323直线与平面的夹角
课件2：3.2.3直线与平面的夹角
知 AC 为平面 BB1D1D 的一个法向量， 设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 θ.
则 sin θ＝| AP·AC |＝ | AP|| AC |
2· 22＋m2＝
2 2＋m2.
cos θ＝ 1－sin2θ＝ 2＋m m2，
依题意 m2＝3 2，
解得 m＝13，
故当 m＝13时，直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角的正切值为
[一点通] 求线面角关键是确定斜线在平面上射影的位 置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角．在本例 中，也可以直接作AH⊥BC于H，进而证明AH⊥平面α，从 而证明H是点A在平面α内的射影．解法二则灵活应用公式 cos θ＝cos θ1·cos θ2求线面角，也是常用的方法．
3．PA、PB、PC是由点P出发的三条射线，两两夹角为
2＝ 6
36.
∴cos θ＝
1－sin2θ＝
1－69＝
3 3.
即 AD 与平面 BMD1N 所成角的余弦值为 33.
6.如图，在棱长为1的正方体ABCD— A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点， CP＝m，试确定m，使直线AP与平面 BDD1B1所成角的正切值为3 2.
解：建立如图所示的空间直角坐标系． 则 A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1， m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)， D1(0，0，1)， 所以 BD＝(－1，－1，0)，BB1 ＝(0，0， 1)， AP＝(－1，1，m)， AC ＝(－1，1，0)， 又由 AC ·BD＝0， AC ·BB1 ＝0，
设向量 AB 在平面α内的射影为 AB ，且直线AB与平 面α的夹角为θ，则〈 AB ， AB 〉＝θ，| AB | ＝ | AB|cos θ ．
高中数学 323直线与平面的夹角同步练习 新人教B版选修21
3.2.3直线与平面的夹角一、选择题1．已知平面α内的角∠APB ＝60°，射线PC 与PA 、PB 所成角均为135°，则PC 与平面α所成角的余弦值是( )A ．－63B.63 C.33D ．－33[答案] B[解析] 由三余弦公式知cos45°＝cos α·cos30°， ∴cos α＝63. 2．三棱锥P —ABC 的底面是以AC 为斜边的直角三角形，顶点P 在底面的射影恰好是△ABC 的外心，PA ＝AB ＝1，BC ＝2，则PB 与底面ABC 所成角为( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．90°[答案] B[解析] 由AB ＝1，BC ＝2，知AC ＝3，∴OA ＝32， 又∵PA ＝1，PQ ⊥AC ，∴PO ＝12，∵OB ＝OA ＝32，∴tan θ＝33.∴应选B. 3．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值是( ) A.24 B.23 C.63D.32[答案] C[解析] 由计算得sin θ＝23.故选C. 4．在三棱锥P —ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216B.833C.21060D.21030[答案] D[解析] 以O 为原点，射线OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图，设AB ＝a ，则OP ＝72a ，OD →＝(－24a,0，144a )，可求得平面PBC 的法向量为n ＝(－1，－1，17)， ∴cos(OD →，n )＝OD →·n |OD →||n |＝21030，设OD →与面PBC 的角为θ，则sin θ＝21030，故选D.5．若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l与直线a 所成角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2[答案] D6．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为( )A.13B.223C.22D.23[答案] A7．如图，正方体AC 1中，BC 1与对角面BB 1D 1D 所成的角是( ) A ．∠C 1BB 1 B ．∠C 1BD C ．∠C 1BD 1 D ．∠C 1BO [答案] D[解析] 由三垂线定理得，OB 为BC 1在平面BB 1D 1D 上的射影．故选D.8．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，则直线A 1B 与平面BDE 所成的角为( )A.π6B.π3C.π2D.56π [答案] B[解析] 以D 为原点建立空间直角坐标系，平面BDE 的法向量n ＝(1，－1,2)， 而BA 1→＝(0，－1,1)，∴cos θ＝1＋223＝32，∴θ＝30°.∴直线A 1B 与平面BDE 成60°角．9．正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 折起，使点D 在面ABCD 外 ，这时DB 与平面ABC 所成角一定不等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] D[解析] 当沿对角线AC 折起时，BD 在面ABC 上的射影始终在原对角线上，若BD ⊥面ABC ，则此时B 、D 重合为一点，这是不成立的，故选D.10．已知等腰直角△ABC 的一条直角边BC 平行于平面α，点A ∈α，斜边AB ＝2，AB 与平面α所成的角为30°，则AC 与平面α所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] B[解析] 过B 、C 作BB ′⊥α于B ′，CC ′⊥α于C ′， 则BB ′＝CC ′＝1，∴sin θ＝22，∴θ＝45°.故选B. 二、填空题11．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角的余弦值为________．[答案]104[解析] 设三棱柱的棱长为1，以B 为原点，建立坐标系如图，则C 1(0,1,1)，A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，1， 又平面BB 1C 1C 的一个法向量n ＝(1,0,0)， 设AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角为θ.sin θ＝|cos 〈n ，AC 1→〉|＝|AC 1→·n ||AC 1→||n |＝64，∴cos θ＝1－sin 2θ＝104. 12．正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点S 在底面内的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．[答案] 30°13．AB ∥α，AA ′⊥α， A ′是垂足，BB ′是α的一条斜线段，B ′为斜足，若AA ′＝9，BB ′＝63，则直线BB ′与平面α所成角的大小为________．[答案] 60°14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、A 1D 1的中点，则EF 与面A 1C 1所成的角为________．[答案] 45° 三、解答题15．如图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求SC 与平面ABCD 所成的角．[解析] 解法1：如图所示，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，A ∈α，则AB 与平面α所成的角为π2－arccos |AB →·n ||AB →|·n ；AS →是平面ABCD 的法向量，设CS →与AS →的夹角为φ.∵CS →＝CB →＋BA →＋AS →，∴AS →·CS →＝AS →·(CB →＋BA →＋AS →)＝AS →·AS →＝1. |AS →|＝1，|CS →|＝(CB ―→＋BA ―→＋AS ―→)2 ＝|CB ―→|2＋|BA ―→|2＋|AS ―→|2＝3， ∴cos φ＝AS →·CS→|AS →|·|CS →|＝33.∴φ＝arccos33. 从而CS 与平面ABCD 所成的角为π2－arccos 33.解法2：连结AC ，显然∠SCA 即为SC 与平面ABCD 所成的角．计算得：AC ＝2，∴tan∠SCA＝22， 故SC 与平面ABCD 所成角为arctan22. 16．如图，在直三棱柱ABO —A ′B ′O ′中，OO ′＝4，OB ＝3，∠AOB ＝90°.D 是线段A ′B ′的中点，P 是侧棱BB ′上的一点．若OP ⊥BD ，试求：(1)OP 与底面AOB 所成的角的大小； (2)BD 与侧面AOO ′A ′所成的角的大小．[解析] 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，由题意，有B (3,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，4，设P (3,0，z )，则BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2，4，OP →＝(3,0，z )．∵BD ⊥OP ，∴BD →·OP →＝－92＋4z ＝0，z ＝98.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，98.(1)∵BB ′⊥平面AOB ，∴∠POB 是OP 与底面AOB 所成的角． ∵tan∠POB ＝983＝38，∴∠POB ＝arctan 38.故OP 与底面AOB 所成角的大小是arctan 38.(2)∵OB →＝(3,0,0)，且OB →⊥平面AOO ′A ′， ∴平面AOO ′A ′的法向量为OB →＝(3,0,0)． 又DB →＝(3,0,0)－⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－2，－4，∴OB →·DB { ＝3×32＋(－2)×0＋(－4)×0＝92.又|OB →|＝3， |DB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋(－2)2＋(－4)2＝892， ∴cos〈OB →，DB →〉＝OB →·DB →|OB →|·|DB →|＝923×892＝389 .∴BD 与侧面AOO ′A ′所成的角的大小为π2－〈OB →，DB →〉＝π2－arccos 389(或写成arcsin389)．17．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，求BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值．[解析] 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B (2,2,0)，B 1(2,2,2)，E (0,2,1)，BD →＝(－2，－2,0)，BB 1→＝(0,0,2)，BE →＝(－2,0,1)．设平面B 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵n ⊥BD ，n ⊥BB 1∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝－2x －2y ＝0n ·BB 1→＝2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－yz ＝0，令y ＝1时，则n ＝(－1,1,0)， cos<n ，BE →>＝n ·BE →|n ||BE →|＝105.即BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为105.18．(2009·北京)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的大小； [解析] 考查线面垂直，直线与平面所成角，以及二面角等内容，可以用直接法实现，也可用向量法．解法一：(1)∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴DE ＝12BC .又由(1)知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E .∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形， ∴AD ＝12AB .在Rt△ABC 中，∠ABC ＝60°，∴BC ＝12AB .∴在Rt△ADE 中，sin∠DAE ＝DE AD ＝BC 2AD ＝24.∴AD 与平面PAC 所成的角的大小为arcsin24. 解法二：(1)如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz .设PA ＝a ，由已知可得A (0,0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，32a ，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，0，P (0,0，a )． (1)∵AP →＝(0,0，a )，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，0，0，∴BC →·AP →＝0， ∴BC ⊥AP .又∵∠BCA ＝90°， ∴BC ⊥AC . ∴BC ⊥平面PAC .(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ，34a ，12a ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34a ，12a .又由(1)知，BC ⊥平面PAC . ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角．∵AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ，34a ，12a ，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34a ，12a ，∴cos∠DAE ＝AD →·AE →|AD →||AE →|＝144.∴AD 与平面PAC 所成的角的大小为arccos144.。
第3章3.23.2.3直线与平面的夹角
1．直线和平面所成的角
4
90° 0° 射影
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5
思考：直线 l 的方向向量 s 与平面的法向量 n 的夹角一定是直线 和平面的夹角吗？
[提示] 不是．直线和平面的夹角为π2－〈s，n〉.
