抛物线中的切线问题(推荐完整)

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第40讲抛物线的双切线问题(解析版)

第40讲抛物线的双切线问题参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2021•吉州区校级一模）设抛物线22x py = (0)P >，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ，A ，B ，M 的横坐标分别为A X ，B X ，MX 则( )A ．2AB M X X X += B ．2A B M X X X =C ．112A B MX X X +=D ．以上都不对【解答】解：由22x py =得22x y p=，得x y p '=，所以直线MA 的方程为2()A M x y p x x p +=-，直线MB 的方程为2()B M xy p x x p+=-，所以，22()2A A A M x x p x x p p +=-①，22()2B A B M x x p x x p p+=-②由①、②得2M A B x x x =+．故选：A ．二．填空题（共1小题）2．（2021•厦门一模）过抛物线2&:4E y x =焦点的直线l 与E 交于A ，B 两点，E 在点A ，B 处的切线分别与y 轴交于C ，D 两点，则|||CD AB -的最大值是 8 ．【解答】解：由24y x =，y =y'，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则过A 点的切线的斜率k =则切线方程11)y y x x -=-，令0x =，解得：y =C ，同理可得(0,D ，则||CD =设直线AB 的方程：(1)y k x =-，联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理得：22222(2)0k x k x k -++=，则121x x =，212||2AB x x ∴=++=，则2|||CD AB -=-，t ，2t ，设22()(8f t t t =-=--+，2t ，∴当t=()f t 取最大值，最大值为8，|||CD AB ∴-的最大值为8，故答案为：8．三．解答题（共36小题）3．（2021•东台市校级模拟）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为(2,2)p 时，||AB =，求此时抛物线的方程．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题意设221212120(,),(,),,(,2)22x x A x B x x x M x p p p<-．由22x py =得22x y p=，得xy p '=，所以1MA x k p =，2MB xk p=．因此直线MA 的方程为102()x y p x x p +=-，直线MB 的方程为202()xy p x x p+=-．所以211102()2x x p x x p p +=-，①222202()2x x p x x p p+=-．②由①、②得121202x x x x x +=+-，因此1202x xx +=，即0122x x x =+．所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当02x =时，将其代入①、②并整理得：2211440x x p --=，2222440x x p --=，所以1x ，2x 是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又222101221222ABx x x x x p p k x x p p -+===-，所以2AB k p=．由弦长公式得||AB ==||AB =，所以1p =或2p =，因此所求抛物线方程为22x y =或24x y =．4．（2021•苏州期末）如图，设抛物线22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．【解答】证明：由题意，设211(,)2x A x p，22212(,)()2x B x x x p<，0(M x ，2)p -．由22x py =得22x y p=，得xy p '=，所以1MA x k p =，2MB xk p=．因此直线MA 的方程为102()x y p x x p +=-，直线MB 的方程为202()xy p x x p+=-．所以，211102()2x x p x x p p +=-①，221202()2x xp x x p p+=-②由①、②得121202x x x x x +=+-，因此1202x xx +=，即0122x x x =+．所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．5．（2021•浙江模拟）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（Ⅱ）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA ，MB 分别交于点C ，D ，记EABMCDS S λ∆∆=，问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由．【解答】解：()I 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，过A 点的切线方程为2111()2x xy x x p p-=-，过B 点的切线方程为2222()2x xy x x p p-=-，联立这两个方程可得2112,22M M x x x xx y p+==，又2112212AB y y x x k x x p-+==-，所以直线AB 的方程为：21121()22x x x y x x pp+-=-，化简得1212()20x x x py x x +--=，令0x =，1212,222M x x x xy y p p p=-==-又， 2y p ∴=∴直线AB 过点(0,2)p ；（Ⅱ）记122M x x x +=，12E C x x x +=同理可得，22ED x x x +=，11111212||2||||||||22E C E E M C E x x x x x x x AC x x x x CM x x x x ----+-===++-，11222||||||||2EE E c E E D E E Ex x x x x x x CE x x ED x x x x x -----+===+-，∴2,E CE x X AC CE MD CM ED DB x x --==同理 ∴||||||AC EC DMCM DB DB==， ∴设||||||AC EC DMt CM ED DB===，记MCE S S ∆=，则ACE S tS ∆=，同理，MDE S S t ∆=，2BDE SS t ∆=，2||||11(1)||||1MAB MCD S MA MB t t t S MC MD t t∆∆+++===，于是2232(1)(1)(1)()MABMCD t t S t S S S S t t t t ∆∆+++==+=，2(1)EAB MAB MCD ACE BDE t S S S S S S t ∆∆∆∆∆+∴=---=，1MCD t S S t∆=+， 2EABMCDS S λ∆∆∴==．6．（2012•上海模拟）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线:2l y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A 、B ．（1）设抛物线上一点P 到直线l 的距离为d ，F 为焦点，当3||2d PF -=时，求抛物线方程；（2）若(2,2)M -，求线段AB 的长；（3）求M 到直线AB 的距离的最小值．【解答】解：（1）由3||2d PF -=，得332()222P P p p y p y +-+==，1p ∴=， ∴抛物线方程为22x y=．（2）(2,2)M -在直线2y p =-上，22p ∴-=-，解得1p =，∴抛物线方程为22x y=，设过M 点的直线为(2)2y k x =--，联立：2(2)22y k x x y =--⎧⎨=⎩，消去y ，得2222x kx k =--即224(1)0(*)x kx k -++=，直线与抛物线相切，∴△0=，即2416(1)0k k -+=2440k k ∴--=，∴2k =±(*)有等根x k =，2B x ∴=+2A x =-B A x x ∴-=，4B A x x +=．A 、B 在抛物线上，22()()22B A B A B A B A x x x x x x y y -+-∴-===||AB ∴==（3）设(,2)M m p -，过M 点的直线为:()2L y k x m p =--，联立：2()22y k x m px py =--⎧⎨=⎩，消去y ，得222xkx km p p=--，222(2)0x kpx p km p ∴-++=①，直线与抛物线相切，∴△0=2248(2)0k p p km p ∴-+=，2240pk mk p ∴--=②，此时方程①有等根x kp =，令1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1212()x x p k k -=-，222121212121212()()()()222x x x x x x p k k k k y y p p p--+-+-===， AB ∴的斜率1212122y y k k k x x -+'==-，由②，根据韦达定理可得122m k k p +=，mk p∴'=， ∴直线AB 的方程为11()m y y x x p-=-，∴2211()2k p my x k p p p-=-∴化简可得2211222py k p mx mk p -=-，∴21122(2)0mx py p pk mk -+-=，由②2240pk mk p --=，∴21124pk mk p -=，AB ∴方程化为：22240mx py p-+=，∴点M到AB的距离2222222223d p ====，2=2223m p p +=，∴m =时，上式等号成立，M ∴到直线AB 的距离的最小值为．7．（2021•秦州区校级二模）如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，M 不在y 轴上，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）设线段AB 的中点为N ；（ⅰ）求证：MN 平行于y 轴；（ⅱ）已知当M 点的坐标为(2,2)p -时，||AB =（Ⅱ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =>上，其中，点C 满足(OC OA OB O =+为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）（ⅰ）证明：由题意设211(,)2x A x p，222(,)2x B x p ，12x x <，3(N x ，3)y ，0(M x ，2)p -．由22x py =得22x y p=，则xy p '=，所以1MA x k p =，2MB x k p =．因此直线MA 的方程为102()x y p x x p+=-，直线MB 的方程为202()x y p x x p+=-．所以211102()2x x p x x p p +=-，①222202()2x x p x x p p+=-．②由①、②得121202x x x x x +=+-，因此1202x xx +=，即212322x x x x =+=．所以MN 平行于y 轴．（ⅱ）解：由（ⅰ）知，当02x =时，将其代入①、②并整理得：2211440x x p --=，2222440x x p --=，所以1x ，2x 是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又222101221222AB x x x x x p p k x x p p-+===-，所以2AB k p=．由弦长公式的||AB ==又||AB =，所以1p =或2p =，因此所求抛物线方程为22x y =或24x y =．（Ⅱ）解：设3(D x ，3)y ，由题意得12(C x x +，12)y y +，则CD 的中点坐标为123123(,)22x x x y y y Q ++++，设直线AB 的方程为011()x y y x x p-=-，由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212(,)22x x y y ++也在直线AB 上，代入得033x y x p=．若3(D x ，3)y 在抛物线上，则2330322x py x x ==，因此30x =或302x x =．即(0,0)D 或2002(2,)x D x p．（1）当00x =时，则12020x x x +==，此时，点(0,2)M p -适合题意．（2）当00x ≠，对于(0,0)D ，此时22120(2,)2x x C x p+，2212221200224CDx x x x pk x px ++==，又0ABx k p=，AB CD ⊥，所以22220121220144AB CD x x x x x k k p px p ++===-，即222124x x p +=-，矛盾．对于2002(2,)x D x p ，因为22120(2,)2x x C x p+，此时直线CD 平行于y 轴，又00AB x k p=≠，所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾，所以00x ≠时，不存在符合题意得M 点．综上所述，不存在符合题意得M 点．8．（2012•韶关一模）设抛物线C 的方程为x 2＝4y ，M 为直线l ：y ＝﹣m （m ＞0）上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ．（1）当M 的坐标为（0，﹣1）时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB 恒过定点；（3）当m 变化时，试探究直线l 上是否存在点M ，使△MAB 为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：当M 的坐标为（0，﹣1）时，设过M 点的切线方程为y ＝kx ﹣1，代入x 2＝4y ，整理得x 2﹣4kx +4＝0，令Δ＝16k 2﹣16＝0，解得k ＝±1，代入方程得x ＝±2，故得A （2，1），B （﹣2，1），…（2分）因为M 到AB 的中点（0，1）的距离为2，从而过M ，A ，B 三点的圆的方程为x 2+（y ﹣1）2＝4．∵圆心坐标为（0，1），半径为2，∴圆与直线l ：y ＝﹣1相切…（4分）（2）证法一：设切点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），过抛物线上点A （x 1，y 1）的切线方程为（y ﹣y 1）＝k （x ﹣x 1），代入x 2＝4y ，整理得x 2﹣4kx +4（kx 1﹣y 1）＝0Δ＝（4k ）2﹣4×4（kx 1﹣y 1）＝0，又因为，所以…（6分）从而过抛物线上点A （x 1，y 1）的切线方程为即又切线过点M （x 0，y 0），所以得①即…（8分）同理可得过点B （x 2，y 2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得②…（10分）即…（6分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x＝2（y0+y），故直线AB的方程为x0x＝2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x＝2（y﹣m）对任意x0成立，所以x＝0，y＝m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程为y﹣y0＝k（x﹣x0）（k≠0），代入x2＝4y，消去y，得x2﹣4kx﹣4（y0﹣kx0）＝0∴Δ＝（4k）2+4×4（y0﹣kx0）＝0即：k2﹣x0k+y0＝0…（6分）从而，此时，所以切点A，B的坐标分别为，…（8分）因为，，，所以AB的中点坐标为…（11分）故直线AB的方程为，即x0x＝2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x＝2（y﹣m）对任意x0成立，所以x＝0，y＝m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）证法三：由已知得，求导得，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），故过点A （x1，y1）的切线斜率为，从而切线方程为即…（7分）又切线过点M（x0，y0），所以得①即…（8分）同理可得过点B（x2，y2）的切线为，又切线过点M（x0，y0），所以得②即…（10分）即点A（x1，y1），B（x2，y2）均满足即x0x＝2（y0+y），故直线AB的方程为x0x＝2（y0+y）…（12分）又M（x0，y0）为直线l：y＝﹣m（m＞0）上任意一点，故x0x＝2（y﹣m）对任意x0成立，所以x＝0，y＝m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）（3）由（2）中①②两式知x1，x2是方程的两实根，故有∵，，y0＝m∴＝4m2+m﹣4m﹣＝（m﹣1）（+4m），…（9分）①当m＝1时，＝0，直线l上任意一点M均有MA⊥MB，△MAB为直角三角形；…（10分）②当0＜m＜1时，＜0，∠AMB＞，△MAB不可能为直角三角形；…（11分）③当m＞1时，＞0，∠AMB＜，因为k AB＝＝＝，＝，所以k AB k MA＝若k AB k MA＝﹣1，则，整理得（y0+2）＝﹣4，又因为y0＝﹣m，所以（m﹣2）＝4，因为方程（m﹣2）＝4有解的充要条件是m＞2，所以当m＞2时，有MA⊥AB或MB ⊥AB，△MAB为直角三角形…（13分）综上所述，当m＝1时，直线l上任意一点M，使△MAB为直角三角形，当m＞2时，直线l 上存在两点M ，使△MAB 为直角三角形；当0＜m ＜1或1＜m ≤2时，△MAB 不是直角三角形．…（14分）9．（2012•韶关一模）设抛物线C 的方程为24x y =，0(M x ，0)y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ．（1）当M 的坐标为(0,1)-时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB 恒过定点(0,)m ．