2021年新教材高中数学模块综合测评2含解析人教B版选择性必修三
高中数学人教B版必修3模块综合测评含解析
模块综合测评(时刻120分钟，总分值150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1.问题：①有1 000个乒乓球别离装在3种箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生当选出3名参加座谈会.方式：Ⅰ.随机抽样法Ⅱ.系统抽样法Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方式能配对的是( )A.①Ⅰ，②ⅡB.①Ⅲ，②ⅠC.①Ⅱ，②ⅢD.①Ⅲ，②Ⅱ【解析】此题考查三种抽样方式的概念及特点.【答案】B2.从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球，那么以下事件中，互斥事件的个数是( )①至少有一个白球；都是白球.②至少有一个白球；至少有一个红球.③恰好有一个白球；恰好有2个白球.④至少有1个白球；都是红球.B.1【解析】由互斥事件的概念知，选项③④是互斥事件.应选C.【答案】 C3.在如图1所示的茎叶图中，假设甲组数据的众数为14，那么乙组数据的中位数为()图1【解析】由甲组数据的众数为14，得x＝y＝4，乙组数据中间两个数别离为6和14，因其中位数是6＋142＝10，应选C.【答案】 C4.用秦九韶算法求f(x)＝12＋3x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时的值时，v1的值为()B.－7C.－34D.－57【解析】依照秦九韶算法知：v1＝v0x＋a n－1，其中v0＝a n＝3(最高次项的系数)，a n－1＝5，∴v1＝3×(－4)＋5＝－7.【答案】 B5.从甲、乙两人手工制作的圆形产品中随机抽取6件，测得其直径如下：(单位：cm)甲：,,,,,；乙：,,,,,.据以上数据估量两人的技术的稳固性，结论是()A.甲优于乙B.乙优于甲C.两人没区别D.无法判断【解析】x甲＝16＋＋＋＋＋＝，x乙＝16＋＋＋＋＋＝；s2甲＝16[－2＋－2＋－2＋－2＋－2＋－2]＝错误!，s2乙＝16[－2＋－2＋－2＋－2＋－2＋－2]＝错误!.因为s2甲<s2乙，因此甲的技术比乙的技术稳固.【答案】 A6.某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动).该校文学社共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图2所示，那么从文学社中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是()图2【解析】从中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是30100＝310.【答案】 B7.(2021·北京高考)当m＝7，n＝3时，执行如图3所示的程序框图，输出的S值为()图3【解析】程序框图的执行进程如下：m＝7，n＝3时，m－n＋1＝5，k＝m＝7，S＝1，S＝1×7＝7；k＝k－1＝6＞5，S＝6×7＝42；k＝k－1＝5＝5，S＝5×42＝210；k＝k－1＝4＜5，输出S＝210.应选C.【答案】 C8.已知函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么在区间[－5,5]内任取一点x0，使f(x0)≤0的概率为()A.0.1【解析】在[－5,5]上函数的图象和x轴别离交于两点(－1,0)，(2,0)，当x0∈[－1,2]时，f(x0)≤0.P＝区间[－1，2]的长度区间[－5，5]的长度＝310＝.【答案】 C9.有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，那么2个人在不同层离开的概率为()【解析】法一：设2个人别离在x层，y层离开，那么记为(x，y).大体事件组成集合Ω＝{(2,2)，(2,3)，(2,4)，…，(2,10)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，…，(3,10)，(10,2)，(10,3)，(10,4)，…，(10,10)}，因此除(2,2)，(3,3)，(4,4)，…，(10,10)之外，都是2个人在不同层离开，故所求概率P ＝9×9－99×9＝89.法二：其中一个人在某一层离开，考虑另一个人，也在这一层离开的概率为19，故不在这一层离开的概率为89.【答案】 D10.(2016·沾化高一检测)点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，那么动点P 到定点A 的距离|P A |<1的概率为( )D.π【解析】 如下图，动点P 在阴影部份知足|P A |<1，该阴影是半径为1，圆心角为直角的扇形，其面积为S ′＝π4，又正方形的面积是S ＝1，那么动点P 到定点A 的距离|P A |<1的概率为S ′S ＝π4.【答案】 C11.已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，现在这9个数的平均数为x ，方差为s 2，那么( )＝5，s 2<3 ＝5，s 2>3 >5，s 2<3>5，s 2>3【解析】 由平均数和方差的计算公式可得x ＝5，s 2＝19(3×8＋0)<3，应选A.【答案】 A12.圆O 内有一内接正三角形，向圆O 内随机投一点，那么该点落在正三角形内的概率为( )【解析】 设圆O 的半径为r ，那么圆O 内接正三角形的边长为3r ，设向圆O 内随机投一点，那么该点落在其内接正三角形内的事件为A ，那么P (A )＝S 正三角形S 圆＝34(3r )2πr 2＝334π.应选B. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分.把答案填在题中横线上) 13.合肥市环保总站发布2021年1月11日到1月20日的空气质量指数(AQI)，数据如下：153,203,268,166,157,164,268,407,335,119，那么这组数据的中位数是________.【解析】 将这10个数依照由小到大的顺序排列为119,153,157,164,166,203,268,268,335,407，第5和第6个数的平均数是166＋2032＝，即这组数据的中位数是.【答案】14.某学校举行课外综合知识竞赛，随机抽取400名同窗的成绩，成绩全数在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成五组.第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……；第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图4所示的频率散布直方图.那么400名同窗中成绩优秀(大于等于80分)的学生有_______________名.图4【解析】 成绩优秀的频率为1－＋＋×10＝，因此成绩优秀的学生有×400＝100(名).【答案】 10015.在由1,2,3,4,5组成可重复数字的二位数中任取一个数，如21,22等表示的数中只有一个偶数“2”，咱们称如此的数只有一个偶数数字，那么组成的二位数中只有一个偶数数字的概率为________.【解析】 由1,2,3,4,5可组成的二位数有5×5＝25个，其中只有一个偶数数字的有14个，故只有一个偶数数字的概率为1425.【答案】 142516.执行如图5所示的程序框图，输出的a 值为_________________.图5【解析】 由程序框图可知，第一次循环i ＝2，a ＝－2；第二次循环i ＝3，a ＝－13；第三次循环i ＝4，a ＝12；第四次循环i ＝5，a ＝3；第五次循环i ＝6，a ＝－2，因此周期为4，当i ＝11时，循环终止，因为i ＝11＝4×2＋3，因此输出a 的值为－13.【答案】 －13三、解答题(本大题共6小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤)17.(本小题总分值10分)已知算法如下所示：(那个地址S1，S2，…别离代表第一步，第二步，…)(1)指出其功能；(用数学式子表达) (2)画出该算法的算法框图. S1 输入x .S2 假设x <－2，执行S3；不然，执行S6. S3 y ＝2x ＋1. S4 输出y . S5 执行S12.S6 假设－2≤x <2，执行S7；不然执行S10. S7 y ＝x . S8 输出y. S9 执行S12. S10 y ＝2x －1. S11 输出y . S12 终止.【解】 (1)该算法的功能是：已知x 时， 求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <－2，x ，－2≤x <2，2x －1，x ≥2的值.(2)算法框图是：18.(本小题总分值12分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球，从中随机掏出1球，求：(1)掏出1球是红球或黑球的概率； (2)掏出1球是红球或黑球或白球的概率.【解】 记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A 3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，那么P(A1)＝512，P(A2)＝412，P(A3)＝212，P(A4)＝112.由题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥.(1)掏出1球为红球或黑球的概率为：P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)掏出1球为红球或黑球或白球的概率为：法一：P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.法二：P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.19.(本小题总分值12分)某校举行汉字听写竞赛，为了了解本次竞赛成绩情形，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，总分值100分)进行统计，请依照频率散布表中所提供的数据，解答以下问题：(1)求a，b(2)假设从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方式抽取6人参加市汉字听写竞赛，并从当选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率.【解】(1)a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－－－－＝.(2)因为第3、4、5组共有60名学生，因此利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组别离为，第3组：660×30＝3人，第4组：660×20＝2人，第5组：660×10＝1人，因此第3、4、5组应别离抽取3人、2人、1人.设第3组的3位同窗为A1，A2，A3，第4组的2位同窗为B1，B2，第5组的1位同窗为C1，那么从6位同窗中抽2位同窗有15种可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1).其中第4组被入选的有9种，因此其中第4组的2位同窗至少有1位同窗入选的概率为915＝35.20.(本小题总分值12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：(1)(2)用分层抽样方式在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.【解】(1)由于大于40岁的42人中有27人收看新闻节目，而20至40岁的58人中，只有18人收看新闻节目，故收看新闻节目的观众与年龄有关.(2)27×545＝3，因此大于40岁的观众应抽取3名.(3)由题意知，设抽取的5名观众中，年龄在20岁至40岁的为a1，a2，大于40岁的为b1，b2，b3，从中随机取2名，大体事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共10个，设恰有一名观众年龄在20至40岁为事件A，那么A中含有大体事件6个：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，因此P(A)＝610＝35.21.(本小题总分值12分)某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时刻进行了一次社会实践活动，且每一个小组有5名同窗，在实践活动终止后，学校团委会对该班的所有同窗都进行了测试，该班的A，B两个小组所有同窗所得分数(百分制)的茎叶图如图6所示，其中B组一同窗的分数已被污损，但明白B组学生的平均分比A组学生的平均分高1分.图6(1)假设在B组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；(2)现从A组这5名学生中随机抽取2名同窗，设其分数别离为m，n，求|m －n|≤8的概率.【解】(1)A组学生的平均分为94＋88＋86＋80＋775＝85(分)，∴B组学生平均分为86分.设被污损的分数为x，那么91＋93＋83＋x＋755＝86，解得x＝88，∴B组学生的分数别离为93,91,88,83,75，其中有3人的分数超过85分.∴在B组学生随机选1人，其所得分超过85分的概率为3 5.(2)A组学生的分数别离是94,88,86,80,77，在A组学生中随机抽取2名同窗，其分数组成的大体事件(m，n)有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)，共10个.随机抽取2名同窗的分数m ，n 知足|m －n |≤8的大体事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)，共6个.∴|m －n |≤8的概率为610＝35.22.(本小题总分值12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部份统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝bx ＋a ；(2)利用(1) 中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量.【解】 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面求回归直线方程，为此对数据预处置如下：对预处置后的数据，容易算得x ＝0，y ＝，b ^＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×(－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02＝26040＝，∴a^＝y －b ^x ＝， 由上述计算结果，知所求回归直线方程为y ^－257＝b^(x －2 010)＋a ^＝(x －2 010)＋， 即y ^＝(x －2 010)＋.①(2)利用直线方程①，可预测2016年的粮食需求量为×(2 016－2 010)＋＝×6＋＝(万吨).。
2021-2022学年新教材高中数学 模块测评(含解析)新人教B版必修第二册
模块综合测评(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算lg 4＋lg 25＝( ) A ．2 B ．3C ．4D ．10A [lg 4＋lg 25＝lg(4×25)＝lg 100＝2.] 2．下列等式中正确的是( ) A ．OA →－OB →＝AB → B ．AB →＋BA →＝0C ．0·AB →＝0D ．AB →＋BC →＋CD →＝AD →D [起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA →－OB →＝BA →；AB →，BA →是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB →＋BA →＝0；0·AB →＝0才对，故选D ．]3．甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( )A ．13 B ．14C ．15D ．16A [因为甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9个，其中两人参加同一个小组事件有(A ，A )，(B ，B )，(C ，C )，共3个，所以两人参加同一个小组的概率为39＝13.选A ．]4．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1D [当x <0时，－x >0，∵当x ≥0时，f (x )＝e x －1，∴f (－x )＝e －x －1． 又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－e －x ＋1． 故选D ．]5．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( ) A ．23 B ．－23C ．25D ．13A [由题意知CD →＝CA →＋AD →，① CD →＝CB →＋BD →，②且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.]6．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A ．23B ．35C ．25D ．15B [设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B ．]7．质点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)C [设(－10,10)为A ，设5秒后P 点的坐标为A 1(x ，y )，则AA 1→＝(x ＋10，y －10)，由题意有AA 1→＝5v .即(x ＋10，y －10)＝(20，－15)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10＝20，y －10＝－15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－5.]8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D [当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1．作出f (x )的大致图像如图所示，结合图像可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选D ．]二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )A ．AD →与AB → B ．DA →与BC → C ．CA →与DC →D ．OD →与OB →AC [平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图： 对于A ，AD →与AB →不共线，可作为基底； 对于B ，DA →与BC →为共线向量，不可作为基底； 对于C ，CA →与DC →是两个不共线的向量，可作为基底；对于D ，OD →与OB →在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．]10．对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，当f (x )＝2－x 时，下列结论中正确的是( )A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)C ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜fx 1＋f x 22ACD [f (x )＝2－x ，f (x 1＋x 2)＝2－(x 1＋x 2)，f (x 1)f (x 2)＝2－x 1·2－x 2＝2－(x 1＋x 2)，故A 对； f (x 1·x 2)＝2－(x 1＋x 2)≠2－x 1＋2－x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，故B 错；∵f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数，所以(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0，故C 对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝2－(x 1＋x 2)，f x 1＋f x 22＝2－x 1＋2－x 22，由基本不等式，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22，故D 对．故选ACD ．]11．某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：则下面结论中正确的是( ) A ．建设后，种植收入减少B ．建设后，其他收入增加了一倍以上C ．建设后，养殖收入增加了一倍D ．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半BCD [设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a .建设后种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以建设后，种植收入减少是错误的．故选BCD ．]12．若把定义域不同，但值域相同的函数叫作“同族函数”，其中与函数g (x )＝x ＋1x，x ∈(0，＋∞)为“同族函数”的是( ) A ．f (x )＝2x －1x，x ∈(1，＋∞)B ．f (x )＝11＋x 2，x ∈RC ．f (x )＝log 2(2|x |＋1)，x ∈RD ．f (x )＝4x ＋2x ＋1＋1，x ∈R AD [函数g (x )＝x ＋1x ＝1＋1x，定义域是(0，＋∞)，值域是(1，＋∞)．对于A ，f (x )＝2x －1x，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )是单调增函数，且f (x )＞2－1＝1，∴f (x )的值域是(1，＋∞)，值域相同，是“同族函数”；对于B ，f (x )＝11＋x 2，当x ∈R 时，f (x )的值域是(0,1]，值域不同，∴不是“同族函数”；对于C ，f (x )＝log 2(2|x |＋1)，当x ∈R 时，2|x |≥1，∴log 2(2|x |＋1)≥1，∴f (x )的值域是[1，＋∞)，值域不同，不是“同族函数”；对于D ，f (x )＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x ＋1)2，当x ∈R 时，f (x )的值域是(1，＋∞)，值域相同，是“同族函数”．]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上． 13．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. －7 [由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7.]14．某学校举行课外综合知识比赛，随机抽取400名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成五组．第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……；第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则400名同学中成绩优秀(大于等于80分)的学生有________名．100 [成绩优秀的频率为1－(0.005＋0.025＋0.045)×10＝0.25，所以成绩优秀的学生有0.25×400＝100(名)．]15．已知定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，且2f (x )－e x －m ≥0在x ∈[1,2]上恒成立，则实数m 的取值范围为________．(－∞，e－2] [由f(x)＋g(x)＝e x，①可得f(－x)＋g(－x)＝e－x，即f(x)－g(x)＝e－x，②由①②，解得f(x)＝e x＋e－x2.2f(x)－e x－m≥0在x∈[1,2]上恒成立，即m≤2f(x)－e x＝e－x在x∈[1,2]上恒成立．又函数y＝e－x在[1,2]上单调递减，所以y min＝e－2，所以m≤e－2，即实数m的取值范围为(－∞，e－2]．]16．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|＝|a＋b－c|＝1，则|c|的最大值M＝________，|c|的最小值m＝________.(本题第一空2分，第二空3分) 3＋1 3－1 [因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1．所以a，b，a－b可构成等边三角形，且|a＋b|＝3，因为|a＋b－c|＝1，所以如图所示，c的终点在以a＋b的终点为圆心、半径为1的圆上，故M＝3＋1，m＝3－1．]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知向量a＝(2,0)，b＝(1,4)．(1)求2a＋3b，a－2b；(2)若向量k a＋b与a＋2b平行，求k的值．[解] (1)∵a＝(2,0)，b＝(1,4)，∴2a＋3b＝2(2,0)＋3(1,4)＝(4,0)＋(3,12)＝(7,12)，a－2b＝(2,0)－2(1,4)＝(2,0)－(2,8)＝(0，－8)．(2)依题意得k a＋b＝(2k,0)＋(1,4)＝(2k＋1,4)，a＋2b＝(2,0)＋(2,8)＝(4,8)．∵向量k a ＋b 与a ＋2b 平行， ∴8(2k ＋1)－4×4＝0，解得k ＝12.18．