《高等数学下册》(资料全集)D113-PPT课件
合集下载
高等数学PPT(电子高专)
y = f [ϕ(x)]
因变量 内部函数
外部函数
初等函数 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及 有限次的复合所构成并且可以用一个式子表示的 函数，称为初等函数. 初等函数. 初等函数
y 如 y = ln(sin 2x) + x2， = e
arctan x
+ cos x 等都是初等函数，
而 y = x 不是初等函数。
背景12函数的极限121函数的极限的概念函数的极限122单侧极限123数列的极限124无穷大与无穷小125函数极限的运算第一节函数及其图形一案例二概念和公式的引出三进一步练习121函数极限的概念一一案例将一盆80房间里水的温度将逐渐降低随着时间的推移水温会越来越接近室温20案例1水温的变化趋势在某一自然保护区中生长的一群野生动物其群体数量会逐渐增长但随着时间的推移由于自然环境保护区内各种资源的限制这一动物群体不可能无限地增大它应达到某一饱和案例2自然保护区中动物数量的变化规律状态如右图所示
1 t ≥ 0 u(t) = 0 t < 0
练习5 个人所得税 个人所得税] 练习 [个人所得税 我国于1993年10月31日发布的《中华人民共和国 个人所得税法》规定月收入超过800元为应纳税所得 额（表中仅保留了原表中前2级的税率）．
级 数 1 2 全 月 应 纳 税 所 得 额 不超过500元部分 不超过500元部分 500 超过500元至2000元部分 超过500元至2000元部分 500元至2000 税 率 (％) 5 10
0 f (x) = A
−π ≤ x < 0 0 ≤ x <π
二、 概念和公式的引出 分段函数 在不同的定义域上用不同的函数表达式 表示的函数称为分段函数 分段函数． 分段函数
《高等数学下教学资料》课件
二重积分的计算方法
总结词
二重积分的计算方法和步骤
详细描述
二重积分的计算方法包括直角坐标系法和极坐标系法。在直角坐标系中，将二重积分转化为累次积分 ，通过逐次积分来计算。在极坐标系中，将二重积分转化为极坐标形式，利用极坐标的性质简化计算 。
三重积分的概念与计算
总结词
三重积分的概念、性质和计算方法
详细描述
三重积分是定积分在三维空间中的扩展，用于计算三维物体的体积和更复杂几何形状的量。它具有连续性、可加 性和可交换性等性质。三重积分的计算方法包括直角坐标系法、柱面坐标系法和球面坐标系法，根据不同的几何 形状选择合适的坐标系进行计算。
04
曲线积分与曲面积分
曲线积分的概念与性质
曲线积分定义
曲线积分是计算函数在曲线上的积分值，其定义为函数在曲线上的 每一点处的值与该点处切线的角度的正弦或余弦值的乘积的积分。
数项级数是无穷多个数按照一定的顺序排列 的序列，其和为有限或无限。
数项级数的性质
数项级数具有可加性、可减性、可乘性和可 除性等基本性质。
数项级数的收敛与发散
数项级数收敛时，其和为有限；发散时，其 和为无限。
数项级数的极限
数项级数的极限是数列的极限的推广，其性 质与数列的极限类似。
函数项级数的概念与性质
线的方向和斜率的关键。
全微分的概念
表示函数在某点处所有方向上的变化 量的总和，是偏导数的线性组合。
全微分的应用
用于近似计算函数在某点处的值，以 及判断函数在某点处的连续性和可微
性。
多元函数的极值
极值的定义
函数在某点的值大于或小于其邻 近点的值，是研究函数最优化的 关键概念。
极值的判定条件
包括一阶条件和二阶条件，用于 判断函数在某点处是否取得极值 以及极值的类型。
《同济版高数下》PPT课件
L
a
f ( x, y, z)dS f [x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy
Dxy
(dS面元素(曲))
R( x, y, z)dxdy f [x, y, z( x, y)]dxdy
Dxy
(dxdy面元素(投影))
其中 L Pdx Qdy L(P cos Q cos )ds
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式
添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
2
2
例 求柱面 x3 y3 1在球面 x2 y2 z2 1内
的侧面积.
2019/5/6
习题课
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
一、主要内容
（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
（一）曲线积分与曲面积分
对弧长的 曲线积分
对面积的 曲面积分
曲
曲
线
联计
联计 面
积
系算
系算 积
分
分
对坐标的 曲线积分
对坐标的 曲面积分
曲线积分
对弧长的曲线积分
其中 L为由点(a,0)到点(0,0)的上半圆周 x2 y2 ax, y 0.
