相似三角形专题复习
微专题16 相似三角形之五大模型++++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
过一个直角顶点向两边作垂线,得到△PGE∽△PHF
29
【针对训练】
14.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,在Rt△MPN中,∠MPN=90°,点P在AC
3
上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP=_______.
30
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,直角∠MON的顶点O在AB上,OM,
微专题16
相似三角形
之五大模型
2
模型1
特点
A字型(公共顶角)
两个三角形有一个公共角∠BAC,或者有DE∥BC,或者DE与BC不平行,
有∠ABC=∠AED
示例
思路 △ADE∽△ABC或△AED∽△ABC.如果没有明确说明对应关系,就应分
结论 以上两种情况讨论
3
【针对训练】
1.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,E,F分别为AC,BC的中点,连接EF,H为AE的中点,
1
ON分别交CA,CB于点P,Q,∠MON绕点O任意旋转.当 = 时, 的值为______;当
2
1
= 时, 的值为______.(用含n的式子表示)
31
16.(2024·青岛市南区二模)如图,点F在四边形ABCD的边AB上,
(1)如图1,当四边形ABCD是正方形时,过点B作BE⊥CF,垂足为O,交AD于点E.则BE
∴∠PBG=180°-∠ABC=90°,
∴∠PBG=∠POC=90°,
∵∠BPG=∠OPC,
∴△BPG∽△OPC,
∴ = ,
相似形与相似三角形专题复习(精编题目)说课讲解
第一节：相似形与相似三角形基本概念：1. 相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。
2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
1 •几个重要概念与性质(平行线分线段成比例定理)(1) 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例已知 a // b // c,(2 )推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.(3)推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例•那么这条直 线平行于三角形的第三边•此定理给出了一种证明两直线平行方法，即：利用比例式证平行线•(4) 定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截的三角形的三边与原三角形三边对应成 比例•(5 ［①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
a c②比例线段：四条线段 a , b , c , d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即一=—，那么这四条b d线段a, b , c , d 叫做成比例线段，简称比例线段。
2 •比例的有关性质精品文档AB 可得BCDEf AB 或EF ACDE 或 BCDF 或 ABDF 或 AC 評DE EF 等.AD AE 亠 BD或 由 DE // BC 可得：DB EC ADAC•此推论较原定理应用更加广泛，条件是平行 ①比例的基本性质:如果②合比性质：如果③等比性质：如果a cad=bc 。
如果 ad=bc (a , b , c , d 都不等于 0),那么一 一。
b da b c 那么 -d b cm …a c ??? m a = ???=(b+d+???+ n 半 0)，那么——dnb d ??? nb-，那么da bb ④b 是线段a 、d 的比例中项，贝U b 2= ad.典例剖析例1:①在比例尺是 1 : 38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm,则它的实际长度约为Km ②若a=-则9 b= .b 3b③若a 2b9U2a b53 •相似三角形的判定(1) 如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的专题复习课
αα6600°°
EEE
6α6α00°°
CCC
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与
CB边上的点E重合，若A善D于=1在0复, A杂B图=形8,
则EF=___5___
中寻找基本型
D
A
F
C
EE
B
2.已知：D为BC上一点， ∠B= ∠C= ∠EDF=60°, BE=6 , CD=3 , CF=4 ,
长线于点E.
求证：OC2＝OA·OE.
旋转型
例3. D为△ABC内的一点，E为△ABC外的一点，且∠1＝
∠2，∠3＝∠4.
求证：(1)△ABD∽△CBE；
(2)△ABC∽△DBE.
证明：(1)∵∠1＝∠2，∠3＝∠4(已知)， ∴△ABD∽△CBE.
双垂直型 例4：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于 点D.
A
D E
解:∵∠AED=∠B, ∠A=∠A
∴△AED∽ △ABC（两角对 应相等，两三角形相似）
B
C
∴ AD DE
AC BC
∴ AD·BC=AC·DE
练1．如图所示,当满足下列条件之一时，都可判 定△ADC∽△ACB．
①
∠ACD=∠B
，
②
∠ACB=∠ADC
，
D
③
AD AC
AC 或AC2 AB
AD• AB。
学习目标
1、进一步熟练相似三角形的性质与判定。 2、归纳总结相似三角形的几种基本图形， 能利用这些基本图形进行相关的计算与证明。
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法：
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 角形相似。 2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延 长线),所构成的三角形与原三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
中考一轮复习 数学专题16 相似三角形(学生版)
专题16 相似三角形一、单选题1．（2022·甘肃兰州）已知ABC DEF∽△△，12ABDE=，若2BC=，则EF=（）A．4B．6C．8D．162．（2022·广西梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形''''A B C D﹐已知'1 3OAOA，若四边形ABCD的面积是2，则四边形''''A B C D的面积是（）A．4B．6C．16D．183．（2022·浙江丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段3AB=，则线段BC的长是（）A．23B．1C．32D．24．（2021·浙江温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2:3，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若6AB=，则A B''的长为（）A．8B．9C．10D．155．（2020·河北）在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是（ ）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR6．（2020·甘肃金昌）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中b 为2米，则a 约为（ ）A ．1．24米B ．1．38米C ．1．42米D ．1．62米7．（2020·广西贵港）如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，若3BC =，2BD =，且BCD A ∠=∠，则线段AD 的长为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．928．（2020·湖南永州）如图，在ABC 中，2//,3AE EF BC EB =，四边形BCFE 的面积为21，则ABC 的面积是（ ）A ．913B ．25C ．35D ．639．（2020·四川成都）如图，直线123////l l l ，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，5AB =，6BC =，4EF =，则DE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．10310．（2020·重庆）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是(1,2)A ，(1,1)B ，(3,1)C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF 的长度为（ ）A B ．2 C ．4 D ．11．（2020·重庆）如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA △OD =1△2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ）A ．1△2B ．1△3C ．1△4D ．1△512．（2020·浙江嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为13的位似图形△OCD ，则点C 坐标（ ）A ．（﹣1，﹣1）B ．（﹣43，﹣1）C ．（﹣1，﹣43）D ．（﹣2，﹣1）13．（2020·贵州遵义）如图，△ABO 的顶点A 在函数y ＝kx（x ＞0）的图象上，△ABO ＝90°，过AO 边的三等分点M 、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P 、Q ．若四边形MNQP 的面积为3，则k 的值为（ ）A ．9B ．12C ．15D ．1814．