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2．最小角定理
6
cos θ= cos θ1﹒cos θ2
射影
最小的角
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7
1．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则
1
第三章 空间向量与立体几何
3．2 空间向量在立体几何中的应用 3．2.3 直线与平面的夹角
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2
学习目标
核心素养
1.理解斜线和平面所成的角的定
义，体会夹角定义的唯一性、合理 通过空间线面角提升学生的数
性. 学运算、逻辑推理素养.
2.会求直线与平面的夹角．(重点、
难点)
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3
自主预习 探新知
ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 CC1 的中点，则直线 A1B 与平面 BDE 所成的角为( )
π
π
A.6
B.3
π
5π
C.2
D. 6
11
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12
B [以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向为 x 轴，y 轴，z 轴正 方向建立空间直角坐标系(图略)，则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， E0，1，12，
AC＝AB·sin 60°＝2a× 23＝ 3a，
所以 PC＝ 3a2＋4a2＝ 7a，设∠ACP＝θ，
则 AE＝AC·sin θ＝AC×APCP
＝
3a×
2a ＝2 7a
3.2.3直线与平面的夹角
uur 由于 m 是单位向量，故有
uuur
uuur
| OA | cos | OB | cos2
uuur
cos
| |
OuuBur OA
| |
cos
2
A
uuur
Q
| |
OuuBur OA
| |
cos1
所以 cos cos1 cos2
O
1
uur m
2 B M
向量证法
算来研究θ，θ1，θ2之间 的关系。
做的这射点影到上这。个平面的斜线段。
Liangxiangzhongxue
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的 直线叫做斜线在这个平面上的射影；
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面 上的射影。
Bqr6401@
二、提出问题
普 从平面外一点向这个平面所引的垂
通 线段和斜线段AB、AC、AD、AE…中， 高 那一条最短？ 中
rr a, n
|
|
r ar
•
r nr
|
| a || n |
Liangxiangzhongxue
Bqr6401@
Liangxiangzhongxue
普 通 高 中 课 程 标 准
三、概念形成
概念3.求直线与平面所成角的基本方法
(2)向量求法：
例子：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角。
间直角坐标系。设PD=DC=2，则 D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),
zP
P(0,0,2),E(0,1,1)
uuur
高中数学_3.2.3 直线与平面的夹角教学设计学情分析教材分析课后反思
直线和平面所成的角教学目标：（1）知识目标：①学生理解掌握直线和平面所成的角定义②学生初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤.（2）能力目标：培养学生的概括能力和探索创新能力.（3）思想目标：学生进一步内化化归的数学思想方法.教学重点：（1）直线和平面所成的角的定义.（2）求直线和平面所成的角的方法步骤.教学难点：求直线和平面所成的角的方法步骤教学方法：问题探索法及启发式讲授法教学设计（一）课前复习：1、异面直线所成角的概念2、直线与平面的位置关系有哪几种：（直线在面内，直线和平面平行，直线和平面相交）设计意图：异面直线所成角的是划归为相交直线夹角求解的，而直线与平面所成的角及后面将学习的二面角也都是划归为相交直线夹角求解的，通过复习，让学生产生对比联系，为后续学习作好铺垫。
对相交的情况作进一步的复习：当直线与平面相交而不垂直时指把这条直线称为这平面的斜线，从而提出第二个要复习的问题，设计的要复习问题的逻辑性，学生思考的层次一步步引导（二）知识探究：1．概念形成（1）直线与平面所成的角（2）斜线与平面所成的角演示----观看讲解----理解识记教师结合自制几何实物模型和几何画板课件，为学生展示直线与平面所成角线面角是由线线交来定义的。
概念的形成过程同时讲清相关概念。
注意直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角联系与区别。
注意角的范围。
2．探索结论（1）三余弦定理及最小角定理启发思考----自主探究实验----观察----猜想引导---证明学生亲自动手借助于自制几何摸模型和多媒体课件做实验直观观察感受动态中发现最小角定理。
（1）把模型中的直线OD绕着点旋转，引导学生观察并思考：直线OA与OD所成的最大角是多少度？直线OD不与OB重合时，OA 与OD所成的角和直线OA与平面ABCD所成的角相比较，哪一个较大？设计意图：通过模型让学生直观感受最小角定理，之后证明。
（2）当直线OA的射影不经过点O时，上面的结论是否任然成立？引导学生根据异面直线所成角的定义，得出最小角定理。
课件7：3.2.3 直线与平面的夹角
∴O 为△BCD 的中心，连接 OD 并延长交 BC 于 F， 则 F 为 BC 的中点.令正四面体棱长为 1，
可求得 CE＝ 23，DF＝ 23，OD＝ 33，
AO＝ AD2－OD2＝ 1－39＝ 36，∴EG＝ 66，
在
Rt△ECG
中，sin∠ECG＝ECGE＝
2 3.
题型二 用向量法求线与面的夹角 例 3 将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使 得平面 ABD⊥平面 BCD，AE⊥平面 ABD，且 AE＝ 2. (1)求证：DE⊥AC； (2)求 DE 与平面 BCE 所成角的正弦值.
失误防范 直线的方向向量与平面的法向量所成的锐角与线面角 是互余关系.
则
，即
n·C→B＝0 x－y－
， 2z＝0
∴y＝－x .
令 x＝1 得 n＝(1,－1, 2)，
又D→E＝(0,－2, 2)，
设直线 DE 与平面 BCE 所成角为 θ，
则
sinθ＝|cos〈n,D→E〉|＝||nn|·|DD→→EE||＝
6 3.
名师点评
利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤为： (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量A→B； (3)求平面的法向量 n； (4)计算:设线面角为 θ,则 sinθ＝||nn|·|AA→→BB||.
设平面 ABC1 的一个法向量为 n＝(x,y,z),
n·A→B＝ 3x＋y＝0
则有
，解得
n·A→C1＝2y＋ 2z＝0
x＝－
33y,z＝－
2y，
故可取 n＝(1,－ 3, 6).
