函数最值的求法ppt课件
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1.3.3二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)ppt课件
(t<0)
(0≤t ≤1) (t>1)
34
例2 求 f(x) =x2-ax+a在区间[-1，1]上的最值。
分析
解：f(x)=(x- a )2+a- a2 ，对称轴为x= a
2
4
2
(1)若 a 1，即a≤-2时，
2
f(x)min=f(-1)=1+2a，f(x)max=f(1)=1;
(2)若-1< a 2
y
y
-3 o 1 a 5 x -3 o 1
5a x
(2)当1 a < 5时
fmin=f(1)=-4 fmax=f(-3)=12
(3)当a 5时
fmin=f(1)=-4 fmax=f(a)= a2-2a-3 33
例题讲解：
例1 设函数 f(x) =x2-2x-3.3在区间[t，t+1]上的最小值 为g(t)，求g(t)的解析式。
y
y
y
O -1 1 x
O
O
-1 1
x
-1 1
当a<-2时 当-2≤a<2时
f(x)min=f(1)=4+a
fmin
f
a 2
3
a2 4
当a≥2时
f(x)min=f(-1)=4-a
x
22
例2：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
y
y
O -1 1 x
O -1 1 x
（3）若x∈[ 1
,
5
6
],求函数f(x)的最值；
22
4
解：画出函数在定义域内的图像如图
函数的最值PPT课件
观察函数图象： 1、函数y=x2-2x-3定义域为R 2、在（-，1] 函数为减函数，在（1，+） 函数为增函数 3、当x=1时，函数y=x2-2x-3有最小值ymin=-4
配方法： y=x2-2x-3
=(x-1)2-4 因为在R内 (x-1)2 ≥0in=-4
2018/7/22
练习：P36 3
作业：P43
5
2018/7/22
2018/7/22
例2：求函数y=x2-2x-3在区间[-2，2] 的最大、最小值.
解：观察图象，1[-2，2]，
所以函数在顶点处取得最小值ymin=-4
又x=-2,y=5,x=2,y=-3 所以函数在x=-2时取得最大值ymax=5 即 当x=1时, ymin=-4,当x=-2时,ymax=5
2018/7/22
例3：求函数y=x2-2x-3在区间[-2，0]的最大、 最小值
解：观察图象，1[-2，0]，
当x≤1时，函数y=x2-2x-3为单调减函数
在[-2，0]内，函数y=x2-2x-3为单调减函数 又x=-2,y=5,x=0,y=-3
当x=-2时，函数取得最大值ymax=5
当x=0时，函数取得最小值 ymin=-3 小结：对二次函数y=f(x)求最值 1、如果函数图象顶点在所给闭区间内，则在顶点处取得最 小（大）值，在闭区间端点之一处取得最大（小）值 2、如果函数图象顶点在所给闭区间外，则利用函数单调性， 2018/7/22 分别在闭区间两个端点处取得最大、最小值
函数的最值
2018/7/22
例1：作出函数y=x2-2x-3的图象,讨论其单 调性，并求函数的最大（小）值.
解：首先做出函数y=x2-2x-3的图象 1）画出函数对称轴 2）寻找顶点（-b/2a,（4ac-b2）/4a） 3)寻找函数图象与x轴交点，即求一元二次方 程x2-2x-3=0的解
人教版高中数学选择性必修2《函数的极值与最大(小)值》PPT课件
根据以上信息，我们画出f（x）的大致图象如图所示.
（3）方程（）＝（ ∈ ）的解的个数为函数＝（）的图象与直线＝的
交点个数.
1
由（1）及图可得，当＝ − 2时，（）有最小值（ − 2）＝− e2.
所以，关于方程（）＝（ ∈ ）的解的个数有如下结论：
1
当 < − e2时，解为0个；
结合上面两图以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数＝（）的所有极值连同
端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
在开区间（，）上函数的最值常见的有以下几种情况：
图（1）中的函数＝（）在（，）上有最大值而无最小值；
图（2）中的函数＝（）在（，）上有最小值而无最大值；
（2），（4），（6）是函数＝（）的极大值.
探究：进一步地，你能找出函数＝（）在区间［，］上的最小值、最大值吗？
从图中可以看出，函数＝（）在区间［，］上的最小值是（3 ），最大值是（）.
在下面两图中，观察［，］上的函数＝（）和＝（）的图象，它们在［，］上
当半径 < 2时， ′（） < 0，（）单调递减，即半径越大，利润越低.
（1）半径为6 cm时，利润最大.
（2）半径为2 cm时，利润最小，这时（2） < 0，表示此种瓶内饮料的利润还不
够瓶子的成本，此时利润是负值.
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数（）的图象上观察，你
＝（）＝0.2 ×
4
3
π
3
−
3
2
0.8π ＝0.8π
3
− 2 ，0 < ≤ 6.
所以 ′（）＝0.8π（2 − 2）.
令 ′（）＝0，解得＝2.
当 ∈ （0，2）时， ′（） < 0；当 ∈ （2，6）时， ′（） > 0.
函数的最大值和最小值的求解方法省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
综上可知，a>0时，f（x)在（-1，1）上为减函数；
a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
题型二 复合函数旳单调性
【例2】已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减
函数旳区间是
(D )
A.(3,6)
B.(-1,0)
C.(1,2)
D.（-3,-1）
思维启迪 先求得函数旳定义域,然后再结合二次 函数、对数函数旳单调性进行考虑.
f '(x)
( x2 1)2
a( x2 1) ax 2x
( x2 1)2
ax2 a 2ax2 (x2 1)2
a(1 x2 (x2 1)2
)
.