(本小题满分12分)为了了解中学生的体能情况，抽取了某校七年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图，已知第1组的频数为5.(1)求第4组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人？(3)若次数在75以上(含75次)为达标，试估计该年级跳绳测试的达标率是多少？ [解] (1)第4组频率为0.008×(149.5－124.5)＝0.2. (2)设参加这次测试的人数为x ， 则5x＝0.004×(74.5－49.5)＝0.1，∴x ＝50，故参加这次测试的学生有50人．(3)估计这次跳绳测试的达标率为[1－0.004×(74.5－49.5)]×100%＝90%. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图像如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图像如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在①中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的取值范围．[解] (1)由图像知，f (0)＝1＋b ＝－2，所以b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，所以a ＝3(负值舍去)，因此a ＝3，b ＝－3. (2)f (x )单调递减，所以0<a <1，又f (0)<0， 即a 0＋b <0，所以b <－1．(3)由(1)得f (x )＝(3)x －3，在同一坐标系中画出函数y ＝|f (x )|和y ＝m 的图像．观察图像可知，当m ＝0或m ≥3时，两图像仅有一个交点，故|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解时，m 的取值范围是{m |m ＝0或m ≥3}．20．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC 中，BC ＝4BD ，AC ＝3CE .(1)用AB →，AC →表示AD →，BE →；(2)M 为△ABC 内一点，且AM →＝23AB →＋29AC →，证明：B ，M ，E 三点共线．[解] (1)因为BC ＝4BD ，所以BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)＝14AC →－14AB →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14AC →－14AB →＝34AB →＋14AC →.因为AC ＝3CE ，所以AE →＝23AC →，所以BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →. (2)证明：因为AM →＝23AB →＋29AC →， 所以BM →＝AM →－AB → ＝－13AB →＋29AC →.因为BE →＝23AC →－AB → ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋29AC →，所以BE →＝3BM →，即BE →与BM →共线． 又因为BE →与BM →有公共点B ， 所以B ，M ，E 三点共线．21．(本小题满分12分)某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测试，该班的A ，B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示，其中B 组一同学的分数已被污损，但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高1分．(1)若在B 组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；(2)现从A 组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m ，n ，求|m －n |≤8的概率．[解] (1)A 组学生的平均分为94＋88＋86＋80＋775＝85(分)，∴B 组学生平均分为86分．设被污损的分数为x ，则91＋93＋83＋x ＋755＝86，解得x ＝88，∴B 组学生的分数分别为93,91,88,83,75，其中有3人的分数超过85分， ∴在B 组学生随机选1人，其所得分超过85分的概率为35.(2)A 组学生的分数分别是94,88,86,80,77，在A 组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件(m ，n )有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)，共10个．随机抽取2名同学的分数m ，n 满足|m －n |≤8的基本事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)，共6个．∴|m －n |≤8的概率为610＝35. 22．(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素，求a 的值；(3)设a >0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．[解] (1)由log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1>1，得1x ＋1>2，解得{x |0<x <1}． (2)log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a ＋log 2(x 2)＝0有且仅有一解， 等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a x 2＝1有且仅有一解，等价于ax 2＋x －1＝0有且仅有一解． 当a ＝0时，x ＝1，符合题意；当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14. 综上，a ＝0或a ＝－14. (3)当0<x 1<x 2时，1x 1＋a >1x 2＋a ， log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋a >log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋a ， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．f (t )－f (t ＋1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1， 即at 2＋(a ＋1)t －1≥0对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1成立． 因为a >0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，所以t ＝12时，y 有最小值34a －12，由34a －12≥0，得a ≥23.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。
2020_2021学年新教材高中数学模块素养检测二含解析新人教B版选择性必修第三册
模块素养检测(二)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.已知f(x)的定义域为R,f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示,则( )A.f(x)在x=1处取得极小值B.f(x)在x=1处取得极大值C.f(x)是R上的增函数D.f(x)是(-∞,1)上的减函数,(1,+∞)上的增函数【解析】选C.由导函数f′(x)的图像知,在R上f′(x)≥0恒成立,故f(x)是R上的增函数.2.等比数列{a n}的通项公式为a n=2·3n-1,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的数列{b n},那么162是新数列{b n}的( )A.第5项B.第12项C.第13项D.第6项【解析】选C.162是数列{a n}的第5项,则它是新数列{b n}的第5+(5-1)×2=13项.3.在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,那么x+y+z的值为( )2 41 2xyzA.1B.2C.3D.4【解析】选B.由表格知,第三列为首项为4,公比为的等比数列,所以x=1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5,,故第四列所成的等比数列的公比为,所以y=5×=,同理z=6×=,所以x+y+z=2.4.已知函数f的导函数f′的图像如图,则下列叙述正确的是( )A.函数f在上单调递减B.函数f在x=-1处取得极大值C.函数f在x=-4处取得极值D.函数f只有一个极值点【解析】选D.由导函数的图像可得,当x<2时,f′≥0,函数f单调递增;当x>2时,f′<0,函数f单调递减.对于选项A,由于函数的单调减区间为,所以A不正确;对于选项B,由题意可得函数当x=2时取得极大值,所以B不正确;对于选项C,由题意当x=-4时函数无极值,所以C不正确;对于选项D,由题意可得只有当x=2时函数取得极大值,所以D正确.5.若a>2,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有( )A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根【解析】选B.设f(x)=x3-ax2+1,则f′(x)=x2-2ax=x(x-2a),当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)在(0,2)上为减函数,又f(0)f(2)=1×=-4a<0,所以f(x)=0在(0,2)上恰好有一个根.6.已知数列{a n}的通项公式a n=-n2+10n-21,前n项和为S n,若m>n,则S m-S n的最大值是( )A.5B.10C.15D.20【解析】选B.依题意,S m-S n=a n+1+a n+2+…+a m,所以要使S m-S n的值最大,则a n+1+a n+2+…+a m包含所有的正项,令a n=-n2+10n-21>0,得4≤n≤6,代入得S m-S n=a4+a5+a6=3+4+3=10.7.已知数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,S n为其前n项和,则S60= ( )A.3 690B.1 830C.1 845D.3 660【解析】选B.因为a n+1+(-1)n a n=2n-1,所以a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,所以a1+a2+a3+a4=10.同理a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,所以a5+a6+a7+a8=26,同理可得a9+a10+a11+a12=42.由此可知,S4,S8-S4,S12-S8,…成等差数列,首项为10,公差为16,所以S60=15×10+×16=1 830.8.已知函数f(x)=把方程f(x)=x的根按从小到大的顺序排列成一个数列{a n},则该数列的通项公式为( )A.a n=(n∈N*)B.a n=n(n-1)(n∈N*)C.a n=n-1(n∈N*)D.a n=n-2(n∈N*)【解析】选C.令2x-1=x(x≤0),易得x=0.当0<x≤1时,由已知得f(x-1)+1=x,即2x-1-1+1=2x-1=x,则x=1.当1<x≤2时,由已知得f(x)=x,即f(x-1)+1=x,即f(x-2)+1+1=x,故2x-2+1=x,则x=2.因此,a1=0,a2=1,a3=2,结合各选项可知该数列的通项公式为a n=n-1(n∈N*).二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.数列{a n}的前n项和为S n,若数列{a n}的各项按如下规律排列:,,,,,,,,,…,,,…,,…,以下运算和结论正确的是( )A.a24=B.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列C.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n项和为T n=D.若存在正整数k,使S k<10,S k+1≥10,则a k=【解析】选ACD.以2到7为分母的数共有1+2+3+…+6=21个,故a22=,a23=,a24=,故A正确;++…+==为等差数列,B错误;数列的前n项和为T n=,C正确;可得T6==10.5,即S21=10.5>10;S20=-<10,此时a20=,D正确.10.定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x),且(x+1)f′(x)-f(x)<x2+2x对x∈(0,+∞)恒成立.下列结论正确的是 ( )A.2f(2)-3f(1)>5B.若f(1)=2,x>1,则f(x)>x2+x+C.f(3)-2f(1)<7D.若f(1)=2,0<x<1,则f(x)>x2+x+【解析】选CD.设函数g(x)=,则g′(x)==,因为(x+1)f′(x)-f(x)<x2+2x,所以g′(x)<0,故g(x)在(0,+∞)上单调递减,从而g(1)>g(2)>g(3),整理得2f(2)-3f(1)<5,f(3)-2f(1)<7,故A错误,C正确.当0<x<1时,若f(1)=2,因为g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)>g(1)=,即>,即f(x)>x2+x+.故D正确,从而B不正确.11.将n2个数排成n行n列的一个数阵,如图:a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)a31a32a33 (3)……a n1a n2a n3……a nn该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11=2,a13=a61+1,记这n2个数的和为S.下列结论正确的有( )A.m=3B.a67=17×37C.a ij=3(i-1)×3j-1D.S=n(3n+1)(3n-1)【解析】选ACD.由题意,该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列,且a11=2,a13=a61+1,可得a13=a11m2=2m2,a61=a11+5d=2+5m,所以2m2=2+5m+1,解得m=3或m=-(舍去),所以选项A是正确的;又由a67=a61m6=(2+5×3)×36=17×36,所以选项B不正确;又由a ij=a i1m j-1=[(a11+(i-1)×m]×m j-1=[2+(i-1)×3]×3j-1=(3i-1)×3j-1,所以选项C是正确的;又由这n2个数的和为S,则S=(a11+a12+…+a1n)+(a21+a22+a2n)+…+(a n1+a n2+…+a nn)=++…+=(3n-1)·=n(3n+1)(3n-1),所以选项D是正确的.12.设函数f(x)=,则下列说法正确的是( )A.f(x)定义域是(0,+∞)B.x∈(0,1)时,f(x)图像位于x轴下方C.f(x)存在单调递增区间D.f(x)在区间(1,2)上有最大值【解析】选BC.由题意,函数f(x)=满足解得x>0且x≠1,所以函数f(x)=的定义域为(0,1)∪(1,+∞),所以A不正确;因为f(x)=,当x∈(0,1)时,ln x<0,所以f(x)<0,所以f(x)在(0,1)上的图像都在x轴的下方,所以B正确;因为f′(x)=,所以f′(x)>0在定义域上有解,所以函数f(x)存在单调递增区间,所以C是正确的;由g(x)=ln x-,得g′(x)=+(x>0),所以g′(x)>0,函数g(x)单调递增,且g(1)=-1<0,g(2)=ln 2->0,所以函数f(x)在(1,2)上先减后增,没有最大值,所以D不正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知函数y=xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),给出以下说法:①函数f(x)在区间(1,+∞)上是增函数;②函数f(x)在区间(-1,1)上无单调性;③函数f(x)在x=-处取得极大值;④函数f(x)在x=1处取得极小值.其中正确的说法有________.【解析】由题图知,当x∈(1,+∞)时,xf′(x)>0,于是f′(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)上是增函数,故①正确;当x∈(-1,1)时,f′(x)≤0,所以函数f(x)在区间(-1,1)上是减函数,②错误,③也错误;f(x)在区间(0,1)上是减函数,而在区间(1,+∞)上是增函数,所以函数f(x)在x=1处取得极小值,故④正确.答案:①④14.设曲线y=x n+1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,则log2 015x1+log2 015x2+…+log2 015x2 014的值为________.【解析】因为y′|x=1=n+1,所以切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=1-=,即x n=.所以log2 015x1+log2 015x2+…+log2 015x2 014=log2 015(x1·x2·…·x2 014)=log2 015=log2 015=-1.答案:-115.在数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列,那么位于表中的第n行第n+1列的数是________.第1列第2列第3列…第1行 1 2 3 …第2行 2 4 6 …第3行 3 6 9 ………………【解析】由题中数表,知第n行中的项分别为n,2n,3n,…,组成一等差数列,设为{a n},则a1=n,d=2n-n=n,所以a n+1=n+n·n=n2+n,即第n行第n+1列的数是n2+n.答案:n2+n16.函数y=x2(x>0)的图像在点(a k,)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k+1,其中k∈N*.若a1=16,则a1+a3+a5的值是________.【解析】因为y′=2x,所以过点(a k,)处的切线方程为y-=2a k(x-a k),又该切线与x轴的交点为(a k+1,0),所以a k+1=a k,即数列{a k}是等比数列,首项a1=16,其公比q=,所以a3=4,a5=1,所以a1+a3+a5=21.答案:21四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知{a n}是公差为d的无穷等差数列,其前n项和为S n.又______,且S5=40,是否存在大于1的正整数k,使得S k=S1?若存在,求k的值;若不存在,说明理由.从①a1=4;②d=-2这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.【解析】若选①,a1=4,因为{a n}是等差数列,所以S5=5×4+10d=40,故d=2,S k=4k+k(k-1)×2=k2+3k,S1=a1=4,由S k=S1可得k2+3k=4,可得k=1或k=-4(舍),故不存在k>1使得S k=S1.若选②,d=-2,因为{a n}是等差数列,由S5=5a1+10×(-2)=40,可得a1=12,S k=12k+×(-2)=13k-k2,因为S k=S1,所以13k-k2=12,解可得k=1或k=12,因为k=12>1,存在k>1使得S k=S1.18.(12分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程.【解析】(1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a.因为f(x)在x=3处取得极值,所以f′(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0,解得a=3.所以f(x)=2x3-12x2+18x+8.(2)A点在f(x)上,由(1)可知f′(x)=6x2-24x+18,f′(1)=6-24+18=0,所以切线方程为y=16.19.(12分)已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足:a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)若数列{b n}是等差数列,且b n=,求非零常数c.【解析】(1){a n}为等差数列,因为a3+a4=a2+a5=22,又a3·a4=117,所以a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根.又公差d>0,所以a3<a4,所以a3=9,a4=13.所以所以所以a n=4n-3.(2)由(1)知,S n=n·1+·4=2n2-n,所以b n==,所以b1=,b2=,b3=,因为{b n}是等差数列,所以2b2=b1+b3,所以2c2+c=0,所以c=-(c=0舍去).20.(12分)数列{a n}的前n项和为S n,数列{b n}中,b1=a1,b n=a n-a n-1(n≥2),若a n+S n=n,c n=a n-1.(1)求证:数列{c n}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.【解析】(1)因为a1=S1,a n+S n=n,①所以a1+S1=1,得a1=.又a n+1+S n+1=n+1,②由①②两式相减得2(a n+1-1)=a n-1,即=,也即=,故数列{c n}是等比数列.(2)因为c1=a1-1=-,所以c n=-,a n=c n+1=1-,a n-1=1-.故当n≥2时,b n=a n-a n-1=-=.又b1=a1=,即b n=.21.(12分)(2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=2ln x+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;(2)设a>0时,讨论函数g(x)=的单调性. 【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)≤2x+c⇒f(x)-2x-c≤0⇒2ln x+1-2x-c≤0(*),设h(x)=2ln x+1-2x-c(x>0),则有h′(x)=-2=,当x>1时,h′(x)<0,h(x)单调递减,当0<x<1时,h′(x)>0,h(x)单调递增,所以当x=1时,函数h(x)有最大值,即h(x)max=h(1)=2ln 1+1-2×1-c=-1-c,要想不等式(*)在(0,+∞)上恒成立,只需h(x)max≤0⇒-1-c≤0⇒c≥-1.(2)g(x)==(x>0且x≠a),因此g′(x)=,设m(x)=2(x-a-xln x+xln a),则有m′(x)=2(ln a-ln x),当x>a时,ln x>ln a,所以m′(x)<0,m(x)单调递减,因此有m(x)<m(a)=0,即g′(x)<0,所以g(x)单调递减;当0<x<a时,ln x<ln a,所以m′(x)>0,m(x)单调递增,因此有m(x)<m(a)=0,即g′(x)<0,所以g(x)单调递减,所以函数g(x)在区间(0,a)和(a,+∞)上单调递减,没有递增区间.22.(12分)已知函数f(x)=ln(ax+1)+,x≥0,其中a>0.(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.【解题指南】解答本题,应先正确求出函数f(x)的导数f′(x),再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解,并注意在定义域范围内求解.【解析】(1)f′(x)=-=,因为f(x)在x=1处取得极值,所以f′(1)=0,即a·12+a-2=0,解得a=1.(2)f′(x)=,因为x≥0,a>0,所以ax+1>0.①当a≥2时,在区间[0,+∞)上,f′(x)>0,所以f(x)的单调增区间为[0,+∞).②当0<a<2时,由f′(x)>0,解得x>.由f′(x)<0,解得x<.所以f(x)的单调减区间为,单调增区间为.(3)当a≥2时,由(2)①知,f(x)的最小值为f(0)=1;当0<a<2,由(2)②知,f(x)在x=处取得最小值,且f<f(0)=1. 综上可知,若f(x)的最小值为1,则a的取值范围是[2,+∞).。
(新教材)2021高中人教B版数学必修第二册单元素养评价(三) Word版含解析
(1)如图①,如果E,F分别是BC,DC的中点,试用a,b分别表示 , .
(2)如图②,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用a,b表示 .
【解析】(1) = + = + = - =- a+b. = + = - =a- b.
(2) = - =b-a.
所以x+y的最大值为2+3=5.根据其对称性,可知x+y的最小值为-5.故x+y的取值范围是[-5,5],故选项B,C均符合题意.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.若 =(2,8), =(-7,2),则 =________.
【解析】 = - =(-9,-6),所以 =(-3,-2).
A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个
C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)
D.若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0
则有1×4-(m-2)×1≠0,所以m≠6.
20.(12分)用向量法证明:三角形的三条中线交于一点.
【证明】
如图,D,E,F分别是△ABC三边上的中点,
设 =a, =b,AD∩BE=G.
设 =λ , =μ .