所以，cos〈n,A→D〉＝|nn|·|AA→→DD|＝
23 ＝ 10× 3
教学设计2：3.2.3直线与平面的夹角
3.2.3直线与平面的夹角教学过程：一、复习引入：1．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：2．直线和平面的位置关系（平行、相交和直线在平面内）二、讲解新课：1斜线,垂线,射影⑴垂线自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长⑶垂线段比任何一条斜线段都短⑴OB=OC⇒AB=AC OB>OC⇒AB>AC⑵AB=AC⇒OB=OC AB>AC⇒OB>OC⑶OA <AB ，OA <AC3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角 直线和平面所成角范围： [0，2π]（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小 的角.证明：设平面α的一条斜线l 在α内的射影为l '，角θ是l 与l '所成的角直线OD 是平面α内与l '不同的任意一条直线，过点l 上的点A 引AC 垂直于OD ，垂足为C 因为AB <AC ， 所以AOACAO AB <，即AOC ∠<sin sin θ,因此AOC ∠<θ4．公式已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=用几何法研究：在平面α的斜线a 上取一点P ，过点P 分别作直线c 、b 的垂线PO 、PB ，垂足为O 、B 连接OB ，则OB ⊥b .在直角△AOP 中，AP AO=1cos ϕ. 在直角△ABC 中，AO AB=2cos ϕ.在直角△ABP 中，APAB=θcos .所以 θϕϕcos cos cos 21==⋅=APABAO AB AP AO所以θϕϕcos cos cos 21=成立 用向量运算研究：如图，AP 是平面α的斜线，A 是斜足，PO 垂直于平面α，O 为垂足，则直线AO 是斜线在平面α内的射影设AB 是平面α内的任意一条直线，且OB AB ⊥，垂足为B ，又设AP 与AO 所成角为1θ，AB 与AO 所成角为2θ，AP 与AB 所成角为θ，则易知：1||||cos AO AP θ=，212||||cos ||cos cos AB AO AP θθθ==又∵||||cos AB AP θ=，可以得到：12cos cos cos θθθ=⋅，则同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；三、讲解范例：例1如图，已知AB 是平面α的一条斜线，B 为斜足，,AO O α⊥为垂足，BC 为α内的一条直线，60,45ABC OBC ∠=∠=，求斜线AB 和平面α所成角O CBAα解：∵AO α⊥，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO ∠为AB 和α所成角， 又∵12cos cos cos θθθ=⋅，∴cos cos 601cos cos cos 452ABC ABO CBO ∠∠===÷=∠，∴45BAO ∠=，即斜线AB 和平面α所成角为45．例2．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角解法一：连结11A C 与11B D 交于O ，连结OB ，∵111DD AC ⊥，1111B D A C ⊥，∴1AO ⊥平面11BB D D ， ∴1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角， 在1Rt A BO ∆中，1112AO A B =，∴130A BO ∠=． 解法二：由法一得1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角，又∵112cos cos 452A BB ∠==，11cos 3BB B BO BO ∠==， ∴1111cos cos cos 2A BB A BO B BO ∠∠===∠，∴130A BO ∠=． 说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的情况下，用公式21cos cos cos θθθ=⋅求线面角显得更加方便 解法三：建立空间直角坐标系，用向量计算例3．已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等，求AC 与平面BCD 所成角的余弦值1A解：过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接,,CO BO DO ， ∵AB AC AD ==，∴O 是正三角形BCD 的外心， 设四面体的边长为a，则3CO =， ∵90AOC ∠=，∴ACO ∠即为AC 与平面BCD 所成角，∴cos ACO ∠=，所以，AC 与平面BCD所成角的余弦值为3．例4 如图，已知AP ⊥BP ，P A ⊥PC ，∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点，求AD 与平面PBC 所成角的余弦值.解：∵AP ⊥BP ，P A ⊥PC ，∴AP ⊥PBC 连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角 又∵∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点，∴PD =BC 27, P A =6BC ∴AD =BC 231∴31217cos ==∠AD PD PDA ODCBAC A∴AD 与平面PBC 所成角的余弦值为31217四、课堂练习： 1选择题（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ）A.（0º,90º）B.[0º,90º]C.[0º,180º]D.[0º,180º)（2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个（3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ）A.0条或1条B.0条或无数条C.1条或2条D.0条或1条或无数条【答案】（1）B (2)C (3)D 2．填空题（1）设斜线与平面α所成角为θ，斜线长为l ，则它在平面内的射影长是 . （2）一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，这条线段与平面α所成的角是 .（3）若（2）中的线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，则线段所在直线与平面α所成的角是 . 【答案】（1）θcos l （2）030 （3）101arcsin五、小结 ：我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念，射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则，结论不成立．线面夹角的概念及解题步骤：先找垂线，后找射影最后确定夹角 在具体解题时，关键是求斜线在平面内的射影 六、课后作业：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、A 1D 1的中点，求： （1）D 1B 1与面AC 所成角的余弦值； （2）EF 与面A 1C 1所成的角；（3）EF 与面AC 所成的角．解：（1）设正方体的边长为a ，则在1Rt D BD ∆中，1,DB D B ==.∴1cos D BD ∠==. （2）45°．（3）45°． 七、板书设计（略） 八、课后记：在具体解题时往往找不出夹角，关键是不能求斜线在平面内的射影，通过练习，使学生在不同的视图中能较熟练地找出射影E1。
教学设计1：3.2.3直线与平面的夹角
3.2.3直线与平面的夹角教学目标知识与技能：能用向量方法解决线面夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用.过程与方法：经历用向量方法解决某些简单的几何问题，体会向量是一种处理几何问题的工具，鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题； 情感、态度与价值观：通过本节学习，逐步认识向量的科学价值、应用价值和文化价值，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。
教学重点、难点重点：斜线和平面所成的角，如何求斜线和平面所成的角；难点：斜线和平面所成的角的求解，公式21cos cos cos θθθ=的灵活应用。
教学方法：1．讲清21cos cos cos θθθ=的推导过程，并引导学生做适当的探讨；2．引导学生在正确理解斜线在平面上的射影的概念的基础上，正确理解斜线和平面所成的角的概念。
教学过程一.自主学习，归纳总结1．直线与平面所成的角2．最小角定理最小角定理如图，AB ⊥α，则图中θ，θ1，θ2之间的关系是cos θ＝cos θ1·cos θ2斜线和它在平面内的射影所,成的角，是斜线和这个平面内所,有直线所成角中最小的角二.典例精析，方法形成例1如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.求BD与平面P AB所成的角．解⇒⇒平面P AD⊥平面P AB.取P A的中点为E，连接DE，BE，∵PD＝DC＝DA，⇒DE⊥平面P AB.∴BD与平面P AB所成的角是∠DBE.设PD＝a，则BD＝a，DE＝a，∴sin∠DBE＝＝.∴∠DBE＝30°，即BD与平面P AB所成的角为30°.反思与感悟求线面角关键是确定斜线在平面上射影的位置，才能将空间角转化为平面角．跟踪训练1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角．【解】如图所示，连接BC1交B1C于O点，连接A1O.设正方体棱长为a.易证BC1⊥平面A1B1CD，∴A1O为A1B在面A1B1CD上的射影．∴∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．在Rt△A1BO中，A1B＝a，OB＝a，∴sin∠BA1O＝＝，∴∠BA1O＝30°.即A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.例2如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．【解】由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD、AB、AS所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)．∴＝(0,0,1)，＝(－1，－1,1)．显然是底面的法向量，它与已知向量的夹角β＝90°－θ，故有sin θ＝cos β＝＝＝，∴cos θ＝＝.反思与感悟借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系．跟踪训练2已知正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，M(0，，a)，C1(－a，，a)，B(0，a,0)，故＝(－a ，，a )， ＝(0，，a )， ＝(－a ，－，a )．设平面AMC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则∴令y ＝2，则z ＝－，x ＝0. ∴n ＝(0,2，－)． 又＝(－a ，－，a )， ∴cos 〈，n 〉＝＝＝－.设BC 1与平面AMC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈，n 〉|＝.三. 课堂小结，明确规律利用向量法求解直线与平面夹角问题，最关键的是建立一个适当的空间直角坐标系，将点坐标化，从而可以求平面的法向量及直线的方向向量，要点是运算要正确.四.当堂训练，及时反馈1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错【解析】设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝12，又∵0＜θ≤90°，∴θ＝30°.【答案】C2．若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成角的取值范围是( )A ．[0，2π3] B ．[π2，2π3] C ．[π3，2π3] D ．[π3，π2] 【解析】由最小角定理知直线l 与直线a 所成的最小角为π3，又l 、a 为异面直线，则所成角的最大值为π2. 【答案】D3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为( ) A.33 B.12 C.66 D.36【解析】取BC 中点M ，连接AM ，OM ，易知∠OAM 即为AO 与平面ABCD 所成的角，可求得sin ∠OAM ＝66.【答案】C4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，C 1D 1的中点，则A 1B 1与平面A 1EF 夹角的正弦值为( ) A.62 B.63 C.64 D.2【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A 1(1，0，1)，E (1，12，0)， F (0，12，1)，B 1(1，1，1)．11A B ＝(0，1，0)，设平面A 1EF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·1A E ＝0，n ·1A F ＝0，即⎩⎨⎧12y －z ＝0，－x ＋y 2＝0.令y ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝1， ∴n ＝(1，2，1)，cos 〈n ，11A B 〉＝26＝63， 即线面角的正弦值为63. 【答案】B 5．等腰Rt △ABC 的斜边AB 在平面α内，若AC 与α成30°角，则斜边上的中线CM 与平面α所成的角为________．【解析】作CO ⊥α，O 为垂足，连接AO ，MO ，则∠CAO ＝30°，∠CMO 为CM 与α所成的角．在Rt △AOC 中，设CO ＝1，则AC ＝2.在等腰Rt △ABC 中，由AC ＝2得CM ＝ 2.在Rt △CMO 中，sin ∠CMO ＝CO CM ＝12＝22. ∴∠CMO ＝45°.【答案】45°6．已知三棱锥S －ABC 中，底面为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为________．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则S (0，0，3)，A (0，0，0)，B (3，1，0)，C (0，2，0)．∴AB ＝(3，1，0)，SB ＝(3，1，－3)，SC ＝(0，2，－3)．设面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SB ＝3x ＋y －3z ＝0，n ·SC ＝2y －3z ＝0.令y ＝3，则z ＝2，x ＝3，∴n ＝(3，3，2)．设AB 与面SBC 所成的角为θ， 则sin θ＝|n ·AB ||n ||AB |＝3＋34×2＝34. 【答案】347.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值．【解】设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1.如图所示，以AB ，AD ，1AA为单位正交基底建立空间直角坐标系．依题意，得B (1，0，0)，E (0，1，12)，A (0，0，0)，D (0，1，0)，所以BE ＝(－1，1，12)，AD ＝(0，1，0)． 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD 是平面ABB 1A 1的一个法向量，设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|BE ·AD ||BE |·|AD |＝132×1 ＝23，即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23. 8．如图，四棱锥P —ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．(1)求证：AC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．【解】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥AC .∵PD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面PDB .(2)建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1，则A (1，0，0)，C (0，1，0)，E (12，12，22)， AE ＝(－12，12，22)．由(1)知AC ＝(－1，1，0)为平面PDB 的一个法向量．设AE 与平面PDB 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AC ，AE 〉|＝|AC ·AE ||AC ||AE |＝12×1＝22. ∴AE 与平面PDB 所成的角为45°.。
课件8：3.2.3 直线与平面的夹角~3.2.4 二面角及其度量
A→E＝b2，－2a，2a，A→C＝(b,0,0)． 设平面 AEC 的法向量为 m＝(x，y，z)．
由mm··AA→→EC＝＝00，，
得b2x－a2y＋a2z＝0， bx＝0.
