隐函数的求导与对数求导法则
隐函数求导法则
（十） 隐函数求导法则由方程()0,=y x F 所确定的y 是x 的函数称为隐函数。
从方程()0,=y x F 中有时可解出y 是x 的显函数 ,如从方程0153=++y x 可解出显函数5153--=x y ；有时，从方程()0,=y x F 中可以解出不止一个显函数，如从方程()00222>=-+R R y x 中可以解出22x R y -±=。
它包含两个显函数，其中22x R y -=代表上半圆周，22x R y --=代表下半圆周。
但也有时隐函数并不能表示为显函数的形式，如方程()100s i n <<=--εεy x y 就不能解出来)(x f y =的形式。
现在讨论当y 是由方程()0,=y x F 所确定的x 的函数，并且y 对x 可导（即()x y '存在），那么在不解出y 的情况下，如何求导数y '呢？其办法是在方程()0,=y x F 中，把y 看成x 的函数()x y y =，于是方程可看成关于x 的恒等式:()()0,≡x y x F .在等式两端同时对x 求导（左端要用到复合函数的求导法则），然后解出 y ' 即可。
例2.14 求方程()0222>=+R R y x 所确定的隐函数的导数y '.解 当我们对方程222R y x =+的两端同时对x 求导时，则应有(()x y y =是中间变量) 022='⋅+y y x . 解出 ()0≠-='y yxy .思考题 证明：圆()0222>=+R R y x 在其上一点()000,y x M 处的切线方程为200R y y x x =+.问：法线方程是什么？例2.15 求曲线1ln =+y xy 在点()1,1处的切线方程。
解 将曲线方程两边对x 求导，得 0)'(ln )'(=+x x y xy ，即01='⋅+'+y yy x y . 于是 12+-='y x y y . 过点()1,1处的切线斜率=k y '()1,1=12+-y x y ()1,1=21-. 故所求切线方程为 ()1211--=-x y ， 即 032=-+y x .例2.16 已知(),0sin 2=-y y x π 求()1,0-'y .解 方程两边对x 求导，得0)]'[sin()'(2=-x x y xy π，即 ()02cos 2='⋅-'+y y y y x y ππ.,)cos(22y y x y y ππ--=' ().21c o s 211,0πππ-=⋅='-y 例2.17 证明双曲线2a y x =上任意一点的切线与两坐标轴形成的三角形的面积等于常数22a .证 在双曲线2a xy =上任取一点()00,y x ，过此点的切线斜率为().0,000x y xyy k y x x x -=-='== 故切线方程为 00x y y y -=-)(0x x -.此切线在y 轴与x 轴上的截距分别为02y ，02x , 故此三角形面积为20000222221a y x x y =⋅=⋅. 例2.18 设 ()11lnsin =+-yx xy ，求 0=x dx dy .解 两边对x 求导，有 ()[]()011cos ='⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-'y x x y xy xy ()[]()()011'cos 2='+-⋅+-+⋅yy x y x y xy y xy ()())(011cos cos *='++-'+ yy x xy y x xy y当0=x 时，由()11lnsin =+-y x xy 可解出11ln =-y, 即.,1ln e y y =∴=而当 e y x ==,0 时，由()*可解出 01='+-e y e .()e e y x -='∴=10.（十一）取对数求导法（是要点） 先看几个例题。
隐函数对数函数求导法则课件.ppt
y 33 (,) 22
yx2
y2 x
33 1.
(,) 22
所求切线方程为 y3(x3)
2
2
法线方 y程 3x为 3 22
即 xy30.
显然通过原点.
例3 设 x 4 x y y 4 1 , 求 y '在 点 ( 0 , 1 ) 处 的 值 .
解 方程两x边 求对 导得
4 x 3 y x y 4 y 3 y 0
方程.
dy
解
dy dx
dt dx
asint sint aacost 1 cost
dt
dy dx
t 2
sin
2
1 cos
1.
2
当 t 时 ,x a ( 1 ),y a .
2
2
所求切线方程为
yaxa(1)
2
即yxa(2)
2
小结
隐函数求导法则: 方程两边对x求导; 对数求导法: 等式两边取以e为底对数,按隐函数 的求导法等式两边同对x求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
1 2x x 1 3 x x 2 4 x1 1x 12x1 3x 14
三、由参数方程确定的函数的导数
由参数方程
x y
t所确定的函数 t
y
f
x的导数
dy 为：
dx
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dt dx
''tt
dt
例8 求摆 y x 线 a a((1 t c siottn ))s在 t2处的切线
代x入 0, y1 得y
x0 y1
1; 4
( 1 )
二、对数求导法
隐函数对数函数参数方程求导数
由参数方程所确定的函数的导数
存在问题 消参困难或无法消参如何求导?
