(完整版)椭圆的参数方程(含答案)(可编辑修改word版)
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案).doc
+ )，2=1,得(1 + 〃)宇 一2疽乂 =0 ,典型例题一例1椭圆的一个顶点为A （2,0）,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程. 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置. 解：（1）当A （2,0）为长轴端点时,。
=2, b = l,22椭圆的标准方程为：'+匕=1;（2）当A （2,0）为短轴端点时，b = 2,。
= 4,椭圆的标准方程为：土 +匕4 16说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不 能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况.典型例题二例2 —个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率.说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求Q,求C,再求 比.二是列含Q 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可.典型例题三例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线x+y-1 =。
交于A 、B 两点、, M 为AB 中点，0M 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.h 由题意，设椭圆方程为二+），2=1,工+顶一1 =0=hL = _L = L知】43V3— + y2 = 1 为所求.4 -说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法；(2)直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.典型例题四/ V2( 9、例4椭圆一+上=1上不同三点人3，y), B 4,- , C(x2,力)与焦点F(4,0)的25 9 k 5 /距离成等差数列.(1)求证工]+ x2 = 8 ;(2)若线段AC的垂直平分线与工轴的交点为T,求直线BT的斜率证明：(1)由椭圆方程知a = 5 , b = 3, c = 4.由圆锥曲线的统一定义知：—?匕—=上,cr aAF = a-ex} =5- — ^ .4同理CF =5一一七.5 一9•/\AF\ + |CF| = 2|BF|,且BF =—,即X] + x2 = 8 .(2)因为线段AC的中点为,所以它的垂直平分线方程为I 2 ))，-心1 =也二％-4).2>1 - >,2又..•点『在人轴上，设其坐标为(工0,0),代入上式，得寸4 =若当2代一易)5 5 - /u' h -9 一259 一252%又,点A（x r yj , B（X2, %）都在椭圆上,将此式代入①，并利用凡+易=8的结论得』36"4 = -云#上一。
2.1 椭圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
2
2
点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
x2 y2 1有一内接矩形ABCD， 例3、已知椭圆 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D
解 : 设A 10cos ,8sin
AD 20cos , AB 16sin S 20 16sin cos 160sin 2
椭圆的参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
x 线AB的方程为 3 y 2
2
2
1
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： P( 8 8y 2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
O x
分析2：设P(2 2 cos, sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
2.1 椭圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： P( 8 8y 2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
O x
分析2：设P(2 2 cos, sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
2
2
y A
B O M N
φ
x
a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
y
P θ
x r cos 圆的参数方程: (为参数) y r sin θ的几何意义是 ∠AOP=θ
x a cos y b sin 是椭圆的参
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2
y 100
2
1
x 2cos 练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是 y sin
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3 , 0)），离心率是 （
3 2
）。
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
椭圆的参数方程(2)
cos sin 1 相比较而得到，所以椭圆的参数方程
探究：P29
椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的 金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B它们可以分 别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一 周就画出一个椭圆。 你能说明它的构造原理吗？ 提示：可以用直尺AB和横槽所成的角为参数，求出点M的轨迹的参数方程。
y M B A
A，B，M三点固定，设 |AM|=a，|BM|=b， MBx 。
M 0
B A
x
设M(x,y)则x=acos ,y=bsin , 所以M点的轨迹为椭圆。
练习、1、把下列参数方程化为普通方程，普通方程 化为参数方程（口答）
x 3cos , （1） y 5sin .
点P在椭圆上移动，求|PA|的最小值及此时
点P的坐标.
思考：P30
x2 y 2 1 与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数x，y满足 25 16 的前提下，求出z=x-2y的最大值和最小值吗？
由此可以提出哪些类似的问题？
小结
x2 y 2 椭圆 2 2 （a>b>0） 的参数方程为： 1 a b
x y 例4 求椭圆 1的参数方程。 9 4 (1)设x=3cos，为参数； (2)设y=2t，t为参数.