2019/5/6
24
例 计算
L
xdy 4x2
yyd2x，其中L是以
1,
0
为
为中心，R为半径 R 1的圆，逆时针方向
《高数基础知识》课件
05
CHAPTER
空间解析几何
空间直角坐标系是描述空。
空间直角坐标系
在空间直角坐标系中，点的位置可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴。
点的坐标表示
在空间解析几何中，向量可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴上的分量。
平面与直线的交点
如果一条直线和一个平面相交，那么它们的交点可以用直线和平面的方程联立求解得到。
平面与平面的交线
如果两个平面相交，那么它们的交线可以用两个平面的方程联立求解得到。
06
CHAPTER
多项式函数与插值法
多项式的定义
多项式是数学中一个基本概念，由一个或多个项通过加法或减法组合而成。
多项式的根
总结词
详细描述
总结词
掌握极限的四则运算法则，理解极限运算的基本方法
详细描述
极限的四则运算法则包括加减乘除和复合运算，是研究函数极限行为的基础。极限运算的基本方法包括利用极限的四则运算法则、等价无穷小替换、洛必达法则等，这些方法可以帮助我们求解各种极限问题，并进一步研究函数的性质和变化规律。
03
CHAPTER
样条插值法的应用
THANKS
感谢您的观看。
详细描述
总结词
高数的发展历程
详细描述
高数的发展可以追溯到17世纪，随着微积分学的发展，高数逐渐形成并完善。在18世纪和19世纪，高数的发展取得了巨大的进步，许多数学家如欧拉、高斯等都为高数的发展做出了杰出的贡献。
总结词
高数在日常生活和科学中的应用
详细描述
高数在日常生活和科学中有着广泛的应用。例如，在物理学中，高数被用于描述和解决力学、电磁学、光学等领域的问题；在经济学中，高数被用于研究金融、投资、贸易等问题；在工程学中，高数被用于设计、分析、优化各种系统和结构。
CHAPTER
空间解析几何
空间直角坐标系是描述空。
空间直角坐标系
在空间直角坐标系中，点的位置可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴。
点的坐标表示
在空间解析几何中，向量可以用三个坐标来表示，这三个坐标分别对应于三个坐标轴上的分量。
平面与直线的交点
如果一条直线和一个平面相交，那么它们的交点可以用直线和平面的方程联立求解得到。
平面与平面的交线
如果两个平面相交，那么它们的交线可以用两个平面的方程联立求解得到。
06
CHAPTER
多项式函数与插值法
多项式的定义
多项式是数学中一个基本概念，由一个或多个项通过加法或减法组合而成。
多项式的根
总结词
详细描述
总结词
掌握极限的四则运算法则，理解极限运算的基本方法
详细描述
极限的四则运算法则包括加减乘除和复合运算，是研究函数极限行为的基础。极限运算的基本方法包括利用极限的四则运算法则、等价无穷小替换、洛必达法则等，这些方法可以帮助我们求解各种极限问题，并进一步研究函数的性质和变化规律。
03
CHAPTER
样条插值法的应用
THANKS
感谢您的观看。
详细描述
总结词
高数的发展历程
详细描述
高数的发展可以追溯到17世纪，随着微积分学的发展，高数逐渐形成并完善。在18世纪和19世纪，高数的发展取得了巨大的进步，许多数学家如欧拉、高斯等都为高数的发展做出了杰出的贡献。
总结词
高数在日常生活和科学中的应用
详细描述
高数在日常生活和科学中有着广泛的应用。例如，在物理学中，高数被用于描述和解决力学、电磁学、光学等领域的问题；在经济学中，高数被用于研究金融、投资、贸易等问题；在工程学中，高数被用于设计、分析、优化各种系统和结构。
《高等数学(下册)》课件 高等数学 第10章
对于正态分布总体（对其他分布的总体，当样本容量 ≥30 时，可近似看成正态分布），如果已知总体标准差为σ ，样本 均值为 X ，则在置信度为 1 α 下，总体均值 μ 的置信区间为
(X
σ
n
U
α 2
，X
σ
n
U
α 2
)
〔1〕
其中，U α 为标准正态分布的双侧 a分位点， n为样本容量。
2
在上面的置信区间中，X 为点估计值。置信区间实际上是以X
图10-1
称满足条件
P(| X | U α ) α
2
的点 U α 为标准正态分布的双侧 a
2
分位点或双侧临界值，简称双a
点，其几何意义如图10-2所示。
图10-2
在统计中， Ua 可直接根据式（8）查书后附录三（正态分布
表）求得；U α
2
可由
P( X
Uα)
2
α 2
查表求得。
例1 某种灯泡的寿命从正态分布，总体均值为200，总体标准差为 40，从该总体中抽取一个容量为20的简单随机样本，求这一样本 的均值介于190~210 的概率。
X
2 2
X
2 3
...
