数学人教版八年级下册几何体表面最短距离问题
人教版八年级数学下册《勾股定理的应用——立体图形中的最短距离》教学设计
“勾股定理的应用——立体图形中的最短距离”教学设计三、研学问题活动一：如图有一个圆柱，底面周长为18，高为12.有一只蚂蚁在它下面的A点，它想吃上底面上与A点相对的B点处的食物，教师提问A点和B点在一个曲面上最短路径还能直接连接AB两点吗？引导学生思考后回让学生通过动手操作找到最短路径，培养学生的动手能力和空间想象能力。
蚂蚁爬行的最短路径是多少？变式训练如图，若上述问题中点B在点A的正上方，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？答。
教师启发学生利用长方形纸卷出圆柱体，引导学生观察，找出A点到B点的最短路径。
学生画出圆柱的侧面展开图与蚂蚁爬行路径，并写出完整的解题过程。
（请一位同学到黑板完成解答，其他学生点评）通过此问题进一步加深学生对两点沿“曲面”的最短路程的解决方法掌握。
1四、学以致用如图，有一个圆柱,底面周长是10厘米,高为14厘米.在距离下底面1厘米的A点有一只蚂蚁，它想吃到距离上底面1厘米且与A点相对的B点处的食物，则沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？教师利用多媒体展示问题。
学生动手操作，独立思考后画出侧面展开图并确定最短路径。
教师请学生代表发表想法，并与上题进行比较，得出结论：蚂蚁在侧面爬行半圈与一圈，点A与点B的位置关系。
教师利用多检查学生对前面知识的理解和掌握情况，让学生学以致用。
五、知识迁移活动二：如图，是一个长为10cm，宽为6cm，高为8cm的长方体牛奶盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着长方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少. 媒体展示问题，学生组内讨论，画图并计算。
教师利用手机拍照展示小组研究成果，请小组代表讲解解题思路。
教师利用多媒体验证学生成果的对错情况。
教师利用多媒体出示问题，在前面知识的基础上，把两点迁移到长方体上，进一步研究折面中的两点的最短距离，同时让学生利用长方体动手找出最短路径，解决问题，培养学生的动手能力，空间想象能力和小组合作探究能力，通过对问题的解决体会分类讨论、转发现规律：如图，若长方体的长，宽，高分别为a，b和c，且a>b>c,则沿长方体表面从A 到Cˊ所走的最短路程是六、强化训练如图，一个长方体盒子，其中AB=9，BC=6，BB′=5，在线通过长方体教具启发学生找出蚂蚁至少要经过几个面，学生分组利用自制长方体探究从A点到B点的不同走法，请小组代表说出不同走法。
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理勾股定理的应用立体图形中的最短路程问题说课稿
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：1.通过引入生活中的实际问题，让学生感受到勾股定理在现实生活中的应用，提高他们的学习兴趣；2.设计丰富的课堂活动，如小组讨论、动手操作等，让学生在实践中掌握知识，提高他们的学习积极性；3.设置合理的挑战性任务，激发学生的求知欲和竞争意识，推动他们主动学习；4.注重对学生的表扬和鼓励，让他们在学习中感受到成就和自信，增强他们的学习动力。
（三）互动方式
在教学过程中，我将设计以下师生互动和生生互动环节：1.提问与解答：教师提出问题，学生思考并回答，激发学生的思维和表达能力；2.小组讨论：学生分组讨论问题，共同探究解决方案，培养学生的团队合作和沟通能力；3.成果分享：各小组展示讨论成果，其他学生和教师进行评价和反馈，提高学生的交流和评价能力；4.实践操作：学生动手操作教具或数学软件，验证理论知识，培养学生的实践能力。通过这些互动方式，激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度和合作意识。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生需要具备勾股定理的基础知识，以及立体图形的认识和理解。