一般地,设 x (t)具有单调连续的反函数 21
由参数方程所确定的函数的导数
存在问题 消参困难或无法消参如何求导?
一般地,设 x (t)具有单调连续的反函数
t 1( x),则变量 y与x构成复合函数关系 y [ 1( x)].
将方程(1)两边再对 x 求导得 12x2 2 y' xy''12 y2 ( y')2 4 y3 y'' 0,
代入 x 0, y 1,
y'
x0
1 4
y1
7
例4 设 x4 xy y4 1, 求 y''在点(0,1)处的值.
解
代入 x 0, y 1得 y' x0 14; y1
将方程(1)两边再对 x 求导得 12x2 2 y' xy''12 y2 ( y')2 4 y3 y'' 0,
a(t a(1
sin t) cos t)
所表示的函数 y y( x) 的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
a
a sin t a cos
t
1
sin t cos
t
dt
(t 2n ,n Z )
d2y dx 2
d dx
dy dx
d dx
1
sin t cos
t
d dt
1
sin t cos
dy dx
sin( x y) y cos x sin( x y) sin x
.
2
例2 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函
隐函数求导法与对数求导法
4
练习：
1：求由方程 e y xy e 0 所确定的隐函数的 导数
2：求由方程 数的导数
x y 1
2 2
所确定的隐函
x2 y 2 4 2 例3.求椭圆 + =1在点P(1, )处的切线方程. 9 4 3 y
P 2 -3 O 3 x
-2
例4.求指数函数y=a x(a>0,a 1)的导数.
二、隐函数的求导法
求导方法：
求隐函数的导数，并不需要先化为显函 数，而是可以利用复合函数的求导方法，将 方程两边对 x 求导，并注意到 y是x的函数， 就可以直接求出隐函数的导数。
例 1.求方程x2 +y2 =R 2(R是常数)确定的隐函数的导数。
dy 例2.求由方程y=sin（x+y）所确定的隐函数y的导数 . dx
练习：
1.求下列隐函数的导数：
(1) y3 8( x2 y 2 )
(2) x y arctan y
y (4) ln x y arctan x
2 2
(3) ye x ln y 1
2.求下列隐函数在指定点处的导数：
(1)e y xy e，点(0,1)
1 (2) y cos x sin y, 点( , 0) 2 2
y y 2
答案：
1 1
1 2 e
5.求下列函数的导数：
2x 1 y x cos x 2 y x
1 x2x 2ln x 2
2 xcos x
2
x 1 4 3x 3 y 3 x 1 4 x 2 3 x 4 y 3 x 1
练习：求下列函数的导数
d3_4隐函数的求导与对数求导法则
则
dy
dy
dx
dt dx
( t ( t
) )
dt
18
例6求椭圆
x a cost
y
b
sin
t
在t
4
相应的点处的切线方程.
解
t
4
相应的点为: M
2a , 2
2b 2
dy dx
( b sin t ( a cos t
) )
b cos t a sin t
b a
cot t,
k
dy dx
t
b a
4
所求切线方程为: y
2b 2
b a
x
2a 2
即 bx ay 2ab 0.
这是新方法，想一想，不用这个办法你会求切线方程吗？ 19
四 、综合举例
例7.设 y ln[sin(10 2x2 )] , 求 y
解
y
1 sin(10
2x2
)
[sin(10
2x2
)]
1 sin(10
2x2
)
[cos( 10
15
例5.设 y
(x 1)1(x 2)2
(x 3)3(x 4)4 ,求 y
解
两边取自然对数
ln y 1 lnx 1 2lnx 23lnx 3 4lnx 4
2 方程两边对x求导
y 1 1
y 2 x 1
2 x2
3 x3
4
x4
1234
x 1 x 21).取对数, ln y v(x) ln u(x)
y e 2).变形成复合指数函数,
v( x)lnu( x)
13
一般地:
第二章 4节 隐函数与对数求导
dy dy dy dt dy 1 ( t ) dy dt dx dt dx dt dx ( t ) 即 dx dx dt dt
10
故，若参数方程 关系, 可导, 且
可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
又
x 1时y 1. 因此 y x1 1
21
例5.
x y 1, 求 y
2 2
解: 2 x 2 y y 0 x y y
(1)
y ( x ) xy xy 2
y y
x y x( ) 2 2 y x y பைடு நூலகம்1 3 3 2 y y y
16
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思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以
100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
500 提示: tan x 对 t 求导
2
500
x d 500 dx sec 2 dt x dt dx d 100 m min , x 500 m , 求 . 已知 dt dt
相应的点处的切线方程.