X
2 n
式右端包含独
立变量的个数。
χ 2 分布的概率密度函数为
f
( y)
2
n 2
1
n 2
n 1 y
y2 e 2
，y
0
0 ，
y0
其图形如图10-3所示。
图10-3
由于用 χ2分布的概率密度计算较为困难，对不同的自由度 n 及不同的数 α (0 α 1) ，书后附了 χ2分布表（附录四），类似于
(X
σ
n
U
α 2
，X
σ
n
U
α 2
)
〔1〕
其中，U α 为标准正态分布的双侧 a分位点， n为样本容量。
2
在上面的置信区间中，X 为点估计值。置信区间实际上是以X
图10-1
称满足条件
P(| X | U α ) α
2
的点 U α 为标准正态分布的双侧 a
2
分位点或双侧临界值，简称双a
点，其几何意义如图10-2所示。
图10-2
在统计中， Ua 可直接根据式（8）查书后附录三（正态分布
表）求得；U α
2
可由
P( X
Uα)
2
α 2
查表求得。
例1 某种灯泡的寿命从正态分布，总体均值为200，总体标准差为 40，从该总体中抽取一个容量为20的简单随机样本，求这一样本 的均值介于190~210 的概率。
X
2 2
X
2 3
...
X
2 n
式右端包含独
立变量的个数。
χ 2 分布的概率密度函数为
f
( y)
2
n 2
1
n 2
n 1 y
y2 e 2
，y
0
0 ，
y0
其图形如图10-3所示。
图10-3
由于用 χ2分布的概率密度计算较为困难，对不同的自由度 n 及不同的数 α (0 α 1) ，书后附了 χ2分布表（附录四），类似于
《高等数学课件PPT》-完整详细版
1
微积分基本定理
微积分基本定理的概念和推导，描述定积分和不定积分之间的关系。
2
带变限积分
带变限积分的计算方法和几何解释，通过例题演示如何求解带变限积分。
极限和连续
深入介绍极限和连续的概念、性质和运算法则，帮助学生理解和掌握这两个重要概念。
极限
数列极限和函数极限的定义和性质，常见的极限计 算方法和极限存在准则。
连续
函数连续的定义和判定条件，连续函数的性质和运 算法则。
函数及其图像
介绍函数的概念和性质，以及如何通过绘制函数图像来更好地理解函数。
函数
函数的定义、定义域、值域和性质，常见函数类型 和函数之间的关系。
图像
绘制函数图像的方法和技巧，通过观察图像认识函 数的特点和变化趋势。
导数和微分
介绍导数和微分的概念、性质和计算方法，以及它们在几何和物理中的应用。
1 导数
导数的定义和性质，导数的计算方法和常见 函数的导数公式。
2 微分
微分的概念和计算方法，微分在几何和物理 中的应用。
《高等数学课件PPT》-完整详 细版
一份完整详细的高等数学课件PPT，深入介绍高等数学的各个知识点，帮助 学生更好地理解和掌握这门重要学科。
课程目标和重要性
通过介绍高等数学课程的学习目标和重要性，帮助学生明确学习目标，激发学习兴趣，并认识到 高等数学在现实生活和学科发展中的广泛应用。
学习目标
深入理解高等数学的各个概念和方法，提高解决数学问题的能力。
不定积分与牛顿-莱布尼茨公式
深入研究不定积分的概念、性质和计算方法，以及牛顿-莱布尼茨公式的推导和应用。
1 不定积分
不定积分的定义和计算方法，常见函数的不 定积分公式。
高等数学课件完整
要点二
二重积分的性质
二重积分具有一些基本性质，如线性性、可加性、保号性 等。这些性质在求解二重积分时非常有用。
07 无穷级数
常数项级数的概念与性质
常数项级数的定义
由一系列常数按照一定顺序排列并加上正负号组 成的无穷序列。
收敛与发散
常数项级数可能收敛于一个有限值，也可能发散 至无穷大或不存在。
级数的基本性质
特点
高等数学具有抽象性、严谨性和 应用广泛性等特点，需要学生具 备较强的逻辑思维能力和数学基 础。
高等数学的重要性
培养逻辑思维能力
高等数学的学习有助于培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学 素养和解决问题的能力。
为后续课程打下基础
高等数学是许多后续课程的基础，如物理学、工程学、经济学等， 掌握高等数学有助于学生更好地理解和应用这些学科的知识。
不定积分的性质
不定积分具有线性性、 可加性、常数倍性等基 本性质，这些性质在求 解积分时非常有用。
基本积分公式
掌握基本积分公式是求 解不定积分的基础，如 幂函数、指数函数、三 角函数等的基本积分公 式。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分学中的另一个重 要概念，它表示函数在某个区
间上的积分值。定积分记为 ∫[a,b]f(x)dx，其中a和b是积
函数的性质
函数具有有界性、单调性、奇偶性、周 期性等重要性质，这些性质对于研究函 数的图像和变化规律具有重要意义。
极限的概念与性质
1 2 3
极限的定义
极限是描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势 的重要工具，它可以通过不同的方式定义，如数 列极限、函数极限等。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保号性、四则运算法 则等重要性质，这些性质对于求解极限问题和证 明极限定理具有重要作用。
