单纯形法的计算步骤
运筹学课件 单纯形法的计算步骤
例8 试用两阶段法求解线性规划问题
min z =-3x1+x2+x3
x1 2 x2 x3 11
s.t.
4 x1 2 x1
x2
2x3 3 x3 1
x1 , x2 , x3 0
0 0 -1 0 0
x2
3 5 11/5
Z0=0
Z1=15
x1
如果将x1换入基底，得 另一解，由可行域凸性 易知，有两个最优解必 有无穷多组最优解 当非基底变量的检验数 中有取零值，或检验数 中零的个数大于基变量 个数时，有无穷多解。
四、无（有）界解
max z=x1+x2 -2x1+x2 4 x1- x2 2 -3x1+x23 x1 ,x2 0
反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量为 基变量，便说明原问题无可行解。例3的单纯形表格为：
Cj
3
-1
-1
0
0
-M
CB XB b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0 x4 1
1
-2
1
1
0
0
-M x6 13 -4
1
2
0
-1
1
-M x7 1 -2
0
[1] 0
0
0
j
3-6M M-1 3M-1 0
-M
x1 2 x2 x3 x4
11
4 2
x1 x1
x2
2
x3 x3
单纯形法求解过程
单纯形法求解过程单纯形法是一种经典的线性规划求解方法，它是由乔治·达竞士等人在1947年提出的。
该方法的基本思想是，通过在单纯形空间内不断移动顶点的位置来寻找最优解。
单纯形法是目前广泛应用的线性规划求解方法之一，它求解线性规划问题可大大地简化计算过程。
单纯形法的求解过程包括以下几个步骤：1. 将线性规划问题转化为标准形式线性规划问题的标准形式为：$ \max_{x} \ \ c^T x $$s.t. \ Ax=b$$x\geq 0$其中，$x$是要求解的向量；$b$是一个常数向量；$A$是一个$m\times n$的矩阵；$c$是一个常数向量。
2. 初始化单纯形表因为单纯形法是通过移动顶点来寻找最优解的方法，因此需要初始化单纯形表。
单纯形表是将原始的约束条件表示为不等式形式时形成的。
例如，对于一个带有3个变量的线性规划问题，其单纯形表的形式如下：CB | X1 | X2 | X3 | X4 | RHS----|-----|-----|-----|-----|----0 | a11| a12| a13| 0 | b10 | a21| a22| a23| 0 | b20 | a31| a32| a33| 0 | b31 | z1 | z2 | z3 | 0 | 0其中，CB代表成本系数，X1、X2、X3、X4分别代表变量。
a11、a12、a13等代表矩阵A中的元素，b1、b2、b3代表矩阵b中的元素。
3. 选择进入变量和离开变量在单纯形表中，规定最后一列为等式右边的常数（RHS），即b。
在单纯形法的求解过程中，首先需要选择一个“进入变量”，即在单纯形表的第一行中，寻找一个系数为正的变量，使得将其加入目标函数后，目标函数值可以上升。
这里以X1为例，X1为进入变量。
接着，需要选择一个“离开变量”，即在单纯形表中，寻找一个使得添加X1变量后，约束条件不改变且取得约束条件中系数最小的一个变量离开。
单纯形法计算步骤
x2 n L xmLxn Z = Z0 + ∑σ j xj
A′
c − zz 求 0
有时不 写此项
检验数
令 Z0 = ∑c b ：
i=1 n 0 j
m
j =m+1 单纯形表结构 令c σ j = (cj − Z j ) ：→
j
单纯形表 Z = Z + ∑(c − Z )x
j
' i i
Z j = ∑c a
c →
j
2
1
0
0
4
0
CB
0 0 0
X b x3 15 x 24 x5 5
B
4
x x2 x3 x x5 1
0 6 1 2 5 2 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
cj − z j
正检验数对应 的列为主列
i=1 j
m
' i ij
2
CB
c1 M cm
X
B
∑b x1
b '1 M ' bm
j
n
检 数 验 1 0 c j0 C0
x2 L xmLxn
θ
min — 24/6 5/1
x1 M xm
j
A′
′ a1 j
c − zz
M ′ a mj
0
检验数 σ j 求
' bi' bl ' θ = min ' a im+k > 0 = ' 单纯形表结构 i a im+k a lm+k cj → 2 1 0 0 C0
单纯形表
- Z x1基变量XB m xm+1.... xn x2 ...x 非基变量XN 0 1 a1m+1 ...a1n a2m+1 ...a2n 0 1E N 单位阵 非基阵 ....... ...... 0 1 amm+1...amn 1 c c 0... c cm+1 cn σ m 1 2
运筹学课件1-4单纯形法计算步骤
b 21 4
9 4
3 x1 1 -1 3 4 -1 12
9 x2 3 1 9 0 1 0
0 x3 1 0 0 1 0 0