则 = + =(b-a)+μ =(b-a)+μ =b-a+μ =
(μ-2)a+(1-μ)b,又 =λ =λ( + )=λ =-λa+ λb,
2021-2022学年新教材高中数学 模块综合训练课后练习(含解析)新人教B版选择性必修第一册
模块综合训练一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件两直线平行,∴斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,则SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13SA⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗ B.23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ C.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC ⃗⃗⃗⃗ D.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ .3.圆P :(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q 的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A.13B.12C.9D.6|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|2=3, 则|MF 1|·|MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立. 故|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.故选C .5.坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,若点Q(-1,-1),那么|PQ|的取值范围为()A.[√2,3√2]B.[√2,2√2]C.[2√2,3√2]D.[1,3√2]mx+ny-2m-2n=0,可化为m(x-2)+n(y-2)=0,故直线过定点M(2,2),坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,故∠OPM=90°,所以P 在以OM为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|NQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2,故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cmxOy ,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y 2=2px ,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,则p 2=2.5,即焦点坐标为(2.5,0), 则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm .7.如图,四棱锥S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA 与直线AD 所成角为α,直线SA 与平面ABCD 所成角为β,二面角S-AB-C 的平面角为γ,则( ) A.α>β>γ B.γ>α>β C.α>γ>β D.γ>β>αAC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),cos α=|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12,平面ABCD 的法向量n =(0,0,1),cos β=|n ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗||n |·|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22,设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗=√2x -√2z =0,m ·SB ⃗⃗⃗⃗⃗=√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1),cos γ=|m ·n ||m |·|n |=√3=√33, ∵cos α<cos γ<cos β,∴α>γ>β.8.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO|=a.在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc ,∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc ⇒c2=3a 2,∴e=√3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.(2021新高考Ⅰ,11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A (4,0),B (0,2),则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2,记圆心为M ,半径为r ,则M (5,5),r=4.由条件得,直线AB 的方程为x 4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M 作MN 垂直于直线AB ,垂足为N ,直线MN 与圆M 分别交于点P 1,P 2,圆心M (5,5)到直线AB 的距离|MN|=√12+22=√5,于是点P 到直线AB 的距离最小值为|P 2N|=|MN|-r=√5-4,最大值为|P 1N|=|MN|+r=√5+4. 又√5-4<2,√5+4<10,故A 正确,B 错误; 过点B 分别作圆的两条切线BP 3,BP 4,切点分别为点P 3,P 4,则当点P 在P 3处时∠PBA 最大,在P 4处时∠PBA 最小.又|BP 3|=|BP 4|=√|BM |2-r 2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D 正确.故选A,C,D .10.若a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.17 B.-17 C.-1 D.1a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,∴cos120°=a ·b |a |·|b |=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.已知P 是椭圆C :x 26+y 2=1上的动点,Q 是圆D :(x+1)2+y 2=15上的动点,则( ) A.C 的焦距为√5B.C 的离心率为√306C.圆D 在C 的内部D.|PQ|的最小值为2√55c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x26=56(x+65)2+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1),所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,而PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)·(14,-1,12)=0,(0,2,4)·(14,-1,12)=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)·(-14,1,-12)=0,(0,2,4)·(-14,1,-12)=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l 的斜率k= .(1,√2)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,就是弦长最小,就是与圆心(2,0)和点(1,√2)的连线垂直的直线,连线的斜率是√2-01-2=-√2,直线l的斜率k=√22.14.(2021新高考Ⅰ,14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.x=-32PF⊥x轴,∴x P=x F=p2,将x P=p2代入y2=2px,得y=±p.不妨设点P在x轴的上方,则P(p2,p),即|PF|=p.如图,由条件得,△PFO∽△QFP,∴|OF||PF|=|PF||QF|,即p2p=p6,解得p=3.故C的准线方程为x=-32.15.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=AC=BC=1,则异面直线BC1与A1B1所成角为;二面角A-BC1-C的余弦值是.√33C 为原点建立如图空间直角坐标系,则A (0,1,0),B (1,0,0),C 1(0,0,1),A 1(0,1,1),B 1(1,0,1),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0).由cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=|√2×√2|=12,故异面直线BC 1与A 1B 1所成角为π3, 设平面ABC 1的一个法向量为m =(a ,b ,c ),由{m ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +c =0,m ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a -b =0,设a=1,得m =(1,1,1),平面BC 1C 的一个法向量n =(0,1,0),cos <m ,n >=√3=√33.16.已知抛物线的方程为x 2=2py (p>0),过抛物线的焦点,且斜率为1的直线与抛物线交于A ,B 两点,|AB|=8,则p= ,M 为抛物线弧AOB⏜上的动点,△AMB 面积的最大值是 .4√2抛物线的方程为x 2=2py (p>0),过抛物线的焦点F ,且斜率为1的直线与抛物线交于A ,B 两点,故直线AB 的方程为y-p 2=x-0,即y=x+p2,且直线AB 的倾斜角为45°. 代入抛物线的方程x 2=2py ,可得x 2-2px-p 2=0.设A ,B 两点的横坐标分别为m ,n ,m<n ,由根与系数的关系可得m+n=2p ,mn=-p 2.∵|AB|=|AF|+|BF|=(yA +p2)+y B+p2=(m+p2)+p2+(n+p2)+p2=8=m+n+2p=4p=8,∴p=2,故抛物线的方程为x2=4y,直线AB为y=x+1.设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m,代入抛物线方程,得x2-4x-4m=0.由Δ=42+16m=0,得m=-1.与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x-1,两直线间的距离为d=√2=√2,∴△AMB面积的最大值为12·|AB|·d=12×8×√2=4√2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)求分别满足下列条件的直线l的方程.(1)已知点P(2,1),l过点A(1,3),P到l距离为1;(2)l过点P(2,1)且在x轴,y轴上截距的绝对值相等.当l斜率不存在时,l的方程为x=1,满足条件.当l斜率存在时,设l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,由d=√k2+1=1,得k=-34,即l:3x+4y-15=0.故直线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.(2)当直线过原点时,直线的斜率为1-02-0=12,直线l的方程为x-2y=0.当直线截距相等时,设为xa +ya=1,代入(2,1),则a=3,即x+y-3=0.当直线截距互为相反数时,设为xa +y-a=1代入(2,1),则a=1,即x-y-1=0.综上,要求的直线l 的方程为x-2y=0或x+y-3=0或x-y-1=0. 18.(12分)(2021新高考Ⅰ,21)在平面直角坐标系xOy 中,已知点F 1(-√17,0),F 2(√17,0),点M 满足|MF 1|-|MF 2|=2.记M 的轨迹为C.(1)求C 的方程;(2)设点T 在直线x=12上,过T 的两条直线分别交C 于A ,B 两点和P ,Q 两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.∵|MF 1|-|MF 2|=2,且F 1(-√17,0),F 2(√17,0),∴点M的轨迹为双曲线的右支,且满足{2a =2,c =√17,c 2=a 2+b 2,∴{a 2=1,b 2=16,c 2=17.∴C 的方程为x 2-y 216=1(x ≥1).(2)设T (12,m),显然直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率都存在.设直线AB 的方程为y=k 1(x -12)+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{y =k 1(x -12)+m ,16x 2-y 2=16,得16x 2-k 12(x 2-x +14)+2k 1m (x -12)+m2=16,即(16-k 12)x 2+(k 12-2k 1m )x-14k 12+k 1m-m 2-16=0. ∴|TA|·|TB|=(1+k 12)x 1-12x 2-12=(1+k 12)x 1x 2-12(x 1+x 2)+14=(1+k 12)k 1m -14k 12-m 2-1616-k 12−12·2k 1m -k 1216-k 12+14=(1+k 12)-m 2-1216-k 12=(1+k 12)·m 2+12k 12-16.设k PQ =k 2,同理可得|TP|·|TQ|=(1+k 22)·m 2+12k 22-16. ∵|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,∴(1+k 12)·m 2+12k 12-16=(1+k 22)·m 2+12k 22-16. ∴k 22-16k 12=k 12-16k 22.∴k 12=k 22.∵k 1≠k 2,∴k 1=-k 2. ∴k 1+k 2=0.19.(12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点A (-2,0),点B 为其上顶点,且直线AB 的斜率为√32.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 为第四象限内一点且在椭圆C 上,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证:四边形ABNM 的面积是定值.,设直线AB :y-0=√32(x+2),令x=0,则y=√3,于是B (0,√3), 所以a=2,b=√3, 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)设P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0<0),且3x 02+4y 02=12,又A (-2,0),B (0,√3),所以直线AP :y -0y 0-0=x+2x 0+2,令x=0,y M =2y 0x 0+2,则|BM|=√3-y M =√3−2y 0x 0+2=√3x 0+2√3-2y 0x 0+2. 直线BP :√3y -√3=x -0x 0-0,令y=0,x N =√3x 0y -√3,则|AN|=2+x N=2+√3x0y-√3=0√3-√3x0y-√3.所以四边形ABNM的面积为S=12|BM|·|AN|=1 2×√3x0+2√3-2y0x0+2×0√3-√3x0y-√3=0202√3x000√3y02(x y-√3x+2y-2√3)=√3(00√3x00√3)2(λy-√3x+2y-2√3)=2√3,所以四边形ABNM的面积为定值2√3.20.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=120°,PA=PC,PB=PD,AC∩BD=O.(1)证明:PO⊥平面ABCD;(2)若PA与平面ABCD所成的角为30°,求二面角B-PC-D的余弦值.四边形ABCD是菱形,∴O为AC,BD的中点.又PA=PC,PB=PD,∴PO⊥AC,PO⊥BD.∵AC∩BD=O,且AC,BD⊂平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.ABCD的边长为2t(t>0).∵∠ABC=120°,∴∠BAD=60°,∴OA=√3t.由(1)知PO ⊥平面ABCD ,∴PA 与平面ABCD 所成的角为∠PAO=30°,得到PO=t ,建立如图所示的空间直角坐标系,则B (0,t ,0),C (-√3t ,0,0),P (0,0,t ),D (0,-t ,0),得到BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-t ,t ),CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3t ,0,t ). 设平面PBC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面PCD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2).则{n 1·BP ⃗⃗⃗⃗⃗=0,n 1·CP ⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{-ty 1+tz 1=0,√3tx 1+tz 1=0.令x=1,则y=z=-√3,得到n 1=(1,-√3,-√3). 同理可得n 2=(1,√3,-√3),所以|cos <n 1,n 2>|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=17.因为二面角B-PC-D 为钝二面角,则余弦值为-17.21.(12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线Γ:y=x 2-mx+2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ,B ,曲线Γ与y 轴交于点C.(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由. (2)求证:过A ,B ,C 三点的圆过定点,并求出该定点的坐标.由曲线Γ:y=x 2-mx+2m (m ∈R ),令y=0,得x 2-mx+2m=0. 设A (x 1,0),B (x 2,0),则可得Δ=m 2-8m>0,x 1+x 2=m ,x 1x 2=2m. 令x=0,得y=2m ,即C (0,2m ).若存在以AB 为直径的圆过点C ,则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得x 1x 2+4m 2=0,即2m+4m 2=0, 所以m=0或m=-12.由Δ>0,得m<0或m>8,所以m=-12,此时C (0,-1),AB 的中点M (-14,0)即圆心,半径r=|CM|=√174.故所求圆的方程为(x +14)2+y 2=1716. (2)设过A ,B ,C 的圆P 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2满足{(x 1-a )2+b 2=r 2,(x 2-a )2+b 2=r 2,a 2+(2m -b )2=r 2,x 1x 2=2m ,x 1+x 2=m⇒{ a =m2,r 2=5m 24-m +14,b =m +12,代入P 得(x -m 2)2+y-m-122=5m 24-m+14,展开得(-x-2y+2)m+x 2+y 2-y=0, 当{-x -2y +2=0,x 2+y 2-y =0,即{x =0,y =1或{x =25,y =45时方程恒成立, ∴圆P 方程恒过定点(0,1)或(25,45).22.(12分)某高速公路隧道设计为单向三车道,每条车道宽4米,要求通行车辆限高5米,隧道全长1.5千米,隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状(如图所示).(1)若最大拱高h 为6米,则隧道设计的拱宽l 至少是多少米?(结果取整数)(2)如何设计拱高h 和拱宽l ,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?(结果取整数) 参考数据:√11≈3.3,椭圆的面积公式为S=πab ,其中a ,b 分别为椭圆的长半轴和短半轴长.建立直角坐标系xOy如图所示,则点P(6,5)在椭圆x2a2+y2b2=1上,将b=h=6与点P(6,5)代入椭圆方程,得a=√11,此时l=2a=√11≈21.8,因此隧道设计的拱宽l至少是22米.(2)由椭圆方程x2a2+y2b2=1,得36a2+25b2≤1,因为1≥36a2+25b2≥2×6×5ab,即ab≥60,S=πab2≥30π,当且仅当6a=5b时,等号成立.由于隧道长度为1.5千米,故隧道的土方工程量V=1.5S≥45π,当V取得最小值时,有6a =5b,且ab=60,得a=6√2,b=5√2,此时l=2a=12√2≈16.97,h=b≈7.07.①若h=b=8,此时l=2a=17,此时V1=3πab4=3×17×8π8=51π,②若h=b=7,此时l=2a=18,此时V2=3πab4=3×9×7π4=47.25π,因为V1>V2,故当拱高为7米、拱宽为18米时,土方工程量最小.。
2022-2021学年高中数学人教B版选修2-3模块综合测评
模块综合测评(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2022·山西高校附中月考)某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有( ) A.510种 B.105种 C.50种D.3 024种【解析】 每位乘客都有5种不同的下车方式，依据分步乘法计数原理，共有510种可能的下车方式，故选A.【答案】 A2.(1－x )6开放式中x 的奇次项系数和为( ) A.32 B.－32 C.0D.－64【解析】 (1－x )6＝1－C 16x ＋C 26x 2－C 36x 3＋C 46x 4－C 56x 5＋C 66x 6， 所以x 的奇次项系数和为－C 16－C 36－C 56＝－32，故选B. 【答案】 B3.一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据如下表.由此建立的身高与年龄的回归模型为y ＝7.19x ＋73.93.用这个模型猜测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )A.B.身高在145.83 cm 以上 C.身高在145.83 cm 左右 D.身高在145.83 cm 以下【解析】 将x ＝10代入得y ＝145.83，但这种猜测不肯定精确 ，应当在这个值的左右. 【答案】 C4.随机变量X 的分布列如下表，则E (5X ＋4)等于( )A.16C.2.2D.2.3【解析】 由表格可求E (X )＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.【答案】 A5.正态分布密度函数为f (x )＝122πe －(x －1)28，x ∈R ，则其标准差为( )A.1B.2C.4D.8【解析】 依据f (x )＝1σ2πe－(x －μ)22σ2，对比f (x )＝122π·e －(x －1)28知σ＝2.【答案】 B6.独立性检验中，假设H 0：变量x 与变量Y 没有关系，则在H 0成立的状况下，P (χ2≥6.635)＝0.010表示的意义是( )A.变量x 与变量Y 有关系的概率为1%B.变量x 与变量Y 没有关系的概率为99.9%C.变量x 与变量Y 没有关系的概率为99%D.变量x 与变量Y 有关系的概率为99%【解析】 由题意知变量x 与Y 没有关系的概率为0.01，即认为变量x 与Y 有关系的概率为99%. 【答案】 D7.用数字1,2,3,4,6可以组成无重复数字的五位偶数有( ) 【导学号：62980072】 A.48个B.64个C.72个D.90个【解析】 满足条件的五位偶数有A 13·A 44＝72.故选C. 【答案】 C8.(2022·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数.若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A.18个B.16个C.14个D.12个【解析】 由题意知：当m ＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a 1＝0，a 8＝1.不考虑限制条件“对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的状况共有C 36＝20(种)，其中存在k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数少于1的个数的状况有：①若a 2＝a 3＝1，则有C 14＝4(种)；②若a 2＝1，a 3＝0，则a 4＝1，a 5＝1，只有1种；③若a 2＝0，则a 3＝a 4＝a 5＝1，只有1种.综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种).故共有14个.故选C. 【答案】 C9.李老师乘车到学校，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的大事是相互独立的，且概率都是0.5，则他上班途中遇见红灯次数的数学期望是( )A.0.4B.1.5C.0.43D.0.6【解析】 遇到红灯的次数听从二项分布X ～B (3，0.5)，∴E (X )＝3×0.5＝1.5. 【答案】 B10.盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，其次次也取到新球的概率为( )A.35B.110C.59D.25【解析】 把问题看成用10个不同的球排前两位，第一次为新球的基本大事数为6×9＝54，两次均为新球的基本大事数为A 26＝30，所以在第一次摸到新球条件下，其次次也摸到新球的概率为3054＝59. 【答案】 C 11.有下列数据：x 1 2 3 Y35.9912.01下列四个函数中，模拟效果最好的为( ) A.y ＝3×2x －1 B.y ＝log 2x C.y ＝3xD.y ＝x 2【解析】 当x ＝1,2,3时，代入检验y ＝3×2x －1适合.故选A. 【答案】 A12.(2022·孝感高级中学期中)在如图1所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，若各保险匣之间互不影响，则当开关合上时，电路畅通的概率是( )图1 A.551720B.29144C.2972D.2936【解析】 “左边并联电路畅通”记为大事A ，“右边并联电路畅通”记为大事B .P (A )＝1－⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝56. P (B )＝1－15×16＝2930.“开关合上时电路畅通”记为大事C . P (C )＝P (A )·P (B )＝56×2930＝2936，故选D.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.(2022·石家庄二模)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则使关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a ＝0无实根的概率为________.【解析】 ∵方程无实根，∴Δ＝1－4a <0，∴a >14，∴所求概率为34.【答案】 3414.某产品的广告费用x 与销售额Y 的统计数据如下表：广告费用x (万元)4 2 35 销售额Y (万元)49263954依据上表可得线性回归方程y ^＝bx ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为______万元.【解析】 样本中心点是(3.5,42)，则a ＝y －b x ＝42－9.4×3.5＝9.1，所以线性回归方程是y ^＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得y ＝65.5.【答案】 65.515.(2021·全国卷Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的开放式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. 【解析】 设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.①令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，∴a ＝3.【答案】 316.将一个半径适当的小球放入如图2所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最终落入A 袋或B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________.【导学号：62980073】图2【解析】 记“小球落入A 袋中”为大事A ，“小球落入B 袋中”为大事B ，则大事A 的对立大事为B ，若小球落入B 袋中，则小球必需始终向左落下或始终向右落下，故P (B )＝⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.【答案】 34三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法： (1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙排序肯定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不肯定相邻)有多少种不同的排法？【解】 (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47＝604 800(种)不同排法.(2)法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A 99种排法，若甲不在末位，则甲有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，综上共有(A 99＋A 18A 18A 88)＝2 943 360(种)排法.法二：无条件排列总数A 1010－⎩⎪⎨⎪⎧甲在首，乙在末A 88，甲在首，乙不在末A 99－A 88，甲不在首，乙在末A 99－A 88，甲不在首，乙不在末，共有A 1010－2A 99＋A 88＝2 943 360(种)排法.(3)10人的全部排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序肯定的排法有A 1010A 33＝604 800(种).(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A 1010＝1 814 400(种)排法.18.(本小题满分12分)某班级的一次信息技术测验成果近似听从正态分布N (70,102)，假如规定低于60分为不及格，求：(1)成果不及格的同学人数占总人数的比例； (2)成果在80～90分内的同学人数占总人数的比例.【解】 (1)设同学的得分为随机变量X ，X ～N (70,102)，则μ＝70，σ＝10. 分数在60～80之间的同学的比例为 P (70－10<X ≤70＋10)＝0.683， 所以不及格的同学的比例为12×(1－0.683)＝0.158 5，即成果不及格的同学人数占总人数的15.85%. (2)成果在80～90分内的同学的比例为12[P (70－2×10<X ≤70＋2×10)]－12[P (70－10<X ≤70＋10)]＝12(0.954－0.683)＝0.135 5.即成果在80～90分内的同学人数占总人数的13.55%.19.(本小题满分12分)口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和其次次取出的都是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，其次次取出的也是红球的概率是多少？ 【解】 记大事A ：第一次取出的是红球； 大事B ：其次次取出的是红球.(1)第一次取出红球的概率 P (A )＝4×56×5＝23.(2)第一次和其次次取出的都是红球的概率P (A ∩B )＝4×36×5＝25.(3)在第一次取出红球的条件下，其次次取出的也是红球的概率为 P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝2523＝35.20.(本小题满分12分)已知⎝⎛⎭⎫x －2x n 的开放式中，第4项和第9项的二项式系数相等. (1)求n ；(2)求开放式中x 的一次项的系数.【解】 (1)由第4项和第9项的二项式系数相等可得C 3n ＝C 8n ，解得n ＝11.(2)由(1)知，开放式的第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 11(x )11－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 11x 11－3r2.令11－3r2＝1，得k ＝3. 此时T 3＋1＝(－2)3C 311x ＝－1 320x ， 所以开放式中x 的一次项的系数为－1 320. 21.(本小题满分12分)对于表中的数据：x 1 2 3 4 y1.94.16.17.9(1)作散点图，你从直观上得到什么结论？ (2)求线性回归方程.【解】 (1)如图，x ，y 具有很好的线性相关性. (2)由于x ＝2.5，y ＝5，∑i ＝14x i y i ＝60，∑i ＝14x 2i ＝30，∑i ＝14y 2i ＝120.04.故b ＝60－4×2.5×530－4×2.52＝2，a ＝y －b x ＝5－2×2.5＝0， 故所求的回归直线方程为y ^＝2x .22.(本小题满分12分)(2022·丰台高二检测)“每天熬炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性 女性 合计 爱好 10 不爱好8 合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是815.(1)请将上面的列联表补充完整(在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析能否有把握认为爱好运动与性别有关？(2)若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参与活动，记爱好运动的人数为X ，求X 的分布列、数学期望.【解】 (1)男性 女性 合计 爱好 10 6 16 不爱好 6 8 14 合计161430由已知数据可求得：χ2＝30×(10×8－6×6)216×14×16×14≈1.158<3.841，所以没有把握认为爱好运动与性别有关.(2)X 的取值可能为0,1,2. P (X ＝0)＝C 28C 214＝413，P (X ＝1)＝C 16C 18C 214＝4891，P (X ＝2)＝C 26C 214＝1591.所以X的分布列为：X的数学期望为E(X)＝0×413＋1×4891＋2×1591＝67.。
