能力提升]1．已知集合A ＝{x |x ＜2}，若a ∈A 是真命题，则a 的取值范围是( )A ．a ＜ 2B ．a ＞－ 2C ．－2＜a ＜ 2D ．a ＜－2或a ＞ 2 解析：∵a ∈A 是真命题，故a 2＜2. ∴－2＜a ＜ 2.答案：C2．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切． 其中真命题的序号为( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③ 解析：对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．答案：C3．命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立，∴ax 2－2ax －3≤0恒成立，∴当a ＝0时，－3≤0恒成立，当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0，∴－3≤a <0.综上－3≤a ≤0. 答案：[－3,0]4．将下列命题改写成“如果p ，那么q ”的形式，并判断命题的真假．(1)两条直线相交有且只有一个交点；(2)到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；(3)全等的两个三角形面积相等．解析：(1)如果两条直线相交，那么它们有且只有一个交点，是真命题．(2)如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上，是真命题．(3)如果两个三角形全等，那么它们的面积相等，是真命题．5．设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m )x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．解析：若命题p 为真命题，则可知m ≤1；若命题q 为真命题，则7－3m >1，即m <2.所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤1m ≥2或⎩⎨⎧m >1，m <2. 故m 的取值范围是1<m <2.。
优化设计高考一轮复习资料
优化设计高考一轮复习资料高考是每个学生都要面对的一场重要考试，一轮复习是备战高考的关键阶段。
而如何优化设计高考一轮复习资料，提高学习效果，成为了许多学生和家长关注的焦点。
本文将探讨一些优化设计高考一轮复习资料的方法和建议。
首先，一轮复习资料的内容应该全面、准确。
高考的范围广泛，各科目的知识点繁多，因此一轮复习资料应该包含全面的知识点，并且对每个知识点进行详细的解释和例题讲解。
同时，资料中的内容应该准确无误，避免出现错误或模糊的表达，以免给学生带来困惑和误导。
其次，一轮复习资料的形式应该多样化。
学生的学习方式各不相同，有的人喜欢看书，有的人喜欢听讲座，有的人喜欢做题。
因此，一轮复习资料可以以书籍、讲座、习题集等形式呈现，以满足不同学生的需求。
此外，还可以利用现代科技手段，开发一些互动性强、趣味性强的学习软件或APP，让学生在学习中更加主动、积极。
第三，一轮复习资料的难度应该适中。
复习资料的难度过高，容易让学生感到压力过大，产生挫败感；而难度过低，又无法真正提升学生的能力和水平。
因此，一轮复习资料应该根据高考的要求和学生的实际情况，设置适当的难度，既能够挑战学生，又能够让学生有所收获。
第四，一轮复习资料的布局应该合理。
布局的合理性包括章节设置的合理性和内容组织的合理性。
章节设置应该按照知识点的逻辑关系和复习的顺序进行划分，让学生能够有条理地进行复习。
内容组织应该清晰明了，重点突出，以便学生能够更好地理解和记忆。
第五，一轮复习资料的辅助工具应该齐全。
在复习过程中，学生可能需要使用一些辅助工具，如计算器、几何工具、实验器材等。
因此，一轮复习资料应该提供相应的辅助工具，并且对其使用方法进行详细的说明，以帮助学生更好地完成复习任务。
最后，一轮复习资料的更新和调整也是必要的。
高考的内容和要求会随着时间的推移而有所变化，因此，一轮复习资料应该及时更新，以符合最新的考试要求。
同时，根据学生的反馈和实际情况，对资料进行调整和改进，以提高学习效果。
2018年高中数学优化设计第一轮复习单元质检六A
单元质检六数列(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a6=15,S9=99,则等差数列{a n}的公差是()A. B.4 C.-4 D.-32.公比为的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=()A.4B.5C.6D.73.(2016河北衡水中学考前仿真二)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a1>0,且,当S n取最大值时,n的值为()A.9B.10C.11D.124.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足:3a1-+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=()A.9B.12C.16D.365.(2016陕西汉中市质检二)设S n是数列{a n}的前n项和,当n≥2时,点(a n-1,2a n)在直线y=2x+1上,且{a n}的首项a1是二次函数y=x2-2x+3的最小值,则S9的值为()A.6B.7C.36D.32 〚导学号37270578〛6.(2016河北保定一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x(1-x).若数,则f(a11)=()列{a n}满足a1=,且a n+1=-A.2B.-2C.6D.-6 〚导学号37270579〛二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2016河北唐山一模)已知S n为等比数列{a n}的前n项和,且S n=2a n-1,则数列{a n}的公比q=.8.已知等比数列{a n}满足a2+8a5=0,设S n是数列的前n项和,则=.〚导学号37270580〛三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2016河南郑州一模)已知数列{a n}的首项为a1=1,其前n项和为S n,且数列是公差为2的等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(-1)n a n,求数列{b n}的前n项和T n.10.(15分)(2016河南八市重点高中4月质检)数列{a n}满足a n=6-(n∈N*,n≥2).-是等差数列;(1)求证:数列-(2)若a1=6,求数列{lg a n}的前999项的和.11.(15分)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·22n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.〚导学号37270581〛参考答案单元质检六数列(A)1.B解析∵{a n}是等差数列,a6=15,S9=99,∴a1+a9=22,∴2a5=22,a5=11.∴公差d=a6-a5=4.2.B解析由等比中项的性质得a3a11==16,又数列{a n}各项为正,所以a7=4.所以a16=a7q9=32.所以log2a16=5.3.B解析不妨设a6=9t,则a5=11t,故公差d=-2t,其中t>0.因此a10=t,a11=-t,即当n=10时,S n取最大值,故选B.4.D解析由3a1-+3a15=0得=3a1+3a15=3(a1+a15)=3×2a8,即-6a8=0,因为a8=b10≠0,所以a8=6,b10=6,所以b3b17==36.5.C解析由点(a n-1,2a n)在直线y=2x+1上,得2a n=2a n-1+1,a n-a n-1=,故数列{a n}是公差为的等差数列.由函数y=x2-2x+3的最小值为2,得a1=2,故S9=9×2+×9×8×=36.6.C解析设x>0,则-x<0.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).由a1=,且a n+1=-,得a2=--=2,a3=--=-1,a4=---.……所以数列{a n}是以3为周期的周期数列,即a11=a3×3+2=a2=2.所以f(a11)=f(a2)=f(2)=2×(1+2)=6.7.2解析∵S n=2a n-1,∴a1=2a1-1,a1+a2=2a2-1,解得a1=1,a2=2.∴等比数列{a n}的公比q=2.8.-11解析由a2+8a5=0得a1q+8a1q4=0,解得q=-.易知是等比数列,公比为-2,首项为,所以S2=----=-,S5=----,所以=-11.9.解(1)∵数列是公差为2的等差数列,且=a1=1,∴=1+(n-1)×2=2n-1.∴S n=2n2-n.∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3.又a1符合a n=4n-3,∴a n=4n-3.(2)由(1)可得b n=(-1)n a n=(-1)n·(4n-3).当n为偶数时,T n=(-1+5)+(-9+13)+…+[-(4n-7)+(4n-3)]=4×=2n;当n为奇数时,n+1为偶数T n=T n+1-b n+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1.综上,T n=∈--∈10.(1)证明∵------------(n≥2),∴数列-是等差数列.(2)解∵-是等差数列,且-,d=.∴--(n-1)=.∴a n=.∴lg a n=lg(n+1)-lg n+lg 3.设数列{lg a n}的前999项的和为S,则S=999lg 3+(lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+…+lg 1 000-lg 999)=999lg 3+lg 1 000=3+999lg 3.11.解(1)由已知,当n≥1时,a n+1=[(a n+1-a n)+(a n-a n-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.而a1=2,所以数列{a n}的通项公式为a n=22n-1.(2)由b n=na n=n·22n-1知S n=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1.①从而22·S n=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1.②①-②,得(1-22)S n=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1,即S n=[(3n-1)22n+1+2].。
创新设计全国通用2018版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合练习理北师大版201703310142
第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合练习理北师大版基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则( )A.A＝BB.A∩B＝∅C.A BD.B A解析∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1∉B，∴B A.答案 D2.(2016·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3}解析由(x＋1)(x－2)<0，得－1<x<2，又x∈Z，所以B＝{0，1}，因此A∪B＝{0，1，2，3}.答案 C3.(2017·宝鸡模拟)已知集合A＝{x|lg x>0}，B＝{x|x≤1}，则( )A.A∩B≠∅B.A∪B＝RC.B⊆AD.A⊆B解析由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.答案 B4.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若P∪M＝P，则a的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.[1，＋∞)C.[－1，1]D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1，1].答案 C5.(2016·山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )A.(－1，1)B.(0，1)C.(－1，＋∞)D.(0，＋∞)解析由y＝2x，x∈R，知y>0，则A＝(0，＋∞).又B＝{x|x2－1<0}＝(－1，1).因此A∪B＝(－1，＋∞).答案 C6.(2016·浙江卷)已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合P ＝{1，3，5}，Q ＝{1，2，4}，则(∁U P )∪Q ＝( )A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}解析 ∵U ＝{1，2，3，4，5，6}，P ＝{1，3，5}，∴∁U P ＝{2，4，6}，∵Q ＝{1，2，4}，∴(∁U P )∪Q ＝{1，2，4，6}.答案 C7.若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A.1B.3C.7D.31解析 具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2. 答案 B8.已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( )A.{x |x ≥0}B.{x |x ≤1}C.{x |0≤x ≤1}D.{x |0<x <1}解析 ∵A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，∴A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，在数轴上表示如图.∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}.答案 D二、填空题9.已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.答案 (－∞，1]10.(2016·天津卷)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，则A ∩B ＝________. 解析 由A ＝{1，2，3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，∴B ＝{1，3，5}，因此A ∩B ＝{1，3}. 答案 {1，3}11.集合A ＝{x |x <0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}，若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________.解析 由x (x ＋1)>0，得x <－1或x >0，∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A －B ＝[－1，0).答案 [－1，0)12.(2017·合肥质检)已知集合A ＝{x |x 2－2 016x －2 017≤0}，B ＝{x |x <m ＋1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________.解析 由x 2－2 016x －2 017≤0，得A ＝[－1，2 017]，又B ＝{x |x <m ＋1}，且A ⊆B ，所以m ＋1>2 017，则m >2 016.答案 (2 016，＋∞)能力提升题组(建议用时：10分钟)13.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则(∁R S )∩T ＝( )A.[2，3]B.(－∞，－2)∪[3，＋∞)C.(2，3)D.(0，＋∞) 解析 易知S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁R S ＝(2，3)，因此(∁R S )∩T ＝(2，3).答案 C14.(2016·黄山模拟)集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{x |x ≥1}B.{x |1≤x <2}C.{x |0<x ≤1}D.{x |x ≤1}解析 易知A ＝(－1，2)，B ＝(－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}.答案 B15.(2017·南昌十所省重点中学模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |14≤2x ≤16，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，则A ∩B 中元素的个数是________.解析 由14≤2x ≤16，x ∈N ， ∴x ＝0，1，2，3，4，即A ＝{0，1，2，3，4}.又x 2－3x >0，知B ＝{x |x >3或x <0}，∴A ∩B ＝{4}，即A ∩B 中只有一个元素.答案 116.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＋n＝________.解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.所以m＋n＝0.答案0。
2018年高中数学优化设计第一轮复习考点规范练50课后习题Word版