0 x4 0 1 0 -3 1 -9
θ 7 4
9/4 -
所以把x3换出为非基变量，x1为换入变量即新的基变量。
第20页
cj
CB 0 0
0 9 3
XB x3 x4 cj-zj x3 x2 cj-zj x1
cj-zj
x3 x1 x5 cj-zj
6
0 1 0
5
5/2 1/2 1
0
1 0 0
0
-1/2 1/2 -1
0
0 0 1
75 5
0
2
0
-3
0
5
x2
5
0
1
0
-1
1
第10页
cj CB 0 0 0 0 6 0 XB x3 x4 x5 b 90 75 80 105/2 75/2 5
6 x1 1 2 2
5 x2 3 1 2
9/4
-
3 9
9/4 25/4
1 0 0
25
第24页
cj CB 0 0 XB x3 x4 cj-zj b 21 4
3 x1 1 -1 3
9 x2 3 1 9
0 x3 1 0 0
0 x4 0 1 0 θ 7 4
0
9
x3
x2 cj-zj x1 x2 cj-zj
9
4
4
-1 12
0
1 0 0 1 0
1
0 0 1/4 1/4 -3
i 1
第1页
单纯形表求解线性规划问题
第四节 单纯形法的计算步骤
上表中由于所有σ 上表中由于所有 j>0 ，表明已求得最优解 x1=4， x2=2， x3=0， x4=0， x5=0， x6=4， ， ， ， ， ， ， Z=14。 。 当确定x 为换入变量计算θ值时 值时， ◆当确定 6为换入变量计算 值时，有两个相 同的最小值： 同的最小值：2/0.5=4，8/2=4。任选其中一 ， 。 个作为换出变量时， 个作为换出变量时，则下面表中另一基变 量的值将等于0，这种现象称为退化 退化。 量的值将等于 ，这种现象称为退化。含有 一个或多个基变量为0的基可行解称为 的基可行解称为退化 一个或多个基变量为 的基可行解称为退化 的基可行解。 的基可行解。
18
迭代
xB
次数
cB
x1
x2
x3
x4
x5 bi
θi
50
x1
100
0
0
0
50 0 100
1 0 0
0
0 0 1
0
1 -2 0
- 50
0 1 0
0
-1 1 1
- 50
50 50 250 -27500
2
x4 x2
σj
2010年8月
管理工程学院
18
《运筹学》 运筹学》
19
所有的检验数 σ j ≤ 0, 此基本可行解： 此基本可行解：
2010年8月
管理工程学院
5
《运筹学》 运筹学》
6
c1 … cl b b1´
⋮
c j→ cB c1
⋮
… cm … xm …0 …⋮ 0 …1 …
⋮
…cj …xj …a1j´ …⋮ a2j´ …⋮ amj´
… ck … cn … xk …xn …0 …⋮ 1 …0
单纯形法的计算步骤
变量作为换出变量。
L
min
bi
aik
a ik
0
单纯形法旳计算环节
Page 4
③ 用换入变量xk替代基变量中旳换出变量，得到一种新旳基。 相应新旳基能够找出一种新旳基可行解，并相应地能够画出 一种新旳单纯形表。
④ 5）反复3）、4）步直到计算结束为止。
单纯形法旳计算环节
将3化为1
换入列
j
乘
,
x2
,
x3
,
x4
0
Page 1
单纯形法旳计算环节
Page 2
2）求出线性规划旳初始基可行解，列出初始单纯形表。
j
检验数
1 c1 (c3a11 c4a21 ) 3 (0 2 0 1) 3
单纯形法旳计算环节
Page 3
3）进行最优性检验
假如表中全部检验数 止。不然继续下一步。
，j 则表0中旳基可行解就是问题旳最优解，计算停
单纯形法旳计算环节
例1.8 用单纯形法求下列线性规划旳最优解
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 40
x1
3x2
30
x1
,
x2
0
解：1）将问题化为原则型，加入松驰变量x3、x4则原则型为:
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 x3 40
x1
3x2
x4
30
x1
以
1/3 后
j
得
到
j
30 5/3 0 10 1/3 1
5/3 0
18 1
0
40
1
0
0
Page 5
bi /ai2，ai2>0
单纯形法计算步骤
单纯形法计算步骤引言单纯形法是一种常用的数学优化方法，主要用于求解线性规划问题。
它的基本思想是通过不断地在可行解集合内移动，逐步靠近最优解，直到找到最优解。
本文将介绍单纯形法的基本步骤，以帮助读者了解如何使用该方法解决线性规划问题。
步骤一：建立线性规划模型在使用单纯形法之前，首先需要建立线性规划模型。
线性规划模型由决策变量、目标函数和约束条件组成。
决策变量是需要在问题中决策的变量，目标函数是需要最大化或最小化的目标，约束条件是限制决策变量取值范围的条件。
步骤二：将线性规划模型转化为标准形式单纯形法只适用于标准形式的线性规划模型。
标准形式要求目标函数为最大化，并且所有的约束条件都是等式形式。
如果初始线性规划模型不符合标准形式，我们可以通过适当的代数操作将其转化为标准形式。
步骤三：构造初始单纯形表初始单纯形表是单纯形法求解线性规划问题的起点。