2 a 2b 相应的点为: M , 2 2
dy ( b sin t ) b cos t b b dy cot t , k a dx ( a cos t ) a sin t a dx t
高等数学 2-6隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率
上式两边对 x求导得
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
∴ y′ =
( x + 1)3 x − 1 1 1 2 [ + − − 1] 2 x ( x + 4) e x + 1 3( x − 1) x + 4
sin x ( x > 0), 求y′. 例 5设 y = x
三、由参数方程所确定的函数的导数
x = ϕ (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系, 称此为 y = ψ (t ) 由参数方程所确定的函数.
例如
x = 2t , x ⇒ t = 消去参数 t 2 2 y = t ,
x2 1 x ∴ y′ = x ∴ y = t 2 = ( )2 = 2 4 2
7
dy = dx
ห้องสมุดไป่ตู้
t =t0
=
(2) 炮弹在 t 0时刻沿 x, y轴方向的分速度为 dx dt dy vy = dt vx =
t =t 0
= (v0t cos α )′ t =t0 = v0 cos α = (v0t sin α − 1 2 gt )′ t =t0 = v0 sin α − gt 0 2
4000
600
解： 设时刻 t水深为h(t ), 水库内水量为V (t ), 则
V (t ) = 4000 3h 2
6
上式两边对t求导得
Q
dV dh = 8000 3h ⋅ dt dt
dV = 28800米 3 / 小时, ∴当h = 20米时, dt dh ≈ 0.104米 / 小时 dt
五、小结 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间 的关系, 用链式求导法求解.
隐函数的导数 对数求导法
)
d dt
( (t )) (t )
dt dx
(t)(t) (t)(t) 1
2(t)
(t )
即
d2y dx 2
(t
)
(t) (t 3(t)
)
(t
)
.
例6
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
四、隐函数的导数 对数求导法 由参数方程所确定函数的导数
隐函数的导数 对数求导法由参数 方程所确定函数的导数
1、隐函数的导数 P78
定义: 设在方程 F ( x, y) 0 中, 当 x 取某区 间内的任意值时, 相应地总有满足这方程的 唯一 y的值存在, 那么就说方程F ( x, y) 0在 该区间内确定了一个隐函数y f ( x) .
y [ 1( x)]
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
即
dy dx
dt dx
dt
dt
若函数
x y
(t )二阶可导, (t )
d2 dx
y
2
d dx
( dy dx
.
(2) 炮弹在 t0时刻沿 x, y轴方向的分速度为
vx
dx dt
t t0
(v0t cos ) t t0
v0 cos
vy
dy dt
04第二章第四节_隐函数的导数与对数求导法
1 ( x 1)( x 2) y 2 ( 3 x )(4 x )
1 1 1 1 [ ] x 1 x 2 3 x 4 x
2、对数微商法
定义： 在函数 y f ( x)的两边，先取对数
后求微商的方法，称为对数微商法。 注意：对数微商法的适用范围是函数的表达
求y.
等式两边取对数
1 ln y [ln( x 1) ln( x 2) 2 ln(3 x ) ln(4 x )]
两边对x求导
隐函数 的微商!
例1
( x 1)( x 2) y , ( 3 x )(4 x )
求y.
1 1 1 1 1 1 y [ ] y 2 x 1 x 2 3 x 4 x
, y (sin x )
x
3. 小节
4. 作业: P95 1, 2, 3, 4
式为多个因式的积、商 、幂及形如
u( x )
v( x)
的幂指函数。
例2
y x , 求y.
x
解
等式两边取对数
ln y x ln x
两边对x求导
y x (ln x 1).
x
1 y ln x 1, y
思考与练习
求y.