考点规范练50双曲线基础巩固1.(2016吉林白山三模)当双曲线x 2m+8−y26-2m=1的焦距取得最小值时,其渐近线的斜率为()A.±1B.±23C.±13D.±122.(2016河南信阳、三门峡一模)若双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,一条渐近线的方程为y=2e-1x,则e=()A.2B.3C.2D.63.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上,则双曲线的方程为()A.x 221−y228=1 B.x228−y221=1C.x 23−y24=1 D.x24−y23=14.已知F1,F2是双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点是P,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是() A.2 B.3 C.2 D.55.设F1,F2分别为双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=94ab,则该双曲线的离心率为()A.43B.53C.94D.3 〚导学号37270497〛6.(2016河南焦作二模)已知双曲线x 2a2−y2b2=1的一个焦点为F(2,0),且双曲线与圆(x-2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为()A.32B.2C.3D.4 〚导学号37270498〛7.(2016河北南宫一中三模)若双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14,则该双曲线的离心率为.8.(2016山东,理13)已知双曲线E:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.9.设A,B分别为双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=t OD,求t的值及点D的坐标.〚导学号37270499〛10.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA·OB的最小值.〚导学号37270500〛能力提升11.(2016浙江,理7)已知椭圆C1:x 2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2:x2n2-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.m>n,且e1e2>1B.m>n,且e1e2<1C.m<n,且e1e2>1D.m<n,且e1e2<1 〚导学号37270501〛12.(2016东北三省四市二模)已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.52B.5C.2D.2 〚导学号37270502〛13.若点P在曲线C1:x 216−y29=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是.〚导学号37270503〛14.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为2,求实数k的值.〚导学号37270504〛15.如图,O为坐标原点,双曲线C1:x 2a12−y2b12=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:y2a22+x2b22=1(a2>b2>0)均过点P233,1,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|OA+OB|=|AB|?证明你的结论.〚导学号37270505〛高考预测16.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形,其中上半个圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点.(1)试求双曲线的标准方程.(2)记双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,试在“8”字形曲线上求点P,使得∠F1PF2是直角.〚导学号37270506〛参考答案考点规范练50 双曲线1.B 解析由题意可得6-2m>0,即m<3.由c 2=m 2+8+6-2m=(m-1)2+13,可得当m=1时,焦距2c 取得最小值,此时双曲线的方程为x 29−y 24=1.故渐近线方程为y=±23x , 即其渐近线的斜率为±23. 2.C 解析因为e=c ,双曲线x 22−y 2b2=1的渐近线方程为y=±bx ,所以 2e -1=ba .又b= c 2-a 2,所以 2e -1= c 2-a2a 2= e 2-1,即为e 2=2e ,解得e=2(e=0舍去). 3.D解析因为双曲线x 22−y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b x ,所以2b= 3.① 又因为抛物线y 2=4 7x 的准线为x=- 7,所以c=2+b 2= 7. ②由①②,得a 2=4,b 2=3.故所求双曲线的方程为x 24−y 23=1.4.D 解析不妨设点P 位于第一象限,F 1为左焦点,|PF 2|=m-d ,|PF 1|=m ,|F 1F 2|=m+d ,其中m>d>0,则有(m-d )2+m 2=(m+d )2,解得m=4d ,故双曲线的离心率e=|F 1F 2||PF 1|-|PF 2|=5.5.B 解析由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a ,又|PF 1|+|PF 2|=3b ,所以(|PF 1|+|PF 2|)2-(|PF 1|-|PF 2|)2=9b 2-4a 2, 即4|PF 1|·|PF 2|=9b 2-4a 2, 又4|PF 1|·|PF 2|=9ab , 因此9b 2-4a 2=9ab ,即9 b a 2−9ba -4=0,则 3ba +1 3ba -4 =0,解得b a=43 b a=-13舍去 ,则双曲线的离心率e= 1+ ba2=53.6.B解析因为双曲线x 2a 2−y 2b2=1的一个焦点为F (2,0),所以c=2,因为双曲线与圆(x-2)2+y 2=1相切,所以圆心为F (2,0),半径R=1. 所以c-a=1,即a=1,所以双曲线的离心率e=ca =2.7.2 33 解析因为双曲线的一条渐近线方程为y=ba x ,即为bx-ay=0,一个焦点为(c ,0),所以焦点到渐近线的距离为a 2+b=b=1×2c=1c ,所以c 2=a 2+b 2=a 2+1c 2,得c =2 3. 8.2 解析由双曲线和矩形的对称性可知AB ⊥x 轴,设点A 的横坐标为c ,则由c 2a 2−y 2b2=1,解得y=±b 2a .不妨设A c ,b 2 ,B c ,-b 2 ,则|AB|=2b 2,|BC|=2c ,由2|AB|=3|BC|,c 2=a 2+b 2得离心率e=2或e=-1(舍去),所以离心率为2. 9.解(1)由题意知a=2 3,故可得一条渐近线方程为y=23x ,即bx-2 3y=0,所以b +12= 3.所以b 2=3,所以双曲线的方程为x 2−y 2=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),D (x 0,y 0),则x 1+x 2=tx 0,y 1+y 2=ty 0. 将直线方程代入双曲线方程得x 2-16 3x+84=0, 则x 1+x 2=16 3,y 1+y 2=12.故 x 00=4 3,x 02-y 02=1,解得 x 0=4 3,y 0=3. 由OM +ON =t OD,得(16 3,12)=(4 3t ,3t ),故t=4,点D 的坐标为(4 3,3). 10.解(1)由|PM|-|PN|=2 2知动点P 的轨迹是以M ,N 为焦点的双曲线的右支,实半轴长a= 2.又焦距2c=4,所以虚半轴长b= c 2-a 2= 2. 所以W 的方程为x 22−y 22=1(x ≥ .(2)设A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).当AB ⊥x 轴时,x 1=x 2,y 1=-y 2,从而OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=x 12−y 12=2.当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y=kx+m (k ≠±1),与W 的方程联立,消去y 得(1-k 2)x 2-2kmx-m 2-2=0,则x 1+x 2=2km 1-k2,x 1x 2=m 2+2k 2-1,所以OA ·OB=x 1x 2+y 1y 2 =x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m ) =(1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)(m 2+2)k 2-1+2k 2m 21-k2+m 2=2k 2+2k 2-1=2+4k 2-1.又因为x 1x 2>0,所以k 2-1>0.所以OA ·OB>2. 综上所述,当AB ⊥x 轴时,OA ·OB取得最小值2. 11.A 解析∵椭圆与双曲线的焦点重合,∴m 2-1=n 2+1. ∴m 2-n 2=2,∴m>n.∵e 1= 1-1m 2,e 2= 1+1n 2, ∴e 1e 2= 1-1m 2 1+1n 2= 1+1n 2-1m 2-1m 2n 2= 1+m 2-n 2-1m 2n 2= 1+1m 2n 2>1.故选A .12.C 解析设F (c ,0),渐近线方程为y=b a x ,可得点F 到渐近线的距离为 a 2+b=b ,即有圆F 的半径为b.令x=c ,可得y=±b c 2a 2-1=±b 2a .由题意可得b2a =b ,即a=b ,则c= a 2+b 2= 2a. 即离心率e=ca = 2.13.10 解析依题意得,点F 1(-5,0),F 2(5,0)分别为双曲线C 1的左、右焦点,因此有|PQ|-|PR|≤|(|PF 2|+1)-(|PF 1|-1)|≤||PF 2|-|PF 1||+2=2×4+2=10,故|PQ|-|PR|的最大值是10. 14.解(1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点,则方程组 x 2-y 2=1,y =kx -1有两个不同的实数根,整理得(1-k 2)x 2+2kx-2=0.故 1-k 2≠0,Δ=4k 2+8(1-k 2)>0, 解得- 2<k< 2,且k ≠±1.双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时,k 的取值范围是(- 2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2). (2)设交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l 与y 轴交于点D (0,-1), 由(1)知,C 与l 联立的方程组可化简为(1-k 2)x 2+2kx-2=0. 故 x 1+x 2=-2k 1-k 2,x 1x 2=-21-k 2.当A ,B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时,S △OAB =S △OAD -S △OBD =1(|x 1|-|x 2|)=1|x 1-x 2|; 当A ,B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时, S △OAB =S △ODA +S △OBD =1(|x 1|+|x 2|)=1|x 1-x 2|. 故S △OAB =1|x 1-x 2|= 2,即(x 1-x 2)2=(2 2)2, 即-2k1-k2 2+81-k2=8,解得k=0或k=± 6. 又- 2<k< 2,且k ≠±1,所以当k=0或k=± 6时,△AOB 的面积为15.解(1)设C 2的焦距为2c 2,由题意知,2c 2=2,2a 1=2.从而a 1=1,c 2=1.因为点P 2 3,1 在双曲线x 2-y2b 12=1上,所以 2 32−1b 12=1.故b 12=3. 由椭圆的定义知2a 2= 2 332+(1-1)2+ 2 332+(1+1)2=2 3.于是a 2= 3,b 22=a 22−c 22=2.故C 1,C 2的方程分别为x2-y 23=1,y 23+x 22=1.(2)不存在符合题设条件的直线.①若直线l 垂直于x 轴,因为l 与C 2只有一个公共点,所以直线l 的方程为x= 2或x=- 2.当x= 2时,易知A ( 2, 3),B ( 2,- 3),所以|OA +OB |=2 2,|AB |=2 3.此时,|OA +OB |≠|AB |.当x=- 2时,同理可知,|OA +OB |≠|AB |.②若直线l 不垂直于x 轴,设l 的方程为y=kx+m.由 y =kx +m ,x 2-y 23=1 得(3-k 2)x 2-2kmx-m 2-3=0.当l 与C 1相交于A ,B 两点时, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是上述方程的两个实根, 从而x 1+x 2=2km 3-k2,x 1x 2=m 2+3k 2-3.于是y 1y 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=3k 2-3m 2k 2-3.由y=kx+m,y23+x22=1得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得2k2=m2-3,因此OA·OB=x1x2+y1y2=m 2+3k2-3+3k2-3m2k2-3=-k2-3k2-3≠0,于是OA2+OB2+2OA·OB≠OA2+OB2-2OA·OB,即|OA+OB|2≠|OA−OB|2,故|OA+OB|≠|AB|.综合①②可知,不存在符合题设条件的直线.16.解(1)上半圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,则圆心为(0,2),半径为2 2.则下半圆所在圆的圆心为(0,-2),半径为2 2.双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,即为(-2,0),(2,0),即a=2.由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点,则令y=2,解得x=±2 2.即交点为(±22,2).设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),则82−4b2=1,且a=2,解得b=2.则双曲线的标准方程为x24−y24=1.(2)由(1)知双曲线的左、右焦点分别为F1(-22,0),F2(22,0).若∠F1PF2是直角,则设P(x,y),则有x2+y2=8.由x2+y2=8,x2-y2=4,解得x2=6,y2=2.由x2+y2=8,x2+(y±2)2=8,解得y=∓1,不满足题意,舍去.故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为(6,2),(-6,2),(-6,-2),(6,-2).11。
2018年高中数学优化设计第一轮复习滚动测试卷二
滚动测试卷二(第一~五章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2016河南开封四模)集合A={x∈N||x-1|≤1},B={x|y=-},则A∩B的子集个数为()A.1B.2C.4D.8=()2.(2016山西运城4月模拟)复数-A.1-2iB.1+2iC.-1+2iD.-1-2i3.下列结论正确的是()A.若命题p:∀x>0,都有x2>0,则p:∃x0≤0,使得≤0B.若命题p和p∨q都是真命题,则命题q也是真命题C.在△ABC中,a,b,c是内角A,B,C所对的边,则a<b的充要条件是cos A>cos BD.命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x≠-2或x≠1,则x2+x-2≠0”4.(2016河南高考押题)如图,阴影区域是由函数y=cos x的一段图象与x轴围成的封闭图形,则这个阴影区域的面积是()A.1B.2C. D.π5.(2016辽宁沈阳三模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)=-log2(-2x),则f(32)=()A.-32B.-6C.6D.646.先把函数f(x)=sin-的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再把新得到的图象向右平移个单位,得到y=g(x)的图象.当x∈时,函数g(x)的值域为()A.-B.-C.-D.[-1,0)7.设x0是函数f(x)=-log2x的零点.若0<a<x0,则f(a)的值满足()A.f(a)=0B.f(a)<0C.f(a)>0D.f(a)的符号不确定8.(2016山东师大附中仿真)在四边形ABCD中,AC⊥BD,且AC=2,BD=3,则的最小值为()A. B.- C. D.-9.(2016山西运城4月模拟)设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=-,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(107.5)=()A.10B.C.-10D.-10.(2016山西太原三模)已知函数y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=1对称,则sin 2φ=()A.-B.-C.D.11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若cos B==2,且S△ABC=,则b=()A.4B.3C.2D.1 〚导学号37270666〛12.(2016山西运城4月模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且对任意的x∈R,都有f'(x)<,则不等式f(log2x)>的解集为()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,2)D.(2,+∞) 〚导学号37270667〛二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知|a|=,|b|=2,若(a+b)⊥a,则a与b的夹角是.14.(2016河南开封四模)已知函数f(x)=-(其中e为自然对数的底数),则函数y=f(f(x))的零点是.15.(2016山西太原一模)已知非零向量a,b的夹角为60°,且|a-b|=1,则|a+b|的最大值是.〚导学号37270668〛16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=1,则c=.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+c|的最大值;(3)若tan αtan β=16,求证:a∥b.18.(12分)(2016山东昌乐二中模拟)请你设计一个包装盒,如图所示,四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB 上,且E,F是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(单位:cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(单位:cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.〚导学号37270669〛19.(12分)函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)=-,求函数g(x)在x∈-上的最大值,并确定此时x的值.20.(12分)(2016山西运城4月模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足2a cos B=2c-b.(1)求角A;(2)若△ABC的面积为,且a=,请判断△ABC的形状,并说明理由.21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f'.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)设函数g(x)=(f(x)-x3)·e x,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围.〚导学号37270670〛22.(12分)已知函数f(x)=x2-a ln x(a∈R).(1)若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值;(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围;(3)讨论方程f(x)=0的解的个数,并说明理由.〚导学号37270671〛参考答案滚动测试卷二(第一~五章)1.C解析∵集合A={x∈N||x-1|≤1}={0,1,2},B={x|y=-}={x|-1≤x≤1},∴A∩B={0,1}.∴集合A∩B的子集个数为22=4,故选C.2.A解析------=-=1-2i,故选A.3.C解析若命题p:∀x>0,都有x2>0,则p:∃x0>0,使得≤0.故A错误;若命题p和p∨q都是真命题,则命题q可能是真命题,也可能是假命题.故B错误;在△ABC中,由a<b可知0<A<B<π,而y=cos x在(0,π)内单调递减,故cos A>cos B,C 正确;命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x≠-2且x≠1,则x2+x-2≠0”.故D错误.故选C.4.B解析由题意可知阴影区域的面积是S=-cos x d x=-sin x=2.故选B.5.B解析因为当x<0时,f(x)=-log2(-2x),且函数f(x)是R上的偶函数,所以f(32)=f(-32)=-log264=-6,故选B.6.A解析依题意得g(x)=sin--=sin-,当x∈时,2x--,sin--,此时g(x)的值域是-.选A.7.C解析f(x)=-log2x为减函数,f(x0)=-log2x0=0,由0<a<x0,可知f(a)>f(x0)=0.8.B解析设AC与BD相交于点O,以O为原点,AC,BD为坐标轴建立平面直角坐标系,设C(a,0),D(0,b),则A(a-2,0),B(0,b-3),故=(2-a,b-3),=(-a,b).∴=a(a-2)+b(b-3)=(a-1)2+-.∴当a=1,b=时,取得最小值-.9.B解析∵f(x+3)=-,∴f(x+6)=-=--=f(x).∴函数f(x)是以6为周期的函数.∴f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=-=--=--.故选B.10.A解析y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)=πx+φ-α),其中sin α=,cos α=.∵函数y的图象关于直线x=1对称,∴π+φ-α=+kπ,k∈Z,即φ=α-+kπ,k∈Z.∴sin 2φ=sin 2-=sin(2α-π+2kπ)=sin(2α-π)=-sin 2α=-2sin αcos α=-2×=-,故选A.11.C解析由cos B=,0<B<π得sin B=.又=2得=2,即c=2a.由S△ABC=ac sin B=a2·,得a=1.所以c=2.由b2=a2+c2-2ac cos B=1+4-2×1×2×=4,得b=2. 