（2021·辽宁沈阳）如图，ABC 与111A B C △位似，位似中心是点O ，若1:1:2OA OA ，则ABC 与111A B C △的周长比是（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．15．（2021·四川巴中）如图，AB C 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且12AD AE DBEC，下列结论正确的是（ ）A ．DE ：BC ＝1：2B ．ADE 与ABC 的面积比为1：3 C ．ADE 与ABC 的周长比为1：2D ．DE //BC16．（2021·湖南湘西）如图，在ECD ∆中，90C ∠=︒，AB EC ⊥于点B ， 1.2AB =， 1.6EB =，12.4BC =，则CD 的长是（ ）A ．14B ．12.4C ．10.5D ．9.317．（2021·山东济宁）如图，已知ABC ．（1）以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交AC 于点M ，交AB 于点N ．（2）分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点P ．（3）作射线AP 交BC 于点D ． （4）分别以A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于G ，H 两点． （5）作直线GH ，交AC ，AB 分别于点E ，F ． 依据以上作图，若2AF =，3CE =，32BD =，则CD 的长是（ ）A ．510B ．1C ．94D ．418．（2022·广西）已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（ ） A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：119．（2022·黑龙江哈尔滨）如图，,,AB CD AC BD ∥相交于点E ，1,2,3AE EC DE ===，则BD 的长为（ ）A ．32B ．4C ．92D ．620．（2022·山东临沂）如图，在ABC 中，∥DE BC ，23AD DB =，若6AC =，则EC =（ ）A ．65B ．125C ．185D ．24521．（2022·四川雅安）如图，在△AB C 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，DE △BC ，若AD BD＝21，那么DEBC ＝（ ）A ．49B ．12C ．13D ．2322．（2022·江苏盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法 步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测，点的距离值．如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（ ）A ．40米B ．60米C ．80米D ．100米23．（2022·贵州贵阳）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC 与ACB△的周长比是（ ）A．B ．1:2C ．1:3D ．1:424．（2022·江苏连云港）如图，将矩形ABCD 沿着GE 、EC 、GF 翻折，使得点A 、B 、D 恰好都落在点O 处，且点G 、O 、C 在同一条直线上，同时点E 、O 、F 在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：△GF △EC ；△AB =AD ；△GE ；△OC ；△△COF △△CEG ．其中正确的是（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△25．（2022·重庆）如图，ABC 与DEF 位似，点O 为位似中心，相似比为2:3．若ABC 的周长为4，则DEF 的周长是（ ）A ．4B ．6C ．9D ．16 本号*资料皆来源于微信：数学26．（2021·山东淄博）如图，在Rt ABC 中，90ACB CE ∠=︒,是斜边AB 上的中线，过点E 作EF AB ⊥交AC 于点F ．若4,BC AEF =△的面积为5，则sin CEF ∠的值为（ ）A ．35B C ．45D 27．（2021·吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，x 过点A 作x 轴的垂线，与函数(0)ky x x=->的图象交于点C ，连结BC 交x 轴于点D ．若点A 的横坐标为1，3BC BD =，则点B 的横坐标为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．328．（2021·黑龙江黑龙江）如图，平行四边形ABFC 的对角线AF BC 、相交于点E ，点O 为AC 的中点，连接BO 并延长，交FC 的延长线于点D ，交AF 于点G ，连接AD 、OE ，若平行四边形ABFC 的面积为48，则EOG S ∆的面积为（ ）A ．4B ．5C ．2D ．329．（2021·黑龙江）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在BC 的延长线上，连接DE ，点F 是DE 的中点，连接OF 交CD 于点G ，连接CF ，若4CE =，6OF =．则下列结论：△2GF =；△OD =；△1tan 2CDE ∠=；△90ODF OCF ∠=∠=︒；△点D 到CF ．其中正确的结论是（ ）A ．△△△△B ．△△△△C ．△△△△D ．△△△△30．（2021·海南）如图，在菱形ABCD 中，点E F 、分别是边BC CD 、的中点，连接AE AF EF 、、．若菱形ABCD 的面积为8，则AEF 的面积为（ ） 本号资料*皆来源于微信：数学A ．2B ．3C ．4D ．531．（2021·广西来宾）如图，矩形纸片ABCD ，:AD AB =，点E ，F 分别在AD ，BC 上，把纸片如图沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A '，B '，连接AA '并延长交线段CD 于点G ，则EFAG的值为（ ）A B ．23C ．12D 32．（2021·江苏连云港）如图，ABC 中，BD AB ⊥，BD 、AC 相交于点D ，47AD AC =，2AB =，150ABC ∠=︒，则DBC △的面积是（ ）A B C D 33．（2021·浙江绍兴）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1cos 4B =，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使ADE B ∠=∠，连结CE ，则CE AD的值为（ ）A ．32 B C D ．2二、填空题34．（2022·湖南邵阳）如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，请添加一个条件_________，使ADE ABC △△∽．35．（2021·贵州黔西）如图，A B C '''与ABC 是位似图形，点O 为位似中心，若OA A A '='，则A B C '''与ABC 的面积比为__．36．（2020·辽宁盘锦）AOB 三个顶点的坐标分别为()5,0A ，()0,0O ，()3,6B ，以原点O 为位似中心，相似比为23，将AOB 缩小，则点B 的对应点'B 的坐标是__________.37．（2020·辽宁锦州）如图，在ABC 中，D 是AB 中点，//DE BC ，若ADE 的周长为6，则ABC 的周长为______．38．（2020·湖南娄底）若1()2b d a c a c ==≠，则b d a c-=-________． 39．（2020·湖南湘潭）若37y x =，则x y x -=________．40．（2020·贵州黔东南）如图，矩形ABC D 中，AB ＝2，BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BD 交于点P ，过点P 作PQ △BC 于点Q ，则PQ ＝_____．41．（2021·的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD 是黄金矩形，边AB 1，则该矩形的周长为 __________________．42．（2021·贵州黔东南）已知在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点分别为点A （2，1）、点B （2，0）、点O （0，0），若以原点O 为位似中心，相似比为2，将△AOB 放大，则点A 的对应点的坐标为________． 43．（2021·吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出竿上AD 长为1m 时，它离地面的高度DE 为0.6m ，则坝高CF 为__________m ．44．（2021·内蒙古）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点B 作BD CB ⊥，垂足为B ，且3BD =，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN CB⊥，垂足为N．若2AC=，则MN的长为__________．45．（2022·广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是________米．46．（2022·浙江杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB△BC，DE△EF，DE=2.47m，则AB=_________m．47．（2022·北京）如图，在矩形ABCD中，若13,5,4AFAB ACFC===，则AE的长为_______．48．（2022·上海）如图，在△AB C中，△A=30°，△B=90°，D为A B中点，E在线段AC上，AD DEAB BC=，则AEAC=_____．49．（2022·广西）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．50．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x 轴的垂线分别与直线y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33OA B ，44OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S =______．