sin x
y x
sin x
, y ( x 2)
第二章
2.4 隐函数的导数, 对数求导法
1. 掌握隐函数求导的求法 2. 会求隐函数的二阶导数 3.掌握对数求导法
重点：隐函数求导的求法, 对数求导法 难点：隐函数导数
2.4 隐函数的导数, 对数求导法
一、隐函数微商法
y y( x )由方程F ( x, y ) 0所确定
隐函数极其求导法则
隐函数极其求导法则隐函数及其求导法则我们知道用解析法表示函数，可以有不同的形式.若函数y可以用含自变量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，这样的函数叫显函数.前面我们所遇到的函数大多都是显函数.一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一区间内任取一值时，相应地总有满足此方程的y值存在，则我们就说方程F(x,y)=0在该区间上确定了x的隐函数y.把一个隐函数化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。
注：有些隐函数并不是很容易化为显函数的，那么在求其导数时该如何呢？下面让我们来解决这个问题！隐函数的求导若已知F(x,y)=0，求时，一般按下列步骤进行求解：a)：若方程F(x,y)=0，能化为的形式，则用前面我们所学的方法进行求导；b)：若方程F(x,y)=0，不能化为的形式，则是方程两边对x进行求导，并把y看成x的函数，用复合函数求导法则进行。
例题：已知，求解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法.两边对x进行求导，故=注：我们对隐函数两边对x进行求导时，一定要把变量y看成x的函数，然后对其利用复合函数求导法则进行求导。
例题：求隐函数，在x=0处的导数解答：两边对x求导故当x=0时，y=0.故有些函数在求导数时，若对其直接求导有时很不方便，像对某些幂函数进行求导时，有没有一种比较直观的方法呢？下面我们再来学习一种求导的方法：对数求导法积分黎曼积分如果函数f(X)在闭区间[a,b]上定义，而(P,ζ)是这个闭区间的一个带点分割，则和σ(f；p,ζ):=Σ f(ζi)ΔXi叫做函数f在区间[a,b]上对应于带点分割(P,ζ)的积分和，其中ΔXi=Xi-X(i-1)存在这样一个实数I，如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0，使对区间[a,b]的任何带点分割(P,ζ)，只要分化P的参数λ(P)<δ，就有|I-σ(f；p,ζ)|<ε，则称函数f(X)在闭区间[a,b]上黎曼可积，而I就成为函数f(X)在闭区间[a,b]上的黎曼积分。
隐函数的求导法则__取对数求导法
隐函数的求导法则__取对数求导法隐函数是指用一个或多个自变量与一个或多个函数关系式所定义的函数。
在一般情况下，我们可以通过将隐函数转化为显函数来求导。
然而，有时候转化为显函数非常困难或不可行，这时我们可以使用隐函数求导法则来求解。
在隐函数求导法则中，最常用且重要的方法之一是取对数求导法。
本文将详细介绍隐函数的取对数求导法则，包括基本原理、具体步骤以及一些实际应用。
1.基本原理：隐函数的取对数求导法则基于以下数学原理：如果一些变量随着另一个变量的变化而变化，我们可以通过取对数来将这个关系式转化为线性关系，从而更容易进行求导。
2.取对数求导法的具体步骤：(1)首先，将隐函数表示为等式或方程的形式，用x和y表示自变量和函数变量，记隐函数为f(x,y)=0。
(2) 对等式两边同时取对数，得到ln(f(x, y)) = ln(0)。
(3) 使用链式法则对等式两边进行求导。
对左侧进行求导时，考虑y是x的函数，即y = g(x)，则ln(f(x, y)) = ln(f(x, g(x)))。
根据链式法则，左侧的导数为f'(x, y) / f(x, y)。
对右侧进行求导时，由于ln(0)为常数，其导数为0。
(4)最后，解方程求得f'(x,y)/f(x,y)的表达式，即为隐函数的导数。
3.举例说明：假设有一个方程为x^2 + y^2 = 1、我们想要求解方程中y关于x的导数。
首先，我们将隐函数表示为等式的形式：f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0。
然后，取等式两边的对数，得到ln(f(x, y)) = ln(x^2 + y^2 - 1)。
根据链式法则，左侧的导数为 f'(x, y) / f(x, y)。
右侧的导数为0。
于是，我们可以得到 f'(x, y) / f(x, y) = 0。
最后，解方程可得f'(x, y) = 0，即 y 关于 x 的导数为0。
4.实际应用：隐函数的取对数求导法则在实际问题中有着广泛的应用。
3.3 隐函数求导 对数求导法
y x x (2 x ln x x ) (tan ax )
2
x b cot
2a x ln(tan ax ) 2 x [ cot csc ] sin 2ax b b b
例10 y e
xx
x x , 求y.
ex xx
xx ex xx
解 设y y1 y 2 +y 3，其中，y1 e , y2 x , y3 x
x2
,
两边对x求导，整理得，u x (2 x ln x x )
x2
对于v (tan ax )
x cot b
，两边取对数，
x ln v cot ln tan ax b
两边对x求导，整理得，
v (tan ax )
所以，
x cot b
2a x ln(tan ax ) 2 x [ cot csc ] sin 2ax b b b
解得，y x x (ln x 1).
