1 等离子体概述

) )
=
exp[σ
( Et
−
EA
)
−σ
( Et
−
EB
)]
(1.14)
现在我们假设和系统 S1 相比起来系统 S2 非常大，因此 EA 和 EB 表示了
在系统 S2 能量中的很小变化，我们将上式泰勒展开为：
g2 ( Et g2 ( Et
− −
EA ) EB )

exp

−
EA
dσ dE
+
EB
dσ dE
1
λD
≡

ε 0Te e2n∞
2
λD 就称为德拜长度。
(1.23) (1.24)
对于等离子体电荷密度及电位的扰动以特征长度为德拜长度 λD 趋于 下降。
在 聚 变 等 离 子 体 中 λD 的 值 非 常 小 。 [ 如 ： ne = 1020 m−3Te = 1keV ，
λD = 2 ×10−5 m = 20µm ] 通常我们将“ λD <<等离子体系统特征长度”这一条件包含在等离子
1.2 等离子体屏蔽
1.2.1 玻尔兹曼分布的基本推导
统计力学基本原理： 热平衡 ↔ 最可几状态，即这种状态中分布着大量可能的微观状态。
图 1.4 热接触面中的统计制度
考虑两个弱联系系统 S1 ， S2 ，分别具有能量 E1 ， E2 。设 g1 ， g2 分别
为每个系统的微观状态个数，用来产生各自的能量。因此复合系统中微观 状态的总个数为（假定各个状态相互独立）：


∝
3
T2
1
n2

(1.34)
如果 ND ≤ 1，则单个粒子不能被认为是光滑连续的。在后面可以看到
这种情况意味着碰撞占主体行为：即短量程粒子间的相互作用和长距离集 体效应一样重要。
(1.20)
[这是一个 Boltzman 系数；它假定电子是处于热力学平衡状态下的。n∞ 是远离栅格的密度（取电位 φ = 0 ）。]
离子密度 ni = n∞
(1.21)
[为了运算直观性，在远离栅格的地方，我们假定等离子体为电准中性气体，
离子密度不受电位φ 扰动的干扰。]
取代为：
d 2φ dx2
=
⒉可见在等离子体分界面处有一层很薄的区域，是发生电位变化的主 要区域，我们称之为“鞘层（Sheath）”。
产生电压降的原因：
是因为电子和离子的运动速度不同引起的。
如果没有电压变化（ E = 0 ），则电子和离子以随机概率撞击固体表面：
1 4 nv
每单位面积
(1.25)
[上式来自气体动动力学基本原理，如果不熟悉可以看问题部分。]
1 绪论
1.1 等离子体概述
1.1.1 一种电离气体
等离子体是一种大部分原子被电离的气体，其中电子和离子是独立自 由的。
电离是什么时候发生的？当温度足够高时气体会发生电离。 碰撞中电离和复合之间的平衡如下图：
图 1.1 电离和复合 原子发生电离需要达到一个阀值能量，而复合则不需要，但是复合比 电离发生的可能性要小得多。这个阀值为电离能量（13.6eV，H）。 χi Maxwell 整体分布给出了电离的比例系数（反应率）。然而在 Maxwell 分布的尾部，电离率低于 T = χi 。在平衡条件下：
n分子 ~ 3×1025 m−3 ）。假定离子和电子密度有一很小差别 ∆n = (ni − ne ) ，
则 ρ = ∆n e
在距离 x 处每单位体积受到的静电力为：
Fe
=
ρE
=
ρ2
x ε0
= (∆n e)2
x ε0
(1.6) (1.7)
取 ∆n/ne = 1% ， x = 0.10m 。
Fe = (1017 ×1.6 ×10−19 )2 0.1/8.8×10−12 = 3×106 N.m−3
n离子 = < σ iv > n中性粒子 < σ rv >
(1.1)
图 1.2 氢原子电离与辐射复合比率
如果电子温度：Te ≥ χi / 10，则离子所占的百分比会很大（ ~ 100％）。
例如，氢在温度 Te ≥ 1eV（11,600ºk）时发生电离。在室温 r 下电离作用 可以忽略不计。
分解和电离平衡图可见《Delcroix 等离子体物理 Wiley》（1965）第 25 页，图 1A.5。
体的定义中，这样就保持了等离子体的集体效应、电中性等特点，不然这 些特点是无法保持的。
1.2.4 等离子体-固体分界面（基本原理）
当等离子体与固体接触时，固体就像一个“陷阱”使等离子体往里沉 陷，接触表面会发生电子和离子的复合。
⒈相对于固体而言，等离子体相当于带正电荷。
图 1.7 等离子体-固体分界面：鞘层
1.1.2 等离子体是电准中性气体
如果一种气体中所含电子和离子（单电荷）的数目不相等，则存在一 个净电荷密度， ρ 。
ρ = ne (−e) + ni (+e) = e(ni − ne ) 净电荷密度会产生电场：
∇⋅E =
ρ ε0
=
e ε0
(ni
− ne )
(1.2) (1.3)
例如：平板间电场。
1 2
mv2
，采用
服从
Maxwell-Boltzman
速度分布
∝
exp
−
mv2 2T