他们可能存在的障碍主要有：1.对勾股定理的理解不够深入，无法灵活运用到立体图形中最短路程问题的解决上；2.对于立体图形的空间想象能力不足，难以理解和计算复杂立体图形的最短路程；3.在解决实际问题时，缺乏有效的策略和方法，无法将理论知识与实际问题有效结合。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习和实践活动：1.针对本节课的主要知识点，我会设计一些填空题、选择题和答题，让学生在练习中巩固所学知识；2.我会组织学生进行小组讨论，让他们共同解决一些实际问题，如在立体图形中寻找最短路程等；3.我还会让学生利用数学软件或在线工具，如GeoGebra、Desmos等，自己动手操作，验证理论知识，培养他们的实践能力。
《勾股定理的应用》--长方体表面上的最短路径问题教学设计
17.3.勾股定理的应用---长方体表面上最短路径问题一、学生知识状况分析本节将利用勾股定理解决立体图形表面上两顶点间最短距离问题，需要学生了解空间图形、对长方体进行展开实践操作活动．学生在学习七年级下正（长）方体展开图已经有了一定的认知上，已经基本具备解决本课题问题所需的知识基础和活动经验．二、教学任务分析本节是义务教育课程标准人教版教科书八年级（下）第十七章《勾股定理的应用》延伸的课题学习，具体内容是运用勾股定理解决长方体表面两顶点间最短路径问题．在这问题的解决过程中，需要经历立体图形转化为平面图形的过程，通过操作、观察、对比，培养学生的分析、归纳应用等能力；在探究活动具体一定的难度，在突破难点时需要具有学生敢于探索、勇于思考的精神，有助于锻炼学生独立思考，力闯难关的勇气．也通过转化思想、对比方法培养学生学习数学的基本素养。
三、教学设计：(一)教学目标：知识与技能：1、熟练运用勾股定理解决实际问题；2.通过立体图形转化为平面图形，能找出最短路线；过程与方法：1.强化转化思想和对比方法，培养学生分析、归纳、解决问题的能力；2.构建直角三角形模型，回归平面几何本源；情感态度与价值观:在教学过程中培养学生动手实践、观察、分析、归纳的习惯，体会知识的形成过程和获得知识的成就感；增强学生应用数学知识解决实际问题的经验，培养学生解决问题的能力，激发学生学习的兴趣和信心。
(二)教学重难点：1、教学重点：知识形成过程，并有效运用勾股定理解决实际问题。
2、教学难点：通过转化思想把立体图形转化为平面图形，构建直角三角形模型，并分情况讨论，得出结论的探究的过程。
（三）课前准备：课件、长方体盒子、线、两颗螺丝。
（四）教法、学法：引导---探究---归纳演示操作，引发思考，分类讨论，对比分析，达成结论。
（五）教学过程分析本节课设计了八个环节．第一环节：复习巩固；第二环节：问题呈现；第三环节：探索新知；第四环节：解决问题；第五环节：课堂练习；第六环节：课堂小结；第七环节：课后作业．第八环节：课后反思。
如何利用勾股定理求得最短距离
如何利用勾股定理求得最短距离人教版初中八年级（下册）第十八章介绍了勾股定理的内容和它的一些运用，勾股定理主要用来解决直角三角形三条边之间的关系的一个重要定理。
它在解三角函数、四边形以及实际生活中的运用也极其广泛，也是近几年全国各地中考的高频考点。
其中勾股定理在解决某些出现的最短距离的问题中发挥了很好的作用。
现分别举出勾股定理在长方体、圆柱体、圆锥体中是如何求得最短距离的例子，以便找出用它来解决问题的技巧和方法。
例1、 如图所示,有一个长方体木箱，长为40cm ，宽为30cm ，高为50cm ，点Q 距离点C 为10cm ， 一只蚂蚁从A 点爬行到Q 点的最短距离是多少？【分析】这一道题从表面上看似乎与勾股定理没有什么联系，但通过仔细分析后，将长方体展开，就会与勾股定理产生联系，要解决本题必须分两种情况。
解： 第一种情况：将长方体右侧面CBGF 展开，使得与面ABCD 在同一个平面上，过Q 点作QH ⊥BC 于H ，连接AQ ，如图2，AQ 就是蚂蚁从A 点爬行到Q 点的距离。
由题意可知，cm AB 40=，cm BH CQ 10==，cm QH 50=，则cm AH 50=，根据勾股定理可得：222QH AH AQ +=，cm QH AH AQ 7125050502222≈=+=+=。