2020-2021学年数学新教材人教B版必修第三册模块综合质量评估2
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，有且只有一个选项符合题目要求)1．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图像如图所示，则函数f (x )的解析式为( C )A ．f (x )＝sin(2x －π3)B ．f (x )＝sin(2x ＋π6) C ．f (x )＝sin(2x ＋π3)D ．f (x )＝sin(4x ＋π6)解析：由题中图像可知A ＝1，T 4＝7π12－π3＝π4，T ＝π，即2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，f (7π12)＝sin(2×7π12＋φ)＝sin(7π6＋φ)＝－1，即sin(π6＋φ)＝1，所以π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin(2x ＋π3)，故选C.2．已知向量a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)，若a ·b ＝25，则tan(α＋π4)＝( C )A.13B.27C.17D.23解析：由题意得cos2α＋sin α(2sin α－1)＝25，得sin α＝35.又α∈(π2，π)，所以cos α＝－45，tan α＝－34，则tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝17，故选C.3．若A ，B 是锐角三角形ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：∵A ，B 是锐角三角形ABC 的两个内角，∴A ＋B >90°，∴B >90°－A ，∴cos B <cos(90°－A )＝sin A ，sin B >sin(90°－A )＝cos A ，∴cos B －sin A <0，sin B －cos A >0，故选B.4．已知sin2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( A ) A.16 B.13 C.12 D.23解析：∵sin2α＝23，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos (2α＋π2)2＝1－sin2α2＝1－232＝16.5．若0<x ≤π3，则函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域是( D ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1,2] C ．(0,2] D ．(1，2＋12] 解析：令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，因为0<x ≤π3，所以π4<x ＋π4≤7π12，所以1<t ≤ 2.又t 2＝1＋2sin x cos x ，所以sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，所以1<y ≤2＋12，故选D.6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2(ω>0)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，当ω取最小值时，以下命题中假命题是( C )A ．函数f (x )的图像关于直线x ＝π12对称 B ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点C ．函数f (x )的图像可由g (x )＝3sin2x 的图像向左平移π3个单位得到D ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上是增函数解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0得π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，即ω＝3k －1.由ω>0知ω的最小值为2.当ω取得最小值时，f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝3可得出函数f (x )的图像关于直线x ＝π12对称，故A 为真．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0可得出x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，故B 为真．将函数g (x )＝3sin2x 的图像向左平移π6个单位得到f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，故C 为假．由复合函数单调性可得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上是增函数，故D 为真．7．已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，32，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，方程f (x )＝2a －3有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是( D )A ．[3，2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3 C ．[1,2] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫334，3 解析：因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0在函数图像上，∴A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝0.∵0<φ<π，∴φ＝π6.又点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，32在函数图像上，∴A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝32，∴A ＝3，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.当方程f (x )＝2a －3有两个不等的实根时，已知函数y ＝f (x )的图像与直线f (x )＝2a －3有两个不同的交点，可知32≤2a －3<3，∴334≤a < 3.8．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向左平移π12个单位，再向下平移1个单位，得到g (x )的图像，若g (x 1)·g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为( A )A.55π12B.53π12C.25π6D.17π4解析：将f (x )的图像向左平移π12个单位，得到函数2sin ⎝⎛2x ＋π6⎭⎪⎫＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，再向下平移1个单位，得到g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图像，其最小值为－3，由于g (x 1)·g (x 2)＝9，故g (x 1)＝g (x 2)＝－3，也就是说x 1，x 2是g (x )的最小值点．要使2x 1－x 2取得最大值，即x 1取最大值，x 2取最小值．令2x ＋π3＝2k π－π2，k ∈Z ，得x ＝k π－5π12(k ∈Z )，令k ＝2，得x 1＝19π12，令k ＝－1，得x 2＝－17π12.所以2x 1－x 2的最大值为2×19π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π12＝55π12.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( AD ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．f (x )＝1＋sin2x ＋1－sin2xD ．y ＝2cos2x解析：由y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋1＝cos2x ＋1知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋1为偶函数，且周期为π，故A 满足条件；由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x 知，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2为奇函数，故B 不满足条件；对任意x ∈R ，－1≤sin2x ≤1，∴1＋sin2x ≥0,1－sin2x ≥0.∴f (x )＝1＋sin2x ＋1－sin2x 的定义域是R ，关于原点对称．∵f (－x )＝1＋sin (－2x )＋1－sin (－2x )＝1＋sin2x ＋1－sin2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，∵f (x ＋π2)＝1＋sin (2x ＋π)＋1－sin (2x ＋π)＝1＋(－sin2x )＋1－(－sin2x )＝1－sin2x ＋1＋sin2x ＝f (x )，故f (x )周期为π2，故C 不满足条件；y＝2cos2x 是偶函数且周期为π，故D 满足条件．故选AD.10．某时钟的秒针端点A 到时钟的中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转．当时间t ＝0时，点A 与钟面上标“12”的点B 重合，将A ，B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，其中t ∈[0,60]，则d ＝( BD )A ．10cos πt 3B ．10cos (30－t )π60C ．10sin πt 6D ．10sin πt60 解析：经过t s 秒针转了π30t rad.由图知sin πt 60＝d25，所以d ＝10sin πt60或d ＝10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πt 60＝10cos (30－t )π60，其中t ∈[0,60]，所以BD 正确．11．已知函数f (x )＝cos x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 2＋cos x 2，则下列区间中f (x )在其上单调递增的是( AC )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，7π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 解析：f (x )＝cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 2＋cos x 2＝32sin x ＋1＋cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋12.令2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .当k ＝0时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3上单调递增.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，所以C 满足题意；当k ＝1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，7π3上单调递增，所以A 满足题意．12．已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O ∉直线l ，实数x 满足关系式x 2OA→＋2xOB →＋OC →＝0，下列结论中正确的是( ACD ) A.OB →2－OC →·OA →≥0 B.OB →2－OC →·OA →＜0 C ．x 的值有且只有一个 D ．点B 是线段AC 的中点解析：对于A ，存在实数x 满足x 2OA→＋2xOB →＋OC →＝0，∴OB →2－OA →·OC →≥0，∴A 正确，B 错误；对于C ，∵x 2OA →＋2xOB →＋OC →＝0，变形为OC→＝－x 2OA →－2xOB →，∵A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O ∉直线l ，∴－x 2－2x ＝1，解得x ＝－1，∴C 正确；对于D ，由C 知，OB →＝12(OA →＋OC →)，∴点B 是线段AC 的中点，D 正确；综上，正确的命题是ACD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填写在题目中的横线上)13．已知函数g (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，则g (x )的解析式为 g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1 ，单调增区间为 [k π－23π，k π－π6]，k ∈Z .解析：由题图知B ＝3＋(－1)2＝1，A ＝3－(－1)2＝2，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π，所以ω＝2，所以g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1.把⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1代入，得2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋1＝－1，即2π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．因为|φ|<π2，所以φ＝π3，所以g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.令2k π－π≤2x ＋π3≤2k π(k ∈Z )得：k π－2π3≤x ≤k π－π6，k ∈Z .所以单调增区间为[k π－23π，k π－π6]，k ∈Z .14．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－13，则sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ 73 . 解析：∵sin2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－79，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－13，∴sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－79－13＝73. 15．设O 为坐标原点，A (1,0)，B (1，3)，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，若OC→＝－2OA →＋λOB →，则λ＝1. 解析：由已知得OA→＝(1,0)，OB →＝(1，3)，所以|OA →|＝1，且OC →＝－2OA→＋λOB →＝(λ－2，3λ)，于是|OC →|＝(λ－2)2＋(3λ)2＝4λ2－4λ＋4，又因为OA →·OC →＝|OA →||OC →|cos120°，所以λ－2＝4λ2－4λ＋4×(－12)，两边平方得λ2－4λ＋4＝λ2－λ＋1，解得λ＝1. 16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法： ①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos2x 的图像向左平移π24个单位后，将与已知函数的图像重合．其中正确说法的序号是①②③.(注：把你认为正确的说法的序号都填上)解析：f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．f (x )为单调递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )．即k π＋π24≤x ≤k π＋1324π(k ∈Z )，k ＝0时，π24≤x ≤13π24，所以③正确．将函数y ＝2cos2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确． 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知角α终边上一点P (－4,3)． (1)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin (2π－α)cos (π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α的值；(2)若β为第三象限角，且tan β＝1，求cos(2α－β)的值． 解：(1)因为P 为角α终边上一点，所以sin α＝35，cos α＝－45.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin (2π－α)cos (π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·(－sin α)(－cos α)cos α＝sin 2α＝925. (2)由(1)知sin α＝35，cos α＝－45，则sin2α＝2sin αcos α＝－2425，cos2α＝2cos 2α－1＝725.又因为β为第三象限角，且tan β＝1，所以sin β＝cos β＝－22，则cos(2α－β)＝cos2αcos β＋sin2αsin β＝725×⎝⎛⎭⎪⎫－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝17250.18．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示．(1)求函数f (x )的解析式，并求它的对称中心的坐标；(2)将函数f (x )的图像向右平移m ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<m <π2个单位，得到的函数g (x )为偶函数，求函数y ＝f (x )g (x )＋34，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6的最值及相应的x 值．解：(1)根据题中图像可知A ＝3，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3代入f (x )的解析式，解得φ＝π6.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，∴f (x )的对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z )． (2)由题意可知g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2m ＋π6.∵g (x )为偶函数，∴－2m ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴m ＝－k π2－π6(k ∈Z )．又∵0<m <π2，∴m ＝π3.∴g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－3cos2x ，∴y ＝f (x )g (x )＋34＝－3cos2x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋34＝－3cos2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin2x ＋12cos2x ＋34＝－334sin4x －32×1＋cos4x 2＋34＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin4x ＋12cos4x ＝－32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6，∴4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴y max ＝34，此时x ＝－π12；y min ＝－32，此时x ＝π12.19．(12分)设向量a ＝(sin α，2cos α)，b ＝(2sin β，cos β)，c ＝(2cos β，－sin β)．(1)若a 与2b －c 垂直，求tan(α－β)的值；(2)求|b －c |的最小值．解：(1)由条件可得2b －c ＝(4sin β，2cos β)－(2cos β，－sin β)＝(4sin β－2cos β，2cos β＋sin β)．因为a 与2b －c 垂直，所以a·(2b －c )＝0，即4sin αsin β－2sin αcos β＋4cos αcos β＋2cos αsin β＝0，所以4cos(α－β)＝2sin(α－β)，所以tan(α－β)＝2.(2)由b －c ＝(2sin β－2cos β，cos β＋sin β)，得|b －c |2＝(2sin β－2cos β)2＋(cos β＋sin β)2＝5－3sin2β，所以当sin2β＝1时，|b －c |2取得最小值2，所以|b －c |的最小值为2.20．(12分)已知两个不共线的向量a ，b 满足a ＝(1，3)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈R .(1)若2a －b 与a －7b 垂直，求|a ＋b |的值；(2)当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，若存在两个不同的θ使得|a ＋3b |＝|m a |成立，求正数m 的取值范围．解：(1)由条件知|a |＝2，|b |＝1，又2a －b 与a －7b 垂直，所以(2a －b )·(a －7b )＝8－15a ·b ＋7＝0，所以a ·b ＝1.所以|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝4＋2＋1＝7，故|a ＋b |＝7.(2)由|a ＋3b |＝|m a |，得|a ＋3b |2＝|m a |2，即|a |2＋23a ·b ＋3|b |2＝m 2|a |2， 即4＋23a ·b ＋3＝4m 2,7＋23(cos θ＋3sin θ)＝4m 2，所以43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4m 2－7.由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得θ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.又θ要有两解，结合三角函数图像可得6≤4m 2－7<43，即134≤m 2<7＋434.又因为m >0，所以132≤m <2＋32.21．(12分)如图所示，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2π3(A >0，ω>0)，x ∈[－4,0]的图像，且图像的最高点为B (－1,2)．赛道的中间部分为长 3 km 的直线跑道CD ，且CD ∥EF .赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧DE ︵.(1)求ω的值和∠DOE 的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个矩形草坪，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P在圆弧DE ︵上，且∠POE ＝θ，求当矩形草坪的面积取最大值时θ的值．解：(1)由条件得A ＝2，T 4＝3，∴ω＝2πT ＝π6.∴曲线段FBC 的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋2π3.当x ＝0时，y ＝OC ＝ 3.又CD ＝3，∴∠COD ＝π4，∴∠DOE ＝π4.(2)由(1)，可知OD ＝ 6.又易知当矩形草坪的面积最大时，点P在弧DE 上，故OP ＝ 6.设∠POE ＝θ，0<θ<π4，∴矩形草坪的面积为S ＝6sin θ(6cos θ－6sin θ)＝6(sin θcos θ－sin 2θ)＝6⎝⎛⎭⎪⎫12sin2θ＋12cos2θ－12＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4－3.∵0<θ<π4，∴π4<2θ＋π4<3π4，故当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S 取得最大值．22．(12分)设向量m ＝(4cos x,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，－1，函数g (x )＝m ·n .(1)若ω是函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的零点，求sin ω的值； (2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6＝65，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＝－2413，求sin(α＋β)的值．解：(1)∵m ＝(4cos x,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，－1，函数g (x )＝m·n ，∴g (x )＝m·n ＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1×(－1)＝4cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由g (ω)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ω＋π6＝0，得2ω＋π6＝k π(k ∈Z )，∴ω＝k π2－π12.又∵0≤ω≤π2，∴ω＝5π12.∴sin ω＝sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝12×22＋32×22＝6＋24. (2)∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6＝65，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＝－2413，∴2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6＋π6＝65，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×β2＋π6＝－2413，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝－1213.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，β＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，7π6，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝－513， ∴sin(α＋β)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－6365.。
2021年高中数学 第二章 统计综合测试题(含解析)新人教B版必修3
