一个基于四方向的拉普拉斯算子的四阶偏微分去噪方法(精)

一个基于四方向的拉普拉斯算子的四阶偏微分去噪方法

曾超，王美清

(福州大学数学与计算机科学学院，福建福州 350002)

摘要：本文将“四方向”引入拉普拉斯算子(这四方向是指：水平、垂直、斜左上、斜左下四个方向)，改进了You-Kaveh模型，提出一个新的四阶偏微分去噪方法。实验结果表明，新方法比You-Kaveh模型能更好地去除高斯噪声，PSNR值得到了提高。

关键词：You-Kaveh模型；高斯噪声；拉普拉斯算子

A Fourth Order Partial Differential Dnoising Method Based on Four

Directional Laplacian Operator

ZENG Chao,WANG Mei-qing

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian, 350002, China)

Abstract:In this paper, the “Four Directions” is introduced into the Laplacian oper ator, (the four directions are horizontal, vertical, diagonal left top and diagonal left bottom directions), and the You-Kaveh model is improved, a new fourth order partial differential denoising method is proposed. The result of experiences shows that the new method can remove the gaussian noise better than the You-Kaveh model, higher values of PSNR are gained.

Keywords:You-Kaveh model; gaussian noise; Laplacian operator

引言

在数字图像处理的研究中，图像恢复作为图像预处理技术之一，成为图像处理研究人员的热点研究内容[1]。图像去噪就是一个典型的图像复原的例子。传统的图像去噪技术，如中值滤波，维纳滤波等，在去除噪声的同时，也使得边界或图像的细节特征变得模糊，影响了对图像的后续处理。而利用偏微分方程（PDE）对受噪声污染的图像进行去噪，能够在去噪的同时保留边界特征，因此成为当前研究的热点。在基于PDE的图像去噪模型中，You-Kaveh（YK）方法是其中的经典模型，受到了广泛的应用和研究。但是，YK模型的方程中，拉普拉斯算子只考

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作者简介：曾超(1982－)，男，硕士研究生

基金项目：福建省自然科学基金资助项目(项目编号A0510005); 福州大学发展基金资助项目(项目编号2005-XQ-16)

虑了水平和垂直两个方向，不利于倾斜边缘的处理。本文采用了新的拉普拉斯算子，在原有两个方向的基础上增加考虑两个倾斜45度的方向。实验表明改进后的模型能更好地去除高斯噪声。

１You-Kaveh去噪方程

You-Kaveh去噪方程的偏微分方程形式如下：

其中：，表示对取模，g(x)是满足下列条件的函数：

当时。本文采用Perona和Malik给出的函数1，k 为常数[4,5]。系数分布函数g(x)又被称为“边界停止平滑函数，用来控制图像边缘的扩散。

２改进的模型及数值形式

在已有的YK模型中，拉普拉斯算子只考虑了水平和垂直两个方向，应用在数字图像中，则表示像素点ui,j的梯度只与其周围的四个像素点

有关，与另外四个相邻的像素点

无

关。然而在图像中的边缘部分，后四个点常常就是边缘线上的点。因此，只用ui,j前四个相邻像素点难以准确地界定图像的边缘部分，所以本文提出用ui,j八个相邻像素点对拉普拉斯算子进行改进，进而改进原有的YK模型数值算法。

2.1 图像处理中的四方向的拉普拉斯算子及数值形式

与传统拉普拉斯算子不同，四方向的拉普拉斯算子定义为：

其中新增的两个方向为：为沿斜左上方向的二阶偏导数，为沿斜左下方向的二阶偏导数

图1 (四个方向示意图)

注：上图的方格表示图像的像素点，四个箭头方向分别指向

垂直方向，斜左上方向，水平方向，斜左下方向。

式(2)中二阶偏导数的数值形式为：

令则有

式(7)中二阶偏导数的数值形式与式(3)~(6)中对应方向的二阶偏导数的数值形式一样。

2.2 基于四方向的拉普拉斯算子的YK模型

把四方向的拉普拉斯算子应用到式(1)中，并对的运算进行修改，令

则YK模型改为

令

所以，式(8)的离散化公式为

用方程(8)处理噪声图像，相当于是用模板处理每一个点。式(9)使所有方向上的二阶偏导数的系数只与各自方向的二阶偏导数有关，对于处在图像边缘部分的噪声点，噪声点像素值与边缘点像素值的差较大，则在沿这个方向上的二阶偏导数的系数就较小，从而可以抑制扩散过程导致的边缘模糊化。

3 实验结果及比较。

数值实验使用经典PM模型、文献[7]提出的模型和本文提出的方法分别对原图图像的加了标准差为10，20的高斯噪声图像进行去噪，迭代步长为0.1，迭代10次。三个方法对三幅噪声图的处理结果如下列图所示，图(a1)~图(a4)分别为标准差为10的噪声图，PM模型对图(a1)去噪图，文献[7]提出的模型对图(a1)去噪图，本文方法对图(a1)去噪图；图(b1)~图(b4)分别为标准差为20的噪声图，PM 模型对图(b1)去噪图，文献[7]提出的模型对图(b1)去噪图，本文方法对图(b1)去噪图。本文方法既能抑制光滑区域的噪声，而且比前两种模型能更好地保持图像的边缘，使边缘部分更清晰。