12.C解析设g(x)=f(x)-x.∵f'(x)<,∴g'(x)=f'(x)-<0.∴g(x)是R上的减函数.又f(1)=1,∴f(log2x)>=log2x+,即g(log2x)=f(log2x)-log2x>=g(1)=f(1)-=g(log22).∴log2x<log22.又y=log2x是定义域上的增函数,∴0<x<2.∴不等式f(log2x)>的解集为(0,2).故选C.13.150°解析因为(a+b)⊥a,所以(a+b)·a=0⇔a2+b·a=0⇔3+b·a=0,所以b·a=-3,可知a与b的夹角的余弦值为-=-.则a与b的夹角为150°.14.e解析令f(x)=t,则y=f(t).由f(t)=0,可得t=1;由f(x)=1,可得x=e.故函数y=f(f(x))的零点是e.15.解析∵|a-b|=1,∴a2+b2-2|a||b|cos 60°=1,即a2+b2=1+|a||b|≥2|a||b|.∴|a||b|≤1,当且仅当|a|=|b|=1时等号成立.∴|a+b|==°=.∴2|a||b|+1≤3.∴|a+b|的最大值是.16.解析由内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,可知AB=c,AC=b,BC=a.由,得cb cos A=ca cos B.故由正弦定理得sin B cos A=cos B sin A,即sin(B-A)=0.因为-π<B-A<π,所以B=A,从而b=a.由已知=1,得ac cos B=1.故由余弦定理知ac·-=1,即a2+c2-b2=2,故c=.17.(1)解因为a与b-2c垂直,所以a·(b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,因此tan(α+β)=2.(2)解由b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),得|b+c|==-≤4.又当β=kπ-(k∈Z)时,等号成立,所以|b+c|的最大值为4.(3)证明由tan αtan β=16,得16cos αcos β=sin αsin β,故a∥b.18.解设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),则a=x,h=(30-x),0<x<30.(1)由题意知S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,故当x=15时,S取最大值.(2)由题意知V=a2h=2(-x3+30x2),则V'=6x(20-x).由V'=0得x=20(x=0舍去).当x∈(0,20)时,V'>0;当x∈(20,30)时,V'<0;故当x=20时,包装盒容积V最大,此时,即此时包装盒的高与底面边长的比值是.19.解(1)由题图知A=2,,则=4×,即ω=.又f-=2sin-=2sin-=0,∴sin-=0,∵0<φ<,-<φ-,∴φ-=0,即φ=,∴f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)由(1)可得f-=2sin-=2sin,g(x)=-=4×-=2-2cos,∵x∈-,∴-≤3x+,∴当3x+=π,即x=时,g(x)max=4.20.解(1)∵2a cos B=2c-b,∴2sin A cos B=2sin C-sin B.又sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B, ∴2cos A sin B=sin B.在△ABC中,sin B≠0,故cos A=.∵0<A<π,∴A=.(2)△ABC是等边三角形,理由如下:由(1)可知A=,则sin A=,故S△ABC=bc sin A=,即bc=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,可得b2+c2=6,解得c=,b=,故△ABC是等边三角形.21.解(1)由f(x)=x3+ax2-x+c,得f'(x)=3x2+2ax-1.当x=时,得a=f'=3×+2a×-1,解得a=-1.(2)由(1)可知f(x)=x3-x2-x+c,则f'(x)=3x2-2x-1=3(x-1),由f'(x)>0,得x<-或x>1;由f'(x)<0,得-<x<1.所以f(x)的单调递增区间是--和(1,+∞),f(x)的单调递减区间是-.(3)函数g(x)=(f(x)-x3)·e x=(-x2-x+c)·e x,有g'(x)=(-2x-1)e x+(-x2-x+c)e x=(-x2-3x+c-1)e x,因为函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,所以h(x)=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3,2]上恒成立.故只要h(x)在[-3,2]上的最小值h(2)≥0即可,解得c≥11,所以c的取值范围是[11,+∞).22.解(1)因为f'(x)=x-(x>0),又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,所以--解得a=2,b=-2ln 2.(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,则f'(x)=x-≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≤x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤1.(3)当a=0时,f(x)在定义域(0,+∞)上恒大于0,此时方程无解.当a<0时,f'(x)=x->0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数.因为f(1)=>0,f()=-1<0,所以方程有唯一解.当a>0时,f'(x)=x-=--.因为当x∈(0,)时,f'(x)<0,则f(x)在(0,)上为减函数;当x∈(,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在(,+∞)上为增函数.所以当x=时,f(x)有极小值,即最小值为f()=a-a ln a(1-ln a).当a∈(0,e)时,f()=a(1-ln a)>0,方程无解;当a=e时,f()=a(1-ln a)=0,此方程有唯一解x=.当a∈(e,+∞)时,f()=a(1-ln a)<0,因为f>0且>1,所以方程f(x)=0在区间(0,)上有唯一解.因为当x>1时,(x-ln x)'>0,所以x-ln x>1,所以x>ln x.所以f(x)=x2-a ln x>x2-ax.因为2a>>1,所以f(2a)>(2a)2-2a2=0,所以方程f(x)=0在区间(,+∞)上有唯一解.所以方程f(x)=0在区间(e,+∞)上有两解.综上,当a∈[0,e)时,方程无解;当a<0或a=e时,方程有唯一解;当a>e时,方程有两解.。
2018年高中数学优化设计第一轮复习综合测试卷
综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知x,y∈R,i是虚数单位,若2+x i与互为共轭复数,则(x+y i)2=()A.3iB.3+2iC.-2iD.2i2.若集合A={x|lo(2x+1)>-1},集合B={x|1<3x<9},则A∩B=()A. B.- C.(0,2) D.3.(2016河南高考押题卷)设a=,b=,c=logπ,则()A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c4.根据下边程序框图,当输入x为2 017时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28(第4题图)(第5题图)5.(2016河南开封四模)如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某四棱锥的三视图,则该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面的面积为()A.4B.4C.8D.86.若将函数f sin x-cos x的图象向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到的图象关于原点对称,则m=()A.B.C.D.7.(2016河南开封四模)若椭圆+y2=1(m>1)与双曲线-y2=1(n>0)有共同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点,则△F1PF2的面积是()A.3B.1C.D.8.(2016山西太原一模)已知变量x,y满足约束条件----若-,则实数a的取值范围是()A.(0,1]B.[0,1)C.[0,1]D.(0,1)9.(2016安徽合肥质检)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.若a=,S为△ABC的面积,则S+3cos B cos C的最大值为()A.3B.C.2D.10.直线y=kx+1与曲线f(x)=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于()A.2B.-1C.1D.-211.(2016河南郑州二模)对∀α∈R,n∈[0,2],向量c=(2n+3cos α,n-3sin α)的长度不超过6的概率为()A. B. C. D.〚导学号37270682〛12.已知数列{a n}满足a1=15,-=2,则的最小值为()A.7B.2-1C.9D.〚导学号37270683〛二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2016辽宁丹东高三二模)(x2-x+y)5的展开式中x3y2项的系数等于.14.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且|AB|=,则=.15.若函数f(x)=-在其定义域上只有一个零点,则实数a的取值范围是.〚导学号37270684〛16.(2016河南信阳、三门峡一模)已知e是自然对数的底数,实数a,b满足e b=2a-3,则|2a-b-1|的最小值为.〚导学号37270685〛三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)(2016湖南益阳一模)若数列{a n}满足:a1=,a2=2,3(a n+1-2a n+a n-1)=2.(1)证明:数列{a n+1-a n}是等差数列;(2)求使+…+成立的最小的正整数n.18.(12分)某电脑公司有6名产品推销员,其工作年限与年推销金额数据如下表:(1)求年推销金额y与工作年限x之间的相关系数;(2)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程;(3)若第6名推销员的工作年限为11年,试估计他的年推销金额.参考数据:≈1.02;由检验水平0.01及n-2=3,查表得r0.01=0.959.参考公式:线性相关系数公式r=----;线性回归方程系数公式:x+,其中---.19.(12分)(2016河南开封四模)如图,已知在长方形ABCD中,AB=2AD,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.(1)求证:AD⊥BM;(2)若E是线段DB的中点,求AE与平面BDM所成角的正弦值.〚导学号37270686〛20.(12分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,).(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若k AC·k BD=-.①求的最值;②求证:四边形ABCD的面积为定值.〚导学号37270687〛21.(12分)设函数f(x)=a e x(x+1)(其中e=2.718 28…),g(x)=x2+bx+2,已知它们在x=0处有相同的切线.(1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[t,t+1](t>-3)上的最小值;(3)若对∀x≥-2,kf(x)≥g(x)恒成立,求实数k的取值范围.〚导学号37270688〛请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4—4:坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,过点P作倾斜角为α的直线l与曲线C:(x-1)2+(y-2)2=1相交于不同的两点M,N.(1)写出直线l的参数方程与曲线C的极坐标方程;(2)求的取值范围.〚导学号37270689〛[选修4—5:不等式选讲]23.(10分)已知函数f(x)=|x-2|+2|x+a|(a>0).(1)当a=1时,解不等式f(x)>8;(2)若不等式f(x)≥3在(-∞,+∞)内恒成立,求实数a的取值范围.〚导学号37270690〛参考答案综合测试卷1.D解析∵--=-,∴解得--∴(x+y i)2=(1+i)2=2i.2.A解析∵A={x|lo(2x+1)>-1}=-,B={x|1<3x<9}={x|0<x<2},∴A∩B=,故选A.3.B解析设d=,由指数函数f(x)=与g(x)=的单调性知,a>d,b>,再由幂函数h(x)=的单调性知,d>b,故a>b>.又π>e,所以c<.所以c<b<a.故选B.4.B解析由程序框图可知,每运行一次,x的值减少2,当程序框图运行了1 009次后,x=-1,此时终止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-1)+1=4,故输出y的值为4,故选B.5.A解析根据三视图可得此棱锥的高为SO=4,底面为直角梯形,且CD=AB=2,AB∥CD,且ABCO为正方形,如图所示,故该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面为SCD,它的面积为CD·SO=×2×4=4,故选A.6.A解析f(x)=sin x-cos x=sin-,图象向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到y=sin--,由于得到的图象关于原点对称,故是奇函数,所以--m=kπ,k∈Z,当k=-1时,m=.7.B解析设两个圆锥曲线的焦距为2c,椭圆的长轴长为2,双曲线的实轴长为2,由题意,得m-1=n+1,即m-n=2.不妨令P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2, ①由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2, ②①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2(m+n),即有|PF1|·|PF2|=m-n=2,又|F1F2|=2-,可得|PF1|2+|PF2|2=4(m-1),|F1F2|2=4(m-1),即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,则△F1PF2为直角三角形.即有△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=×2=1.8.C解析-表示区域内的点(x,y)与定点A(2,0)连线的斜率k.作出约束条件所表示的平面区域如图所示.观察上图可知,当BC与y轴重合时,|k|≤k AC=;当BC向右移动时,|k|≤k AC<.综上可知,a∈[0,1].9.A解析由cos A=--=-,可知A=,又a=,故S=bc sin A=·a sin C=3sin B sin C.因此S+3cos B cos C=3sin B sin C+3cos B cos C=3cos(B-C), 于是当B=C时,S+3cos B cos C取得最大值3.10.C解析依题意知,f'(x)=3x2+a,则由此解得-所以2a+b=1.11.C解析由题意知|c|≤6,即(2n+3cos α)2+(n-3sin α)2≤36,整理得5n2+6n(2cos α-sin α)≤27,即6n cos(α+θ)≤27-5n2其中, 即当n=0时,不等式成立;当n≠0时,不等式等价于cos(α+θ)≤,要使cos(α+θ)≤恒成立, 则1≤,即5n2+6n-27≤0,解得-≤n≤.∵n∈[0,2],∴0<n≤.综上,0≤n≤.故所求的概率为--,故选C.12.D解析由题意知,a n+1-a n=2n,所以a2-a1=2,a3-a2=2×2,……,a n-a n-1=2(n-1),将以上(n-1)个式子相加,得a n-a1=2(1+2+3+…+n-1)=--=n2-n,所以a n=n2-n+15,所以=n+-1,令g(x)=x+-1,则g'(x)=1--,当x∈[0,3]时,g'(x)<0,当x∈[4,+∞),g'(x)>0,g(3)=7,g(4)=,故最小值为.13.-10解析(y+x2-x)5的展开式的通项公式T r+1=y5-r(x2-x)r,令5-r=2,解得r=3.(x2-x)3的展开式的通项公式T k+1=(x2)3-k(-x)k=(-1)k x6-k,令6-k=3,解得k=3.故(x2-x+y)5的展开式中x3y2项的系数为-=-10.14.-解析如图,作OC⊥AB于点C,|AB|=,在Rt△OAC中,因为AC=,OA=1,所以∠AOC=60°,则∠AOB=120°,所以=1×1×cos 120°=-.15.(16,+∞)解析当x≤0时,y=-x与y=3x的图象有一个交点,而f(x)在其定义域上只有一个零点,所以当x>0时,f(x)没有零点.当x>0时,f'(x)=x2-4,令f'(x)=0得x=2,所以f(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,f(x)在x=2处取得最小值f(2)=>0,解得a>16.16.3解析e是自然对数的底数,实数a,b满足e b=2a-3,可知2a-3>0,可得b=ln(2a-3),则|2a-b-1|=|2a-ln(2a-3)-1|,令2a-3=x,上式化为|x-ln x+2|.令y=x-ln x+2,可得y'=1-,由y'=0,可得x=1.当x∈(0,1)时,y'<0,函数y是减函数;当x>1时,y'>0,函数y是增函数;故当x=1时,y=x-ln x+2取得最小值3.因此|2a-b-1|的最小值为3.17.(1)证明由3(a n+1-2a n+a n-1)=2可得,a n+1-2a n+a n-1=,即(a n+1-a n)-(a n-a n-1)=,故数列{a n+1-a n}是以a2-a1=为首项,为公差的等差数列.(2)解由(1)知a n+1-a n=(n-1)=(n+1),于是累加求和得a n=a1+(2+3+…+n)=n(n+1),故=3-,因此+…+=3-,可得n>5,故最小的正整数n为6.18.解(1)由(x i-)(y i-)=10,(x i-)2=20,(y i-)2=5.2,--≈0.98;可得r=--即年推销金额y与工作年限x之间的相关系数约为0.98.(2)由(1)知,r=0.98>0.959=r0.01,故可以认为年推销金额y与工作年限x之间具有较强的线性相关关系.设所求的线性回归方程为x+,--=0.5,=0.4.则-因此年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为=0.5x+0.4.(3)由(2)可知,当x=11时,=0.5x+0.4=0.5×11+0.4=5.9(万元).故可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元.19.(1)证明∵四边形ABCD是矩形,AB=2AD,M为CD的中点,∴AM=BM=AD.∴AM2+BM2=AB2,∴AM⊥BM.∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM⊂平面ABCM,∴BM⊥平面ADM.∵AD⊂平面ADM,∴AD⊥BM.(2)解过M作平面ABCM的垂线Mz,以M为原点,以MA,MB,Mz为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示.设AD=1,则AM=BM=,M(0,0,0),A(,0,0),B(0,,0),D,E.∴-=(0,,0),.设平面BMD的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,得n=(-1,0,1).∴n·.∴cos<n,>=.∴AE与平面BDM所成角的正弦值为.20.解(1)由题意知e==1,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,∴椭圆的标准方程为=1.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,(*)∵k OA·k OB=-=-,∴=-.y1y2=-x1x2=--=--,又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2·-+km·-+m2=-, ∴---,∴-(m2-4)=m2-8k2,∴4k2+2=m2.