解：（1）把x=3cos代入椭圆方程，得到
9cos 2 y 2 1, 9 4
2
2
所以
y2 4(1 cos2 ) 4sin 2 ,
即
x2 y 2 由参数的任意性，可取 y 2sin 。所以，椭圆 1的参数方程是 9 4 x 3cos (为参数) y 2sin
(完整版)椭圆常结论及其结论(完全版)
2椭圆常用结论一、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）二、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。
椭圆的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,推导：以焦点在x 轴为例如上图，设椭圆上一点()00,y x P ，在y 轴左边. 根据椭圆第二定义，e PMPF =1，则 02020201ex a c a x a c c a x e c c x e PM e PF +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--== xO F 1F 2Py A 2A 1B 1B 2同理可得02ex a PF -=三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例， 弦AB坐标：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度： ab AB 22=四、若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为. 推导：如图θsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF 根据余弦定理，得 θcos =21221222PF PF F F PF PF ⋅-+=2122121242)PF PF c PF PF PF PF ⋅-⋅-+=2122122424PF PF c PF PF a ⋅-⋅-=21212224PF PF PF PF b ⋅⋅-得θcos 12221+=⋅b PF PFθsin 212121⋅⋅=∆PF PF S F PF =θθsin cos 12212⋅+⋅b =θθcos 1sin 2+⋅b =2tan 2θb12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb xO F 1F 2 P y A 2A 1B 1B 2五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长12AB x =-==注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 六、圆锥曲线的中点弦问题： (1)椭圆中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
(完整版)椭圆知识点及经典例题汇总,推荐文档
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
x2
②椭圆
y2
1 (a b 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为
a2 b2
A1 (a,0) ， A2 (a,0) ， B1 (0,b) ， B2 (0,b)
③线段 A1 A2 ， B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴， A1 A2 2a , B1B2 2b 。 a 和 b 分
( BF1 BF2 a) ； ( OF1 OF2 c) ； A1B A2 B a 2 b2 ；
（3） A1F1 A2 F2 a c ； A1F2 A2 F1 a c ； a c PF1 a c ；
知识点四：椭圆第二定义
一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数 e ，那么这个点的轨
若 ( PF1 PF2 F1F2 ) ，则动点 P 的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
1．当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程： x 2 y 2 1 (a b 0) ，其中 c 2 a 2 b2 a2 b2
2．当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程： y 2 x 2 1 (a b 0) ，其中 c 2 a 2 b2 ； a2 b2
3.椭圆的参数方程
x
y
a b
cos sin
(为参数)
注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆
的标准ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程；
2．在椭圆的两种标准方程中，都有 (a b 0) 和 c 2 a 2 b2 ；
3．椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在 x 轴上时，椭圆的焦点坐标为 (c,0) ， (c,0) ；
【同步练习】2020人教A版选修4-4课后练习本《椭圆的参数方程》含答案解析)
2020人教A 版选修4-4课后练习本：椭圆的参数方程一、选择题1.椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)的焦距为( )A.21 B ．221 C.29 D ．2292.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝1＋sin 2θ(θ为参数)所表示的曲线为( )A ．圆的一部分B ．抛物线的一部分C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分3.曲线C: ⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝5sin α(α为参数)的离心率为( )A ．23B ．35C ．32D ．534.点P(x ，y)是椭圆2x 2＋3y 2=12上的一个动点，则x ＋2y 的最大值为( )A ．22B ．22C ． 6D ．4 5.双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的一个焦点为 ( )A ．(3,0)B ．(4,0)C ．(5,0)D ．(0,5)6.当参数θ变化时，动点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( )A ．点(2，3)B ．点(2，0)C ．点(1，3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π27.椭圆x 29＋y24=1上的点到直线x ＋2y －4=0的距离的最小值为( )A ．55B ． 5C ．655D ．08.若P(x ，y)是椭圆2x 2＋3y 2=12上的一个动点，则x ＋22y 的最大值为( ) A ．2 6 B ．4 C.2＋ 6 D ．2 2二、填空题9.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴)中，直线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1=0，则曲线C 1与C 2的交点的个数为 .10.点P(x ，y)在椭圆x 24＋y 2=1上，则x ＋y 的最大值为 .11.已知椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 、N 在椭圆上，对应参数分别为π3，π6，则直线MN 的斜率为________．12.已知P 是椭圆x 216＋y28=1上的动点，O 为坐标原点，则线段OP 中点M 的轨迹方程是________．三、解答题13.已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1=0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．14.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4=0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．答案解析1.答案为：B ；解析：消去参数θ得椭圆方程为：x 24＋y225=1，所以a 2=25，b 2=4，所以c 2=21，所以c=21，所以2c=221.2.答案为：B ；解析：参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝1＋sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为x 2=y(0≤y≤2)，表示抛物线的一部分．3.答案为：A ；解析：由题设得x 29＋y 25=1，∴a 2=9，b 2=5，c 2=4.∴e=c a =23.故选A ．4.答案为：A ；解析：椭圆方程为x 26＋y24=1，设P(6cos θ，2sin θ)，则x ＋2y=6cos θ＋4sin θ=22sin(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝64， 故x ＋2y≤22.x ＋2y 的最大值为22.5.答案为：C ；解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝4tan φ得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝1cos φ，y 4＝tan φ，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42=1cos 2φ－tan 2φ=1， 即双曲线方程为x 29－y216=1，焦点为(±5,0)．