当a>0时，∵-1<x<1,
a(1 x2 ) (x2 1)2 0, 即f′(x)<0,此时f（x)在（-1，1）上为减函数.
同理，当a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
探究提升 对于给出详细解析式旳函数，判断或证明 其在某区间上旳单调性问题，能够结合定义（基本步 骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函 数则能够利用导数解之.
知能迁移1
试讨论函数
f
(x)
ax x2 1,
x∈(-1,1)旳单
调性（其中a≠0）.
解 措施一 根据单调性旳定义求解.
设-1<x1<x2<1,
则f
( x1 )
f
(x2 )
ax1 x12 1
ax2 x22 1
a(x2 x1)(x1x2 1) . (x12 1)(x22 1)
∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0,
《函数极值与最值》课件
在工程设计中的应用
结构设计
在工程结构设计中，结构的稳定 性、强度和刚度等性能指标需要 通过计算和分析来保证。函数极 值与最值的方法可以用于分析结 构的应力分布、变形等关键参数 ，优化结构设计。
控制系统设计
在控制系统的设计中，系统的稳 定性、响应速度和精度等性能指 标需要经过权衡和优化。函数极 值与最值的方法可以用于分析控 制系统的性能指标，找到最优的 控制策略。
光学设计
在光学设计中，透镜的形状和材料需要经过精密的计算和设计，以达到最佳的光学性能。函数极值与最值的方法可以 用于分析透镜的光路，优化光学系统的性能。
电磁场研究
在电磁场的研究中，电场和磁场的变化可以通过函数极值与最值来描述。例如，在研究电磁波的传播和 散射时，可以利用函数极值与最值的方法分析电磁场的分布和变化规律。
连续函数的性质
如果函数在某区间内连续，则该函数在该区间内 必取得最大值和最小值。
极值的性质
极值点一定是驻点或不可导点，但驻点或不可导 点不一定是极值点。
最值的求法
代数法
通过函数的导数或二阶导数，结合函数的单调性、凹 凸性等性质，求得函数的最大值或最小值。
几何法
通过函数图像，直观地观察函数的最大值或最小值。
航空航天设计
在航空航天领域，飞行器的设计 和性能分析需要经过严密的计算 和分析。函数极值与最值的方法 可以用于分析飞行器的气动性能 、推进系统效率等关键参数，提 高飞行器的性能和安全性。
04
函数极值与最值的求解方法
导数法
总结词
通过求导数判断函数单调性，值和最值的一种常用方法。首先求出函数的导数，然后根据导数的符号变化判断函 数的单调性，从而确定极值点。在极值点处，函数的导数由正变负或由负变正，即一阶导数为零的点 。
函数的最大值和最小值PPT优秀课件
-1函 (-1,0) 数 0 (0最 ,2) 2小 1(2,a 46) 值 b 4 3 为 29
+a2 b3 当 ff(/(xx)x ) 可 能 小 a0 时 2.最 30 -大 可 能 小3 ， 值 - 求 -b 为 10-23 9.得 2
五已、知练函习数题: yx33x29xa
一般地,在闭区间[a,b]上连续的 函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最 小值.
如何求函数在闭区间上的最大值 和最小值?
问题 如果函数f(x)在[a,b]上连 续,在(a,b)内可导,那么如何求f(x) 在[a,b]内的最大值和最小值呢?
三、求函数的最大值与最小值的步骤:
①函数f(x)在(a,b)内的极值; ②求函数f(x)在区间端点的值f(a),f(b); ③将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其 中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
当 若在x 区 间 [-22 ，时 2]上,f的( 最2 大)值 为2 20 ，a， .
y 当 求/它 x在 该3 x 区22 间时 上6 ,x 的f 最(9 2小 )值 ？3 ( 2x 2 1 )ax ,( 3 ) 0 xf (1 2 、 )xf3.(2)
时，
．
所以值域为 1 5 2+b在区间
［－1，2］上的最大值为3，最小值为 －29，求实数a、b的值.(a>0)
当 x 1 时 ,f( 1 ) 7 a b ， .
y/当 3 a x2 x 2 1 时 a2 , fx 3 (a 2)( x x 1 4) a 60 b, x 0、 fx ( 1 4). f(2)
（1）函数f(x)定义在闭区间[a,b]上,
但有间断点,或定义在开区间(a,b)上但连 续是否就一可定能没有有最最大大或或最最小小值值! 呢?
+a2 b3 当 ff(/(xx)x ) 可 能 小 a0 时 2.最 30 -大 可 能 小3 ， 值 - 求 -b 为 10-23 9.得 2
五已、知练函习数题: yx33x29xa
一般地,在闭区间[a,b]上连续的 函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最 小值.
如何求函数在闭区间上的最大值 和最小值?
问题 如果函数f(x)在[a,b]上连 续,在(a,b)内可导,那么如何求f(x) 在[a,b]内的最大值和最小值呢?