《高等数学说课》ppt课件完整版
课堂展示和交流互动
鼓励学生进行课堂展示和交流互动， 提高表达能力和交流能力。
05
评价反馈及持续改进
学生成绩评定方法介绍
平时成绩
包括作业、课堂表现、小测验等，占总评的一 定比例。
期末考试成绩
全面考核学生对本学期所学知识的掌握程度， 占总评的主要部分。
附加分
鼓励学生参加数学竞赛、科研活动等，取得优异成绩者可获得附加分。
科研项目支持
学校鼓励教师申报各类科研项目，提供经费 和政策支持，推动高等数学的科研水平和创 新能力不断提升。同时，学生也可以参与到 教师的科研项目中，锻炼自己的实践能力和 创新能力。
THANKS
感谢观看
涵盖微积分、线性代 数、常微分方程等多 个分支
教学目标与要求
掌握高等数学的基本概念 和基本方法
提高学生运用数学知识解 决实际问题的能力
培养学生的数学素养和计 算能力
要求学生具备严谨的数学 思维和良好的学习习惯
教材选用及特点
01
选用国内外经典教材，如《高等数学》 （同济版）等
02 教材内容系统完整，注重基础性和应用性
根据总课时和学校教学周 数，合理安排每周的课时。
进度计划
按照教学大纲和教材内容， 制定详细的教学进度计划， 确保按时完成教学任务。
辅导答疑及作业布置
辅导答疑
安排固定的辅导答疑时间， 为学生提供及时的帮助和 指导。
作业布置
根据教学内容和进度，合 理布置课后作业，巩固所 学知识。
作业批改与反馈
及时批改作业，并给出详 细的批改意见和反馈，帮 助学生更好地掌握所学知 识。
《高等数学说课》ppt 课件完整版
contents
目录
• 课程背景与目标 • 教学内容与计划 • 教学方法与手段 • 学生能力培养方案 • 评价反馈及持续改进 • 资源保障条件说明
鼓励学生进行课堂展示和交流互动， 提高表达能力和交流能力。
05
评价反馈及持续改进
学生成绩评定方法介绍
平时成绩
包括作业、课堂表现、小测验等，占总评的一 定比例。
期末考试成绩
全面考核学生对本学期所学知识的掌握程度， 占总评的主要部分。
附加分
鼓励学生参加数学竞赛、科研活动等，取得优异成绩者可获得附加分。
科研项目支持
学校鼓励教师申报各类科研项目，提供经费 和政策支持，推动高等数学的科研水平和创 新能力不断提升。同时，学生也可以参与到 教师的科研项目中，锻炼自己的实践能力和 创新能力。
THANKS
感谢观看
涵盖微积分、线性代 数、常微分方程等多 个分支
教学目标与要求
掌握高等数学的基本概念 和基本方法
提高学生运用数学知识解 决实际问题的能力
培养学生的数学素养和计 算能力
要求学生具备严谨的数学 思维和良好的学习习惯
教材选用及特点
01
选用国内外经典教材，如《高等数学》 （同济版）等
02 教材内容系统完整，注重基础性和应用性
根据总课时和学校教学周 数，合理安排每周的课时。
进度计划
按照教学大纲和教材内容， 制定详细的教学进度计划， 确保按时完成教学任务。
辅导答疑及作业布置
辅导答疑
安排固定的辅导答疑时间， 为学生提供及时的帮助和 指导。
作业布置
根据教学内容和进度，合 理布置课后作业，巩固所 学知识。
作业批改与反馈
及时批改作业，并给出详 细的批改意见和反馈，帮 助学生更好地掌握所学知 识。
《高等数学说课》ppt 课件完整版
contents
目录
• 课程背景与目标 • 教学内容与计划 • 教学方法与手段 • 学生能力培养方案 • 评价反馈及持续改进 • 资源保障条件说明
高等数学 下册-偏导数 ppt课件
p V T RT 1 V T p pV
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )
第二节 偏 导 数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
第八章
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u o
u ( x0 , t )
u(x , t )
x0
x
;
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) lim 0 x f ( x x x) f ( x0 ) d y 0 f ( x0 ) lim x 0 x d x x x0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
f y
是曲线
x x0 y y0
Tx
y0
Ty
o x
y
d f ( x0 , y) y y0 dy
x0
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
斜率.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意： 函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.