51．（2022·湖北鄂州）如图，在边长为6的等边△AB C 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD =CE =2，则△ABP 的周长为 _____．52．（2022·辽宁沈阳）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，折痕为MN ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，点C ，D 的对应点分别在E ，F 且点F 在矩形内部，MF 的延长线交BC 与点G ，EF 交边BC 于点H ．2EN =，4AB =，当点H 为GN 三等分点时，MD 的长为______．53．（2022·湖南常德）如图，已知F 是ABC 内的一点，FD BC ∥，FE AB ∥，若BDFE 的面积为2，13BD BA =，14BE BC =，则ABC 的面积是________．54．（2021·四川内江）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，对角线BD 的垂直平分线EF 交AD 于点E 、交BC 于点F ，则线段EF 的长为 __．55．（2021·甘肃兰州）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =．△以点A 为圆心，以不大于AB 长为半径作弧，分别交边AD ，AB 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，以大于12EF 长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 分别交BD ，BC 于点O ，Q ；△分别以点C ，Q 为圆心，以大于12CQ 长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 交AP 于点G ，则OG 长为______．56．（2021·辽宁营口）如图，矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，点E 是AB 边上一点，3AE =，连接DE ，点F 是BC 延长线上一点，连接AF ，且12F EDC ∠=∠，则CF =_________．57．（2021·江苏无锡）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB =6AC =，点E 在线段AC 上，且1AE =，D 是线段BC 上的一点，连接DE ，将四边形ABDE 沿直线DE 翻折，得到四边形FGDE ，当点G 恰好落在线段AC 上时，AF =________．58．（2020·四川眉山）如图，等腰ABC 中，10AB AC ==，边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ．若ABD △的周长为26，则DE 的长为________．59．（2020·四川宜宾）在直角三角形AB C 中，90,ACB D ︒∠=是AB 的中点，BE 平分ABC ∠交AC 于点E 连接CD 交BE 于点O ，若8,6AC BC ==，则OE 的长是________．60．（2020·山东潍坊）如图，矩形ABCD 中，点G ，E 分别在边,BC DC 上，连接,,AG EG AE ，将ABG 和ECG分别沿,AG EG 折叠，使点B ，C 恰好落在AE 上的同一点，记为点F ．若3,4CE CG ==，则sin DAE ∠=_______．三、解答题61．（2021·江苏南通）如图，利用标杆DE 测量楼高，点A ，D ，B 在同一直线上，DE AC ⊥，BC AC ⊥，垂足分别为E ，C ．若测得1m AE =， 1.5m DE =，5m CE =，楼高BC 是多少？62．（2021·广西贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法），如图，已知ABC ，且AB ＞A C ． 本号资料皆来源于微信公众#号：数学（1）在AB 边上求作点D ，使DB ＝DC ；（2）在AC 边上求作点E ，使ADE △AC B ．63．（2021·广西玉林）如图，在ABC 中，D 在AC 上，//DE BC ，//DF AB ．（1）求证：DFC △△AED ；（2）若13CD AC =，求DFC AED S S △△的值．64．（2021·湖北黄冈）如图，在ABC 和DEC 中，A D ∠=∠，BCE ACD ∠=∠．（1）求证：ABC DEC △△；（2）若:4:9ABC DEC S S =，6BC =，求EC 的长．65．（2020·湖北省直辖县级单位）在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）如图1，在BC上找出一点M，使点M是BC的中点；（2）如图2，在BD上找出一点N，使点N是BD的一个三等分点．66．（2022·上海）如图所示，在等腰三角形AB C中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：(1)△CAE=△BAF；(2)CF·FQ=AF·BQ67．（2022·吉林长春）如图△、图△、图△均是55⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)网格中ABC 的形状是________；(2)在图△中确定一点D ，连结DB 、DC ，使DBC △与ABC 全等：(3)在图△中ABC 的边BC 上确定一点E ，连结AE ，使ABE CBA △∽△：(4)在图△中ABC 的边AB 上确定一点P ，在边BC 上确定一点Q ，连结PQ ，使PBQ ABC △∽△，且相似比为1：2．68．（2022·湖南常德）在四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线AF 交BC 于F ，延长AB 到E 使BE FC =，G 是AF 的中点，GE 交BC 于O ，连接GD ．(1)当四边形ABCD 是矩形时，如图，求证：△GE GD =；△BO GD GO FC ⋅=⋅．(2)当四边形ABCD 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论△的证明．69．（2022·湖北黄冈）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是△ABC 的角平分线，可证AB AC ＝BD CD．小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE △AB ，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB AC ＝BD CD ．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB AC ＝BD CD； (2)应用拓展：如图3，在Rt △AB C 中，△BAC ＝90°，D 是边BC 上一点．连接AD ，将△ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．△若AC ＝1，AB ＝2，求DE 的长；△若BC ＝m ，△AED ＝α，求DE 的长（用含m ，α的式子表示）．70．（2022·山东泰安）如图，矩形ABCD 中，点E 在DC 上，DE BE =，AC 与BD 相交于点O ．BE 与AC 相交于点F ．(1)若BE 平分CBD ∠，求证：BF AC ⊥；(2)找出图中与OBF 相似的三角形，并说明理由;(3)若3OF =，2EF =，求DE 的长度．71．（2022·四川自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD ，把边BC 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB 由AB 旋转得到，所以EB AB =．我们还可以得到FC ＝ ， EF ＝ ；(2)进一步观察，我们还会发现EF △AD ，请证明这一结论；(3)已知BC 30,DC 80==cm cm ，若BE 恰好经过原矩形DC 边的中点H ，求EF 与BC 之间的距离．72．（2021·四川雅安）如图，OAD △为等腰直角三角形，延长OA 至点B 使OB OD =，其对角线AC ，BD 交于点E ．（1）求证：OAF DAB △≌△；（2）求DF AF的值．73．（2021·广西贺州）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，D 是AB 上的一点，以AD 为直径的O 与BC 相切于点E ，连接AE ，DE ．（1）求证：AE 平分BAC ∠；（2）若30B ∠=︒，求CE DE的值．74．（2021·湖南永州）如图1，AB 是O 的直径，点E 是O 上一动点，且不与A ，B 两点重合，EAB ∠的平分线交O 于点C ，过点C 作CD AE ⊥，交AE 的延长线于点D ．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）求证：22AC AD AO =⋅；（3）如图2，原有条件不变，连接,BE BC ，延长AB 至点M ，EBM ∠的平分线交AC 的延长线于点P ，CAB ∠的平分线交CBM ∠的平分线于点Q ．求证：无论点E 如何运动，总有P Q ∠=∠．75．（2021·湖南益阳）如图，在等腰锐角三角形ABC 中，AB AC =，过点B 作BD AC ⊥于D ，延长BD 交ABC 的外接圆于点E ，过点A 作AF CE ⊥于F ，,AE BC 的延长线交于点G ．（1）判断EA 是否平分DEF ∠，并说明理由；（2）求证：△BD CF =；△22BD DE AE EG =+⋅．76．（2021·黑龙江绥化）如图所示，四边形ABCD 为正方形，在ECH 中，90,,ECH CE CH HE ∠=︒=的延长线与CD 的延长线交于点F ，点D B H 、、在同一条直线上．（1）求证：CDE CBH ≌；（2）当15HB HD =时，求FD FC 的值； （3）当3,4HB HG ==时，求sin CFE ∠的值．77．（2021·山西）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务． 图算法 图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：9325F C =+得出，当10C =时，50F ．