∴x＝0，y＝z.∴取 m＝(0,1,1)，
cos〈m，A→P〉＝|mm|·|AA→→PP|＝
2a·a＝
2 2.
∴平面 AEC 与平面 ABCD 的夹角为 45°.
则n1·D→E＝0， n1·D→A＝0，
即2 2
2y1＝0， 2x1－z1＝0.
∴y1＝0，令 x1＝1，则 z1＝2 2， ∴平面 DAE 的一个法向量为 n1＝(1,0,2 2)． 设平面 ABE 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
则n2·B→E＝0， n2·A→B＝0，
∴O→F⊥A→C.
∴∠EOF 为平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角(或补角)．
cos〈O→E，O→F〉＝|OO→→EE|·|OO→→FF|＝
2 2.
∴平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角为 45°.
法二 建系如方法一，∵PA⊥平面 ABCD，
∴A→P＝(0,0，a)为平面 ABCD 的法向量，
预习自测
1．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，二面角 A1-BC-A 的
余弦值为( )
1
2
A.2
B.3
2 C. 2
3 D. 3
预习自测
【解析】 易知∠A1BA 为二面角 A1-BC-A 的平面角，
cos∠A1BA＝AA1BB＝
2 2.
【答案】 C
2．已知△ABC 和△BCD 均为边长为 a 的等边三角形，
所组成的图形叫做二面角，
这条直线 叫做二面角的棱， 每个半平面 叫做二面角的
学案6：3.2.3 直线与平面的夹角
3.2.3 直线与平面的夹角课堂导学三点剖析一、最小角定理的应用例1 已知四棱锥P -ABCD （如右图），底面是边长为2的正方形.侧 棱P A ⊥底面ABCD ，P A =a ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，MQ ⊥PD 于Q . (1)直线PC 与平面PBA 所成角的正弦值为33.求P A 的长； (2)P A =2，求PM 与平面PCD 所成角的正弦值.温馨提示最小角定理的应用注意形式，θ1，θ2所处的位置. 二、利用三垂线定理求线面角例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.（1）证明：P A∥平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值.温馨提示解题过程一般要包含作图、证明、计算三步.另外借助于法向量求线面角将更加简捷.三、利用向量求线面角例3 如图所示的正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1∶AB=2∶1，E、F分别为面A1C1和面BC1的中心.求（1）异面直线CE与AF所成的角；（2）A1F与平面BCC1B1所成的角；温馨提示充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，用相关知识求解线面角.各个击破类题演练1P A、PB、PC从P引出三条射线每两条的夹角都是π3，则直线PC与面P AB所成角的余弦值为多少？变式提升1面α垂直面β，交线为CD，A∈CD，AP⊂α，∠DAP=30°，QA⊂β，∠DAQ=30°，求∠P AQ 的大小.类题演练2在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=AC=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.求AB与平面ABD所成角的大小.变式提升2如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、l2上，AM=MB=MN.若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值.类题演练3如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，P A⊥底面ABCD，且P A=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.(1)求证：PB⊥DM;(2)求CD与平面ADMN所成的角.变式提升3如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面AB1所成的角.参考答案课堂导学例1 解：(1)PC=（2，2，-a），平面PBA的一个法向量为n=AM=(0，1，0).∵直线PC 与平面PBA 所成角的正弦值为33， ∴|cos 〈PC ，n 〉|=33， 即33|010)(222|222222=++•-++a ∴a =2，即P A =2.(2)PM =（0，1，-2），OP =（0，-2，2），DC （2，0，0）. 设平面PCD 的法向量为n =(x ，y ，1)，则⎪⎩⎪⎨⎧=•+•+•=•=•+•-+•=•.01002,012)2(0y x DC n y x OP n 解得⎩⎨⎧==.1,0y x ∴n =(0，1，1). ∴cos 〈PM ，n 〉=1010251-=•±-. ∴PM 与平面PCD 所成角的正弦值为1010. 例2 （1）证明：连结AC ，AC 交BD 于O .连结EO . ∵底面ABCD 是正方形， ∴点O 是AC 的中点.在△P AC 中，EO 是中位线， ∴P A ∥EO .而EO ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB . 所以，P A ∥平面EDB .（2）解：作EF ⊥DC 交DC 于F .连结BF .设正方形ABCD 的边长为a ， ∵PD ⊥底面ABCD ， ∴PD ⊥DC .∴EF ∥PD ，F 为DC 的中点.∴EF ⊥底面ABCD ，BF 为BE 在底面ABCD 内的射影，故∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的角.在Rt △B CF 中，BF =a a a CFBC 25)2(2222=+=+.∵EF =21PD =2a， ∴在Rt △EFB 中， tan ∠EBF =55，则BE 与面ABCD 所成角的正切值为55. 例3 解：如图，以D 为原点，DA 为Ox 轴正方向，DC 为Oy 轴正方向，DD 1为Oz 轴正方向建立空间直角坐标系.∵A 1A ∶AB =2∶1，可设AB =2，由此得到相应各点的坐标分别为A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），E （1，1，4），F （1，2，2），A 1（2，0，4），B 1（2，2，4），∴CE =（1，-1，4），AF =（-1，2，2），F A 1=（-1，2，-2），F B 1=（-1，0，-2），A A 1=（0，0，-4），EB =（1，1，-4）.（1）设异面直线CE 和AF 所成的角为α，则 cos α2185918821||||=⨯+--=AF CE ∴α=arccos2185，此即异面直线CE 和AF 所成的角. （2）∵A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴A 1F 与平面BCC 1B 1，所成的角为∠A 1FB 1（设为β）. 则cos β=||||1111F B F A FB F A +•=59401⨯++=35. ∴β=arccos35. 此即为A 1F 与平面BCC 1B 1所成的角.各个击破类题演练 1解：设点C 在面P AB 上的射影为H ，则∠HP A =30°=θ2，∠APC =θ=60°，θ1=∠CPH 即为所求的线面角，有cos θ1·cos θ2=cos θ，得cos θ1=3330cos 60cos =.变式提升 1解：过P 作PM ⊥CD ，则PM ⊥β，即∠P AM 为直线AP 与β所成的角，设∠P AM =θ1，∠MAQ =θ2，∠P AQ =θ，有cos θ=cos θ1cos θ2，即cos θ=cos30°·cos30°=43，得θ=∠P AQ =arc cos 43.类题演练 2解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角，设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，因为D 、E 分别是CC 1、A 1B 的中点，又DC ⊥平面ABC ，所以CDEF 为矩形.连结DF ，G 是△ADB 的重心，EF =1，FD =3，ED =2，EG =36，则FC =ED =2，BE =3，则sin ∠EBG =EB EG =32，所求的角为arcsin 32.变式提升 2解：∵Rt △CNA ≌Rt △CNB ，∴AC =BC ，又已知∠ACB =60°，因此，△ABC 为正三角形. ∵Rt △ANB ≌Rt △CNB .∴NC =NA =NB ，因此，N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心， 连结BH ，∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角.在Rt △NHB 中，cos ∠NBH =362233==AB ABNB HB . 类题演练 3解：如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A —xyz ，设BC =1，则A （0，0，0），P （0，0，2），B （2，0，0），C （2，1，0），M （1，，1），D （0，2，0）.(1)∵PB ·DM =（2，0，-2）·（1，-，1）=0， ∴PB ⊥DM .(2)∵PB ·AD =（2，0，-2）·（0，2，0）=0， ∴PB ⊥AD ，又因为PB ⊥DM ，∴PB ⊥平面ADMN .∵〈PB ，DC 〉的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角. ∵cos 〈PB ，CD 〉510||||=DC PB DC PB . ∴CD 与平面ADMN 所成的角为arcsin510. 2123变式提升 3解：1AA =(0，0，2a ).设侧面A 1B 的法向量n =(λ，x ，y )，所以n ·AB =0，且n ·1AA =0，∴ax =0，且2ay =0，∴x =y =0，故n =(λ，0，0). ∵1AC =(23-a ，，2a ).∴cos 〈1AC ，n 〉||||11AC n AC aa3||23••-λλ=. ∴sin θ=|cos 〈1AC ，n 〉|=，∴θ=30°.2a ||2λλ-21。
3.2.3直线与平面的夹角
x
练习： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB= 5，AD 8,
AA1 4, M 为B1C1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM .
简解：
z
A1 B1
M A B
A(0,0,0), A1 (0,0, 4), D(0,8,0), M (5, 2, 4)
x
例 2 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平 行四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知ABC 450 AB=2，BC= 2 2 ，SA=SB= 3 . (1)求证
SA BC.
(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。 z S
C
O
B y
D
x
A
证明：(1)取BC中点O，连接OA、OS。
N
D1
C1
AM (5,2,4), A1D (0,8, 4),
y
C
AM A1D＝0 A1D AM .
x
（2）求AD与平面ANM 所成的角.
二、线面角
斜线与平面所成的角
平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角 A
O
B
当直线与平面垂直时，直 线与平面所成的角是90°
当直线在平面内或 与平面平行时， 直线与平面所成的角 是 0°
M
B
如图,直线OA与平面所成的角为1,平 面内一条直线OM与OA的射影OB所成 的角为2,设∠AOM为
求证:cos= cos 1 ×cos 2
A
O
B
M
若直线 l1与平面所成的角为60 ° ，则这条直线与 平面内的直线所成的一切角中最小的角为 ， 60° 最大的角为 。 90° l1
3.2.3直线与平面的夹角
3.2.3直线与平⾯的夹⾓【本讲教育信息】⼀. 教学内容：3.2.3 直线与平⾯的夹⾓3.2.4 ⼆⾯⾓及其度量3.2.5 距离⼆. 教学⽬的1、理解斜线和平⾯所成的⾓的定义，体会夹⾓定义的唯⼀性、合理性；会求直线与平⾯的夹⾓．2、掌握⼆⾯⾓的概念，⼆⾯⾓的平⾯⾓的定义，会找⼀些简单图形中的⼆⾯⾓的平⾯⾓；掌握求⼆⾯⾓⼤⼩的基本⽅法与步骤．3、理解图形F1与图形F2的距离的概念；掌握点线距、线线距、线⾯距、⾯⾯距的概念，会解⼀些简单的与距离有关的问题．三. 教学重点、难点◆重点：（1）斜线与平⾯所成的⾓（或夹⾓）及其求法；（2）⼆⾯⾓的概念，⼆⾯⾓的平⾯⾓的定义；（3）点线距、线线距、线⾯距、⾯⾯距的概念；点到平⾯距离的求法．◆难点：（1）⼆⾯⾓⼤⼩的求法．（2）斜线与平⾯所成的⾓的求解；公式的灵活运⽤．四. 知识分析3.2.3直线与平⾯的夹⾓1、提出问题：（1）直线与平⾯的位置关系有哪些？（l，或l//α，或l（l⊥α））（2）当直线与平⾯斜交时，“倾斜程度”该如何衡量？（此时，对线⾯⾓的提出有了强烈的要求）（3）线⾯⾓的⼤⼩怎样度量？⽅案：转化为合适的线线⾓．【探究】已知平⾯γ及它的⼀条斜线l，斜⾜为O，则过O在平⾯γ内的直线m与l所夹的⾓是否不变？先观察：肯定变化再论证：在l上取⼀点P，作PQ⊥γ于Q，过Q作QM⊥m于M，连接PM，易知PM⊥m．如图记l与m所成的⾓（即∠POM）为β，记l与它在平⾯γ上的射影OQ所成的⾓为θ，∠QOM＝α在OM上取单位向量，则这说明，由于θ为定⾓，所以β随α⽽变化：当α＝0°时，取得最⼤值，从⽽β取最⼩值θ；当α＝90°时，取得最⼩值，从⽽β取最⼤值90°；【结论】斜线和它在平⾯内的射影所成的⾓，是斜线和这个平⾯内所有直线所成⾓中最⼩的⾓．2、定义：斜线和它在平⾯内的射影的夹⾓叫做斜线和平⾯所成的⾓（或斜线和平⾯的夹⾓）．注：（1）数学思想——转化：线⾯⾓→⾯⾯⾓（2）关键：找射影【练习】（1）在棱长都为1的正三棱锥S－ABC中，侧棱SA与底⾯ABC所成的⾓是________．（2）在正⽅体ABCD－A1B1C1D1中，①BC1与平⾯AB1所成的⾓的⼤⼩是___________；②BD1与平⾯AB1所成的⾓的⼤⼩是___________；③CC1与平⾯BC1D所成的⾓的⼤⼩是___________；④BC1与平⾯A1BCD1所成的⾓的⼤⼩是___________；⑤BD1与平⾯BC1D所成的⾓的⼤⼩是___________；（3）已知空间内⼀点O出发的三条射线OA、OB、OC两两夹⾓为60°，试求OA与平⾯BOC所成的⾓的⼤⼩．3.2.4⼆⾯⾓及其度量1、⼆⾯⾓的概念及记法定义：从⼀条直线出发的两个半平⾯所组成的图形叫做⼆⾯⾓；叫做⼆⾯⾓．说明：对⼆⾯⾓概念的理解，可类⽐与平⾯⼏何中⾓的定义．射线——半平⾯，顶点——棱．2、⼆⾯⾓的平⾯⾓定义：在⼆⾯⾓的棱上任取⼀点O，在两半平⾯内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做⼆⾯⾓的平⾯⾓．⼆⾯⾓的⼤⼩可以⽤它的平⾯⾓来度量．我们约定，⼆⾯⾓的范围[0°，180°]．【探讨】尝试⽤向量求⼆⾯⾓的⼤⼩如图所⽰，分别在⼆⾯⾓的⾯α、β内，并且沿α，β延伸的⽅向，作向量n1⊥l，n2⊥l，则我们可以⽤向量n1与n2的夹⾓来度量这个⼆⾯⾓．如图，设m1⊥α，m2⊥β，则⾓<m1，m2>与该⼆⾯⾓相等或互补．3、求⼆⾯⾓平⾯⾓的⽅法（1）定义法实例：过空间⼀点O出发的三条射线OA、OB、OC，两两夹⾓60°，试求⼆⾯⾓B－OA－C的⼤⼩．分析：如图，在射线OA上取点P，使OP＝1，过P作PM⊥OA，交OB于M，作PN⊥OA，交OC于N，连接MN．则显然∠MPN为所求⼆⾯⾓的⼀个平⾯⾓．利⽤已知条件可以迅速求出OM＝ON＝MN＝2，PM＝PN＝．利⽤余弦定理，就可以求出∠MPN的⼤⼩为．（2）三垂线定理实例：如图，已知直⾓Rt△ABC，∠ACB＝90°，PB⊥平⾯ABC，试求⼆⾯⾓B－PA－C的⼤⼩．分析：由已知，得：平⾯PAB⊥平⾯ABC，为了找此⼆⾯⾓的⼀个平⾯⾓，我们可先过C作CM⊥AB，这样CM⊥平⾯PAB，然后，过M作MN⊥PA于N，连接CN．根据三垂线定理，得：CN⊥PA，于是∠MNC就是所求⼆⾯⾓的⼀个平⾯⾓．（想⼀想，还可以怎么做？）3.2.5距离【求距离的注意事项】（1）求空间各种距离时，要紧紧抓住线线、点⾯、线⾯、⾯⾯之间距离的转化，其中，最基本、最重要的是点⾯距．（2）求距离和求⾓⼀样，都要按照⼀作⼆证三计算的步骤进⾏，不可忽视第⼆步的证明．（3）求距离时，要注意四点：①合理选点：当线⾯平⾏时，选端点中点、交点．当⽤体积法求点⾯距时，选⾼线长容易确定的顶点．②点点距离等于向量的模长，建⽴空间直⾓坐标系，探求向量坐标，继⽽求出模长、思路更加清晰，学⽣更易掌握．③异⾯直线的距离注意考纲要求，不要扩张．④注意⽴体⼏何与代数内容的结合点，如⼏何背景下的函数最值问题，⼏何问题代数化的向量⽅法等等．【典型例题】例1. 正⽅体ABCD－A1B1C1D1中，如图所⽰，E，F分别是棱AA1、AB的中点，求EF和平⾯ACC1A1所成⾓的⼤⼩．解析：解法1：过F作FG⊥AC于点G，连结EG，∵平⾯⊥平⾯ABCD且交线为AC∴FG⊥平⾯，EG为EF在平⾯内的射影，∴∠GEF即为EF与平⾯所成的⾓设正⽅体棱长为1，则⼜RtΔAGF中，∠GAF＝∴∴RtΔEGF中，∴∠GEF＝解法2：∵E、F分别是、AB的中点∴∴所求即为与平⾯所成⾓设AC和中点为，则由平⾯平⾯ABCD得∴∠即为所求．