故选C ．6.答案为：B ；解析：把四个选项代入P 点检验，只有B 符合．7.答案为：A ；解析：可设椭圆x 29＋y24=1上的点为(3cos θ，2sin θ)，该点到直线x ＋2y －4=0的距离d=|3cos θ＋4sin θ－4|1＋4=θ＋φ－4|5≥15=55.故选A ．8.答案为：D ；解析：椭圆为x 26＋y24=1，设P(6cos θ，2sin θ)，x ＋22y=6cos θ＋2sin θ=22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤2 2.9.答案为：2；解析：由题意，曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)可化为一般方程x 24＋y23=1，直线C 2的极坐标方程ρ(cos θ－sin θ)＋1=0可化为普通方程x －y ＋1=0.联立两个方程，消去y 可得x 24＋＋23=1，即7x 2＋8x －8=0.因为Δ=82＋4×7×8>0，所以直线与椭圆相交，且有两个交点．10.答案为： 5.解析：由已知可得椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，则x ＋y=2cos α＋sin α=5sin (α＋φ)(tan φ=2)，∴(x ＋y)max = 5.11.答案为：－2；解析：当t=π3时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，即M(1，23)，同理N(3，2)．k MN =23－21－3=－2.12.答案为：x 24＋y22=1；解析：设P(4cos θ，22sin θ)，M(x ，y)，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋4cos θ2，y ＝0＋22sin θ2，即⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，消去θ得动点M 的轨迹方程是x 24＋y 22=1.13.解：由题意知直线和椭圆方程可化为x ＋y －1=0，①x 24＋y 2=1，② ①②联立，消去y 得5x 2－8x=0，解得x 1=0，x 2=85.设直线与椭圆交于A ，B 两点，则A ，B 两点的直角坐标分别为(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－35，则|AB|=⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852=825， 故所求的弦长为825.14.解：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4=0， 所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d=|3cos α－sin α＋4|2=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6=－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。
陶维林(椭圆的参数方程)
椭圆的参数方程老师：同学们好，大家都知道问题是数学的心脏，问题的解决促进了数学的发展。
因此，这节课呢我们仍然从解决一个问题开始，请大家看屏幕。
这个问题是这样的，它说，以原点为圆心，分别以a、b为半径做两个圆，a、b是一个长度。
点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN垂直于X轴，垂足为N，过点B作BM垂直于AN，垂足为M。
求当半径OA绕点O旋转是，点M轨迹的参数方程。
要解决这个问题，现在把问题搞清楚是什么样的问题。
它讲的是什么呢？就是要画两个圆是吧，两个同心圆，大圆的那个半径叫a，小圆的那个半径叫b，大圆上有一个点A在动，过A的一个动半径和小圆有一个交点是B，然后过A点画了X 轴的垂线，过B点画了刚才垂线的垂线，是吧。
那么它们交与一个点M，然后任务呢，叫我们求这个点M的轨迹的参数方程。
我们根据题目的要求来建立一个坐标系，那么这个地方一个点应该是原点O，这个应该是单位长度1，是吧，它叫我们做什么事呢？叫我们以a为半径画一个圆，然后呢，以b为半径再画一个圆，a是大于b的，然后叫我们画了一个大圆的半径，这个大圆的半径应该叫做OA，这个点应该叫点A，这个大圆半径和小圆半径有个交点应该叫什么？学生：B老师：对，这个交点应该叫B，然后题目要求我们过这个点A画X轴的垂线，我们把这个垂线作出来，这个垂足叫什么啊？学生：N老师：对，垂足叫N，然后叫我们过点B画AN的垂线，画垂线，那么这个交点叫什么？学生：M老师：对，这个交点叫M。
好，我们根据题目的意思事实上已经把图画好了，我们再看这个题目要我们干什么？要我们干什么呢？它说求当半径OA绕点O旋转的时候，这个点M轨迹的参数方程。
要建立点M轨迹的参数方程，首先要选择参数，同学们看，你准备拿什么作为参数？会讲的举手。
王晨你说学生：我想用角AON作为参数。
老师：你为什么要用这个角作为参数呢？学生：因为我觉得是因为点A在大圆上的运动才引起了点M的运动。
所以我觉得，我想用角AOM作为参数。
(完整word版)椭圆的参数方程(含答案)
椭圆的参数方程 教学目标：1.了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题；2.通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分析问题和解决问题的能力。
3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：椭圆的参数方程。
教学难点：椭圆参数方程中参数的理解.教学方式：讲练结合，引导探究。
教学过程：一、复习焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b+=>> 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)y x a b a b+=>> 二、椭圆参数方程的推导1. 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程因为22()()1xy a b +=，又22cos sin 1ϕϕ+= 设cos ,sin x y a b ϕϕ==，即a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩，这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
2.参数ϕ的几何意义问题、如下图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作两个圆。
设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B 。
过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.解：设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(x, y)。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点A,B 均在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有||cos cos x OA a ϕϕ==， ||sin cos y OB b ϕϕ==。
当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是a cos y bsin x ϕϕ=⎧⎨=⎩ 这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
()ϕ为参数在椭圆的参数方程中，通常规定参数ϕ的范围为[0,2)ϕπ∈。
思考：椭圆的参数方程中参数ϕ的意义与圆的参数方程r cos y rsin x θθ=⎧⎨=⎩ 中参数θ的意义类似吗？ 由图可以看出，参数ϕ是点M 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角（称为点M 的离心角），不是OM 的旋转角。
2.1 椭圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
221 1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
O
A x
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 1 (2) x 1 (1) 4 9 16 x 2 cos x cos (1) (2) y 3sin y 4sin
2
2
把下列参数方程化为普通方程 x 3cos x 8cos (3) (4) y 10sin y 5sin
x a cos y b sin 是椭圆的参
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1
点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
x2 y2 1有一内接矩形ABCD， 例3、已知椭圆 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D
解 : 设A 10cos ,8sin
AD 20cos , AB 16sin S 20 16sin cos 160sin 2
椭圆的参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