三、求函数的最大值与最小值的步骤:
①函数f(x)在(a,b)内的极值; ②求函数f(x)在区间端点的值f(a),f(b); ③将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其 中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
当 若在x 区 间 [-22 ，时 2]上,f的( 最2 大)值 为2 20 ，a， .
y 当 求/它 x在 该3 x 区22 间时 上6 ,x 的f 最(9 2小 )值 ？3 ( 2x 2 1 )ax ,( 3 ) 0 xf (1 2 、 )xf3.(2)
时，
．
所以值域为 1 5 2+b在区间
［－1，2］上的最大值为3，最小值为 －29，求实数a、b的值.(a>0)
当 x 1 时 ,f( 1 ) 7 a b ， .
y/当 3 a x2 x 2 1 时 a2 , fx 3 (a 2)( x x 1 4) a 60 b, x 0、 fx ( 1 4). f(2)
（1）函数f(x)定义在闭区间[a,b]上,
但有间断点,或定义在开区间(a,b)上但连 续是否就一可定能没有有最最大大或或最最小小值值! 呢?
二次函数最值公开课课件
值。
在求二次函数的最值时，需要先 确定函数的定义域，然后根据定
义域的范围来求解最值。
例如，对于函数$f(x) = x^2 2x$，其定义域为$x in [-1, 3]$ ，在这个范围内，函数的最小值
为-1，最大值为9。
极值点的判断
二次函数的极值点是其导数为0的点，这些点是函数增减性的转折点。
在求二次函数的最值时，需要先找到函数的极值点，然后根据这些点的 位置和函数增减性来判断最值的取舍。
二次函数最值的概念是数学中的一个基本概念，它是指一个 二次函数在某个区间内的最大或最小值。这个最大或最小值 可以是函数的顶点，也可以是函数的端点，或者是函数在某 个点的突变点。
二次函数最值的类型
总结词
二次函数最值的类型包括最大值、最小值和鞍点。
详细描述
二次函数最值的类型主要有三种，分别是最大值、最小值和鞍点。最大值和最 小值是指函数在某个区间内的最大和最小值，而鞍点则是指函数在某个点的左 右两侧单调性相反的点。
ห้องสมุดไป่ตู้
CHAPTER
02
二次函数最值的求法
配方法
通过配方将二次函数转化为顶点式，从而找到最值。
将二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$进行配方，得到$f(x) = a(x - h)^2 + k$的形式，其中$(h, k)$为函数的顶点。根据二次函 数的性质，函数的最值出现在顶点处，因此可以直接得出最值。
对二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$ 求导得到$f'(x) = 2ax + b$。令$f'(x) = 0$，解得$x = -frac{b}{2a}$。分析 导数的符号变化，确定函数的单调区 间，从而找到最值。
在求二次函数的最值时，需要先 确定函数的定义域，然后根据定
义域的范围来求解最值。
例如，对于函数$f(x) = x^2 2x$，其定义域为$x in [-1, 3]$ ，在这个范围内，函数的最小值
为-1，最大值为9。
极值点的判断
二次函数的极值点是其导数为0的点，这些点是函数增减性的转折点。
在求二次函数的最值时，需要先找到函数的极值点，然后根据这些点的 位置和函数增减性来判断最值的取舍。
二次函数最值的概念是数学中的一个基本概念，它是指一个 二次函数在某个区间内的最大或最小值。这个最大或最小值 可以是函数的顶点，也可以是函数的端点，或者是函数在某 个点的突变点。
二次函数最值的类型
总结词
二次函数最值的类型包括最大值、最小值和鞍点。
详细描述
二次函数最值的类型主要有三种，分别是最大值、最小值和鞍点。最大值和最 小值是指函数在某个区间内的最大和最小值，而鞍点则是指函数在某个点的左 右两侧单调性相反的点。
ห้องสมุดไป่ตู้
CHAPTER
02
二次函数最值的求法
配方法
通过配方将二次函数转化为顶点式，从而找到最值。
将二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$进行配方，得到$f(x) = a(x - h)^2 + k$的形式，其中$(h, k)$为函数的顶点。根据二次函 数的性质，函数的最值出现在顶点处，因此可以直接得出最值。
对二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$ 求导得到$f'(x) = 2ax + b$。令$f'(x) = 0$，解得$x = -frac{b}{2a}$。分析 导数的符号变化，确定函数的单调区 间，从而找到最值。
函数的极值,最大值与最小值PPT课件
(1) 求f (x).
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小的邻域内)
f (x)的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
2. 极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0.
证明: 以f(x0)是极大值来证明.
因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,
对任意的 x x0都有 f (x) f (x0 ), 所以,
当 x x0时,
f (x) f (x0 ) 0, x x0
(2)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极小值点.
证: (1)
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim f (x)
x x0
xx0 x x0
由 f (x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使
f (x) x x0
0,
故当 x x0 时，f (x) 0; 当 x x0时, f (x) 0,
则x0为f (x)的极大值点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点. 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
(1)当x x0时,f (x) 0,当x x0时,f (x) 0，
则x0为f (x)的极大值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 判定每个驻点和导数不存在的点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小的邻域内)
f (x)的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
2. 极值存在的必要条件
定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取 得极值, 那么f (x0)0.
证明: 以f(x0)是极大值来证明.
因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,
对任意的 x x0都有 f (x) f (x0 ), 所以,
当 x x0时,
f (x) f (x0 ) 0, x x0
(2)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极小值点.