【解答】（1）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，代入24x y =，整理得2440x kx -+=，令△2(4)440k =-⨯=，解得1k =±，代入方程得2x =±，故得(2,1)A ，(2,1)B -，⋯（2分）因为M 到AB 的中点(0,1)的距离为2，从而过M ，A ，B 三点的圆的方程为22(1)4xy +-=．圆心坐标为(0,1)，半径为2，∴圆与直线:1l y =-相切⋯（4分）（2）证法一：设切点分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，过抛物线上点1(A x ，1)y 的切线方程为11()()y y k x x -=-，代入24x y=，整理得21144()0x kx kx y -+-=△211(4)44()0k kx y =-⨯-=，又因为2114x y =，所以12x k=⋯（6分）从而过抛物线上点1(A x ，1)y 的切线方程为111()2x y y x x -=-即21124x x y x =-又切线过点0(M x ，0)y ，所以得2110024x x y x =-①即10012x y x y =-⋯（8分）同理可得过点2(B x ，2)y 的切线为22224x x y x =-，又切线过点0(M x ，0)y ，所以得2220024x x y x =-②⋯（10分）即20022x y x y =-⋯（6分）即点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 均满足002xy x y =-即002()x x y y =+，故直线AB 的方程为002()x x y y =+⋯（12分）又0(M x ，0)y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故02()x x y m =-对任意0x 成立，所以0x =，y m =，从而直线AB 恒过定点(0,)m ⋯（14分）证法二：设过0(M x ，0)y 的抛物线的切线方程为00()(0)y y k x x k -=-≠，代入24x y =，消去y ，得20044()0x kx y kx ---=△200(4)44()0k y kx =+⨯-=即：2000k x k y ++=⋯（6分）从而1k =2k =112x k =，222x k =所以切点A ，B 的坐标分别为21121(,)A k k ，22221(,)B k k ⋯（8分）因为12121242AB x y y x x k x x -+===-，121212122222x x k k k k x k k +++===，22220012121212212112()2222()2x y y y k k k k k k k k +-++-===，所以AB 的中点坐标为20002(,)2x y x -⋯（11分）故直线AB 的方程为200002()22x y x y x x --=-，即002()x x y y =+⋯（12分）又0(M x ，0)y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故02()x x y m =-对任意0x 成立，所以0x =，y m =，从而直线AB 恒过定点(0,)m ⋯（14分）证法三：由已知得24x y =，求导得2x y =，切点分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，故过点1(A x ，1)y 的切线斜率为12x k =，从而切线方程为111()()2x y y x x -=-即21124x x y x =-⋯（7分）又切线过点0(M x ，0)y ，所以得2110024x x y x =-①即10012x y x y =-⋯（8分）同理可得过点2(B x ，2)y 的切线为22224x x y x =-，又切线过点0(M x ，0)y ，所以得2220024x x y x =-②即20022x y x y =-⋯（10分）即点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 均满足002xy x y =-即002()x x y y =+，故直线AB 的方程为002()x x y y =+⋯（12分）又0(M x ，0)y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故02()x x y m =-对任意0x 成立，所以0x =，y m =，从而直线AB 恒过定点(0,)m ⋯（14分）10．（2021春•城区校级月考）已知抛物线2:4C x y =，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ．（1）当M 的坐标为(0,1)-时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程；（2）若0(P x ，0)y 是C 上的任意点，求证：P 点处的切线的斜率为012k x =；（3）证明：以AB 为直径的圆恒过点M ．【解答】解：（1）当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，代入24x y =，整理得2440x kx -+=，令△216160k =-=，解得1k =±，代入方程得2x =±，故得(2,1)A ，(2,1)B -，因为M 到AB 的中点(0,1)的距离为2，从而过M ，A ，B 三点的圆的方程为22(1)4xy +-=．（2）证明：抛物线2:4C x y =，导数为11242y x x '=⋅=，可得0(P x ，0)y 是C 上的任意点，P 点处的切线的斜率为012k x =；（3）证明：设切点分别为1(A x ，21)4x ，2(B x ，22)4x ， 12MA x k ∴=，22MB x k =，切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-，即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-，即2221124y x x x =-，又因为切线MA 过点0(M x ，1)-，所以得201111124x x x -=-，① 又因为切线MB 也过点0(M x ，1)-，所以得202211124x x x -=-，② 所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202x x x +=，124x x =-，因为10(MA x x =-，2111)4x +，20(MB x x =-，2211)4x +，所以2210201211()()(1)(1)44MA MB x x x x x x ⋅=--+++2222212120120121()()1164x x x x x x x x x x =-++++++22221212012012121()[()2]1164x x x x x x x x x x x x =-+++++-+，将1202x x x +=，124x x =-代入，得0MA MB ⋅=，则以AB 为直径的圆恒过点M ．11．（2021春•江苏期中）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,1)．（1）求抛物线方程；（2）过直线2y x =-上一点(,2)P t t -作抛物线的切线切点为A ，B ．①设直线PA 、AB 、PB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，2k ，3k 成等差数列；②若以切点B 为圆心r 为半径的圆与抛物线C 交于D ，E 两点且D ，E 关于直线AB 对称，求点P 横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题意知12p=，2p =，可得抛物线的方程为24x y =；（2）①证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，因为24x y =，所以2xy '=，所以112x k =，232x k =，所以12132x x k k ++=，2212121221212444x x y y x x k x x x x --+===--，所以1322k k k +=，即1k ，2k ，3k 成等差数列； ②直线AP 的方程为211111()224x x x y y x x y x -=-⇒=-，同理直线BP 的方程为22224x x y x =-，则两直线的交点坐标1212(,)24x x x x P +，代入直线2y x =-，得1212242x x x x +=-，直线AB 的方程为12121211()444x x x x x xy y x x y x ++-=-⇒=-，因为1212242x x x x +=-，所以1212242x x x xy x ++=-+，因为122x x t +=，所以直线AB 的方程为22ty x t =-+． 1)若0t =则抛物线24x y =上不存在两点关于直线AB 对称；2)若0t ≠，设3(D x ，3)y ，4(E x ，4)y 为抛物线上关于直线AB 对称的两点，此时0r BD BE ==>，设DE 方程为2y x b t=-+，DE 与直线AB 交于点0(H x ，0)y ，由242x y y x bt ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，可得2840x x b t +-=，则226441600(*)b b t t =+>⇔+>，348x x t +=-，所以34042x x x t +==-，00228y x b b t t=-+=+，因为H 点在直线AB 上，所以2288b t b t t t +=-⇒=--代入(*)式，得3224400t t t t+-->⇔<，所以t <所以t 的取值范围是(,-∞．12．（2021•益阳模拟）已知抛物线1C 的方程为22(0)x py p =>，过点(M a ，2)(p a -为常数）作抛物线1C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）过焦点且在x 轴上截距为2的直线l 与抛物线1C 交于Q ，N两点，Q ，N 两点在x 轴上的射影分别为Q '，N '，且||Q N ''=，求抛物线1C 的方程；（2）设直线AM ，BM 的斜率分别为1k ，2k ．求证：12k k ⋅为定值．【解答】解：（1）因为抛物线1C 的焦点坐标是(0,)2p ，所以过焦点且在x 轴上截距为2的直线方程是122x yp +=，即212x y p +=．联立22212x py x y p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得22202p x x p +-=，设点(Q Q x ，)Q y ，(N N x ，)N y ，则22Q N p x x +=-，2Q N x x p =-．则||||Q N Q N x x ''=-===解得2p =．所以抛物线1C 的方程为24x y =．（2）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，21)(0y x >，20)x <．依题意，由22(0)x py p =>，得22x y p=，则x y p'=．所以切线MA 的方程是111()x y y x x p-=-，即2112x x y x p p=-．又点(,2)M a p -在直线MA 上，于是有21122x x p a p p-=⨯-，即2211240x ax p --=．同理，有2222240x ax p --=，因此，1x ，2x 是方程22240x ax p --=的两根，则122x x a +=，2124x x p =-．所以21212122244x x x x p k k p p p p -⋅=⋅===-，故12k k ⋅为定值得证．13．（2021•崇明区二模）对于直线l 与抛物线2:4x y Γ=，若l 与Γ有且只有一个公共点且l 与Γ的对称轴不平行（或重合），则称l 与Γ相切，直线l 叫做抛物线Γ的切线．（1）已知0(P x ，0)y 是抛物线上一点，求证：过点P 的Γ的切线l 的斜率02x k =；（2）已知0(M x ，0)y 为x 轴下方一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，求证：1x 、0x 、2x 成等差数列；（3）如图所示，(,)D m n 、(,)E s t 是抛物线Γ上异于坐标原点的两个不同的点，过点D 、E 的Γ的切线分别是1l 、2l ，直线1l 、2l 交于点(,)G a b ，且与y 轴分别交于点1D 、1E ，设1x 、2x 为方程20(,)x ax b a b R -+=∈的两个实根，{max c ，}d 表示实数c 、d 中较大的值，求证：“点G 在线段1DD 上”的充要条件是“12||{||,||}2m max x x =”．【解答】证明：（1）由24x y =可得24x y =，2x y '=．∴过点0(P x ，0)y 的Γ的切线额度斜率02x k =．（2）由（1）可知过点A 的切线方程为100()2x y x x y =-+，代入抛物线方程24x y =可得211002240x x x x x y -+-=，令△2110044(24)0x x x y =--=可得2110024x x x y =-，同理可得：2220024x x x y =-，两式相减得22120122()x x x x x -=-，1202x x x ∴+=．1x ∴、0x 、2x 成等差数列．（3）由(,)D m n 在抛物线24x y =可得24m n =，切线1l 的方程为()2m y x m n =-+，即2my x n =-．同理切线2l 的方程为2sy x t =-，联立方程组22my x ns y x t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1()2x m s =+，14y ms =．1()2a m s ∴=+，14b ms =．解方程20x ax b -+=可得12mx =，22s x =．把0x =代入直线1l 的方程可得y n =-，即21(0,)4m D -，①若G 在线段1DD 上，244m msn ∴-，即22m ms m -， ||||s m ∴，1||||2m x ∴=，2||||||22s m x =，1{||max x ∴，2||||}2m x =． ②若1{||max x ，2||||}2m x =．则2||||||22s m x =， ||||s m ∴，22mms m ∴-，即244m msn -， G ∴在线段1DD 上．综上，点G 在线段1DD 上”的充要条件是“12||{||,||}2m max x x =”．14．（2012•青羊区校级三模）22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合．（Ⅰ）求抛物线2C 的方程；（Ⅱ）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得双曲线焦距为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，所以抛物线2C 的方程为24x y =；（Ⅱ）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，即1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，所以124x x a =22121212121()416x x y y x x x x a a ∴+=+=+ 坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内， 240a a ∴+<，即40a -<<．15．（2021•福州一模）如图，以原点O 为顶点，以y 轴为对称轴的抛物线E 的焦点为(0,1)F ，点M 是直线:(0)l y m m =<上任意一点，过点M 引抛物线E 的两条切线分别交x 轴于点S ，T ，切点分别为B ，A ．()I 求抛物线E 的方程；（Ⅱ）求证：点S ，T 在以FM 为直径的圆上；（Ⅲ）当点M 在直线l 上移动时，直线AB 恒过焦点F ，求m 的值．【解答】解：()I 设抛物线E 的方程为22(0)x py p =>，依题意1,22pp ==解得，所以抛物线E 的方程为24x y =．（Ⅱ）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．120x x ≠，否则切线不过点M211,42y x y x '==，∴切线AM 的斜率112AM k x =，方程为1111()2y y x x x -=-，其中2114x y =．令0y =，得112x x =，点T 的坐标为11(,0)2x ， ∴直线FT 的斜率12FTk x =-，1112()12AM FT k k x x ⋅=⋅-=-， AM FT ∴⊥，即点T 在以FM 为直径的圆上；同理可证点S 在以FM 为直径的圆上，所以S ，T 在以FM 为直径的圆上．（Ⅲ）抛物线24x y =焦点(0,1)F ，可设直线:1AB y kx =+．由22144041y x x kx y kx ⎧=⎪--=⎨⎪=+⎩得，则124x x =-．由（Ⅱ）切线AM 的方程为2111124y x x x =-过点0(M x ，)m ，得21011124m x x x =-，同理22021124m x x x =-．消去0x ，得1212121()()4m x x x x x x -=- 12x x ≠，由上124x x =-∴12114m x x ==-，即m 的值为1-．16．已知抛物线C 的方程为22(0)x py p =>．（1）若抛物线C 上一点0(N x ，6)到焦点F 的距离0||NF x =，求抛物线C 的标准方程；（2）过点(M a ，2)(p a -为常数）作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，(B A 右B 左），设直线AM ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，求证12k k 为定值．【解答】解：（1）抛物线C 的准线方程为2py =-， 0(N x ∴，6)到焦点F 的距离0||62pNF x =+=，又0(N x ，6)在抛物线C 上，2012x p ∴=，2(6)122pp ∴+=，解得12p =．∴抛物线C的标准方程是：224x y =．（2）证明：(,2)M a p -，设抛物线过点M 的切线方程为()2y k x a p =--，代入抛物线方程得：222()4x pk x a p =--，即222240x pkx pka p -++=，∴△22244(24)0p k pka p =-+=，即2240pk ka p --=，显然1k ，2k 为关于k 的方程2240pk ka p --=的两个解，124k k ∴=-． 