它由决策变量、松弛变量、人工变量、目标函数系数和约束条件组成。
初始单纯形表的构造方法如下： 1. 将决策变量的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的第一行。
2. 将目标函数的系数放在单纯形表的第一列。
3. 将约束条件的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的其他行。
步骤四：确定基变量和非基变量基变量是单纯形表中拥有非零系数的变量，非基变量是单纯形表中拥有零系数的变量。
基变量和非基变量的确定方法如下： 1. 将目标函数的系数列中不为零的变量作为基变量。
2. 将约束条件中非零系数列中对应的变量作为基变量。
3. 剩余的变量作为非基变量。
步骤五：计算单纯形表中的系数根据基变量和非基变量的定义，我们可以计算单纯形表中的系数。
计算方法如下： 1. 将基变量的系数列除以对应的基变量系数。
2. 将非基变量的系数列减去对应的基变量系数列乘以非基变量所在行和基变量所在行之间的系数。
步骤六：检查是否达到最优解在每次迭代过程中，都需要检查是否达到最优解。
如果单纯形表中目标函数系数列的所有值都是非负的，表示已经达到最优解；否则，需要进行下一次迭代。
《单纯形法计算步骤》课件
单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
算法简介
单纯形法通过逐步迭代的方式逐步化问题的解。 它能够解决满足线性可行性和有解性条件的线性规划问题。
计算步骤
1
步骤一
对原问题进行初等变换化简，转化为标准
步骤二
形式。
构造初始可行基解系统。
3
步骤三
判断当前基解系统是否为最优解，若是则
当问题有多个最优解时，需 比较确定最终的最优解。
结论
强有力的求解方法
单纯形法是一种强有力的线性 规划求解方法。
相对简单易实现
它的计算步骤相对简单，容易 实现和应用。
计算复杂度
随问题规模增大，计算复杂度 也会增加，需考虑其他高效的 求解方法。
步骤四
4
输出。
找到目标函数最优化的进入变量。
5
步骤五
找到最优组合约束的离开变量。
步骤六
6
对基向量进行初等变换，更新基变量和非
基变量。
7
步骤七
重复步骤三到步骤六，直到找到最优解或 问题无解。
注意事项
1 维护线性可行性
2 选择变量
3 多个最优解
在每一步计算中，需要保持 线性可行性和有解性条件。
选择进入变量和离开变量时， 需要经过计算和判断。
单纯形法求解过程
单纯形法求解过程单纯形法是一种用于求解线性规划问题的迭代算法。
它是由美国数学家George Dantzig在1947年提出的。
单纯形法的目标是通过不断地沿着一些方向逼近最优解，最终找到使目标函数取得最大（或最小）值的最优解。
单纯形法的求解过程可以分为以下几个步骤：1.标准化问题：将线性规划问题转化为标准化形式。
标准化的目的是将原问题转化为一个等价问题，使得约束条件全部为等式，且目标函数的系数都为非负数。
2.设置初始解：选择一个初始可行解作为起始点。
起始点可以通过代入法求解出来，或者通过其他启发式算法得到。
初始可行解需要满足所有约束条件，即满足等式以及非负性约束。
3.检验最优性：计算当前解的目标函数值，并检验这个值是否是最优解。
如果当前解是最优解，算法终止；否则，进入下一步。
4.选择进入变量：从目标函数的系数中选择一个可以增大（最大化问题）或减小（最小化问题）目标函数值的变量作为进入变量。
选择进入变量的策略可以有多种，例如最大增益法或者随机选择法。
5.计算离基变量：选择一个出基变量并将其移出基变量集合。
离基变量的选择通常采用最小比率法，即选择使得约束条件最紧张的变量。
6.更新解：通过求解一个新的线性方程组来计算新的解，更新基变量集合和非基变量集合。
由于每次只有一个变量进基，一个变量出基，将保持可行解的性质。
7.转到步骤3：重复步骤3-6，直到找到最优解。
单纯形法的关键在于选择进入变量和离基变量，以及求解线性方程组。
进入变量的选择决定了算法在解空间中的方向，而离基变量的选择决定了算法沿着哪个方向逼近最优解。
在实际应用中，单纯形法往往需要进行大量的迭代计算，因此效率可能不是很高。
为了提高效率，可以采用一些改进的单纯形法，例如双线性法、内点法等。
总结起来，单纯形法是一种基于迭代的算法，通过每次选择一个进入变量和一个离基变量来逐步逼近最优解。
虽然它的计算复杂度较高，但是在实践中仍然是一种很受欢迎的求解线性规划问题的方法。
运筹学单纯形法例题求解过程
运筹学单纯形法例题求解过程摘要：一、运筹学单纯形法概述二、单纯形法求解步骤1.确定基变量和初始基本可行解2.编制初始单纯形表3.判断基本可行解是否为最优解4.迭代求解最优解三、例题求解过程1.题目描述2.化为标准型3.建立初始单纯形表4.迭代计算四、总结正文：一、运筹学单纯形法概述运筹学单纯形法是一种求解线性规划问题的方法，它的主要思想是通过不断迭代，逐步优化基变量的值，从而求得问题的最优解。
单纯形法可以有效地解决具有如下特点的问题：目标函数线性，约束条件线性，变量非负。
