导数函数的性质

导数函数的性质

1、

()()()）。的取值范围为（综上则）令（单调递增。

时，当单调递减；

时，当则令时，当）解：（2,:1ln 0ln ln 2

022,0)2(0

1)0(,01)0(ln ,)(2)(),2()()2,0(2

,0)(0e 0,kx 0k )0())(2()12(2)(12

ln 2

22''''x 3242'

e e e e

k k k k e k g e k k e g k e g g k g k

x k e k

e x g kx

e x g x

f x x f x x x f kx x x

kx e x x

x k x xe x e x f k x x x x x x >∴>∴<-=<∴>-=>-=>=<-===∴-=-=+∞∈∈∴==>-∴≤≤>--=+---⋅=

2、

解：（Ⅰ）'2()(12)x f x x e

-=-， 由'()0f x =，解得12x =

， 当12

x >时，'()0f x <，()f x 单调递减 所以，函数()f x 的单调递增区间是1(,)2-∞，单调递减区间是1(,)2

+∞， 最大值为11()22f c e

=+ （Ⅱ）令2()ln ()ln x x g x x f x x c e

=-=-- (0,)x ∈+∞ （1）当(1,)x ∈+∞时，ln 0x >，则2()ln x x g x x c e

=--， 所以，2'2()(21)x

x e g x e x x

-=+- 因为210x ->，20x

e x

> 所以 '()0g x > 因此()g x 在(1,)+∞上单调递增.

（2）当(0,1)x ∈时，当时，ln 0x <，则2()ln x x g x x c e =--

-，

所以，2'2()(21)x x e g x e

x x -=-+- 因为22(1,)x e e ∈，210x e x >>>，又211x -< 所以2210x

e x x

-+-< 所以 '()0g x < 因此()g x 在(0,1)上单调递减.

综合（1）（2）可知 当(0,)x ∈+∞时，2()(1)g x g e

c -≥=--， 当2(1)0g e c -=-->，即2c e -<-时，()g x 没有零点，

故关于x 的方程

ln ()x f x =根的个数为0； 当2(1)0g e c -=--=，即2c e -=-时，()g x 只有一个零点，

故关于x 的方程

ln ()x f x =根的个数为1； 当2(1)0g e c -=--<，即2c e ->-时，

①当(1,)x ∈+∞时，由（Ⅰ）知

121()ln ln ()ln 12

x x g x x c x e c x c e -=--≥-+>-- 要使()0g x >，只需使ln 10x c -->，即1(,)c x e

+∈+∞；

②当(0,1)x ∈时，由（Ⅰ）知 121()ln ln ()ln 12

x x g x x c x e c x c e -=---≥--+>---； 要使()0g x >，只需使ln 10x c --->，即1(0,)c x e --∈；

所以当2c e ->-时，()g x 有两个零点，故关于x 的方程

ln ()x f x =根的个数为2； 综上所述：

当2c e -<-时，关于x 的方程

ln ()x f x =根的个数为0； 当2c e -=-时，关于x 的方程

ln ()x f x =根的个数为1； 当2c e ->-时，关于x 的方程

ln ()x f x =根的个数为2.