证: (1)
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) lim f (x)
x x0
xx0 x x0
由 f (x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使
f (x) x x0
0,
故当 x x0 时，f (x) 0; 当 x x0时, f (x) 0,
则x0为f (x)的极大值点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点. 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
(1)当x x0时,f (x) 0,当x x0时,f (x) 0，
则x0为f (x)的极大值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
函数的极值及其求法归纳课件
提示: 将 f (x) 代入方程 , 令 x x0 , 得 f (x0 ) 4 f (x0 ) 0
.精品课件.
25
4. 设 f ( x )连续，且 f ( a )是 f ( x )的极值， 5. 问 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值 .
证 不妨设 f ( a )是 f ( x )的极小值 ,
(3) 若 x U ( x0 , ) 时, f ( x) 的符号相同, 则 f ( x)
在点 x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
.精品课件.
x (是极值点情形)
3
y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)
(1) 求导数 f ( x),并求出f ( x)的全部驻点与
不可导点; (2) 根据 f ( x) 在每个驻点或不可导点的左右
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
o(( x x0 )n )
f ( x0 )
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
o((
x
x0
)n
)
.精品课件.
13
故
lim
x x0
f
( x) f ( x0 ( x x0 )n
)
f (n)( x0 ) n!
1) 当 n为偶数时,
若
f
(n)
(
x0
)
0
,
则 lim
f ( x)
0
0
f (x)
极小值 极大值
极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22.
.精品课件.
25
4. 设 f ( x )连续，且 f ( a )是 f ( x )的极值， 5. 问 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值 .
证 不妨设 f ( a )是 f ( x )的极小值 ,
(3) 若 x U ( x0 , ) 时, f ( x) 的符号相同, 则 f ( x)
在点 x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
.精品课件.
x (是极值点情形)
3
y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)
(1) 求导数 f ( x),并求出f ( x)的全部驻点与
不可导点; (2) 根据 f ( x) 在每个驻点或不可导点的左右
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
o(( x x0 )n )
f ( x0 )
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
o((
x
x0
)n
)
.精品课件.
13
故
lim
x x0
f
( x) f ( x0 ( x x0 )n
)
f (n)( x0 ) n!
1) 当 n为偶数时,
若
f
(n)
(
x0
)
0
,
则 lim
f ( x)
0
0
f (x)
极小值 极大值
极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22.
二次函数的应用(最值问题)课件PPT
2021/3/10
P
6
例2变式： 4.如图，直线y=x-3与x轴、y 轴分别交于B、C两点，抛物 线y=x2+bx+c同时经过B、C两 点，点A是抛物线与x轴的另 一交点， 若点P是直线BC下方抛物线上 一点，四边形ABPC的面积是 否存在最大面积？最大面积是 多少？
2021/3/10
P
7
练习1.
2
例2：如图，直线y=x-3与x轴、 y轴分别交于B、C两点，抛 物 线 y=x2+bx+c同 时 经 过 B 、 C两点，点A是抛物线与x轴 的另一交点
（1）求抛物线解析式 （ 2 ） 若 点 p 在 直 线 BC 上 ， 且
S△ABP=4，求P点坐标
2021/3/10
3
例2变式： 1.如图，直线y=x-3与x轴、y 轴分别交于B、C两点，抛物 线y=x2+bx+c同时经过B、C两 点，点A是抛物线与x轴的另 一交点，若点p在抛物线上， 且S△ABP=4求P点坐标。
如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点， 抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点， 并与x轴交于另一点C（点C点A的右 侧），点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）若点P在第二象限内，过点P作 PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运 动到什么位置时，线段PE最长？ 此时PE等于多少？ （3）△PAB的面积是否存在最大面积？ 最大面积是多少？
2021/3/10
4
例2变式： 2.如图，直线y=x-3与x轴、y 轴分别交于B、C两点，抛物 线y=x2+bx+c同时经过B、C两 点，点A是抛物线与x轴的另 一交点， 若点P是直线BC下方抛物线上 一点，过点P作PE⊥x轴，交 直线BC于点F，求PF的最大 值.
P
6
例2变式： 4.如图，直线y=x-3与x轴、y 轴分别交于B、C两点，抛物 线y=x2+bx+c同时经过B、C两 点，点A是抛物线与x轴的另 一交点， 若点P是直线BC下方抛物线上 一点，四边形ABPC的面积是 否存在最大面积？最大面积是 多少？
2021/3/10
P
7
练习1.
2
例2：如图，直线y=x-3与x轴、 y轴分别交于B、C两点，抛 物 线 y=x2+bx+c同 时 经 过 B 、 C两点，点A是抛物线与x轴 的另一交点
（1）求抛物线解析式 （ 2 ） 若 点 p 在 直 线 BC 上 ， 且
S△ABP=4，求P点坐标
2021/3/10
3
例2变式： 1.如图，直线y=x-3与x轴、y 轴分别交于B、C两点，抛物 线y=x2+bx+c同时经过B、C两 点，点A是抛物线与x轴的另 一交点，若点p在抛物线上， 且S△ABP=4求P点坐标。
如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点， 抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点， 并与x轴交于另一点C（点C点A的右 侧），点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）若点P在第二象限内，过点P作 PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运 动到什么位置时，线段PE最长？ 此时PE等于多少？ （3）△PAB的面积是否存在最大面积？ 最大面积是多少？
2021/3/10
4
例2变式： 2.如图，直线y=x-3与x轴、y 轴分别交于B、C两点，抛物 线y=x2+bx+c同时经过B、C两 点，点A是抛物线与x轴的另 一交点， 若点P是直线BC下方抛物线上 一点，过点P作PE⊥x轴，交 直线BC于点F，求PF的最大 值.