①=x1x2+y1y2=----=2-,∴-2=2-4≤<2.当k=0(此时m2=2满足(*)式),即直线AB平行于x轴时,取最小值为-2.又直线AB的斜率不存在时,=2,∴的最大值为2.②证明:设原点到直线AB的距离为d,则S△AOB=|AB|·d=|x2-x1|·=-=---=--=2-=2,∴四边形=4S△AOB=8,即四边形ABCD的面积为定值.21.解(1)f'(x)=a e x(x+2),g'(x)=2x+b.由题意,两函数在x=0处有相同的切线.∴f'(0)=2a,g'(0)=b, ∴2a=b,f(0)=a=g(0)=2,∴a=2,b=4,∴f(x)=2e x(x+1),g(x)=x2+4x+2.(2)f'(x)=2e x(x+2),由f'(x)>0得x>-2,由f'(x)<0得x<-2,∴f(x)在(-2,+∞)内单调递增,在(-∞,-2)内单调递减.∵t>-3,∴t+1>-2.①当-3<t<-2时,f(x)在[t,-2]上单调递减,[-2,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(-2)=-2e-2.②当t≥-2时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(t)=2e t(t+1);∴f(x)min=-----(3)令F(x)=kf(x)-g(x)=2k e x(x+1)-x2-4x-2,由题意当x≥-2,F(x)min≥0.∵∀x≥-2,kf(x)≥g(x)恒成立,∴F(0)=2k-2≥0,∴k≥1.F'(x)=2k e x(x+1)+2k e x-2x-4=2(x+2)(k e x-1).∵x≥-2,由F'(x)>0得e x>,∴x>ln;由F'(x)<0得x<ln.∴F(x)在-上单调递减,在内单调递增.①当ln<-2,即k>e2时,F(x)在[-2,+∞)内单调递增,F(x)min=F(-2)=-2k e-2+2=(e2-k)<0,不满足F(x)min≥0.②当ln=-2,即k=e2时,由①知,F(x)min=F(-2)=(e2-k)=0,满足F(x)min≥0.③当ln>-2,即1≤k<e2时,F(x)在-上单调递减,在内单调递增.F(x)min=F=ln k(2-ln k)>0,满足F(x)min≥0.综上所述,满足题意的k的取值范围为[1,e2].22.解(1)由题意,直线l的参数方程为(t为参数).由(x-1)2+(y-2)2=1得,x2+y2-2x-4y+4=0,将y=ρsin θ,x=ρcos θ,ρ2=x2+y2代入得,ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-2x-4y+4=0,得t2+(2cos α-sin α)t+=0,由Δ>0,得|2cos α-sin α|>1.故=4|2cos α-sin α|∈(4,4 ].23.解(1)当a=1时,f(x)=|x-2|+2|x+1|,①当x≤-1时f(x)=2-x-2(x+1)=-3x,由f(x)>8,得-3x>8,解得x<-;②-1<x≤2时,f(x)=2-x+2(x+1)=x+4,由f(x)>8,得x>4,∴此时不等式无解;③当x>2时,f(x)=x-2+2(x+1)=3x,由f(x)>8,得3x>8,解得x>.综上,不等式f(x)>3的解集为--.(2)∵a>0,∴-a<0<2,f(x)=|x-2|+2|x+a|=-----∴f(x)min=f(-a)=a+2,f(x)≥3,即a+2≥3,解得a≥1.。
2018学年数学人教A版必修一优化练习：第一章 1.1 1.1.3 第1课时 集合的并集、交集
[课时作业][A 组 基础巩固]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <2，x ∈Z }＝{0,1}，又A ＝{1, 2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}． 答案：C2．设S ＝{x |2x ＋1>0}，T ＝{x |3x －5<0}，则S ∩T ＝( )A ．∅B ．{x |x <－12}C ．{x |x >53}D ．{x |－12<x <53}解析：S ＝{x |2x ＋1>0}＝{x |x >－12}，T ＝{x |3x －5<0}＝{x |x <53}，则S ∩T ＝{x |－12＜x ＜53}．答案：D3．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0，x ，y ∈R}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝0，x ，y ∈R}，则集合A ∩B 元素个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：解方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝0， x －y ＝0，⎩⎨⎧x ＝0， y ＝0.∴A ∩B ＝{(0,0)}． 答案：B4．设集合M ＝{x ∈Z|－10≤x ≤－3}，N ＝{x ∈Z||x |≤5}，则M ∪N 中元素个数为( )A ．11B ．10C ．16D ．15 解析：先用列举法分别把集合M ，N 中元素列举出来，再根据并集定义写出M ∪N .∵M ＝{x ∈Z|－10≤x ≤－3}＝{－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3}，N ＝{x ∈Z||x |≤5}＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴M ∪N ＝{－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．∴M ∪N 中元素个数为16.答案：C5．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则( )A ．－3≤m ≤4B ．－3＜m ＜4C ．2＜m ＜4D ．2＜m ≤4解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ≠∅，∴⎩⎨⎧m ＋1≥－2， 2m －1≤7 m ＋1＜2m －1即2＜m ≤4. 答案：D6．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝________.解析：由M ＝{0,1,2}，知N ＝{0,2,4}，M ∩N ＝{0,2}．答案：{0,2}7．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋3}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，A ∩B ＝{(2,5)}，则a ＝________，b ＝________.解析：∵A ∩B ＝{(2,5)}．∴5＝2a ＋3.∴a ＝1.∴5＝6＋b .∴b ＝－1.答案：1 －18．若集合A ＝{1,3，x }，集合B ＝{x 2,1}，且A ∪B ＝{1,3，x }，则这样x 值个数为________． 解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴x 2∈A .令x 2＝3，得x ＝±3，符合要求．令x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，不满足集合中元素互异性．∴x ＝±3或x ＝0.答案：39．设A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，求A ∪B ，A ∩B .解析：如图所示：A ∪B ＝{x |－1＜x ＜2}∪{x |1<x <3}＝{x |－1<x <3}．A ∩B ＝{x |－1<x <2}∩{x |1<x <3}＝{x |1<x <2}．10．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若B ⊆A ，求实数m 取值范围． 解析：由x 2＋x －6＝0，得A ＝{－3, 2}，∵B ⊆A ，且B 中元素至多一个，∴B ＝{－3}，或B ＝{2}，或B ＝∅.(1)当B ＝{－3}时，由(－3)m ＋1＝0，得m ＝13；(2)当B ＝{2}时，由2m ＋1＝0，得m ＝－12；(3)当B ＝∅时，由mx ＋1＝0无解，得m ＝0.∴m ＝13或m ＝－12或m ＝0.[B 组 能力提升]1．定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若A ＝{1,2,4,6,8,10}，B ＝{1,4,8}，则A －B ＝( )A ．{4,8}B ．{1,2,6,10}C ．{2,6,10}D ．{1}解析：由题设信息知A －B ＝{2,6,10}．答案：C2．(2016·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 解析：∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3，∴A ＝{x |1<x <3}．∵2x －3>0，∴x >32，∴B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >32. ∴A ∩B ＝{x |1<x <3}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >32＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 32<x <3. 故选D.答案：D3．已知集合A ＝{x ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x |m ＜x ＜2}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解析：A ＝{x ||x ＋2|<3}＝{x |－5＜x ＜1}，由图形直观性可知m ＝－1，n ＝1.答案：－1 14．已知A ＝{x |－2＜x ＜a ＋1}，B ＝{x |x ≤－a 或x ≥2－a }，A ∪B ＝R ，则实数a 取值范围是________．解析：本题给出了两个待定集合，且已知A ∪B ＝R ，结合数轴表示可求出参数a 取值范围．如图所示，因为A ∪B ＝R ，所以应满足错误!解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2， a ≥12，所以12≤a ≤2.答案：⎩⎨⎧ a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12≤a ≤25．设方程x 2＋px －12＝0解集为A ，方程x 2＋qx ＋r ＝0解集为B ，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}，A ∩B ＝{－3}，求p ，q ，r 值．解析：∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈A ，代入x 2＋px －12＝0得p ＝－1，∴A ＝{－3,4}∵A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}，∴B ＝{－3}即方程x 2＋qx ＋r ＝0有两个相等根x ＝－3，∴q ＝6，r ＝9.6．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－mx ＋2＝0}，且A ∪B ＝A ，A ∩C ＝C ，求实数a 、m 值或范围．解析：x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或2，故A ＝{1,2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，B 有四种可能情况：∅，{1}，{2}，{1,2}．∵x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]∴必有1∈B ，因而a －1＝1或a －1＝2，解得a ＝2或a ＝3.又∵A ∩C ＝C ，∴C ⊆A .故C 有四种可能情况：∅，{1}，{2}，{1,2}．①若C ＝∅，则方程x 2－mx ＋2＝0(※)判别式Δ＝m 2－8<0，得－22<m <22；②若C ＝{1}，则方程(※)有两个等根为1，∴⎩⎨⎧ 1＋1＝m 1×1＝2不成立； ③若C ＝{2}，同上②也不成立；④若C ＝{1,2}，则⎩⎨⎧ 1＋2＝m ， 1×2＝2.得m ＝3. 综上所述，有a ＝2或a ＝3；m ＝3或－22<m <2 2.。
2018年高中数学优化设计第一轮复习高考大题专项练五
高考大题专项练五高考中的解析几何1.(2016山西太原一模)已知椭圆M:=1(a>0)的一个焦点为F(-1,0),左右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.(1)求椭圆方程;(2)当直线l的倾斜角为45°时,求线段CD的长;(3)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值.〚导学号37270646〛2.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足||=·()+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线C上动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l与PA,PB分别交于点D,E,求△QAB与△PDE的面积之比.〚导学号37270647〛3.(2016全国丙卷,理20)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.〚导学号37270648〛4.已知中心在原点O,左焦点为F1(-1,0)的椭圆C的左顶点为A,上顶点为B,F1到直线AB 的距离为|OB|.(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆C1的方程为:=1(m>n>0),椭圆C2的方程为:=λ(λ>0,且λ≠1),则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆.如图,已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆,若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M,N,试求弦长|MN|的取值范围.〚导学号37270649〛5.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),的最大值是.(1)求椭圆Ω的方程;(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.〚导学号37270650〛6.已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点F(1,0),过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P,Q两点,当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为坐标原点,线段OF上是否存在点T(t,0),使得?若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,说明理由.〚导学号37270651〛7.如图,已知椭圆=1的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D,E两点.(1)若点G的横坐标为-,求直线AB的斜率;(2)记△GFD的面积为S1,△OED(O为原点)的面积为S2.试问:是否存在直线AB,使得S1=S2?说明理由.〚导学号37270652〛8.(2016天津,理19)设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y 轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.〚导学号37270653〛参考答案高考大题专项练五高考中的解析几何1.解(1)因为F(-1,0)为椭圆的焦点,所以c=1.又b2=3,所以a2=4,所以椭圆方程为=1.(2)因为直线的倾斜角为45°,所以直线的斜率为1,所以直线方程为y=x+1,和椭圆方程联立得到消掉y,得到7x2+8x-8=0,所以Δ=288,x1+x2=-,x1x2=-,所以|CD|=|x1-x2|=-.(3)当直线l无斜率时,直线方程为x=-1,此时D-,C--,△ABD,△ABC面积相等,|S1-S2|=0.当直线l斜率存在(显然k≠0)时,设直线方程为y=k(x+1)(k≠0),设C(x1,y1),D(x2,y2),与椭圆方程联立得到消掉y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,显然Δ>0,方程有根,且x1+x2=-,x1x2=-,此时|S1-S2|=2||y1|-|y2||=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|=≤=当且仅当时等号成立,所以|S1-S2|的最大值为.2.解(1)=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),=(x,y),=(0,2),∵||=·()+2,∴-=2y+2,∴x2=4y.∴曲线C的方程为x2=4y.(2)设Q,则S△QAB=2-,∵y=,∴y'=x,∴k l=x0,∴切线l的方程为y-x0(x-x0)与y轴交点M-,|PM|=1-.直线PA的方程为y=-x-1,直线PB的方程为y=x-1,由---得x D=-,由--得x E=,∴S△PDE=|x D-x E|·|PM|=1-,∴△QAB与△PDE的面积之比为2.3.解由题知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P-,Q-,R-.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=----=-b=k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|-,S△PQF=-.由题设可得|b-a|--,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得-(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.4.解(1)设椭圆C的方程为=1(a>b>0),∴直线AB的方程为-=1.∴F1(-1,0)到直线AB的距离d=b,a2+b2=7(a-1)2.又b2=a2-1,解得a=2,b=,故椭圆C的方程为=1.(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为=1,①若切线l垂直于x轴,则其方程为x=±2,易求得|MN|=2.②若切线l不垂直于x轴,可设其方程为y=kx+b,将y=kx+b代入椭圆C的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0,∴Δ=(8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=48(4k2+3-b2)=0,即b2=4k2+3, (*) 设M,N两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),将y=kx+b代入椭圆C2的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-36=0,此时x1+x2=-,x1x2=-,|x1-x2|=-,∴|MN|=-=4=2.∵3+4k2≥3,∴1<1+,即2<2≤4.综合①②,得弦长|MN|的取值范围为[2,4].5.解(1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由,又G(0,2),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].因为a>1,所以当y=-≤-1,即1<a≤3时,取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,与条件矛盾;当y=->-1,即a>3时,的最大值是---,由条件得---,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0), 则满足=1,=1,两式相减,整理得--=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0),又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=5>0,从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,从而m∈.6.解(1)由题意知c=1,又=tan 60°=,所以b2=3,a2=b2+c2=4,所以椭圆的方程为=1.(2)设直线PQ的方程为y=k(x-1)(k≠0),代入=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点为R(x0,y0),则x0=,y0=k(x0-1)=-,由得·()=·(2)=0,所以直线TR为直线PQ的垂直平分线,直线TR的方程为y+=--,令y=0得点T的横坐标t=.因为k2∈(0,+∞),所以+4∈(4,+∞),所以t∈.所以线段OF上存在点T(t,0),使得,其中t∈.7.解(1)依题意可知,直线AB的斜率存在,设其方程为y=k(x+1),将其代入=1,整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=-.故点G的横坐标为-=-,解得k=±.(2)假设存在直线AB,使得S1=S2,显然直线AB不能与x轴或y轴垂直.由(1)可得G-.设点D坐标为(x D,0).因为DG⊥AB,×k=-1,所以--解得x D=-,即D-.因为△GFD∽△OED,且S1=S2,所以|GD|=|OD|.所以=-,整理得8k2+9=0.因为此方程无解,所以不存在直线AB,使得S1=S2., 8.解(1)设F(c,0),由,即-可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组-消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2或x=-,由题意得x B=-,从而y B=-.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),-.由BF⊥HF,得=0,所以-=0,解得y H=-.因此直线MH的方程为y=-x+-.设M(x M,y M),由方程组---消去y,解得x M=.在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|,即(x M-2)2+,化简得x M≥1,即≥1,解得k≤-或k≥.所以,直线l的斜率的取值范围为--.。