2017_2018学年高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程1椭圆的参数方程学案(含解析)新人教A版选修4_4
1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是 已知实数x ，y 满足x 225＋y 216＝1，求目标函数z ＝x －2y的最大值与最小值．将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化成三角函数求最值问题． 椭圆x 225＋y 216＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数)．代入目标函数得z ＝5cos φ－8sin φ ＝52＋82cos(φ＋φ0)＝89cos(φ＋φ0)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ0＝85.所以目标函数z min ＝－89，z max ＝89.利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．1．已知椭圆x 225＋y 216＝1，点A 的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点P ，使点P 与点A 的距离最大．解：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．设P (5cos θ，4sin θ)，则 |PA |＝θ－2＋θ2＝9cos 2θ－30cos θ＋25＝θ－2＝|3cos θ－5|≤8，当cos θ＝－1时，|PA |最大．此时，sin θ＝0，点P 的坐标为(－5,0)．2．椭圆x 29＋y 24＝1上一动点P (x ，y )与定点A (a,0)(0＜a ＜3)之间的距离的最小值为1，求a 的值．解：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设动点P (3cos θ，2sin θ)，则 |PA |2＝(3cos θ－a )2＋4sin 2θ ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－35a 2－45a 2＋4. ∵0＜a ＜3，∴0＜35a ＜95.于是若0＜35a ≤1，则当cos θ＝35a 时，|PA |min ＝－45a 2＋4＝1，得a ＝152(舍去)； 若1＜35a ＜95，则当cos θ＝1时，由|PA |min ＝a 2－6a ＋9＝1，得|a －3|＝1，∴a ＝2，故满足要求的a 值为2.已知A ，B 分别是椭圆36＋9＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC的重心G 的轨迹方程．由条件可知，A ，B 两点坐标已知，点C 在椭圆上，故可设出点C 坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解．由题意知A (6,0)，B (0,3)．由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标设为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3，y ＝0＋3＋3sin θ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ.消去参数θ得到x －24＋(y －1)2＝1.本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．3．已知椭圆方程是x 216＋y 29＝1，点A (6,6)，P 是椭圆上一动点，求线段PA 中点Q 的轨迹方程．解：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．设P (4cos θ，3sin θ)，Q (x ，y )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋62，y ＝3sin θ＋62，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋3，y ＝32sin θ＋3(θ为参数)．∴9(x －3)2＋16(y －3)2＝36， 即为所求轨迹方程．4．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； (2)设点P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程． 解：(1)由椭圆上点A 到F 1，F 2的距离之和是4， 得2a ＝4，即a ＝2.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上， 因此14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3，于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)，线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )，则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02， 所以x ＋12＝cos θ，2y3＝sin θ.消去θ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y23＝1.即为线段F 1P 中点的轨迹方程.已知椭圆4＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x轴于P ，Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值．利用参数方程，设出点M 的坐标，并由此得到直线MB 1，MB 2的方程，从而得到P ，Q 两点坐标，求出|OP |，|OQ |，再求|OP |·|OQ |的值．设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φ1－sin φ.∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ.∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4.即|OP |·|OQ |＝4为定值．利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可．5．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(0≤θ≤2π)恒有公共点，则b 的取值范围是________．解析：将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b ，得4sin θ＝2cos θ＋b . ∵恒有公共点，∴以上方程有解． 令f (θ)＝4sin θ－2cos θ ＝25sin(θ－φ)． ∴－25≤f (θ)≤2 5. ∴－25≤b ≤2 5. 答案：6．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(a ＞b ＞0)上一点M 与两焦点F 1，F 2所成角为∠F 1MF 2＝α.求证：△F 1MF 2的面积为b 2tan α2.证明：∵M 在椭圆上，∴由椭圆的定义，得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 两边平方，得|MF 1|2＋|MF 2|2＋2|MF 1||MF 2|＝4a 2. 在△F 1MF 2中，由余弦定理，得|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1|·|MF 2|cos α＝|F 1F 2|2＝4c 2. 由两式，得|MF 1|·|MF 2|＝b 2cos2α2.故S △F 1MF 2＝12|MF 1|·|MF 2|sin α＝b 2tan α2.课时跟踪检测(十) 一、选择题1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ等于( )A ．π B.π2 C ．2π D.3π2解析：选A ∵点(－a,0)中x ＝－a ， ∴－a ＝a cos θ， ∴cos θ＝－1，∴θ＝π. 2．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为( )A. 3 B ．－33C ．2 3D ．－2 3 解析：选C 点M 的坐标为(1,23)， ∴k OM ＝2 3.3．直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，该椭圆上点P 使得△PAB 的面积等于4，这样的点P 共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：选B 设椭圆上一点P 1的坐标为(4cos θ，3sin θ)，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，如图所示，则S四边形P 1AOB ＝S △OAP 1＋S △OBP 1＝12×4×3sin θ＋12×3×4cos θ ＝6(sin θ＋cos θ)＝62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.当θ＝π4时，S 四边形P 1AOB 有最大值为6 2.所以S △ABP 1≤62－S △AOB ＝62－6＜4.故在直线AB 的右上方不存在点P 使得△PAB 的面积等于4，又S △AOB ＝6＞4，所以在直线AB 的左下方，存在两个点满足到直线AB 的距离为85，使得S △PAB ＝4.故椭圆上有两个点使得△PAB 的面积等于4.4．