12k k ∴为定值4-．17．（2016•石家庄一模）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点M （m ，2），其焦点为F ，且|MF |＝2．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆F ：（x ﹣1）2+y 2＝1相切，切点分别为A ，B ，求证：A 、B 、F 三点共线．【解答】（I ）解：抛物线C 的准线方程为：，∴，又抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）过点M （m ，2）， ∴4＝2pm ，即…（2分）∴p 2﹣4p +4＝0，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ．…（4分）（II ）证明；设E （0，t ）（t ≠0），已知切线不为y 轴，设EA ：y ＝kx +t 联立，消去y ，可得k 2x 2+（2kt ﹣4）x +t 2＝0∵直线EA 与抛物线C 相切，∴Δ＝（2kt ﹣4）2﹣4k 2t 2＝0，即kt ＝1．代入，∴x ＝t 2，即A （t 2，2t ），…（6分）设切点B （x 0，y 0），则由几何性质可以判断点O ，B 关于直线EF ：y ＝﹣tx +t 对称，则，解得：，即…（8分）直线AF 的斜率为，直线BF 的斜率为，∴k AF ＝k BF ，即A ，B ，F 三点共线．…（10分）当t ＝±1时，A （1，±2），B （1，±1），此时A ，B ，F 共线．综上：A ，B ，F 三点共线．…（12分）18．（2021•宁波期末）已知抛物线C 的方程为24x y =，F 为其焦点，过不在抛物线上的一点P 作次抛物线的切线PA ，PB ，A ，B 为切点，且PA PB ⊥．（1）求证：直线AB 过定点；（2）直线PF 与曲线C 的一个交点为R ，求AR AB 的最小值．【解答】解：（1）证明：设直线AB 的方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由抛物线方程得，214y x =， ∴12y x '=， ∴112PAk x =， PA ∴的方程为：1111()2y y x x x -=-，∴211122y y x x x -=-，11220x x y y ∴--=，⋯①同理，212PB k x =，且PB 的方程为：22220x x y y --=，⋯②由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得：2440x kx b --=， 124x x k ∴+=，124x x b =-，PA PB ⊥，∴1212224PA PBx x x x k k =⨯=1b =-=-，1b ∴=，即直线AB 的方程为：1y kx =+，故直线AB 恒过(0,1)点．（2）设0(P x ，0)y ，分别代回①②得，1001220x x y y --=，2002220x x y y --=，两式相减，结合抛物线方程可得，12022x x x k +==， 211210101()1244x x x x y x x y +=-=-1214x x b ==-=-，当0k =时，00x =，可得AB PF ⊥，当0k ≠时，00x ≠，此时， 021122142AB x y y x x k x x -+===-， 00001112PF y k x x x ---===-， 1AB PF k k ∴=-，AB PF ∴⊥∴112||||(1)(2)AR AB AF AB y y y ==+++21121232y y y y y =++++，221212116x x y y ==，∴2111133AR AB y y y =+++，令21()33f t t t t=+++，0t >，则2222(1)(21)()3t t f t t t t +-'=+-=， ()f t ∴在(0，1]2递减，在1[2，)+∞递增，∴最小值为127()24f =，故AR AB 的最小值为274．19．（2021•辽宁）如图，抛物线21:4C x y =，22:2(0)C x py p =->，点0(M x ，0)y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为A ，(B M 为原点O 时，A ，B 重合于)O ，当01x =-时，切线MA 的斜率为12-．（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为)O ．【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线21:4C x y =上任意一点(,)x y 的切线斜率为2x y '=，且切线MA 的斜率为12-，所以设A 点坐标为(,)x y ，得122x =-，解得1x =-，2144x y ==，点A 的坐标为1(1,)4-，故切线MA 的方程为11(1)24y x =-++因为点(1M 0)y 在切线MA 及抛物线2C 上，于是011(224y =-+=0y ∴==②解得2p =（Ⅱ）设(,)N x y ，1(A x ，21)4x ，2(B x ，22)4x ，12x x ≠，由N 为线段AB 中点知122x x x +=③，22121228y y x x y ++==④ 切线MA ，MB 的方程为2111()24x x y x x =-+，⑤；2222()24x x y x x =-+⑥，由⑤⑥得MA ，MB 的交点0(M x ，0)y 的坐标满足1202x x x +=，1204x xy = 因为点0(M x ，0)y 在2C 上，即2004x y =-，所以2212126x x x x +=-⑦由③④⑦得243x y =，0x ≠当12x x =时，A ，B 丙点重合于原点O ，A ，B 中点N 为O ，坐标满足243x y =因此中点N 的轨迹方程为243x y =20．（2021•诸暨市期末）已过抛物线2:4C x y =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，以A ，B 两点为切点作抛物线的切线，两条直线交于P 点．（1）当直线l 平行于x 轴时，求点P 的坐标；（2）当||2||PA PB =时，求直线l 的方程．【解答】解：（1）依题可知(0,1)F ，当直线l 平行于x 轴时，则l 的方程为1y =，所以可得(2,1)A ，(2,1)B -，又24x y =可得24x y =，12y x '=；所以在A ，B 处的切线分别为：21(2)2y x -=-，21(2)2y x --=+，即1y x =-，1y x =--，联立两切线可得11y x y x =-⎧⎨=--⎩解得0x =，1y =-，所以(0,1)P -．（2）设l 的方程为：1y kx =+，(,)A x y ''，(,)B x y ''''，则联立有214y kx x y=+⎧⎨=⎩整理得：2440x kx --=，所以4x x k '+''=，4x x '''=-，在A 处的切线为：211()42y x x x x '''-=-，即21124y x x x ''=-，同理可得，在B 处切线：211()42y x x x x -''=''-''，即21124y x x x =''-''，联立有：2211241124y x x x y x x x ⎧''=-⎪⎪⎨⎪=''-''⎪⎩解得2x x x '+''=，1y =-，即点(2x x P '+''，1)-．21|||1()||222x x x PA x x x ''+''''=-=+''-，同理可得：||||PB x x '=''-，所以||2||PA PB ===，2244(4)x x '∴+=''+，又4x x '''=-，解得21x ''=．1x ''=±，所以41x x '=⎧⎨''=-⎩或41x x '=-⎧⎨''=⎩，所以直线方程为：314y x =±+．21．（2012秋•宜春期末）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点；椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e =．（1）求椭圆E 的方程；（2）经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：点M定在直线1y =-上；（3）椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、(M B A '''、B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出切线M A ''、M B ''的方程；若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）设椭圆E 的方程为22221x y a b+=，半焦距为c ．由已知条件，(0,1)F ，1b ∴=，c e a ==，222a b c =+，解得2a =，1b =．所以椭圆E 的方程为2214x y +=．⋯（3分）（2）显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合题意，故可设直线l 的方程为1y kx =+，1(A x ，12)(y B x ，212)()y x x ≠ 与抛物线方程联立，消去y ，并整理得，2440x kx --=124x x ∴=-．⋯（5分）抛物线的方程为214y x =，求导得12y x '=， ∴过抛物线上A ，B 两点的切线方程分别是1111()2y y x x x -=-，2221()2y y x x x -=-即2111124y x x x =-，2221124y x x x =-解得两条切线的交点M 的坐标为12(2x x +，1)-， ∴点M 在直线1y =-上．．⋯（8分）（3）假设存在点M '满足题意，由（2）知点M '必在直线1y =-上，又直线1y =-与椭圆有唯一交点，故M '的坐标为(0．1)-，设过点M '且与抛物线C 相切的切线方程为0001()2y y x x x -=-，其中点0(x ，0)y 为切点．令0x =，1y =-得，2000111(0)42x x x --=-，解得02x =或02x =-，故不妨取(2A '-，1)(2B '，1)，即直线A B ''过点F ．综上所述，椭圆E 上存在一点(0,1)M '-，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、(M B A '''、B '为切点），能使直线A B ''过点F ．此时，两切线的方程分别为1y x =--和1y x =-．⋯（13分）22．（2021春•思明区校级月考）如图，已知抛物线21:2C x py =的焦点在抛物线22:1C y x =+上，点P 是抛物线1C 上的动点．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，A 、B 分别为两个切点，求PAB ∆面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线21:2C x py =的焦点(0,)2p在抛物线22:1C y x =+上，即有12p=，可得2p =，即有1C 的方程为24x y =，其准线方程为1y =-．（Ⅱ）设2(2,)P t t ，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2111y x =+，2221y x =+，21y x =+的导数为2y x '=，直线PA 的斜率为12x ，直线PB 的斜率为22x ，则切线PA 的方程：1112()y y x x x -=-，即211122y x x x y =-+，又2111y x =+，所以1122y x x y =+-，同理切线PB 的方程为2222y x x y =+-，又PA 和PB 都过P 点，所以211222420420tx y t tx y t ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，所以直线AB 的方程为2420tx y t -+-=．联立22421y tx t y x ⎧=+-⎨=+⎩得22410x tx t -+-=，所以1221241x x t x x t +=⎧⎨=-⎩，12||x x -=所以12|||AB x x =-=点P 到直线AB的距离2222d ==．所以PAB ∆的面积32221||2(32(31)2S AB d t t ==+=+，所以当0t =时，S 取最小值为2．即PAB ∆面积的最小值为2．23．（2021•嘉兴二模）如图，已知抛物线21:2C x py =的焦点在抛物线221:12C y x =+上，点P 是抛物线1C 上的动点．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线1C 的方程为22x py =，∴抛物线的焦点为(0,)2pF ，⋯（2分）抛物线21:2C x py =的焦点在抛物线2C 上∴12p=，可得2p =．⋯（4分）故抛物线1C 的方程为24x y =，其准线方程为1y =-．⋯（6分）（Ⅱ）设2(2,)P t t ，2111(,1)2M x x +，2221(,1)2N x x +，可得PM 的方程：21111(1)()2y x x x x -+=-，∴点P 坐标代入，化简得22111212t tx x =-+，即22114220xtx t -+-=．同理可得2221:12PN y x x x =-+，得22224220x tx t -+-=．⋯（8分）由2211222242204220x tx t x tx t ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩得1x 、2x 是方程224220x tx t -+-=的两个实数根， 124x x t ∴+=，21222x x t =-．(*)⋯MN 的方程：221221112111(1)122(1)()2x x y x x x x x +-+-+=--， ∴化简整理，得2112111(1)()()22y x x x x x -+=+-代入(*)式，可得MN 的方程为222y tx t =+-．⋯（12分）于是，点P 到直线MN的距离222d ==令214(1)s t s =+，则16662d =+3s =时取等号）．由此可得，当P 坐标为(，1)2时，点P到直线MN 的距离d ⋯（15分）24．（2009秋•宁波期末）点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2:2C x y =上的不同两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线，两条切线交于点0(P x ，0)y ．（1）求证：0x 是1x 与2x 的等差中项；（2）若直线AB 过定点(0,1)M ，求证：原点O 是PAB ∆的垂心；（3）在（2）的条件下，求PAB ∆的重心G 的轨迹方程．【解答】解：（1）对22x y =求导得y x '=，所以直线111:()PA y x x x y =-+，即2112x y x x =-同理，直线222:2x PB y x x =-，解得12012022x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以0x 是1x 与2x 的等差中项；（5分）（2）设直线:1AB y kx =+，代入22x y =整理得2220x kx --=．∴121222x x kx x +=⎧⎨=-⎩，得001x k y =⎧⎨=-⎩ ∴001OP y k x k==-即AB OP ⊥；1AP k x =，22212OB y k x x ==∴12112AP OBk k x x ==-， AP OB ∴⊥，同理BP OA ⊥，所以原点O 是PAB ∆的垂心；(（10分），只需证明两个垂直就得满分）（3）设PAB∆的重心(,)G x y ，则1201()3x x x x k =++=，22221212012121111121()()()3636333x x y y y y x x x x k +=++=+-=+-=+因为k R ∈，所以点G 的轨迹方程为22133y x =+．（15分） 25．（2021•合肥二模）如图，抛物线2:2(0)E y px p =>与圆22:8O x y +=相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2．过劣弧AB 上动点0(P x ，0)y 作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点M ．（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）求动点M 的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入22y px =，解得1p =，（Ⅱ）设211(,)2y C y ，222(,)2y D y ，10y ≠，20y ≠．切线2111:()2y l y y k x -=-，代入22y x =得2211220ky y y ky -+-=，由△0=解得11k y =， 1l ∴方程为1112y y x y =+，同理2l 方程为2212y y x y =+，联立11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得121222y y x y y y ⋅⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， CD 方程为008x x y y +=，其中0x ，0y 满足22008x y +=，0x ∈，联立方程20028y x x x y y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得2002160x y y y +-=，则0120120216y y y x y y x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，代入121222y y x y y y ⋅⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩可知(,)M x y 满足0008x x y y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入2208x y +=得2218x y -=，考虑到0x ∈，知[4,x ∈--．∴动点M 的轨迹方程为2218x y -=，[4,x ∈--．。