【人教A版】2017-2018学年数学必修一优化练习：第一章 1.1 1.1.3 第2课时 补 集 Word版含解析
[课时作业][A组基础巩固]1．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于()A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)解析：M∪N＝{1,2,3,4}，M∩N＝∅，(∁U M)∪(∁U N)＝{1,2,3,4,5,6}，(∁U M)∩(∁U N)＝{5,6}，故选D.答案：D2．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B＝{5}，则集合B 等于()A．{1,3} B．{3,5}C．{1,5} D．{1, 3,5}解析：如图所以B＝{1,3,5}．答案：D3．已知集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为() A．a>3 B．a≥3C．a≥7 D．a>7解析：因为A＝{x|x<3或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x<7}，又因(∁U A)∩B≠∅，则a>3.答案：A4．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N＝()A．M B．NC．I D．∅解析：因为N∩∁I M＝∅，所以N⊆M，则M∪N＝M，选A.答案：A5.已知集合I，M，N的关系如图所示，则I，M，N的关系为()A．(∁I M)⊇(∁I N)B．M⊆(∁I N)C．(∁I M)⊆(∁I N)D．M⊇(∁I N)解析：由题图知M⊇N，∴(∁I M)⊆(∁I N)．答案：C6．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________.解析：∁A B＝{x|0≤x＜2或x＝5}．答案：{x|0≤x＜2或x＝5}7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.解析：∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}．∴A＝{x|x2＋mx＝0}＝{0,3}．∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴0＋3＝－m，即m＝－3.答案：－38．已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A. 解析：∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，结合数轴(如图)．可知∁U A＝{x|1＜x≤4}，∁U B＝{x|3＜x≤4或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B)∩A＝{x|－1≤x≤0}．9．设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，且A∩B＝{2}．(1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )；(3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集．解析：(1)由交集的概念易得，2是方程2x 2＋ax ＋2＝0和x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，则a ＝－5，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{}－5，2.(2)由并集的概念易得，U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2. 由补集的概念易得，∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12. 所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12. (3)(∁U A )∪(∁U B )的所有子集即集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12的所有子集：∅，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12， {－5}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12. 10．设全集U ＝{a 2－2,2, 1}，A ＝{a,1}，求∁U A .解析：由补集的定义可知A ⊆U .若a ＝2；则a 2－2＝2，集合U 中的元素不满足互异性，所以a ≠2.若a 2－2＝a ，则a ＝2或a ＝－1，因为a ≠2，所以a ＝－1.此时，U ＝{－1,2,1}，A ＝{－1,1}，所以∁U A ＝{2}．[B 组 能力提升]1．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 是非空集合，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：画出Venn 图，如图．∵U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：D2．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y＝∁U(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z ＝()A．(X∪Y)∩∁U Z B．(X∩Y)∪∁U ZC．(∁U X∪∁U Y)∩Z D．(∁U X∩∁U Y)∪Z解析：依题意得(X*Y)＝∁U(X∩Y)＝(∁U X)∪(∁U Y)，(X*Y)*Z＝∁U[ (X*Y)∩Z]＝∁U[∁U(X∩Y)∩Z]＝{∁U[∁U(X∩Y)]}∪(∁U Z)＝(X∩Y)∪(∁U Z)．答案：B3．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．则A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}∴A∪B＝{1,3,5,6,7}∴∁U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}4．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝x－3，－1≤x≤3}，则∁R(A∩B)＝________.解析：∵A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|－4≤y≤0}，∴A∩B＝{0}，∴∁R(A∩B)＝{x|x∈R，且x≠0}．答案：{x|x∈R，且x≠0}5．某班共有30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，求喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．解析：设全集U＝{全班30名学生}，A＝{喜爱篮球运动的学生}，B＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn图如图所示：设既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为x ，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－x ，喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为10－x ，则有(15－x )＋x ＋(10－x )＋8＝30，解得x ＝3.所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－x ＝15－3＝12.6．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁UB )＝{4}，U ＝R ，求实数a 、b 的值．解析：因为(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A,4∈A ，但4∉B .将x ＝2和x ＝4分别代入B ，A 两集合的方程中得⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0.解得a ＝87，b ＝－127.。
2018年高中数学优化设计第一轮复习高考大题专项练二
高考大题专项练二高考中的三角函数与解三角形1.(2016河南郑州三模)设函数f(x)=2sin x cos2+cos x sin φ-sin x(0<φ<π)在x=π处取得最小值.(1)求φ的值;(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=1,b=,f(A)=,求角C.〚导学号37270626〛2.(2016浙江,理16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2a cos B. (1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.3.在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.〚导学号37270627〛4.(2016全国乙卷,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(a cos B+b cos A)=c.(1)求C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.5.(2016河北保定一模)已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a+b=c,2sin2C=3sin A sin B.(1)求角C;(2)若S△ABC=,求c.〚导学号37270628〛6.已知函数f(x)=cos-+2sin-sin.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间-上的值域.7.(2016郑州二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos 2C-cos2A=2sin sin-.(1)求角A的值;(2)若a=,且b≥a,求2b-c的取值范围.〚导学号37270629〛8.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2a sin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求角A的大小;(2)若sin B+sin C=1,c=2,求△ABC的面积.〚导学号37270630〛参考答案高考大题专项练二高考中的三角函数与解三角形1.解(1)因为f(x)=sin x(1+cos φ)+cos x sin φ-sin x=sin x cos φ+cos x sin φ=sin(x+φ),且f(x)在x=π处取得最小值,所以f(π)=sin(π+φ)=-sin φ=-1.又0<φ<π,所以φ=.(2)因为f(A)=sin=cos A=,所以A=.由正弦定理得,可得sin B=.故B=或B=.当B=时,C=π-;当B=时,C=π-.2.(1)证明由正弦定理得sin B+sin C=2sin A cos B,故2sin A cos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin A cos B+cos A sin B.于是sin B=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)解由S=,得ab sin C=,故有sin B sin C=sin 2B=sin B cos B.由sin B≠0,得sin C=cos B.又B,C∈(0,π),所以C=±B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.3.解(1)S△ABD=AB·AD sin∠BAD,S△ADC=AC·AD sin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得.(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BD cos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DC cos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.4.解(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin A cos B+sin B cos A)=sin C,即2cos C sin(A+B)=sin C.故2sin C cos C=sin C.可得cos C=,所以C=.(2)由已知,ab sin C=.又C=,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a2+b2-2ab cos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25,即a+b=5.所以△ABC的周长为5+.5.解(1)∵2sin2C=3sin A sin B,∴sin2C=sin A sin B,∴c2=ab.∵a+b=c,∴a2+b2+2ab=3c2.∴cos C=-=-,∴C=.(2)∵C=,∴S△ABC=ab sin C=ab=.∴ab=4.又c2=ab,∴c=.6.解(1)∵f(x)=cos-+2sin-sin=cos 2x+sin 2x+(sin x-cos x)·(sin x+cos x)=cos 2x+sin 2x+sin2x-cos2x=cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin-,∴周期T==π.由2x-=kπ+(k∈Z),得x=(k∈Z).故函数f(x)的图象的对称轴方程为x=(k∈Z).(2)∵x∈-,∴2x--.∴当2x-,即x=时,f(x)取最大值1;当2x-=-,即x=-时,f(x)取最小值-.∴函数f(x)在区间-上的值域为-.7.解(1)因为cos 2C-cos 2A=2sin sin-,所以2sin2A-2sin2C=2-,化简得sin A=.所以A=或A=.(2)因为b≥a,所以A=.由正弦定理=2,得b=2sin B,c=2sin C.故2b-c=4sin B-2sin C=4sin B-2sin-=3sin B-cos B=2-.又因为b≥a,所以≤B<,即≤B-.所以2b-c=2sin-∈[,2),即2b-c的取值范围为[,2).8.解(1)因为2a sin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,所以2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.①由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A, ②由①-②得cos A=-,即A=120°.(2)由①得sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C.③又sin B+sin C=1,故sin B=1-sin C,代入③得sin B=sin C=.因为0°<B<90°,0°<C<90°,所以B=C.所以b=c=2.所以△ABC的面积S=bc sin A=.。
2018年高中数学优化设计第一轮复习单元质检十一