二、单纯形法求解步骤1.确定基变量和初始基本可行解在求解线性规划问题时，首先需要确定基变量，即在约束条件方程组中，选择一部分变量作为基变量，用于表示其他变量。
通过寻找或构造单位矩阵的方法，可以确定基变量，从而求出初始基本可行解。
2.编制初始单纯形表基于初始基本可行解和线性规划模型提供的信息，可以编制初始单纯形表。
单纯形表包含了基变量、非基变量、目标函数系数、约束条件系数和检验数等信息，用于描述问题的基本情况。
3.判断基本可行解是否为最优解通过检验数cj-zj 来判断基本可行解是否为最优解。
如果所有非基变量的检验数cj-zj<0，说明已经达到最优解，计算停止。
如果存在cj-zj>0，但所有cj-zj>0 所在列对应的所有aij<0，说明无最优解，计算停止。
如果至少存在一个cj-zj>0，并且所对应的所有j 列中至少有一个aij>0，说明没有达到最优解，需要继续迭代求解。
4.迭代求解最优解在迭代过程中，首先需要确定换入变量，即选择最大检验数对应的非基变量。
然后，利用特定公式计算出换出变量，即在基变量中选择一个与换入变量对应的变量进行替换。
接着，生成新的单纯形表，将换入变量和换出变量进行置换后，调整新基变量对应的矩阵为单位矩阵。
最后，重新计算检验数和目标函数值，返回第二步，直至找到最优解。
三、例题求解过程假设有一个线性规划问题，目标函数为MINfx1x2Mx4Mx6，约束条件为：3x1 + 4x2 ≤ 122x1 + 3x2 ≤ 10x1, x2 ≥ 0首先，将约束条件化为标准型：3x1 + 4x2 + s1 = 122x1 + 3x2 + s2 = 10x1, x2 ≥ 0然后，建立初始单纯形表：| 基变量| 非基变量| 目标函数系数| 约束条件系数| 检验数| ---------------------------------------------------------------------行1 | x1 | s1 | -3 | -4 | -12 |行2 | x2 | s2 | -4 | -3 | -10 |行3 | x1 | x2 | 0 | 0 | 0 | 行4 | s1 | x2 | 0 | 3 | 0 | 行5 | s2 | x1 | 0 | 2 | 0 | 根据初始单纯形表，可以得到初始基本可行解为：x1 = 0, x2 = 0接下来，判断基本可行解是否为最优解：c1 = -12, c2 = -10, c3 = 0, c4 = 0, c5 = 0由于c3、c4 和c5 都小于等于0，所以基本可行解不是最优解，需要继续迭代求解。
单纯形法的计算
㈡、单纯形法的计算步骤三、单纯形法的解题步骤第一步：作单纯形表.）（1）把原线性规划问题化为标准形式；）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；）（3）目标函数非基化；）（4）作初始单纯形表.第二步：最优解的判定.(1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取得最优解.(2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解.如果以上两条都不满足，则进行下一步.第三步：换基迭代.，并确定所在列的非基变量为进基变量.（1）找到最大正检验数，设为（2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号.主元是最大正检验数所在列，用常数项与进基变量所对应的列向量中正分量的比值最小者；（3）换基：用进基变量替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在（4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表；（5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止.（3）单纯形法的计算算列例 1：用单纯形法求线性规划问题的解2312323423min 2.-22-3120,1,2,3,4,5j z x x st x x x x x x x x x x j =-++=+=-+=?５解 这里B ()145,,A A A =是一个单位矩阵，且()2,1,20Tb =>，故基B 是可行基， 1x ，4x ，5x为基变量， 2x ，3x 为非基变量，基B 对应的基本可行解为()2,0,0,1,2Tx =，其目标函数值00Z =。
方程组Ax b =已是典式，得到第一张单纯形表如下表。
注意，第0行的元素应该是将目标函数232z x x =-+化成等价的方程2320z x x +-=后的相应元素。
检验数210x =>，故当前解不是最优解，2A 列中有22a ，32a 两个元素均为正数，32223212min ,min ,111b b a a 禳禳镲镲==睚睚镲镲铪铪故转轴元为22a ，2x 进基变量，4x 为出基变量。
第七(八)讲 单纯形法的计算步骤
单纯形表的特点:
基变量对应的约束方程系数矩阵为单位矩阵I; 基变量对应的检验数均等于0; 基可行解不同,反映在原表中该基可行解对应的基B 不同.
