概率论与数理统计课件 7.2估计量优劣性的评价

的估计量。
X
1 n
n i 1
Xi
2
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
矩法估计：以样本k阶矩作为总体k阶矩的估计量。
Vk (1,2 ,
,m )
1 n
n i 1
Xik
(k 1, 2, , m)
或 Uk (1,2,
,m )
1 n
n i 1
(Xi
X )k
(k 1, 2,
, m)
极大似然估计：最能产生观测值(x1, …xn)的参数值
lim P( X ) 0
n
（2）M k
1 n
n i 1
X
k i
EM k
1 n
n i 1
EX
k i
EX k
Var[Mk ]
1 n2
i
n 1
Var[Xik
]
Var[X n
k
]
根据切比雪夫不等式
P{ M k
EM k
}
Var[M
2
k
]
Var[Xk
2n
]
lim n
P{ M k
EX
k
} 0
估计量优劣性的评价
标准:无偏性、有效性、相合性*、充分性与完备性*
有效性
由于方差是度量随机变量X落在它的均值E[X]的邻域内 的集中或分散程度的。所以一个好的估计量，不仅应该 是待估参数θ的无偏估计，而且应该有尽可能小的方差。
设 是 的无偏估计量，当样本容量n固定时，使 E( )2 达到最小的 称为 的有效估计 比较：若 E(1 )2 E(2 )2 ，则 1 比 2 有效。
顺序统计量估计：用样本中位数和极差估计期望和标准差
比较
一、矩估计法（包含数字特征法） 直观意义比较明显，但要求总体k阶矩存在。
二、极大似然估计法。 具有理论上的优点，似然函数唯一。如果参数连续
取值，可用求导；但若参数不连续取值，求法复杂。 三、顺序统计量法
使用起来无条件限制，无需多大计算，但准确度 不高。
n
设总体X的数学期望E[X]＝与方差Var[X]＝ 2
都存在，X 1
,
X
2
,
,
X
是X的样本。
n
下面证明：
1)、样本均值X是的一致估计量。
2)、样本的k阶原点矩M k是总体的k阶原点矩 EX k的一致估计量。
3)、样本方差S 2是 2的一致估计量。
证明（1）
{Xn} 独立同分布 由辛钦大数定理，有
n
n
例如 X 及 ai X i（其中 ai 1）都是E[X]的无偏
i1 n
i 1
估计，但 X 比 ai X i 有效。
i 1
因为 E X EX 2 E X EX 2 DX DX
E
n i 1
ai X i
EX
2
E
n i1
ai X i
E
n i 1
n ai X i
2
定义 设总体X FX , , 。并设T X1, X 2, , X n
为g( )的估计量，如对>0有
lim
n
P(
T
X1,
X
Leabharlann Baidu
2
,
, Xn g( ) ) 0,
称T X1, X 2, , X n 是g( )的一致估计量或相合估计量。
注意：
lim P(ˆ ) 1
n
lim P(ˆ ) 0
顺序统计量估计
总体是连续型随机变量且分布密度对称时，总体中
位数就是均值。此时可用样本中位数估计总体均值，
用样本极差估计总体标准差。
EˆX X
Var X RnX
中位数和极差的分布难以得到，不能把握估计的偏差 很少使用
参数估计的点估计方法小结
数字特征法：以样本均值、方差作为总体期望、方差
n D i1
ai Xi
n i1
ai2D( Xi )
n
D( X ) ai2
i 1
1 n
D(X )n
n i 1
ai2
1 n
D( X
)
n i 1
ai
2
1 D(X ) n
算术平均≤几何平均
一致最小方差无偏估计量
1. 要求无偏 2. 最有效
定义：设总体X~FX(·,θ).若T0(X1, …Xn)为g(θ)的无 偏估计量，且对g(θ)的任意无偏估计量T(X1, …Xn)， 都有
Var [T0 ] Var [T ]
则称T0(X1, …Xn)为g(θ)的一致最小方差无偏估计量
注意：没有普遍可行的构造办法
相合性
我们不仅希望一个估计是无偏的，且具 有较小的方差，有时还希望当子样容量无限增 大时，即观察次数无限增多时，估计能在某种 意义下越来越接近被估计的参数的真实值，这 就是所谓一致性的要求。