抛物线中的切线问题(解析版)

抛物线中的切线问题一、考情分析对于抛物线特别是抛物线x 2=2py p ≠0 ,可以化为函数y =x 22p,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.二、解题秘籍(一)利用判别式求解抛物线中的切线问题求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用Δ=0求解.【例1】(2023届河南省新未来高三上学期联考)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ,直线l 1,l 2都经过点P -p2,0 ．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若直线l 1,l 2分别与抛物线C 依次交于点E ,F 和G ,H ,直线EH ,FG 与抛物线准线分别交于点A ,B ,证明：PA =PB ．【解析】(1)设经过点P -p 2,0 的直线为l ：y =k x +p2 ,由y 2=2px y =k x +p 2消去y ,得k 2x 2+k 2-2 px +k 2p 24=0,Δ=k 2-2 2p 2-4×k 2⋅k 2p 24=4p 2-k 2+1 ,当直线l 与抛物线C 相切时,Δ=0,∵p >0,∴k =±1,所以x 2-px +p 24=0,解得x =p 2,∴切点为p 2,p ,p 2,-p ,又∵两切点间的距离为4,∴2p =4,即p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设点E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ,G x 3,y 3 ,H x 4,y 4 ,设直线l 1：x =k 1y -1,直线l 2：x =k 2y -1,联立y 2=4x x =k 1y -1 消去x ,得y 2-4k 1y +4=0,则y 1y 2=4,同理,y 3y 4=4,故y 1=4y 2,y 4=4y 3,直线EH 的方程为y -y 1y 4-y 1=x -x 1x 4-x 1,令x =-1,得y A -y 1y 4-y 1=1-y 214y 244-y 214,整理得y A =y 1y 4-4y 1+y 4,同理,y B =y 2y 3-4y 2+y 3,所以y A =4y 2⋅4y 3-44y 2+4y 3=4-y 2y 3y 2+y 3=-y B ,∴PA =PB ．(二)利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题求解抛物线x 2=2py 在其上一点P x 1,y 1 处的切线方程,可先把x 2=2py 化为y =x 22p ,则y =xp,则抛物线x 2=2py 在点P x 1,y 1 处的切线斜率为x 1p ,切线方程为y -y 1=x1px -x 1 .【例2】(2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考)在直角坐标系xoy 中,已知抛物线C :x 2=2py p >0 ,P 为直线y =x -1上的动点,过点P 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,当P 在y 轴上时,OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值.【解析】(1)当P 在y 轴上时,即P 0,-1 ,由题意不妨设A x 0,y 0 x 0>0 则B -x 0,y 0 ,设过点P 的切线方程为y =kx -1,与x 2=2py 联立得x 2-2pkx +2p =0,由直线和抛物线相切可得Δ=4p 2k 2-8p =0,x 0x 0=x 20=2p ,所以x 0=2p 由x 20=2py 0得y 0=1,∴A 2p ,1 ,B -2p ,1 ,由OA ⊥OB 可得2p ⋅-2p +1×1=0,解得p =12,∴抛物线C 的方程为x 2=y ；(2)x 2=y ,∴y =2x ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则y -y 1=2x 1x -x 1 ,又x 21=y 1,所以y -y 1=2x 1x -2y 1即2x 1x =y +y 1,同理可得2x 2x =y +y 2,又P 为直线y =x -1上的动点,设P t ,t -1 ,则2x 1t =t -1+y 1,2x 2t =t -1+y 2,由两点确定一条直线可得AB 的方程为2xt =t -1+y ,即y -1=2t x -12 ,∴直线AB 恒过定点M 12,1 ,∴点O 到直线AB 距离的最大值为OM =12 2+1=52.(三)抛物线中与切线有关的性质过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直(4)切线交点与焦点连线与焦点弦垂直(5)弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．反之：(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．【例3】已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,PA ,PB 是C 的两条切线,A ,B 是切点．当AB ∥x 轴时,|AB |=2．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明：|PF |2=|AF |⋅|FB |．【解析】(1)由题意,F 0,p 2 ,当AB ∥x 轴时,将y =p2代入x 2=2py 有x 2=p 2,解得x =±p ,又AB =2故2p =2,解得p =1.故抛物线C 的方程为x 2=2y .(2)由(1),设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =kx +12,联立抛物线方程有x 2-2kx -1=0,故x 1+x 2=2k ,x 1x 2=-1.又抛物线方程y =12x 2,故y =x ,故切线PA 的方程为y -12x 21=x 1x -x 1 ,即y =x 1x -12x 21,同理可得切线PB 的方程为y =x 2x -12x 22,联立y =x 1x -12x 21y =x 2x -12x 22可得x 1-x 2 x =12x 21-x 22 ,解得x =12x 1+x 2 ,代入y =x 1x -12x 21有y =12x 1x 1+x 2 -12x 21=12x 1x 2,代入韦达定理可得P k ,-12.故当k =0时有l ⊥PF ,当k ≠0时,因为k FP =-12-12k -0=-1k,故k FP ⋅k l =-1,也满足l ⊥PF .故l ⊥PF 恒成立.又k PA ⋅k PB =x 1x 2=-1,故PA ⊥PB .所以∠PAB +∠PBA =90∘,∠PAF +∠APF =90∘,故∠PBF =∠APF ,故Rt △PBF ∼Rt △APF ,故BFPF=PF AF ,即PF 2=AF ⋅BF ,即得证.【例4】已知直线l 过原点O ,且与圆A 交于M ,N 两点,MN =4,圆A 与直线y =-2相切,OA 与直线l 垂直,记圆心A 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)过直线y =-1上任一点P 作C 的两条切线,切点分别为Q 1,Q 2,证明：①直线Q 1Q 2过定点；②PQ 1⊥PQ 2．【解析】(1)如图,设A (x ,y ),因为圆A 与直线y =-2相切,所以圆A 的半径为|y +2|．由圆的性质可得|OA |2+|ON |2=|AN |2,即x 2+y 2+4=(y +2)2,化简得x 2=4y ．因为O 与A 不重合,所以y ≠0,所以C 的方程为x 2=4y (y ≠0)．(2)证明：①由题意可知Q 1,Q 2与O 不重合．如图,设P (t ,-1),Q 1x 1,y 1 ,则x 21=4y 1,因为y =x2,所以切线PQ 1的斜率为x 12,故x12=y 1+1x 1-t,整理得tx 1-2y 1+2=0．设Q 2x 2,y 2 ,同理可得tx 2-2y 2+2=0．所以直线Q 1Q 2的方程为tx -2y +2=0,所以直线Q1Q 2过定点(0,1)．②因为直线Q 1Q 2的方程为tx -2y +2=0,由tx -2y +2=0,x 2=4y ,消去y 得x 2-2tx -4=0,所以x 1+x 2=2t ,x 1x 2=-4．又PQ 1 ⋅PQ 2=x 1-t x 2-t +y 1+1 y 2+1=x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+tx 1+22+1 tx 2+22+1 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t 2x 1+2 t2x 2+2 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t24x 1x 2+t x 1+x 2 +4=1+t24x 1x 2+t 2+4=0,所以PQ 1⊥PQ 2．三、跟踪检测1.(2023届云南省名校高三上学期月考)已知抛物线E :x 2=2py p >0 的焦点为F ,斜率为k k ≠0 的直线l 与E 相切于点A .(1)当k =2,AF =5时,求E 的方程；(2)若直线l 与l 平行,l 与E 交于B ,C 两点,且∠BAC =π2,设点F 到l 的距离为d 1,到l 的距离为d 2,试问：d1d 2是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.【解析】(1)由x 2=2py 得y =x 22p ,则y =x p,令xp =2,则x =2p ,即x A =2p ,y A =2p 22p=2p 则AF =2p +p2=5,所以p =2,故抛物线E 的方程为x 2=4y .(2)设A 2pt 0,2pt 20 ,B 2pt 1,2pt 21 ,C 2pt 2,2pt 22 ,则切线l 的斜率k =2pt 0p=2t 0,则切线l 的方程为：y -2pt 02=2t 0x -2pt 0 ,即y =2t 0x -2pt 20,k BC =2pt 12-2pt 222pt 1-2pt 2=t 1+t 2.直线l 的方程为y -2pt 21=t 1+t 2 x -2pt 1 ,化简得y =t 1+t 2 x -2pt 1t 2,因为l ∥l ,所以t 1+t 2=2t 0,由∠BAC =π2得2pt 12-2pt 022pt 1-2pt 0⋅2pt 22-2pt 022pt 2-2pt 0=-1,则t 1+t 0 t 2+t 0 =-1,即t 1t 2=-1-3t 20,即l :2t 0x -y +2p +6pt 02=0.由F 0,p 2 ,则d 1=3p 2+6pt 20 4t 20+1=3p 2+6pt 204t 20+1,d 2=-p 2-2pt 204t 20+1=p 2+2pt 204t 20+1,所以d 1d 2=3p 12+2t 20 p 12+2t 20 =3.故d1d 2是定值,定值为3.2.(2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：mx +y -1=0经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．【解析】(1)由题意,设抛物线C 的方程为x 2=2py p >0 ,因为直线l :mx +y -1=0经过0,1 ,即抛物线C 的焦点F 0,p2,所以p2=1,解得p =2,所以抛物线C 的方程为x 2=4y .(2)设A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 ,联立方程组x 2=4y mx +y -1=0 ,整理得x 2+4mx -4=0,因为Δ=16m 2+16>0,且x 1+x 2=-4m ,x 1x 2=-4,y 1+y 2=x 214+x 224=x 1+x 2 2-2x 1x 24=4m 2+2,y 1y 2=x 214×x 224=-4 216=1所以AB =y 1+y 2+p =41+m 2 ,由x 2=4y ,可得y =x 24,则y =x 2,所以抛物线C 经过点A 的切线方程是y -y 1=x 12x -x 1 ,将y 1=x 214代入上式整理得y =x 12x -x 214,同理可得抛物线C 经过点B 的切线方程为y =x 22x -x 224,联立方程组y =x 12x -x 214y =x 22x -x 224,解得x =x 1+x 22,y =x 1x 24,所以x =-2m ,y =-1,所以P -2m ,-1 到直线mx +y -1=0的距离d =m ×-2m -1-1m 2+1=2m 2+1,所以△ABP 的面积S =12AB d =12×4×1+m 2 ×2m 2+1=4m 2+1 32,因为m 2+1≥1,所以S ≥4,即当m =0时,S =4,所以△ABP 面积的最小值为4.3.(2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考)已知抛物线C 的焦点是0,14 ,如图,过点D 22,t(t ≤0)作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求证：直线MD ⎳y 轴；(3)以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求|AB |-|MN ||AB |+|MN |的取值范围．【解析】(1)设抛物线的方程为x 2=2py p >0 ,由题意可得p 2=14,所以p =12,所以抛物线方程y =x 2.(2)由(1)y =x 2,因为y =2x ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AD 的方程为y =2x 1x -x 21,直线BD 的方程为y =2x 2x -x 22,联立上述两直线方程,得D 点坐标D x 1+x 22,x 1x 2 ,又因为M 点为线段AB 的中点,所以M 点坐标M x 1+x 22,1-x 1x 2 ,因为x D =x M ,所以直线MD ⎳y 轴：(3)因为点D 22,t (t ≤0),所以x 1+x 22=22,x 1x 2=t ,则M 22,1-t ,圆心22,12,直线AB 的斜率为k =x 21-x 22x 1-x 2=x 1+x 2=2,直线AB 方程为y =2x -t ,y =x 2y =2x -t ,得x 2-2x +t =0,Δ=2-4t ,|AB |=1+k 2⋅Δ=6(1-2t ),圆心到直线AB 的距离为d =1-2t 23,半径r =|MD |2=1-2t2,|MN |=2r 2-d 2=63(1-2t ),令1-2t =m ≥1,|AB |-|MN ||AB |+|MN |=3-m 3+m =-1+6m +3在m ≥1时单调递减,|AB |-|MN ||AB |+|MN |∈-1,12 ．4.(2022届山东省济宁市高三上学期期末)已知抛物线E ：y 2=2px (p >0)上一点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2．(1)求实数p 的值；(2)若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作抛物线的切线l 1、l 2,且l 1、l 2的交点为Q ,l 1、l 2与y 轴的交点分别为M 、N ．求△QMN 面积的取值范围．【解析】(1)因为点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2,由抛物线的定义知1+p2=2解得p =2(2)由上问可知,抛物线方程E ：y 2=4x设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2,(y 1≠0,y 2≠0),设l ：x =ty +1,联立y 2=4x x =ty +1 ,得y 2-4ty -4=0,判别式Δ=16t 2+16>0,故t ∈R y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4设l 1：y -y 1=k x -y 214联立方程组y 2=4xy -y 1=k x -y 214,消x 得ky 2-4y +4y 1-ky 21=0,所以Δ=16-4k 4y 1-ky 21 =44-4ky 1+k 2y 21 =0所以k =2y 1则l 1：y -y 1=2y 1x -y 214,即y =2y 1x +y 12,令x =0,得M 0,y 12,同理l 2：y =2y 2x +y 22,N 0,y 22,联立y =2y 1x +y12y =2y 2x +y 22,得交点Q 的横坐标为x Q =y 1y 24=-1,∴S △QMN =12MN ⋅x Q =12y 12-y 22×1=14y 1+y 2 2-4y 1y 2=t 2+1≥1∴△QMN 面积的取值范围是1,+∞ ．5.(2022届百校联盟高三上学期12月联考)已知曲线C 上任意一点到F 1(-1,0),F 2(1,0)距离之和为433,抛物线E ：y 2=2px 的焦点是点F 2.(1)求曲线C 和抛物线E 的方程；(2)点Q x 0,y 0 x 0<0 是曲线C 上的任意一点,过点Q 分别作抛物线E 的两条切线,切点分别为M ,N ,求△QMN 的面积的取值范围．【解析】(1)依题意,曲线C 是以F 1(-1,0),F 2(1,0)为左右焦点,长轴长为433的椭圆,则短半轴长b 有b 2=232-12=13,曲线C 的方程为：x 243+y 213=1,即3x 24+3y 2=1,在y 2=2px 中,p 2=1,即p =2,所以曲线C 的方程为：3x 24+3y 2=1,抛物线E 的方程为：y 2=4x .(2)显然,过点Q 的抛物线E 的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：y -y 0=k (x -x 0),由y -y 0=k (x -x 0)y 2=4x消去x 并整理得：k4⋅y 2-y +y 0-kx 0=0,依题意,Δ=1-k (y 0-kx 0)=x 0k 2-y 0k +1=0,设二切线斜率为k 1,k 2,则k 1+k 2=y 0x 0,k 1k 2=1x 0,设斜率为k 1的切线所对切点M (x 1,y 1),斜率为k 2的切线所对切点N (x 2,y 2),因此,y 1=2k 1,y 2=2k 2,于是得M 1k 21,2k 1 ,N 1k 22,2k 2 ,NM =1k 21-1k 22,2k 1-2k 2,直线MN 上任意点P (x ,y ),MP =x -1k 21,y -2k 1,由MP ⎳NM 得：2k 1-2k 2 x -1k 21 -1k 21-1k 22y -2k 1 =0,化简整理得：2x -k 1+k 2k 1k 2y +2k 1k 2=0,则直线MN 的方程为：2x -y 0y +2x 0=0,点Q 到直线MN 的距离d =|4x 0-y 20|4+y 2,|MN |=1k 21-1k 222+2k 1-2k 2 2=1k 1-1k 2 21k 1+1k 22+4 =k 1+k 2k 1k 22-4k 1k 2k 1+k 2k 1k 2 2+4 =(y 20-4x 0)(y 20+4),则△QMN 的面积S △QMN =12|MN |⋅d =12⋅(y 20-4x 0)(y 20+4)⋅|4x 0-y 20|4+y 20=12(y 20-4x 0)32,而点Q x 0,y 0 x 0<0 在曲线C 上,即y 20=13-14x 20,-23≤x 0<0,y 20-4x 0=-14x 20-4x 0+13在x 0∈-23,0 上单调递减,当x 0=0时,(y 20-4x 0)min =13,当x 0=-23时,(y 20-4x 0)max =83,于是有13<y 20-4x 0≤83,则39<(y 20-4x 0)32≤164123,有318<S △QMN ≤84123所以△QMN 的面积的取值范围是318,84123.6.(2022届四川省达州高三上学期诊断)过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)动点A 在直线l 上,过点A 作曲线C 的两条切线分别交x 轴于B ,D 两点,当△ABD 的面积是32时,求点A 坐标.【解析】(1)设动圆圆心坐标为x ,y ,因为过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切,可得-x 2+y -1 2=y +1 ,化简得x 2=4y ,即动圆圆心的轨迹方程C ：x 2=4y .(2)设动点A x 0,-1 ,根据题意过点A 作曲线C 的切线斜率存在,设为k k ≠0 ,所以切线方程为y =k x -x 0 -1,联立方程组x 2=4y ,y =k x -x 0 -1 ,整理得x 2-4kx +4kx 0+4=0,且Δ=k 2-kx 0-1=0,因为k 2-kx 0-1=0有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为k 1,k 2,所以k 1+k 2=x 0,k 1k 2=-1,切线y =k 1x -x 0 -1交x 轴于点B x 0+1k 1,0 ,切线y =k 2x -x 0 -1交x 轴于点D x 0+1k 2,0 ,所以S △ABD =12x 0+1k 1-x 0-1k 2×1=12k 2-k 1k 1k 2=12k 1+k 22-4k 1k 2k 1k 2=32,即12x 02+41=32,解得x 0=±5,所以点A 坐标为5,-1 或-5,-1 .7.(2022届四川省成都市高三上学期考试)已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F .且F 与圆M :x 2+y +42=1上点的距离的最小值为4.(1)求抛物线的方程；(2)若点P 在圆M 上,PA ,PB 是C 的两条切线.A ,B 是切点,求△PAB 面积的最大值.【解析】(1)抛物线C 的焦点为F 0,p 2 ,FM =p2+4,所以,F 与圆M :x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为p2+4-1=4,解得p =2；所以抛物线的方程为x 2=4y .(2)抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =x 24,对该函数求导得y =x 2,设点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,P x 0,y 0 ,直线PA 的方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x2-y 1,即x 1x -2y 1-2y =0,同理可知,直线PB 的方程为x 2x -2y 2-2y =0,由于点P 为这两条直线的公共点,则x 1x 0-2y 1-2y 0=0x 2x 0-2y 2-2y 0=0,所以,点A 、B 的坐标满足方程x 0x -2y -2y 0=0,所以,直线AB 的方程为x 0x -2y -2y 0=0,联立x 0x -2y -2y 0=0y =x 24,可得x 2-2x 0x +4y 0=0,由韦达定理可得x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=4y 0,所以AB =1+x 022⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+x 022⋅4x 20-16y 0=x 20+4 x 20-4y 0点P 到直线AB 的距离为d =x 20-4y 0x 2+4,所以,S △PAB =12AB ⋅d =12x 20+4 x 20-4y 0 ⋅x 20-4y 0x 20+4=12x 20-4y 0 32,∵x 20-4y 0=1-y 0+4 2-4y 0=-y 20-12y 0-15=-y 0+6 2+21,由已知可得-5≤y 0≤-3,所以,当y 0=-5时,△PAB 的面积取最大值12×2032=205.8.(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ,准线与x 轴交于D点,过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,且FA ⋅FB =FA +FB .(1)求抛物线C 的方程；(2)设P ,Q 是抛物线C 上的不同两点,且PF ⊥x 轴,直线PQ 与x 轴交于G 点,再在x 轴上截取线段GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,连接PE ,过点Q 作直线PE 的平行线l ,证明l 是抛物线C 的切线.