设正⽅体棱长为1，RtΔ中，∴解法3：建⽴如图所⽰的直⾓坐标系，设正⽅体棱长为2，则E（2，0，1），F（2，1，0）作FG⊥AC于G，由解法1知，∠GEF即为所求．∵RtΔAGF中，∠GAF∴∴G（，，0），（，，－1），（0，1，－1）∴∴∴EF与平⾯所成⾓为．点评：此题考查直线和平⾯所成⾓，其中，利⽤定义找射影是基本⽅法，确定斜线在平⾯内射影的点评：⼀般步骤：先找直线上不同斜⾜的⼀点（通常是已知的相关点）在平⾯内的射影，再将其与斜⾜连结，即得．例2.（2004，江苏卷）在棱长为4的正⽅体ABCD－A1B1C1D1中，O是正⽅形A1B1C1D1的中⼼，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP．（1）求直线AP与平⾯BCC1B1所成的⾓的⼤⼩（结果⽤反三⾓函数值表⽰）；（2）设O点在平⾯D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；（3）求点P到平⾯ABD1的距离．解析：（1）∵AB⊥平⾯，解析：∴AP与平⾯所成的⾓就是∠APB．如图建⽴空间直⾓坐标系，坐标原点为D．∵．．∵，．∴直线AP与平⾯所成的⾓为．（2）连结，由（1）（0，0，4），O（2，2，4）．∴（2，2，0），．∴．∵平⾯的斜线在这个平⾯内的射影是，∴．（3）连结，在平⾯中，过点P作PQ⊥BC1于点Q．∵AB⊥平⾯，．∴PQ⊥AB∴PQ⊥平⾯．∴PQ就是点P到平⾯的距离．在RtΔ中，∠C1QP＝90°，∠PC1Q＝45°，PC1＝3，∴，即点P到平⾯ABD1的距离为．例3. 如图，在底⾯是直⾓梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥⾯ABCD，SA＝AB＝BC＝1，．求⾯SCD与⾯SAB所成⾓的⼆⾯⾓θ的正切值．解析：以A为原点，AD，AB，AS分别为x，y，z轴建⽴直⾓坐标系，依题意有解析：S（0，0，1），C（1，1，0），D（，0，0），设（x，y，z）是⾯SCD的⼀法向量，则．解得n＝（2，－1，1），因为＝（，0，0）是⾯SAB的⼀法向量，所以，．例4. 如图，底⾯等腰直⾓三⾓形的直三棱柱，∠C＝，，D为上的点，且，求⼆⾯⾓的⼤⼩．解析：因为∠C＝，所以AC⊥BC，⼜直三棱柱，于是以C为原点，建⽴如图的空间直⾓坐标系，解析：设，则A（0，3，0），B1（3，0，3），D（0，0，2），所以（0，－3，2），＝（3，－3，3）设平⾯的法向量为（1，λ，µ），则即所以所以＝（1，－2，－3）．⽽平⾯的法向量即为＝（0，3，0），所以∴所求⼆⾯⾓⼤⼩为【模拟试题】1. 正⽅体中，直线与平⾯所成⾓的余弦值为（）A. B. C. D.2. 正四⾯体ABCD，E、F分别为AC、AD中点，则ΔBEF在⾯ADC上的射影是（）3. 平⾏六⾯体中，六个⾯都是菱形，则在平⾯上的射影是Δ的（）A. 重⼼B. 外⼼C. 内⼼D. 垂⼼4. ⼀直线与两个互相垂直的平⾯所成的⾓分别为α、β，则（）A. B.C. D.5. ⼀直线l，与平⾯α斜交成θ⾓，那么直线l与平⾯α内所有直线所成的⾓中，最⼩⾓和最⼤⾓分别是（）A. 0，B. θ，C. 不能确定D. 以上都不对6. 已知在ΔABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC，平⾯ABC外⼀点P到三个顶点的距离都是14，那么点P到⾯ABC的距离为（）A. 49B.C.D. 77. 线段AB夹在直⼆⾯⾓内，，，AB与α、β所成的⾓分别为θ、，那么为（）A. B. C. D.8. 平⾯α内的∠MON＝60°，PO是平⾯α的斜线段，PO＝3，且PO与∠MON的两边都成45°的⾓，则点P到α的距离为（）A. B. C. D.9. E是正⽅形ABCD的边AB的中点，将ΔADE和ΔBCE沿DE、CE向上折起，使A、B重合于点P，则⼆⾯⾓D—PE—C的⼤⼩为（）A. 45°B. 60°C. 90°D. ⼤于90°10. 在棱长为1的正⽅形中，平⾯与平⾯的距离为（）A. B. C. D.11. 在三棱锥P—ABC中，若PA＝PB＝PC，则点P在⾯ABC内的射影是ΔABC的__________．12. 长⽅体中，，AB＝2a，则对⾓线与平⾯ABCD所成⾓的余弦值为__________．13. ΔABC的三个顶点A、B、C到平⾯α的距离分别为2cm，3cm，4cm，且它们在α的同侧，则ΔABC 的重⼼到平⾯α的距离为__________．14. 已知RtΔABC的直⾓顶点C在平⾯α内，斜边AB//α，AB，AC、BC分别和平⾯α成45°和30°⾓，则AB到平⾯α的距离为__________．15. 在正四边体A—BCD中，E、F分别为AD、BC中点．（1）求AF与CE所成⾓的余弦值．（2）求CE与⾯BCD所成的⾓．16. 在直三棱柱中，底⾯是边长为2的正三⾓形，，求直线与侧⾯所成的⾓．17. 已知正⽅体的棱长为a，M为中点，O为的中点．（1）求证：MO为与的公垂线段，并求OM长；（2）求证：与⾯所成的⾓．（3）求证：；（4）求证：平⾯//平⾯，并求这两个平⾯的距离．18. 如图：多⾯体由底⾯为ABCD的长⽅体被截⾯AEFG所截⽽得，AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4，建⽴如图坐标系．（1）求与点G的坐标；（2）求异⾯直线EF与AD所成的⾓；（3）求截⾯AEFG与底⾯ABCD所成的锐⼆⾯⾓的正切值．【试题答案】1~10 C A D D A D D A B C11. 外⼼12.13. 414. 215. 证明：（1）AB＝AC＝AD＝a设，，，，，∴，∴AF与CE夹⾓为．（2）AO为正四⾯体的⾼，，（EH为过BCD作的垂线段）∠ECH为EC与⾯BCD所成的⾓，，∴CE与⾯BCD所成的⾓为16. 取中点D，∵Δ是正Δ，∴∵是直棱柱∴连结AD．∴∠DAB1是所求的⾓，，，∴∠DAB，∴∠17. （1）建⽴如图坐标，A1（a，0，0），A（a，0，a），B1（a，a，0），D（0，0，a），O（，，），M（a，0，），，OM⊥AA1．，OM⊥BD．．（2），∴B1D与⾯AB1成⾓为（3）B1D⊥A1C1，B1D⊥A1B，∴B1D⊥⾯A1BC1．（4），，∴⾯．∵，∴的法向量，（－a，－a，a），∴⾯距离．18. 解析：由题图可知A（1，0，0，），B（1，4，0），E（1，4，3），F（0，4，4），∴（－1，0，1）．设G（0，0，z），因为平⾯ADG//平⾯BCFE，且截⾯AEFG截平⾯ADG和平⾯BCFE分别于AG、EF，所以AC//EF，同理可得AE//FG．∴四边形AEFG是平⾏四边形．∴∴（－1，0，1）＝（－1，0，z），．∴G（0，0，1）．（2）＝（－1，0，0），∵，，，∴．∴即AD与EF所成的⾓为45°（3）＝（1，4，3）－（1，0，0）＝（0，4，3），．．，∴S平⾏四边形AEFG＝．由射影⾯积，设平⾯AEFG与平⾯ABCD成θ°⾓∴，∴．。
课件6：3.2.3直线与平面的夹角
→
→
∴BC1＝(－1,0,1)，AC1＝(－1,1,1)，
→
A1B＝(0,1，－1)，
→
A1D＝(－1,0，－1)．
→ →
∴AC1·A1B＝1－1＝0，
→ →
AC1·A1D＝1－1＝0.