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式12111R R R =+求得R 的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120︒的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：△用公式12111R R R =+计算：当17.5R =，25R =时，R 的值为多少； △如图，在AOB 中，120AOB ∠=︒，OC 是AOB 的角平分线，7.5OA =，5OB =，用你所学的几何知识求线段OC 的长．78．（2022·辽宁大连）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在ABC 中，D 是AB 上一点，ADC ACB ∠=∠．求证ACD ABC ∠=∠．独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长CA至点E ，使CE BD =，BE 与CD 的延长线相交于点F ，点G ，H 分别在,BF BC 上，BG CD =，BGH BCF ∠=∠．在图中找出与BH 相等的线段，并证明．” 本号资料皆来源@于微信：数学问题解决：（3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当90BAC ∠=︒时，若给出ABC 中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若90BAC ∠=︒，4AB =，2AC =，求BH 的长．”79．（2022·广东深圳）（1）【探究发现】如图△所示，在正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，将AEB △沿BE 翻折到BEF 处，延长EF 交CD 边于G 点．求证：BFG BCG △≌△（2）【类比迁移】如图△，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上一点，且8,6,AD AB ==将AEB △沿BE 翻折到BEF 处，延长EF 交BC 边于点,G 延长BF 交CD 边于点,H 且,FH CH =求AE 的长．（3）【拓展应用】如图△，在菱形ABCD 中，E 为CD 边上的三等分点，60,D ∠=︒将ADE 沿AE 翻折得到AFE △，直线EF 交BC 于点,P 求CP 的长．80．（2022·山东烟台）(1)【问题呈现】如图1，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，连接BD ，CE ．求证：BD ＝CE ．(2)【类比探究】如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，△ABC ＝△ADE ＝90°．连接BD ，CE ．请直接写出BD CE的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，△ABC＝△ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．连接BD，CE．△求BDCE的值；△延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin△BFC的值．。
《相似三角形》中考复习题专题及答案
《相似三角形》复习题及答案一.选择题(1)△ABC 中，D 、E 、F 分别是在AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，那么下列各式正确的是( ) A.DB AD =EC BF B.AC AB =FCEF C.DB AD =FC BF D.EC AE =BF AD (2)在△ABC 中，BC=5,CA=45,AB=46,另一个与它相似的三角形的最短边是15，则最长边是( ) A.138 B.346 C.135 D.不确定(3)在△ABC 中，AB=AC,∠A=36°，∠ABC 的平分线交AC 于D ，则构成的三个三角形中，相似的是( )A.△ABD ∽△BCDB.△ABC ∽△BDCC.△ABC ∽△ABDD.不存在(4)将三角形高分为四等分，过每个分点作底边的平行线，将三角形分四个部分，则四个部分面积之比是（ ）A.1∶3∶5∶7B.1∶2∶3∶4C.1∶2∶4∶5D.1∶2∶3∶5(5)下列命题中，真命题是( )A.有一个角为30°的两个等腰三角形相似B.邻边之比都等于2的两个平行四边形相似C.底角为40°的两个等腰梯形相似D.有一个角为120°的两个等腰三角形相似(6)直角梯形ABCD 中，AD 为上底，∠D=Rt ∠，AC ⊥AB ，AD=4，BC=9，则AC 等于( )A.5B.6C.7D.8 (7)已知CD 为Rt △ABC 斜边上的中线，E 、F 分别是AC 、BC 中点，则CD 与EF 关系是( )A.EF ＞CDB.EF=CDC.EF ＜CDD.不能确定(8)下列命题①相似三角形一定不是全等三角形 ②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O 是△ABC 内任意一点.OA 、OB 、OC 的中点连成的三角形△A′B′C′∽△ABC 。
其中正确的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个(9)D 为△ABC 的AB 边上一点，若△ACD ∽△ABC ，应满足条件有下列三种可能①∠ACD=∠B ②∠ADC=∠ACB ③AC 2=AB·AD ，其中正确的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个(10)下列命题错误的是( )A.如果一个菱形的一个角等于另一个菱形的一个角，则它们相似B.如果一个矩形的两邻边之比等于另一个矩形的两邻边之比，则它们相似C.如果两个平行四边形相似，则它们对应高的比等于相似比D.对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似二、填空题(1)比例的基本性质是________________________________________(2)若线段a=3cm,b=12cm,a、b的比例中项c=________,a、b、c的第四比例线段d=________(3)如下图，EF∥BC，若AE∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM∶AN=________,BN∶NC=________(4)有同一三角形地块的甲乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，则甲地图与乙地图的相似比为________，面积比为________(5)若两个相似三角形的面积之比为1∶2，则它们对应边上的高之比为________(6)已知CD是Rt△ABC斜边AB上的高，则CD2=________(7)把一个三角形改成和它相似的三角形，如果边长扩大为原来的10倍，那么面积扩大为原来的____倍，周长扩大为原来的______倍.(8)Rt△ABC中，∠C=90°,CD为斜边上的高。
相似三角形专题复习(精品)
相似三角形的解题技巧与策略
相似三角形的解题思路与步骤
明确解题目标：确定要证明的结论和所求的量明确解题方向。
观察图形特征：分析相似三角形的形状、大小关系确定解题方法。
寻找相似条件：根据相似三角形的性质寻找对应边、对应角的关系构建相似三角形。
推导解题过程：利用相似三角形的性质和相关定理推导解题过程得出结论。
相似三角形对应中线的比等于相似比
相似三角形的性质
对应角相等
对应边成比例
面积比等于相似比的平方
周长比等于相似比
相似三角形的判定条件
定义：两个三角形如果对应角相等则它们相似
判定条件：SS、S、SSS、S、HL
应用：证明三角形相似求解线段长度和角度大小
性质：相似三角形对应边成比例对应角相等
03
相似三角形在解题中的应用
题目：在△BC中B=CD是BC上一点∠BD=40°E是D上一点且∠BE=∠CD则∠DEC= _______．题目：在△BC中B=CD是BC上一点E是D上一点且∠BE=∠CD则下列结论正确的是( ) .△BE ∽ △CD B.△BE ∽ △DCB C.△EB ∽ △DC D.△EC ∽ △DEB.△BE ∽ △CD B.△BE ∽ △DCBC.△EB ∽ △DC D.△EC ∽ △DEB题目：在△BC中B=CD是BC上一点E是D上一点且∠BE=∠CD则下列结论正确的是( ) .△BE ∽ △CD B.△BE ∽ △DCB C.△EB ∽ △DC D.△EC ∽ △DEB.△BE ∽ △CD B.△BE ∽ △DCBC.△EB ∽ △DC D.△EC ∽ △DEB题目：在等腰三角形BC中B=CD是BC上一点且D=BD若∠CD=50°则∠CB的大小为 _______．
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相似三角形“存在性问题”专题复习课
B
要求：独立在练习本上完成后师友简单交流，然后学友简述解题 思路，学师点评、完善。
5、在三角形ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点p 从A点出发沿着AB以每秒4cm的速度向点B移动，同 时点Q从C点出发沿着CA以每秒3cm的速度向着点A 运动，设运动的时间为x s。 (1)当x为何值时，PQ∥BC ? (2)△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长； 若不能，请说明理由． B P
第18章 相似形
18.8 专题复习课
【学习目标】
要求：全班齐读。
1、探究相似三角形存在性问题
2、体会相似三角形中的分类讨论思想
【专题探究】
要求：独立完成后师友简单交流，然后学友给出答案并简述解题 思路，学师点评、完善。
1、如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC= ,AD=2． 问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似?
△P2P5D，△P4P5F， △P2P4D，△P4P5D， △P2P4P5，△P1FD
要求：独立完成后师友简单交流，然后学友给出答案并简述解题 思路，学师点评、完善。
2.在平面直角坐标系,B(1,0),A(3,－3),C(3,0), 点P在y轴的正半轴上运动,若以O、B、P为顶点
(0,1.5) 的三角形与△ABC相似,则点P的坐标是________.