单元质检十一计数原理(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2016山西榆社中学模拟)从6个盒子中选出3个来装东西,且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有()A.16种B.18种C.22种D.37种2.(2016河北唐山一模)(x-2y)6的展开式中x4y2的系数为()A.15B.-15C.60D.-603.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种4.-的展开式中常数项等于()A.15B.10C.-15D.-105.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A.33B.34C.35D.366.(2016山西大同高三期末)5名大学生分配到三个村庄任职,每个村庄至少有一名大学生,其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为()A.14B.35C.70D.1007.(2016河北张家口考前模拟)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为()A.56B.51C.87D.788.若(x-1)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,则a6等于()A.112B.28C.-28D.-1129.(2016辽宁部分重点中学模拟)在2016年某高校艺术类考试中,共有6名考生参加,其中3名女生,3名男生,现这6名考生依次出场进行才艺展出,如果3名男生中任何两人都不能连续出场,且女生甲不能排在第一个,那么这6名考生出场顺序的排法种数为() A.108 B.120 C.132 D.14410.已知a=2cos d x,则二项式的展开式中x的系数为()A.10B.-10C.80D.-8011.(2016山东淄博一模)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168 〚导学号37270607〛12.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果,且从这周的第二天开始,每天所吃水果的个数与前一天相比,仅存在三种可能:或“多一个”或“持平”或“少一个”,那么小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有()A.50种B.51种C.140种D.141种〚导学号37270608〛二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.(2016山西太原四十八中高考模拟)-展开式中的常数项为.14.有4名优秀学生全部被保送到北京大学、清华大学、复旦大学,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有种.15.(2016河南商丘三模)若的展开式中各项的系数之和为81,且常数项为a,则直线y=x与曲线y=x2所围成的封闭区域的面积为.〚导学号37270609〛16.(2016江苏泰州月考)某班组织文艺晚会,准备从A,B等8个节目中选出4个节目演出,要求A,B两个节目至少有一个选中,且A,B同时选中时,它们的演出顺序不能相邻,则不同演出顺序的种数为.〚导学号37270610〛参考答案单元质检十一计数原理1.A解析从6个盒子中选出3个来装东西,有种方法,甲、乙都未被选中的情况有种方法,故甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有20-4=16种,故选A.2.C解析因为(x-2y)6展开式的通项公式为T r+1=(-2)r x6-r y r,所以x4y2的系数为(-2)2=60,故选C.3.A解析将4名学生均分为2个小组共有=3种分法,将2个小组的同学分给两名教师带有=2种分法,最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有=2种分法,故不同的安排方案共有3×2×2=12种.4.A解析-的展开式的通项公式为T r+1=·(-1)r·x12-3r,令12-3r=0,解得r=4,故常数项为=15.5.A解析(1)若从集合B中取元素2时,再从C中任取一个元素,则确定的不同点的个数为.(2)当从集合B中取元素1,且从C中取元素1,则确定的不同点有×1=.(3)当从B中取元素1,且从C中取出元素3或4,则确定的不同点有个.由分类加法计数原理,共确定不同的点有=33个.6.C解析由题意可知分两步,第一步,甲村庄恰有一名大学生有5种分法;第二步,另外四名大学生分为两组,共有=7种,再分配到两个村庄,有7×=14种不同的分法;故每个村庄至少有一名大学生,其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为5×14=70种. 7.A解析由题意可得,,解得n=8,又展开式的通项为T r+1=x8-r·x8-2r,令8-2r=-2,可得r=5.故的系数为=56.8.A解析∵(x-1)8=[(x+1)-2]8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,∴a6=(-2)2=4=112.9.C解析先排3名女生,3名女生之间(含两端)有4个空,从4个空中选3个排男生,共有=144种,若女生甲排在第一个,则3名女生之间(不含女生甲的左端,包含右边女生的右端)有3个空,有=12种,故满足条件的出场顺序有144-12=132种排法.10.D解析a=2cos d x=2sin=-2,则-,故T r+1=x2(5-r)-=(-2)r x10-3r.令10-3r=1,得r=3.故展开式中x的系数为(-2)3=-80.11.B解析由题意可知分两步,第一步,先将3个歌舞类节目全排列,有=6种情况,排好后,有4个空位,第二步,因为3个歌舞类节目不能相邻,则中间2个空位必须安排2个节目,分2种情况讨论:①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目,有=4种情况,排好后,最后1个小品类节目放在两端,有2种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种;②将中间2个空位安排2个小品类节目,有=2种情况,排好后,有6个空位,相声类节目有6个空位可选,即有6种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种;故同类节目不相邻的排法种数是48+72=120,故选B.12.D解析因为第一天和第七天吃的水果数相同,所以中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同,都是0,1,2,3,共4种情况,所以共有=141种,故选D.13.70解析二项式-可化为--,可知常数项为分子中含x4的项为x4,故常数项为=70.14.36解析第一步从4名优秀学生选出2个组成复合元素共有种,再把3个元素(包含一个复合元素)保送到北京大学、清华大学、复旦大学有种,根据分步计数原理,不同保送方案共有=36种.15.解析∵的展开式中各项的系数之和为81,∴3n=81,解得n=4.∴的展开式的通项公式为T r+1=·2r·x4-2r,令4-2r=0,解得r=2.∴展开式中常数项为a=·22=24.∴直线y=4x与曲线y=x2所围成的封闭区域的面积为S=(4x-x2)d x=-.16.1 140解析分两类:第一类,A,B只有一个选中,则不同演出顺序有=960种情况;第二类:A,B同时选中,则不同演出顺序有=180种情况.故不同演出顺序的种数为960+180=1 140.。
2018年高中数学优化设计第一轮复习考点规范练66课后习题Word版
考点规范练66不等式选讲基础巩固1.(2016山西朔州模拟)已知函数f(x)=|x-1|-|2x-a|.(1)当a=5时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)设不等式f(x)≥3的解集为A,若5∈A,6∉A,求整数a的值.〚导学号37270543〛2.(2016中原名校联盟四月仿真联考)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤3},求实数a的值;(2)在(1)的条件下,若存在实数n使f(n)≤m-f(-n)成立,求实数m的取值范围.〚导学号37270544〛+3|x-a|.3.已知f(x)=3x+1a(1)若a=1,求f(x)≥8的解集;(2)对任意a∈(0,+∞),任意x∈R,f(x)≥m恒成立,求实数m的最大值.〚导学号37270545〛4.(2016东北三省四市二模)已知x∈R,使得关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥t恒成立.(1)求满足条件的实数t所构成的集合T;(2)若m>1,n>1,且对于∀t∈T,不等式log3m·log3n≥t恒成立,试求m+n的最小值.〚导学号37270546〛5.已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m的值;(2)若a,b,c都大于0,且1a +12b+13c=m,求证:a+2b+3c≥9.〚导学号37270547〛能力提升6.(2016河南洛阳二模)已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)<4的解集为M.(1)求M;(2)当a,b∈M时,证明:2|a+b|<|4+ab|.〚导学号37270548〛7.(2016河南开封四模)已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.(1)解不等式f(x)≥-2;(2)对任意x∈[a,+∞),都有f(x)≤x-a成立,求实数a的取值范围.〚导学号37270549〛高考预测8.已知函数f(x)=|x+1|-a|x-1|.(1)当a=-2时,解不等式f(x)>5;(2)若f(x)≤a|x+3|,求a的最小值.〚导学号37270550〛参考答案考点规范练66不等式选讲1.解(1)当a=5时,不等式f(x)≥0可化为|x-1|-|2x-5|≥0,即(x-1)2≥(2x-5)2,解得2≤x≤4,故不等式f(x)≥0的解集为[2,4].(2)据题意可得|5-1|-|10-a|≥3,|6-1|-|12-a|<3,解得9≤a≤11,a<10或a>14,即9≤a<10.又因为a∈Z,所以a=9.2.解(1)由f(x)≤6,得|2x-a|≤6-a,即a-6≤2x-a≤6-a,即a-3≤x≤3,故a-3=-2,即a=1.(2)由(1)知,f(x)=|2x-1|+1,令φ(n)=f(n)+f(-n),则φ(n)=|2n-1|+|2n+1|+2=2-4n,n≤-1, 4,-12<n≤12, 2+4n,n>1.故φ(n)的最小值为4,因此实数m的取值范围是[4,+∞).3.解(1)当a=1时,由f(x)≥8得|3x+1|+3|x-1|≥8,①当x ≤-1时,-(3x+1)-3(x-1)≥8,x ≤-1, ∴x ≤-1;②当-1<x<1时,3x+1-3(x-1)≥8,无解; ③当x ≥1时,3x+1+3(x-1)≥8, ∴x ≥5.综上所述,f (x )≥8的解集为(-∞,-1]∪ 53,+∞ . (2)f (x )= 3x +1a +3|x-a|≥ 3x +1a-(3x -3a )= 1a +3a ≥2 3≥m.当且仅当1a =3a ,即a= 33时,等号成立,∴m 的最大值为2 4.解(1)令f (x )=|x-1|-|x-2|,则f (x )≥|x-1-x+2|=1,故t ≤1. 故T=(-∞,1].(2)由(1)知,对于∀t ∈T ,不等式log 3m·log 3n ≥t 恒成立, 只需log 3m·log 3n ≥t max =1. 又m>1,n>1,所以log 3m>0,log 3n>0. 又1≤log 3m·log 3n ≤log 3m +log 3n 22=[log 3(mn )]24(当log 3m=log 3n 时取“=”),所以log 3(mn )≥2,mn ≥9,所以m+n ≥2 mn ≥6,即m+n 的最小值为6(此时m=n=3).5.(1)解∵f (x+2)=m-|x|,∴f (x+2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m 有解,得m ≥0,且其解集为{x|-m ≤x ≤m }. 又f (x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1. (2)证明由(1)知1+1+1=1,且a ,b ,c 都大于0,由柯西不等式知:a+2b+3c=(a+2b+3c )· 1a +12b +13c≥a×a+2b×2b+3c×3c2=9,当且仅当a=2b=3c=3时,等号成立.因此a+2b+3c≥9.6.(1)解f(x)=|x+1|+|x-1|=-2x,x<-1, 2,-1≤x≤1, 2x,x>1.当x<-1时,由f(x)=-2x<4,得-2<x<-1;当-1≤x≤1时,f(x)=2<4;当x>1时,由f(x)=2x<4,得1<x<2.故不等式f(x)<4的解集为(-2,2),即M=(-2,2).(2)证明当a,b∈M,即-2<a<2,-2<b<2,∵4(a+b)2-(4+ab)2=4(a2+2ab+b2)-(16+8ab+a2b2)=(a2-4)(4-b2)<0,∴4(a+b)2<(4+ab)2, ∴2|a+b|<|4+ab|.7.解(1)f(x)=|x+2|-2|x-1|≥-2.当x≤-2时,x-4≥-2,即x≥2,故x∈⌀;当-2<x<1时,3x≥-2,即x≥-2,故-2≤x<1;当x≥1时,-x+4≥-2,即x≤6,故1≤x≤6;综上,不等式f(x)≥-2的解集为 x-23≤x≤6.(2)f(x)=x-4,x≤-2,3x,-2<x<1,-x+4,x≥1,函数f(x)的图象如图所示.令y=x-a,当直线y=x-a过点(1,3)时,-a=2.故当-a≥2,即a≤-2时,即往上平移直线y=x-a,都有f(x)≤x-a.往下平移直线y=x-a时,联立y=-x+4, y=x-a,解得x=2+a2,当a≥2+a2,即a≥4时,对任意x∈[a,+∞),-x+4≤x-a.综上可知,a的取值范围为a≤-2或a≥4.8.解(1)当a=-2时,f(x)=1-3x,x<-1,3-x,-1≤x≤1, 3x-1,x>1.由f(x)的单调性及f-43=f(2)=5,得f(x)>5的解集为x x<-43,或x>2.(2)由f(x)≤a|x+3|得a≥|x+1||x-1|+|x+3|.由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|得|x+1||x-1|+|x+3|≤12,即a≥12(当且仅当x≥1或x≤-3时等号成立).故a的最小值为1.。
2018年高中数学优化设计第一轮复习滚动测试卷一
滚动测试卷一(第一~三章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2016河南商丘三模)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,3},N={3,4,5},则集合{1,2}可以表示为()A.M∩NB.(∁U M)∩NC.M∩(∁U N)D.(∁U M)∩(∁U N)2.(2016山东实验中学检测)不等式-x2+|x|+2<0的解集是()A.{x|-2<x<2}B.{x|x<-2或x>2}C.{x|-1<x<1}D.{x|x<-2或x>1}3.若幂函数的图象经过点(3,33),则该函数的解析式为()A.y=x3B.y=x 13C.y=1x3D.y=x-14.下列判断错误的是()A.命题“若am2≤bm2,则a≤b”是假命题B.命题“∀x∈R,x3-x2-1≤0”的否定是“∂x0∈R,x03−x02-1>0”C.“若a=1,则直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题D.命题“p∨q为真命题”是命题“p∧q为真命题”的充分不必要条件5.下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)内单调递增的是()A.y=sin xB.y=-x2+1xC.y=x3+3xD.y=e|x|6.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为-254,-4,则m的取值范围是()A.(0,4]B.32,4C.32,3D.32,+∞7.(2016山西孝义模拟)设函数f(x)=5x-m,x<1,2x,x≥1,若f f45=8,则m=()A.2B.1C.2或1D.128.函数y=e sin x(-π≤x≤π)的大致图象为()9.(2016湖南高考冲刺卷)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(-1)+f(-2 017)=()A.0B.12C.1D.210.(2016四川,理5)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg 2≈0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年11.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,不等式f(x)+x·f'(x)<0成立,若a=30.2·f(30.2),b=(logπ2)·f(logπ2),c=log214·f log214,则a,b,c的大小关系为()A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b12.(2016河北唐山二模)已知函数f(x)=xx-1+sin πx在[0,1)内的最大值为m,在(1,2]上的最小值为n,则m+n=()A.-2B.-1C.1D.2 〚导学号37270658〛二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知曲线f(x)=ln x在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,1),则x0的值为.14.方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是.15.如图,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=x围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是.〚导学号37270659〛16.已知函数f(x)=x2+2x ,g(x)=12x-m.若∀x1∈[1,2],∂x2∈[-1,1],使f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是.〚导学号37270660〛三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;(3)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)的值.18.(12分)如图,在半径为30 cm的四分之一圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB=x cm,圆柱的体积为V cm3.(1)写出体积V关于x的函数解析式;(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大?〚导学号37270662〛19.(12分)(2016河南平顶山二模摘选)已知函数f(x)=ln x-ax+b(a,b∈R),且对任意x>0,都x=0.有f(x)+f1x(1)求a,b的关系式;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,且x1<x2,求a的取值范围.〚导学号37270663〛20.(12分)已知函数f(x)=e xax+x+1,其中a∈R.(1)若a=0,求函数f(x)的定义域和极值.(2)当a=1时,试确定函数g(x)=f(x)-1的零点个数,并证明.〚导学号37270664〛21.(12分)(2016上海,理22)已知a∈R,函数f(x)=log21x+a .(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素,求a的取值范围;(3)设a>0,若对任意t∈12,1,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.〚导学号37270661〛22.(12分)(2016山西太原一模)已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R).,e上有解,求实(1)若函数f(x)的图象在x=2处的切线斜率为-1,且不等式f(x)≥2x+m在1e数m的取值范围;(2)若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,求<0(其中f'(x)是f(x)的导函数).证:f'x1+x22〚导学号37270665〛参考答案滚动测试卷一(第一~三章)1.C解析由题意可画出Venn图如下,结合Venn图可知,集合{1,2}=M∩(∁U N),故选C.2.B解析由-x2+|x|+2<0,得x2-|x|-2>0,即(|x|+1)(|x|-2)>0,故|x|-2>0,解得x>2或x<-2.3.B解析设幂函数解析式为y=xα,则33=3α,故α=1,即y=x13.故选B.4.D解析A中,当m=0时,满足am2≤bm2,但a可以大于b,故命题是假命题,故正确;B显然正确;C中,原命题是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确;D中,p∨q为真命题,可知p,q至少有一个为真,但推不出p∧q为真命题,故错误.故选D.5.C解析选项A,C中函数为奇函数,又函数y=sin x在(0,+∞)内不是单调函数,故选C.6.C解析y=x2-3x-4= x-32−25.当x=0或x=3时,y=-4,故3≤m≤3.7.B解∵f f45=8,∴f(4-m)=8.若4-m<1,即3<m,可得5(4-m)-m=8,解得m=2,舍去.若4-m≥1,即m≤3,可得24-m=8,解得m=1.故选B.8.D解析取x=-π,0,π这三个值,可得y总是1,故排除A,C;当0<x<π2时,y=sin x是增函数,y=e x也是增函数,故y=e sin x也是增函数,排除B,故选D.9.D解析∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x≤1时,f(x)=x,∴f(-1)=f(1)=1,f(-2017)=f(2017)=f(1)=1,∴f(-1)+f(-2017)=1+1=2.10.B解析设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知得130×(1+12%)n>200,∴1.12n>200,两边取常用对数得n lg1.12>lg200,∴n>lg2-lg1.3≈0.30-0.11=3.8.