2021年高中数学 第二章 统计综合测试题（含解析）新人教B 版必修3一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列哪种工作不能使用抽样方法进行( ) A ．测定一批炮弹的射程B ．测定海洋某一水域的某种微生物的含量C ．高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度D ．检测某学校全体高三学生的身高和体重的情况 [答案] D[解析] 抽样是为了用总体中的部分个体(即样本)来估计总体的情况，选项A 、B 、C 都是从总体中抽取部分个体进行检验，选项D 是检测全体学生的身体状况，所以，要对全体学生的身体都进行检验，而不能采取抽样的方法．故选D.2．高一·一班李明同学进行一项研究，他想得到全班同学的臂长数据，他应选择的最恰当的数据收集方法是( )A ．做试验B ．查阅资料C ．设计调查问卷D ．一一询问[答案] A[解析] 全班人数不是很多，所以做试验最恰当．3．设有一个回归方程为y ^＝2－2.5x ，变量x 增加一个单位时，变量y ( ) A ．平均增加1.5个单位 B ．平均增加2个单位 C ．平均减少2.5个单位D ．平均减少2个单位 [答案] C[解析] 因为随变量x 增大，y 减小，x 、y 是负相关的，且b ^＝－2.5，故选C. 4．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为( )元( )A ．45B ．3909C.4009D ．46[答案] C [解析] 40＋10×0.160.36＝4009. 5．一个单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人．为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，按下述三种方法抽取：①将160人从1至160编上号，然后用白纸做成1～160号的签160个放入箱内拌匀，然后从中抽取20个签，与签号相同的20个人被选出；②将160人从1至160编上号，按编号顺序分成20组，每组8人，即1～8号，9～16号，…，153～160号．先从第1组中用抽签方法抽出k 号(1≤k ≤8)，其余组的(k ＋8n )号(n ＝1、2、…、19)亦被抽出，如此抽取20人；③按20160＝18的比例，从业务人员中抽取12人，从管理人员中抽取5人，从后勤人员中抽取3人，都用随机数表法从各类人员中抽取所需的人数，他们合在一起恰好抽到20人．上述三种抽样方法，按简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的顺序是( ) A ．①、②、③ B ．②、①、③ C ．①、③、② D ．③、①、②[答案] C[解析] ①是简单随机抽样；②是系统抽样；③是分层抽样，故选C.6．样本中共有五个个体，其值分别为a 、0、1、2、3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.65 B ．65C. 2 D ．2[答案] D [解析] ∵a ＋0＋1＋2＋35＝1，∴a ＝－1，故S 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.7．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )8 9 79 3 1 6 4 0 2A ．91.5和91.5 C ．91和91.5 D ．92和92[答案] A[解析] 将这组数据从小到大排列，得87、89、90、91、92、93、94、96. 故平均数x －＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91．5，中位数为91＋922＝91.5，故选A.8．对变量x 、y 有观测数据理据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u 、v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 [答案] C[解析] 本题主要考查了变量的相关知识，考查学生分析问题和解决问题的能力．由散点图可以判断变量x与y负相关，u与v正相关．9.已知样本容量为30，在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为2431，则第2组的频率和频数分别是( )A．0.4,12 B．0.6,16C．0.4,16 D．0.6,12[答案] A[解析]因为各小长方形的高的比从左到右依次为2431，所以第2组的频率为0.4，频数为30×0.4＝12.10．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高y(单位：cm)对年龄x(单位：岁)的回归直线方程y＝73.93＋7.19x，用此方程预测儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是( )A．身高一定为145.83 cmB．身高大于145.83 cmC．身高小于145.83 cmD．身高在145.83 cm左右[答案] D[解析]用回归直线方程预测的不是准确值，而是估计值．当x＝10时，y＝145.83，只能说身高在145.83 cm左右．11．设矩形的长为a，宽为b，其比满足b a＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是( )A．甲批次的总体平均数与标准值更接近B．乙批次的总体平均数与标准值更接近C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定[答案] A[解析]本小题主要考查学生的知识迁移能力和统计的有关知识．x －甲＝0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.6395＝0.617，x －乙＝0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.6205＝0.613，故选A.12．某示范农场的鱼塘放养鱼苗8万条，根所这几年的经验知道，鱼苗的成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼2.5 kg ，第二网捞出25条，称得平均每条鱼2.2 kg ，第三网捞出35条，称得平均每条鱼2.8 kg ，试估计鱼塘中鱼的总质量约为( )A ．192 280 kgB ．202 280 kgC ．182 280 kgD ．172 280 kg[答案] A[解析] 平均每条鱼的质量为x －＝40×2.5＋25×2.2＋35×2.840＋25＋35＝2.53(kg)，所以估计这时鱼塘中鱼的总质量约为80 000×95%×2.53＝192 280(kg)．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中的横线上．) 13．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．[答案] 12 [解析] ∵2898＝27，即每7人抽取2人，又知女运动员人数为98－56＝42， ∴应抽取女运动员人数为42×27＝12(人)．分层抽样中抓住“抽样比”是解决问题的关键．14．甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数．则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________．[答案] 24 23[解析] x －甲＝110(10×2＋20×5＋30×3＋17＋6＋7)＝24，x －乙＝110(10×3＋20×4＋30×3＋17＋11＋2)＝23.15．(xx·山东临沂高一期末测试)为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45,55)、[55,65)、[65,75)、[75,85)、[85,95)，由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________．[答案]13[解析]由频率分布直方图知[55,75)之间的频率为(0.040＋0.025)×10＝0.65，故[55,75)之间的人数为0.65×20＝13.16．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1、2、3、4、5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲组67787乙组67679则以上两组数据的方差中较小的一个为s2＝______.[答案]2 5[解析]x甲＝6＋7＋7＋8＋75＝7，x乙＝6＋7＋6＋7＋95＝7.∴s2甲＝6－72＋7－72＋7－72＋8－72＋7－725＝25，s2乙＝7－62＋7－72＋7－62＋7－72＋7－925＝65，则两组数据的方差中较小的一个为s2甲＝25 .三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)某班有40名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛；(2)一儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回，再拿一件，连续玩了5件；(3)从200个灯泡中逐个抽取20个进行质量检查． [解析] (1)不是简单随机抽样，因为这不是等可能抽样． (2)不是简单随机抽样，因为它是有放回的抽样．(3)是简单随机抽样，因为它满足简单随机抽样的几个特点．18．(本题满分12分)已知某班4个小组的人数分别为10、10、x 、8，这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．[解析] 该组数据的平均数为14(28＋x )，中位数一定是其中两个数的平均数，因为x不知是多少，所以要分几种情况讨论．(1)当x ≤8时，原数据按从小到大的顺序为x,8,10,10，其中位数为12(10＋8)＝9.若14(x＋28)＝9，则x ＝8，此时中位数为9.(2)当8<x ≤10时，原数据按从小到大顺序排列为8，x,10,10，其中位数为12(x ＋10)，若14(x ＋28)＝12(x ＋10)，则x ＝8，而8不在8<x ≤10的范围内， ∴舍去．(3)当x >10时，原数据为8,10,10，x ， 其中位数为12(10＋10)＝10.若14(x ＋28)＝10，则x ＝12，∴此时中位数为10. 综上所述，这组数据的中位数为9或10.19．(本题满分12分)一箱方便面共有50包，从中用随机抽样方法抽取了10包称量其重量(单位：g)结果为：60.5 61 60 60 61.5 59.5 59.5 58 60 60(1)指出总体、个体、样本、样本容量； (2)指出样本数据的众数、中位数、平均数； (3)求样本数据的方差．[解析] (1)总体是这50包方便面所有的包重，个体是这一箱方便面中每一包的包重，样本是抽取的10包的包重，样本容量为10.(2)这组样本数据的众数是60，中位数为60，样本平均数x －＝110×(60.5＋61＋60＋60＋61.5＋59.5＋59.5＋58＋60＋60)＝60.(3)样本数据的方差为s 2＝110[(60.5－60)2＋(61－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2＋(61.5－60)2＋(59.5－60)2＋(59.5－60)2＋(58－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2]＝0.8.20．(本题满分12分)(xx·安徽黄山高一期末测试)某班的全体学生共有50人，参加数学测试(百分制)成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)、[40,60)、[60,80)、[80,100]．依此表可以估计这一次测试成绩的中位数为70分．(1)求表中a、b的值；(2)请估计该班本次数学测试的平均分．[解析](1)由中位数为70可得，0．005×20＋0.01×20＋a×10＝0.5，解得a＝0.02.又20(0.005＋0.01＋0.02＋b)＝1，解得b＝0.015.(2)该班本次数学测试的平均分的估计值为30×0.1＋50×0.2＋70×0.4＋90×0.3＝68分．21．(本题满分12分)有一容量为50的样本，数据的分组以及各组的频数如下：[12.5,15.5)，3；[15.5,18.5)，8；[18.5,21.5)，9；[21.5,24.5)，11；[24.5,27.5)，10；[27.5,30.5)，5；[30.5,33.5)，4.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图估计，数据落在[15.5,24.5)内的可能性约是多少？[解析](1)频率分布表为：分组频数频数频率[12.5,15.530.06)[15.5,18.580.16)[18.5,21.590.18)[21.5,24.5110.22)[24.5,27.5)100.20[27.5,30.5)50.10[30.5,33.5)40.08合计50 1.00(2)频率分布直方图如图所示：(3)数据落在[15.5,24.5)内的可能性为：8＋9＋1150＝0.56.22.(本题满分14分)(x x·河南新乡市高一期末测试)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求线性回归方程y＝b x＋a；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是 3.5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)．(参考公式与数据：6i＝1x i y i＝4 066，∑i＝16x2i＝434.2，∑i＝16x i＝51，∑i＝16y i＝480.b^＝∑i＝16x i y i－n x y∑i＝16x2i－n x2，a^＝y－b^x)[解析](1)x＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝516＝8.5，y＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝4806＝80.b ^＝∑i ＝16x i y i －n x y∑i ＝16x 2i －n x 2＝4 066－6×8.5×80434.2－6×8.52＝－20， a ^＝y －b ^x ＝80－(－20)×8.5＝250.∴线性回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂的利润为y ，依题意得y ＝(－20x ＋250)(x －3.5)＝－20(x －8)2＋405，∴当x ＝8时，y 取最大值405.即该产品的单价应定为8元时，工厂获得最大利润．i25332 62F4 拴! 7 23630 5C4E 屎26225 6671 晱32922 809A 肚360488CD0 賐22375 5767 坧(NF。
高中数学 综合模块测试2 新人教B版必修3
高中数学 综合模块测试2 新人教B 版必修3参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式 2121xn xyx n yx b ni ini ii --=∑∑==，x b y a -=一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．算法的三种基本结构是 （ ▲ ）A. 顺序结构、模块结构、条件结构B. 顺序结构、循环结构、模块结构C. 顺序结构、条件结构、循环结构D. 模块结构、条件结构、循环结构 2．假设吉利公司生产的“远景” 、“金刚” 、“自由舰”三种型号的轿车产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 （ ▲ ）A. 16，16，16B. 8，30，10C. 4，33，11D. 12，27，9 3．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是 （ ▲ ）A 3B 9 C.17 D 514．一个人在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 （ ▲ ）A.至多一次中靶B. 两次都不中靶C.两次中靶D.只有一次中靶5．已知甲、乙两名同学在五次数学测验中的得分如下：甲：85，91，90，89，95；乙：95，80，98，82，95.则甲、乙两名同学数学学习成绩 （ ▲ ）A.甲比乙稳定B.甲、乙稳定程度相同C.乙比甲稳定D. 无法确定6．用秦九韶算法计算多项式1)(23456++++++=x x x x x x x f 当2=x 时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是 （ ▲ ）A. 6，5B. 5，6C. 5，5D. 6，67．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、 蓝两种颜色为其涂 色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色全相同的概率为 （ ▲ ）A.34 B.38 C.14 D.189．下面循环结构的程序框图与程序语言相对应的是（ ▲ ）（1） （2） （a ） （b ） A ．(1)(a) (2)(b) B ． (1)(b) (2) (a) C ． (1)(a) (2) (a) D ．(1)(b) (2)(b) 8．从2005个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为 （ ▲ ）A.99B. 99.5C. 100D.100.5 10.一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：(25，253］，6；(25.3，25.6］，4；(25.6，25.9］，10；(25.9，26.2］，8；(26.2，26.5］，8；(26.5，26.8］，4；则样本在(25，25.9］上的频率为 （ ▲ ）A203 B 101 C. 21 D 41 11．已知车站每10分钟发一班车，则乘客到达某站台并在1分钟内乘上车的概率是 （ ▲ ）A.111 B.101 C. 91 D. 81 12．回归分析中，相关指数R 2的值越大，说明残差平方和 （ ▲ ）A.越小B.越大C.可能大也可能小D.以上都不对13．变量x 与y 具有线性相关关系，其线性回归方程为86.073.0-=x y ，若在实际问题中，y 的预报最大取值是10，则x 的最大取值不能超过 （ ▲ ）A ．16B ．17C ．15D ．12 14．如右图所示的程序是用来 （ ▲ ）A. 计算3×10的值B. 计算93的值C. 计算103的值D. 计算1×2×3×…×10的值 15．由小到大排列的一组数据:54321,,,,x x x x x ,其中每个数据都小于2-,则样本1,2x -,5432,,,x x x x -的中位数可以表示为 （ ▲ ）A.232x x + B.212x x - C.225x + D.243x x - 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）16．完成下列进位制之间的转化：101101（2）=___▲___（10）___▲__（4）17．某城市有学校700所，其中大学20所，中学200所，小学480所．现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取的中学数为 ▲ 18．样本4，2，1，0，–2的标准差是 ▲19．采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，个体a 被抽到的概率为_▲___ 20．已知x 与y 之间的一组数据为则y 与x 的回归直线方程a bx y +=必过定点___▲_____21．在性别与吃零食这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是▲①若2K 的观测值为k=6.635，我们有99％的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性；②从独立性检验可知有99％的把握认为吃零食与性别有关系时，我们说某人吃零食，那么此人是女性的可能性为99％；③若从统计量中求出有99％的把握认为吃零食与性别有关系，是指有1％的可能性使得出的判断出现错误．三、解答题（本大题共5小题，共51分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22．（本小题9分）如图是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15，18)内频数为8． （1）求样本在[15，18)内的频率；（2）求样本容量；（3）若在[12，15)内的小矩形面积为0.06，求在[18，33)内的频数．47523．（本小题10分）（1）在长16cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于25cm2与81cm2之间的概率．（2）如图所示，在一个边长为5cm的正方形内部画一个边长为3cm的小正方形，现在向大正方形随机投点，假设所投的点都落在大正方形内，求所投的点落入大正方形内小正方形外的概率．24．（本小题10分）抛掷两颗骰子，计算：（1）事件“两颗骰子点数相同”的概率；（2）事件“点数之和小于7 ”的概率；（3）请设计一种随机模拟的方法，来近似计算（1 ）中“两颗骰子点数相同”的概率（写出随机模拟的步骤）．25．（本小题10分）下面是某位同学利用当型循环语句写的一个求满足1＋2＋3＋…＋n > 500的最小的自然数n的程序．（1）该程序是否有错误，若有请找出错误并予以更正；（2）画出执行该问题的程序框图．Array 26．（本小题12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（x吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对照数据：（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程a bx y+=ˆ； （3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？参考答案1-5: C B D B A 6-10: D C B C C 11-15: B A C C C16. 45 ,231 17.20 18. 2 19.2/5 20. (1.5,4) 21. ③22．(1).0.16 ............3 (2). 50 ............3 (3). 39 (3)23. 解：（1）由题意可知，以线段AM 为边长的正方形面积要介于25cm 2与81cm 2之间，即要求AM 介于5cm 与9cm 之间，记“以线段AM 为边长的正方形面积介于25cm 2与81cm 2之间”为事件A ， 则由几何概型的求概率的公式得P （A ）＝1659-＝41…………5 （2）记“所投的点落入大正方形内小正方形外”为事件A ， 则“所投的点落入小正方形内”为事件A 的对立事件-A ，所以P （A）＝1－P(-A )=1－2253＝2516 (5)24． (1).61366==p (3)(2).3615=p (3)(3). S1:设定两个1－6之间的随机整数x 、y ， S2:产生随机整数对（x,y ）N 个 S3:数出x=y 的随机数对N1个 S4:计算NN p 1=…………4 25．(1)①DO 应改为WHILE②PRINT n+1 应改为PRINT n③S=1应改为S=0 ............6 (2)如右图 (4)26．24.(1)散点图如下 (3)(2)4166.5i ii X Y ==∑ 4222221345686ii X==+++=∑ 4.5X = 3.5Y =266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b -⨯⨯-===-⨯- ； ˆˆ 3.50.7 4.50.35a Y bX =-=-⨯= 所求的回归方程为 0.70.35y x =+ …………6 (3) 100x =， 1000.35y =+-=(吨) (3)预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65。
2020_2021学年新教材高中数学模块素养评价二含解析新人教B版选择性必修第三册
模块素养评价(二)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知数列{a n}的前4项依次为-错误!未找到引用源。
,1,-错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
,则该数列的一个通项公式可以是( )A.a n=(-1)n·错误!未找到引用源。
B.a n=(-1)n+1·错误!未找到引用源。
C.a n=(-1)n·错误!未找到引用源。
D.a n=(-1)n+1·错误!未找到引用源。
【解析】选A.数列的前4项分别为-错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
,-错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
,可得奇数项为负数,偶数项为正数,可知:第n项的符号为(-1)n,排除选项B,D;取n=2,验证可知A正确.2.在等差数列{a n}中,a1=2,a3+a7=28,若a m=26,则m= ( )A.6B.7C.8D.9【解析】选D.由题意,可得a3+a7=2a5=28,故a5=14.所以公差d=错误!未找到引用源。
=3,所以a n=a1+(n-1)d=2+3·(n-1)=3n-1,所以a m=3m-1=26,解得m=9.3.曲线y=ln(ax+1)在点(0,0)处的切线过点(4,8),则a= ( )A.4B.3C.2D.1【解析】选C.y=ln (ax+1)的导数y′=错误!未找到引用源。
,切线斜率为错误!未找到引用源。
=2,所以a=2.4.(2020·某某高二检测)等差数列{a n}中,a1与a4037是f(x)=x-4lnx-错误!未找到引用源。
的两个极值点,则lo错误!未找到引用源。
a2019= ( )A.1B.2C.0D.错误!未找到引用源。
【解析】选B.f′(x)=1-错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,因为a1与a4 037是f(x)=x-4ln x-错误!未找到引用源。
2020_2021学年高中数学综合测评课后习题含解析新人教B版必修第三册202012312114
综合测评(时间:120分钟 满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数y=4sin 2x (x ∈R )是( )A.周期为2π的奇函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为π的偶函数 周期为2π2=π,因为定义域为R ,以-x 替换x ,得4sin(-2x )=-4sin2x ,可知函数为奇函数.2.sin 140°cos 10°+cos 40°sin 350°=( ) A.12B.-12C.√32D.-√32,原式=sin40°cos10°-cos40°sin10°=sin(40°-10°)=sin30°=12,故选A .3.已知α∈0,π2,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( )A.√55B.15C.√33D.2√552sin2α=cos2α+1,∴4sin αcos α=2cos 2α, ∵α∈0,π2,∴cos α>0,sin α>0, ∴2sin α=cos α.又sin 2α+cos 2α=1,∴sin α=√55.故选A .4.在边长为2的菱形ABCD 中,∠BAD=60°,E 是BC 的中点,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3+√33B.92C.√3D.9解析由题意知∠ABC=120°,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos120°=-2,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BE⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−32BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12×22-32×(-2)+22=9.故选D .5.函数f (x )=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图像如图所示,为了得到g (x )=sin 2x 的图像,可将f (x )的图像( ) A.向右平移π6个单位 B.向右平移π12个单位C.向左平移π12个单位D.向左平移π6个单位 解析因为f (x )=sin(2x+φ)(0<φ<π),函数图像过点7π12,-1,所以-1=sin 7π6+φ,可得φ=π3,因此函数f (x )=sin 2x+π3的图像向右平移π6个单位得到函数g (x )=sin2x 的图像,故选A .答案A6.一个半径为R 的扇形,它的周长是4R ,则这个扇形所含的弓形的面积是( ) A.12(2-sin 2)R 2 B.14R 2sin 2 C.12R 2D.R 21-sin22解析弧长l=4R-2R=2R ,扇形的圆心角α=lR =2RR=2,S 扇形=12lR=12×2R ×R=R 2,S 三角形=12×2R sin1×R cos1=sin22·R 2,S 弓形=S 扇形-S 三角形=R 2-sin22·R 2=R 21-sin22.答案D7.已知cos α=-45,α∈(-π,0),则tan α-π4=( ) A.17B.7C.-17D.-7cos α=-45,α∈(-π,0), ∴α∈-π,-π2, ∴sin α=-35,tan α=34, 则tan α-π4=tanα-11+tanα=34-11+34=-17,故选C .8.黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).如图所示,五角星是由五个黄金三角形与一个正五边形组成,在其中一个黄金△ABC 中,BC AC=√5-12.根据这些信息,可得sin234°=( )A.1-2√54B.-3+√58C.-√5+14D.-4+√58,∠ACB=72°, 且cos72°=12BC AC=√5-14. 所以cos144°=2cos 272°-1=-√5+14. 则sin234°=sin(144°+90°)=cos144°=-√5+14.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.9.若将函数f (x )=2sin 2x+π3的图像向右平移φ个单位,所得函数为偶函数,下列选项中,满足φ的取值的是( ) A.5π12B.π3C.2π3D.-π12解析由题意知函数f (x )=2sin 2x+π3的对称轴满足2x+π3=k π+π2(k ∈Z ),即x=kπ2+π12(k ∈Z ),当k=-1时,可得位于y 轴左侧的对称轴方程为x=-5π12,此时φ=5π12.当k=0时,可得位于y 轴右侧的对称轴方程为x=π12,此时φ=-π12.综上可得A,D 满足题意,故选AD .10.下列四个选项中,结果正确的是( ) A.cos(-15°)=√6-√24B.cos 15°cos 105°+sin 15°sin 105°=0C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=12 D.sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°=12A:原式=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30° =√22×√32+√22×12=√6+√24,A 错误;选项B:原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0,B 正确; 选项C:原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos60°=12,C 正确;选项D:原式=cos76°cos16°+sin76°sin16°=cos(76°-16°)=cos60°=12,D 正确.11.在△ABC 中,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,在下列命题中,是真命题的有( ) A.若a ·b >0,则△ABC 为锐角三角形 B.若a ·b =0,则△ABC 为直角三角形C.若a ·b =c ·b ,则△ABC 为等腰三角形 ·a +c 2=0,则△ABC 为直角三角形△ABC 中,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b , ①若a ·b >0,则∠BCA 是钝角,△ABC 是钝角三角形,选项A 错误; ②若a ·b =0,则BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,△ABC 为直角三角形,选项B 正确; ③若a ·b =c ·b ,则b ·(a -c )=0,即CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0;CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,取AC 的中点D ,则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BA=BC ,即△ABC 为等腰三角形,选项C 正确;④因为c ·a +c 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即选项D 正确.故选B,C,D .12.对于函数f (x )=12cos 2x-π2,给出下列结论,其中正确的是( )A.函数f (x )的最小正周期为2πB.函数f (x )在[π6,π2]上的值域是[√34,12] C.函数f (x )在[π4,3π4]上单调递减D.函数f (x )的图像关于点-π2,0对称 解析由诱导公式可得: f (x )=12cos 2x-π2=12sin2x ,所以T=2πω=2π2=π≠2π,选项A 错误;若x ∈[π6,π2],则2x ∈[π3,π],12sin2x ∈[0,12],故函数f (x )在[π6,π2]上的值域是[0,12],选项B 错误;令π2+2k π≤2x ≤3π2+2k π(k ∈Z ),即π4+k π≤x ≤3π4+k π(k ∈Z ),函数f (x )在[π4+kπ,3π4+kπ](k ∈Z )上单调递减,当k=0时,函数f (x )在[π4,3π4]上单调递减,选项C 正确;令2x=k π(k ∈Z ),则x=kπ2(k ∈Z ),函数f (x )=12sin2x 的对称中心为kπ2,0(k ∈Z ),当k=-1时,函数f (x )的图像关于点-π2,0对称,选项D 正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若sin θ2=45,且sin θ<0,则θ是第 象限角. 解析由倍角公式得cos θ=1-2sin 2θ2=1-2×452=-725<0,又sin θ<0,因此,θ是第三象限角.答案三14.设α为锐角,若cos α+π6=45,则sin 2α+π12的值为 .β=α+π6,则sin β=35,sin2β=2sin βcos β=2425,cos2β=2cos 2β-1=725,因此sin 2α+π12=sin 2α+π3−π4=sin 2β-π4=sin2βcos π4-cos2βsin π4=17√250.a ,b ,c 满足|a |=1,|b |=1,|c -(a +b )|≤|a -b |,则|c |的最大值为 .