第三类：若题目中为△ABC和 (与)△DEF相似、并且有一个 角相等，则确定了一个对应顶 点，此时有二种情况： ①△ABC∽△DEF ②△ABC∽△DFE
要求:独立完成,学友讲解题思路.学师点的边长为 1,△ABC 第二类：若题目中为△ ABC和(与)△DEF相似，则没有确 和△ DEF的顶点都在方格纸的格点上． 定对应线段，此时有三种情况： ①△ABC∽△ DEF (1) 判断△ABC 和△DEF是否相似，并说明理由； ②△ABC∽△ EFD (2)P 1、P2、P3、P4、P5、D、F是△DEF边上的7个格 ③△ABC∽△ FDE 点 ,请在这7个格点中选取 3个点作为三角形的顶点， 使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条 件的三角形,并在图中连结相应线段,不必说明理由)
人教版备考2023中考数学二轮复习 专题19 相似三角形(学生版)
人教版备考2023中考数学二轮复习 专题19 相似三角形一、单选题1．（2022九上·义乌期中）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最长边的比是（ ）A ．1：2B ．1：4C ．1：16D ．无法确定2．（2022九上·镇海区期中）如图示，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是（ ）A ．∠D =∠B B ．∠C =∠AEDC ．AB AD =AC AED ．AB AD =BC DE3．（2022·泸县模拟）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∼△ADE 的是（ ）A ．∠C =∠EB ．∠B =∠ADEC ．AB AD =BC DED ．AB AD =AC AE4．（2022九上·拱墅期中）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，若DE ∥BC ，AD AB =25，AE ＝6cm ，则AC 的长为（ ）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．18cm5．（2022九上·镇海区期中）如图所示，在△ABC 中，D 、E 为AB 、AC 的中点，若S △ADE =2，则四边形DBCE 的面积为（ ）A．4B．6C．8D．106．（2022九上·镇海区期中）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD 于点E，CE＝4，CD＝6，则AC的长为（）A．8B．9C．10D．117．（2022九上·镇海区期中）如图，AB是半圆的直径，∠ABC的平分线分别交弦AC和半圆于E和D，若BE=2DE，AB=4，则AE长为（）A．2B．√2+1C．√6D．4√338．（2022九上·舟山期中）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE•平分∠ABC，则下列关系式中成立的有()①CDAB=DEAE；②CDAB=DEAB；③CEDE=BEAB；④CE2=CD×BC；⑤BE2=AE×BCA．2个B．3个C．4个D．5个9．（2022九上·新昌期中）如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O.下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP⋅AQ；④若AB=3，则OC的最小值为√3，其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③二、填空题10．（2022九上·宁波期中）如图，在△ABC中，AM是中线，G是重心，GD∥BC，交AC于D.若BC=6，则GD=.11．（2022九上·闵行期中）已知△ABC∽△A′B′C′，顶点A、B、C分别与顶点A′、B′、C′对应，AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的中线，如果BC=3，AD=6，B′C′=2，那么A′D′的长是．12．（2022九上·北仑期中）如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED ＝1，BD＝4，那么AB＝.13．（2022九上·宝山期中）如图，矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．已知BC=6cm，DE=3cm，EF=2cm，那么△ABC的面积是cm2．14．（2022九上·南海月考）如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=16cm，点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过秒钟△APQ与△ABC相似？15．（2022九上·乐山期中）如图，在矩形ABCD和矩形AEGH中，AD∶AB=AH∶AE=1∶2.则DH∶CG∶BE=.16．（2022九上·宁波期中）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，把△ABE沿直线BE翻折得到△FBE，连接CF并延长交BE的延长线于点P.若AB=5，AE=1.则∠P=，PC=.三、作图题17．（2022九上·海曙期中）如图是8×6的正方形网格，已知△ABC，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）.（1）将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°，得到△A 1B 1C 1，请在图1中作出△A 1B 1C 1. （2）在图2中，在AC 所在直线的左侧找一格点E ，画∠AEC=∠B. （3）在图3中，仅用无刻度直尺在线段AC 上找一点M ，使得AM MC =23.18．（2022九上·金华月考）如图，在4×8的网格中，已知格点△ABC （小正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形），在图1、图2中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件.（1）与△ABC 有一公共角； （2）与△ABC 相似但不全等.四、解答题19．（2022·泸县模拟）已知：D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，AB =8，AD =3，AC =6，AE =4，求证：△ABC ∼△AED .20．如图，∠CAB =∠CBD ，AB =4，AC =6，BD =7.5，BC =5，求CD 的长．21．（2021·广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．22．（2021·光明模拟）如图，在直角坐标系中，直线y=−12x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点，以AB为直径作圆O1，过B作圆O1的切线交x轴于点C．（1）求C点的坐标；（2）设点D为BC延长线上一点，CD=BC，P为线段BC上的一个动点（异于B，C），过P点作x轴的平行线交AB于M，交DA的延长线于N，试判断PM+PN的值是否为定值，如果是，则求出这个值；如果不是，请说明理由．五、综合题23．（2022九上·宁波期中）定义：若一动点P到一条线段AB的两个端点的距离满足PA=4PB，则称P 为线段AB的KZ点，但点P不是线段BA的KZ点.（1）如图1，在RtΔABC中，∠C=90°，AB=17，若点C是线段AB的KZ点，求AC的长.（2）如图2，在ΔABC中，D是边AB上一点，连结CD，若点A分别是线段CD，线段BC的KZ点.求证：C是线段BD的KZ点（提示：证明△ADC与△ACB相似）.（3）如图3，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=120°，点E，F分别是BC，CD上的点，且满足∠AEF= 120°.连结AF，若点E是线段AF的KZ点.求DF的长.24．（2022九上·宁波期中）如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是斜边AB上一动点(0<AD<3.2)，以点A为圆心，AD长为半径作圆A交AC于点F，连结CD并延长交圆A于点E，连结AE，DF.（1）求证：∠FAE=2∠FDC.（2）如图2，若AE∥CB，求EC的长.（3）如图3①若AD平分∠FAE，求圆A的半径长；②当点D在斜边AB上运动时，直接写出CD⋅DE的最大值.25．（2022九上·镇海区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB，交BC于点E，连结AE交BD于点F. 已知∠AFD=∠ADB+∠CDE，（1）①假设∠ABD=α，则∠AFD=.②证明：AB=AE；（2）若AB2=BF⋅BD，AD=2，求CB的长；（3）若CE=2，AB=8，求DE的长.26．（2022九上·镇海区期中）（1）【基础巩固】如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，AF交DE于点G，求证：DGEG=BF CF.（2）【尝试应用】如图2，已知D、E为△ABC的边BC上的两点，且满足BD=2DE=4CE，一条平行于AB的直线分别交AD、AE和AC于点L、M和N，求LMMN的值.（3）【拓展提高】如图3，点E是正方形ABCD的边CD上的一个动点，AB=3，延长CD至点F，使DF=2DE，连接CG，求CG的最小值.27．（2022九上·闵行期中）已知，在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D、E分别在边AB、BC上，且均不与顶点B重合，∠ADE=∠A（如图1所示），设AD=x，BE=y．（1）当点E与点C重合时（如图2所示），求线段AD的长；（2）在图1中当点E不与点C重合时，求y关于x的函数解析式及其定义域；（3）我们把有一组相邻内角相等的凸四边形叫做等邻角四边形．请阅读理解以上定义，完成问题探究：如图1，设点F在边AB上，CE=3，如果四边形ACEF是等邻角四边形，求线段AF的长．答案解析部分1．【答案】A【知识点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，∴它们的相似比为1：2.故答案为：A.【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．2．【答案】D【知识点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：∵∠1=∠2∴∠CAB=∠EADA、∠D=∠B，两个三角形的对应角相等，那么△ABC∽△ADE，故A选项不符合题意；B、∠C=∠AED，两个三角形的对应角相等，那么△ABC∽△ADE，故B选项不符合题意；C、ABAD=ACAE，两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等，那么△ABC∽△ADE，故C选项不符合题意；D、ABAD=BCDE，∠B与∠D的大小无法判断，即无法判定△ABC∽△ADE，故D选项符合题意.故答案为：D.