一次函数求最值问题幻灯片PPT
n＜
2 3
×(30-n)
n≥ 1 ×(30-n)
3
解得 7.5≤n＜12
∵n为整数，∴n的取值可为8、9、10、11。
②:由①得w=4n+240(n可取8、9、10、11）
∴w随n的增大而增大
当n=8时，w最小，
当n=8时，w=4×8+240=272
所以当购买8本A种笔记本、22本B种笔记 本时花费最少，最少为272元。
2、请添加适当的条件： （1）使函数y=－x+3有最大值，并求出这个值； （2）使函数y=－x+3有最小值，并求出这个值。
归纳总结
一、一次函数最值在数学问题中的 确定方法：
1.有确定的一次函数关系式； 2.有自变量的取值范围； 3.根据一次函数的增减性确定它的最值。
学习目标：
1.会用一次函数解决数学中的最值问题 2.掌握用一次函数最值在实际问题中的解答思 路和方法
求出自变量n的取值范围；
② 请你帮助他们计算，购买这两种笔记本各多少时， 花费最少，此时的花费是多少元？
解：（1）设买A种笔记本x本，B种笔记本y本，
根据题意，得：
x+y=30 12x+8y=300
x=15 解得
y=15
所以能买这两种笔记本各15本。
（2）①:根据题意得w=12n+8(30-n)=4n+240
一次函数求最值问题幻灯片PPT
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智慧导入：
一、一次函数最值在数学问题中的确定方法 y=2x+3
1、完成下面的练习： 如图，已知一次函数y=2x+3
第12章一次函数期末复习(7)一次函数的最值问题PPT课件(沪科版)
y= 20x ＋25(200－x) ＋15(240－x) ＋24(60＋x) 整理，得 y=4x ＋10040 (0≤x≤200)
解：设从A店运肥料xt到C村，总运费为y元，则有
y= 20x ＋25(200－x) ＋15(240－x) ＋24(60＋x) 整理，得 y= 4x＋10040 (0≤x≤200)
(2) 考虑到绿化效果和资金周转， 学校计划购买两种盆栽
共100盆，且购买三角梅的盆数不少于绣球花的盆数的2倍，设
购买三角梅a盆， 所需资金为w元. ②怎样购买所需资金最少？
(2) ② ∵三角梅的盆数不少于绣球花的盆数的2倍，
∴ a≥2(100－a)，
∴ a≥2－030
又∵ a≤100，且a为整数，
260t，怎样调运可是总运费最少？
A店有肥料200t
xt ● 20
C村需要肥料240t
运费
B店有肥料300t
D村需要肥料260t
(60＋x)t ● 24
A店有肥料200t
xt ● 20
C村需要肥料240t
B店有肥料300t
D村需要肥料260t
(60＋x)t ● 24
解：设从A店运肥料xt到C村，总运费为y元，则有
(1)设招聘甲种工种工人x人，工厂付给甲、乙 两种工种的工人工资共y元，写出y(元)与x(人)的 函数关系式;
(2)现要求招聘的乙种工种的人数不少于甲种 工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人 时，可使得每月所付的工资最少？
3.某工厂要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙 两种工种的工人的月工资分别为2400元和4000元. (1)设 招聘甲种工种工人x人，工厂付给甲、乙两种工种的工人 工资共y元，写出y(元)与x(人)的函数关系式；
5.3.2函数的最值课件(人教版)
x= x3时，f(x)有最小值， x= b 时，f(x)有最大值。
y y f (x)
x1
x3
a
O x2
x4
x5
bx
函数f(x)的最小值和最大值，在极值与端点函数值之中。
复习回顾
知三识梳.新理 课探究
函数最值
一般地，对于函数f(x)，给定区间I，
若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0) 为函数f(x)在区间I上的最小值；
当a＝0时，f(x)的最小值为0；
当 a<0 时，f(x)的最小值为 5 a3. 27
复习回顾
跟踪训练
已知a∈R，函数 f(x)＝1x3－ax2，求f(x)在
3
区间[0,2]上的最大值.
复习回顾
f(x)＝1x3－ax2，则 f′(x)＝x2－2ax. 3
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a. 令g(a)＝f(x)max， ①当2a≤0，即a≤0时， f(x)在[0,2]上单调递增， 从而 g(a)＝f(x)max＝f(2)＝83－4a. ②当2a≥2，即a≥1时，f(x)在[0,2]上单调递减， 从而g(a)＝f(x)max＝f(0)＝0.
f(x)min＝f(a)＝－a3. ②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以
f(x)min＝f(0)＝0.
③当
a<0
时，f(x)在
0，－a3
上单调递减，在
－a，＋∞ 3
上单调递增.
复习回顾
所以 f(x)min＝f
－a 3
＝
5
a3.
27
综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3；
y y f (x)
x1
x3
a
O x2
x4
x5
bx
函数f(x)的最小值和最大值，在极值与端点函数值之中。
复习回顾
知三识梳.新理 课探究
函数最值
一般地，对于函数f(x)，给定区间I，
若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0) 为函数f(x)在区间I上的最小值；
当a＝0时，f(x)的最小值为0；
当 a<0 时，f(x)的最小值为 5 a3. 27
复习回顾
跟踪训练
已知a∈R，函数 f(x)＝1x3－ax2，求f(x)在
3
区间[0,2]上的最大值.