第二种情况：将上面的面CDEF 展开，使得与面ABCD 在同一个平面上，连接AQ ，如图3，AQ 就是蚂蚁从A 点爬行到Q 点的距离。
由题意可知，cm AB 40=，cm BQ 60=，根据勾股定理可得：222BQ AB AQ +=，22BQ AB AQ +=，cm AQ 72320604022≈=+=。
显然，第一种情况所求得的AQ 的值要比第二种情况所求得的AQ 的值要小，所以蚂蚁从A 点爬行到Q 点的最短距离是cm 250。
例2、如图4，有一个圆柱体，它的高为12cm ，底面半径为3cm ，在圆柱体下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 点相对的B 点处的食物，沿着圆柱体侧面爬行的最短距离是多少？（π的近似值取3）A B D C E F G• •Q 图1A B D C E FG• • Q 图2 FGQ • H A BDCEF G•• Q 图3EF • Q【分析】这看上去是一个曲面的路线问题，但实际上可以通过圆柱体的侧面展开图来转化为 平面上的路线问题。
勾股定理与几何体最短距离问题 教研组集体备课课件
四、长方体中的最短距离问题
第一种情况：把我们所看到的 前面和上面组成一个长方形
这个长方形的长和宽分别是9和4， 则所走的最短线段是：
AB 42 92 97
四、长方体中的最短距离问题
第二种情况：把我们所看到的 左面与上面组成一个长方形
这个长方形的长和宽分别是7和6， 则所走的最短线段是：
A
5cm
3cm 1cm
A
B
AB AC2 ห้องสมุดไป่ตู้C2 122 52 13cm
12cm
C
5cm
B
二、圆柱中的最短距离问题
2.有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一 只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C A
B
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的 表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图)
；
AB 72 62 85
四、长方体中的最短距离问题
第三种情况：把我们所看到的 前面和右面组成一个长方形
这个长方形的长和宽分别是10和3， 则所走的最短线段是：
AB 32 102 109
因为 109 97 85 最短路径是： 85
总 结：
把几何体适当展开成平面图 形，再利用“两点之间线段 最短”，或点到直线“垂线 段最短”等性质结合“勾股 定理”来解决问题。
解：AC = 6 – 1 = 5 ， BC = 24 × 1 2 = 12， 由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .
几何体表面的最短路线问题
体顶点A处有一个蚂蚁，现要向顶点B爬行，求最短
路线长.
B
7
侧面展 开图
左
B
3
3 A5
A7
5
AB2 (5 7)2 32 153
B 结论：
AB最短 b c 2 a 2 `
A
长：a, 宽：b, 高：c 且a > b > c > 0
第三项：爬柱子
比赛规则：在圆柱侧面从A走到B，所走路线最 短者获胜.
5
12
立体图形
转化 展开
平面图形
数学思想：转化思想
数学原理：两点之间线段最短
当堂检测：
1.如图，蚂蚁从台阶A处爬到B处它的最短距离是（ B ）.
A 20 B 25 C 30 D 35
2.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只
蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短
2
如图，台阶的长、宽、高分别是30，2，8，求 从A到B所走的的最短距离是 50 .
第二项：翻方块
比赛规则：在方体表面从A走到B，所走路线最 短者获胜.
B
A
如图，方块是边长为1的正方体，求从A到B所走
的最短路线长是
。
第二项：翻方块
如图，方块是边长为1的正方体，求从A到B所走
的最短路线长是
。
B
B
B
答：最短距离是20厘米
路径长为 13
cm.