0
0 0 -z
x3
x4 x5
8
16 12
1
4 0 2
2
0 4 3
1
0 0 0
0
1 0 0
0
0 1 0
4
3
cj CB 0 0 3 0 XB x3 x4 x5 2 b 2 8 16 3 12
2 x1 1 4 0
3 x2 0 2 0 1 4 0 3
0 x3 1 1 0 0 0 0 0
0 x4 0 1 0 0
2 x1 1 4 0 0 2 0
3 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 -4 0 0 -2
0 x4 0 1 0
0 x5 -1/2 0 2 2 1/4 -3/4 1/4
θi 2
4 4 12
2 0
0 3
0
cj CB XB b
2 x1
3 x2
0 x3
0 x4
0 x5 0 -1/2 2 1 2 0 1/4 0 1/4
θi
2
0 3 -z
x1 x5 x4
x2
2 4 8 4
2 3
1 0 0 0
0 0 1 0
1 0 -4 -2
0 1/2 -3/2 -2
0 1/4 1/2 1
0 -1/8 -1/8 0
4 12
由上表可知该线性规划问题的最优解为：X*=(4,2,0,0,4)T 此时最优值 z=14 注：检验数的计算也可以通过行初等变换得到。
' b i' bl ' θ min ' a ik 0 ' i a ik a lk
单纯型法的计算步骤
3.2 单纯形法的计算步骤由于单纯形)12.2(的目标函数和约束函数中含有基变量和非基变量,为了设计出方便,有效的计算方法,我们将简化单纯形的表达形式,称其为单纯形表格。
比如,下述单纯形:2136x x --=η114x s -= 21223x x s --=的简化单纯形表格如下(参见表3.2)。
这种格式使得我们非常容易识别基变量,我们只要将仅表:简单单纯形表有1个"1"的列(1s 和2s )为基变量。
1.3.2 标准最大化线性规划的单纯型法为了设计标准最大化线性规划问题)15.1(的初始单纯形表,我们首先将它的等价问题)11.2(改写为:max ∑∑=+=⨯+=mi i n nj j jx x c110η..t s ⎪⎩⎪⎨⎧++=≥==++=∑m n n n j x m i b xx a j i i n nj j ij ,...,1,,...,2,1,0,...,2,1,1 )16.2(那么标准最大化线性规划问题)15.1(的初始单纯形表被表示为(参见表4.2): 表:标准最大化线性规划的初始单纯形表其中:j c ,n j ,...,2,1=为原问题目标函数的系数,},...,2,1{m n n n B +++=为基变量下标集合,},...,2,1{n N =为非基变量下标集合,B x 为基变量,B c 为基变量在原问题目标函数系数,B b 为基变量的解,那么初始基可行解为),...,,0,...,0(10m b b x =,η为对应初始目标函数值。
我们将解释表6.2中j sac 和j imp 行的计算方法和经济涵义。
由于标准最大化线性规划问题可被看成是利用m 种资源生产n 种产品,决策变量j x 在线性规划约束条件中的系数ij a 可以被理解为,为了生产一件产品j ),...,2,1(n j =需要消耗原材料i ),...,2,1(m i =的数量;决策变量j x 在目标函数中的系数j c 是一件产品j 的利润;松弛变量i n x +则表示第i 种原材料的剩余量。
简述单纯形法步骤
简述单纯形法步骤单纯形法是一种用于求解线性规划问题的常用方法，它通过不断迭代来逐步逼近最优解。
下面将以简述单纯形法步骤为标题，详细介绍单纯形法的具体步骤。
1. 构建初始单纯形表单纯形法的第一步是构建初始单纯形表。
将线性规划问题的约束条件和目标函数转化为矩阵形式，并引入松弛变量，得到初始单纯形表。
初始单纯形表由约束系数矩阵、决策变量系数矩阵、右侧常数向量以及目标函数系数矩阵组成。
2. 检验是否达到最优解在初始单纯形表中，通过计算每个基变量的单位贡献值来检验是否达到最优解。
单位贡献值等于目标函数系数与对应基变量列的乘积之和减去目标函数系数。
如果所有单位贡献值均小于等于0，则达到最优解，算法结束。
否则，进入下一步。