→ 是平面 A BD 的一个法向量．
∴AC
1
1
→ ·AC
→
1＋1
BC
6
1
1
→
→
∴cos〈BC1，AC1〉＝
＝
＝ .
B．60°
C．150°
D．以上均错
4．正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，直线 BC1 与平面
A1BD 所成的角的正弦值为
2
A.
4
2
B.
3
6
C.
3
(
)
3
D.
2
【解析】
建系如图，设正方体
的棱长为 1，则 D(0,0,0)，
A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，
A(1,0,0)，
则 l 与 α 所成的角为 ( A )
2
A．30°
B．60°
C．120°
设 l 与 α 所成的角为 θ，
1
则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝ .
2
∴θ＝30°.
【解析】
D．150°
3．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于
150°，则直线 l 与平面 α 所成的角等于( B )
A．30°
例题解析
引例 ∠BAC在平面α内，过该角的顶点A引平面α
的斜线AP，且使∠PAB= ∠PAC，求证斜线AP在
教学设计3：3.2.3直线与平面的夹角
3.2.3直线与平面的夹角教学目标 1．知识与技能掌握直线和平面所成的角． 能够求直线和平面所成的角． 2．过程与方法通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力． 3．情感态度与价值观培养学生辩证的看待事物，体会事物在一定条件下可以相互转化． 教学重点：直线和平面所成的角． 教学难点：求直线和平面所成的角． 教学方法1．直线和平面所成的角，应分三种情况：①直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的锐角；②直线和平面垂直时，直线和平面所成的角为90°；③直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角为0°.由此可知，直线和平面所成的角的范围为[0，π2]．2．公式cos θ＝cos θ1·cos θ2.如图所示，OA 为平面α的斜线，AB 是OA 的平面α内的射影，AC 为平面α内过A 点的任一直线，设∠OAB ＝θ1，∠BAC ＝θ2，∠OAC ＝θ，则 cos θ＝cos θ1·cos θ2.(1)由0<cos θ2<1，∴cos θ<cos θ1，从而θ1<θ，这就是最小角定理．(2)在公式中，令θ2＝90°，则cos θ＝cos θ1·cos90°＝0，∴θ＝90°，即当AC ⊥AB 时，AC ⊥AO .此即三垂线定理；反之，若令θ＝90°，则有cos θ1·cos θ2＝0.∵θ1≠90°，∴θ2＝90°，即若AC ⊥AO ，则AC ⊥AB ，此即三垂线定理的逆定理，由此可知三垂线定理及逆定理可以看成是此公式的特例．(3)公式也叫“三余弦”公式，θ1，θ2，θ分别是斜线与射影，射影与平面内的直线，斜线与平面内的直线所成的角．若已知θ1，θ2，θ中的两个值可以求另一个值．3．有时B 在平面α内的射影O 的位置不好确定，也可用向量法求，如图所示，可求平面α的法向量n ，则n 与AB →所夹的锐角θ1的余角θ就是AB 与平面α所成的角．4．求法步骤： (1)求平面法向量n ；(2)在平面α内任取一点A ，求，AB →； (3)线面角α，满足sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·AB→|n|·|AB →|.新课学习 1．如图： cos θ＝cos θ1·cos θ2.2．最小角定理斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中的最小角． 3．直线与平面的夹角(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为90°．(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为0°．(3)斜线与它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)． 引例 ∠BAC 在平面α内，过该角的顶点A 引平面α的斜线AP ，且使∠P AB= ∠P AC ，求证斜线AP 在平面α内的射影平分∠BAC 及其对顶角（如图）.证明 ：如图，设点P 在α内的射影为点M ，则AM 为AP 在平面α内的射影.沿射影AB ，AC 的方向分别取单位向量i ，j ，则由PM ⊥平面α，得 MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥i ， MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥j ， 而MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·i =0， MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·j =0， 因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·i =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·i ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·j =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·j ， 即|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠P AB=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | cos ∠BAM , |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠P AC=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | cos ∠CAM .比较以上两式，因为cos ∠P AB=cos ∠P AC ，所以 cos ∠BAM=cos ∠CAM. 因此∠BAM=∠CAM.即直线AM 平分∠BAC 及其对顶角.命题方向1：定义法求斜线与平面的夹角例1 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ， PD ＝DC .求BD 与平面P AB 所成的角．解⎭⎪⎬⎪⎫∵PD ⊥平面ABCD AB ⊂平面ABCD ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PD ⊥ABDA ⊥AB PD∩DA ＝D⎭⎪⎬⎪⎫⇒AB ⊥平面PDA AB ⊂平面PAB ⇒平面P AD ⊥平面P AB . 取P A 的中点为E ，连结DE ，BD ， ∵PD ＝DC ＝DA ，⎭⎪⎬⎪⎫∴DE ⊥PADE ⊂平面PAD平面PAD ⊥平面PAB平面PAD∩平面PAB ＝PA ⇒DE ⊥平面P AB .设PD ＝a ，则BD ＝2a ，DE ＝22a ， ∴sin ∠DBE ＝22a 2a ＝12.∴∠DBE ＝30°，即BD 与平面P AB 所成的角为30°. 命题2：向量法求斜线与平面的夹角例2 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点E 、F 、G 、H 分别在棱CC 1、DD 1、BB 1、BC 上，且CE ＝12CC 1，DF ＝BG ＝14DD 1，BH ＝12BC .求AH 与平面AFEG 的夹角．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则G (0,0,1)，A (0,4,0)，F (4,4,1)，E (4,0,2)，H (2,0,0)，AF →＝(4,4,1)－(0,4,0)＝(4,0,1) AG →＝(0,0,1)－(0,4,0)＝(0，－4,1)， AH →＝(2,0,0)－(0,4,0)＝(2，－4,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面AFEG 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋z ＝0－4y ＋z ＝0，令x ＝1，则z ＝－4，y ＝－1. 即n ＝(1，－1，－4)，即AH 与平面AFEG 的夹角为θ， 则sin θ＝|cos 〈AH →，n 〉|＝618·20＝1010.∴AH 与平面AEFG 的夹角为arc sin 1010. 课堂巩固训练 一、选择题1．已知点P 是正三角形ABC 所在平面外一点，P A ＝PB ＝PC ＝23，AB ＝1，则PC 和平面ABC所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】D【解析】 由已知O 为外心，且AB ⊥OC ， ∴ ∠POC 为所求，∴OC ＝23×32＝33，PC ＝23，∴cos ∠POC ＝32，∴∠POC ＝30°.2．平面的一条斜线和这个平面所成的角θ的范围是 ( )A ．0°<θ<180°B ．0°≤θ≤90°C ．0°<θ≤90°D ．0°<θ<90°【答案】 D【解析】 由斜线和平面所成的角定义知选D.3．直线l 与平面θ成45°角，若直线l 在α内的射影与α内的直线m 成45°角，则l 与m 所成的角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】 C【解析】设θ1＝45°，θ2＝45°，由cos θ＝cos1·cos2得cos θ＝12，∴θ＝60°.故选C.二、填空题4．若AB 与平面α成30°角，且A ∈α，则AB 与α内不过点A 的所有直线所成角中的最大角________． 【答案】 90°【解析】 在平面α内，过A 点垂直于AB 在平面内射影的直线与AB 所成角最大，为90°. 5．自平面α外一点P 向平面α引垂线段PO 及两条斜线段P A ，PB ，它们在平面α内的射影长分别为2cm 和12cm ，且这两条斜线与平面α所成的角相差45°，则垂线段AO 的长为________．【答案】 4cm 或6cm【解析】 设P A ，PB 与α所成角分别为α1，α2，且α1＝α2＋45°， 又tan α1＝a 2，tan α2＝a12，∴12＋a 12－a ＝a 2，∴a ＝4或6.三、解答题6．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD .PD ＝DC ，E 是PC 的中点．求EB 与平面ABCD 夹角的余弦值．解 取CD 的中点M ，则EM ∥PD ， 又∵PD ⊥平面ABCD ，∴EM ⊥平面ABCD ， ∴BE 在平面ABCD 上的射影为BM ， ∴∠MBE 为BE 与平面ABCD 的夹角， 如图建立空间直角坐标系， 设PD ＝DC ＝1，则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)， ∴M ⎝⎛⎭⎫0，12，0，E ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12， ∴BE →＝⎝⎛⎭⎫－1，－12，12，BM →＝⎝⎛⎭⎫－1，－12，0，cos 〈BM →，BE →〉＝BE →·BM →|BE →||BM |→＝1＋1432×52＝306，∴BE 与平面ABCD 夹角的余弦值为306.。
高中数学人教B版选修2-1第三章 3.2.3 直线与平面的夹角 课件(共18张PPT)
P
A
B
C
夹角计算
二、斜线与平面所成的角的计算 （向量法）
夹角计算
二、斜线与平面所成的角的计算 （向量法）
斜线与平面所成交为θ，设此斜线的方 向向量为a 平面的法向量为n则
sinθ cosa,n
a•n an
课堂小结 1. 直线和平面所成角
0o , 90o
复习旧知识
异面直线所成角求法
1、几何法：通过平移使其共面后进行计算
2、向量法：设两条异面直线的方向向量分 别为a与b则所成角θ的余弦值为
coscos a,b
a•b ab
3、范围： 090
l
l
l
α
α
P α
l
垂
直
α
相
交
l
斜
P α
交
D1 A1
D A
C1 B1
C B
思考：平面的一条斜线与平面的夹角如何定义 呢？
斜线和平面所概成念的提角出
一、斜线和平面所成的角
P l
A
射影 O
1.定义：斜线和它在平面内的射影所成的角,叫做斜 线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）.