。
1.2.2 静电势中的等离子体密度
当存在一个变化的电势 φ 时，电子（和离子）的密度会受到它的影响。
如果电子处于热力学平衡中，则可以采取密度服从 Boltzman 分布：
ne
∝
exp(
eφ Te
)
(1.8)
与此相对每单位体积的压力 ~ p/x ： p ~ neTe (+niTi )
Fp ~ 1019 ×1.6 ×10−19 /0.1 = 16Nm−3
(1.9)
可见，静电力>> 动力学压力。 上述只是等离子体特点的一个方面，因为是电离气体，等离子体呈现 出各种“集体特点”，然而和中性气体不同，“集体特点”由长程电磁强度 E 和 B 来调节。 另一个相关例子是纵波的传播不同。在普通气体中，声波是由分子间 的碰撞运动传播的；而在等离子体中，碰撞忽略不计时，声波由粒子间的 库仑作用力传播。
假设我们将一个平板栅格放入等离子体，使它保持一个电位：φg 。
图 1.6 一维栅格的屏蔽区域
可见，与真空中不同，这个电位的扰动很快就会跌落到等离子体电位。 我们可以用以下式子来表达。重要方程组为：
泊松方程
∇2φ
=
d 2φ dx2
=
−e ε0
(ni
− ne )
(1.19)
电子密度 ne = n∞ exp(eφ /Te )

(1.15)
所以当与一个（大）的热储达到平衡的条件下，我们可以简单的将一
个系统（ S1 ）处于任意两个微观状态 A ， B 的比例概率表示为：
exp

−(
EA − T
EB
)

(1.16)
这就是著名的“Boltzman 系数”。 你可能注意到上面公式中不含有 Boltzman 常数，这是因为它的熵（无 量纲）和温度（能量）用的是热力学自然单位。Boltzman 常数只是温度的 自然单位（能量，如焦耳）和绝对温度之间简单的转换因子。开氏温度以
(1.18)
这是因为每个电子（不考虑速度）具有一个电势能 −eφ 。结果导致了
一个相关性的自洽循环发生（图 1.5）。 上述是等离子体一般理论的一个基本例子，需要关于电动力学的
Maxwell 方程组自洽解法和等离子体的质点动力学。
图 1.5 相关性的自洽循环
1.2.3 德拜屏蔽
与前面讨论的准中性稍稍有点不同，下面要介绍一个重要的物理特征 量：德拜长度。
注意我们研究德拜屏蔽时用 nee 来表示电荷密度，而且假定电荷密度是 光滑且连续的。然而如果密度非常低，以至于在德拜屏蔽区域内电子个数 还达不到一个，那么上述研究就是不正确的。实际上我们用三维空间来解 决这个问题，定义一个“等离子体参数” ND 为：
ND = “德拜球”内的粒子数
=
n
⋅
4 3
πλD3
g = g1g2
(1.10)
如果复合系统总能量不变 E1 + E2 = Et ，则上式可表示为 E1 的函数：
g = g1( E1 )g2 (Et − E1 )
(1.11)
和
dg dE1
=
dg1 dE
g2
−
g1
dg2 dE
(1.12)
最可几状态为： dg = 0 ，即： dE1
1 g1
dg1 dE
平均速度 v = 8T ~ T 。 πm m
因为质量不同，电子运动的速度比离子快得多 ~ mi ，因此流出等离 me
子体流向固体的电子流大大超过离子流，从而使固壁负电荷过剩，得到一
个负电位，这个负电位反过来又会阻碍电子流的扩散，最终将整体电流减
小为零。
电压估算：
离
子逃逸通量为：
1 4
ni′vi
；
电
清楚的是，对应于 S1 系统中的一个微观状态，复合系统中存在多少个微观 状态。
显然它等于系统 2 中的微观状态个数。因此，为了表示 S1 系统中两个
微观状态的能量值，我们来比较能量值 EA 和 EB ，作为复合系统 S1A 和 S1B 中 微观状态个数的比例：
g2 ( Et g2 ( Et
− −
EA EB
时（在鞘层中可能会是这样的情况），这种解法就不再正确了。如果忽略电 子密度，则解仅包含二次项。因此可以设想，鞘层厚度能够用电位梯度粗 略表示：
−T 1 e λD
(1.33)
设距离足够远，使 φs
=
− 4 Te e
，即：
距离 x ~ 4λD 。
在典型鞘层厚度求解中这是正确的，但是求解并不严格。
1.3 等离子体参数
=
1 g2
dg2 dE
或
d dE
ln
g1
=
d dE
ln
g2
(1.13)
所以，在平衡条件下，热接触面中的状态具有相同的 d ln g 值。 dE
定义熵为 σ ≡ ln g ，温度为 [ d ln g]−1 = T 。 dE
现在假设我们想知道系统 1 中 2 个微观状态在平衡条件下的相对几率。
可知系统中总共有 g1 个微观状态，但是对应每个特定的能量 E1 ，我们要弄
1.2.5 鞘层厚度
假设离子密度不变，则可以大致估算鞘层的厚度。电位求解方程如前 所述：
d 2φ dx2
=
en∞ ε0
exp