两条曲线的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝1＋sin 2θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t (t为参数)，则其交点个数为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2 解析：选B由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝1＋sin 2θ，得x ＋y －1＝0(－1≤x ≤0,1≤y ≤2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t 得x 29＋y 24＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个． 二、填空题5．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋2cos θ，y ＝1＋5sin θ(θ为参数)的焦距为________．解析：椭圆的普通方程为x ＋24＋y －225＝1.∴c 2＝21，∴2c ＝221. 答案：2216．实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，则2x ＋3y 的最大值是________． 解析：因为实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12， 所以设x ＝2cos α，y ＝3sin α，则 2x ＋3y ＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)， 其中sin φ＝45，cos φ＝35.当sin(α＋φ)＝1时，2x ＋3y 有最大值为5. 答案：57．在直角坐标系xOy 中，椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆 O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆C 的离心率为____________．解析：l 的直角坐标方程为x ＋y ＝m ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，由直线l 与圆O 相切，得m ＝±2b .从而椭圆的一个焦点为(2b,0)，即c ＝2b ， 所以a ＝3b ，则离心率e ＝c a ＝63. 答案：63三、解答题8．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R)，求它们的交点坐标．解：将⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ＜π)化为普通方程，得x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，x ≠－5)，将x ＝54t 2，y ＝t 代入，得516t 4＋t 2－1＝0， 解得t 2＝45，∴t ＝255(∵y ＝t ≥0)，x ＝54t 2＝54·45＝1，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.9．对于椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，如果把横坐标缩短为原来的1a，再把纵坐标缩短为原来的1b 即得到圆心在原点，半径为1的圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．那么，若把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论圆的离心率，并进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的关系．解：设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)，如果将该圆看成椭圆，那么在椭圆中对应的数值分别为a ＝b ＝r ， 所以c ＝a 2－b 2＝0， 则离心率e ＝ca＝0.即把圆看成椭圆，其离心率为0，而椭圆的离心率的范围是(0,1)，可见椭圆的离心率越小即越接近于0，形状就越接近于圆，离心率越大，椭圆越扁．10．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标， 得P (0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2.由此得，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。
(整理)椭圆的第二定义参数方程直线与椭圆的位置关系-高中数学
椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系一. 教学内容：椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系［知识点］1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数e ca e M =<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y b a b F c 22222100+=>>()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c =-=-2120()②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。
对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：x a y b a b P x y 222102+=>>()()左焦半径∴·左左r x a c ca r ex c a a ca ex 0202+==+=+右焦半径右右r a cx car a ex 200-=⇒=-3. 椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心，分别以a 、b （a>b>0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BN ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。
解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为M x y ()ϕϕOx OA 参数。
那么∴x ON OA y NM OB x a y b ======⎧⎨⎩||cos ||sin cos sin ()ϕϕϕϕ1这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”ϕϕ 说明：<1> 对上述方程（1）消参即xay b x a y b ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒+=c o s s i n ϕϕ22221普通方程<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。
(完整版)椭圆的参数方程和极坐标方程总结
完整版)椭圆的参数方程和极坐标方程总结概述椭圆是一种重要的几何图形，具有许多应用。
在数学中，椭圆可以通过参数方程和极坐标方程进行描述和表示。
本文将详细介绍椭圆的参数方程和极坐标方程，包括定义、推导以及应用等方面。
参数方程定义椭圆的参数方程通常由两个参数表示，分别是水平方向的参数t和垂直方向的参数u。
以坐标点(x,y)表示的椭圆上的任意一点，其参数方程可以用如下形式表示：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。
参数方程推导为了推导出椭圆的参数方程，我们可以从椭圆的标准方程出发，即：x - h)^2 / a^2) + ((y - k)^2 / b^2) = 1其中，(h,k)表示椭圆的中心点坐标。
我们可以通过引入参数u，将标准方程中的变量x和y表示为：x = a * cos(u)y = b * sin(u)通过将x和y的表达式代入标准方程中，可以得到：a * cos(u) - h)^2 / a^2) + ((b * sin(u) - k)^2 / b^2) = 1进一步整理可得：cos(u))^2 / a^2 + (sin(u))^2 / b^2 = 1因为`(cos(u))^2 + (sin(u))^2 = 1`，上式化简为：cos(u))^2 / a^2 + (sin(u))^2 / b^2 = (cos(u))^2 / a^2 + ((sin(u))^2 /b^2) * (a^2 / b^2) = 1比较原式与化简式，可得：a^2 = 1b^2 = a^2 / b^2由此，我们得到了椭圆的参数方程。
极坐标方程定义椭圆的极坐标方程由一个参数θ表示，以坐标点(r,θ)表示的椭圆上的任意一点，其极坐标方程可以用如下形式表示：r(θ) = a * b / sqrt((b * cos(θ))^2 + (a * sin(θ))^2)其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。
椭圆的参数方程(公开课)
x
令
a y
c os sin
xy
a cos(为参数) b sin
b
是焦点在X轴的椭圆的参数方程
第二章 参数方程
问题:你能仿此推导出椭圆
x2 b2
y2 a2
1的参数方程吗？
x2 b2
y2 a2
1
x
2
y
2
1
b a
解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则
y
A: (acosφ, a sinφ),
A
B: (bcosφ, bsinφ),
B
M
由已知:
x y
acos bsin
(为参数)
即为点M的轨迹参数方程.