(3 x 1)2 (2 x 5) y , 求y ' . 例7 3 (2 x 1)( x 3) 解 等式两边取对数，得
1 ln y [2ln(3 x 1) ln(2 x 5) ln(2 x 1) 3ln( x 3)] 2
1 x 例8 y x ( ) , 求y. x 解 这是两项和，每项都是幂指函数，不能整体取对数，令
则 y y1 y 2
1 x
1 x
1 x y1 x , y2 ( ) , x
1 x
1 对于y1 x ，两边取对数， y1 ln x ln x
1 1 1 1 2 ln x 两边对x求导， y1 y1 x x x
第3-4节 隐函数求导法 高阶导数
dn y (n) 阶导数, 导数称为 f ( x ) 的 n 阶导数,记 f ( x ) 或 . n dx
例1 解
1 设 y = arctan + x ln x ， y′′ . 求 x
1 1 1 y′ = ⋅ (− 2 ) + ln x + 1 2 2 x 1+ 2 x 1 1 1 =− + ln x + ， 2 2 1+ x 2 1
19 2x
= 2 e ( x + 20 x + 95) .
20 2x 2
阶导数公式: 常用n阶导数公式
(1) ( a )
x (n)
= a ⋅ ln a (a > 0)
x n
( n) n
(e )
x (n)
=e
x
π ( 2) (sin kx ) = k sin( kx + n ⋅ ) 2 π ( n) n ( 3) (cos kx ) = k cos( kx + n ⋅ ) 2
解得
比较: 比较
y′ = −
x . y
显化后, y = a 2 − x 2 ,
y′ =
−x a2 − x2
x =− ； y
2 2
另一分支: 另一分支: y = − a − x , y ′ =
x a2 − x2
x =− . y
例 2 求由方程 e + xy = e 所确定的隐函数 y = y( x )
1 ( n ) ( −1) n n! 例6 ( ) = x x n+1 1 1 1 1 y= ) = ( + 2 1− x 2 1− x 1+ x 1 ( −1) n n! y(n) = [ ] + n+1 n+1 2 (1 − x ) (1 + x )
第四节、隐函数求导
( x +1)3 x 1 ( x +1) x 1 ln | y | =ln| |, | y | =| |, 2 x 2 x ( x + 4) e ( x + 4) e
3
1 ln | y |= ln | x +1| + ln | x 1| 2ln | x + 4 | x 3 d ln | y | d ln | y | dy 1 dy 上式两边对x 上式两边对 求导得 注意: = =
∴ y′
33 ( , ) 22
y x2 = 2 y x
33 ( , ) 22
= 1.
3 3 所求切线方程为 y = ( x ) 即 x + y 3 = 0. 2 2 3 3 显然通过原点. 法线方程为 y = x 即 y = x, 显然通过原点 2 2
例3 设 x4 xy + y4 = 1, 求 ′′在点(0,1)处的值. y 解 方程两边对 求导得 x
1 ∴ y′ = y(cos x ln x + sin x ) x sin x sin x ) = x (cos x ln x + x
一般地
f ( x) = u( x)v( x) (u( x) > 0)
∵ ln f ( x) = v( x) lnu( x)
上式两边对x 上式两边对 求导得
注意 d 1 d ln f ( x) = f ( x) dx f ( x) dx
由原方程知 x = 0时, y = 1,
dy dy 1 ) = 0 + 0 (0 + + cos 0 dx x=0 dx x=0 0 +1
dy =1 dx x=0
d2 y 1 5 例 求由方程 x y + sin y = 0所确定的隐函数的二阶 导数 2 . 2 dx
第三节隐函数的导数与取对数求导法
y
x0 y1
1; 4
将方程(1)两边再对x求导得
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 ( x 4)
x 2ex
1
,
方法:
y x sin x .