【解析】(1)解：设过点F 的直线方程为y =k x -p2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立y =k x -p2 y 2=2px,得k 2x 2-pk 2+2p x +k 2p 24=0,则x 1+x 2=pk 2+2p k 2,x 1⋅x 2=p 24,所以FA +FB =x 1+p 2+x 2+p 2=2pk 2+2pk 2,FA ⋅FB =x 1+p 2 x 2+p 2 =p 22+p 2k 2+2 2k 2,因为FA ⋅FB =FA +FB ,所以2pk 2+2p k 2=p 22+p 2k 2+2 2k 2,化简得p 2-2p 1+1k2 =0,所以p =2,当过点F 的直线斜率不存在时,则FA =FB =p ,故FA +FB =2p ,FA ⋅FB =p 2,又因为FA ⋅FB =FA +FB ,则p 2=2p ,所以p =2,综上所述,p =2,所以y 2=4x ；(2)证明：不妨设点P 在第一象限,则P 1,2 ,D -1,0 ,F 1,0 ,设直线PQ 的方程为y -2=m x -1 ,m ≠0,Q x 3,y 3 ,联立y -2=m x -1 y 2=4x ,消元整理得m 24y 2-y -m +2=0,则2+y 3=4m ,即y 3=4-2mm 故x 3=2-m 2m 2,即Q 2-m 2m 2,4-2m m,当y =0时,x =-2m +1,则G -2m+1,0 ,又因GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,则G 为DE 的中点,所以E -4m+3,0 ,则直线PE 的斜率为24m-2=m2-m ,因为直线PE 平行直线l ,所以直线l 的斜率为m2-m,故直线l 的方程为y -4-2m m =m 2-m x -2-m 2m 2,即y =m 2-m x +2-m m ,联立y =m 2-m x +2-mm y 2=4x,消元整理得m 42-m y 2-y +2-m m =0,Δ=1-4×m 42-m⋅2-mm =0,所以直线l 与抛物线只有一个交点,有直线l 斜率不为0,所以l 是抛物线C 的切线.9.已知抛物线C :x 2=2py ,点M -4,4 在抛物线C 上,过点M 作抛物线C 的切线,交x 轴于点P ,点O 为坐标原点．(1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为-2,-1 ,经过点P 的直线交抛物线于A ,B 两点,交线段OM 于点Q ,记EA ,EB ,EQ 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,是否存在常数λ使得k 1+k 2=λk 3．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．【解析】(1)因为M -4,4 在抛物线C 上,所以-4 2=8p ,所以p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =14x 2,则y =12x ,所以切线的斜率为12×(-4)=-2,所以过点M 的切线方程为y =-2x +4 +4,即y =-2x -4联立y =-2x -4y =0,解得P 点的坐标为-2,0(2)由题意可知过点P 的直线的斜率存在,设为y =kx +2k ,线段OM 所在的直线为y =-x ,联立y =kx +2k y =-x,解得Q 点坐标为-2k k +1,2kk +1,所以k 3=2k k +1+1-2k k +1+2=3k +12设A x 1,x 214 ,B x 2,x 224,联立y =kx +2kx 2=4y ,得x 2-4kx -8k =0,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8k ．则k 1+k 2=x 214+1x 1+2+x 224+1x 2+2=14x 1x 2x 1+x 2 +x 1+x 2 +12x 21+x 22 +4x 1x 2+2x 1+x 2 +4=-8k 2+4k +1216k 2+16k +4-8k +8k +4=12k +44=3k +1所以k 1+k 2=2k 3,即存在λ=2满足条件．10.如图,已知A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 为二次函数y =ax 2(a >0)的图像上异于顶点的两个点,曲线y =ax 2在点A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 处的切线相交于点P x 0,y 0 .(1)利用抛物线的定义证明：曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：x 1､x 0､x 2成等差数列,y 1､y 0､y 2成等比数列；(3)设抛物线y =ax 2焦点为F ,过P 作PH 垂直准线l ,垂足为H ,求证：∠BPH =∠APF .【解析】(1)证明：令F 0,14a ,直线l ：y =-14a,曲线y =ax 2上任意一点P x 0,ax 02,又a >0,则点P x 0,ax 02 到直线l 的距离d =ax 02+14a,则PF =x 02+ax 02-14a 2=x 02+ax 02 2-x 022+14a 2=ax 02 2+x 022+14a 2=ax 02+14a 2=ax 02+14a =ax 02+14a=d ,即曲线y =ax 2上任意一点到点F 0,14a 的距离与到直线l ：y =-14a的距离相等,且点F 0,14a 不在直线l ：y =-14a上,所以曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,抛物线的方程即为y =ax 2,焦点坐标为F 0,14a,准线方程为y =-14a；(2)解：对于y =ax 2,则y =2ax ,所以y |x =x 1=2ax 1,y |x =x 2=2ax 2,即过点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 的切线方程分别为y -y 1=2ax 1x -x 1 、y -y 2=2ax 2x -x 2 ,又y 1=ax 12,y 2=ax 22,所以y =2ax 1x -ax 12、y =2ax 2x -ax 22,由y =2ax 1x -ax 12y =2ax 2x -ax 22 ,解得x =x 1+x 22y =ax 2x 1,即P x 1+x 22,ax 2x 1 ,即x 0=x 1+x 22,y 0=ax 2x 1,又y 02=a 2x 22x 12=y 1⋅y 2,所以x 1、x 0、x 2成等差数列,y 1、y 0、y 2成等比数列；(3)解：由(2)可知k BP =2ax 2,k AP =2ax 1,F 0,14a ,所以k PF =y 0-14ax 0=ax 2x 1-14a x 1+x 22,如图,设AP ,PF ,PB 与x 轴分别交于点C 、D 、E ,则tan ∠ACx =2ax 1,tan ∠BEx =2ax 2,tan ∠FDx =ax 2x 1-14ax 1+x 22,又∠BPH =π2-π-∠BEx =∠BEx -π2,∠FPA =∠FDx -∠ACx ,所以tan ∠BPH =tan ∠BEx -π2 =-1tan ∠BEx=-12ax 2,tan ∠FPA =tan ∠FDx -∠ACx =tan ∠FDx -tan ∠ACx1+tan ∠FDx tan ∠ACx=ax 2x 1-14a x 1+x 22-2ax11+ax 2x 1-14a x 1+x 22⋅2ax 1=ax 2x 1-14a -2ax 1⋅x 1+x 22x 1+x 22+ax 2x 1-14a ⋅2ax 1=-14a-ax 12x 1+x 22+2a 2x 12x 2-x 12=-14a -ax 12x 22+2a 2x 12x 2=-14a-ax 1212x 2+4a 2x 12x 2 =-1+4a 2x 12 2ax 21++4a 2x 12 =-12ax 2,即tan ∠BPH =tan ∠FPA ,所以∠BPH =∠FPA ；11.已知抛物线x 2=2py (p >0)上的任意一点到P (0,1)的距离比到x 轴的距离大1．(1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求△QAB 重心G 的轨迹方程．【解析】(1)由抛物线的定义可得p =2,∴抛物线的方程为x 2=4y ；(2)由题意可得直线AB 的斜率存在,设其为k ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则直线AB 的方程为y =kx +2；代入抛物线方程得x 2-4kx -8=0,则有x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8,∵y =x 24,∴y=x 2,∴l AQ :y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 12x -x 214①同理可得l BQ :y =x 22x -x 224②,①-②有x 1-x 22 x =x 21-x 224,得x Q =x 1+x 22=2k ,∴y Q =kx 1-x 214=kx 1-y 1=-2．∴Q (2k ,-2)又y 1+y 2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4,设G (x ,y ),则x =x 1+x 2+x Q3=2ky =y 1+y 2+y Q 3=4k 2+23,消k 得y =x 2+23,所以G 的轨迹方程为y =13x 2+23．12.已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F ,点P -2,y 0 为抛物线上一点,抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ,且△FPQ 的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MF AB为定值．【解析】(1)将P -2,y 0 代入x 2=2py 得,y 0=2p 设抛物线的切线方程为y =k (x +2)+2p,代入x 2=2py 整理得：x 2-2pkx -(4pk +4)=0由题知Δ=4p 2k 2+4pk +4=0,解得k =-2p又y Q =2k +2p ,所以FQ =p 2-2k -2p 所以S △FPQ =p 2-2k -2p =p 2+2p=2,解得p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y(2)记AB 中点为N ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),N (x 3,y 3)设直线AB 方程为y =mx +1,代入x 2=4y 整理得：x 2-4mx -4=0,则x 1+x 2=4m ,x 1x 2=-4所以AB =m 2+1(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4(m 2+1)因为N 为AB 中点,所以x 3=x 1+x 22=2m ,y 3=2m 2+1所以直线MN 的方程为y -(2m 2+1)=-1m(x -2m )则y M =2m 2+3所以MF =2m 2+2所以MF AB =2m 2+24(m 2+1)=1213.(2022届新未来4月联考)已知直线l :x -ky +k -1=0与抛物线C :y 2=2px (p >0)交于A ,B 两点,过A ,B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ,当直线l ⊥x 轴时,|AB |=4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求|OD |的最小值．【解析】(1)当直线l ⊥x 轴时,x =1,代入y 2=2px 解得y =±2p ,∴|AB |=22p =4,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设A x A ,y A ,B x B ,y B ,D x D ,y D ．联立x -ky +k -1=0,y 2=4x ,得y 2-4ky +4k -4=0．∴y A +y B =4k ,y A ⋅y B =4k -4①,∵直线l :x -ky +k -1=0恒过点(1,1),且与抛物线有两个交点,点(1,1)在抛物线上,∴k ≠0,当直线AD 和直线BD 斜率存在时,设直线AD :y =mx +n ,联立y =mx +n ,y 2=4x ,∴my 2-4y +4n =0,Δ=16-4m ⋅4n =0,∴m ⋅n =1,∴y A =2m ,同理,设直线BD :y =ax +b ,则ab =1,y B =2a,联立y =mx +n ,y =ax +b , ∴x D =1am ,y D =1a +1m.由①可知2m +2a =4k ,2m ⋅2a =4k -4,∴1m +1a -2ma=2,即y D -2x D =2,∴点D 在直线2x -y +2=0上．当直线AD 或直线BD 斜率不存在时,即直线l 过原点时,k =1,过原点的切线方程为x =0,易知另外一点为(4,4),过点(4,4)的切线方程设为x -4=t (y -4),联立x -4=t (y -4)y 2=4x,得y 2-4ty +16t -16=0,Δ=16t 2-416t -16 =0,解得t =2,即切线方程y =12x +2．此时交点D 的坐标为(0,2),在直线2x -y +2=0上,故OD 的最小值为原点到直线2x -y +2=0的距离,即25=255．14.过原点O 的直线与拋物线C ：y 2=2px (p >0)交于点A ,线段OA 的中点为M ,又点P 3p ,0 ,PM ⊥OA ．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA =46,②PM =23；③△POM 的面积为62．(1)______,求拋物线C 的方程；(2)在(1)的条件下,过y 轴上的动点B 作拋物线C 的切线,切点为Q (不与原点O 重合),过点B 作直线l 与OQ 垂直,求证：直线l 过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．【解析】(1)由题意知直线OA 的斜率存在且不为0,设其方程为y =kx k ≠0 ,由y 2=2px ,y =kx 得x =0,y =0 或x =2p k 2,y =2p k,即O 0,0 ,A 2p k 2,2p k所以线段OA 的中点M p k 2,p k．因为PM ⊥OA ,所以直线PM 的斜率存在,k PM =p kpk 2-3p =k1-3k 2．所以k 1-3k2⋅k =-1,解得k =±22,所以直线OA 的方程为x ±2y =0,A 4p ,±22p ．若选①,不妨令A 4p ,22p ,由OA =46,得4p2+22p 2=46,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选②,因为PM ⊥OA ,PM =23,所以点P 到直线OA 的距离为23,即3p12+±2 2=23,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选③,不妨令A 4p ,22p ,因为OM =12OA =124p 2+22p 2=6p ,点P 到直线OA 的距离PM =3p12+±22=3p ,所以S △POM =12OM ⋅PM =12×6p ×3p =62,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)由题意可知切线BQ 的斜率存在且不为0．设B 0,b b ≠0 ,切线BQ 的方程为y =k 1x +b ,由y =k 1x +b ,y 2=4x得k 1y 2-4y +4b =0,(*)所以Δ=-4 2-4×k 1×4b =0,解得k 1=1b,所以方程(*)的根为y =2b ,代入y 2=4x 得x =b 2,所以切点b 2,2b ,于是k OQ =2b b2=2b ,则k l =-b2,所以直线l 的方程为y =-b 2x +b ,即y =-b2x -2 ,所以当b 变化时,直线l 恒过定点2,0 ．15.已知抛物线x 2=2py (y >0),其焦点为F ,抛物线上有相异两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．(1)若AF ⎳x 轴,且经过点A 的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；(2)若p =2,且|AF |+|BF |=4,线段AB 的中垂线交x 轴于点C ,求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)抛物线x 2=2py (y >0),焦点坐标为0,p2,因为AF ⎳x ,所以y A =p 2,所以x A =p ,又y =x 22p ,所以y =x p,所以过A 点的切线的斜率k =1,所以切线方程为y -p 2=x -p ,令y =0得x =p2=1,所以p =2,所以x 2=4y(2)若p =2,则抛物线为x 2=4y ,焦点为0,1 ,准线方程为y =-1,因为|AF |+|BF |=4,所以y A +1+y B +1=4,所以y A +y B =2,设直线AB 的方程为y =kx +m ,联立x 2=4y 得x 2-4kx -4m =0,Δ=16k 2+16m >0所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4m ,所以y 1+y 2=kx 1+kx 2+2m =4k 2+2m =2,即m =1-2k 2,所以Δ=16k 2+161-2k 2 >0,解得-1<k <1,当k =0时,直线方程为y =1,则A 2,0 ,B -2,0 ,所以AB 的中垂线恰为y 轴,则C 0,0 ,所以S △ABC =12×4×1=2,当-1<k <1,且k ≠0时,又AB 的中点坐标为x 1+x 22,y 1+y 22 =2k ,1 ,所以AB 的中垂线l 的方程为y =-1kx -2k +1,令y=0得x =3k ,所以C 3k ,0 ,所以C 到AB 的距离d =3k 2+m k 2+1,又AB=k 2+116k 2+16m ,所以S △ABC =12AB d =2k 2+m ×3k 2+m =21-k 2×1+k 2 =21-k 2 1+k 2 2令1-k 2=t ,则t ∈0,1 ,f t =t 2-t 2=t 3-4t 2+4t ,因为f t =3t 2-8t +4=t -2 3t -2 ,所以当t ∈0,23 时f t >0,f t 在0,23 上单调递增,当t ∈23,1 时f t <0,f t 在23,1 上单调递减,所以f t max =f 23 =3227所以S △ABC max =23227=869>2所以S △ABC max =86916.设抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ,点P m ,2 (m >0)在抛物线C 上,且满足PF =3．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过点G 0,4 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,分别以A ,B 为切点的抛物线C 的两条切线交于点Q ,求三角形PQG 周长的最小值．【解析】(1)由抛物线定义,得PF =2+p2=3,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为x 2=4y ；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =kx +4,∴联立y =kx +4x 2=4y,消掉x ,得x 2-4kx -16=0,Δ>0,∴x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-16,设A ,B 处的切线斜率分别为k 1,k 2,则k 1=x 12,k 2=x22,∴在点A 的切线方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x 2-x 124①,同理,在B 的切线方程为y =x 2x 2-x 224②,由①②得：x Q =x 1+x 22=2k ,代入①或②中可得：y Q =kx 1-x 214=y 1-4-y 1=-4,∴Q 2k ,-4 ,即Q 在定直线y =-4上,设点G 关于直线y =-4的对称点为G ,则G 0,-12 ,由(1)知P 22,2 ,∵PQ +GQ =PQ +G Q ≥G P =251,即P ,Q ,G 三点共线时等号成立,∴三角形PQG 周长最小值为GP +G P =251+23．17.已知圆C :x 2+y -2 2=1与定直线l :y =-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)已知点P 是直线l 1:y =-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点；②求证：∠PCA =∠PCB .【解析】(1)依题意知：M 到C 0,2 的距离等于M 到直线y =-2的距离,∴动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线y =-2为准线的抛物线,设抛物线方程为x 2=2py p >0 ,则p2=2,则p =4,即抛物线的方程为x 2=8y ,故：动圆圆心M 的轨迹E 的方程为：x 2=8y ；(2)①由x 2=8y 得：y =18x 2,∴y =14x ,设A x 1,18x 21、B x 2,18x 22 ,P t ,-2 ,其中x 1≠x 2,则切线PA 的方程为y -18x 21=x 14x -x 1 ,即y =14x 1x -18x 21,同理,切线PB 的方程为y =14x 2x -18x 22,由y =14x 1x -18x 21y =14x 2x -18x 22 ,解得x =x 1+x 22y =x 1x 28 ,∴t =x 1+x 22-2=x 1x 28,即x 1+x 2=2t x 1x 2=-16 ,∵A x 1,18x 21、B x 2,18x 22 x 1≠x 2 ,∴直线AB 的方程为y -18x 21=18x 22-18x 21x 2-x 1x -x 1 ,化简得y =x 1+x 28x -x 1x 28,即y =t4x +2,故直线AB 过定点0,2 ；②由①知：直线AB 的斜率为k AB =t4,(i )当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y =2,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB ；(ii )当直线PC 的斜率存在时,∵P t ,-2 、C 0,2 ,∴直线PC 的斜率k PC =-2-2t -0=-4t ,∴k AB ⋅k PC =t 4×-4t=-1,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB .综上所述：∠PCA =∠PCB 得证.18.设抛物线C ：x 2=2py p >0 ,其焦点为F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF =FP ,FM ⋅FP=2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.【解析】(1)∵PM =PF =FM ,∴△PFM 为等边三角形,∴∠FMP =∠PFM =60°,又FM ⋅FP=FM ⋅FP cos ∠PFM =FM 2cos60°=2,∴FM =2设直线l 交y 轴于N 点,则在Rt △MNF 中∠NMF =30°,NF =1=p ,∴C 的方程为x 2=2y(2)设点Q a ,b a ≠0,b ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又C 的方程为x 2=2y 可化为y =x 22,∴y =x所以过点A 且与C 相切的直线的斜率为x 1,过点B 且与C 相切的直线的斜率为x 2,所以直线QA 的方程为y-y1=x1x-x1,直线QB的方程为y-y2=x2x-x2.又直线QA与QB均过点Q,b-y1=x1a-x1,b-y2=x2a-x2,又x21=2y1,x22=2y2,∴y1=ax1-b,y2=ax2-b,所以直线AB的方程为y=ax-b,联立方程y=ax-b和x2=2y得方程组x2=2y,y=ax-b,消去y得x2-2ax+2b=0,∵b≠0,∴x1≠0,x2≠0,∵x1x2=2b,又S0,b,则直线AS的斜率k1=y1-bx1；直线BS的斜率k2=y2-bx2,∴k1+k2=x1+x2x1x22-bx1x2,∵x1x22-b=0,∴k1+k2=0,所以直线AS与直线BS关于y轴对称.。