O
Nx
消去参数得: x2 y2 1, 即为点M的轨迹普通方程. a2 b2
第二章 参数方程
(为参数)
（2）椭圆的参数方程在求最值，范围问题上有其优 越性；
第二章 参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
问题：
x2 9
y2 4
1
与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭
圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解 : 椭圆参数方程
设点P(3cos,2sin )
S >
ABC
面积一定,
需求
S >
ABP
最大即可
即求点P到线AB的距离最大值
高三复习数学471_椭圆的参数方程(有答案)
4.7.1 椭圆的参数方程一、解答题。
1. 把下面参数方程化为普通方程，把普通方程化为参数方程x 216+y 29=1；{x =2cos θ,y =sin θ.2. 把下面参数方程化为普通方程，把普通方程化为参数方程． {x =2+4cos θ,y =1−3sin θ.(x+1)24+(y−2)29=1．3. 已知实数x ，y 满足x 225+y 216=1，求目标函数z =x −2y 的最大值与最小值．4. 椭圆x 29+y 24=1上一动点P (x,y )与定点A (a,0)(0<a <3)之间的距离的最小值为1，求a 的值．5. 经过点M (2,1)作直线l ，交椭圆x 216+y 24=1于A ，B 两点，如果M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程．6. （2018·全国Ⅱ卷，22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cos θy =4sin θ(θ为参数），直线l 的参数方程为{x =1+t cos αy =2+t sin α（t 为参数）．求C 和l 的直角坐标方程；若曲线 C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．7. 已知椭圆x 24+y 2=1上任一点M （除短轴端点外）与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证：|OP|⋅|OQ|为定值．8. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP，求该椭圆的离心率e的取值范围．9. 小结与反思___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________ __________________________________参考答案与试题解析 4.7.1 椭圆的参数方程一、解答题。
高中数学选修4-4 北师大版 椭圆的参数方程 作业 Word版 含答案
课时跟踪检测(十) 椭圆的参数方程一、选择题1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ等于( ) A ．πB.π2 C ．2πD.3π2解析：选A ∵点(－a,0)中x ＝－a ，∴－a ＝a cos θ，∴cos θ＝－1，∴θ＝π. 2．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为( ) A. 3B ．－33C ．2 3D ．－2 3 解析：选C 点M 的坐标为(1,23)，∴k OM ＝2 3.3．直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，该椭圆上点P 使得△PAB 的面积等于4，这样的点P 共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 设椭圆上一点P 1的坐标为(4cos θ，3sin θ)，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，如图所示，则S 四边形P 1AOB ＝S △OAP 1＋S △OBP 1 ＝12×4×3sin θ＋12×3×4cos θ ＝6(sin θ＋cos θ)＝62sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 当θ＝π4时，S 四边形P 1AOB 有最大值为6 2. 所以S △ABP 1≤62－S △AOB ＝62－6＜4.故在直线AB 的右上方不存在点P 使得△PAB 的面积等于4，又S △AOB ＝6＞4，所以在直线AB 的左下方，存在两个点满足到直线AB 的距离为85，使得S △PAB ＝4.故椭圆上有两个点使得△PAB 的面积等于4.4．两条曲线的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos 2θ－1，y ＝1＋sin 2θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，则其交点个数为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos 2θ－1，y ＝1＋sin 2θ，得x ＋y －1＝0(－1≤x ≤0,1≤y ≤2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t 得x 29＋y 24＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．二、填空题5．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋2cos θ，y ＝1＋5sin θ(θ为参数)的焦距为________． 解析：椭圆的普通方程为(x ＋4)24＋(y －1)225＝1. ∴c 2＝21，∴2c ＝221.答案：2216．实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，则2x ＋3y 的最大值是________．解析：因为实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，所以设x ＝2cos α，y ＝3sin α，则2x ＋3y ＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，其中sin φ＝45，cos φ＝35. 当sin(α＋φ)＝1时，2x ＋3y 有最大值为5.答案：57．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆 O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆C 的离心率为____________．解析：l 的直角坐标方程为x ＋y ＝m ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，由直线l 与圆O 相切，得m ＝±2b .从而椭圆的一个焦点为(2b,0)，即c ＝2b ，所以a ＝3b ，则离心率e ＝c a ＝63. 答案：63三、解答题8．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧ x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R)，求它们的交点坐标．解：将⎩⎨⎧ x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ＜π)化为普通方程，得 x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，x ≠－5)， 将x ＝54t 2，y ＝t 代入，得 516t 4＋t 2－1＝0， 解得t 2＝45， ∴t ＝255(∵y ＝t ≥0)，x ＝54t 2＝54·45＝1， ∴交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255. 9．对于椭圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，如果把横坐标缩短为原来的1a ，再把纵坐标缩短为原来的1b 即得到圆心在原点，半径为1的圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．那么，若把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论圆的离心率，并进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的关系．解：设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)， 如果将该圆看成椭圆，那么在椭圆中对应的数值分别为a ＝b ＝r ，所以c ＝a 2－b 2＝0，则离心率e ＝c a ＝0.即把圆看成椭圆，其离心率为0，而椭圆的离心率的范围是(0,1)，可见椭圆的离心率越小即越接近于0，形状就越接近于圆，离心率越大，椭圆越扁．10．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎫4，π2化为直角坐标， 得P (0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。