【分析】由∠1=∠2可推出∠CAB=∠EAD，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可以添加∠B=∠D或∠C=∠AED，根据两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等的三角形相似可以添加AB AD=ACAE，从而一一判断得出答案.3．【答案】C【知识点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE，A、∵∠C=∠E，∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；B、∵∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；C、∵∠BAC=∠DAE，ABAD=BC DE，∴△ABC 与△ADE 不相似，故C 符合题意； D 、∵∠BAC=∠DAE ，AB AD =AC AE ，∴△ABC ∽△ADE ，故D 不符合题意； 故答案为：C【分析】由∠1=∠2可证得∠BAC=∠DAE ，要使△ABC ∽△ADE ，可以添加另外两组对应角中的一组对应角相等，可对A ，B 作出判断；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C ，D 作出判断.4．【答案】C【知识点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵DE ∥BC ，AD AB =25，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC ＝AD AB =25，∵AE ＝6cm ，∴AC ＝52AE ＝52×6＝15（cm ），∴AC 的长为15cm. 故答案为：C.【分析】易证△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.5．【答案】B【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：∵D 、E 为AB 、AC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，DE=12BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC =(DE BC )2=14∴S △ABC =4S △ADE =8∴S 四边形DBCE ＝S △ABC −S △ADE =8-2=6. 故答案为：B.【分析】先根据三角形的中位线定理证明DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，即可由S四边形DBCE＝S△ABC−S△ADE求出四边形DBCE的面积．6．【答案】B【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵AC平分∠BAD，∴BC⌢=CD⌢，∴∠BDC＝∠CAD，∵∠ACD＝∠DCE，∴△CDE∽△CAD，∴CD：AC＝CE：CD，∴CD2＝AC•CE，∴62＝4（4+AE），∴AE＝5，∴AC＝AE+CE＝9，故答案为：B.【分析】根据同弧所对的圆周角相等及角平分线的定义可得∠BDC=∠CAD=∠BAC，又∠ACD＝∠DCE，可推出△CDE∽△CAD，根据相似三角形对应边成比例得CD：AC＝CE：CD，代入数值，求解可得AE，进而根据AC=AE+CE算出答案.7．【答案】D【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：∵∠CDB=∠CAB，∠DCA=∠DBA∴△CBE∽△ABE∴CDAB=DEBE=12∴CD=12AB=2∵BD平分∠ABC∴∠CBD=∠ABD∴∠DAC=∠CBD=∠ABD=∠ACD ∴AD=CD=2∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°∴sin∠ABD=ADAB=24=12∴∠ABD=30°∴∠DAE=30°∴AE=ADcos30°=4√3 3，故答案为：D.【分析】根据同弧所对的圆周角相等得∠CDB=∠CAB，∠DCA=∠DBA，根据两组角对应相等的两个三角形相似得△CBE∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例可得CD=2，根据圆周角定理结合角平分线的定义推出∠DAC=∠CBD=∠ABD=∠ACD，根据等角对等边可得AD=CD，根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，进而根据正弦三角函数的定义及特殊角的锐角三角函数值得∠ABD=30°，进而根据余弦函数的定义，由AE=ADcos30°可算出答案.8．【答案】B【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC于点F，∵梯形ABCD，AB∥CD，∠A=90°，∴∠A+∠D=90°，∠DCB+∠ABC=180°，∴∠D=90°，∴DE⊥CD，EA⊥AB∵CE平分∠BCD，BE•平分∠ABC ，∴DE=EF=EA，∠DCB=2∠ECB，∠ABC=2∠EBC，∴∠ECB+∠EBC=90°，∴∠CEB=90°；在Rt△CDE和Rt△CFE中{CE=CEDE=FE∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL）∴CD=CF，同理可证AB=BF，∵∠DEC+∠DCE=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠DCE=∠AEB，∵∠D=∠A=90°，∴△CDE∽△EAB，∴CDAE=DEAB，CEDE=BEAB，故③正确，①②错误；∵∠CFE=∠CBE=90°，∠ECF=∠ECB，∴△ECF∽△BCE，∴CFEC=ECBC∴CE2=CD×BC，故④正确；同理可证△BEF∽△BCE，∴BE2=BF×BC=AE×BC，故⑤正确；∴正确结论的序号为③④⑤，一共3个.故答案为：B【分析】过点E作EF⊥BC于点F，利用梯形的性质和平行线的性质可证得∠A+∠D=90°，∠DCB+∠ABC=180°，利用角平分线的性质可证得DE=EF=EA，∠DCB=2∠ECB，∠ABC=2∠EBC，从而可推出∠CEB=90°；利用HL证明Rt△CDE≌Rt△CFE，利用全等三角形的性质可得到CD=CF，同理可知AB=BF；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似可证得△CDE∽△EAB，利用相似三角形的对应边成比例，可对①②③作出判断；同理可证得△ECF∽△BCE，利用相似三角形的对应边成比例，可证得CE2=CD×BC，可对④作出判断；同理可证得BE2=AE×BC，可对⑤作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.9．【答案】A【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∵AP=CQ，∴CP=BQ，∵PC=2AP，∴BQ=2CQ ，如图，过P 作PD ∥BC 交AQ 于D ，∴△ADP ∽△AQC ，△POD ∽△BOQ ，∴PD CQ =AP AC =13，PD BQ =OP BO ，∴CQ=3PD ， ∴BQ=6PD ，∴BO=6OP ；故①正确； 过B 作BE ⊥AC 于E ， 则CE=12AC=4，∵∠C=60°， ∴BE=4√3，∴PE=√PB 2−BE 2=1，∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②错误； 在等边△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=∠C=60°， 在△ABP 与△CAQ 中， {AB =AC ∠BAP =∠C AP =CQ， ∴△ABP ≌△ACQ （SAS ）， ∴∠ABP=∠CAQ ，PB=AQ ， ∵∠APO=∠BPA ， ∴△APO ∽△BPA ， ∴AP PB =OP AP，∴AP 2=OP•PB ，∴AP 2=OP•AQ.故③正确；以AB 为边作等边三角形NAB ，连接CN ，∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB ， ∵∠PBA=∠QAC ，∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA =60°+∠BAQ+60°+∠QAC =120°+∠BAC =180°，∴点N ，A ，O ，B 四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB 的中心M ， 设CM 于圆M 交点O′，CO′即为CO 的最小值， ∵NA=NB ，CA=CB ， ∴CN 垂直平分AB ， ∴∠MAD=∠ACM=30°， ∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°， 在Rt △MAC 中，AC=3，∴MA=AC•tan ∠ACM=√3，CM=2AM=2√3， ∴MO′=MA=√3，即CO 的最小值为√3，故④正确. 综上：正确的有①③④. 故答案为：A.【分析】根据等边三角形的性质可得AC=BC ，由已知条件可知AP=CQ ，则CP=BQ ，结合PC=2AP 可得BQ=2CQ ，过P 作PD ∥BC 交AQ 于D ，易证△ADP ∽△AQC ，△POD ∽△BOQ ，根据相似三角形的性质可得CQ=3PD ，则BQ=6PD ，据此判断①；过B 作BE ⊥AC 于E ，则CE=12AC=4，利用勾股定理可得PE ，进而判断②；利用SAS 证明△ABP ≌△ACQ ，得到∠ABP=∠CAQ ，PB=AQ ，证明△APO ∽△BPA ，利用相似三角形的性质可判断③；以AB 为边作等边△NAB ，连接CN ，则∠NAO+∠NBO=180°，故点N ，A ，O ，B 四点共圆，且圆心即为等边△NAB 的中心M ，设CM 于圆M 交点O′，CO′即为CO 的最小值，易知∠MAD=∠ACM=30°，∠MAC=90°，根据三角函数的概念可得MA、CM，据此判断④.10．【答案】2【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用【解析】【解答】解：∵AM是中线，BC=6，∴BM=CM=3，∵G是重心，∴AGAM=23，∵GD∥BC，∴△AGD∽△AMC，∴DGMC=AGAM=23，∴DG3=23，∴DG=2.故答案为：2.【分析】易得MB=CM=3，根据重心的性质可得AGAM=23，根据平行三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△AGD∽△AMC，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可得DG的长.11．【答案】4【知识点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，BC=3，AD=6，B′C′=2，∴BC：B′C′=AD：A′D′，∴6：A′D′=3：2，∴A′D′的长是4，故答案为：4【分析】根据相似三角形的性质可得BC：B′C′=AD：A′D′，再将数据代入求出A′D′的长即可。
相似三角形专题复习(共66张PPT)
3.右图中, DE∥BC，S△ADE:S四边形DBCE = 1:8,则AE:AC=＿＿＿＿＿
1:3
课堂训练:
E
B
D
C
4. 在△ABCAC=4,AB=5.D是AC上一动点,且∠ADE=∠B,设AD=x,AE=y,写出y与x之间的函数关系式.试确定x的取值范围.