复习回顾
f(x)＝1x3－ax2，则 f′(x)＝x2－2ax. 3
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a. 令g(a)＝f(x)max， ①当2a≤0，即a≤0时， f(x)在[0,2]上单调递增， 从而 g(a)＝f(x)max＝f(2)＝83－4a. ②当2a≥2，即a≥1时，f(x)在[0,2]上单调递减， 从而g(a)＝f(x)max＝f(0)＝0.
f(x)min＝f(a)＝－a3. ②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以
f(x)min＝f(0)＝0.
③当
a<0
时，f(x)在
0，－a3
上单调递减，在
－a，＋∞ 3
上单调递增.
复习回顾
所以 f(x)min＝f
－a 3
＝
5
a3.
27
综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3；
《极值与最值》课件
THANKS
感谢观看
性方程、积分方程等问题时非常有效。
在日常生活中的应用
要点一
建筑设计
在建筑设计中，极值理论用于优化设计方案。通过找到结 构强度、稳定性等性能指标的极值点，可以设计出既美观 又安全的建筑结构。
要点二
资源分配
在日常生活中，我们经常面临资源分配的问题。极值理论 可以帮助我们找到最优的资源分配方案，使得总体效益达 到最大或损失最小。例如，在旅行计划中，我们可以使用 极值理论找到最短的旅行路线或最低的旅行成本。
《极值与最值》ppt 课件
目录
• 极值与最值的定义 • 极值的性质 • 最值的性质 • 极值与最值的计算方法 • 极值与最值的应用
01
极值与最值的定义
极值的定义
极值是函数在某点附近的小邻域内的最大值或最 01 小值。
极值点是函数的一阶导数为零的点，或者一阶导 02 数不存在的点。
极值点可以是局部最大值或局部最小值，取决于 03 一阶导数的符号变化。
05
极值与最值的应用
在经济领域的应用
金融分析
极值与最值理论在金融领域中用于风险 评估和投资决策。通过对历史数据的分 析，确定资产价格的最大值和最小值， 以及达到这些极值的概率，从而评估投 资风险。
VS
供需分析
在经济学中，极值理论用于分析供需关系 ，确定市场价格的可能波动范围。通过对 需求和供给曲线的极值点进行分析，可以 预测市场价格的最高点和最低点。
判别式法
总结词
通过求解一元二次方程的判别式，确定函数的极值点。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的一元二次函数，通过求解判别式$Delta = b^2 4ac$，可以确定函数的极值点。当$Delta > 0$时，函数有两个实根，此时在两根之间
高中数学人教A版必修第一册3.2函数的最值(课件)
人教A版高中数学必修第一册
函数的基本性质
——函数的最值
复习回顾
1.函数的单调性
一般地，设函数()的定义域为，区间I⊆D:
如果∀1 , 2 ∈ ，当1 < 2 时，都有
(1 ) < (2 )，那么就称函数()在
区间上单调递增。（如右图）
y
y f ( x)
f ( x2 )
6]上单调递减。
x 1
所以，此函数在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与
最小值。即在x=2时取得最大值是2，在x=6时取得最小值
为0.4.
课堂练习
2x＋1
1.已知函数 f(x)＝
.
x＋1
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
20
15
10
5
o
14.7
当t = = 1.5 时，函
2 (-4.9)
数有最大值
1 2 3
4
t
4 (-4.9) 18 - 14.7 2
h=
29
4 (-4.9)
所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此
时距离地面的高度约为29m.
例题讲授
例2 已知函数 f ( x) 2 ( x [2，
所示，则此函数的最小值、最大值
分别是(
)
A．－1,0
B．0,2
C．－1,2
1
D. ，2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案：C
例题讲授
例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它到达最高点
时爆裂．如果烟花距地面的高度 h（单位：m）与时间 t（单位：s）之间
函数的基本性质
——函数的最值
复习回顾
1.函数的单调性
一般地，设函数()的定义域为，区间I⊆D:
如果∀1 , 2 ∈ ，当1 < 2 时，都有
(1 ) < (2 )，那么就称函数()在
区间上单调递增。（如右图）
y
y f ( x)
f ( x2 )
6]上单调递减。
x 1
所以，此函数在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与
最小值。即在x=2时取得最大值是2，在x=6时取得最小值
为0.4.
课堂练习
2x＋1
1.已知函数 f(x)＝
.
x＋1
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
20
15
10
5
o
14.7
当t = = 1.5 时，函
2 (-4.9)
数有最大值
1 2 3
4
t
4 (-4.9) 18 - 14.7 2
h=
29
4 (-4.9)
所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此
时距离地面的高度约为29m.
例题讲授
例2 已知函数 f ( x) 2 ( x [2，
所示，则此函数的最小值、最大值
分别是(
)
A．－1,0
B．0,2
C．－1,2
1
D. ，2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案：C
例题讲授
例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它到达最高点
时爆裂．如果烟花距地面的高度 h（单位：m）与时间 t（单位：s）之间
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17
【思路探究】 根据“利润＝收入－成本”来建立利润的函 数关系式，然后利用导数求出最值．
【自主解答】 (1)设商品降低 x 元，则多卖的商品数为 kx2， 若记商品在一个星期的获利为 f(x)，则有 f(x)＝(30－x－9)(432＋ kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．
又由已知条件，24＝k×22，于是有 k＝6， 所以 f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．
(1) 当 a 2 时,求函数 f (x) 的单调区
间和极值；
(2)
若
g(x)
f
(x)
2 x
在
[1, )
上
是
单调增
函数,求实数 a 的取值范围.