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
所求切线方程为
y a x a( 1)
2
即 y x a(2 )
2
例7
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t
3a cos2 t( sin t) tan t
dt
d2y dx 2
d (dy ) dx dx
二：求下列方程所确定的隐函数y的导数
1：y 1 xe y
2：y tan(x y)
三：用对数求导法则求下列函数的导数： 1、 y x x2 ； 2、 y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
3、 y x sin x 1 e x .
四：求椭圆xy
a cost bsin t
在t
y
( x 1)3 x 1 1
( x 4)2 e x
[ x
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
例5 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
微积分第三章(复合函数,隐函数求导,对数求导法则)
d x = (cos y)′ = − sin y ≠ 0 dy
故 y′ = (arccos x)′ = d y = 1 = 1 d x d x (cos y)′ dy
=− 1 =−
1
=− 1
sin y
1 − cos2 y
1− x2
(−1< x <1)
为 y=f(x) 连续，所以 x = ϕ(y) 也连续。因此当 Δy → 0 时
Δx →
0。从而lim Δy→0
Δx Δy
=
lim
Δx→0
Δx Δy
=
lim
Δx→0
1 Δy
=
1 f ′( x)
即 x = ϕ(y) 在点 y 处可导，且
φ′( y) =
1 f ′( x)
Δx
例15 y = arcsin x (−1 < x < 1) , 求 y′。
=
cotα
=
1 tanα
=
1 ϕ ′( x)
(ϕ′(x) ≠ 0 )
反函数的导数是其直接函数导数的倒数.
定理2.3 （反函数的导数）
设函数 y = f ( x) 在开区间 (a,b) 内是严格单调
的连续函数，如果在 (a,b) 内某点 x 处函数 f (x) 可
导，且 f ′( x) ≠ 0，则其反函数 x = φ[ y] 在对应的点
2)、在求导过程中必须搞清函数是怎样复合的。 函数由里到外逐层复合，求导时由外到里 逐层求导。注意一定要到底，不要遗漏。
2
2011-11-7
三.反函数的导数
β 是 x = f (y) y 的图形切线与y 轴正向的夹角.
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7
练习
求由方程
e x y 1. 所确定的隐函数 y 的导数 y
xy 2 2
解.方程两边对
x 求导,
得
e xy 1 y xy 2 x 2 yy 0
解方程得,
2 x ye xy y 2 y xe xy
8
二、对数求导法
9
例3 解
已知 方法1：
yx
x
2 x 2 yy 1 xy y 2 2 2 y x 2 2( x y ) 1 ( ) x x y y x y
22
例10. y
解
f [(3x 2 a) n ]
求
y
，其中 f 可导, a 为常数
y ( f [(3x 2 a) n ]) f [(3x 2 a) n ] ((3x 2 a) n ) f [(3x 2 a) n ] n(3x 2 a) n1 6 x
由复合函数求导法则,得
x 求导,
x f x f x xf x e e f x 0
从而
x x dy e y f x f x e f y x dx e x e x
4
例1. 求由方程
y 的导数 xy e e 0所确定的隐函数 .
y 1 1 2 3 4 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
1 2 3 4 x 1 x 2 x 3 x 4
16
说明
1、对数求导法常用于两个方面： 1） 幂指函数求导 2）简化运算
2、对数求导法的步骤: 1). 两边取对数; 3).将 y 结果表示为 x 的显函数. 2).两边对x求导; 隐函数求导法则
，并求在点（0，0）处的切线方程。
x 0
dy x 0 处的导数 dx
解.方程两边对
6 1 21 x 5 y 4 y 2 y 1 21x 0 解得 y 4 5y 2
x 求导,
得
6
当 所以
x 0 时, 从原方程得 y 0 dy 1 1 y 切线方程为 2 x dx x 0 2
10
例4.设 解
yx
sin x
( x 0), 求y
ln y sin x ln x 1 cos x ln x 1 sin x 两边对 x 求导, 得 y x y 1 y y (cos x ln x sin x ) x 1
两边取对数，得
x
sin x
(cos x ln x sin x ) x
x y
法2： 直接求导，
1. y x y e x e y y 0
dy dx
x e y y y 解方程得, e x y 注意： de x de x x y e x e e y ey dx dy