A
解: ∵∠A=∠A ∵∠ADE=∠B ∴△ADE∽△ABC ( ) ∴AD:AB=AE:AC ∴x:5=y:4 ∴y=0.8x
相似三角形
DE∥BC
△ ADE∽ △ ABC
∠DAE= ∠CAB
△ ADE∽ △ ABC
基本图形
判定方法
∠AED= ∠B
∠DAE= ∠BAC
△ADE∽ △ ABC
对应角相等；
性质定理
对应边成比例；
周长的比 等于相似比；
面积的比等于 相似比的平方；
三边对应成比例的 两个三角形相似.
灵感 智慧
M1
A
B
C
P
Q
A
B
C
P
Q
M2
例：如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。
灵感 智慧
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E重合，若AD=10, AB= 8, 则EF=______
善于在复杂图形中寻找基本型
5
A
D
B
C
E
F
A
B
C
F
E
E
E
北师大版数学九上第四章《相似三角形的基本图形》专题复习(教案)
4.利用相似三角形解决实际问题的方法。
5.本章典型例题与习题的复习巩固，如相似三角形的应用题、图形的放大与缩小等。
6.相似多边形的性质及判定方法。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力，通过观察、分析相似三角形的基本图形，提高学生对几何图形的理解和识别能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的基本图形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量不可到达的距离或高度的情况？”（如测量旗杆的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形的奥秘。
在小组讨论环节，学生们表现得非常积极，能够主动提出自己的观点并与他人交流。但在分享成果时，部分学生的表达能力还有待提高。为了提高学生的表达能力，我计划在接下来的课程中增加一些课堂演讲或辩论环节，让他们有更多机会锻炼自己的口头表达能力。
最后，从这节课的教学过程中，我也意识到了关注学生个体差异的重要性。有些学生可能需要更多的时间来消化和理解相似三角形的知识点，因此在课后，我要针对这些学生进行个别辅导，帮助他们克服学习难点。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。
-掌握相似三角形的性质，尤其是对应角相等和对应边成比例。
-能够运用相似三角形解决实际问题，如测量不可到达的距离或高度。
-理解并运用直角三角形特殊比例关系（30°-60°-90°和45°-45°-90°）。
其次，在解决实际问题时，部分学生构建相似三角形模型的能力较弱。针对这一点，我打算在接下来的课程中，设计一些更具挑战性的问题，让学生们通过小组合作的方式，一起探讨如何将实际问题转化为数学模型。这样既能提高他们的解决问题的能力，也能培养他们的团队合作精神。
(完整word版)初三相似三角形压轴题专题复习
1.如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD＝6cm，DC＝8cm，BC＝12cm．动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1cm．两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．（1）求线段AB的长．（2）当t为何值时，MN∥CD？（3）设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）如图②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．2．（2017?二模）如图①，已知矩形ABCD中，AB＝60cm，BC＝90cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以20cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动的时间为t（s）．（1）当t＝s时，△BPQ为等腰三角形；（2）当BD平分PQ时，求t的值；（3）如图②，将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点为E，PE、QE分别与AD交于点F、G．探索：是否存在实数t，使得AF＝EF？如果存在，求出t的值：如果不存在，说明理由．3．（2016?苏州一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．动点P从点A出发沿AC 向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q 也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）求线段AC的长度；（2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；②当l经过点B时，求t的值．4.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q 两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）5.如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，OA＝10，cos∠COA＝．一个动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA方向运动，过点P作PQ⊥OA，交折线段OC﹣CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线OA 上，当P点到达A点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）C点的坐标为，当t＝时N点与A点重合；（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与菱形OABC的重合部分面积为S，直接写出S 与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，在运动过程中，过点O和点B的直线将正方形PQMN分成了两部分，请问是否存在某一时刻，使得被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的？若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．6.在Rt△AOB中，OA＝3，sin B＝，P、M、分别是BA、BO边上的两个动点．点M从点B出发，沿BO以1单位/秒的速度向点O运动；点P从点B出发，沿BA以a单位/秒的速度向点A运动；P、M两点同时出发，任意一点先到达终点时，两点停止运动．设运动的时间为t．（1）线段AP的长度为（用含a、t的代数式表示）；（2）如图①，连结PO、PM，若a＝1，△PMO的面积为S，试求S的最大值；（3）如图②，连结PM、AM，试探究：在点P、M运动的过程中，是否存在某个时刻，使得△PMB为直角三角形且△PMA是等腰三角形？若存在，求出此时a和t的取值，若不存在，请说明理由．7．（2018?常熟市一模）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，sin∠BAC＝．设AP的长为x．（1）AB＝；当x＝1时，＝；（2）①试探究：否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；②连接BE，设△PBE的面积为S，求S的最小值．（3）当△PCE是等腰三角形时．请求出x的值；8.△ABC，△DEC均为直角三角形，B，C，E三点在一条直线上，过D作DM⊥AC于M．（1）如图1，若△ABC≌△DEC，且AB＝2BC．①过B作BN⊥AC于N，则线段AN，BN，MN之间的数量关系为：；（直接写出答案）②连接ME，求的值；（2）如图2，若AB＝CE＝DE，DM＝2，MC＝1，求ME的长．9.如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG 重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD 的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x （s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y＝3时相应x的值；（2）记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1﹣S2是常数；（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．10．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．（1）如图①，当PA的长度等于时，∠PAD＝60°；当PA的长度等于时，△PAD是等腰三角形；（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．设P 点坐标为（a，b），试求2S1S3﹣S22的最大值，并求出此时a、b的值．11.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点．直线OD⊥直线AB于点D．现有一点P从点D出发，沿线段DO向点O运动，另一点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到O时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）点A的坐标为；线段OD的长为．（2）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系（不要求写出取值范围），并确定t 为何值时S的值最大？（3）是否存在某一时刻t，使得△OPQ为等腰三角形？若存在，写出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由．12.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A．18B．C．D．13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=．14.如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC 交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE=．15.如图，在一块直角三角板ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，将另一个含30°角的△EDF的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD=．16.如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．17.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：2518.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM=AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是．19.如图，AC⊥BC，AC=BC，D是BC上一点，连接AD，与∠ACB的平分线交于点E，连接BE．若S△ACE=，S△BDE=，则AC=．。
《相似三角形专题复习》教学设计
