2019年全国高考理科数学数学分类汇编---排列组合二项式定理

2019年全国高考理科数学分类汇编——排列组合二项式定理

1.（2019全国1卷理科）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A. 516

B. 1132

C. 2132

D. 1116

【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．

【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻

情况有3

6

C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ． 【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．

2.（2019全国3卷理科）（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为

A. 12

B. 16

C. 20

D. 24

【答案】A

【解析】

【分析】

本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．

【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．

【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．

3.（2019江苏卷）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N ….已知23242a a a =.

（1）求n 的值；

（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值.

【答案】（1）5n =；

（2）-32.

【解析】

【分析】

(1)首先由二项式展开式的通项公式确定234,,a a a 的值，然后求解关于n 的方程可得n 的值；

(2)解法一：利用(1)中求得的n 的值确定有理项和无理项从而可得a ,b 的值，然后计算223a b -的值即可；

解法二：利用(1)中求得的n 的值，由题意得到(5

1-的展开式，最后结合平方差公式即可确定223a b -的值.

【详解】（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥，， 所以2

323(1)(1)(2)C ,C 26

n n n n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24n n n n n a ---==． 因为23242a a a =， 所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224

n n n n n n n n n ------=⨯⨯， 解得5n =．

（2）由（1）知，5n =．

5(1(1n +=+

02233445555555

C C C C C C =++++

a =+

解法一：

因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，

从而222237634432a b -=-⨯=-．

解法二：

50122334455555555

(1C C (C (C (C (C (=+++++

02233445555555C C C C C C =--+-．

因为*,a b ∈N ，所以5(1a -=-．

因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．

【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.

4.（2019天津卷理科）83128x x ⎛⎫- ⎪⎝

⎭是展开式中的常数项为________. 【答案】28

【解析】

【分析】

根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r 的值，再求出其常数项。 【详解】8848418831(2)()(1)28r r r r r r r r T C x C x x

---+=-=-， 由840r -=，得2r =，

所以的常数项为228(1)28C -=.

【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的。

5.（2019浙江卷）在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.

【答案】 (1). (2). 5

【解析】

【分析】

本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.

【详解】9)x 的通项为919(0,1,29)r r r r T C x r -+==

可得常数项为0919T C ==

因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项

【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.

6.（2019上海春季高考）在6

x

⎛ ⎝的二项展开式中，常数项的值为__________ 答案：15

7.（2019上海春季高考）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）

答案：24

解析：在五天里，连续连续2天，一共有4种，剩下的3人排列，

故一共有：33424P ⨯=种.