高二数学讲义椭圆标准方程(精品-原创有答案)
高二数学讲义第六讲 椭圆的标准方程知识梳理1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段；12220220022a c a c F F a c >>⇔⎫⎪=>⇔↔⎬⎪<<⇔⎭椭圆线段无意义，轨迹不存在 数形结合 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆，(椭圆的焦半径公式：|PF 1|=a+ex 0, |PF 2|=a-ex 0)。
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:○2、参数方程：cos sin x a y b φφ=⎧⎨=⎩),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by a x 时,点P 在椭圆上;直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔5.几个概念： ①通径：2b 2a ; ③点与椭圆的位置关系： ④22221x y a b+=上任意一点P 与两焦点21,F F 构成的三角形可称为椭圆的焦点三角形. ⑤弦长公式：；⑥椭圆在点P （x 0，y 0)处的切线方程：00221x x y ya b+=; ○7基本三角形：中心焦点短轴顶点这三点构成椭圆的基本三角形。
2.1 椭圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
B O N
M
设∠XOA=φ
x
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. y 解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M
练习4
最大值6 2 , 最小值 6 2 .
2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B .
A. 圆
B. 椭圆
设中点M (x, y)
C. 直线 x=2sinθ-2cosθ
y=3cosθ+3sinθ
D. 线段
x y 2 4 9
x 线AB的方程为 3 y 2
2
2
1
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
x2 y2 1有一内接矩形ABCD， 例3、已知椭圆 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D
解 : 设A 10cos ,8sin
AD 20cos , AB 16sin S 20 16sin cos 160sin 2
椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)典型例题一已知椭圆的一个顶点为A(2.0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程。
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置。
解：（1）当A(2.0)为长轴端点时，a=2，b=1，椭圆的标准方程为：x^2/4+y^2/1=1；（2）当A(2.0)为短轴端点时，b=2，a=4，椭圆的标准方程为：x^2/16+y^2/4=1.说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况。
典型例题二一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率。
解：设椭圆长轴长为2a，焦点到准线的距离为c，则2c/3=a，即c=3a/2.由椭圆定义可得c^2=a^2-b^2，代入c=3a/2中得到9a^2/4=a^2-b^2，化简得b^2=3a^2/4.再由离心率的定义e=c/a得到e=√(1-b^2/a^2)=√(1-3/4)=√(1/4)=1/2.说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比。
二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可。
典型例题三已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程。
解：由题意，设椭圆方程为x^2/4+y^2/a^2=1，直线方程为y=1-x。
将直线方程代入椭圆方程得到x^2/4+(1-x)^2/a^2=1，化简得到(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0.设AB的中点为M(x1.y1)，则M的坐标为[(x1+x2)/2.(y1+y2)/2]，其中x2为方程(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0的另一个解。
由OM的斜率为0.25可得到y1=0.25x1.又因为M在直线x+y-1=0上，所以有y1=1-x1.解以上两个方程可得到M的坐标为(4/5.1/5)。
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+ = > > + = > > + ⎩
⎩
椭圆的参数方程
教学目标：
1. 了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题；
2. 通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分
析问题和解决问题的能力。
3. 通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：椭圆的参数方程。
教学难点：椭圆参数方程中参数的理解. 教学方式：讲练结合，引导探究。
教学过程：
一、复习
焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程： x
a 2 y 2
b 2 1(a b 0)
焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程： y a 2 二、椭圆参数方程的推导
x 2
b 2
1(a b 0)
1. 焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程 x y
因为( )2 ( )2 = 1，又cos 2
+ sin 2
= 1
a
b x y ⎧x = a
c os 设 = cos ,
a
b
= sin
，即⎨y = bsin ，这是中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程。
2. 参数
的几何意义
问题、如下图，以原点 O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作
两个圆。
设 A 为大圆上的任意一点连，接 OA,与小圆交于点 B 。
过点 A 作 AN ⊥ox ，垂足为 N ，过点 B 作BM ⊥AN ，垂足为 M ，求当半径 OA 绕点 O 旋转时点 M 的轨迹参数方程. 解：设以Ox 为始边，OA 为终边的角为
，点 M 的坐标是(x, y)。
那么点 A 的横坐标为 x ，点 B 的纵坐标为 y 。
由于点 A,B 均在角
的终边上，由三角函数的定义有
x =| OA | cos
= a cos
，
y =| OB | sin
= b cos。
当半径 OA 绕点 O 旋转一周时，就得到了点 M 的轨迹，它的参数方程是
⎧x = a c os ⎨
y = bsin (为参数)
2 2
⎩
+ = ⎩
64 ⎨ y = 10 s in ⎨
y = 5sin
+ = > > 这是中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程。
在椭圆的参数方程中，通常规定参数
的范围为
∈[0, 2) 。
⎧x = r cos
思考：椭圆的参数方程中参数的意义与圆的参数方程⎨
y = r sin
(为参数)
中参数的意义类似吗？
由图可以看出，参数是点 M 所对应的圆的半径 OA （或 OB ）的旋转角（称为点 M 的离心角），不是 OM 的旋转角。
参数是半径 OM 的旋转角。
3. 焦点在 y 轴上的椭圆的参数方程
x
2
y 2
b
2
a
2
1,
⎧x = b c os
⎨
y = a sin
三、例题分析
例 1.把下列普通方程化为参数方程.