xy , x2 y2 0 2 例如, z f ( x, y ) x y 2 0 , x2 y2 0
高等数学第六版上下册(全)(同济大学出版社)
它们都单调递增, 其图形关于直线 y x 对称 .
目录 上页 下页 返回 结束
(2) 复合函数 设有函数链
xg D
u
f
Rg D f
y
y f (u), u Df
①
u g(x), x D, 且 Rg D f
②
则
y f [g(x)] , x D
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
f 1 : f (D) D, 使 y f (D), f 1( y) x , 其中f (x) y, 称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成 y f 1(x) , x f (D)
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数 y f 1(x) 存在,
值域 f (D) [0, ) y 2 x
f
(
1 2
)
2
1 2
2
O
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
1
x
目录 上页 下页 返回 结束
2. 函数的几种特性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
(1) 有界性
x D , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 为有界函数. x I , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
目录 上页 下页 返回 结束
(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若 f (x) f (x), 则称 f (x) 为偶函数;
y
若 f (x) f (x),则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当
高等数学完整详细PPT课件
解
原式
lim a cos ax sinbx x0 bcos bx sinax
cos bx lim x0 cos ax
1.
第27页/共175页
例5 求 lim tan x . x tan 3 x
2
解
原式
lim
x
sec2 3sec2
x 3x
1 3
lim
x
cos2 3x cos2 x
2
2
1 lim 6cos 3x sin3x lim sin6x
第14页/共175页
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明:
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g( x) x2 ,
F(b) F(a) f (b) f (a) f () .
F (b) F (a) F ()
当 F ( x) x, F (b) F (a) b a, F ( x) 1,
f (b) f (a) f () F (b) F (a) F ()
f (b) f (a) f (). ba
第10页/共175页
例3 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x) f (0) f ()( x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
高等数学ppt课件
05
常微分方程初步
常微分方程基本概念
1 2
常微分方程定义
明确常微分方程的定义，包括独立变量、未知函 数、方程阶数等概念。
初始条件和边界条件
解释初始条件和边界条件在解常微分方程中的作 用和意义。
3
常微分方程的解
阐述通解、特解、隐式解、显式解等概念，并举 例说明。
一阶常微分方程解法
分离变量法
介绍分离变量法的原理、步骤和适用范围，通 过实例演示其应用。
向量积定义
两向量按照右手定则所构成的平行四边形的面积，结果为一向量，可用于计算法向量、判断三向量共 面等。
平面和直线方程求解方法
要点一
平面方程求解方法
包括点法式、一般式等，用于确定平面在空间中的位置。
要点二
直线方程求解方法
包括点向式、参数式等，用于确定直线在空间中的位置和 方向。
常见曲面方程及其图形特征
为未来职业生涯打基础
许多行业都需要具备一定的数学基础 ，学习高等数学有助于为未来职业生 涯打下坚实基础。
02
函数与极限
函数概念与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数值、定义域、值域等概念。
函数性质
介绍函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并举例说明。
初等函数及其图像
基本初等函数
详细讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的定义、性质和图像。
隐函数求导法
阐述隐函数存在定理，介绍隐函数求导方法及应用实例。
二重积分定义和计算方法
二重积分定义
阐述二重积分概念、性质及实际意义，介绍 二重积分在物理、工程等领域的应用。
二重积分计算方法
分别介绍直角坐标系和极坐标系下二重积分 的计算方法，包括累次积分法、换元积分法
高数(下册)复习资料完整