求抛物线在点处的切线方程

求抛物线在点处的切线方程好吧，今天我们来聊聊抛物线和它的切线方程。

听起来有点严肃，但别担心，我会让它变得轻松有趣。

抛物线，这个名字听起来是不是就有点高大上？它就是一种数学图形，形状像个大碗，或者像我们常说的“放飞自我”的感觉，哈哈。

想象一下，抛物线就像一个在空中优雅飞舞的小鸟，曲线优美，婉转动人。

什么是切线呢？切线就像是一根温柔的手，轻轻触碰抛物线的某个点，就那么一瞬间，它和抛物线有了亲密接触。

就像你跟朋友一起喝茶，随便聊聊，瞬间的默契，就是切线的感觉。

要找切线方程，首先得知道我们想要在哪个点上“握手”。

这点就叫做“切点”，听起来是不是很浪漫？好啦，我们要切线的点一般是给定的，比如（x₀, y₀）。

这时候，我们得先确定抛物线的方程。

假设这条抛物线的方程是y = ax² + bx + c。

哇哦，听起来像是开车上路的那种感觉。

a、b、c就像是车子的发动机、轮胎和车身，缺一不可。

每个参数都对我们的抛物线有影响，真是太神奇了。

我们得求导。

别担心，这不是高深的数学，这就像是给我们的车子加油，让它更有动力。

我们求导的结果是y' = 2ax + b。

这个y'代表的是切线的斜率，斜率就像是车子的坡度，爬坡的时候会累，但能让你欣赏到美丽的风景，对吧？好，我们要把切点（x₀, y₀）代入导数，得到切线的斜率。

就是y' = 2ax₀ + b。

就这么简单！想象一下，这个斜率像是一杯热咖啡的温度，让你感觉到温暖。

然后，切线的方程就可以用点斜式公式来表示，公式是y y₀ = m(x x₀)，其中m就是我们刚刚求出的斜率。

这就像是在给你的切线加个标记，告诉它你从哪儿出发，往哪儿去。

一旦代入这些值，你会得到一个具体的切线方程。

这样一来，抛物线和切线就像是好朋友一样，互相依偎，完美地结合在一起。

你看，数学有时候就像人生一样，虽然有些复杂，但只要慢慢来，总能找到方向。

再说说，这个切线方程的意义。

切线就像是一个指引，告诉你在这个点上抛物线的走势。

【圆锥曲线】11抛物线切线(含经典题型+答案)

抛物线切线的性质例1：点M （2，1）是抛物线x 2=2py 上的点，则以点M 为切点的抛物线的切线方程为．解：将点M （2，1）代入抛物线得：p =2，故以点M 为切点的切线方程为()122+=y x ，即01=--y x例2：过点A （0，2）且和抛物线C ：y 2=6x 相切的直线l 方程为．解：设直线与抛物线切于点()00,y x P ，故有()003x x yy +=代入点A （0，2）得：0032x y =，与抛物线方程联立得：⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⇒=⎪⎭⎫⎝⎛004386230000020y x y x x x 或，故切线方程为0843=+-y x 或0=x 。

例3：直线l 经过点（0，2）且与抛物线y 2=8x 只有一个公共点，满足这样条件的直线l 有条．解：设直线与抛物线切于点()00,y x P ，故有()004x x yy +=代入点A （0，2）得：002x y =，与抛物线方程联立得：()⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒=4200820000020y x y x x x ，或，故存在两条切线，还有一条直线2=y 与抛物线只有一个公共点，故答案为3条。

1.在曲线y=x 2上切线的倾斜角为的点的坐标为．2.过抛物线C ：x 2=2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段|AF|=（）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.抛物线2x y =在点M(21,41)处的切线的倾斜角是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.设曲线2ax y =在点(1,a )处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ( )A.12-B.12C.1D.1- 5.函数24x y =在点P （2, 1）处的切线方程为__________________________.6.抛物线x 2=4y 的准线l 与y 轴交于点P ，若直线l 绕点P 以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转t 秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t= ．7.过点（2，﹣1）引直线与抛物线y=x 2只有一个公共点，这样的直线共有条．8.过点P （3，4）作抛物线x 2=2y 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的斜率为． 9.（2014•辽宁）已知点A （﹣2，3）在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（）A ．B ．C ．D ．10.已知点A 为抛物线C ：x 2=4y 上的动点（不含原点），过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则△ABF （）A ．一定是直角 B ．一定是锐角C ．一定是钝角 D ．上述三种情况都可能11.抛物线x 2=y 在第一象限内图象上一点（a i ，2a i 2）处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i+1，其中i ∈N *，若a 2=32，则a 2+a 4+a 6等于（）A ．64 B ．42C ．32D ．2112抛物线C 1：x 2=2py （p ＞0）的焦点与双曲线C 2：﹣y 2=1的左焦点的连线交C 1于第二象限内的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p=（）A ．B ．C ．D ．13.已知抛物线C 的方程为y x 42=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A 、B.过点A 的抛物线C 的切线y 轴交于点D ，求证；︱AF ︱=︱DF ︱；14.已知抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为x 1（x 1＞0），过点A 作抛物线C 的切线l 1交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，交直线于点M ，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：△AFQ 为等腰三角形，并求抛物线C 的方程；（2）若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线l 2交直线l 1于点P ，交直线l 于点N ，求△PMN 面积的最小值，并求取到最小值时的x 1值．15如图所示，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）与直线AB ：y=x+b 相切于点A ．（1）求p ，b 满足的关系式，并用p 表示点A 的坐标；（2）设F 是抛物线的焦点，若以F 为直角顶角的Rt △AFB 的面积等于25，求抛物线C 的标准方程．例4：已知点P （﹣3，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的准线上，过点P 的直线与抛物线C 相切于A ，B 两点，则直线AB 的斜率为（）A ．1B ．C ．D ．3解：P （﹣3，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的准线上，故p =6，抛物线C ：y 2=12x ，根据秘籍中的性质（1）可知，AB 中点的纵坐标与P 点纵坐标相等（如图），即20=y ，且AB 过抛物线的焦点；设AB 方程为3+=ky x ，代入抛物线方程得：036122=--ky y ，312621221021=⇒==+=⇒=+k k y y y k y y ，故直线AB 的斜率为3。

抛物线外一点引两条切线,切点连线的方程

抛物线外一点引两条切线,切点连线的方程1. 引言1.1 概述在数学领域，抛物线是一种常见的曲线形状，具有许多重要的性质和应用。

与抛物线相关的一个重要问题是如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并找到这两条切线上的切点及其连线方程。

本文将详细探讨该问题。

1.2 研究背景抛物线作为一个具有特殊形状和性质的曲线，在几何学和微积分中都占据着重要地位。

早在古希腊时期，古代数学家就开始研究抛物线，并发现了许多与之相关的定理和性质。

随着数学研究的不断深入，人们对于抛物线的认识也越来越深刻。

在这个过程中，人们逐渐发现了如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并求解切点及其连线方程这个问题。

1.3 目的本文旨在介绍抛物线与切线之间的关系，并详细推导出抛物线外一点引两条切线所涉及的数学方法。

通过典型例题的分析和解答，将帮助读者理解并掌握如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并求解切点及其连线方程的步骤。