9
例 8 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，x ∈[－1,2]的最大值为 3，最小值为－29，求 a，b 的值．
【思路探究】 先求函数 f(x)的导函数 f′(x)，再根据 a 分 类讨论，列表分析函数 f(x)的最值，从而求出 a，b 的值．
10
【自主解答】 由题设知 a≠0，否则 f(x)＝b 为常函数，与
题设矛盾．
根据导数公式表和求导法则可得 f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x
－4)．
令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当 a>0 时，列表如下：
x
－1 (－1,0) 0 (0,2)
2
f′(x) 15a
＋ 0 － －12a
函数最大值、最小值问题
李胜红
1
经典例题连接
2
例 1、设函数 f (x) (1 x)2 ln(1 x)
（1）求 f (x) 的单调增区间和单
调减区间；
（
2
）
若
当
x
[1 e
1,
e
1]
时
,
（
其
中
e=2.71828 … ）， 不 等 式 f (x) m 恒 成
立，求实数 m 的取值范围.
3
13
1．本题关键是正确的确定最值． 2．已知函数最值求参数的步骤： (1)求导数 f′(x)，并求极值； (2)利用单调性，将极值与区间端点的函数值进行比较，确 定函数的最值； (3)利用最值列关于参数的方程(组)，解方程(组)即可．
14
已知 f(x)＝2x3－6x2＋m(m 为常数)在[－2,2]上有最大值 3，
区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单 调递增,
（1）求实数 a 的值
（2）若关于 x 的方程 f (x) m 有四个 不同实数解,求实数 m 的取值范围.
5
例 4、若函数 f (x) ax2 8x 6 ln x
在点 M (1, f (1)) 处的切线方程为 y b
（1） 求 a , b 的值；
f(x) －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b
11
由上表可知，当 x＝0 时，f(x)取得极大值，也就是函数 f(x) 在[－1,2]上的最大值，则 f(0)＝3，即 b＝3.
又 f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，f(2)<f(－1)， 所以当 x＝2 时，函数 f(x)在[－1,2]上取得最小值，则 f(2)＝ －16a＋3＝－29，解得 a＝2.
线 l ：y 2x c 相切，切点的横坐标为 1 。
⑴求函数 f (x) 的表达式和直线l的方 程。
⑵求函数 f (x) 的单调区间； ⑶ 若 不 等 式 f (x) 2x m 对 定 义 域 内
的任意 x 恒成立，求实数 m 的取值范围。
8
例 7、已知函数 f (x) x2 a ln x .
12
②当 a<0 时，同理可得，当 x＝0 时，f(x)取得极小值，也就 是函数 f(x)在[－1,2]上的最小值，则 f(0)＝－29，即 b＝－29.
又 f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29，f(2)>f(－1)， 所以当 x＝2 时，函数在[－1,2]上取得最大值，则 f(2)＝－16a －29＝3，解得 a＝－2. 综上可得，a＝2，b＝3 或 a＝－2，b＝－29.
数 （1）试确定 a，b 的值；
（2）讨论函数 f (x) 的单调区间；
（3）若对任意 x 0 ，不等式 f (x)≥ 2c2
恒成立，求 c 的取值范围 王新敞 特级教师 源头学子小屋 http://wxc.8332.0c0om wxck@ 新疆奎屯 ·200·7
7
例 6、 已知函数 f (x) x2 a ln x 的图象与直
例 2.已知函数 f (x) x3 ax2 bx c 在
x
2 3
与
x
1 时都取得极值
(1).求 a、b 的值。
(2).若对 x 〔－1，2〕，不等式 f (x) c2
恒成立，求 c 的取值范围。
4
例 3、已知函数 f (x) 1 x4 2 x3 ax2 2x 2 在 43
18
(2) 根 据 (1) ， f′(x) ＝ － 18x2 ＋ 252x － 432 ＝ － 18(x － 2)(x － 12)．
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
16
例 9 某商品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出 的商品件数与商品单价的降低额 x (单位：元，0≤x ≤21)的 平方成正比．已知商品单价降低 2 元时，每星期多卖出 24 件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
（2） 求 f (x) 的单调递增区间； （3） 若 对 于 任 意 的 x [1,4] ， 恒 有
f
(x)
7 ln( e2 m
)
ln(em)
成立，求实数
m
的取值范
围（其中 e 为自然对数的底数）．
6
例 5、已知函数 f (x) ax4 ln x bx4 c(x 0)
在 x 1 处取得极值 3 c ，其中 a，b 为常
那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )
A．－5
B．－11
C．－29
D．－37
15
【解析】 由 f′(x)＝6x2－12x>0，得 x<0 或 x>2，由 f′(x)<0，得 0<x<2， ∴f(x)在[－2,0]上为增加的，在[0,2]上为减少的， ∴f(x)max＝f(0)＝m＝3.又 f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴f(x)min ＝－37. 【答案】 D
【思路探究】 根据“利润＝收入－成本”来建立利润的函 数关系式，然后利用导数求出最值．
【自主解答】 (1)设商品降低 x 元，则多卖的商品数为 kx2， 若记商品在一个星期的获利为 f(x)，则有 f(x)＝(30－x－9)(432＋ kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．
又由已知条件，24＝k×22，于是有 k＝6， 所以 f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．
(1) 当 a 2 时,求函数 f (x) 的单调区
间和极值；
(2)
若
g(x)
f
(x)
2 x
在
[1, )
上
是
单调增
函数,求实数 a 的取值范围.