高等数学(向量代数—>无穷级数)知识点向量与空间几何向量：向量表示((a^b));向量运算(向量积)；向量的方向和投影空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；直线方程(参数方程和投影方程)平面方程：点法式(法向量)、一般式、截距式；平面夹角和距离直线方程：一般式、对称式(方向向量)、参数式；直线夹角；平面交线(法向量积)切平面和切线：切线与法平面；切平面与法线多元函数微分学多元函数极限：趋近方式，等阶代换偏微分和全微分：高阶微分(连续则可等)；复合函数求导(Jacobi行列式)；多元函数极值：偏导数判定；拉格朗日乘数法(条件极值)重积分二重积分：直角坐标和极坐标；对称性；换元法三重积分：直角坐标、柱坐标和球坐标；对称性重积分的应用：曲面面积；质心；转动惯量；引力曲线与曲面积分曲线积分：弧长积分；坐标曲线积分(参数方程)；格林公式面积积分：对面积积分；坐标面积积分；高斯公式无穷级数级数收敛：通项极限正项级数：调和级数；比较法和比较极限法；根值法；极限法；绝对收敛和条件收敛幂级数：收敛半径和收敛域；和函数；麦克劳林级数(二次展开)Fourier级数：傅里叶系数(高次三角函数积分)；奇偶延拓；正弦和余弦级数；一般周期的傅里叶级数矢量分析与场论(空间场基础)方向导数与梯度方向导数：向量参数式；偏导数；方向余弦梯度(grad)：方向导数的最值；梯度方向；物理意义(热导方向与电场方向)格林公式：曲线积分—>二重积分；曲线方向与曲面方向全微分原函数：场的还原；折线积分通量与散度高斯公式：闭合曲面—>三重积分；曲面外侧定向；曲面补齐；向量表达(通量)散度(div)：通量的体积元微分；物理意义(有源场(电场)) 环流量与旋度斯托克斯公式：闭合曲线—>曲面积分；向量积定向；行列式表达；向量表达；物理意义(环通量)旋度(rot)：行列式斯托克斯公式；物理意义(有旋场(磁场))向量代数定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+c a b =－=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠，则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y z a a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，coscos y x z a a a aaaαβγ===，cos ，coscos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积） θcos b a b a =⋅，θ为向量a 与b 的夹角 z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a叉乘（向量积）b ac ⨯=θsin b a c =θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ，b 都垂直 zyxz y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行 //0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔== 交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y za b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++空间曲面∑：0),,(=z y x F法向量000000000((,,),(,,),(,,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=法“线“方程：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- ),(y x f z = 0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =--或0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =-切平“面”方程：0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x法“线“方程：1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 重积分 积分类型计算方法典型例题二重积分()σd ,⎰⎰=Dy x f I平面薄片的质量质量=面密度⨯面积（1） 利用直角坐标系X —型⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφY —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕP141—例1、例3（2）利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含22()x y α+,α为实数)21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤0θπ≤≤2πθπ≤≤P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）P141—例2应用该性质更方便所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
高数下册总复习知识点.pptx
F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 ,
0
(取 x为参数)
i jk
取T Fx Fy Fz
切线方程为
Gx Gy Gz M
x x0 y y0 z z0 ,
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz M Gz Gx M Gx Gy M
法平面方程为
Fy Gy
Fz Gz
M
(x
x0 )
它们距离为
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
2、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式 a b axbx a yby azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
axbx a yby azbz
ax2
函数连续
函数可导
有极限
函数可微 偏导数连续
4、多元复合函数求导法则
中间变量均为一元函数的情形
定理1 若函数
在点t处可导，z f (u, v)