eφ Te

−1

我们已知这个方程的解的粗略的长度尺度是：
1
λD
=

ε 0Te e2n∞
2
德拜长度
(1.31) (1.32)
实际上我们以前的解法仅在| eφ /Te |<<1的条件下才正确，当 −eφ /Te > 1
en∞ ε0
exp

eφ Te

−1

(1.22)
这是一个难解的非线性方程，但是在远离栅格处 | eφ /Te | << 1，因此
我们可以运用泰勒表达式： exp eφ 1+ eφ 。所以：
Te
Te
d 2φ dx2
=
en∞ ε0
e Te
φ
=
e2n∞ ε 0Te
φ
解得： φ = φ0 exp(− | x | /λD ) ；
摄氏度 o C 为基准，1 o C 表示将水的熔解和沸腾之间的温度差除以 100 的值，
水是随机挑选的参照物。 等离子体物理基本上都用能量单位来表示温度，因为焦耳量值太大了，
通常用电子-伏特（ eV ）表示：
1eV = 11600K = 1.6×10−19 焦耳
(1.17)
Boltzman
系数的一个推论为：气体中运动粒子的动能为
个假设仅仅近似正确。]
因此等离子体的整体电流密度为：
j
=
Biblioteka Baiduqi
1 4
ni′vi
+
qe
1 4
ne′ve
(1.27)
电流密度必须为零，则：
=
en∞ 4
{vi
−
exp

eφs Te

ve }
(1.28)
φs
=
Te e
ln
|
vi ve
|=
Te e
1 2
ln

Ti Te
me mi

dE = ρ dx ε0 →E=ρ x
ε0
(1.4) (1.5)
图 1.3 带电荷平板
无论哪种带电粒子多于另一种都会使电荷受到静电作用力，即，如果 ni > ne ，则电场 E 会促使 ni 减少， ne 增加，而总电荷量趋于减少。这种静 电恢复力是极强的。
例： 假 设 Te = 1eV ， ne = 1019 m−3 （ 一 种 适 中 等 离 子 体 ； 大 气 密 度
(1.29)
=
Te e
1 2
ln

me mi

[如果 Te = Ti ]
(1.30)
例如氢气中
mi me
=
1800
，则
1 2
ln
me mi
= − 3.75 。
等离子体表面的电位可以近似等于 − 4 Te 。[注意：Te 是以电子-伏特作
e
e
单位的电子温度 r 除以 e ，用来表示电压。]
子逃逸通量为：
1 4
ne′vi
。
ni′ 和 ne′ 分别表示固体表面的离子、电子密度。
将 Boltzman 应用到电子密度：
ne′ = n∞ exp[eφs /Te ]
(1.26)
φs 是相对于无穷远处（ ∞ ）等离子体的固体电位。
由于电位的存在，离子被吸引流向负电位，假定 ni′ ~ n∞ (Zi =1) 。[这