|c |为定值时,|c -(a +b )|当且仅当c 与a +b 同向时取最小值,此时|c -(a +b )|=|c |-|a +b |≤|a -b |, 所以|c |≤|a +b |+|a -b |.因为|a |=|b |=1, 所以(a +b )2+(a -b )2=2(a 2+b 2)=4,所以(|a +b |+|a -b |)2=(a +b )2+(a -b )2+2|a +b |·|a -b |≤2[(a +b )2+(a -b )2]=8, 所以|c |≤|a +b |+|a -b |≤2√2,当且仅当a ⊥b 且c 与a +b 同向时取等号.√2y=cos 2x-4sin x 的最小值为 ,最大值为 .cos 2x-4sin x=1-sin 2x-4sin x =-(sin x+2)2+5,因为sin x ∈[-1,1],所以当sin x=-1时,y max =-1+5=4; 当sin x=1时,y min =-9+5=-4.4 4四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知f (a )=sin 2(π-a )·cos (2π-a )·tan (-π+a )sin (-π+a )·tan (-a+3π).(1)化简f (a );(2)若f (a )=18,且π4<a<π2,求cos a-sin a 的值.f (a ) =sin 2(π-a )·cos (2π-a )·tan (-π+a )sin (-π+a )·tan (-a+3π)=sin 2a ·cosa ·tana -sina ·(-tana )=sin a cos a=12sin2a.(2)由(1)知,f (a )=12sin2a=18,得sin2a=14, 所以(cos a-sin a )2=1-sin2a=34,因为π4<a<π2,所以cos a-sin a<0, 所以cos a-sin a=-√32.18.(12分)已知向量a =(-3,2),b =(2,1),c =(3,-1). (1)若a -t b 与c 共线,求实数t ;|a +t b |的最小值及相应的t 值.∵a -t b =(-3,2)-t (2,1)=(-3-2t ,2-t ), 又a -t b 与c 共线,c =(3,-1),∴(-3-2t )×(-1)-(2-t )×3=0,解得t=35.(2)∵a =(-3,2),b =(2,1),c =(3,-1), ∴a +t b =(-3,2)+t (2,1)=(-3+2t ,2+t ),∴|a +t b |=√(-3+2t )2+(2+t )2=√5t 2-8t +13 =√5(t -45) 2+495≥√495=7√55,当且仅当t=45时取等号,即|a +t b |的最小值为7√55. 19.(12分)如图所示,在平面直角坐标系中,锐角α,β(β>α)的终边分别与单位圆交于A ,B 两点,点A 的坐标为45,35.(1)若点B 的坐标为513,1213,求cos(α+β)的值;(2)若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3√1010,求sin β.解(1)因为α、β是锐角,且A45,35,B513,1213在单位圆上,所以sin α=35,cos α=45,sin β=1213,cos β=513,故cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=45×513−35×1213=-1665.(2)因为OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3√1010, 所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(β-α)=3√1010,且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,所以cos(β-α)=3√1010,可得sin(β-α)=√1010(β>α),且cos α=45,sin α=35, 故sin β=sin[α+(β-α)]=sin αcos(β-α)+cos αsin(β-α)=35×3√1010+45×√1010=13√1050. 20.(12分)已知函数f (x )=sin(π-ωx )cos ωx+cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)将函数y=f (x )的图像上各点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,得到函数y=g (x )的图像,求函数g (x )在区间[0,π16]上的最小值.因为f (x )=sin(π-ωx )cos ωx+cos 2ωx , 所以f (x )=sin ωx cos ωx+1+cos2ωx2=12sin2ωx+12cos2ωx+12=√22sin (2ωx +π4)+12.由于ω>0,依题意得2π2ω=π,所以ω=1.(2)由(1)知f (x )=√22sin (2x +π4)+12,所以g (x )=f (2x )=√22sin (4x +π4)+12. 当0≤x ≤π16时,π4≤4x+π4≤π2,所以√22≤sin (4x +π4)≤1.因此1≤g (x )≤1+√22.故g (x )在区间[0,π16]上的最小值为1. 21.(12分)向量a =cos x ,-12,b =(√3sin x ,cos 2x ),x ∈R ,设函数f (x )=a ·b .(1)求f (x )的表达式并化简;(2)求出f (x )的最小正周期并在下图中画出函数f (x )在区间[0,π]内的简图; (3)若方程f (x )-m=0在[0,π]上有两个根α,β,求m 的取值范围及α+β的值.f (x )=√3sin x cos x-12cos2x=√32sin2x-12cos2x=sin 2x-π6.(2)f (x )的最小正周期T=π.(3)由图可知,当m ∈-1,-12时,α+β2=5π6,即α+β=5π3;当m ∈-12,1时,α+β2=π3,即α+β=2π3;所以m的取值范围为-1,-12∪-12,1,且α+β=5π3或2π3.22.(12分)已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =cos 3x 2,sin 3x2,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =cos x 2,-sin x 2,且x ∈-π4,π4. (1)若f (x )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求函数f (x )关于x 的解析式;(2)求f (x )的值域;(3)设t=2f (x )+a 的值域为D ,且函数g (t )=12t 2+t-2在D 上的最小值为2,求a 的值.f (x )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =cos 3x2cos x2-sin 3x2sin x2=cos3x 2+x2=cos2x.(2)由(1)知f (x )=cos2x , ∵x ∈[-π4,π4],∴2x ∈-π2,π2,∴cos2x ∈[0,1].故函数f (x )的值域为[0,1]. (3)由(2)知2f (x )+a ∈[a ,a+2], 即D=[a ,a+2].由题可得,g (t )对称轴为t=-1,且当t ≤-1时,g (t )单调递减;当t>-1时,g (t )单调递增. ①当a+2≤-1,即a ≤-3时,g (t )min =g (a+2)=12(a+2)2+(a+2)-2=2,解得a=-6或a=0(舍). ②当a<-1<a+2,即-3<a<-1时,g (t )min =g (-1)=12-1-2=-52,不符合题意.③当a ≥-1时,g (t )min =g (a )=12a 2+a-2=2,解得a=2或a=-4(舍).综上所述,a=2或a=-6.。
2020_2021学年新教材高中数学模块质量检测含解析新人教B版选择性必修第三册.doc
模块质量检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项的和，a 2＋a 5＝4，S 7＝21，则a 7的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．92．已知等比数列{a n }满足a 1＝2，且a 1，a 2,6成等差数列，则a 4＝( ) A ．6 B ．8 C ．16 D ．323．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ( )A.32fB.322f C.1225f D.1227f4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e5．已知数列{a n }, 则“{a n }为等差数列”是“a 1＋a 3＝2a 2”的( ) A ．充要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则( )A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点7．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.94e 2 B ．2e 2C ．e 2D.e 228．已知等差数列{a n }单调递增且满足a 1＋a 10＝4，则a 8的取值范围是( ) A ．(2,4) B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(4，＋∞)9．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2 D ．a ≤1310．在等差数列{a n }中，a 3，a 9是方程x 2＋24x ＋12＝0的两根，则数列{a n }的前11项和等于( )A ．66B ．132C ．－66D ．－13211．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( )A ．1B ．2k ＋1C ．2k －1D ．2k12．在数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和为S n .若点⎝ ⎛⎭⎪⎫S n n ，S n ＋1n ＋1在直线y ＝2x －1上，则a9等于( )A ．1 290B ．1 280C ．1 281D ．1 821二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝______；数列{a n }的前n 项和的最小值为______．14．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.15．已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26，b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．16．已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________ . 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1.(1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N ＋.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x )在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．22．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n}中，数列的前n项和S n满足S n＝12⎝⎛⎭⎫a n＋1a n.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．20．解析：(1)由f (x )＝x 22－k ln x ，(k >0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－k x .(x ＞0)由f ′(x )＝0解得x ＝k .f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)；f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2. (2)由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2. 因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e.当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．当k >e 时，f (x )在区间(0，e)上单调递减，且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．。
2021年新教材高中数学模块综合测评2含解析人教B版选择性必修三
2021年新教材⾼中数学模块综合测评2含解析⼈教B版选择性必修三模块综合测评(⼆)(时间：120分钟满分：150分)⼀、单项选择题(本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的)1．已知在等⽐数列{a n }中，a 5＝4，a 8＝12，则公⽐q ＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12C [因为{a n }为等⽐数列，a 5＝4，a 8＝12，所以a 8＝a 5q 3，即12＝4q 3，解得q ＝12.故选C.]2．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k 1、k 2，则k 1、k 2的⼤⼩关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1C ．k 1＝k 2D ．不确定A [y ＝sin x ，y ′＝cos x ，∴k 1＝cos 0＝1，k 2＝cos π2＝0，k 1>k 2.]3．已知函数f (x )＝x 2＋2f ′(1)ln x ，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 D [f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)x ，令x ＝1得f ′(1)＝2×1＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－2.即曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率k ＝－2，故选D.]4．已知{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9的值是( ) A ．24 B ．27 C ．30 D ．33D [根据等差数列的性质可知a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9也成等差数列，故a 3＋a 6＋a 9＝2×39－45＝33.故选D.]5．等⽐数列{a n }满⾜a 2＋8a 5＝0，设S n 是数列的前n 项和，则S 5S 2＝( )A ．－11B ．－8C ．5D ．11A [由a 2＋8a 5＝0得a 1q ＋8a 1q 4＝0，解得q ＝－12.易知是等⽐数列，公⽐为－2，⾸项为1a1，所以S2＝1a1[1－(－2)2]1－(－2)＝－1a1，S5＝1a1[1－(－2)5]1－(－2)＝11a1，所以S5S2＝－11，故选A.]6.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所⽰，则函数y＝f(x)的图像可能是()A B C DD[观察导函数f′(x)的图像可知，f′(x)的函数值从左到右依次为⼩于0，⼤于0，⼩于0，⼤于0，∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A，C.如图所⽰，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极⼩值点，x2是极⼤值点，且x2>0，故选项D正确，故选D.]7．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，则a p－a q等于()A．10 B．15 C．－5 D．20D[因为S n＝2n2－3n(n∈N*)，所以a n＝S n－S n－1＝4n－5(n≥2)．⼜a1＝S1＝－1，适合上式，所以数列{a n}的通项公式为a n＝4n－5(n∈N*)．于是a p－a q＝4(p－q)＝20.故选D.] 8．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有⼥不善织，⽇减功迟，初⽇织五尺，末⽇织⼀尺，今三⼗织迄，问织⼏何．”其⼤意为：有个⼥⼦不善织布，每天⽐前⼀天少织同样多的布，第⼀天织五尺，最后⼀天织⼀尺，三⼗天织完，问三⼗天共织布()A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺B[由题意知，该⼥⼦每天织布的数量组成等差数列{a n}，其中a1＝5，a30＝1，∴S30＝30×(5＋1)2＝90，即共织布90(尺)．故选B.]⼆、多项选择题(本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．在每⼩题给出的四个选项中，有多项符合题⽬要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则()A．a＝－3 B．a＝3C. b ＝24D. b ＝－24AD [由题意知，－2,4是函数f ′(x )＝0的两个根，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，所以－2＋4＝－2a 3，－2×4＝b 3，??a ＝－3，b ＝－24.故选AD.] 10．在如图的表格中，如果每格填上⼀个数后，每⼀横⾏成等差数列，每⼀纵列成等⽐数列，那么( )A.x ＝1 B ．y ＝58C ．z ＝38D ．m ＝5ABC [由表格知，第三列为⾸项为4，公⽐为12的等⽐数列，∴x ＝1.根据每⾏成等差数列得第四列前两个数字分别为5，52，故第四列所成的等⽐数列的公⽐为12，∴y ＝5×123＝58，同理z ＝6×124＝38，故选ABC.]11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满⾜S 2 020>0，S 2 021<0，则下列说法正确的是( ) A ．S 1 010最⼤ B ．|a 1 010|>|a 1 011| C ．a 1 011>0D ．数列中绝对值最⼩的项为a 1 011ABD [∵S 2 020>0，S 2 021<0, ∴2 020(a 1＋a 2 020)2>0，2 021(a 1＋a 2 021)2＝2 021a 1 011<0，∴a 1 010＋a 1 011>0，a 1 011<0，可得a 1 010>0，a 1 011<0，|a 1 010|>|a 1 011|，故A ，B 都正确，C 错误，由等差数列的单调性即可得出：此数列中绝对值最⼩的项为a 1 011，故D 正确．故选ABD.]12．设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数．下列条件中，使得该三次⽅程仅有⼀个实根的是( )A ．a ＝－3，b ＝－3B ．a ＝－3，b ＝2C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝0，b ＝2ACD [令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，求导得f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0，所以f (x )单调递增，且⾄少存在⼀个数使f (x )<0，⾄少存在⼀个数使f (x )>0，所以f (x )＝x 3＋ax ＋b 必有⼀个零点，即⽅程x 3＋ax ＋b ＝0仅有⼀根，故CD 正确；当a <0时，若a ＝－3，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，易知，f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在[－1,1]上单调递减，所以f (x )极⼤＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极⼩＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要使⽅程仅有⼀根，则f (x )极⼤＝b ＋2<0或者f (x )极⼩＝b －2>0，解得b <－2或b >2，故A 正确．所以使得三次⽅程仅有⼀个实根的是ACD.]三、填空题(本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若等差数列{a n }和等⽐数列{b n }满⾜a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.1 [设等差数列的公差和等⽐数列的公⽐分别为d 和q ，则－1＋3d ＝－q 3＝8，解得q ＝－2，d ＝3，那么a 2b 2＝－1＋32＝1.]14．曲线y ＝cos x －x2在点(0,1)处的切线⽅程为________．y ＝－12x ＋1 [y ′＝－sin x －12，将x ＝0代⼊，可得切线斜率为－12.所以切线⽅程为y －1＝－12x ，即y ＝－12x ＋1.]15．已知三次函数 f (x )过原点，且当x ＝1时，有极⼤值4；当x ＝3时，有极⼩值0，则函数 f (x )＝__________________________.x 3－6x 2＋9x [设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，∵函数图像过原点，∴d ＝0，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意得f ′(1)＝0f ′(3)＝0f (1)＝4，即3a ＋2b ＋c ＝027a ＋6b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝4，解得a ＝1b ＝－6c ＝9，∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x .]16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n，…，若S k ＝14，则k ＝________，a k ＝________.(本题第1空2分，第2空3分)7 78 [因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是⾸项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n4.令T n ＝n 2＋n 4＝14，解得n ＝7，所以a k ＝78.]三、解答题(本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本⼩题满分10分) 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，a 3＝5，S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得a 1＋2d ＝5，10a 1＋10×92d ＝100，解得a 1＝1，d ＝2. 所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝2a n ＋2n ＝12×4n ＋2n ，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12(4＋42＋…＋4n )＋2(1＋2＋…＋n )＝4n ＋1－46＋n 2＋n ＝23×4n ＋n 2＋n －23.18．(本⼩题满分12分)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ；(2)若f (x )在x ＝1处取得极⼩值，求a 的取值范围． [解] (1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x, f ′(2)＝(2a －1)e 2. 由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x .若a >1，则当x ∈1a ，1时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在x ＝1处取得极⼩值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0，所以f ′(x )>0. 所以1不是f (x )的极⼩值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．19．(本⼩题满分12分)已知公差⼤于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满⾜：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c ，求⾮零常数c .[解] (1) ∵{a n }为等差数列，∴ a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，⼜a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是⽅程x 2－22x ＋117＝0的两个根．⼜公差d >0，∴a 3∴ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12(c ＝0舍去)．20．(本⼩题满分12分)某投资商到⼀开发区投资72万元建起了⼀座蔬菜加⼯⼚，经营中，第⼀年⽀出12万元，以后每年⽀出增加4万元，从第⼀年起每年蔬菜销售收⼊50万元．设f (n )表⽰前n 年的纯利润总和，(f (n )＝前n 年的总收⼊－前n 年的总⽀出－投资额72万元)．(1)该⼚从第⼏年开始盈利？(2)该⼚第⼏年年平均纯利润达到最⼤？并求出年平均纯利润的最⼤值． [解] (1)由题意知f (n )＝50n －12n ＋n (n －1)2×4－72＝－2n 2＋40n －72. 由f (n )＞0，即－2n 2＋40n －72＞0，解得2(2)年平均纯利润f (n )n ＝40－2n ＋36n ≤16，当且仅当n ＝6时等号成⽴．即第6年，投资商年平均纯利润达到最⼤，年平均纯利润最⼤值为16万元．21．(本⼩题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2＋2kn (k ∈N *)，且S n 的最⼤值为4.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝5－a n2n ，求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)由题意知，当n ＝－2k2×(－1)＝k 时，S n 取得最⼤值4，所以－k 2＋2k ·k ＝k 2＝4，解得k ＝2或k ＝－2(舍去)，所以S n ＝－n 2＋4n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝5－2n .经验证n ＝1时也符合该式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝5－2n (n ∈N *)． (2)由(1)知b n ＝n2n －1.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝120＋221＋322＋423＋…＋n2n －1，12T n ＝121＋222＋323＋424＋…＋n 2n ，22．(本⼩题满分12分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)．(1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线⽅程； (2)求f (x )的单调区间．[解] (1)当k ＝2时，f (x )＝ln (1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线⽅程为 y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x.所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )＞0；在区间(0，＋∞)上，f ′(x )＜0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)．当0＜k ＜1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk ＞0.所以，在区间(－1,0)和?1－k k ，＋∞上，f ′(x )＞0；在区间?0，1－k k 上，f ′(x )＜0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和? ????1－k k ，＋∞，单调递减区间是?0，1－k k .当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x.故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k ＞1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间? ?－1，1－k k 和(0，＋∞)上，f ′(x )＞0；在区间?1－k k ，0上，f ′(x )＜0.故f (x )的单调递增区间是? ?－1，1－k k 和(0，＋∞)，单调递减区间是1－k k ，0.。
2020-2021学年数学第三册教案：模块综合提升含解析
2020-2021学年数学新教材人教B版选择性必修第三册教案：模块综合提升含解析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”，错误的画“×"．(1）数列的通项公式是唯一的．(2）若数列{ a n }是等差数列，则a n＋1一定是a n和a n＋2的等差中项。
（）(3)若b2＝ac，则a，b,c一定构成等比数列。
()(4)若数列｛a n＋1－a n }是等差数列，则｛a n }必为等差数列。
()（5）若数列｛a n｝是等差数列,且m＋n＋k＝3l,则a m＋a n＋a k ＝3a l。
（)（6)若{ a n｝是公比为q的等比数列，且a1＋a2，a2＋a3,a3＋a4，…也成等比数列，则q≠－1.(7)等比数列{a n}的单调性是由公比q决定的．（)（8)如果数列｛a n｝的前n项和为S n，则对∀n∈N＊，都有a n ＝S n－S n－1。
()(9)已知数列｛a n}的通项公式是a n＝pn＋q（其中p，q为常数)，则数列{a n}一定是等差数列．（10)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(11)数列{a n}的通项公式是a n＝a n，则其前n项和为S n＝错误!.（12）如果数列{a n｝为等比数列，b n＝a2n－1＋a2n，则数列{b n｝也是等比数列．(）（13）数列｛a n｝为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(）(14)如果数列｛a n}为等比数列，则数列{ln a n}是等差数列．(15）若数列{a n}与{b n｝均为等差数列，且前n项和分别是S n 和T n，则错误!＝错误!.（)(16）已知等差数列{a n}的公差为d，则有错误!＝错误!错误!。
（17)求S n＝a＋2a2＋3a3＋…＋na n之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(18)f′(x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率．（19）f′（x0）与［f（x0)］′表示的意义相同．()（20)已知函数f（x）＝x ln x，则f(x）在错误!上递减．（)（21)若函数f(x）在区间（a，b）上满足f′（x）≤0，则函数f(x）在区间(a，b)上是减函数．（)(22)f(x)在区间（a，b）上是增函数，则f′(x)>0在（a，b）上恒成立．(）（23)x＝0是函数f(x）＝x3的极值点．（）（24）对于可导函数f（x),“f′(x0）＝0"是“函数f（x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．()（25)函数的极大值一定大于其极小值．（）(26)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()（27）将函数y＝f(x）的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值．（)(28)当x>0时，ln x，x,e x的大小关系是ln x<x〈e x. (）(29)若函数f（x）＝x(x－a)2在x＝2处取得极小值，则a＝2或a＝6. ()（30）函数f(x）在区间(a,b）存在单调区间可转化为不等式f′(x）≤0(或f′（x）≥0）在区间(a,b)上有解问题。