3.有一个长方体，它的长、宽、高分别为10cm，6cm，12cm．在
顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到与顶点A相对的顶点B的食物．已知蚂 蚁沿长方体表面爬行的速度是3cm/s，问蚂蚁能否在7秒内获取到食物？ 并说明理由.
数学人教版八年级下册利用勾股定理解决最短路径问题
《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计一、教学目标1、通过探究平面图形和立体图形中最短路径问题，掌握利用勾股定理解决最短路径问题的方法。
2、体会类比、数形结合的数学思想方法。
二、教学重、难点重点：掌握利用勾股定理解决最短路径问题的方法难点：利用勾股定理解决最短路径问题的方法探究三、教学过程（一）情境导入在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，怎样爬行路程最短？设计意图：通过有趣的问题情境导入新课，很好的吸引学生的注意，使得学生全身心地投入到学习中。
（二）知识梳理1、常见立体图形的侧面展开图：圆柱：圆锥：长方体：2、距离最短（1）两点之间最短距离：（2）点到直线的最短距离：（3）两个点到直线的距离和最短：两个点在直线异侧：两个点在直线同侧：3、勾股定理：（三）自主探究1、平面中的最短路径问题学习指导：请每个学生先独立思考，尝试解决例题，然后在小组合作交流。
温馨提示：请结合知识梳理中的方法思考解决问题的方法。
例题1、如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B,为了避免拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 . 步路（假如2步为1cm），却才伤了花草。
B解答：设计意图：通过解决这道题，让学生认识到这要做并没有节约太多的路程，然而破坏了花草，提高学生的环保意识，并倡导学生从自我做起，提醒身边的每一个人爱护花草树木。
解答：设计意图：例题2比较综合，用到轴对称中最短路径问题，考查了学生综合解决问题的能力，也体现了小组合作的必要性。
归纳分享：归纳利用勾股定理解决平面图形中最短路径问题的方法设计意图：通过归纳反思，让学生认识到勾股定理解决平面中的最短路径问题的便利，并学习解决问题的方法。
（二）立体图形中最短路径问题例题3、如图，有一个圆柱，它的高等于16cm ，底面半径等于4cm,在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是（ ） （π取3）例题2、如图，在正方形ABCD 中，AB 边上有一点E ，AE=3，EB=1，在AC 上有一点P ，求EP+BP 的最短长度。
人教版八下数学 第17章 勾股定理 微专题三 立体图形中的最短线路问题
人教版八下数学第17章勾股定理微专题三立体图形中的最短线路问题1.如图，圆柱的底面半径为6cm，高为10cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米（结果保留小数点后一位）？2.如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为( )A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm3.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽路不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且在离容器上部3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是( )A．13cm B．2√61cm C．√61cm D．2√34cm4.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为( )A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm5.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺．6.如图①，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图①所示，设长度为l1．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图②所示，设长度为l2．请按照小明的思路补充下面解题过程：(1) 解：l1=AB+BC=2+8=10，l2=√AB2+BC2=√22+(4π)2=√4+16π2；∵l12−l22=．(2) 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）①此时，路线1:l1=；路线2:l2=．②选择哪条路线较短？试说明理由．答案1. 【答案】答图略，将圆柱展开，侧面为矩形，∴AB=√(6π)2+102≈21.3(cm)．答：蚂蚁从点A爬到点B的最短路程约是21.3cm．2. 【答案】D3. 【答案】A4. 【答案】A5. 【答案】256. 【答案】(1) 96−16π2(2) ① 8；2√4+π2② ∵l12−l22=82−(16+4π2)=48−4π2=4(12−π2)>0．∴l12>l22，即l1>l2．所以选择路线2较短．【解析】(1) l1=AB+BC=2+8=10，l2=√AB2+BC2=√22+(4π)2=√4+16π2，∵l12−l22=102−(4+16π2)=96−16π2=16(6−π2)<0，∴l12<l22，即l1<l2，所以选择路线1较短．。