此外，本文还将探讨这个问题在实际应用中的价值，并对研究尚未解决的相关问题进行展望。

以上是“1. 引言”部分的详细内容，通过介绍本文的概述、研究背景和目的，读者可以初步了解文章所要讨论的问题和内容。

接下来，“2. 抛物线与切线关系”部分将详细介绍抛物线及切线的定义及性质。

2. 抛物线与切线关系2.1 抛物线定义及性质抛物线是一种平面曲线，由所有与一个固定点（焦点）和一条直线（准线）的距离相等的点组成。

其标准方程可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c 为常数，且a不等于0。

抛物线具有以下性质：- 对称性：抛物线关于其顶点对称。

- 面积：抛物线所夹的面积相等于焦点到准线的距离乘以基本边长。

- 焦距：抛物线中焦点到顶点的距离等于焦半径。

2.2 切线定义及性质切线是指曲线上某一点处与该点处切给曲线只有一个公共交点的直线。

切线与曲线相切于该点，并且在该点处具有相同的斜率。

切线具有以下性质：- 斜率：切线与曲线在交点处具有相同的斜率。

【高中数学】秒杀秘诀MS11抛物线切线

29.已知抛物线 C：y=x2，直线 l：x﹣2y﹣2=0，点 P 是直线 l 上任意一点，过点 P 作抛物线 C 的切线 PM，PN，切点分别为 M，N，直线 PM，PN 斜率分别为 k1，k2，如图所示（1）若 P（4，1），求证：k1+k2=16；（2）若 MN 过抛物线的焦点，求点 P 的坐标．
26.已知抛物线 x2 4 y 的焦点为 F ,过焦点 F 且不平行于 x 轴的动直线 l 交抛物线于 A , B 两点,抛物线在 A 、 B 两
点处的切线交于点 M .(Ⅰ)求证: A , M , B 三点的横坐标成等差数列;(Ⅱ)设直线 MF 交该抛物线于 C , D 两点,求四边形 ACBD 面积的最小值.
(1)求抛物线 P 的方程;(2)设抛物线 P 的准线与 y 轴的交点为 E,过 E 作抛物线 P 的切线,求此切线方程;
解：（1）
MF
yM
p 2
2
p 2
3
p 2 ，故抛物线的方程为 x2
4y
；
（2）E
点坐标为
0， 1
，设抛物线的切点为
Q
x0 ,
y0
，求导得
y
2x 4
x 2
，故切线方程为
y
y0
y
y0
x0 p
x
x0 即
py
py0
xx0
x0 2
xx0
py
y0
同理，在抛物线 y2 2 px 上任意一点 Ax0 , y0 的切线方程为： yy0 px x0
证明：点
Ax0 , y0 在抛物线上
y02
2 px0 ；又
y2
2 px
x
y2 2p

求曲线（圆、椭圆、抛物线和一般曲线）的切线方程专题讲义-云南民族大学附属中学高三数学复习

求曲线（圆、椭圆、抛物线和一般曲线）的切线方程专题一考纲解析：曲线的切线方程是近几年高考的重点和难点，一般出现在选择、填空和大题等位置。

常出现的题型包括圆的切线方程，椭圆、双曲线、抛物线以及一般曲线的切线方程。

处理方法有用直线与曲线联立∆判别式为零确定相切情况和利用导数几何意义求曲线的切线方程。

二、题型解析题型一圆的切线方程方法指导：圆切线问题处理步骤首先看点),(000y x P 是在圆上还是圆外：若过圆上一点且与圆相切的切线方程只要一条；若过圆外一点且与圆相切需结合图形分析，过圆外一点且与圆相切要考虑切线斜率是否存在？如果斜率存在一般设切线方程：)(00x x k y y -=-切通过点到切线距离等于圆半径求出切线斜率，最后可通过图形检验切线斜率的正负性。

典例一过点M （0,5）、N （3，-4）的圆圆心C 在直线：-2x+3y+3=0.求过点H （-2,4）且与圆C 相切的切线方程【解】：根据圆知识点圆内两条相交弦的交点即为圆心，3354-=--=MN k ,M,N 的中点为（21,23），直线MN 的中垂线为：)23(3121-=-x y ，设圆心坐标为(a,b) 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++-)23(31210332a b b a 解得圆心坐标（3,1），故圆C 方程：25)1()3(22=-+-y x 如上图所示，H 点在圆外部，其中一条切线方程显然为：x=-2另外一条存在斜率，设为：)2(4+=-x k y ，圆心C(3,1)到直线的距离51|35|2=++=k k d ，解出,158则方程为：8x-15y+16=0,综述切线方程为：x=-2或8x-15y+16=0. 变式训练：(1)（2010年课标全国）圆心在原点且与直线x+y+2=0相切的圆的方程为【解】设圆的方程为：222r y x =+，根据题意，得22|2|=-=r ，所以圆的方程为：222=+y x(2) (2020.浙江)已知直线1)4(1)0(2222=+-=+>+=y x y x k b kx y 和圆与圆均相切，则k= ,b= .【解】: 如下图所示：满足k>0的直线方程即与122=+y x 圆相切且又与1)4(22=+-y x 圆相切的直线为直线AB ，则设直线AB方程为：)2(-=x k y ,圆心O （0,0）到直线AB的距离11|2|2=+-=k k d ，解得332,33-==b k 进而得到。

(完整版)函数图像的切线问题

函数图像的切线问题要点梳理归纳1.求曲线y ＝f(x)的切线方程的三种类型及其方法(1)已知切点P(x 0，f(x 0))，求y ＝f(x)在点P 处的切线方程：切线方程为 y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0). (2)已知切线的斜率为k ，求y ＝f(x)的切线方程：设切点为P(x 0，y 0)，通过方程k ＝f′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求y ＝f(x)的切线方程：设切点为P(x 0，y 0)，利用导数将切线方程表示为y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)，再将A(s,t)代入求出x 0.2．两个函数图像的公切线函数y=f(x)与函数y=g(x) 存在公切线，若切点为同一点P(x 0，y 0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x 0)＝g ′(x 0)，f (x 0)＝g (x 0).若切点分别为(x 1,f(x 1)),(x 2,g(x 2)),则有212121)()()()(x x x g x f x g x f --='='.题型分类解析题型一已知切线经过的点求切线方程例1.求过点(2,2)P 与已知曲线3:3S y x x =-相切的切线方程. 解：点P 不在曲线S 上.设切点的坐标()00,x y ，则30003y x x =-，函数的导数为2'33y x =-，切线的斜率为020'33x x k y x ===-，2000(33)()y y x x x ∴-=--切线方程为，Q 点(2,2)P 在切线上，20002(33)(2)y x x ∴-=--，又30003y x x =-，二者联立可得001,1x x ==或相应的斜率为0k =或9k =-±∴切线方程为2y =或(9(2)2y x =-±-+.例 2. 设函数()()2f x g x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为________解析：由切线过()()1,1g 可得：()13g =，所以()()21114f g =+=，另一方面，()'12g =，且()()''2f x g x x =+，所以()()''1124f g =+=，从而切线方程为：()4414y x y x -=-⇒=例3. 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点(1,3)，则b 的值为_________ 解析：代入(1,3)可得：2k =，()'23f x x a =+，所以有()()'113132f a b f a =++=⎧⎪⎨=+=⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩题型二已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数）例4.已知函数()ln 2f x x x =+，则：（1）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线420x y --=平行（2）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线30x y --=垂直解：设切点坐标为()00,x y ()'0012fx x ∴=+ 由切线与420x y --=平行可得： ()'00011242f x x x =+=⇒= 011ln 122y f ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭∴切线方程为：11ln 244ln 212y x y x ⎛⎫-+=-⇒=-- ⎪⎝⎭（2）设切点坐标()00,x y ()'0012fx x ∴=+，直线30x y --=的斜率为1 ()'00011213f x x x ∴=+=-⇒=- 而()00,x ∈+∞ 013x ∴=-不在定义域中，舍去∴不存在一点，使得该点处的切线与直线30x y --=垂直例5.函数()2ln f x a x bx =-上一点()()2,2P f 处的切线方程为32ln22y x =-++，求,a b 的值思路：本题中求,a b 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，P 在直线32ln22y x =-++上，322ln222ln24y ∴=-⋅++=-，即()2=2ln24f -，得到,a b 的一个等量关系，在从切线斜率中得到2x =的导数值，进而得到,a b 的另一个等量关系，从而求出,a b 解：P Q 在32ln22y x =-++上，()2322ln222ln24f ∴=-⋅++=-()2ln242ln24f a b ∴=-=-又因为P 处的切线斜率为3- ()'2afx bx x=- ()'2432a f b ∴=-=-, ln 242ln 2421432a b a a b b -=-⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-=-⎩⎪⎩例6.设函数()()32910f x x ax x a =---<，若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行，求a 的值思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为12-，进而可得导函数的最小值为12-，便可求出a 的值解：()2'2222221111329393939333f x x ax x a a a x a a ⎛⎫⎛⎫=--=-+--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'2min 11933f x f a a ⎛⎫∴==-- ⎪⎝⎭Q 直线126x y +=的斜率为12-，依题意可得：2191233a a --=-⇒=± 0a <Q 3a ∴=- 题型三公切线问题例7.若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切,则a 等于( ) A.1-或2564-B. 1-或214C. 74-或2564-D. 74-或7 思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线21594y ax x =+-含有参数，所以考虑先从常系数的曲线3y x =入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线21594y ax x =+-求出a 的值.设过()1,0的直线与曲线3y x =切于点()300,x x ,切线方程为()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-，因为()1,0在切线上，所以解得：00x =或032x =，即切点坐标为()0,0或327,28⎛⎫⎪⎝⎭.当切点()0,0时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得()21525490464a a ⎛⎫∆=--=⇒=- ⎪⎝⎭，同理，切点为327,28⎛⎫ ⎪⎝⎭解得1a =-答案：A小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系（2）在利用切线与21594y ax x =+-求a 的过程中，由于曲线21594y ax x =+-为抛物线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的0∆=来求解，减少了运算量.通过例7，例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）例8.若曲线21x y C =：与曲线xae y C =：2存在公切线，则a 的最值情况为（） A ．最大值为28e B ．最大值为24e C ．最小值为28e D ．最小值为24e 解析：设公切线与曲线1C 切于点()211,x x ，与曲线2C 切于点()22,x x ae ，由''2xy xy ae ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得：22211212x x ae x x ae x x -==-，所以有221111221122222x x x x x x x x x ae ⎧-=⇒=-⎪-⎨⎪=⎩，所以2244x ae x =-，即()2241x x a e -=，设()()41xx f x e -=，则()()'42xx fx e -=.可知()f x 在()1,2单调递增，在()2,+∞单调递减，所以()max 242a f e==例10.曲线xy e =在点()22,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A.2eB. 22e C. 24eD.22e思路：()'x f x e = 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程 ()'22f e ∴=所以切线方程为：()222y e e x -=-即220e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为()()21,00,e - 221122e S e ∴=⨯⨯=例11.一点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )． A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U C.3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来.'231y x =-，对于曲线上任意一点P ，斜率的范围即为导函数的值域：[)'2=311,y x -∈-+∞，所以倾斜角的范围是30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U .答案：B 例12.已知函数()323f x x x =-，若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围思路：由于并不知道3条切线中是否存在以P 为切点的切线，所以考虑先设切点()00,x y ，切线斜率为k ，则满足()3000'2002363y x x k f x x ⎧=-⎪⎨==-⎪⎩，所以切线方程为()00y y k x x -=-，即()()()3200002363y x x x x x --=--，代入()1,P t 化简可得：3200463t x x =-+-，所以若存在3条切线，则等价于方程3200463t x x =-+-有三个解，即y t =与()32463g x x x =-+-有三个不同交点，数形结合即可解决解：设切点坐标()00,x y ，切线斜率为k ，则有：()3000'2002363y x x k f x x ⎧=-⎪⎨==-⎪⎩∴ 切线方程为：()()()3200002363y x x x x x --=-- 因为切线过()1,P t ，所以将()1,P t 代入直线方程可得：()()()32000023631t x x x x --=-- ()()()23000063123t x x x x ⇒=--+-233320000000636323463x x x x x x x =--++-=-+-所以问题等价于方程3200463t x x =-+-，令()32463g x x x =-+-即直线y t =与()32463g x x x =-+-有三个不同交点()()'21212121g x x x x x =-+=--令()'0g x >解得01x << 所以()g x 在()(),0,1,-∞+∞单调递减，在()0,1单调递增()()()()11,03g x g g x g ==-==-极大值极小值所以若有三个交点，则()3,1t ∈--所以当()3,1t ∈--时，过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切例13. 已知曲线C:x 2=y ，P 为曲线C 上横坐标为1的点，过P 作斜率为k(k ≠0)的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N ，问是否存在实数k ，使得直线MN 与曲线C 相切？若存在，求出K 的值，若不存在，说明理由.思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析.点()1,1P ，则可求出:1PQ y kx k =-+，从而与抛物线方程联立可解得()()21,1Q k k --，以及M 点坐标，从而可写出QN 的方程，再与抛物线联立得到N 点坐标.如果从,M N 坐标入手得到MN 方程，再根据相切()0∆=求k ，方法可以但计算量较大.此时可以着眼于N 为切点，考虑抛物线2x y =本身也可视为函数2y x =，从而可以N 为入手点先求出切线，再利用切线过M 代入M 点坐标求k ，计算量会相对小些. 解：由P 在抛物线上，且P 的横坐标为1可解得()1,1P∴设():11PQ y k x -=-化简可得：1y kx k =-+ 1,0k M k -⎛⎫∴ ⎪⎝⎭21y x y kx k ⎧=∴⎨=-+⎩ 消去y ：210x kx k -+-= 121,1x x k ∴==- ()()21,1Q k k ∴--设直线()()21:11QN y k x k k --=---⎡⎤⎣⎦即()()2111y k x k k =----⎡⎤⎣⎦ ∴ 联立方程：()()22111y x y k x k k ⎧=⎪⎨=----⎡⎤⎪⎣⎦⎩()211110x x k k k k ⎛⎫∴+---+= ⎪⎝⎭ ()11111Q N N x x k k x k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅=---+⇒=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111,1N k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2y x =可得：'2y x =∴切线MN 的斜率'1|21N MN x x k y k k =⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭2111:1211MN y k k x k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--+=--++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦代入1,0k M k -⎛⎫⎪⎝⎭得： 2111112111k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=--+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦211210k k k k k∴-+=⇒+-=,12k -±∴=小炼有话说：（1）如果曲线的方程可以视为一个函数（比如开口向上或向下的抛物线，椭圆双曲线的一部分），则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联立方程计算0∆=简便（2）本题在求N 点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知Q 的横坐标求出N 的横坐标.这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交点求另一交点的问题.例14.设函数f(x)＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g(x)＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x)<m(x －1)恒成立，求实数m 的取值范围.【解答】 (1)f′(x)＝3x 2＋4ax ＋b ，g′(x)＝2x －3. 由于曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0. (2)由(1)得f(x)＝x 3－4x 2＋5x －2，所以f(x)＋g(x)＝x 3－3x 2＋2x.依题意，方程x(x 2－3x ＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根．所以Δ＝9－4(2－m)>0，即m>－14.又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x)<m(x －1)恒成立．特别地，取x ＝x 1时，f(x 1)＋g(x 1)－mx 1<－m 成立，得m<0. 由韦达定理，可得x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m>0，故0<x 1<x 2. 对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x>0，则f(x)＋g(x)－mx ＝x(x －x 1)(x －x 2)≤0，又f(x 1)＋g(x 1)－mx 1＝0，所以函数f(x)＋g(x)－mx 在x ∈[x 1，x 2]的最大值为0. 于是当－14<m<0时，对任意的x ∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x)<m(x －1)恒成立．综上，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0. 例15.如图3－1，有一正方形钢板AB CD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．解法一：以O 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意，可设抛物线弧OC 的方程为y ＝ax 2(0≤x ≤2)，∵点C 的坐标为(2,1)，∴22a ＝1，a ＝14，故边缘线OC 的方程为y ＝14x 2(0≤x ≤2)，要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，14t 2(0<t <2)， ∵y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2＝t 2(x －t )，即y ＝12tx －14t 2.由此可求得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t －14t 2，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－14t 2.∴|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14t 2－－1＝1－14t 2， |BE |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －14t 2－－1＝－14t 2＋t ＋1. 设梯形ABEF 的面积为S (t )，则S (t )＝－12(t －1)2＋52≤52，∴当t ＝1时，S (t )＝52，故S (t )的最大值为2.5，此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75.答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m 2.解法二：以A 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线的方程为y ＝ax 2＋1(0≤x ≤2)．∵点C 的坐标为(2,2)，∴22a ＋1＝2，a ＝14，故边缘线OC 的方程为y ＝14x 2＋1(0≤x ≤2)．要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，14t 2＋1(0<t <2)， ∵y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2－1＝12t (x －t )，即y ＝12tx －14t 2＋1，由此可求得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t －14t 2＋1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14t 2＋1. ∴|AF |＝1－14t 2，|BE |＝－14t 2＋t ＋1，设梯形ABEF 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AB |·(|AF |＋|BE |) ＝1－14t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14t 2＋t ＋1＝－12t 2＋t ＋2 ＝－12(t －1)2＋52≤52. ∴当t ＝1时，S (t )＝52，故S (t )的最大值为2.5.此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75.答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m 2.【点评】与切线有关的多边形的最值问题，首先应该面积建立关于动点P 的函数，再选择相关的方法求解所得函数的最值，复杂函数可以用求导进行研究．。