x 2 y 2
2
y
2
(1) + = 1 4 9
(2)x + = 1
16
2
(3) x 2 + y = 1
(4) x 2
y 2
100
9
25
变式：
把下列参数方程化为普通方程
x = 2 cos y = 3sin
x = cos y = 4 s in
(3) ⎧x = 8 c os ⎩ (4) ⎧x = 3cos
⎩
x 2
例 2. 已知椭圆 a 2
y 2
b 2
1(a b 0) ,求椭圆内接矩形面积的最大值.
解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为
(a cos ,b s in )
S 矩形 = 4 a cos ⋅ b sin
= 2ab sin 2 ≤ 2ab ∴当=
k
+ 2 4
∈ Z )时，S 矩形 = 2ab 最大。
所以椭圆内接矩形面积的最大值为 2ab
+
(1){
(2){
(k = 1
+ = + - = ⎩
+ = 2 2 2
2
例3、在椭圆 x y 1上求一点M ，使点M 到直线x 2 y 10 0
9 4
的距离最小，并求出最小距离
⎧x = 3cos
解：因为椭圆的参数方程为⎨y = 2 sin （
为参数）
所以可设点 M 的坐标为(3cos
, 2 sin ) 。
由点到直线的距离公式，得到点 M 到直线的距离为
变式2、设P (x , y )是椭圆2x 2 + 3y 2 = 12上的一个动点，求x + 2 y 的取值范围。
解：椭圆的方程可化为 x y 1,
6 4
它的一个参数方程为 {
x = 6 cos (为参数，0 ≤< 2)
y
=
2 sin
x + 2 y = 6 cos + 4 sin = 22 cos(-)
cos(
-) ∈[-1,1]
∴ x + 2 y ∈[- 22, 22]
四、课堂练习
、
y 2
2 y x = 4 cos
1、P 是椭圆{ (为参数)上一点，且在第一象限
y = 2 3 sin OP (O 为原点)
P 的坐标为
的倾斜角为 ，则点
3
A 、(2, 3),
B ( 4 5, 4
15) C 、(2 3, 3), D 、(4, 3) 5 5
答案：B
解： OP 的倾斜角为
k
= tan
= 3又k = y = 2 3 sin
=
∴ 3 OP 3 ∴sin
= 2 cos
OP
x 4 cos
又sin
2
+ c os
2
= 1,且点P 在第一象限∴cos =
从而有x = 4 c os
= 4 5
, y = 2 3 s in
= 4 15
5
5 5 , s in
= 2 5
5 5
2.已知圆的方程为x 2 + y 2 - 4x cos - 2 y sin
+ 3cos 2
= 0, (为参数) 那么圆心的轨迹的普通方程为 ?
解：方程x 2 + y 2 - 4x cos
- 2 y sin + 3cos 2= 0，可以化为(x - 2 cos )2 + ( y - sin )2 = 1
x = 2 cos 所以圆心的参数方程为{ (为参数)，化为普通方程是 y = sin x 2 + 2
= 4
五、课堂小结：
本课要求大家了解了椭圆的参数方程及参数的意义，通过推导椭圆的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握，并能选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值问题，
x 2 1. 椭圆
16 y
1 的内接矩形的最大面积是
.
9
x 2 2. 已知 A 、B 是椭圆
9 OAPB 的面积最大
y 1 与坐标轴正半轴的两交点，在第一象限的椭圆弧上求一点 P ，使四边形
4
.
x 2 2
3、 已知实数 x 、y 满足
25 16
1，求z ＝x ＋2y 的最大值与最小值
3 1。