精品解析：人教b版高中数学必修三同步测试：模块综合测评2(原卷版).docx
模块综合测评（二）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的）1. 在区间[0,2]之间随机抽取一个数兀则兀满足2x-l>0的概率为（3 1A. -B.- 4 22. 根据给出的程序框图，计算X-1）W ）=（）A令A. 0B. 1C. 2D.43. 有两张卡片,一张的正反面分别写着数字0与1,另一张的正反面分别写着数字2与3,将两张卡片排在一起 组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是（）4. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位:cm ）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在 [120,130）,[130,140）,[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为（ 函学*科*网…学*科*网…学*科*网…1 A.- 6 1 C.-2 1 B.3 3 D.-8 C.4 D. 55.设计一个计算1x3x5x7x9x11x13的算法.下而给出了程序的一部分，则在⑦处不能填入的数是（）S=1i=3while iv ①S=S* ii=i+2endSA.13B. 13.5C. 14D. 14.56.｛是Xl/2,.../100的平均数,d是X1,X2,...,^4O的平均数0是兀41*42,…闪00的平均数侧下列各式正确的是（）A.x=a+b—60a + 40bB.x = -----------100-40a + 60bC.x = -----------100a + bD.x =——27.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下表：经检验，这组样木数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数x与加工时间y这两个变量，下列判断正确的是（）A.成正相关，其回归直线经过点（30,75）B.成正相关，其回归直线经过点（30,76）C.成负相关，其回归直线经过点（30,76）D.成负相关，其回归直线经过点（30,75）8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入某个正整数〃后,输出的Se（31,72）,则的值为（）开始)—H| ]A. 5B. 6C. 7D. 89.从集合｛2,3,4,5｝中随机抽取一个数a,从集合｛1,3,5｝中随机抽収一个数方，则向量与向量n=(l,-l)S 直的概率为()1 1A. —B._6 31 1C. -D.—4 210.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情U受控制，以便向该地区居民显示可以过止常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人"，根据连续7天的新增病例数计算,下列各选项中，一定符合上述指标的是()(W均数衣3;②f示准差5<2;(W均数也3,且标准差定2;硯均数也3,且极差小于或等于2；m数等于1,且极差小于或等于1.A.①②B.③④C.③④⑤D.④⑤11.某算法的程序框图如图所示，该算法的功能是()(W)& ・1.S«Oj/输人正整數n/2辰刊/输出S /A.计算(1 +2°)+(2+2)+(3+22)+…+(卄1 +2")的值B.计算(1 +2*)+(2+22)+(3 +23)+... +(n+2n)的值C.计算(1 +2 +3 +... +«)+(2°+21+22+... +2W-')的值D.计算［1 +2+3 + …+(介1)］ +(2°+21 +2?+... +2")的值12.已知点为圆C:x2+y2=25 ±的任意两点，且|PQ|<6,若PQ屮点组成的区域为M,在圆C内任取一点侧该点落在区域M上的概率为()3 9A. -B.—52516 2C. —D.—25 5二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分,把答案写在题中的横线上)13.从编号为0丄2,…,79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本屮，则该样本中产品的最大编号为___ .14.记函数沧)=& + x・X?的定义域为D在区间卜4,5］上随机取一个数兀，则x^D的概率是___ .15.为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重.经统计，这批学生的体重数据(单位:千克)全部介于45至70之间.将数据分成以下5组涕1组［45,50),第2组［50,55),第3组［55,60),第4组［60,65),第5组［65,70］,得到如图所示的频率分布直方图.则―___ ，现采用分层抽样的方法，从第3,4,5组中随机抽取6名学生，则第3,4,5组抽取的学生人数依次为16.在一次演讲比赛屮,6位评委对一名选手打分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据A;(1</<4),在如图所示的程序框图中,&是这4个数据的平均数，则输出的v的值为_____ ‘三、解答题(本大题共6小题，共70分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 .兀的収值范围为{力0乂10},给出如图所示程序框图，输入一个数兀（1）请写出程序框图所表示的函数表达式；（2）求输出的）。
高中数学人教B版必修3章末综合测评2 Word版含解析
章末综合测评(二)(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).某学校为了调查高一年级的名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从到，抽取学号最后一位为的同学进行调查.则这两种抽样的方法依次是( ).分层抽样，简单随机抽样.简单随机抽样，分层抽样.分层抽样，系统抽样.简单随机抽样，系统抽样【解析】由抽样方法的概念知，第一种是简单随机抽样，第二种是系统抽样.【答案】.小波一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )图【解析】由题图②知，小波一星期的食品开支为元，其中鸡蛋开支为元，占食品开支的，而食品开支占总开支的，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为.【答案】.某同学使用计算器求个数据的平均数时，错将其中一个数据输入为，则由此求出的平均数与实际平均数的差是( ).－.－【解析】少输入，＝，平均数少，求出的平均数减去实际平均数等于－.【答案】.某校现有高一学生人，高二学生人，高三学生人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取个学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为人，那么从高三学生中抽取的人数应为( )【解析】由题意知抽取的比例为＝，故从高三中抽取的人数为×＝.【答案】.一个容量为的样本，其数据的分组与各组的频数如下：则样本数据在[)上的频率为( )【解析】频率为＝.【答案】.如图是一容量为的样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为( )。
2021-2022年高中数学 本册综合测试题(含解析)新人教B版必修3
2021-2022年高中数学本册综合测试题（含解析）新人教B版必修3一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列描述不是解决问题的算法的是( )A．从中山到北京先坐汽车，再坐火车B．解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1C．方程x2－4x＋3＝0有两个不等的实根D．解不等式ax＋3>0时，第一步移项，第二步讨论[答案]C[解析]因为算法是用来解决某一问题的程序或步骤，显然C不是，故选C.2．(xx·河南柘城四高高一月考)下列赋值语句正确的是( )A．S＝a＋1 B．a＋1＝SC．S－1＝a D．S－a＝1[答案]A[解析]赋值语句只能给某个变量赋值，不能给一个表达式赋值，故选A.3．(xx·湖北理，2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( ) A．134石B．169石C．338石D．1 365石[答案]B[解析]设这批米内夹谷约为x石，则依题意有x1 534＝28254，解得x≈169.故本题正确答案为B.4．(xx·湖南津市一中高一月考)200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50,70)的汽车大约有( )A．60辆B．80辆C．70辆D．140辆[答案]D[解析]时速在[50,70)的汽车大约有200×10×(0.03＋0.04)＝140辆．5．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4[19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18[27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12[35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( )A.16B．13C.12D．23[答案]B[解析]由条件可知，落在[31.5,43.5)内的数据有12＋7＋3＝22(个)，故所求的概率为2266＝13.6．将容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8个组，如下表：A．0.14 B．1 14C.0.03 D．3 14[答案]A[解析]第三组的频数为14，∴频率为14100＝0.14.7.(xx·山东威海一中高一期末测试)如图程序框图输出的结果为( )A.511B．513C.49D．613[答案]A[解析]循环一次，S＝0＋11×3＝13，k＝3；循环二次，S＝13＋13×5＝25，k＝5；循环三次，S＝25＋15×7＝37，k＝7；循环四次，S＝37＋17×9＝49，k＝9；循环五次，S＝49＋19×11＝511，k＝11，循环结束，输出S的值是511.8．某校在“创新素质实践行”活动中，组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，如图是将某年级60篇学生调查报告的成绩进行整理，分成5组画出的频率分布条形图．已知从左往右4个小组的频率分别是0.05,0.15,0.35,0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有(分数大于等于80分为优秀，且分数为整数)( )A．18篇B．24篇C.25篇D．27篇[答案]D[解析]由频率分布条形图知从左往右第5个小组的频率为0.15故优秀数为60×(0.3＋0.15)＝27.9.如图，圆C内切于扇形AOB，∠AOB＝π3，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为( )A.16B．13C.23D．34[解析]设圆O的半径为1，圆C的半径为r，如图所示，∵∠COB＝π6，∴OC＝2r，所以2r＋r＝1，所以r＝13，∴S圆C＝π9，又S扇形OAB＝12×π3×1＝π6，所以所求概率P＝π9π6＝23，故选C.10．如图是某次拉丁舞比赛七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1、a2，则a1、a2的大小关系是( )甲乙07954551844647m93A.a1>a2B．a2>a1C．a1＝a2D．无法确定[解析]去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙都有5组数据，此时甲、乙得分的平均数分别为a1＝1＋4＋5×35＋80＝84，a2＝6＋7＋4×35＋80＝85，所以a2>a1.11．某人从甲地去乙地共走了500 m，途经一条宽为x m的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里就能找到．已知该物品能被找到的概率为2425，则河宽为( )A．80 m B．20 mC．40 m D．50 m[答案]B[解析]这是一个与长度有关的几何概型，根据题意物品能找到的概率为500－x 500＝2425，解得x＝20，故选B.12．一个袋内装有大小相同的6个白球和5个黑球，从中随意抽取2个球，抽到白球、黑球各1个的概率为( )A.611B．15C.211D．110[解析]将6个白球编号为白1、白2、白3、白4、白5、白6,5个黑球编号为黑1、黑2、黑3、黑4、黑5.从中任取两球都是白球有基本事件15种，都是黑球有基本事件10种，一白一黑有基本事件30种，故基本事件共有15＋10＋30＝55种，设事件A＝{抽到白球、黑球各一个}，则P(A)＝3055＝611，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中的横线上．)13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为________．[答案]1 20[解析]简单随机抽样是等概率抽样，即每个个体在某次被抽到的概率为1 N(N指总体容量)，每个个体在整个抽样过程中被抽到的概率为nN(n指样本容量)．14．下列程序运行的结果是________．S＝1；i＝1；while i<10S＝S*i；i＝i＋2；endprint%io2，2*s；[答案] 1 890[解析]程序是计算2S的值，而S＝1×3×5×7×9＝945，∴2S＝1 890.15．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：队员i123456三分球个数a1a2a3a4a5a6如上图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填________，输出的s＝________.(注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”)[答案]i≤6，a1＋a2＋…＋a6[解析]考查读表识图能力和程序框图．因为是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所以图中判断框应填i≤6，输出的s＝a1＋a2＋…＋a6.16．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：归方程是y^＝－0.7x＋a^，则a^＝______.[答案] 5.25[解析]x－＝1＋2＋3＋44＝52，y－＝4.5＋4＋3＋2.54＝72.由线性回归方程知a^＝y－－(－0.7)·x－＝72＋710·52＝5.25.三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本题满分12分)某中学高中三年级男子体育训练小组xx年5月测试的50 m跑的成绩(单位：s)如下：6.4、6.5、7.0、6.8、7.1、7.3、6.9、7.4、7.5，设计一个算法，从这些成绩中搜索出小于6.8 s的成绩，并画出程序框图．[解析]算法步骤如下：S1 i＝1；S2 输入一个数据a；S3 如果a<6.8，则输出a，否则，执行S4；S4 i＝i＋1；S5 如果i>9，则结束算法，否则执行S2.程序框图如图：18．(本题满分12分)(xx·河北邯郸市高一期末测试)甲、乙两同学的6次考试成绩分别为：甲998997859599乙899390899290(1)(2)计算甲、乙两同学考试成绩的方差，并对甲、乙两同学的考试成绩做出合理评价．[解析](1)甲、乙两位同学六次考试成绩的茎叶图如图所示.甲乙59899957993020(2)x甲＝996＝94，x乙＝89＋93＋90＋89＋92＋906＝90.5，s2甲＝16[(99－94)2＋(89－94)2＋(97－94)2＋(85－94)2＋(95－94)2＋(99－94)2]＝272 3，s2乙＝16[(89－90.5)2＋(93－90.5)2＋(90－90.5)2＋(89－90.5)2＋(92－90.5)2＋(90－90.5)2]＝131 2 .故甲同学的平均水平要高于乙同学，但是甲同学的方差比乙同学的方差大，说明甲同学的发挥没有乙同学稳定．19．(本题满分12分)(xx·河南南阳市第一期末测试)一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品，现随机抽出2件产品，求：(1)恰好有一件次品的概率；(2)都是正品的概率；(3)抽到次品的概率．[解析]记4件正品分别为A、B、C、D,2件次品分别为e、f，从6件产品中抽取2件，其包含的基本事件有(A，B)、(A，C)、(A，D)、(A，e)、(A，f)、(B，C)、(B，D)、(B，e)、(B，f)、(C，D)、(C，e)、(C，f)、(D，e)、(D，f)、(e，f)，共有15种．(1)记“恰有1件次品”为事件M，事件M包含的基本事件有(A，e)、(A，f)、(B，e)、(B，f)、(C，e)、(C，f)、(D，e)、(D，f)，共有8个，∴P(M)＝815.(2)记“都是正品”为事件N，事件N包含的基本事件有(A，B)、(A，C)、(A，D)、(B，C)、(B，D)、(C，D)，共有6个，∴P(N)＝615＝25.(3)记“抽到次品”为事件R，事件R的对立事件是事件N，∴P(R)＝1－25＝35.20．(本题满分12分)在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：(2)估计纤度落在[1.38,1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？[解析](1)0)[1.50,1.54)20.02合计100 1.00(2)纤度落在[1.38,1.50)中的概率均为0.30＋0.29＋0.10＝0.69，纤度小于1.40的概率约为0.04＋0.25＋12×0.30＝0.44.21.(本题满分12分)一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺陷的零件数y(件)11985(1)(2)如果y 与x 有线性相关的关系，求回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的转运速度应控制在什么范围内？[解析] (1)画出散点图，如图所示：(2)x －＝12.5，y －＝8.25，∑i ＝14x i y i ＝438，∑i ＝14x 2i ＝660，∴b ^＝∑i ＝14x i y i －4x － y －∑i ＝14x 2i －4x －2＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.728 6，a ^＝y －－b ^x －≈8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5. 故回归直线方程为y ^＝0.728 6x －0.857 5. (3)要使y ≤10，则0.728 6x －0.857 4≤10，x ≤14.901 9.故机器的转速应控制在14.9转/秒以下．22.(本题满分14分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2 min的概率．(注：将频率视为概率)[解析](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9 (min)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2 min”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1 min”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5 min”，“该顾客一次购物的结算时间为2 min”．将频率视为概率得P(A1)＝15100＝320，P(A2)＝30100＝310，P(A3)＝25100＝14.因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2 min的概率为710.~39710 9B1E 鬞39795 9B73 魳<21573 5445 呅24167 5E67 幧30865 7891 碑33990 84C6 蓆20318 4F5E 佞29525 7355 獕* 24614 6026 怦NY。
数学人教B选修23模块综合测评B 含解析
模块综合测评（B）(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 如图所示，图中有5组数据，去掉___________组数据后(填字母代号)，剩下的4组数据的线性相关性最大()A．E B．C C．D D．A2．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用方法中，最为精确的是() A．三维柱形图B．二维条形图C．等高条形图D．独立性检验3．某地2014年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：数据，就业形势一定是()A．计算机行业好于营销行业B．建筑行业好于物流行业C．机械行业最紧张D．营销行业比贸易行业紧张4．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：()A ．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D ．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 C ．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D ．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关5．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )A ．40B ．74C ．84D ．2006．将二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法有( )种A ．A 37B ．A 66A 36C ．A 66A 37D ．A 77A 377．如图，△ABC 和△DEF 都是圆内接正三角形，且BC ∥EF ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在△ABC 内”，B 表示事件“豆子落在△DEF 内”，则P (B |A )等于( )A.334πB.32πC.13D.238．正态分布N 1(μ1，σ21)，N 2(μ2，σ22)，N 3(μ3，σ23)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图象如下图所示，则下列说法正确的是( )A ．μ1最大，σ1最大B ．μ3最大，σ3最大C ．μ1最大，σ3最大D ．μ3最大，σ1最大9．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.610．一名篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))．已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为()A.148 B.124 C.112 D.16二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．有4名男生，3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有________．12. 如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为____________.13．给出下列实际问题：①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有关系；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟人群是否与性别有关系；⑤上网与青少年的犯罪率是否有关系．其中，用独立性检验可以解决的问题有__________．14．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射14天后的结果如下表所示：进行统计分析，χ2＝________，两种剂量对小白鼠的致死作用__________．(填“相同”或“不相同”) 15．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(12分)研究某特殊药物有无副作用(比如服用后恶心)，给50个患者服用此药，给另外50个患者服用安慰剂，记录每类样本中出现恶心的数目如下表：17．(12分)某5名学生的总成绩与数学成绩如下表：(1)(2)求数学成绩对总成绩的回归方程；(3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩(参考数据：4822＋3832＋4212＋3642＋3622＝819 794,482×78＋383×65＋421×71＋364×64＋362×61＝137 760)．18．(12分)带有编号1,2,3,4,5的五个球．(1)全部投入4个不同的盒子里；(2)放进4个不同的盒子里，每盒一个；(3)将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)；(4)全部投入4个不同的盒子里，没有空盒．各有多少种不同的放法？19．(12分)已知(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9，求：(1)各项系数之和；(2)所有奇数项系数之和；(3)系数绝对值的和；(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和．20．(13分)某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试的成绩(满分100分)，如下表所示：(1)根据上表完成下面的2×2列联表(单位：人)：(2)21．(14分)一次小测验共有3道选择题和2道填空题，每答对一道题得20分，答错或不答得0分．某同学答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.5，各道题答对与否互不影响．(1)求该同学恰好答对2道选择题和1道填空题的概率；(2)求该同学至多答对4道题的概率；(3)若该同学已经答对了两道填空题，把他这次测验的得分记为X，求X的分布列及数学期望．参考答案1．答案：A2．解析：前三种方法只能直观地看出两个分类变量x 与y 是否相关，但看不出相关的程度．独立性检验通过计算得出相关的可能性，较为准确．答案：D3．解析：建筑行业的比值小于65 28076 516，物流行业的比值大于74 57070 436，故建筑好于物流．答案：B4．解析：根据临界值表，9.643＞7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．答案：D5．解析：分三类：第一类：前5个题目的3个，后4个题目的3个， 第二类：前5个题目的4个，后4个题目的2个，第三类：前5个题目的5个，后4个题目的1个，由分类加法计数原理，得考生答题的不同选法的种类数是C 35C 34＋C 45C 24＋C 55C 14＝74.答案：B6．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝C r 82r ·1634r x -，r ＝0,1,2，…，8.当16－3r4为整数时，r ＝0,4,8.所以展开式共有9项，其中有有理项3项，先排其余6项有A 66种排法，再将有理项插入形成的7个空当中，有A 37种方法．所以共有A 66A 37种排法．答案：C7．解析：如图所示，作三条辅助线，使辅助线平行于三角形的对应边，根据已知条件可得这些小三角形全等，所以所求概率为69＝23.答案：D8．解析：在正态分布N (μ，σ2)中，x ＝μ为正态曲线的对称轴，结合图象可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形状：σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．故由图象知σ1最大．答案：D9．解析：由已知得E (ξ)＝6，D (ξ)＝2.4，所以E (η)＝8－E (ξ)＝2，D (η)＝(－1)2D (ξ)＝2.4. 答案：B10．解析：由已知，得3a ＋2b ＋0×c ＝2，即3a ＋2b ＝2， 所以ab ＝16×3a ×2b ≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b 22＝16.答案：D11．解析：先从3名女生中选出2名捆绑，再用插空法，不同的排法种数有A 44·A 23·A 25＝2 880.答案：2 88012．解析：理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则灯亮应为事件AC B ，且A ，C ，B 之间彼此独立，且P(A)=P(B )=P(C)= 12.所以P(A B C)=P(A)P(B )P(C)=18. 答案：1813．解析：独立性检验主要是对两个分类变量是否有关系进行检验，主要涉及两种变量对同一种事情的影响，或者是两种变量在同一问题上体现的区别等．答案：②④⑤14．答案：H 0：小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关 5.33 不相同 15．解析：由题意父亲身高x cm 与儿子身高y cm 对应关系如下表：则x ＝173＋170＋1763＝173，y ＝170＋176＋1823＝176，∑3i ＝1(x i －x )(y i －y )＝(173－173)×(170－176)＋(170－173)×(176－176)＋(176－173)×(182－176)＝18，∑3i ＝1(x i －x )2＝(173－173)2＋(170－173)2＋(176－173)2＝18. 所以b ^＝1818＝1.所以a ^＝y －b ^ x ＝176－173＝3.所以线性回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^＝x ＋3.所以可估计该老师他的孙子身高为182＋3＝185(cm)． 答案：18516．解：由题意，问题可以归纳为独立检验假设H 1：服该药物与服用后恶心独立．为了检验假设，计算统计量χ2＝100×(15×46－4×35)250×50×19×81≈7.86>6.635.故拒绝H 1，即不能认为药物无恶心副作用，也可以说，有99%的把握认为该药物有恶心的副作用．17．解：(1)散点图如图所示：(2)设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x y ∑5i ＝1x 2i －5x2＝137 760－5×3395×2 0125819 794－5×⎝⎛⎭⎫2 01252≈0.132，a ^＝y －b ^x ≈3395－0.132×2 0125＝14.683 2， 所以回归方程为y ^＝14.683 2＋0.132x .(3)当x ＝450时，y ^＝14.683 2＋0.132×450＝74.083 2≈74， 即数学成绩大约为74分．18．解：(1)由分步乘法计数原理知，五个球全部投入4个不同的盒子里共有45种放法．(2)由排列数公式知，五个不同的球放进4个不同的盒子里(每盒一个)共有A 45种放法． (3)将其中的4个球投入一个盒子里共有C 45C 14种放法．(4)全部投入4个不同的盒子里(没有空盒)共有C 25A 44种不同的放法．19．解：(1)令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (2)由(1)知，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1.令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59. 将两式相加，可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12.(3)方法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59.方法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9的展开式中各项的系数和，令x ＝1，y ＝1，得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59.(4)奇数项的二项式系数之和为C 09＋C 29＋…＋C 89＝28. 偶数项的二项式系数之和为C 19＋C 39＋…＋C 99＝28.20．解：(1)填写2×2列联表(单位：人)如下：(2)由列联表中的数据，得 χ2＝20×(5×12－1×2)27×13×6×14≈8.802>6.635.因此有99%的把握认为学生的数学成绩与物理成绩有关系．21．解：(1)P ＝C 23×⎝⎛⎭⎫452×15×C 12×⎝⎛⎭⎫122＝24125. (2)该同学至多答对4道题的概率为1－⎝⎛⎭⎫453×⎝⎛⎭⎫122＝109125. (3)X 的可能取值为40,60,80,100. P (X ＝40)＝⎝⎛⎭⎫153＝1125， P (X ＝60)＝C 13×45×⎝⎛⎭⎫152＝12125， P (X ＝80)＝C 23×⎝⎛⎭⎫452×15＝48125， P (X ＝100)＝⎝⎛⎭⎫453＝64125. 所以X 的分布列为E (X )＝40×1125＋60×12125＋80×48125＋100×64125＝88.。