在点 处偏导连续, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z du z dv dt u dt v dt
z
u v
1
旋 转 椭 球 面
z
o
y
x
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
x2 y2 z2 1
x2 y2 z2
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
x2 a2
y2 a2
z2 c2
高等数学(下册)D113幂级数
乘法性质
对于任意非零实数$x$和$y$，有$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n y^n = (sum_{n=0}^{infty} a_n x^n) (sum_{n=0}^{infty} a_n y^n)$。
加法性质
对于任意实数$x_1, x_2$，有$sum_{n=0}^{infty} a_n (x_1 + x_2)^n = sum_{n=0}^{infty} a_n x_1^n + sum_{n=0}^{infty} a_n x_2^n$。
04
幂级数的应用举例
利用幂级数求定积分
幂级数展开法
通过将原函数表示为幂级数，再逐项积分，得到定积 分的值。
几何意义法
利用幂级数的几何意义，通过求曲线下面积的方法来 求解定积分。
数值计算法
利用幂级数的数值计算方法，如梯形法、辛普森法等， 求解定积分的近似值。
利用幂级数求解微分方程
幂级数解法
通过将微分方程的解表示为幂级数，然后代入 微分方程求解。
02
通过将自变量代入泰勒级数的展开式中，可以得到函数的近似
值。
当需要高精度计算时，可以增加泰勒级数的项数，但计算量也
03
会相应增加。
THANKS
感谢观看
初始条件处理
在求解过程中，需要合理处理微分方程的初始 条件，确保解的正确性。
收敛性判断
在求解过程中，需要判断幂级数的收敛性，以确保解的合理性。
利用幂级数近似计算函数值
泰勒级数展开
01
利用泰勒级数的展开式，将函数表示为幂级数，然后代入自变
量值计算函数值。
截断误差控制
02
在利用幂级数近似计算函数值时，需要控制截断误差的大小，
对于任意非零实数$x$和$y$，有$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n y^n = (sum_{n=0}^{infty} a_n x^n) (sum_{n=0}^{infty} a_n y^n)$。
加法性质
对于任意实数$x_1, x_2$，有$sum_{n=0}^{infty} a_n (x_1 + x_2)^n = sum_{n=0}^{infty} a_n x_1^n + sum_{n=0}^{infty} a_n x_2^n$。
04
幂级数的应用举例
利用幂级数求定积分
幂级数展开法
通过将原函数表示为幂级数，再逐项积分，得到定积 分的值。
几何意义法
利用幂级数的几何意义，通过求曲线下面积的方法来 求解定积分。
数值计算法
利用幂级数的数值计算方法，如梯形法、辛普森法等， 求解定积分的近似值。
利用幂级数求解微分方程
幂级数解法
通过将微分方程的解表示为幂级数，然后代入 微分方程求解。
02
通过将自变量代入泰勒级数的展开式中，可以得到函数的近似
值。
当需要高精度计算时，可以增加泰勒级数的项数，但计算量也
03
会相应增加。
THANKS
感谢观看
初始条件处理
在求解过程中，需要合理处理微分方程的初始 条件，确保解的正确性。
收敛性判断
在求解过程中，需要判断幂级数的收敛性，以确保解的合理性。
利用幂级数近似计算函数值
泰勒级数展开
01
利用泰勒级数的展开式，将函数表示为幂级数，然后代入自变
量值计算函数值。
截断误差控制
02
在利用幂级数近似计算函数值时，需要控制截断误差的大小，
高等数学ppt课件
定积分的性质
定积分具有可加性、可积性、可微性等性质 。
定积分的应用
01
02
03
几何应用
定积分可以用于计算平面 图形和三维物体的面积和 体积，如矩形、圆形、球 体等。
物理应用
定积分可以用于计算变力 沿直线做功、液体压力等 物理问题。
经济应用
定积分可以用于计算经济 指标，如成本、收益、利 润等。
05
多重积分与向量分析
多重积分的概念与性质
多重积分的定义
多重积分是单变量积分概念的推广，它涉及多个变量 的积分。多重积分可以看作是对于每个变量进行积分 ，然后将结果相乘。
多重积分的性质
多重积分的性质包括积分的可加性、积分的可交换性、 积分的可结合性等。这些性质与单变量积分的性质类似 ，但需要考虑到多个变量的复杂性。
函数定义
函数是一种数学工具，它建立了数与数之间的对应关系，可以将一个数集中的每一个数唯一地映射到另一个数集中。 函数的性质包括定义域、值域、对应关系等。
函数的表示方法
函数的表示方法有表格法、图示法和解析法等，其中解析法是最常用的方法之一。解析法是通过数学表达式来表示函 数的关系。
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某区间内的单调递增或单调递减的性质。单调函数具有连续性和可导性等性质 。
03
导数与微分
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数值随自变量改变速率的 方式，是函数局部性质的重要体现。
VS
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率，即函 数在这一点处切线的斜率。导数的基本性 质包括：（1）常数函数的导数为零；（ 2）导函数在某点的极限就是原函数在该 点的导数值；（3）两个函数相加或相减 后的导数等于各自导数之和或之差；（4 ）常数倍函数的导数等于该常数乘以原函 数的导数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n
x M x0
n0
n
x M 当 x x 0 时, x0 n 0
故原幂级数绝对收敛 .
n
收敛, a n x n 也收敛,
反之, 若当 x x0 时该幂级数发散 , 下面用反证法证之.