3. 确定入基变量和出基变量在初始单纯形表中，选择单位贡献值最小且小于0的列所对应的非基变量作为入基变量。
然后，通过计算各行的比值，选择使得比值最小的行所对应的基变量作为出基变量。
4. 更新单纯形表在确定了入基变量和出基变量后，需要对单纯形表进行更新。
首先，将出基变量所在列归一化为1，然后通过高斯消元法将其他列元素消为0，得到新的单纯形表。
5. 转至步骤2经过更新后的单纯形表还不能达到最优解，需要再次进行检验。
重复步骤2至步骤4，直到所有单位贡献值均小于等于0，达到最优解为止。
6. 解读单纯形表当单纯形法得到最优解时，可以通过解读单纯形表来获得最优解的数值。
在单纯形表的最后一行，可以得到最优解的目标函数值。
而在单纯形表的非基变量列中，可以得到各个决策变量的取值。
单纯形法是一种高效的线性规划求解算法，通过不断迭代来逐步逼近最优解。
它的基本思想是通过选择合适的入基变量和出基变量，来更新单纯形表，使得目标函数值不断减小，最终达到最优解。
在实际应用中，单纯形法被广泛应用于生产计划、资源分配、运输问题等领域。
总结一下单纯形法的步骤：首先，构建初始单纯形表；然后，检验是否达到最优解；接着，确定入基变量和出基变量；然后，更新单纯形表；最后，转至步骤2，直到达到最优解。
运筹学1-4单纯型法的计算步骤
2 X1 1 3 X2 2
Z8
1 0 -1 4/3 -1/3 0 1 2 -1/3 1/3 0 0 -1 -5/3 -1/3
从最优表可知: 该LP的
最优解是X*=(1, 2, 0, 0, 0)T 相应的目标函数最优值是Zmax=8
表格单纯形法求解步骤
第一步：将LP化为标准型，并加以整理。
引入适当的松驰变量、剩余变量和人工变量 ，使约束条件化为等式，并且约束方程组的系数 阵中有一个单位阵。
（这一步计算机可自动完成）
确定初始可行基，写出初始基本可行解
第二步：最优性检验
计算检验数，检查： 所有检验数是否≤ 0？
是——结束，写出最优解和目标函数最优值； 还有正检验数——检查相应系数列≤ 0？
是——结束，该LP无“有限最优解”！ 不属于上述两种情况，转入下一步—基变换。
确定是停止迭代还是转入基变换？
0 1 0
0
0
1
0
0
0
1 c1 c2
0 a1,m1 a1,m2 0 a2,m1 a2,m2
1 a a m,m1 m,m2 cm cm1 cm2
a1,n b1
a2,n
b2
am,n bm
cn 0
-Z，x1，…，xm所对应的系数 列向量构成一个基
用矩阵的初等行变换将该基变成单位阵,这时
c1, c2 , , cm 变成0，相应的增广矩
第四步：判断检验数、入基、出基变量。 …….
三、表格单纯形法：
1、 初始单纯形表的建立 (1)表格结构：
Cj 2 3 3 0 0
CB
XB
b xj
x1 x2 x3 x4 x5
j
0 X4
3
线性规划(单纯形法)
不难看出x 可作为初始基变量，列单纯形表计算。 不难看出 4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。
单纯形法的进一步讨论－ 单纯形法的进一步讨论－人工变量法
Page 17
故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型： 故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型： max Z = 3x1 − x2 − x3 + 0x4 + 0x5－Mx6 − Mx7
x1 − 2x2 + x3 + x4 = 11 − 4x + x + 2x − x + x = 10 1 2 3 5 6 − 2x1 + x3 + x7 = 1 x j ≥ 0, j = 1,2,L,7
确定换出变量。根据下式计算并选择θ 选最小的θ对应基 ② 确定换出变量。根据下式计算并选择 ，选最小的 对应基
单纯形法的计算步骤
③
Page 6
用换入变量xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。 用换入变量 替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。 替换基变量中的换出变量 对应新的基可以找出一个新的基可行解， 对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出 一个新的单纯形表。 一个新的单纯形表。