2021年新教材高中数学模块综合测评1含解析人教B版选择性必修三
模块综合测评(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( ) A ．它的首项是－2，公差是3 B ．它的首项是2，公差是－3 C ．它的首项是－3，公差是2 D ．它的首项是3，公差是－2A [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝10，S 3＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10，3a 1＋3×22×d ＝3，解得a 1＝－2，d ＝3.]2.2＋1与2－1的等比中项是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D.12C [设x 为2＋1与2－1的等比中项，则x 2＝(2＋1)(2－1)＝1，∴x ＝±1.] 3．一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，则a ＝( ) A.12 B.13C ．2D ．3 D [由s ＝at 2＋1得v (t )＝s ′＝2at ，依题意v (2)＝12，所以2a ·2＝12，得a ＝3.] 4．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝x －4 C ．y ＝7x ＋2D ．y ＝x －2D [y ′|x ＝－1＝(4－3x 2)|x ＝－1＝1，∴切线方程为y ＋3＝x ＋1，即y ＝x －2.]5．在等差数列{a n }中，a 5，a 10是方程x 2－10x －6＝0的两个根，则{a n }的前14项和为( ) A ．55 B ．60 C ．65 D ．70D [∵在等差数列{a n }中，a 5，a 10是方程x 2－10x －6＝0的两个根，∴a 5＋a 10＝10， ∴{a n }的前14项和S 14＝142(a 1＋a 14)＝7(a 5＋a 10)＝7×10＝70.故选D.]6．已知等比数列{a n }(a 1≠a 2)的公比为q ，且a 7，a 1，a 4成等差数列，则q 等于( ) A ．1或－32 B ．－32 C.32D ．1B [在等比数列{a n }中，由a 1≠a 2，得q ≠1， 因为a 7，a 1，a 4成等差数列，所以a 7＋a 4＝2a 1，即a 4(q 3＋1)＝2a 4q 3，所以q 6＋q 3－2＝0，解得q 3＝1(舍)或q 3＝－2.所以q ＝－32.]7．下列函数中，x ＝0是其极值点的函数是( ) A ．f (x )＝－x 3 B ．f (x )＝－cos x C ．f (x )＝sin x －xD ．f (x )＝1xB [对于A ，f ′(x )＝－3x 2≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于B ，f ′(x )＝sin x ，当x ∈(－π，0)时，f ′(x )<0，当x ∈(0，π)时，f ′(x )>0，故f (x )＝－cos x 在x ＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x ＝0是f (x )的一个极小值点；对于C ，f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于D ，f (x )＝1x 在x ＝0处没有定义，所以x ＝0不可能成为极值点．综上可知，答案选B.]8．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．3(3n －2n )B ．3n ＋2nC ．3nD ．3·2n －1C [由S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)可得S n －1＝32(a n －1－1)(n ≥2，n ∈N *)，两式相减可得a n ＝32a n－32a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝3a n －1(n ≥2，n ∈N *)．又a 1＝S 1＝32(a 1－1)，解得a 1＝3，所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，则a n ＝3n .]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若物体的运动规律是s ＝f (t )，则物体在时刻t 0的瞬时速度可以表示为( ) A ．li m Δt →0f (t 0＋Δt )－f (t 0)ΔtB ．li m Δt →0f (t 0)－f (t 0＋Δt )ΔtC ．f ′(t 0)D ．f ′(t )AC [物体在时刻t 0的瞬时速度，即为该点处的导数，故选AC.]10．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 3＝2a 1，则下列结论正确的是( ) A ．a 4＝0 B ．S 4＝S 3C ．S 7＝0D ．{a n }是递减数列ABC [设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝2a 1，得3a 1＋3d ＝2a 1，即a 1＋3d ＝0，所以a 4＝0，S 4＝S 3，S 7＝7a 1＋21d ＝7(a 1＋3d )＝0，故选项A ，B ，C 正确．]11．等差数列{a n }的公差d <0，且a 21＝a 211，则数列{a n }的前n 项和S n 取最大值时的项数n可能是( )A ．4B ．5 C. 6 D ．7BC [由题设可知a 1＝－a 11，所以a 1＋a 11＝0，所以a 6＝0.因为d <0，故a 5>0，a 7<0，所以n ＝5或6.]12．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图像恰好经过k 个格点，则称函数为k 阶格点函数．已知函数：①y ＝sin x; ②y ＝cos；③y ＝e x －1；④y ＝x 2.其中为一阶格点函数的序号有( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④AC [对于①，注意到y ＝sin x 的值域是[－1,1]；当sin x ＝0时，x ＝k π(k ∈Z )，此时相应的整数x ＝0；当sin x ＝±1时，x ＝k π＋π2(k ∈Z )，此时没有相应的整数x ，因此函数y ＝sin x 仅过唯一的整点(0,0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y ＝cos不是一阶格点函数．对于③，令y ＝e x －1＝k (k ∈Z )得e x ＝k ＋1>0，x ＝ln(k ＋1)，仅当k ＝0时，x ＝0∈Z ，因此函数y ＝e x －1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y ＝x 2的图像经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数y ＝x 2不是一阶格点函数．综上所述知选AC.]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则公比q ＝________，S 6等于________．(本题第1空2分，第2空3分)－2218 [∵{a n }为等比数列，∴a 8＝a 5q 3，∴q 3＝16－2＝－8，∴q ＝－2. 又a 5＝a 1q 4，∴a 1＝－216＝－18，∴S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝－18[1－(－2)6]1＋2＝218.]14．已知f (x )＝x (2 019＋ln x )，f ′(x 0)＝2 020，则x 0＝________. 1 [f ′(x )＝2 019＋ln x ＋1＝2 020＋ln x ， 又∵f ′(x 0)＝2 020，∴f ′(x 0)＝2 020＋ln x 0＝2 020，则ln x 0＝0，x 0＝1.]15．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n (2n －1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝________. 10 [观察可知a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝2，…，a 9＋a 10＝2，故a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝10.] 16．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>12，则满足2f (x )<x ＋1的x 的集合为________．{x |x <1} [令g (x )＝2f (x )－x －1.因为f ′(x )>12，所以g ′(x )＝2f ′(x )－1>0.所以g (x )为单调增函数．因为f (1)＝1，所以g (1)＝2f (1)－1－1＝0.所以当x <1时，g (x )<0，即2f (x )<x ＋1.]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．[解] 由题意，设这三个数分别是a q ，a ，aq ，且q ≠1，则aq ＋a ＋aq ＝114.①令这个等差数列的公差为d ，则a ＝aq ＋(4－1)·d,∴d ＝13⎝⎛⎭⎫a －a q . 又有aq ＝a q ＋24×13×⎝⎛⎭⎫a －a q ，② 由②得(q －1)(q －7)＝0，∵q ≠1，∴q ＝7， 代入①得a ＝14，则所求三个数为2,14,98.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a 23x 3－2ax 2＋bx ，其中a 、b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为3.(1)求b 的值；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，求a 的值．[解] (1)f ′(x )＝a 2x 2－4ax ＋b ，由题意得f ′(0)＝b ＝3.∴b ＝3. (2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极大值， ∴f ′(1)＝a 2－4a ＋3＝0，解得a ＝1或a ＝3. ①当a ＝1时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)，x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：②当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－12x ＋3＝3(3x －1)(x －1)， x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：综上所述，若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，a 的值为1. 19．(本小题满分12分)求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．[解] 当a ＝0时，S n ＝1.当a ＝1时，S n ＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝(1＋2n －1)n 2＝n 2.当a ≠0且a ≠1时，S n ＝1＋3a ＋5a 2＋…＋(2n －3)a n －2＋(2n －1)a n －1， aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)a n －1＋(2n －1)a n ， 两式相减，有(1－a )S n ＝1＋2a ＋2a 2＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ＝1＋2a (1－a n －1)1－a －(2n －1)a n ，此时S n ＝2a (1－a n －1)(1－a )2＋a n ＋1－2na n1－a . 当a ＝0时，也满足此式．综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，a ＝1，2a (1－an －1)(1－a )2＋a n ＋1－2na n1－a，a ≠1.20．(本小题满分12分)某个体户计划经销A ，B 两种商品，据调查统计，当投资额为x (x ≥0)万元时，在经销A ，B 商品中所获得的收益分别为f (x )万元与g (x )万元，其中f (x )＝a (x －1)＋2，g (x )＝6ln(x ＋b )(a ＞0，b ＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a ，b 的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．[解] (1)由投资额为零时收益为零，可知f (0)＝－a ＋2＝0，g (0)＝6ln b ＝0， 解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)可得f (x )＝2x ，g (x )＝6ln (x ＋1)．设投入经销B 商品的资金为x 万元(0＜x ≤5)，则投入经销A 商品的资金为(5－x )万元， 设所获得的收益为S (x )万元，则S (x )＝2(5－x )＋6ln (x ＋1)＝6ln (x ＋1)－2x ＋10(0＜x ≤5)． S ′(x )＝6x ＋1－2，令S ′(x )＝0，得x ＝2.当0＜x ＜2时，S ′(x )＞0，函数S (x )单调递增； 当2＜x ≤5时，S ′(x )＜0，函数S (x )单调递减．所以，当x ＝2时，函数S (x )取得最大值，S (x )max ＝S (2)＝6ln 3＋6≈12.6万元． 所以，当投入经销A 商品3万元，B 商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－2，且满足S n ＝12a n ＋1＋n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝log 3(－a n ＋1)，设数列的前n 项和为T n ，求证：T n <34.[解] (1)由S n ＝12a n ＋1＋n ＋1(n ∈N *)，得S n －1＝12a n ＋n (n ≥2，n ∈N *)，两式相减，并化简，得a n ＋1＝3a n －2，即a n ＋1－1＝3(a n －1)． 因为a 1－1＝－2－1＝－3≠0，所以{a n －1}是以－3为首项，3为公比的等比数列， 所以a n －1＝(－3)·3n －1＝－3n ，故a n ＝－3n ＋1.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－62x ＋3. 令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞，2－1)时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )<0，f (x )在(2－1，2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数． (2)由f (2)≥0，得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈[2，＋∞)时， f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝⎛⎭⎫x 2－52x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫x －12·(x －2)>0， 所以f (x )在[2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－54，＋∞.。
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模块综合测评(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 8＝12，则公比q ＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12C [因为{a n }为等比数列，a 5＝4，a 8＝12，所以a 8＝a 5q 3，即12＝4q 3，解得q ＝12.故选C.]2．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k 1、k 2，则k 1、k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定A [y ＝sin x ，y ′＝cos x ，∴k 1＝cos 0＝1，k 2＝cos π2＝0，k 1>k 2.]3．已知函数f (x )＝x 2＋2f ′(1)ln x ，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 D [f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)x ，令x ＝1得f ′(1)＝2×1＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－2.即曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率k ＝－2，故选D.]4．已知{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9的值是( ) A ．24 B ．27 C ．30 D ．33D [根据等差数列的性质可知a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9也成等差数列，故a 3＋a 6＋a 9＝2×39－45＝33.故选D.]5．等比数列{a n }满足a 2＋8a 5＝0，设S n 是数列的前n 项和，则S 5S 2＝( )A ．－11B ．－8C ．5D ．11A [由a 2＋8a 5＝0得a 1q ＋8a 1q 4＝0，解得q ＝－12.易知是等比数列，公比为－2，首项为1a1，所以S2＝1a1[1－(－2)2]1－(－2)＝－1a1，S5＝1a1[1－(－2)5]1－(－2)＝11a1，所以S5S2＝－11，故选A.]6.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是()A B C DD[观察导函数f′(x)的图像可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A，C.如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x2>0，故选项D正确，故选D.]7．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，则a p－a q等于()A．10 B．15 C．－5 D．20D[因为S n＝2n2－3n(n∈N*)，所以a n＝S n－S n－1＝4n－5(n≥2)．又a1＝S1＝－1，适合上式，所以数列{a n}的通项公式为a n＝4n－5(n∈N*)．于是a p－a q＝4(p－q)＝20.故选D.] 8．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其大意为：有个女子不善织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布()A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺B[由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{a n}，其中a1＝5，a30＝1，∴S30＝30×(5＋1)2＝90，即共织布90(尺)．故选B.]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则()A．a＝－3 B．a＝3C. b ＝24D. b ＝－24AD [由题意知，－2,4是函数f ′(x )＝0的两个根，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，所以⎩⎨⎧－2＋4＝－2a 3，－2×4＝b 3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－24.故选AD.] 10．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么( )A.x ＝1 B ．y ＝58C ．z ＝38D ．m ＝5ABC [由表格知，第三列为首项为4，公比为12的等比数列，∴x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5，52，故第四列所成的等比数列的公比为12，∴y ＝5×⎝⎛⎭⎫123＝58，同理z ＝6×⎝⎛⎭⎫124＝38，故选ABC.]11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 2 020>0，S 2 021<0，则下列说法正确的是( ) A ．S 1 010最大 B ．|a 1 010|>|a 1 011| C ．a 1 011>0D ．数列中绝对值最小的项为a 1 011ABD [∵S 2 020>0，S 2 021<0, ∴2 020(a 1＋a 2 020)2>0，2 021(a 1＋a 2 021)2＝2 021a 1 011<0，∴a 1 010＋a 1 011>0，a 1 011<0，可得a 1 010>0，a 1 011<0，|a 1 010|>|a 1 011|，故A ，B 都正确，C 错误，由等差数列的单调性即可得出：此数列中绝对值最小的项为a 1 011，故D 正确．故选ABD.]12．设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是( )A ．a ＝－3，b ＝－3B ．a ＝－3，b ＝2C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝0，b ＝2ACD [令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，求导得f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0，所以f (x )单调递增，且至少存在一个数使f (x )<0，至少存在一个数使f (x )>0，所以f (x )＝x 3＋ax ＋b 必有一个零点，即方程x 3＋ax ＋b ＝0仅有一根，故CD 正确；当a <0时，若a ＝－3，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，易知，f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在[－1,1]上单调递减，所以f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要使方程仅有一根，则f (x )极大＝b ＋2<0或者f (x )极小＝b －2>0，解得b <－2或b >2，故A 正确．所以使得三次方程仅有一个实根的是ACD.]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.1 [设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则－1＋3d ＝－q 3＝8， 解得q ＝－2，d ＝3，那么a 2b 2＝－1＋32＝1.]14．曲线y ＝cos x －x2在点(0,1)处的切线方程为________．y ＝－12x ＋1 [y ′＝－sin x －12，将x ＝0代入，可得切线斜率为－12.所以切线方程为y －1＝－12x ，即y ＝－12x ＋1.]15．已知三次函数 f (x )过原点，且当x ＝1时，有极大值4；当x ＝3时，有极小值0，则函数 f (x )＝__________________________.x 3－6x 2＋9x [设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， ∵函数图像过原点，∴d ＝0，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0f ′(3)＝0f (1)＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝027a ＋6b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－6c ＝9，∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x .]16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n，…，若S k ＝14，则k ＝________，a k ＝________.(本题第1空2分，第2空3分)7 78 [因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列， 所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n4.令T n ＝n 2＋n 4＝14，解得n ＝7，所以a k ＝78.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，a 3＝5，S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，10a 1＋10×92d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝2a n ＋2n ＝12×4n ＋2n ，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12(4＋42＋…＋4n )＋2(1＋2＋…＋n )＝4n ＋1－46＋n 2＋n ＝23×4n ＋n 2＋n －23.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围． [解] (1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x, f ′(2)＝(2a －1)e 2. 由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x .若a >1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在x ＝1处取得极小值． 若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0，所以f ′(x )>0. 所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．19．(本小题满分12分)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c ，求非零常数c .[解] (1) ∵{a n }为等差数列，∴ a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22， 又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根． 又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12(c ＝0舍去)．20．(本小题满分12分)某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和，(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额72万元)．(1)该厂从第几年开始盈利？(2)该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值． [解] (1)由题意知f (n )＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n (n －1)2×4－72＝－2n 2＋40n －72. 由f (n )＞0，即－2n 2＋40n －72＞0，解得2<n <18， 由n ∈N *知，从第三年开始盈利．(2)年平均纯利润f (n )n ＝40－2⎝⎛⎭⎫n ＋36n ≤16，当且仅当n ＝6时等号成立． 即第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值为16万元．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2＋2kn (k ∈N *)，且S n 的最大值为4.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝5－a n2n ，求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)由题意知，当n ＝－2k2×(－1)＝k 时，S n 取得最大值4，所以－k 2＋2k ·k ＝k 2＝4，解得k ＝2或k ＝－2(舍去)，所以S n ＝－n 2＋4n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝5－2n .经验证n ＝1时也符合该式． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝5－2n (n ∈N *)． (2)由(1)知b n ＝n2n －1.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝120＋221＋322＋423＋…＋n2n －1，12T n ＝121＋222＋323＋424＋…＋n 2n ，22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)．(1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间．[解] (1)当k ＝2时，f (x )＝ln (1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x.所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )＞0；在区间(0，＋∞)上，f ′(x )＜0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)． 当0＜k ＜1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk ＞0.所以，在区间(－1,0)和⎝⎛⎭⎪⎫1－k k ，＋∞上，f ′(x )＞0；在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，1－k k 上，f ′(x )＜0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k k ，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1－k k .当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x.故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)． 当k ＞1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1－k k 和(0，＋∞)上，f ′(x )＞0；在区间⎝⎛⎭⎪⎫1－k k ，0上，f ′(x )＜0.故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1－k k 和(0，＋∞)，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1－k k ，0.。