假设有一点 x 1 满足 x 1 x 0 且使级数收敛 , 则由前
面的证明可知, 级数在点 x0 也应收敛, 与所设矛盾, 故假设不真. 所以若当 x x0 时幂级数发散 , 则对一切
0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; 在[－R , R ]
可能收敛也可能发散 . R 外发散; 在 x
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
发
散
收
o 敛
发
散
x
YANGZHOU UNIVERSITY
第三节
幂级数
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
第十一章
YANGZHOU UNIVERSITY
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、 函数项级数的概念
为定义在区间 I 上的函数, 称 ( x ) ( n 1 , 2 , ) 设u n
n 1
u ( x ) u ( x ) u ( x ) u ( x ) n 1 2 n
为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对x I, 若常数项级数 u n ( x 0 ) 收敛, 称 x0 为其收 0
n 1
敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 u n ( x 0 ) 发散 , 称 x0 为其发散点, 所有
n 1
发散点的全体称为其发散域 .
YANGZHOU UNIVERSITY
( n 0 , 1 , ) 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 a 称 n
为幂级数的系数 . 下面着重讨论 x0 0的情形, 即
n0
2 n an xn a a x a x a x 0 1 2 n
1 x , x 1 即是此种情形. 例如, 幂级数 1 x n 0 YANGZHOU UNIVERSITY
机动 目录 上页 下页 返回 结束
在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 S(x) , 称它 为级数的和函数 , 并写成
S(x) un(x)
n 1
若用 Sn (x) 表示函数项级数前 n 项的和, 即
Sn(x) uk (x)
k 1
n
令余项
r ( x ) S ( x ) S ( x ) n n
1 x 1 x n0
n
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [ 1 ， ） ,或写作 x 1.
n x x (x0 ),当 又如, 级数 2 x 1 时收敛 , n 0 n n
但当 0 x 1 时 ,lim u ( x ) ,级数发散 ; n
满足不等式 x x 0 的 x , 原幂级数也发散 .
YANGZHOU UNIVERSITY
机动 目录 上页 下页 返回 结束
证毕
由Abel 定理可以看出,
中心的区间.
n0
a n x n 的收敛域是以原点为
用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = 时, 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
a 1 定理2. 若 a n x 的系数满足 lim n , 则 n a n0 n 1) 当 ≠0 时, R 1 ;
n
2) 当 ＝0 时, R ;
3) 当 ＝∞时, R0.
证:
n 1 a x a n 1 n 1 lim n lim x x n a n a x n n
绝对收敛 , 因此 R ;
, 3) 若 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,
因此 R0.
说明:据此定理
an a x n 的收敛半径为 R nlim an1 n0
则在收敛域上有
n பைடு நூலகம்
lim S ( x ) S ( x ) , n
n
lim r ( x ) 0 n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
YANGZHOU UNIVERSITY
例如, 等比级数
n 0
x 1 x x x
n 2 n
它的收敛域是 ( 1 ,1 ),当 x ( 1 , 1 ) 时 , 有和函数
1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知:
1 , 即 x 当 x
YANGZHOU UNIVERSITY
1
时, 原级数收敛;
当 x 1 , 即 x 1 时, 原级数发散.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1 因此级数的收敛半径 R . , 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数 2) 若 0
n
所以级数的收敛域仅为 x 1.
YANGZHOU UNIVERSITY
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、幂级数及其收敛性
形如
n0
n 2 a ( x x ) a a ( x x ) a ( x x ) n 0 01 0 2 0
n a ( x x ) n 0
n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数
n0
an x n
在 x x 点收敛 ,则对满足不等式 x x 0 0
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当 x x0 时该幂级数发散 , 则对满足不等式
x x 0 的一切 x , 该幂级数也发散 .
证: 设
n0
n n 收敛, 则必有 lim a n x0 a x ,于是存在 n 0 0 n
n a x M ( n 1 ,2 , ) n0
常数 M > 0, 使
发 散
收敛 发散
收
o 敛
发
散
x
YANGZHOU UNIVERSITY
阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束
n x x n n n a nx a nx 0 n anx0 x0 x 0