伍德里奇《计量经济学导论》(第5版)笔记和课后习题详解-第12章 时间序列回归中的序列相关和异方差性

第12章

时间序列回归中的序列相关和异方差性12.1复习笔记

一、含序列相关误差时OLS 的性质

1．无偏性和一致性

在时间序列回归的前3个高斯—马尔可夫假定（TS.1～TS.3）之下，OLS 估计量是无

偏的。特别地，只要解释变量是严格外生的，无论误差中的序列相关程度如何，ˆj

β都是无偏的。这类似于误差中的异方差不会造成ˆj

β产生偏误。把严格外生性假定放松到()|0t t E u X =，并证明了当数据是弱相关的时候，ˆj β仍然是一致的（但不一定无偏）。这一结论不以对误差中序列相关的假定为转移。

2．效率和推断

高斯—马尔可夫定理要求误差的同方差性和序列无关性，所以，在出现序列相关时，OLS 便不再是BLUE 的了。通常的OLS 标准误和检验统计量也不再确当，而且连渐近确当都谈不上。

假定误差存在序列相关，1,1,2,...,ρ-=+=t

t t u u e t n ，1ρ<。其中e t 是均值为0方差为2e σ满足经典假定的误差，对于简单回归模型：

01ββ=++t t t

y x u 假定x t 的样本均值为零，于是

1111

ˆn x t t i SST x u ββ-==+∑其中21

n x t i SST x ==∑，计算1ˆβ的方差，()

()22221111ˆ/2/n n n t j x t t x x t t j i i j Var SST Var x u SST SST x x βσσρ--+===⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑∑其中

()

2σ=t Var u 由1ˆβ的方差表达形式可知，第一项为2/x

SST σ，为经典假定条件下的简单回归模型中参数的方差，所以当模型中的误差项存在序列相关时，按照OLS 估计的方差是有偏的。在出现序列相关的时候，使用通常的OLS 标准误就不再准确。因此，检验单个假设的t 统计量也不再正确。因为较小的标准误意味着较大的t 统计量，所以当ρ﹥0时，通常的t 统计量常常过大。用于检验多重假设的通常的F 统计量和LM 统计量也不再可靠。

3．拟合优度

时间序列回归模型中的误差若存在序列相关，通常的拟合优度指标R 2和调整R 2便会失效，但只要数据是平稳和弱相关的，拟合优度指标依然有效。

在横截面数据分析中将总体R 2定义为221/u y σσ-。在使用平稳而又弱相关数据的时间序

列回归中，这个定义依然正确：误差和因变量的方差都不随时间而变化。根据大数定律，R 2和调整R 2都是总体R 2的一致估计。拟合优度指标仍是总体参数的一致估计量。

若{y t }是一个I（1）过程，则因为Var（y t ）随着t 而递增，所以就无法通过重新定义R 2为22

1/u y σσ-来证明；此时的拟合优度便没有什么意义。

4．出现滞后因变量时的序列相关

（1）在出现滞后因变量和序列相关的误差时，OLS 不一定是不一致的

假设给定y t－1时y t 的期望值是线性的：

()1011

t t t E y y y ββ--=+假定平稳性，即11β<。可以加上误差项把上式写成：

()01110

t t t

t t y y u E u y ββ--=++=根据构造，这个模型满足OLS 的一致性所要求的关键，即零条件均值假定；因此OLS

估计量0ˆβ和1

ˆβ是一致的。但是误差{u t }可能序列相关。()

10t t E u y -=保证了u t 与y t－1不相关，但u t 和y t－2却可能相关。因为11012

t t t u y y ββ---=--所以u t 和u t－1之间的协方差就是()12Cov t t u y β--，

，它并不一定为0。虽然误差表现出序列相关性，模型也包含了一个滞后因变量，但OLS 还是一致地估计了0β和1β。因此误差中的序列相关性将导致OLS 统计量不能可靠地用于检验，但它不影响一致性。

（2）误差序列相关，且回归元中包含一个滞后因变量时OLS 不一致的情况

假定{u t }服从一个稳定的AR（1）过程，即：()()1212 0

t t t t t t E e u u E e y y ----== ，，，，OLS 便是不一致的。因为根据假定，e t 与y t－1不相关，所以

111Cov Cov t t t t ---=，，除非0ρ=，否则e t 就不等于0。这就导致在y t 对y t－1的回归中，0β和1β的OLS 估计量是不一致的。将11012ββ---=--t t t u y y 和1ρ-=+t t t u u e 代入回归方程：()011101201122t t t t t t t t

y y y y e y y e ββρββααα-----=++--+=+++其中

()001121

1,,αβραβραρβ=-=+=-给定()()1212 0t t t t t t E e u u E e y y ----== ，，，，可以得到()()121201122,,...,t t t t t t t t E y y y E y y y y y ααα------==++这个方程表示，给定y 的所有过去值，y t 的期望值取决于y 的两期滞后。

二、序列相关的检验

1．回归元为严格外生时对AR（1）序列相关的t 检验

（1）t 检验

虚拟假设是，不存在序列相关。

①大样本检验方法：解释变量严格外生的假定下，给定自变量的整个历史信息，u t 的期望值为0。除此之外，必须假定：

()12 0

t t t E e u u --=，，…和

()()2

1Var Var t t t e e u e σ-==虚拟假设就是相应的高斯—马尔可夫假定正确。

②在AR（1）模型中，误差序列无关的虚拟假设是：