∴n≥4,故选B.11.A解析设F(x)=xf(x),当x>0时,F'(x)=[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)<0,即函数F(x)在(0,+∞)内单调递减,又y=f(x)在R上是偶函数,则F(x)在R上是奇函数,从而F(x)在R上单调递减,又30.2>1,0<logπ2<1,log214<0,即30.2>logπ2>log214,所以F(30.2)<F(logπ2)<F log214,即a<b<c.12.D解析可知f(x)=xx-1+sinπx=1+1x-1+sinπx.记g(x)=1x-1+sinπx,则当x∈[0,1)时,g(2-x)=12-x-1+sinπ(2-x)=11-x-sinπx=-1x-1+sinπx =-g(x),即在区间[0,1)∪(1,2]上,函数f(x)关于点(1,1)中心对称,故m+n=2.13.e2解析因为函数f(x)的导数为f'(x)=1x ,所以切线斜率k=f'(x0)=1x0,所以切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0).因为切线过点(0,1),所以代入切线方程得ln x0=2,解得x0=e2.14.1解析设f(x)=x3-6x2+9x-10,f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),由此可知函数的极大值为f(1)=-6<0,极小值为f(3)=-10<0,故方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数为1.15.1解析依题意知,题图中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于1 0(x-x2)d x=23x32-13x3|1=13,因此所投的点落在叶形图内部的概率是13.16. -52,+∞ 解析∀x 1∈[1,2],∂x 2∈[-1,1],使f (x 1)≥g (x 2),只需f (x )=x 2+2x 在[1,2]上的最小值大于等于g (x )= 12 x-m 在[-1,1]上的最小值.因为f'(x )=2x-2x 2=2(x 3-1)x 2≥0在[1,2]上恒成立,且f'(1)=0,所以f (x )=x 2+2x 在[1,2]上单调递增,所以f (x )min =f (1)=12+2=3. 因为g (x )= 12 x-m 在[-1,1]上单调递减,所以g (x )min =g (1)=1-m , 所以1-m ≤3,即m ≥-5.17.解(1)因为f (x+2)=-f (x ),所以f (x+4)=-f (x+2)=f (x ).所以f (x )是周期为4的周期函数. (2)当x ∈[-2,0]时,-x ∈[0,2].由已知得f (-x )=2(-x )-(-x )2=-2x-x 2, 又f (x )是奇函数,所以f (-x )=-f (x )=-2x-x 2, 所以f (x )=x 2+2x.又当x ∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], 所以f (x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f (x )是周期为4的周期函数,所以f (x )=f (x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x 2-6x+8.从而求得当x ∈[2,4]时,f (x )=x 2-6x+8. (3)f (0)=0,f (2)=0,f (1)=1,f (3)=-1. 又f (x )是周期为4的周期函数, 所以f (0)+f (1)+f (2)+f (3)=f (4)+f (5)+f (6)+f (7)=…=f (2008)+f (2009)+f (2010)+f (2011) =f (2012)+f (2013)+f (2014)+f (2015)=0. 所以f (0)+f (1)+f (2)+…+f (2015) =0. 18.解(1)连接OB ,因为AB=x cm,所以OA= 900-x 2cm .设圆柱的底面半径为r cm, 则 900-x 2=2πr ,即4π2r 2=900-x 2, 所以V=πr 2x=π·900-x 24π2·x=900x -x 34π,其中0<x<30.(2)由(1)知V=900x -x 34π(0<x<30),则V'=900-3x 24π.由V'=900-3x 24π=0,得x=10 3,可知V=900x -x 34π在(0,10 3)内是增函数,在(10 3,30)内是减函数.所以当x=10 3时,V 有最大值.19.解(1)令x=1,可得f (1)+f 11 =0,故f (1)=-a+b=0,即a=b.(2)由(1)可知f (x )=ln x-ax+ax ,且x>0,则f'(x )=1x -a-a x 2=-ax 2+x -ax 2. 令g (x )=-ax 2+x-a ,要使f (x )存在两个极值点x 1,x 2,则y=g (x )有两个不相等的正数根,因此,a >0,12a>0,Δ=1-4a 2>0,g (0)=-a <0 或a <0,12a>0,Δ=1-4a 2>0,g (0)=-a >0, 解得0<a<1或无解, 故a 的取值范围是0<a<1.20.解(1)当a=0时,函数f (x )=e x x +1的定义域为{x|x ∈R ,且x ≠-1},f'(x )=x e x(x +1)2.令f'(x )=0,得x=0.当x 变化时,f'(x )和f (x )的变化情况如下:所以f (x )的单调递减区间为(-∞,-1),(-1,0);单调递增区间为(0,+∞). 故当x=0时,函数f (x )有极小值f (0)=1.函数f (x )无极大值.(2)函数g (x )存在两个零点.证明过程如下:由题意,函数g (x )=e xx 2+x +1-1.因为x 2+x+1= x +12 2+34>0,所以函数g (x )的定义域为R .求导,得g'(x )=e x (x 2+x +1)-e x (2x +1)(x 2+x +1)2=e x x (x -1)(x 2+x +1)2,令g'(x )=0,得x 1=0,x 2=1,当x:故函数g (x )的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(-∞,0),(1,+∞). 当x=0时,函数g (x )有极大值g (0)=0;当x=1时,函数g (x )有极小值g (1)=e3-1.因为函数g (x )在(-∞,0)内单调递增,且g (0)=0,所以对于任意x ∈(-∞,0),g (x )≠0.因为函数g (x )在(0,1)内单调递减,且g (0)=0,所以对于任意x ∈(0,1),g (x )≠0. 因为函数g (x )在(1,+∞)内单调递增,且g (1)=e 3-1<0,g (2)=e 27-1>0,所以函数g(x)在(1,+∞)内有且仅有一个x0,使得g(x0)=0, 故函数g(x)存在两个零点(即0和x0).21.解(1)由log21x +5>0,得1x+5>1,解得x∈-∞,-14∪(0,+∞).(2)1+a=(a-4)x+2a-5,(a-4)x2+(a-5)x-1=0,当a=4时,x=-1,经检验,满足题意.当a=3时,x1=x2=-1,经检验,满足题意.当a≠3且a≠4时,x1=1a-4,x2=-1,x1≠x2.x1是原方程的解当且仅当1x1+a>0,即a>2;x2是原方程的解当且仅当1x2+a>0,即a>1.于是满足题意的a∈(1,2].综上,a的取值范围为(1,2]∪{3,4}.(3)当0<x1<x2时,1x1+a>1x2+a,log21x1+a >log21x2+a ,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为f(t),f(t+1).f(t)-f(t+1)=log21t +a -log21t+1+a ≤1即at2+(a+1)t-1≥0,对任意t∈12,1成立.因为a>0,所以函数y=at2+(a+1)t-1在区间12,1上单调递增,t=12时,y有最小值34a-12,由3a-1≥0,得a≥2.故a的取值范围为23,+∞.22.(1)解由f'(x)=2-2x+a,可知切线的斜率k=f'(2)=a-3=-1,故a=2.因此f(x)=2ln x-x2+2x.由f(x)≥2x+m,得m≤2ln x-x2.∵不等式f(x)≥2x+m在1e,e上有解,∴m≤(2ln x-x2)max.令g(x)=2ln x-x2,则g'(x)=2-2x=-2(x +1)(x -1)x .∵x ∈ 1e ,e ,∴当g'(x )=0时,x=1.当1<x<1时,g'(x )>0;当1<x<e 时,g'(x )<0.故g (x )在x=1处取得最大值g (1)=-1,因此m ≤-1,即m 的取值范围为(-∞,-1).(2)证明∵f (x )的图象与x 轴交于两个不同的点A (x 1,0),B (x 2,0),∴方程2ln x-x 2+ax=0的两个根为x 1,x 2,∴ 2ln x 1-x 12+ax 1=0,2ln x 2-x 22+ax 2=0,∴a=(x 1+x 2)-2(ln x 1-ln x 2)x 1-x 2.又f'(x )=2-2x+a ,∴f' x 1+x22=412-(x 1+x 2)+a=4x 1+x 2−2(ln x1-ln x 2)x 1-x 2.下证4x 1+x 2−2(ln x 1-ln x2)x 1-x 2<0,即证2(x 2-x 1)12+ln x12<0.设t=x1x 2,∵0<x 1<x 2,∴0<t<1.即证μ(t )=2(1-t )t +1+ln t<0在t ∈(0,1)内恒成立,∵μ'(t )=1t −4(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2,又0<t<1,∴μ'(t )>0,∴μ(t )在(0,1)内是增函数,∴μ(t )<μ(1)=0,从而知2(x 2-x 1)x 1+x 2+ln x1x 2<0,故4x 1+x 2−2(ln x1-ln x 2)x 1-x 2<0,x1+x2 2<0成立.即f'。
2018年高中数学优化设计第一轮复习高考大题专项练三
高考大题专项练三高考中的数列1.(2016河北唐山高三检测)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的前n项和T n.〚导学号37270631〛2.(2016河北衡水中学考前仿真二)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=3,S n+1=3S n+3. (1)求数列{a n}的通项公式;,求数列{b n}的前n项和T n.(2)若b n=-〚导学号37270632〛3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为,满足S3=15,a1+2b1=3,a2+4b2=6.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式a n,b n;(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.〚导学号37270633〛4.(2016山西晋中5月高三质检)已知数列{a n}的首项a1=,a n+1=(n∈N*).(1)求证:数列-是等比数列;(2)求数列的前n项和S n.〚导学号37270634〛5.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-1;数列{b n}满足b n-1-b n=b n b n-1(n≥2,n∈N*),b1=1.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)求数列的前n项和T n.〚导学号37270635〛6.设S n为等差数列{a n}的前n项和,已知S3=a7,a8-2a3=3.(1)求a n;(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n>(n∈N*).〚导学号37270636〛7.已知正项数列{a n}的首项a1=1,前n项和S n满足a n=-(n≥2).(1)求证:{}为等差数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)记数列的前n项和为T n,若对任意的n∈N*,不等式4T n<a2-a恒成立,求实数a 的取值范围.〚导学号37270637〛8.已知数列{a n}是公比为的等比数列,其前n项和为S n,且1-a2是a1与1+a3的等比中项,数列{b n}是等差数列,其前n项和T n满足T n=nλ·b n+1(λ为常数,且λ≠1),其中b1=8.(1)求数列{a n}的通项公式及λ的值;(2)比较+…+与S n的大小.〚导学号37270638〛参考答案高考大题专项练三高考中的数列1.解(1)依题意得,解得故a n=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即a n=2n+1.(2)由题意可知=3n-1,则b n=a n·3n-1=(2n+1)·3n-1.故T n=3+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1, ①3T n=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n, ②①-②得-2T n=3+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n+1)3n=3+2·----(2n+1)3n=-2n·3n,因此,T n=n·3n.2.解(1)(方法一)∵S n+1=3S n+3,∴S n+1+=3.∴S n+3n-1=×3n-1=.∴当n≥2时,a n=S n-S n-1==3n,a1也适合.∴a n=3n.(方法二)由S n+1=3S n+3(n∈N*),可知当n≥2时,S n=3S n-1+3,两式相减,得a n+1=3a n(n≥2).又a1=3,代入S n+1=3S n+3得a2=9,故a n=3n.(2)∵b n=--,∴T n=…, ①∴T n=…-, ②由①-②,得T n=…-,解得T n=.3.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,所以解得a1=2,d=3,b1=, 所以a n=3n-1,b n=.(2)由(1)知T n=2×+5×+8×+…+(3n-4)-+(3n-1), ①①×得T n=2×+5×+…+(3n-4)+(3n-1), ②①-②得T n=2×+3×…-(3n-1)·=1+3×----(3n-1)·,整理,得T n=-(3n+5)+5.4.(1)证明∵a n+1=,∴.∴-1=-.又a1=,∴-1=.∴数列-是以为首项,以为公比的等比数列.(2)解由(1)知-1=-,则+1.故+n.设T n=+…+, ①则T n=+…+-, ②由①-②得T n=+…+--=1-,∴T n=2-.-又1+2+3+…+n=,∴数列的前n项和S n=2-.5.解(1)由S n=2a n-1,得S1=a1=2a1-1,故a1=1.又S n=2a n-1,S n-1=2a n-1-1(n≥2),两式相减,得S n-S n-1=2a n-2a n-1,即a n=2a n-2a n-1.故a n=2a n-1,n≥2.所以数列{a n}是首项为1,公比为2的等比数列.故a n=1·2n-1=2n-1.由b n-1-b n=b n b n-1(n≥2,n∈N*),=1.得-又b1=1,∴数列是首项为1,公差为1的等差数列.∴=1+(n-1)·1=n.∴b n=.(2)由(1)得=n·2n-1.∴T n=1·20+2·21+…+n·2n-1,∴2T n=1·21+2·22+…+n·2n.两式相减,得-T n=1+21+…+2n-1-n·2n-n·2n=-1+2n-n·2n.=--∴T n=(n-1)·2n+1.6.(1)解设等差数列{a n}的公差为d,由题意得-解得故a n=a1+(n-1)d=2n+1.(2)证明∵a1=3,d=2,∴S n=na1+-d=n(n+2).∴b n=-.∴T n=b1+b2+…+b n-1+b n=--…=-->--=,故T n>.7.解(1)因为a n=-,所以S n-S n-1=-,即-=1,所以数列{是首项为=1,公差为1的等差数列,得=n,所以a n=-=n+(n-1)=2n-1(n≥2),当n=1时,a1=1也适合,所以a n=2n-1.(2)因为-,---.所以T n=-+…+-所以T n<.要使不等式4T n<a2-a恒成立,只需2≤a2-a恒成立,解得a≤-1或a≥2, 故实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).8.解(1)由题意得(1-a2)2=a1(a3+1),即-=a1,解得a1=.故a n=.设等差数列{b n}的公差为d,又即解得或(舍去),故λ=.(2)由(1)知S n=1-,则S n=.①由(1)知T n=nb n+1,当n=1时,T1=b1=b2,即b2=2b1=16,故公差d=b2-b1=8,则b n=8n,又T n=nλ·b n+1,故T n=4n2+4n,即=-.因此,+…+=--…--.②由①②可知+…+S n.11。
2018年高中数学优化设计第一轮复习滚动测试卷三
滚动测试卷三(第一~七章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2016河南商丘二模)已知集合M={x|x2-4x+3<0},集合N={x|lg(3-x)>0},则M∩N=()A.{x|2<x<3}B.{x|1<x<3}C.{x|1<x<2}D.⌀2.(2016辽宁丹东高三二模)若复数(1-i)(2+b i)是纯虚数,则实数b=()A.-2B.-1C.1D.23.(2016河南信阳、三门峡一模)设命题p:∀x>0,ln x>lg x,命题q:∃x>0,=1-x2,则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.(p)∧(q)C.p∧(q)D.(p)∧q-d x,则a6(a4+2a6+a8)的值4.(2016河南洛阳模拟)已知{a n}是等比数列,且a5+a7=-为()A.16π2B.4π2C.2π2D.π25.曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A.30°B.45°C.60°D.120°6.(2016辽宁丹东高三二模)已知sin 2α=,则tan α+=()A.1B.2C.4D.37.函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为()A.2B.3C.6D.98.(2016山西运城4月模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a6=a8+6,则S7等于()A.49B.42C.35D.249.(2016河南焦作二模)已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=a x+x-b的零点所在的区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)10.(2016山西太原一模)已知函数f(x)=2sin (2x+φ)的图象过点(0,),则函数f(x)的图象的一个对称中心是()A.-B.-C. D.11.已知x,y满足且目标函数z=2x+y的最大值是最小值的8倍,则实数a的值是()A.1B.C.D.12.(2016辽宁丹东高三二模)如图,半径为2的☉O切直线MN于点P,射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM,在旋转过程中,PK交☉O于点Q,设∠POQ=x,弓形PTQ 的面积为S=f(x),则f(x)的图象大致是()〚导学号37270672〛二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a>0,b>0,ab=8,则当a的值为时,log2a·log2(2b)取得最大值.14.(2016山西太原三模)已知函数f(x)=--且f(a)=-3,则f(5-a)=.15.(2016辽宁丹东二模)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|≠0,a+b=c,则向量a与向量c的夹角是.16.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是.〚导学号37270673〛三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)(2016湖北八校三月联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2b sin=a+c.(1)求角B的大小;(2)若点M为BC中点,且AM=AC,求sin ∠BAC.18.(12分)(2016河北保定二模改编)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a2+b2=c2+ab,c=.数列{a n}是等比数列,且首项a1=,公比为.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=,求数列{b n}的前n项和S n.