隐函数的求导与对数求导法则

形如， y
2 2x 3
y ?
f ( x ) 的函数称为显函数.
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例1. 求由方程
解 . 法 1 ：设
y 的导数 xy e e 0所确定的隐函数 . y f x 为方程确定的函数，
x y
dy dx
代入原方程得 方程两边对
xf x e x e f x 0
1 (ln x) x
2
1 x 1 (arctan x) 1 x2
(arcsin x)
1 x2 1 (arc cot x) 1 x2
1
(arccos x)
1
隐函数的求导与对数求导法
• • • • 一、隐函数的求导 二、对数求导法 三、由参数方程所确定的函数的导数 四、综合举例
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例5.设
y xsin x
cos x
, 求
y
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( x 1) ( x 2) 例6.设 y 3 4 ,求 y ( x 3) ( x 4)
1 2
解：
两边取自然对数
1 ln y ln x 1 2 ln x 2 3 ln x 3 4 ln x 4 2 方程两边对x求导
2
一、隐函数的导数 若 • 隐函数：
x 与 y 的函数关系由方程 F ( x, y ) 0 所确定,
y R ,
2 2
2 2 或 y R x y R x
称这类函数为隐函数. 例如， (1). x
2
2 2
(2).2 x 3 y 2 0,
y
(3). xy e x e y 0.
，并求在点（0，0）处的切线方程。
x 0
dy x 0 处的导数 dx
解.方程两边对
6 1 21 x 5 y 4 y 2 y 1 21x 0 解得 y 4 5y 2
x 求导,
得
6
当 所以
x 0 时, 从原方程得 y 0 dy 1 1 y 切线方程为 2 x dx x 0 2
x
x 0
，求
y
两边取自然对数 两边对 x 求导 整理，得 方法2：
ln y x ln x
y yln x 1 x x ln x 1
1 1 y 1 ln x x y x
用对数的变型公式
x ln x
ue
lnu
y x e
x
x ln x x x ln x y e x ln x e ln x 1 x ln x 1
2b b 2a 所求切线方程为: y x 2 a 2 bx ay 2ab 0. 即
4
20
四 、综合举例
例8.设 解
y ln[sin( 10 2 x )] ,
2
求y
1 2 y [sin( 10 2 x )] 2 sin( 10 2 x ) 1 2 2 [cos( 10 2 x )]( 10 2 x ) 2 sin( 10 2 x ) 1 2 [cos( 10 2 x )] 4 x 2 sin( 10 2 x )
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练习
求由方程
e x y 1. 所确定的隐函数 y 的导数 y
xy 2 2
解.方程来自百度文库边对
x 求导,
得
e xy 1 y xy 2 x 2 yy 0
解方程得,
2 x ye xy y 2 y xe xy
8
二、对数求导法
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例3 解
已知 方法1：
yx
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例11. 求由方程
x y
y
x
所确定的隐函数
y yx
dy 的导数 dx
x 1
解 两边取自然对数，得
y ln x x ln y
1 1 两边关于ｘ求导，得 y ln x y ln y x y x y y ln y x y 整理，得 ln x x y
又
x 1 时y 1 因此
由复合函数求导法则,得
x 求导,
x f x f x xf x e e f x 0
从而
x x dy e y f x f x e f y x dx e x e x
4
例1. 求由方程
y 的导数 xy e e 0所确定的隐函数 .
三者之间的区别
5
一般地, 设方程 步骤
F ( x, y ) 0
,
dy 求 dx
（1） 方程两边对x 求导, 视
y 为 x 的函数 y y ( x ),
（2） 由复合函数求导法则,得到关于y 的方程,解出即可.
6
例2. 求由方程 y
5
2 y x 3x 7 0 所确定的隐函数 y 在
y x1 1
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小 结
掌握隐函数导数的求法 掌握对数求导法的两种用途
两条经验
(1).隐函数求导数一定要小心含y的项 (2).对数求导法有两种用途
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作业 P 183 10 11 12
26
10
例4.设 解
yx
sin x
( x 0), 求y
ln y sin x ln x 1 cos x ln x 1 sin x 两边对 x 求导, 得 y x y 1 y y (cos x ln x sin x ) x 1
两边取对数，得
x
sin x
(cos x ln x sin x ) x
4 x cot( 10 2 x )
2
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解 两边对 x 求导, 得
y 例9.设 ln x y arctan x
2 2
,求
y
1 y 2 2 (ln( x y )) (arctan ) 2 x 1 y ( x 2 y 2 ) ( ) 2 2 2( x y ) 1 ( y )2 x
ln y v( x ) ln u( x )
对数求导法
2).变形成复合指数函数,
ye
v ( x ) ln u ( x )
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一般地:
对幂指函数 y u v 求导 :
ln y v ln u
1 y v ln u v 1 u y u
y u v ( v ln u v u) u
x
2 x 2 yy 1 xy y 2 2 2 y x 2 2( x y ) 1 ( ) x x y y x y
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例10. y
解
f [(3x 2 a) n ]
求
y
，其中 f 可导, a 为常数
y ( f [(3x 2 a) n ]) f [(3x 2 a) n ] ((3x 2 a) n ) f [(3x 2 a) n ] n(3x 2 a) n1 6 x
常数和基本初等函数的导数 (P169)
(C ) 0 (sin x) cos x (tan x) sec 2 x (sec x) sec x tan x (a x ) a x ln a
1 (log a x) x ln a 1
1 ( x ) x (cos x) sin x (cot x) csc 2 x (csc x) csc x cot x ( e x ) e x
y 1 1 2 3 4 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4


1 2 3 4 x 1 x 2 x 3 x 4

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说明
1、对数求导法常用于两个方面： 1） 幂指函数求导 2）简化运算
2、对数求导法的步骤: 1). 两边取对数; 3).将 y 结果表示为 x 的显函数. 2).两边对x求导; 隐函数求导法则
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练习：用对数求导法则计算下列函数的导数
( x 1)( x 2) y ( x 3)( x 4)
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三、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
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另解
yx
sin x
e
sin x ln x sin x ln x
y (e
sin x ln x
) e
(sin x ln x )
x
sin x
1 (cos x ln x sin x ) x
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说明
对于幂指函数 有两种方法: 1).取对数,
y u( x )
v( x)
[u( x) 0] 求导,
x y
法2： 直接求导，
1. y x y e x e y y 0
dy dx
x e y y y 解方程得, e x y 注意： de x de x x y e x e e y ey dx dy


de y e y x e y y dx
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(t ) 0 时, 有
例7求椭圆 解
t 4
x a cos t y b sin t
在t 4
相应的点处的切线方程.
2 a 2b 相应的点为: M , 2 2
dy ( b sin t ) b cos t b b dy cot t , k a dx ( a cos t ) a sin t a dx t