抛物线上某一点的切线方程

抛物线上某一点的切线方程抛物线上某一点的切线方程，这听起来是不是有点儿复杂？但是啊，别担心，我们今天就轻松愉快地聊聊这个话题。

咱们得知道，抛物线就像是一个大大的笑脸，开口向上或者向下，具体看它的方程。

如果你知道一条抛物线的方程，比如说 ( y = ax^2 + bx + c )，那么它的形状就立马浮现在眼前。

想象一下，咱们站在这个笑脸的某个点上，这个点就像是你在朋友家聚会时找到的那个最舒服的沙发。

你坐下去的时候，感觉特别稳，对吧？咱们现在要做的，就是在这个点上画一条线，这条线就叫切线。

切线是什么呢？简单说就是在你坐的那个点，沿着你当前的方向，画一条小直线。

想象一下，你在沙发上微微倾斜一下，想和旁边的朋友聊聊天，那个角度就是切线的方向。

为了找到这条线，我们得先知道这个点的坐标，假设我们有点 ( P(x_0, y_0) )，那么切线的斜率就得算出来。

要算斜率，咱们需要导数，没错，就是那个看似很高深的东西。

别怕，其实导数就是求一个函数在某个点的“瞬时变化率”。

就像是你在比赛中冲刺的那一瞬间，速度有多快。

好啦，咱们回到切线。

通过导数的计算，咱们就能得到切线的斜率 ( m = f'(x_0) )。

知道斜率之后，就能用点斜式来写出切线的方程啦！点斜式听起来很复杂，但其实就是那么简单，公式是 ( y y_0 = m(x x_0) )。

你看看，这个公式就像是在跟你聊天一样，特别亲切。

只要把 ( x_0 ) 和 ( y_0 ) 代进去，再加上斜率 ( m )，哗啦一下，切线的方程就出来了。

看到这个过程，你会觉得数学真是个奇妙的东西，像是个魔法师，把一个复杂的图形变成了一条简单的直线。

就像你在厨房里做饭，调料一加，味道立马变得鲜美无比，数学也是如此，变化无穷。

抛物线的每个点都有属于自己的切线，想想看，是不是很神奇？咱们再来聊聊切线的一些应用。

比如说，你在设计一个滑梯，想让小朋友们从顶端滑下来，滑梯的形状就可以用抛物线来表示。

直线与抛物线切线问题

直线与抛物线切线问题直线与抛物线的切线问题是数学中一个重要且常见的研究课题。

本文将介绍直线和抛物线的定义及性质，并详细讨论它们的切线问题。

一、直线的定义与性质直线是最基本的几何图形之一，它由无数个点按照一条连续无间隙的轨迹组成。

直线有以下几个重要性质：1. 直线上的任意两点可以确定一条直线。

2. 直线没有长度和宽度，只有方向。

3. 直线可以无限延伸，不会相交或重叠。

二、抛物线的定义与性质抛物线是由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定的几何图形。

抛物线上的任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

抛物线有以下几个重要性质：1. 抛物线的对称轴垂直于准线，通过焦点的中垂线。

2. 抛物线关于对称轴对称。

3. 抛物线上的任意一点都处于焦点和准线之间。

三、直线与抛物线的切线问题直线与抛物线的切线是指直线与抛物线相切于一点，并且与抛物线的曲线方向相切。

具体而言，直线与抛物线的切线有以下几个性质：1. 切线与抛物线相切于一个点。

2. 切线与抛物线的曲线方向相切，即切线与抛物线在交点处的切线方向相同。

3. 直线与抛物线的切点处的斜率相等。

解决直线与抛物线的切线问题可以利用导数的概念。

通过求解抛物线的导函数，并将直线方程与导函数相等，可以得到直线与抛物线的切点和切线方程。

例如，设抛物线的方程为 $y=ax^2+bx+c$，直线的方程为$y=mx+n$，其中 $a$、$b$、$c$、$m$、$n$ 为常数。

我们可以将直线方程代入抛物线方程中，然后求解方程组，得到直线与抛物线的切点。

进一步求解导函数，可以得到切线的斜率，从而得到切线的方程。

结论直线与抛物线的切线问题是一个基于导数的数学问题。

通过求解切点和斜率，可以得到直线与抛物线的切线方程。

这个问题不仅具有理论意义，而且在实际应用中也有很多重要的应用，例如物理学中的运动学问题等。

专题15 抛物线中的三类直线与圆相切问题-高中数学必备考试技能之二级结论提高速度原创精品(解析版)

的垂线,垂足分别为A1,B1,E AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=-p2为A1B1的中点.(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1A·BB1.(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.1,0时，．在平面直角坐标系()(1OC tOM t ON t =+-∈R (1)求证:;OA OB ⊥(2)在x 轴上是否存在一点(P m 求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由()(1OC tOM t ON t R =+-∈()()13314x --=-，即y x =-化简得212160x x -+=，设C 的轨迹与抛物线24y x =的交点坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，所以1212x x +=，1216x x =，()()()121212124441616y y x x x x x x =--=-++=- ，因为121216160OA OB x x y y ⋅=+=-=所以OA OB ⊥，（2）假设存在这样的P 点，并设AB 是过抛物线的弦，其方程为x ny m =+，代入24y x =得2440y ny m --=，此时124y y n +=，124y y m =-，计算两直线的斜率之积，所以121222121212164144OA OB y y y y k k y y x x y y m=⋅=⋅==-=-，所以4m =（定值），故存在这样的点()4,0P 满足题意，设AB 的中点为(),T x y ，则()12122y y y n =+=，()()()21212121144424222n x x x ny ny y y n =+=+++=++=+ ，消去n 得228y x =-．。

函数图像的切线问题(最新整理)

设切点为 P(x0，y0)，利用导数将切线方程表示为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再将
A(s,t)代入求出 x0. 2．两个函数图像的公切线
函数 y=f(x)与函数 y=g(x) 存在公切线，
若切点为同一点 P(x0，y0)，则有 Error!
若切点分别为(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),则有
y
kx
与曲线
y
l8n
x
有公共点，则
k
6
的最大值为
15 5
30
20 10
.
解：根据题8意画出右图，由图可知，当直线和曲线相切时， k 取8 得最大值.
设切点坐标为 x0,
y0
，则
y0
ln
x0
，
y
'
1 x
y ' 1 ，切线方程为
x 10x0
x0
y
ln
x0
1 x0
(x
x0 ) ，原点在切线上，ln
x0
4
A. 1 或 25 64
B. 1 或 21 4
C. 7 或 25 4 64
D. 7 或 7 4
思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线 y ax2 15 x 9 含有参数，所以考虑 4
先从常系数的曲线 y x3入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线
1， x0
e12
斜率的最大值为
1
.
e
例 10.曲线 y ex 在点 2, e2 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）
A. e2
B. 2e2
C. 4e2
e2
D.

高中抛物线中的三类直线与圆相切问题(含解析)

所以，，
，
因为
所以，
（2）假设存在这样的点，并设是过抛物线的弦，其方程为，
代入得，
此时，，计算两直线的斜率之积，
所以，
所以（定值），故存在这样的点满足题意，
设的中点为，
则，，
消去得．
高中抛物线中的三类直线与圆相切问题（含解析）
结
论
AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=- 的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中点.
(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.
(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1A·BB1.
针对训练*举一反三
1．已知抛物线的准线为l，记l与y轴交于点M，过点M作直线与C相切，切点为N，则以MN为直径的圆的方程为（）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【解析】，设切线，联立，故，，解得，故，则或
故以MN为直径的圆的方程为或，故选：C.
2．已知抛物线C：x2＝8y，过点M（x0，y0）作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，则y0的值为（）
(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.
解
读
圆锥曲线中的定值问题一直是近几年来高考试题中的热点问题。解决这类问题时，要善于在动点的“变”中寻求定值或定点的“不变”性，常用特殊值法先确定定点，再转化为有目标的一般性证明，从而达到解决问题的方法。
典
例
在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于于点，线段的垂直平分线交于点，设的轨迹为 .

抛物线上的切线方程

抛物线上的切线方程
首先，让我们回顾一下抛物线的基本定义。

抛物线是一种二次
函数的图像，其数学表达式通常为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为
常数且a不等于0。

抛物线可以是开口向上或者向下的，具体取决
于a的正负。

而抛物线上的切线则是指在抛物线上某一点处与该点
切线相切的一条直线。

现在让我们来看一下如何求解抛物线上某一点的切线方程。

假
设我们有一个抛物线的方程y=ax^2+bx+c，并且我们想要求解该抛
物线上横坐标为x0处的切线方程。

为了找到切线方程，我们首先需
要求解该点处的斜率。

抛物线上横坐标为x0处的切线斜率可以通过
对抛物线方程求导得到。

求导后的表达式即为切线的斜率。

假设我们求得的切线斜率为m，则切线方程可以表示为y = mx
+ c，其中c为截距。

为了求解截距c，我们可以利用切线经过抛物
线上的点(x0, y0)这一条件，将x0和y0代入切线方程中，然后解
出c的值。

通过以上步骤，我们可以得到抛物线上任意一点处的切线方程。

这个切线方程可以帮助我们更好地理解抛物线的性质，以及在实际
问题中的应用。

例如，在物理学中，抛物线上的切线方程可以用来描述物体在某一时刻的速度和加速度；在工程学中，可以用来优化曲线表面的设计和加工。

总之，抛物线上的切线方程是一个重要的数学工具，它有着广泛的应用价值。

通过深入理解和掌握抛物线上的切线方程，我们可以更好地解决实际问题，推动科学技术的发展。

高中数学抛物线中的切线问题

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变式 1:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M 为抛物线外任意一点,过 M 引抛物线的切线，切
点分别为 A，B ．设 A(x1,y1).试用 x1,y1 表示过 A
的切线方程
解: x2 2 py 得 y x2 ，得 y x
2p
p
y'
x x1
x p
x x1
x1 p
过A( x1 ,
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求过 A, B 两点的直线方程。
.
10
.
变式 3 如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求
过 A, B 两点的直线方程为: x0 x p( y y0 )
11
结论2:
1.P(x0 , y0 )是抛物线x2 =2py外一点,过P点作抛物线的两条切线,切点分别为A(x1, y1), B(x2 , y2 ),则
直线AB的方程为: x0 x=p(y+y0 )
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变式4:设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，若 M(x0, p )是抛物线准线l上任意一点,焦点为F,
y1)的切线方程为:y-y1
x1 p
(x
x1 )
即: py py1 x1x x12 x1x 2 py1
4
变式 1:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ， M(x0,y0)为抛物线外任意一点,过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B ．设 A(x1,y1).试用 x1,y1 表
6

抛物线上点的切线方程

抛物线上点的切线方程
《抛物线上点的切线方程》是数学中的一个重要概念，它是抛物线上任意一点的切线的方程。

抛物线是一种二次曲线，它的方程一般形式为y=ax²+bx+c，其中a≠0。

抛物线上任意
一点的切线方程可以用一般式y-y1=k(x-x1)表示，其中(x1，y1)是抛物线上的任意一点，k
是抛物线上任意一点切线的斜率。

抛物线上任意一点的切线方程可以用微积分的概念来求解，即抛物线的导数就是抛物线上任意一点的切线斜率，这样就可以求出抛物线上任意一点的切线方程。

抛物线上点的切线方程是求解抛物线的重要步骤，它在求解几何问题中也有着重要的作用，比如求解抛物线上两点的连线，求解抛物线上点的切点等等。

《抛物线上点的切线方程》是一个重要的概念，它在数学中有着重要的作用，可以用微积分的概念来求解，并且在几何问题中也有着重要的应用。

抛物线与直线相切的切线方程斜率

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