de y e y x e y y dx
ln y v( x ) ln u( x )
对数求导法
2).变形成复合指数函数,
ye
v ( x ) ln u ( x )
13
一般地:
对幂指函数 y u v 求导 :
ln y v ln u
1 y v ln u v 1 u y u
y u v ( v ln u v u) u
23
例11. 求由方程
x y
y
x
所确定的隐函数
y yx
dy 的导数 dx
x 1
解 两边取自然对数，得
y ln x x ln y
1 1 两边关于ｘ求导，得 y ln x y ln y x y x y y ln y x y 整理，得 ln x x y
又
x 1 时y 1 因此
y x1 1
24
小 结
掌握隐函数导数的求法 掌握对数求导法的两种用途
两条经验
(1).隐函数求导数一定要小心含y的项 (2).对数求导法有两种用途
25
作业 P 183 10 11 12
26
1 (ln x) x
2
1 x 1 (arctan x) 1 x2
(arcsin x)
1 x2 1 (arc cot x) 1 x2
1
(arccos x)
1
隐函数的求导与对数求导法
• • • • 一、隐函数的求导 二、对数求导法 三、由参数方程所确定的函数的导数 四、综合举例
2b b 2a 所求切线方程为: y x 2 a 2 bx ay 2ab 0. 即4源自20四 、综合举例
例8.设 解
y ln[sin( 10 2 x )] ,
2
求y
1 2 y [sin( 10 2 x )] 2 sin( 10 2 x ) 1 2 2 [cos( 10 2 x )]( 10 2 x ) 2 sin( 10 2 x ) 1 2 [cos( 10 2 x )] 4 x 2 sin( 10 2 x )
2
一、隐函数的导数 若 • 隐函数：
x 与 y 的函数关系由方程 F ( x, y ) 0 所确定,
y R ,
2 2
2 2 或 y R x y R x
称这类函数为隐函数. 例如， (1). x
2
2 2
(2).2 x 3 y 2 0,
y
(3). xy e x e y 0.
19
(t ) 0 时, 有
例7求椭圆 解
t 4
x a cos t y b sin t
在t 4
相应的点处的切线方程.
2 a 2b 相应的点为: M , 2 2
dy ( b sin t ) b cos t b b dy cot t , k a dx ( a cos t ) a sin t a dx t
常数和基本初等函数的导数 (P169)
(C ) 0 (sin x) cos x (tan x) sec 2 x (sec x) sec x tan x (a x ) a x ln a
1 (log a x) x ln a 1
1 ( x ) x (cos x) sin x (cot x) csc 2 x (csc x) csc x cot x ( e x ) e x
14
例5.设
y xsin x
cos x
, 求
y
15
( x 1) ( x 2) 例6.设 y 3 4 ,求 y ( x 3) ( x 4)
1 2
解：
两边取自然对数
1 ln y ln x 1 2 ln x 2 3 ln x 3 4 ln x 4 2 方程两边对x求导
17
练习：用对数求导法则计算下列函数的导数
( x 1)( x 2) y ( x 3)( x 4)
18
三、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
11
另解
yx
sin x
e
sin x ln x sin x ln x
y (e
sin x ln x
) e
(sin x ln x )
x
sin x
1 (cos x ln x sin x ) x
12
说明
对于幂指函数 有两种方法: 1).取对数,
y u( x )
v( x)
[u( x) 0] 求导,
形如， y
2 2x 3
y ?
f ( x ) 的函数称为显函数.
3
例1. 求由方程
解 . 法 1 ：设
y 的导数 xy e e 0所确定的隐函数 . y f x 为方程确定的函数，
x y
dy dx
代入原方程得 方程两边对
xf x e x e f x 0
4 x cot( 10 2 x )
2
21
解 两边对 x 求导, 得
y 例9.设 ln x y arctan x
2 2
,求
y
1 y 2 2 (ln( x y )) (arctan ) 2 x 1 y ( x 2 y 2 ) ( ) 2 2 2( x y ) 1 ( y )2 x
x
x 0
，求
y
两边取自然对数 两边对 x 求导 整理，得 方法2：
ln y x ln x
y yln x 1 x x ln x 1
1 1 y 1 ln x x y x
用对数的变型公式
x ln x
ue
lnu
y x e
x
x ln x x x ln x y e x ln x e ln x 1 x ln x 1
三者之间的区别
5
一般地, 设方程 步骤
F ( x, y ) 0
,
dy 求 dx
（1） 方程两边对x 求导, 视
y 为 x 的函数 y y ( x ),
（2） 由复合函数求导法则,得到关于y 的方程,解出即可.
6
例2. 求由方程 y