人教版八年级数学下册 勾股定理之最短路径问题 讲义
最短路径问题解题技巧：先把立体图形展开成平面图形，再根据两点之间线段最短来解决问题例1、如图，厨房里有一个圆柱体的糖罐，底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只饥饿的蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C偷糖吃，试求出爬行的最短路程1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm。
A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为_________dm．2、如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度.3、如图，A、B两个小城镇在河流CD同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元(1)请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节约？(2)求出总费用是多少？课后作业1、在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2+BC2+AC2的值是（）A.2B.4C.6D.82、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．3、如图所示，一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高为______m4、如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-6,0）、（0,8）。
以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为___________5、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°。
（1）求∠BAC的度数。
（2）若AC=2，求AD的长。
6、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=5，则BC=________7、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED。
《勾股定理的应用》--长方体表面上的最短路径问题 初中八年级下册数学教案教学设计课后反思 人教版
17.3.勾股定理的应用---长方体表面上最短路径问题一、学生知识状况分析本节将利用勾股定理解决立体图形表面上两顶点间最短距离问题，需要学生了解空间图形、对长方体进行展开实践操作活动．学生在学习七年级下正（长）方体展开图已经有了一定的认知上，已经基本具备解决本课题问题所需的知识基础和活动经验．二、教学任务分析本节是义务教育课程标准人教版教科书八年级（下）第十七章《勾股定理的应用》延伸的课题学习，具体内容是运用勾股定理解决长方体表面两顶点间最短路径问题．在这问题的解决过程中，需要经历立体图形转化为平面图形的过程，通过操作、观察、对比，培养学生的分析、归纳应用等能力；在探究活动具体一定的难度，在突破难点时需要具有学生敢于探索、勇于思考的精神，有助于锻炼学生独立思考，力闯难关的勇气．也通过转化思想、对比方法培养学生学习数学的基本素养。
三、教学设计：(一)教学目标：知识与技能：1、熟练运用勾股定理解决实际问题；2.通过立体图形转化为平面图形，能找出最短路线；过程与方法：1.强化转化思想和对比方法，培养学生分析、归纳、解决问题的能力；2.构建直角三角形模型，回归平面几何本源；情感态度与价值观:在教学过程中培养学生动手实践、观察、分析、归纳的习惯，体会知识的形成过程和获得知识的成就感；增强学生应用数学知识解决实际问题的经验，培养学生解决问题的能力，激发学生学习的兴趣和信心。
(二)教学重难点：1、教学重点：知识形成过程，并有效运用勾股定理解决实际问题。
2、教学难点：通过转化思想把立体图形转化为平面图形，构建直角三角形模型，并分情况讨论，得出结论的探究的过程。
（三）课前准备：课件、长方体盒子、线、两颗螺丝。
（四）教法、学法：引导---探究---归纳演示操作，引发思考，分类讨论，对比分析，达成结论。
（五）教学过程分析本节课设计了八个环节．第一环节：复习巩固；第二环节：问题呈现；第三环节：探索新知；第四环节：解决问题；第五环节：课堂练习；第六环节：课堂小结；第七环节：课后作业．第八环节：课后反思。
数学人教版八年级下册几何体表面最短距离问题
