高等数学证明题练习一

高等数学证明题练习一

高等数学证明题练习一

1. 设lim n →∞x n =a >0, 利用极限定义证明lim n →∞x n +1/x n =1.

2. 设函数f (x ) 在x =a 处连续，且lim x →a f (x ) /(x −a ) =A, 证明：f (x ) 在点x =a 处可导.

3. 设函数f (x ) 在区间[a, b ]上积分，且F (x ) =

(a)函数F (x ) 为连续函数；

(b)当f (x ) 在点x 处连续时，F (x ) 在点x 处必定可导，且F ′(x ) =

f (x ) .

4. 设F (x, y ) =f (y −x ) /(2x ) 及F (1, y ) =y 2/2−y +

5. 设x

0>0, x n =F (x n −1, 2x n −1) , n =1, 2, ···. 证明：

(a)对任意k, 有lim

y →0x →0y =kx →0∫x 0f (t ) d t. 证明：f (x, y ) =0; (b)lim x →0f (x, y ) =0.

5. (a)设f (x, y ) 是区域D :x 2+y 2≤t 2上的连续函数. 证明

∫∫1lim f (x, y ) d x d y =f (0, 0) ; t →0+πt2D

(b)设f (x, y ) 是定义在区域D :0≤x ≤1, 0≤y ≤1上的二元函数，

f (0, 0) =0, 且在点(0, 0) 处f (x, y ) 可微分. 证明

∫x 2∫√d t x f (t, u ) d u ∂f 0 (0, 0) ; lim +=−x 2−x →0∂y1−e (c)设函数f (x, y ) 在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值

恒为零. 证明

−1lim ε→0+2π∫∫D ′′xf x +yf y d x d y =f (0, 0) , x 2+y

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