4 4 2
1 0 0 0
0 0 1 0
0 -2 1/2 -3/2
1/4 1/2 -1/8 -1/8
0 1 0 0
线性规划单纯形法
线性规划单纯形法线性规划是一种优化问题求解方法，它通过建立数学模型，来寻找使目标函数达到最优的决策变量取值。
线性规划的主要特点是目标函数和约束条件都是线性的。
单纯形法是线性规划中最常用的求解方法之一，它是由美国数学家Dantzig在1947年提出的。
单纯形法通过迭代计算的方式，逐步优化目标函数的值，直到找到最优解为止。
单纯形法的步骤如下：1. 建立线性规划模型：确定决策变量、目标函数和约束条件，并确定它们的线性关系。
2. 初始可行解：选择一个初始可行解，使得所有的约束条件都得到满足。
一般来说，可以通过将约束条件全部转化为等式约束，从而求解出一个初始可行解。
3. 判断最优解：计算当前可行解对应的目标函数值，判断是否是最优解。
如果是最优解，则终止算法；如果不是最优解，则进入下一步。
4. 寻找进入变量：选择一个进入变量，即目标函数可以通过增加该变量的值而增大。
5. 寻找离开变量：选择一个离开变量，即通过增加进入变量来保持其他约束条件满足的同时，尽可能减小目标函数的值。
6. 更新可行解：根据进入变量和离开变量的取值更新可行解，并转化为下一个迭代的初始可行解。
7. 重复以上步骤，直到找到最优解为止。
单纯形法的优势在于它可以在有限的迭代次数内找到最优解。
然而，单纯形法的缺点也是显著的，它在处理大规模问题时计算复杂度很高，可能需要大量的计算时间。
总结来说，线性规划单纯形法是一种求解线性规划问题的有效方法。
通过迭代计算，单纯形法不断改进可行解，最终找到使目标函数达到最优的决策变量取值。
虽然单纯形法在处理大规模问题时存在一定的局限性，但在许多实际问题中仍然得到广泛应用。
线性规划与单纯形法-计算步骤
max Z 3x1 5x2
x1
s.t.
3x1
x1 0
2x2 2 x 2 x2 0
4 12 18
第一次迭代 x2为入基， x4为出基 第二次迭代 x1为入基， x5为出基
X * (2, 6, 2, 0, 0) Z* 36
2.4 单纯形法计算步骤
3、确定进基变量（迭代的第一步）
确定进基变量对应于图解法的确定运动方向
x1
x3
8
3x1
2x2 4x2
x4
12
x5 36
3x1 5x2 0x3 0x4 0x5 Z
j
从目标函数-Z+3x1+5 x2 +0x3 +0x4+0x5 =0可知： 因为x2的系数大于x1的系数，即生产单位乙产品比甲产品利 润更高一些，故应优先多生产乙产品。即x2为进基
5 2
x4
0 x5
Z 30
④
x3
2 3
x4
1 3
x5
4 ①
x2
x1
1 2 x4
2 3 x4
1 3 x5
6 ② 4 ③
3x1 0x2
0 x3
5 2
x4
0 x5
Z 30 ④
④-3×③
x3
2 3
x4
1 3
x5
4 ①
x2
1 2
x4
6 ②
x1
2 3
x4
1 3
x5
4 ③
0
x1
STOP 包括三个步骤： 1、确定进基变量（进基） 2、确定出基变量（出基） 3、对新基可行解的求解（高斯消元）
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运筹学基础及应用
解：化标准型
max
z 2 x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 5 x2 x3 15 6 x 2 x x4 24 1 2 x5 5 x1 x2 x1 , , x5 0
运筹学基础及应用
表1：列初始单纯形表 （单位矩阵对应的变量为基变量）
运筹学基础及应用
单纯形表
- Z x1基变量 x 2 ... xm XB 0 1 1E 0 单位阵 ....... 0 1 1 c c 0... c 1 2 m xm xNn 非基变量 1 .... X a1m 1 ...a1n a 2 m 1N...a 2 n
非基阵 ......
