地质统计学变异函数

C(0) h
a
变异函数及变异曲线
• 变异函数的性质： γ(h) • 设Z(x)是二阶平稳的，则γ(h)存在且平 稳，并有下列性质： • (1) γ(0)=0 C • (2) γ(h) >=0 • (3) γ(-h)= γ(h) • (4)[-γ(h) ]是条件非负定函数 • (5) γ(∞) =C(0) • 变异函数与协方差函数的关系曲线 • C(h)=C(0)- γ(h)
• 变异函数理论 模型函数形式： • 无基台的模型 • 其它模型
幂函数模型:
(h) Ah , 0 2
对数函数模型:
(h) A log h De Wijjs 模型 ( h) 3l ln h
纯块金模型: 0, h 0 ( h) C0 , h 0 孔穴效应模型:
变异函数的计算与拟合
• 设Z(x)是一维区域化 变量满足风蕴假设。 有8个观测值如图y计 算变异函数值 • γ(1)=3.0； • γ(2)=1.67； • γ(3)=2.80； • γ(4)=2.87； • γ(5)=1； • γ(6)=4；
6
变异函数图
4 4
3 2 1.67
2.8
2.87
1 0 1 2 3 4 5 6
本章的主要内容
变异函数及变异曲线：讨论变异函数及曲线描述 变异函数的理论模型：介绍变异函数的理论模型 及特点 实验变异函数曲线的计算与拟合：学会如何利用 观测样本估计计算研究对象特征的变异函数值并 用理论模型进行拟合； 结构分析：对研究对象的异向性进行分析的方法， 主要讨论不同异向性情况下的结构套合方法 结构分析的实施步骤：介绍对研究对象从观测开 始到特征描述的一般过程
2 V
x+h
(h, )
[ z( x ) z( x 2 N ( h)
i 1 i
N (h)
i
h)]2
变异函数及变异曲线
• 变异曲线： γ(h,α)与h的关系曲 γ(h) 线（h又称为滞后距） • 理想的变异曲线如图： C • C(0):先验方差 • a: 变程(Range) C0 • C0：块金效应(nugget effect) • C+ C0 ：基台(sill)
,h 0 0 2 h ( a ) C C ( 1 e ), h 0; 0 3a
变程A
,h 0 0 2 标准化形式: ( h) h ( a ) , h 0; 1 e
变异函数的理论模型
• 变异函数理论模型函数形式： • 有基台的模型
变异函数的理论模型
球状模型:
变异函数的理论模型
1 2
0 h ( h) C0 C ( 3 2 (a) C0 C 变程A a
,h 0
h 3 (a ) ), 0 h a; ,h a
0 • 变异函数理论标准化形式: (h) ( ) 1 模型函数形式： : • 有基台的模型指数函数模型 ,h 0 0
a
C(0) h
变异函数的理论模型
• 设Z(x)是满足内蕴假设的区域化变量且 具有各向同性的变异函数γ(h)。 • 变异函数的理论模型分类：
球状模型 线性 有基台 指数函数模型 抛物线 高斯模型 变异函数模型 幂函数模型 无基台 对数函数模型 另 : 纯块金模型 孔穴模型
– 选择合适的理论模型； – 选择恰当的拟合方法； – 实际拟合。
• 单一模型的拟合、多模型套合结构的拟合
变异函数的计算与拟合
• • • • 变异函数的理论模型选择 任意有基台的模型都可用球状模型拟合 球状模型：单一模型的拟合 球状模型: 球状模型的组合:多模型套合结构的拟 0 ,h 0 合
3 2 h a
,h 0
1 2 h 3 (a ) , 0 h a;
,h a
( h)
C0 C (1 e 变程A 3a
h a
), h 0;
,h 0 0 标准化形式 ( h) h a ( 1 e ), h 0; 高斯模型:
( h)
GS-Variogram 变异函数与结构分析
变异函数与结构分析
• 变异函数是对区域变量结构分析的工具也是研 究对象非均质性描述的手段 • 通过计算研究对象不同方向上的变异函数可以 得到不同方向的结构； • 套合方法是对区域变量结构分析的方法均质化 描述的方法； • 克立格估计方法就是利用结构特征估计的。
30 79.9 4 20 40.48 5 0.51 35 80.45 20
70
60
Variogram
ห้องสมุดไป่ตู้50
40
30
20
10
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Lag Distance
Column C: Au 10-9 Direction: 0.0 Tolerance: 22.5
140
20 16 12 8
变异函数图
4
0 0 2 4 6
变异函数的计算与拟合
Column C: Au 10-9 Direction: 0.0 Tolerance: 22.5
90 80
• • • • • •
X Y Z
计算示例 数据量:164 最大滞后距：16 18个方向 10个滞后距 共 个变异计算 Ran180 Midr Mini Maxi Aver ge ange mum mum age 网格 16 34.8 26.8 42.8 34.8
C(0) a h
变异函数及变异曲线
• 变异函数的功能： • 2、变异函数在原点的 性状可反映区域化变量 的空间连续性 • 抛物线型(Parabolic type连续型):|h|->0, r(h)->A|h|2 • 线性型linear type:|h|>0, r(h)->A|h| • 随机型random type r(0)=0; r(h)=C0; h >0 • 间断型discontinuous typer(0)=0; r(h)=C0 ;h ->0 • 可迁型(transition type)
1 2
变异函数的计算与拟合