〚导学号37270674〛19.(12分)(2016河南许昌、新乡、平顶山三模)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=b cos C+c sin B.(1)若a=2,b=,求c;(2)若--2sin2-=0,求A.20.(12分)(2016开封定位检测)已知数列{a n}满足(a n+1-1)(a n-1)=3(a n-a n+1),a1=2,令b n=.-(1)求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{b n·3n}的前n项和S n.21.(12分)为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1 000 m2,每平方米的建筑费用与楼层有关,第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数).经测算,若每幢楼为5层,则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元..注:每平方米平均综合费用=购地费用所有建筑费用所有建筑面积(1)求k的值;(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层?此时每平方米的平均综合费用为多少元?〚导学号37270675〛22.(12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.〚导学号37270676〛参考答案滚动测试卷三(第一~七章)1.C解析由x2-4x+3<0,可得(x-1)(x-3)<0,即1<x<3,故M={x|1<x<3};由lg(3-x)>0=lg 1,可知3-x>1,即x<2,故N={x|x<2};因此,M∩N={x|1<x<2},故选C.2.A解析∵(1-i)(2+b i)=(b+2)+(b-2)i是纯虚数,∴-解得b=-2.故选A.3.D解析当x=1时,ln x=lg x=0.故命题p是假命题.画出y=与y=1-x2的图象(图略),可知在x∈(0,+∞)上两个图象有交点,故命题q是真命题.因此(p)∧q是真命题.故选D.-d x表示以原点为圆心,以2为半径的圆的面积的二分之一,4.B解析∵--d x=π×4=2π,∴-∴a5+a7=2π.∵{a n}是等比数列,∴a6(a4+2a6+a8)=a6a4+2+a6a8=+2a5a7+=(a5+a7)2=4π2.故选B.5.B解析由y'=3x2-2,得y'|x=1=1,即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1,故切线的倾斜角为45°.6.D解析∵sin 2α=2sin αcos α=,即sin αcos α=,∴tan α+==3.故选D.7.B解析因为y=在R上单调递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上单调递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,所以f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.8.B解析设等差数列{a n}的公差为d.∵2a6=a8+6,∴2(a1+5d)=a1+7d+6,即a1+3d=6,即a4=6.又a1+a7=2a4,∴S7==7a4=7×6=42.故选B.9.B解析∵实数a,b满足2a=3,3b=2,∴a=log23>1,0<b=log32<1.∴函数f(x)=a x+x-b=(log23)x+x-log32在R上单调递增,且其图象是连续的.∵f(0)=1-log32>0,f(-1)=log32-1-log32=-1<0,∴f(x)=a x+x-b的零点所在的区间为(-1,0),故选B.10.B解析由题意,得=2sin φ.又|φ|<,故φ=.因此f(x)=2sin.所以f(x)的图象的对称中心的横坐标满足2x+=kπ,k∈Z,即x=-,k∈Z.所以结合选项可知f(x)的图象的一个对称中心是-.故选B.11.D解析画出不等式组所表示的平面区域及直线2x+y=0,如图,平移该直线,当平移后的直线经过该平面区域内的点(1,1)时,相应直线在y轴上的截距最大,此时z=2x+y取得最大值3;当平移后的直线经过该平面区域内的点(a,a)时,相应直线在y轴上的截距最小,此时z=2x+y取得最小值3a;于是有8×3a=3,解得a=,故选D.12.D解析由题意可知弓形PTQ的面积f(x)=π22-22sin x=2x-2sin x.因为f'(x)=2-2cos x>0在(0,2π)上恒成立,所以f(x)在(0,2π)上为增函数.令g(x)=2-2cos x.由g'(x)=2sin x≥0在x∈(0,π]上恒成立,可知函数f(x)在(0,π]上为凹函数;由g'(x)=2sin x≤0在x∈[π,2π)上恒成立,故函数f(x)在[π,2π)上为凸函数.故选D. 13.4解析由题意知log2a·log2(2b)≤==4,当且仅当log2a=log2(2b),即a=2b时等号成立.又因为ab=8,且a>0,所以a=4.14.-解析当a≤1时,f(a)=2a-2=-3,即2a=-1,不符合题意,舍去;当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,解得a=7.故f(5-a)=f(-2)=2-2-2=-.15.解析设向量a与c的夹角为θ,|a|=m≠0,则|b|=|c|=m.由a+b=c,得b=c-a,两边平方得b2=3c2-2a·c+a2,即m2=3m2-2m2cos θ+m2,整理得cos θ=.又0≤θ≤π,故θ=,即向量a与c的夹角为.16.-13解析求导得f'(x)=-3x2+2ax.由f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,故a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x.由此可得f(x)在(-1,0)内单调递减,在(0,1)内单调递增,故对m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,∴对n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9.于是,f(m)+f'(n)的最小值为-13.17.解(1)∵2b sin=a+c,∴2sin B=sin A+sin C,即sin B sin C+sin B cos C=sin A+sin C=sin B cos C+cos B sin C+sin C,∴sin B sin C=cos B sin C+sin C,∴sin B=cos B+1,∴2sin-=1,∴B=.(2)(方法一)取CM的中点D,连接AD,则AD⊥CM.设CD=x,则BD=3x.由(1)知B=,则AD=3,故AC=2x.由正弦定理知,,得sin ∠BAC=.(方法二)由(1)知B=,又M为BC中点,故BM=MC=.在△ABM与△ABC中,由余弦定理分别得:AM2=+c2-2··c·cos B=+c2-,AC2=a2+c2-2ac·cos B=a2+c2-ac, 又AM=AC,故+c2-=a2+c2-ac,即c=,则b= a.由正弦定理知,,得sin ∠BAC=.18.解(1)∵a2+b2=c2+ab,∴cos C=-.又C为三角形的内角,∴C=.∵,∴a n=.(2)∵b n===,∴S n=1-+…+=1-.19.解(1)∵a=b cos C+c sin B,∴sin A=sin B cos C+sin C sin B,∴cos B sin C=sin C sin B,∴tan B=,∴B=.∵b2=a2+c2-2ac cos B,∴c2-2c-3=0,∴c=3.(2)∵B=,∴--2sin2-=--1+cos-=sin-+cos---1=--cos--1=2sin--1=0,又<A<,∴A=.20.解(1)∵(a n+1-1)(a n-1)=3(a n-a n+1),∴(a n+1-1)(a n-1)=3[(a n-1)-(a n+1-1)],,∴--即b n+1-b n=.=1,∴b n=n+.又b1=-(2)∵b n·3n=(n+2)·3n-1,∴S n=3×30+4×3+5×32+…+(n+2)·3n-1, ①3S n=3×31+4×32+5×33+…+(n+2)·3n.②∴①-②得-2S n=3+3+32+…+3n-1-(n+2)·3n=·3n.∴S n=·3n-.21.解(1)如果每幢楼为5层,那么所有建筑面积为(10×1 000×5)m2,则所有建筑费用为[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1 000×10,因此1 270={16 000 000+[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1 000×10}÷(10×1 000×5),解得k=50.(2)设小区每幢为n(n∈N*)层,每平方米平均综合费用为f(n),由题设可知f(n)={16 000 000+[(50+800)+(100+800)+…+(50n+800)]×1000×10}÷(10×1 000×n)=+25n+825≥2+825=1 225,当且仅当=25n,即n=8时,等号成立.故该小区每幢建8层时,每平方米平均综合费用最低,此时每平方米平均综合费用为1 225元.22.解(1)由题意可知f'(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f'(0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(2)由(1)知,f(x)=4e x(x+1)-x2-4x,f'(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2)·-.令f'(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-2,-ln 2)时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)内单调递增,在(-2,-ln 2)内单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).。
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或
A=B
第一章
知识梳理 双基自测
1.1
集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
知识体系
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3.集合的运算
集合的并集 图形 符号 A∩B ∁U A A∪B {x|x∈A,且x∈B} ={x|x∈U,且x∉A} ={x|x∈A或x∈B} = 集合的交集 集合的补集
第一章
知识梳理 双基自测
1.1
集合 自然数集 正整数集 符号 整数集 有理数集 实数集
N
N*(或N+)
Z
Q
R
第一章
知识梳理 双基自测
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集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
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2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn 图
集合 A 中所有元素都在 子集 集合 B 中(即若 x∈A,则 x A⊆B(或B⊇A) ∈B) 集合 A 是集合 B 的子集, 真子 且集合 B 中至少有一个 A⫋B(或B⫌A) 集 元素不在集合 A 中 集合 A,B 中元素相同或 相等 集合 A,B 互为子集
第一章 集合与常用逻辑用语
第一章
1.1
集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
知识体系
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1.1
集合的概念与运算
第一章
知识梳理 双基自测
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集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
知识体系
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1.集合的含义与表示 (1)集合元素的三个性质特征: 确定性 、 互异性 、 无序性 . (2)元素与集合的关系是 属于 或 不属于 ,用符号 ∈ 或 ∉ 表示. (3)集合的表示 法: 列举法 、 描述法 、 Venn图法 . (4)常见数集的记法
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解析 ∵A={1,4},B={2,4}, ∴A∩B={4}. 又U={x∈N*|x≤4}={1,2,3,4}, ∴∁U(A∩B)={1,2,3} A
解析
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答案
第一章
知识梳理 双基自测
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集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
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4.(2016浙江,理1)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4}, 则P∪(∁RQ)=( ) A.[2,3] B.(-2,3] C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
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由题意可知,B={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},而A={1,2,3}, 故A∪B={0,1,2,3},故选C. C
解析
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答案
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知识梳理 双基自测
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集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
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3.(2016河南郑州一模)设全集U={x∈N*|x≤4},集合 A={1,4},B={2,4},则∁U(A∩B)=( ) A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{1,3,4} D.{2,3,4}
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(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
答案
第一章
知识梳理 双基自测
1.1
集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
知识体系
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23Βιβλιοθήκη 452.(2016全国甲卷,理2)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x2)<0,x∈Z},则A∪B=( ) A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
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由题意,A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},得A∩B={x|1<x<2},即A∩B=(1,2).
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C
解析 答案
第一章
考点1 考点2 考点3
1.1
集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
知识体系
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考点 1
集合的基本概念
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例 1(1) 设集合A= B={4,5}, M= x|x=a+b ,a (1) 因为集合 M{1,2,3}, 中的元素 x=a+b ,a{ ∈ A,b∈B , ∈A,b∈B},则M 中的元素个数为 ( ,a=)1,2,3,此时 x=5,6,7. 所以当 b=4 时 A.3 B.4 C.5 D.6 当 b= 5 时,a= 1,2,3, 此时 x=6,7,8.
集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
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4.集合的运算性质 (1)并集的性 质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔ B⊆A . (2)交集的性 质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔ A⊆B . (3)补集的性 质:A∩(∁UA)=⌀;A∪(∁UA)=U;∁U(∁UA)= A ;∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁ UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
第一章
知识梳理 双基自测
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集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
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5.集合关系的常用结论 若有限集A中有n个元素,则A的子集有 2n-1 个,真子集有 2n-1 个.
2n
个,非空子集有
第一章
知识梳理 双基自测
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集合的概念与运算
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)在集合{x2+x,0}中,实数x可取任意值. ( ) (2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( ) (3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B;(A∩B)⊆(A∪B).( ) (4)若A∩B=A∩C,则B=C. ( ) (5)(教材习题改编P5T2(3))直线y=x+3与y=-2x+6的交点构成的集 合是{1,4}. ( )
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∵Q={x∈R|x2≥4}={x∈R|x≤-2或x≥2}, ∴∁RQ={x∈R|-2<x<2}. ∴P∪(∁RQ)={x∈R|-2<x≤3}=(-2,3].故选B.
B
解析
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答案
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集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
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5.(教材例题改编P8例5)设集合A={x|(x+1)· (x-2)<0},集合 B={x|1<x<3},则A∩B=( ) A.(-1,3) B.(-1,0) C.(1,2) D.(2,3)