在上一节单纯形法迭代原理中可 知，每一次迭代计算只要表示出当前的约 束方程组及目标函数即可。
a1m 1 xm 1 ..... a1n xn b1 x1 x a2 m 1 xm 1 ..... a2 n xn b2 2 .......... .......... .......... ..... xm amm 1 xm 1 ..... amn xn bm Z c1 x1 ... cm xm cm 1 xm 1 ... cn xn 0
3
0 1 5/4 -15/2 1*3/2 0 0 1/4 -1/2 +0*15/2 检验数<=0 1 0 -1/4 3/2
cj z j
8.5
0
0
-1/4
-1/2
最优解为X=(7/2,3/2,15/2,0,0) 目标函数值Z=8.5
cj
CB
0 0 0
2
1
0最小的值对应 0 0
的行为主行
4
XB
x4
b
15 24 5
x
x
x1 x2 x3 x
0 6 1
2
x
5
3
5
5 2 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
min — 24/6 5/1
cj z j
正检验数中最大者对 应的列为主列
主元化为1 1 0 0 主列单位向量 x4 换出 x1 换入
记 j c j ci aij
i 1
运筹学基础及应用
为书写规范和便于计算，对单纯形法 的计算设计了单纯形表。每一次迭代对应 一张单纯形表，含初始基可行解的单纯形 表称为初始单纯形表，含最优解的单纯形 表称为最终单纯形表。本节介绍用单纯形 表计算线性规划问题的步骤。
运筹学基础及应用
单纯形表
b b1 b2 bm 0
a mm1 ...a mn c m 1
N
cn
运筹学基础及应用
单纯形表
单纯形表结构
cj
CB
c1 cm
c12
c21
0
C
cm cn 0 0
XB
x1 xm
b
b '已知
x2
xm xn
min — 24/6 5/1
b
b '1 ' bm
x1
x2
xm xn
min — 24/6 l 5/1
A
c j zz j
al,mk ,m k am
,m k a1
0
检验数 mk
运筹学基础及应用
用单纯形表求解LP问题
例、用单纯形表求解LP问题
max
z 2 x1 x2 5 x2 15 6 x 2 x 24 1 2 x1 x2 5 x1 , x2 0
0 1 /6 -1/6
-1/3
min 15/5 24/2 6/4
检验数>0 确定主列
最小
确定主列
运筹学基础及应用
表3：换基
（初等行变换，主列化为单位向量，主元为1）
cj
CB
0 2 1
2
1
0
0
4
0
XB
b
15/2 7/2 3/2
x
x3 x x1 x 2 2*7/2
0 1 0
0
x
5
min
x2
x1
A
j a1
a mj
c j zz j
0
检验数 求j
运筹学基础及应用
' bi' bl ' min ' a imk 0 ' 单纯形表结构 i a im k a lm k cj 2 1 0 0 C0
单纯形表
CB
c1 cm
XB
x1 xm
运筹学基础及应用
表2：换基
（初等行变换，主列化为单位向量，主元为1）
cj
CB
0 2 0
2
1
0
0
4
0
XB
x1
b
x
x
x1 x2 x3 x
主元 5 1 2/6 0 4/6 0 1/3 0
x
0 0 1
0
5
3
+0*4/6 c z 1- 2/3= 0
j j
5
15 0*5 0 4 1 2*2/6 1 0
b
b '1 ' bm
x1
x2
xm xn
A
不妨设此 为主列
c j zz j
min ,m k 主行 — a1 24/6 求 l 5/1 ,m k am
0
检验数 mk
运筹学基础及应用
单纯形表
单纯形表结构
主元
cj
CB
c1 cm
2
1
C0
0
0
XB
x1 xm
j
单纯形表 Z Z (c Z )x
j
' Z j ci aij i 1
m
j
2
C X B b Z j x j x1 B Z0 j m 1 ' c1 x1 b 1
cm
xm
' bm
n
检验数 1 0 cj 0 C0
x2
xm xn
min — 24/6 5/1
A
c j zz j
0
检验数
运筹学基础及应用
单纯形表
单纯形表结构
基可行解：
,, bm ,0,,0) X (b1
1
cj
CB
c1 cm
2
C0
0
0
XB
b
c j zz j
x1 b ' 1 ' x m bm
x1
x2
xm xn
min — 24/6 5/1
运筹学基础及应用
§4
单纯形法的计算步骤
单纯形法是一种迭代的算法，它的思 想是在可行域的角点——基本可行解中寻 优。由于角点是有限个，因此，算法经有 限步可终止。
确定一个初始基可行解 检验这个基可行解是否最优 否 寻找一个更好的基可行解
是 停 止
运筹学基础及应用
单纯形法计算步骤
1.将非标准型线性规划化为标准型 2.确定初始基可行解：一般设松弛变量为初时基可 行解 3.判断：若所有的非基变量的检验数σj≤0，则此 解为LP的最优解，若存在某一非基变量的检验数 σj>0，则问题还没有达到最优解，需进行改进 4.迭代：选换入变量max{cj- zj/ cj-zj>0}假设xk为换 入变量；选换出变量θ＝min{bi/aik，aik＞0}，假 设选取xl为换出变量；然后迭代，使得alk＝1，其 m 余aik为0
j m 1
(c
n
j
Z j )x j
0 检验数
min — 24/6 5/1
Z Z0
x1
x2
xm xn
j
j m 1
A
xj
c j zz j 求 0
有时不 写此项
检验数
运筹学基础及应用 m
令：Z 0 ci bi'
i 1 n 0 j
j m 1 单纯形表结构 令： j (c j Z j ) c
A
检验数
0
运筹学基础及应用
' 令： Z c b 单纯形表 0 i i i 1 n m ' Z j ci aij i 1 m
单纯形表结构Z Z 0
cj
CB
c1 cm
XB
x1 xm
b
b1 ' bm
'
2 1 0 0 C 令： j (c j Z j )