• 人工拟合方法：观察-调整； • 最小二乘方法：确定模型-用最小二乘法 求最佳参数； • 加权多项式回归方法：确定模型-用对应 滞后距的点对数N(hi)为权系数，在最小 二乘意义下拟合。
变异函数的计算与拟合
• The Variogram Grid: • 方向：8个方向 • 滞后距：4个 (100,200,300,400) • 最大滞后距400 • 共32个网格单元
变异函数的计算与拟合
• The Variogram Grid: • 有三个观测点位置{(50,50), (100, 200), (500,100)}. • 三个点对: • A (50,50), (100,200) • B (50,50), (500,100) • C (100,200), (500,100) • 则三个点对在图中的位置 • A 71.57 158.11 • B 6.34 452.77 • C -14.04 412.31
变异函数及变异曲线
• 变异函数：由于其能反映区 域化变量的结构特性，又称 为结构函数； V • γ(h)= ½ E[Z(x)-Z(x+h)]2 x • 由于h和x是有方向的，一般 描述： • γ(h,α)= ½ E[Z(x)-Z(x+h)]2 • 连续时： (h, ) 1 [ z ( x) z ( x h)] dx 2V • 离散时： 1
变异函数的计算与拟合
• 变异函数的计算 • 计算方法 • 规则数据构型：小样数据利用基本滞后距h有 规律地直接计算，大样数据抽样计算 • 不规则数据构型：确定基本滞后距，给出角 度容差和距离容差后计算,小样数据取大容差， 大样数据取小容差
变异函数的计算与拟合
• 变异函数的计算（加快计 算速度和减少计算量和存 储量） • 点对文件法：(序号，角 度，滞后距)存储量大 • The Variogram Grid:极坐 标网，原点为某观测点位 置，方位角为计算方向， 极距为相对于某观测点的 滞后距
变异函数及变异曲线
• 变异函数的功能： γ(h) • 3、不同方向上的变异函数可 反映区域化变量的和向异性 C
a
C(0) h
变异函数及变异曲线
• 变异函数的功能： γ(h) • 4、变异函数如果是可迁的, 则基台的大小反映该方向上 C 的变化幅度
a
C(0) h
变异函数及变异曲线
• 变异函数的功能： γ(h) • 5、块金常数C0的大小可反 映区域化变量随机性的大小 C
变异函数
• 变异函数：variogram //semi-variogram • 区域化变量在某方向上相距h的增量的方差，称为区 域化变量在该方向上的变异函数，记为γ(x,h)； • 即 γ(x,h)= ½ Var[Z(x)-Z(x+h)] • = ½E[Z(x)-Z(x+h)]2 – ½{E[Z(x)]-E[Z(x+h)] }2 • 在二阶平稳假设或内蕴假设下有： • γ(h)= ½ E[Z(x)-Z(x+h)]2 • 在二阶平稳假设有： • γ(h)= C(0)-C(h)
C(0) a h
变异函数及变异曲线
• 变异函数的功能： γ(h) • 1、通过变程a反映区域化变量的 影响范围 C
– 跃迁现象 – 若区域化变量Z(x)的变异函数具有 一个变程a和一个基台C，则Z(x)与 落在以x为中心、以a为半径的邻域 内的任何其它Z(x+h)有空间相关性； 且相关程度随着两点距离的增大而 减弱。
h)]2
变异函数的计算与拟合
• 变异函数的计算 • 计算方法 • 在指定方向上对指定h，搜索所有相距h的点对 [z(xi),z(xi+h)]，并统计点对数N(h)。计算量依赖于数 据的空间构型，按构型搜索方法可分为两类： • 规则数据构型：已知取样数据点在空间是按规律进行 的；在指定方向上可得到基本滞后距 • 不规则数据构型：横不成行竖不成列，找不到基本滞 后距
(h) C0 C[1 e
h a
h cos(2 b )]
变异函数的理论模型
• 变异函数理论模型函数形式： • 无基台的模型
变异函数的计算与拟合
• 变异函数的计算 • 计算公式
1 (h, ) 2 N (h)
N ( h) i 1
[ z ( x ) z ( x
i
i
120
100
Variogram
80
Varia nce 22.4 125
Coef. of Variation
60
40
4.315 06
20
0
69.60 6
0 2
1.93347
4 6 8 Lag Distance 10 12 14 16
变异函数的计算与拟合
• 变异函数的拟合 • 用最优理论变异函数模型拟合计算出的变异函 数； • 拟合的一般步骤：
C0 C 变程A a ,h a ,h 0 h 3 (a ) , 0 h a; ,h a
h h 3 1 ( h) C0 C ( 3 ( ) ( 2 a 2 a ) ), 0 h a;
0 h 标准化形式: ( h) 3 2 (a) 1
变异函数的计算与拟合
• 设Z(x)是二维区域化变量满 足风蕴假设。有41个观测值 如图,网格边长为a。计算4个 方向变异函数 • 方向1：γ(a)=4.1；γ(2a)=8.84； γ(3a)=12.08； • 方向2: γ(a)=4.25；γ(2a)=8.22； γ(3a)=10.9； • 方向3：γ(1.414a)=5.03； γ(2.828a)=11.91； γ(4.242a)=17.25； • 方向4：γ(1.414a)=6.47； γ(2.828a)=11.25； γ(4.242a)=15.44；
变异函数
• 变异函数的估计： • 在二阶平稳假设或内蕴假设下区域化变量在某 方向上的变异函数为γ(h)； • 即 Z(x)-Z(x+h)只依赖于在某方向上分隔它们 的向量h，而与具体位置无关；则每对预测数 据[z(x),z(x+h)]都可看成是[Z(x)-Z(x+h)]的一个 取样(现实)，从而可用样本方差估计总体方差： • γ*(h)= Σ[z(xi)-z(xi+h)]2 /2N(h)