摘要：几何体表面最短距离问题，通常是将几何体表面展开，根据“两点之间，线段最短”，利用勾股定理求展开图中两点之间的最短距离。
解决该类问题通常是分类解答做比较后得出最终结果。
由于有些图形情况复杂，许多学生分类讨论不完整，常常导致最后结果出错；另一方面，分类解答比较浪费时间，所以导致学生非常害怕做该类题。
本文将对该类题进行归纳讨论，分析这类题的实质，简化问题得出结论。
关键词：勾股定理；几何体；最短距离问题：如图，是一块长、宽、高分别是a，b，c（a>c>b）的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点A相对的顶点G处吃食物，寻找蚂蚁需要爬行的最短路径。
讨论：该题目中从点A至点G的可能的最短路径一定经过两个面；因为“前面”、“左面”、“下面”相交于点A，所以开始经过的面一定是“前面”或“左面”或“下面”；要经过的第二个面由点G决定，由于“右面”、“上面”、“后面”相交于点G，易得以下几种情形：①“前面”→“右面”将折平面ABFE、BCGF展开摊平，得矩形ACGE，如图，由勾股定理得AG2=（AB+BC）2+CG2=（a+b）2+c2=a2+c2+2ab②“前面”→“上面”将折平面ABFE、EFGH展开摊平，得矩形ABGH，如图，由勾股定理得AG2=（BF+FG）2+AB2=（c+b）2+a2=a2+c2+2bc③“左面”→“上面”将折平面AEHD、EFGH展开摊平，得矩形AFGD，如图，由勾股定理得AG2=（AE+EF）2+GF2=（c+a）2+b2=c2+a2+2ac+b2④“左面”→“后面”将折平面ADHE、DCGH展开摊平，得矩形ACGE，如图，由勾股定理得AG2=（AD+DC）2+CG2=（b+a）2+c2=a2+b2+c2+2ab⑤“下面”→“后面”将折平面ABCD、DCGH展开摊平，得矩形ABGH，如图，由勾股定理得AG2=（BC+CG）2+AB2=（c+b）2+a2=a2+b2+c2+2bc⑥“下面”→“右面”将折平面ABCD、BFGC展开摊平，得矩形AFGD，如图，由勾股定理得AG2=（AB+BF）2+GF2=（a+c）2+b2=a2+b2+c2+2ac小结：以上六种情形实质上归结为三种情形（因为每两个相对的面是全等的长方形）：①与④实为同一种情形；②与⑤实为同一种情形；③与⑥实为同一种情形，比较三个结果易得：∵a>c>b∴ac>ab>bc∴a2+b2+c2+2ac>a2+b2+c2+2ab>a2+b2+c2+2bc∴②或⑤最近。
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理勾股定理的应用立体图形中的最短路程问题优秀教学案例
（三）小组合作
1.分组合作：将学生分成小组，鼓励学生进行合作学习和讨论交流。每个小组共同解决问题，共同思考和探讨。
2.小组讨论：鼓励学生发表自己的观点和思考，培养学生的团队合作精神和沟通能力。学生可以通过讨论、辩论等方式，共同解决问题。
（3）通过实际问题，感受数学与生活的联系。
2.方法目标：通过本节课的学习，使学生掌握以下方法：
（1）观察分析法：观察立体图形，发现最短路程问题；
（2）勾股定理运用法：运用勾股定理，解决最短路程问题；
（3）实际问题解决法：将数学知识运用到实际生活中，解决实际问题。
（三）情感态度与价值观
1.情感目标：通过本节课的学习，使学生能够对数学产生浓厚的兴趣，激发学生学习数学的积极性。具体包括：
本节课的教学目标是通过解决立体图形中的最短路程问题，巩固学生对勾股定理的理解，提高学生运用勾股定理解决实际问题的能力。同时，通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作精神和沟通能力。
在教学过程中，我以生活中的实际问题为切入点，引导学生运用勾股定理解决立体图形中的最短路程问题。在解决问题的过程中，学生需要充分运用空间想象能力和逻辑思维能力，从而达到提高学生数学素养的目的。
为了更好地实施本节课的教学，我采用了多媒体教学手段，通过动画、图片等形式，直观地展示立体图形和最短路程问题，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。同时，在教学过程中，我注重启发学生思考，引导学生发现规律，培养学生自主探究的能力。
在课堂拓展环节，我设计了一些具有挑战性的练习题，让学生在课后进行思考和探索，进一步提高学生的数学素养和解决问题的能力。通过对本节课的学习，学生不仅掌握了勾股定理在立体图形中的应用，还提高了空间想象能力和解决问题的能力，为今后的数学学习奠定了坚实的基础。
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理勾股定理的应用立体图形中的最短路程问题教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解勾股定理的概念，能够准确描述并证明勾股定理。
2.能够运用勾股定理解决直角三角形中的边长问题，如已知两边求第三边，或已知一边和斜边求另一边。
3.能够将勾股定理应用于立体图形中，如长方体、正方体等，解决最短路程问题。
