沪教版高中数学高二下册第十二章抛物线的性质-尝试探究有关抛物线的焦点弦问题 教案

尝试探究有关抛物线的焦点弦问题

设计理念

美国著名作家海明威在谈到阅读欣赏时，曾讲过一个“冰山理论”：他认为人们看到的小说只是冰山露在海面上的八分之一，那海面下的八分之七得让读者自己去体会揣摩。小说的表象后面包藏了极为丰富的内涵，它们是小说广阔的背景材料，要真正读懂小说，就必须掌握和了解这些材料。

这段话从一定程度上反映了开展探究性教学的可能和意义所在。事实上，现行教材中存在很多可选的探究性学习课题，只要我们在教学过程中，善于探究，积极引导，其探究性课题还是比较丰富，并确实有探究的价值。

探究性学习课题

一道习题的引申

探究性学习目标

通过推理、发现、猜测、概括、探究等双边活动过程，来启迪学生思维，调动学生兴趣，激发学习热情，树立创新意识，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。

探究性学习方法

学生主动探究与教师启发引导相结合。

探究性学习问题预测

重点：抛物线的焦点弦问题的知识联想。

难点：习题的证明结论引发的几何意义。

疑点：更多结论的发现。

情感目标

培养学生锲而不舍的个性品质。

体验数学中的对称美、和谐美、统一美都是客观世界美的特征在数学中的反映。

探究性学习双边活动过程

问题：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为

y 1、y 2.求证：y 1y 2= －p 2

证明： 222y px p y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩

()k o ≠ ⇒ 2220p y y p k --= （1） 或22

222(2)04k p k x p k x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭

（2） ⇒ 212y y p =-

以上是同学遇到的一道习题。请同学判断以上的过程是否正确。

忽视了k 这个变数的讨论

当k 不存在时：222

y px p x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒ 22y p = ⇒ y p =或y p =- ⇒ 212y y p =-

思考1：在证明这个结论的同时，还能得到什么新结论？

可得：()21221222p k x x k p

y y k ++=

+=

2

124

p x x =； 甚至还可得到： 2121234x x y y p +=-； 2121254

x x y y p -=； 412124

p x x y y =-； 121214x x y y =- 设问1 以上的部分结论能否以一个命题形式给出？

成果1：过抛物线y 2

=2px 的焦点的一条直线与此抛物线相交，两交点的横、纵坐标之积，

以及它们的和、差、积、商均为定值。

启迪 数形结合是一种重要的数学思想方法。它主要表现在把抽象的数量关系，转化为适

当的几何图形，通常是将数量关系转化为线段图。能否就结论212y y p =-得出其几何意义？

思考2：结论212y y p =-有何几何意义？ 成果2：焦点到准线的距离是焦点弦在准线上的射影被焦点在准线上的射影所分的两线段的

比例中项。

思考3：在所学过的知识中哪里出现过一条线段长度的平方等于另外两条线段长度的乘积？

S ：（直角三角形中）

T ：连接1Q F 、2Q F 。12Q FQ ∆是直角三角形吗？

【证明】： 112AQ AF =⇒∠=∠

234BQ BF =⇒∠=∠

而

1215

46

2356562

AQ FQ BQ FQ ππ

⇒∠=∠⇒∠=∠∠+∠+∠+∠=∴∠+∠=P P Q

即12Q F Q F ⊥

成果3：过抛物线的焦点弦的两端点作准线的垂线，垂足与抛物线焦点的连线互相垂直。 思考4：连接圆心与焦点，观察图像，又会有什么结论？

成果4：抛物线的焦点弦在准线上的射影的中点与焦点的连线垂直于焦点弦。

【证明】:在直角三角形ABC 中，H 为斜边12Q Q 中点

12190

HQ HQ HF

AQ H AFH

AFH HF AB ∴==∴≅∴∠=∴⊥o V V

思考5：H 为12Q Q 中点，再取AB 的中点G ，会有什么结论？

（连接HG ，交抛物线于P 点呢？）

成果5：过抛物线的焦点弦中点作准线的垂线，垂足与焦点弦中点的连线被抛物线平分。

【证明】：由成果4知HFG ∆为直角三角形

PH PF =Q

∴P 为GQ 中点

∴HP PG ==PF

思考6：这三条线段的长度又与哪条线段有关？

成果6：过抛物线的焦点弦中点作对称轴的平行线，与抛物线相交，则交点与焦点连线的长度等于焦点弦长的14 121111()22244

AQ BQ PF HG AF BF AB +===+=

思考7：将成果3和4结合起来，还会得到什么结论？（图形结合）

成果7：过抛物线焦点弦两端点作准线的垂线，以两垂足为直径的圆与焦点弦切于焦点。 证明略

思考8：哪里有数学哪里就有美。对称美就是数学美中的一种。以上直径在准线上有一个特

殊的圆存在，是否可以猜想直径在焦点弦上也有一个类似的特殊圆存在？

【证明】Q 在梯形12AQ Q B 中GH 为中位线

∴1211()22

GH AQ BQ AB =+= ∴圆心G 到准线的距离等于圆的半径。

成果8：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与准线相切。

思考9：12Q Q 有一条垂直平分线并交x 轴于F 点，那么作AB 的垂直平分线，交x 轴设为L

点，则四边形HFLG 有何特征？

（平行四边形）

进而得出：

成果9：抛物线的焦点弦的垂直平分线与对称轴的交点到焦点的等于焦点弦长的一半。

【证明】：HF AB ⊥Q GL AB ⊥

HF GL ∴P 且HG FL P

∴四边形HGLF 为平行四边形

∴12

FL HG AB == 猜测：由于抛物线及其准线与焦点所具有的特殊性，使我们发现了上述极其美妙的结论，我

们可以课后继续探究。

探究后作业：要求学生课外继续分组、讨论、推证。继续探究得出更多的成果。

小结：这是学生问到的一个小题，也是以前课本中的一个简单的课本习题。经过挖掘、猜测

和论证得到若干个形式新颖的命题，这正体现了经过千锤百炼的课本例习题的潜能作用，还对提高学生探究学习的能力也是十分有益的。