9
例 8 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，x ∈[－1,2]的最大值为 3，最小值为－29，求 a，b 的值．
【思路探究】 先求函数 f(x)的导函数 f′(x)，再根据 a 分 类讨论，列表分析函数 f(x)的最值，从而求出 a，b 的值．
10
【自主解答】 由题设知 a≠0，否则 f(x)＝b 为常函数，与
题设矛盾．
根据导数公式表和求导法则可得 f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x
－4)．
令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当 a>0 时，列表如下：
x
－1 (－1,0) 0 (0,2)
2
f′(x) 15a
＋ 0 － －12a
函数最大值、最小值问题
李胜红
1
经典例题连接
2
例 1、设函数 f (x) (1 x)2 ln(1 x)
（1）求 f (x) 的单调增区间和单
调减区间；
（
2
）
若
当
x
[1 e
1,
e
1]
时
,
（
其
中
e=2.71828 … ）， 不 等 式 f (x) m 恒 成
立，求实数 m 的取值范围.
3
13
1．本题关键是正确的确定最值． 2．已知函数最值求参数的步骤： (1)求导数 f′(x)，并求极值； (2)利用单调性，将极值与区间端点的函数值进行比较，确 定函数的最值； (3)利用最值列关于参数的方程(组)，解方程(组)即可．
14
已知 f(x)＝2x3－6x2＋m(m 为常数)在[－2,2]上有最大值 3，
区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单 调递增,
（1）求实数 a 的值
（2）若关于 x 的方程 f (x) m 有四个 不同实数解,求实数 m 的取值范围.
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例 4、若函数 f (x) ax2 8x 6 ln x
在点 M (1, f (1)) 处的切线方程为 y b
（1） 求 a , b 的值；
f(x) －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b
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由上表可知，当 x＝0 时，f(x)取得极大值，也就是函数 f(x) 在[－1,2]上的最大值，则 f(0)＝3，即 b＝3.
又 f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，f(2)<f(－1)， 所以当 x＝2 时，函数 f(x)在[－1,2]上取得最小值，则 f(2)＝ －16a＋3＝－29，解得 a＝2.
线 l ：y 2x c 相切，切点的横坐标为 1 。
⑴求函数 f (x) 的表达式和直线l的方 程。
⑵求函数 f (x) 的单调区间； ⑶ 若 不 等 式 f (x) 2x m 对 定 义 域 内
的任意 x 恒成立，求实数 m 的取值范围。
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例 7、已知函数 f (x) x2 a ln x .
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②当 a<0 时，同理可得，当 x＝0 时，f(x)取得极小值，也就 是函数 f(x)在[－1,2]上的最小值，则 f(0)＝－29，即 b＝－29.
又 f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29，f(2)>f(－1)， 所以当 x＝2 时，函数在[－1,2]上取得最大值，则 f(2)＝－16a －29＝3，解得 a＝－2. 综上可得，a＝2，b＝3 或 a＝－2，b＝－29.
数 （1）试确定 a，b 的值；
（2）讨论函数 f (x) 的单调区间；
（3）若对任意 x 0 ，不等式 f (x)≥ 2c2
恒成立，求 c 的取值范围 王新敞 特级教师 源头学子小屋 http://wxc.8332.0c0om wxck@ 新疆奎屯 ·200·7
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例 6、 已知函数 f (x) x2 a ln x 的图象与直
例 2.已知函数 f (x) x3 ax2 bx c 在
x
2 3
与
x
1 时都取得极值
(1).求 a、b 的值。
(2).若对 x 〔－1，2〕，不等式 f (x) c2
恒成立，求 c 的取值范围。
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例 3、已知函数 f (x) 1 x4 2 x3 ax2 2x 2 在 43
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(2) 根 据 (1) ， f′(x) ＝ － 18x2 ＋ 252x － 432 ＝ － 18(x － 2)(x － 12)．
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
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例 9 某商品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出 的商品件数与商品单价的降低额 x (单位：元，0≤x ≤21)的 平方成正比．已知商品单价降低 2 元时，每星期多卖出 24 件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
（2） 求 f (x) 的单调递增区间； （3） 若 对 于 任 意 的 x [1,4] ， 恒 有
f
(x)
7 ln( e2 m
)
ln(em)
成立，求实数
m
的取值范
围（其中 e 为自然对数的底数）．
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例 5、已知函数 f (x) ax4 ln x bx4 c(x 0)
在 x 1 处取得极值 3 c ，其中 a，b 为常
那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )
A．－5
B．－11
C．－29
D．－37
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【解析】 由 f′(x)＝6x2－12x>0，得 x<0 或 x>2，由 f′(x)<0，得 0<x<2， ∴f(x)在[－2,0]上为增加的，在[0,2]上为减少的， ∴f(x)max＝f(0)＝m＝3.又 f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴f(x)min ＝－37. 【答案】 D