4.加强小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通技巧。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握勾股定理的应用，特别是在立体图形中的最短路程问题。
2.能够将实际问题抽象为数学模型，运用勾股定理解决问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
（二）教学设想
1.引入阶段：
-通过生活中的实例，如建筑物的高度测量，引出勾股定理在解决实际问题时的重要性。
பைடு நூலகம்-基础题：直接应用勾股定理求解直角三角形的边长。
-提高题：将勾股定理应用于立体图形，求解最短路程问题。
-拓展题：解决生活中的实际问题，如测量距离、高度等。
2.学生互相批改，讨论解题方法，教师点评并给出建议。
（五）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学内容，总结勾股定理的概念、证明方法和应用。
2.教师对学生的总结进行补充和归纳，强调勾股定理在实际生活中的重要性。
作业提交时间：
-请同学们在下次课前将作业完成，并将解答写在作业本上，以便课堂上进行交流和讨论。
4.能够运用勾股定理解决生活中的实际问题，如计算建筑物的高度、距离等。
（二）过程与方法
在本章的学习过程中，学生将经历以下过程与方法：
1.通过观察、分析、归纳，发现并理解勾股定理。
人教版数学八年级下册第十七章数学活动《勾股定理解决立体图形表面上最短路线问题》
难点名称： 在立体图形表面寻找两点间最短路径， 并构建合适的直角三角形求最短路线
B C
目录
contents
新课导入
01
如图，从A地到B地可乘飞 机，也可以坐高铁（A-C-B)， 请指出从A地到B地的最短行程
C
A
B
知识讲解
02 在一个圆柱体石凳上，若小明在吃 东西时留下了一点食物在B处，恰好一只 在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想 从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？ B
C
B
1
B
1 A1
A1
解：由题意得AC =2，BC=1, 在Rt△ABC中，由勾股定理得 AB²= AC²+ BC²=2²+1²=5 ∴AB= 5 ，即最短路程为 5 .
B B
1 1D
小结
利用立体图形的
05
建立合理的数学模型将已知
条件 到同一个直角三角形
中，根据
即可
B C
B
A
B
B
B'
A
A
A'
解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离. ∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5, ∴AB'=13. 即梯子最短需13米.
拓展提升
04
如图，是一个边长为1的正方体 硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿 着正方体的外表面到达B处吃食物， 求蚂蚁爬行的最短距离是多少？
B
A
的高将圆柱的侧面展开，找出B点的位置，
A
即可求得平面上线段AB的长度。
2、运用学过的知识精确求出线段AB的长度
底面圆周长的一半
C
B
人教版八年级数学下册《勾股定理的应用——立体图形中的最短距离》PPT
8cm的长方体牛奶盒，现在A处有一只蚂蚁，想
沿着长方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬
行的最短距离是多少？ B (1)点A处在几个面 上？ 点B呢？
牛奶盒
A 10cm
8cm (2)蚂蚁从点A到点B至 少要经过几个面？分别
6cm 有哪些情况？ (3)如何展开长方体？
B3 解：由题意知有三种展开方法， 如图.由勾股定理得
B1 B
AB12 102 6 82
296 2 74
AB2 82 10 62
8
B2
320 8 5
AB3 62 10 82
A
10
360 6 10
6
∴AB1＜AB2＜AB3.
∴小蚂蚁完成任务的最短
路程为AB1，长为2 74 cm.
拓展提升
若长方体的长，宽，高分别为a，b 和c，且a>b>c,则沿长方体表面从A到 Cˊ所走的最短路程是
归纳总结
二、数学思想： 立体图形
转化 展开
转化思想
平面图形
课后作业
1.如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有 一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，
求蚂蚁爬行的最短距离是多少. B
A 2.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒 形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如 图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm， 如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
（2）这条“径路”长 5 米,他们少走了 4
为1米)A？
Байду номын сангаас
别踩我,我怕疼 A
疼
!