说明：斜线与平面所成的角θ的取值范围是：090
他与地面所成的角是哪个角？
垂 线
射影 垂足
斜足
l
A
o
B
α
C
斜线和平面所概成念的提角出 一、斜线和平面所成的角
P l
A
射影 O
斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜 线和这个平面所成角中最小的角
规定：
l
a
α或 在平面内，我们规定这条直线与
人教版高中数学选修21：3.2.3直线与平面的夹角 PPT课件 图文
课堂讲义
3.2.3 直线与平面的夹角
∴BM＝ a42＋a2＝ 25a
又 ME＝12PD＝21a，∴BE＝
54a2＋14a2＝
6 2a
∴在 Rt△BME 中
5
cos∠MBE＝BBME ＝
2
a ＝
6
30 6
2a
∴BE 与平面 ABCD 夹角的余弦值为 630.
预习导学 课堂讲义 当堂检测
∴A→B1＝ 26， 22，－1， C→1B＝ 26，－ 22，1， ∴A→B1·C→1B＝46－24－1＝0，∴A→B1⊥C→1B.
即 AB1 与 C1B 所成角的大小为 90°.
预习导学 课堂讲义 当堂检测
当堂检测
3.2.3 直线与平面的夹角
4. 如图，在三棱锥 V－ABC 中，顶点 C 在空间直角坐标系的原点处，顶点 A、 B、V 分别在 x、y、z 轴上，D 是线 段 AB 的中点，且 AC＝BC＝2，∠ π VDC＝θ.当 θ＝ 3 时，求异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值． 解 由于 AC＝BC＝2，D 是 AB 的中点，所以 C(0，0，0)，
高预中习数导学·学选修2-1·人教B版
3.2.3 直线与平面的夹角
3.2.3 直线与平面的夹角
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预习导学
3.2.3 直线与平面的夹角
[学习目标]
1．了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成 角的概念．
2．了解三个角θ，θ1，θ2的意义，会利用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求平面的斜线与平面内的直线的夹角．
3.2.3 直线与平面的夹角
∴cos∠APB＝cos∠APO·cos∠OPC，
原创2：3.2.3 直线与平面的夹角
P
A
2 2
B 45°
x
4
E
D
C y
典例导航
∵△PAB为等腰直角三角形
= (2 2, 0, −2 2),
∴AP= 2 2
= (0,2 2, −2 2)
延长AE、CD交于F
= (− 2, 0,0)
设面PCD的法向量为n=(x,y,z)
由AE∥BC，CD∥AB可知
四边形ABCF为平行四边形
设AO＝h，则AC＝ 2h，AB＝2h.∴BC＝ 6h，
∙
2
∴AD＝
＝ h.
3
3
∴Rt△AOD中，sin∠ADO＝ ＝ ，∠ADO＝60°.
2
∴AD与平面α所成角的大小为60°.
典例导航
题型二：向量法求直线与平面的夹角
如图，在五棱锥P－ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，
题型一：定义法求直线与平面的夹角
已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，
若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，
求OA与平面α所成角的大小．
【解析】∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴AB＝AC＝a.
∵BC＝a，∴AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC为等腰直角三角形．
1
又∵AE= BC，
2
1
∴CD= = 2
2
P(0,0,2 2),B(2 2,0,0),
C(0,2 2,0),D(− 2,2 2,0)
z
P
A
2 2
B 45°
则n·=0， n·=0
化为：y－z=0，x=0
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3a , a , 22
? 2a ???
则 AC 1
?
? ?? ?
?
3a , a , 22
? 2 a ???
z A1
C1 B1
Ax
C
B
y
y
aB
aC
2
3a
2A x
典例分析
易知平面ABB1A1的一个法向量为n ? ?1,0,0 ?
z
C1
AC1 ? n ? ?
3a 2
?
1?
a 2
?
0
?
2a ? 0 ? ?
知识点一：直线与平面所成角的定义
如图，已知OA是平面α的斜线段，O是斜足，线段AB 垂直于α，B
是垂足，则直线OB是斜线OA在平面α内的正射影。OM是平面α内
过O点的任意一条直线，OA与OB的夹角为
为 。?易知 ?1 ? ?
，?O1A与OM的夹角
斜线和它在平面内射影所成的角，是斜线和这个
A
平面内所有直线所成的角中最小的角 .
人教B版 数学选修2-1(高二上学期)
3.2.3 直线与平面的夹角
义县高级中学 佟艳超
复习回顾
直线的方向向量 与平面的法向量
l
A
α
(1)如果一条直线与一个平面垂直， 那么这条直线与平面的夹角为 90°. (2)如果一条直线与一个平面平行 或在平面内，规定这条直线与平面 的夹角为0°. (3)如何定义平面的一条斜线与平面 的夹角呢？
=?
6
课堂小结：
利用空间向量求解线面成角的一般步骤：
1、建立适当的空间直角坐标系，确 定点的坐标 2、分别求出直线的方向向量和平面 的法向量 3、利用公式计算两向量夹角的余弦 值的绝对值，即为线面角的正弦值
义县高级中学 录制
a
θ
n
α
a
n
α
θ
? sin? ? cosa,n
典例分析
解：以A为坐标原点，过 A且与AB垂直的直线 AM
为x轴，以AB为y轴，以AA1所在直线为 z轴， 建立如图的空间直角坐标系
??
A
:
AM
,
AB,
AA1
??，则A
?0,0,0
?,
C
? ??
?
?
3a a ? 2 , 2 ,0 ???
? C1 ????
3a 2
A1
B1
又因为
? ? AC1 ?
பைடு நூலகம்
? ??? ?
3a 2
2
? ???
?
? ??
a 2
2
? ??
?
2
2a ? 3a n
? 1A
x
则
cos
AC1 , n
?
AC1 ? n AC1 ? n
??1 2
C
By y B
sin ? ? cos
AC 1 , n
1 ?
2
又因为 ?
?
???0，?2 ???，所以 ?
定义：斜线和它在平面内的射影的夹角 叫做斜线与平面所成的角(或斜线和平面 的夹角).
?1 ?
O
?2
B
?
m
M
知识点二：向量角和直线与平面所成的角的关系？
设直线l和平面? 所成的角为?，l 的方向向量为a,? 的法向量为n
l
l
? =90 - a , n
an
α
θ
l
an
θ
α
l
或?= a,n -90
? sin? ? ?cosa,n