本课教学流程：设疑导入f合作探究一学以致用（找、选、造）基于基本图形的问题导向式复习课例—以《相似三角形专题复习》为例课题】九年级总复习第二轮专题复习《相似三角形专题复习》教学设计【所需课时】1课时【课标要求及分析】课标要求:了解相似三角形的定义、判定定理、性质定理，并会解决简单的实际问题.课标分析：《标准》的要求定位在“了解”和“简单”的层面，因此在复习过程中要注重对相似三角形相关基础知识和常见题型的把握. 【教材及学情分析】北师大版九年级上册《图形的相似》是在研究“图形的全等”的基础上集中研究“图形的相似”.在前面的学习中，学生已经较为系统的学习了线段的比、成比例线段、平行线分对应线段成比例定理、相似图形、相似多边形、位似图形等，具备了一定的合情推理和演绎推理能力，为该章节中的重点内容《相似三角形专题复习》做好了知识和能力的准备.【学习目标】1.掌握相似三角形的定义、判定定理、性质定理；2.能根据相似三角形的判定定理和性质定理以及已经学习过的其他知识解决简单的实际问题，进一步体会类比、分类、归纳、数形结合的思想方法.【教学重、难点分析】教学重点为相似三角形的判定定理和性质定理，教学难点为相似三角形性质定理的灵活应用.【教学方式与方法的选择】设疑引导、讲练结合教学设计思路】首先通过小组合作把学生的个人课前作业进行讨论、完善和展示，总结出相似三角形的常见基本图形，为本节专题复习做好知识铺垫.接着以问题为导向，以“找”“选”“造”三道低起点、缓坡度的例题，引导学生自主探究相似三角形的相关问题，感受基本图形在相似三角形问题中的应用，并总结归纳出相关的解题方法.课后作业设计了两道有梯度的题目，既加深对知识本质的理解，又强化知识之间的联系，在巩固检测所学知识的同时，激发和提升学生的数学思维能力和创新意识。
【教学资源】学案图表资料、多媒体课件、几何画板合作探究学以致用（找相似型）学以致用（选相似型）学以致用（造相似型）【例1】如图,在\ABC中，DE〃BC,AE:EC=2：3,则BC等于（）A.10B.8C.9D.6【设疑】这题用到什么相似基本型？【学生回答】A型.【追问】选D的同学错在哪里？【学生回答】把AE：EC=2：3当作A型相似三角形的相似比了，应该是2:5才对.【例2】如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1,CD=3,那么EF的长是（）A. B. C. D.独立完成学生说题学生体会找相似基本型是解题的关键，培养学生的表达能力【设疑】这题用到什么相似基本型？【学生回答】A型，X型.【追问】从哪个基本型入手？怎么解决？【学生回答】因为已知的AB和CD在X型中，所以从乂型厶ABEs^DCE入手，知道BE:EC=1:3,所以在人型厶BEFs^BCD中，EF:CD=1:4,从而求3出EF二4【追问】还有别的方法吗？【学生回答】选A型厶DEFs^DAB也可以.【例3】如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,在DC的延长线上取一点E,连接0E交BC于点F.已知AB=a,BC=b,CE=c,求CF的长.【设疑】这题有相似基本型？能否直接解决问题？【学生回答】有X型，但是与CF无关，不能求CF.【追问】有什么好办法解决这个问题？独立完成后小组讨论学生说题思考分析学生体会有多个相似基本型时，如何进行选择并解题，培养学生的数学思维能力从“找”到“选”到“造”相似基本型,突出重难点，并使学生的探究变得自然，使思维得到有层次的提升△EDG ，所以CF DG ECED'CFc即='b -CFa +c从而解得CFbe a +2 e讨论交流 相互补充 鼓励学生从多角度多方面考虑问题，实现一题多解，增加学生思维的灵活性总结经验归纳方法 【学生回答】利用平行构造相似•在△CEF 中，已知CE二c,求CF,所以应构造一个与ACEF 相似的三角形.从而有OH 二2CD L-iHFOH再证△OFHS ^EFC ,所以FC =EC【师生总结】通过前面三个例题，我们学会了“找”“选”“造”相似基本型，而“造”相似基本型的常用方法是作平行。
中考数学相似三角形专题复习一
1 / 2相似三角形专题复习一：线段的比、黄金分割1、在比例尺1：10000的地图上，相距2cm 的两地的实际距离是（ ）。
A ．200cm B ．200dm C ．200m D ．200km 2．已知线段a=10，线段b 是线段a 上黄金分割的较长部分，则线段b 的长是 3．若则下列各式中不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4、若52=-yy x ，则y x =_________。
已知32=y x ，则yx yx +-=_________。
5、若045=-y x 且0≠xy ，则x ∶y =_________。
6、2和8的比例中项是_________；线段2㎝与8㎝的比例中项为_________。
7、如果两个相似三角形的面积比为3∶4，则它们的周长比为_________。
8、已知a ：b ：c ＝2 ：3 ：4，且2a ＋3b －2c ＝10，求a ， b ，c 的值。
相似三角形专题复习二：相似的性质1、如果两个相似三角形的面积比为3∶4，则它们的周长比为_________。
1.1已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为 2、如图,DE ∥BC ，AD ∶BD=2∶3，则ΔADE 的面积∶四边形DBCE 的面积=_________。
2.1如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有：（ ）个3、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，△ADE 与△BCE 面积之比为4 ：9，那么△ADE 与△ABE 面积之比为________4、如图，在△ABC 中，矩形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH ⊥BC 交DE 于M ，DG ∶DE ＝1∶2，BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ，求矩形的各边长。
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相似三角形专题复习
例1：如图，有一块锐角三角形余料ABC ，它的边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成正方形零件，
使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，加工成正方形零件的边长为多少毫米？
（一变）：正方形为长方形
⑴、正方形PQMN 换成矩形PQMN ，满足PN ∶PQ=1∶2，结果改为“求矩形PQMN 的长和宽”。
⑵、把正方形PQMN 换成矩形PQMN ，并增加条件矩形PQMN 的周长为200mm ，结果改为“求矩形
PQMN 的长和宽”。
⑶、把结果改为求设PN=x ，矩形PQMN 的面积为y ，求y 关于x 的函数表达式，并指出x 的取值范围.当为PQ 何值时，矩形PQMN 的面积最大
（二变）：三角形的形状，正方形摆放位置的变化
⑴、已知如图△ABC 中，∠C=900，AB=5cm ，AC=4cm ；三角形内有正方形内接于△ABC ，有两种内接形
式，分别求出正方形的边长。
⑵、在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，AC = 3，
①、三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，求正方形的边长； ②、三角形内有并排的n 个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，求正方形的边长；
F
E D C
A B G F E D C A B
H C A B G D F E I ......C B A
（三变）：变矩形为三角形
⑴、在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，AC = 3，以C 为顶点，作一个内接等边三角形，且使它的一边
在 Rt △ABC 的一边上；符合上述条件的等边三角形能作几个？并求出三角形的各边长。
⑵、把正方形PQMN 换成等腰直角三角形PMN ，直角顶点P 在BC
上，斜边MN 的两个端点分别在AB ，AC 上，且MN//BC ，结论
改为“求等腰直角三角形PMN 的面积”。
例2. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．
(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；
(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；
(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．
例3.已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F 在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ；
(2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4．
如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．
例4.（2011湖南怀化）如图8，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC=40cm ，
B C A C B A C
B A A B C
D E A B C D
E F
AD=30cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上， 顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M 。
⑴求证：
;AM HG AD BC
⑵、求这个矩形EFGH 的周长。
例5. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。
（1）求证△BPD ∽△CEP
（2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。
例6.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ， PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，记PE =1y ，PF =2y
（1）分别求1y 、2y 关于x 的函数关系式 （2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出CP 的长，若不能，请说明理由。
例7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6、P 是AB 边上的一个动点（异于A 、B 两点），过点P
C P E A B F C P E A B D
分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N、设AP=x。
⑴、在△ABC中，AB= ；
⑵、当x= 时，矩形PMCN的周长是14；
⑶、是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?
请说出你的判断，并加以说明、
例8.如图，等边△ABC的边长为12㎝，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE＝4㎝，若点F从点B开始以2㎝/s的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒，当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O.
⑴、设△EGA的面积为S（㎝2），求S与t的函数关系式；
⑵、在点F运动过程中，试猜想△GFH的面积是否改变，若不变，求其值；若改变，请说明理由。
⑶、请直接写出t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点。