步(设两步
C
B
C
B
研学问题
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摘要：几何体表面最短距离问题，通常是将几何体表面展开，根据“两点之间，线段最短”，利用勾股定理求展开图中两点之间的最短距离。
解决该类问题通常是分类解答做比较后得出最终结果。
由于有些图形情况复杂，许多学生分类讨论不完整，常常导致最后结果出错；另一方面，分类解答比较浪费时间，所以导致学生非常害怕做该类题。
本文将对该类题进行归纳讨论，分析这类题的实质，简化问题得出结论。
关键词：勾股定理；几何体；最短距离
问题：如图，是一块长、宽、高分别是a，b，c（a>c>b）的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点A相对的顶点G处吃食物，寻找蚂蚁需要爬行的最短路径。
讨论：该题目中从点A至点G的可能的最短路径一定经过两个面；因为“前面”、“左面”、“下面”相交于点A，所以开始经过的面一定是“前面”或“左面”或“下面”；要经过的第二个面由点G决定，由于“右面”、“上面”、“后面”相交于点G，易得以下几种情形：
①“前面”→“右面”
将折平面ABFE、BCGF展开摊平，得矩形ACGE，如图，由勾股定理得
AG2=（AB+BC）2+CG2=（a+b）2+c2=a2+c2+2ab
②“前面”→“上面”
将折平面ABFE、EFGH展开摊平，得矩形ABGH，如图，由勾股定理得
AG2=（BF+FG）2+AB2=（c+b）2+a2=a2+c2+2bc
③“左面”→“上面”
将折平面AEHD、EFGH展开摊平，得矩形AFGD，如图，由勾股定理得
AG2=（AE+EF）2+GF2=（c+a）2+b2=c2+a2+2ac+b2
④“左面”→“后面”
将折平面ADHE、DCGH展开摊平，得矩形ACGE，如图，由勾股定理得
AG2=（AD+DC）2+CG2=（b+a）2+c2=a2+b2+c2+2ab
⑤“下面”→“后面”
将折平面ABCD、DCGH展开摊平，得矩形ABGH，如图，由勾股定理得
AG2=（BC+CG）2+AB2=（c+b）2+a2=a2+b2+c2+2bc
⑥“下面”→“右面”
将折平面ABCD、BFGC展开摊平，得矩形AFGD，如图，由勾股定理得
AG2=（AB+BF）2+GF2=（a+c）2+b2=a2+b2+c2+2ac
小结：以上六种情形实质上归结为三种情形（因为每两个相对的面是全等的长方形）：①与④实为同一种情形；②与⑤实为同一种情形；③与⑥实为同一种情形，比较三个结果易得：
∵a>c>b
∴ac>ab>bc
∴a2+b2+c2+2ac>a2+b2+c2+2ab>a2+b2+c2+2bc
∴②或⑤最近。
结论：解决此类问题应让较短的两条边展开在同一个平面内作为展开面的一边，应用勾股定理求解。
变式练习：如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B为棱上一点，点B离顶点C有5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的路程是多少？
分析：用常规方法分类解答作比较：
解法一：将长方体展开成平面图形。
∵两点之间线段最短，∴所求的爬行路程就是线段AB的长度，根据点B在图上的位置，展开后线段AB有两种可能（如图（a）、图（b））。
在图（a）中：由勾股定理，得AB2=202+（10+5）2=625，∴AB=25.在图（b）中：AB2=202+（20+5）2=725.
∵725>625，∴需要爬行的最短路程是25cm.
解法二：直接应用上面的结论，该问题应把长为5cm、10cm的两条边所在平面展开摊平，使5cm、10cm的两条边作为展开面的一边，20作为另一边，由勾股定理，得AB2=202+（10+5）2=625，∴AB=25.
几何体表面最短距离问题一定要注意原图形在展开图中的相应位置。
但这类题也不是不可攻克，只要真正理解这类题的实质，用我们得到的结论，使问题得以简化，学生可以非常容易，而且能够快速、准确地得出正确的结论。