浙江省桐乡市高级中学2014-2015学年高一数学下学期期中试题

浙江省桐乡市高级中学2014学年第二学期高一年级期中试卷
数学试题（2015.4）
一．选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 1．直角坐标系中, 4
π
α=
,︒-=45β，两角始边为x 轴的非负半轴,则α与β的终边（ ▲ ）
A ．关于x 轴对称 B. 关于y=x 对称 C. 关于y 轴对称 D. 关于原点对称
2．角α的终边上一点的坐标为)3
2cos 2,32sin
2(π
π，则αs i n 等于 （ ▲ ）
A. 21
- B. 1- C. 2
3- D. 21
3． y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12
]，则b －a 的值不可能是 （ ▲ ）
A. 2π3
B. π3 C ．π D.4π3
4．已知函数)0)(cos(
)(>=ωωx x f ,其图象关于点)0,76(πM 对称，且在区间]2
,0[π
上是单调函数，则ω的值为 （ ▲ ） A.
47 B. 47,87或127 C. 47,或12
7 D. 67
5．已知5
3
4sin )6
cos(
=
+-απ
α,则)67sin(
πα+的值是 （ ▲ ） A.－235
B.235
C ．4
5
D.－4
5
6．△ABC 中，c
b c A 22sin
2
-= (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为 （ ▲ ）
A ．直角三角形
B ．正三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形 7．如图所示，已知半圆的直径AB ＝2，点C 在AB 的延长线上，BC ＝1，点P 为半圆
上的一个动点，以PC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，则四边形OPDC 面积的最大值为
（ ▲ ） A. 2＋43
3 B. 2＋435 C.
4 +4
35 D.2+32
8．在ABC ∆中， 212tan =A ，13
5)sin(=+B A 则B cos 的值为 （ ▲ ） A ．65
56-
B ．6556或6561-
C ．6561-
D ．6556-或65
6
1
二．填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
9．在数2与1之间插入10个数，使这12个数成递减的等差数列，则公差为 ▲ ． 10．在单位圆中，大小为2弧度的圆心角所对弦的长度为 ▲ ． 11．定义在R 上的偶函数)(x f 对任意x 满足)()(x f x f =+π，且当]2
,
0[π
∈x 时，
x x f sin )(=，则)3
5(
π
f 的值为 ▲ ． 12．关于x 的方程m x x =-2
cos sin 2的解集是空集，则实数m 的取值范围是 ▲ . 13．现给出下列结论：（ 1）在ABC ∆中，若B A sin sin >则b a >；（2）)
4
sin(4
sin
π
π
+
x 是x sin 和x cos 的等差中项；（3）函数x x y cos 2sin +=的值域为]3,3[-；（4）振动方程
)8
2sin(2π
+
-=x y )0(≥x 的初相为
8
π
;(5)锐角三角形ABC 中,可能有C B A C B A sin sin sin cos cos cos ++>++.其中正确结论的个数为 ▲ ．
14．关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在(0,2π)内有两相异实根α、β，则α＋β的值为 ▲ .
三、解答题（共44分） 15．（本题10分） (1)求函数)23
sin(
x y -=π
，],[ππ-∈x 的单调递减区间；
(2)求函数)4
6
tan(3x
y -
=π
的周期及单调区间． 16．（本题10分）
设函数x x x f 2sin )3
2cos()(++
=π
.
(1)求函数)(x f 的最大值；
(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若31cos =B ，4
1
)2(-=C f ，且C 为锐角， 求sin A .
17．（本题12分）
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b
a
c B C A -=-2cos cos 2cos ．
（1）求
A C sin sin 的值； （2）若4
1
cos =B ，2=b ，ABC ∆的面积S .
18．（本题12分）
设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若01<a ,02009=S . (1)求n S 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使n n S a ≥.
桐乡市高级中学2014学年度第二学期期中考试
高一数学 参考答案及评分标准
9、111
-
； 10、1sin 2； 11、2
3； 12、),2()2,(+∞⋃--∞； 13、2 ; 14、
3π或3
7π
三、解答题（共44分）
15．（本题10分）
解 (1)由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，
得y ＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由－π2＋2k π≤2x－π3≤π
2＋2k π，
得－π12＋k π≤x≤5π
12＋k π，k ∈Z ，
又x ∈[－π，π]，
∴－π≤x≤－712π，－π12≤x≤512π，11
12
π≤x≤π.
∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－π，－712π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，512π，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1112π，π. (2)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－x 4的周期 T ＝π⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－14＝4π. 由y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4 得y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 4－π6， 由－π2＋k π<x 4－π6<π
2＋k π得
－43π＋4k π<x<8
3
π＋4k π，k ∈Z ， ∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43π＋4k π，83π＋4k π (k ∈Z)． 16．（本题10分）
解 (1)f(x)＝cos 2xcos π3－sin 2xsin π3＋1－cos 2x
2
＝12cos 2x －32sin 2x ＋12－1
2cos 2x ＝12－3
2
sin 2x. 所以，当2x ＝－π
2
＋2k π，k∈Z，
即x ＝－π
4＋k π (k∈Z)时，
f(x)取得最大值，f(x)max ＝
1＋3
2
. (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，即12－32sin C ＝－14， 解得sin C ＝
32，又C 为锐角，所以C ＝π3
. 由cos B ＝13求得sin B ＝22
3
.
因此sin A ＝sin[π－(B ＋C)]＝sin(B ＋C) ＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.
17．（本题12分）
（I ）由正弦定理，设,sin sin sin a b c
k A B C ===
则22sin sin 2sin sin ,
sin sin c a k C k A C A
b k B B ---==
所以cos 2cos 2sin sin .
cos sin A C C A
B B --=
即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-，
化简可得sin()2sin().A B B C +=+ 又A B C π++=， 所以sin 2sin C A =
因此sin 2.sin C
A =
（II ）由sin 2
sin C
A =得2.c a =
由余弦定理
2222221
2cos cos ,2,
4
1
44.
4b a c ac B B b a a =+-==+-⨯及得4=a
解得a=1。

因此c=2
又因为1
cos ,.
4B G B π=<<且
所以
sin B =
因此11sin 122244S ac B =
=⨯⨯⨯=
18．（本题12分）
(1)设公差为d ，则由S2 009＝0⇒2 009a1＋2 009×2 008
2
d ＝0⇒a1＋1 004d ＝0，
d ＝－11 004a1，a1＋an ＝2 009－n
1 004a1，
∴Sn＝n 2(a1＋an)＝n 2·2 009－n 1 004a1
＝a12 008
(2 009n －n2) ∵a1<0，n∈N*，∴当n ＝1 004或1 005时，Sn 取最小值1 005
2
a1.
(2)an ＝1 005－n
1 004a1.
S n≤an ⇔a12 008(2 009n －n2)≤1 005－n
1 004
a1.
∵a1<0，∴n2－2 011n ＋2 010≤0， 即(n －1)(n －2 010)≤0， 解得：1≤n≤2 010.
故所求n 的取值集合为{n|1≤n≤2 010，n∈N*}.。