2019-2020学年天津市南开区南开中学高一期中数学试题(解析版)

2019-2020学年天津市南开区南开中学高一期中数学试题一、单选题1．已知R 是实数集，集合{}3|12,|02A x x B x x ⎧⎫=<<=<<⎨⎬⎩⎭，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．[]0,1B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(0,1)【答案】B【解析】阴影部分对应的集合为R C A ∩B ，利用集合的基本运算即可得到结论． 【详解】由题可知阴影部分对应的集合为R C A ∩B ， ∵R C A ＝{x |x 1≤或x 2≥}， B ＝{x |0＜x 32＜}，∴R C A ∩B ＝{x |0＜x 1≤}=(0，1]， 故选B ． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合关系确定阴影部分的集合是解决本题的关键． 2．命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是（ ） A ．不存在0x R ∈，020x > B ．存在0x R ∈，020x ≥ C ．对任意的x ∈R ，020x ≤ D ．对任意的x ∈R ，020x >【答案】D【解析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】Q 特称命题的否定是全称命题.∴命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是：“对任意的x ∈R ，020x >”.故选：D. 【点睛】本题主要考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查，属于容易题．3．若函数()f x 是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在[2)+∞，上是减函数，则（ ） A ．(2)(3)(4)f f f --＜＜ B ．(3)(2)(4)f f f --＜＜ C ．(4)(3)(2)f f f --＜＜ D ．(3)(4)(2)f f f --＜＜【答案】C【解析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化判断即可． 【详解】解：∵f （x ）是偶函数，且函数f （x ）在[2，+∞）上是减函数， ∴f （4）＜f （3）＜f （2）， 即f （﹣4）＜f （3）＜f （﹣2）， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．4．设{}1,1,2,3a ∈-，则使函数a y x =的值域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3 B ．1-，1 C ．1-，3 D ．1-，1，3【答案】A【解析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可． 【详解】当1a =-时，11y xx-==，为奇函数，但值域为{}0x x ≠，不满足条件. 当1a =时，y x =，为奇函数，值域为R ，满足条件.当2a =时，2y x =为偶函数，值域为{}0x x ≥，不满足条件.当3a =时，3y x =为奇函数，值域为R ，满足条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，属于容易题． 5．设函数()f x 满足1()11xf x x-=++，则()f x 的表达式为（ ） A ．2211x x -+ B ．221x + C ．21x + D ．11x x-+ 【答案】C【解析】试题分析：设11x t x -=+，则11t x t -=+，所以12()111t f t t t-=+=++，所以2()1f x x=+，故选C ． 【考点】求函数解析式．6．若不等式20ax bx c ++>的解集是()4,1-，则不等式()()2130b x a x c -+++>的解为（ ） A ．413,⎛-⎫⎪⎝⎭B ．(),3,41-∞+⎪∞⎛⎫⎝⎭U C ．()1,4-D ．()()–21,∞-+∞U ，【答案】A【解析】根据不等式20ax bx c ++>的解集求出b 、a 和c 的关系，再化简不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>，从而求出所求不等式的解集．【详解】根据题意，若不等式20ax bx c ++>的解集是()4,1-， 则4-与1是方程20ax bx c ++=的根，且0a <，则有()()4141b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得3b a =﹐4c a =-﹐且0a <；∴不等式()()2130b x a x c -+++>化为：()()231340x x -++-<，整理得2340x x +-<﹐ 即()()3410x x +-<﹐解可得413x -<<， 即不等式()()2130b x a x c -+++>的解为4,13⎛⎫-⎪⎝⎭； 故选： A. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，关键是掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系和根与系数的关系，属于中档题． 7．已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），则函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为（ ） A ．（0，2） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（﹣1，1）【答案】B【解析】由题意可得112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，由此求得x 的范围，即为所求. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()1,1-，则对于函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭， 应有112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，解得12x <<，故()g x 的定义域为()1,2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的定义域的定义，求函数的定义域，属于基础题． 8．已知，，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案. 【详解】 由题意，若，则，则，所以，则成立，当时，满足，但不一定成立，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.9．设()(),0121,1x x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．10．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且()20f =，则不等式()()205f x f x x+-<解集是（ ）A ．()(),22-∞-+∞UB ．()(),20,2-∞-UC ．()()2,02-+∞UD ．()()2,00,2-U【答案】B【解析】由题意可知偶函数()f x 在(),0-∞上是减函数，故在(0,)+∞上是增函数，且(2)(2)0f f =-=，原不等式可化为()305f x x<，即()f x 与x 异号，结合零点及单调性即可求解. 【详解】因为对任意的()()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，所以偶函数()f x 在(),0-∞上是减函数， 因为()f x 图象关于y 轴对称， 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数， 且(2)(2)0f f =-=， 因为()f x 是偶函数，所以原不等式可化为()305f x x<，即()f x 与x 异号， 所以不等式的解为{|2x x <-或02}x <<，故选B. 【点睛】本题主要考查了偶函数的性质，偶函数的单调区间，不等式求解，属于中档题.二、多选题11．已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的（ ）A ．2a b+≥ B ．12a a+≥C ．||2a b b a+≥D ．()()2222a ba b +≥+【答案】CD【解析】当0a <，0b <时，2a b +0a <，时，12a a+…不成立；由||||||a b b ab a a b+=+利用基本不等式即可判断；由2222222()()2()0a b a b a b ab a b +-+=+-=-…，可判断．【详解】当0a <，0b <时，2a b+≥不成立； 当0a <时，12a a+≥不成立；2a b b ab a a b+=+≥Q； ()()()222222220a b a b a b ab a b +-+=+-=-≥Q ，故()()2222a b a b +≥+，故选：CD. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用条件的判断，属于中档题． 12．下列判断中哪些是不正确的（ ）A ．()(1f x x =-是偶函数B ．()()()2200x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩是奇函数C ．()f x =D ．()f x =是非奇非偶函数【答案】AD【解析】根据奇函数和偶函数的定义，判断每个选项函数的奇偶性即可． 【详解】A.()f x 的定义域为(]1,1-，定义域不关于原点对称，()f x ∴不是偶函数，∴该判断错误；B.设0x >，0x -<，则()()()22f x x x x x f x -=-=--+=-，同理设0x <，也有()()f x f x -=-成立，()f x ∴是奇函数，∴该判断正确；C.解230x -=得，x =，()f x ∴的定义域关于原点对称，且()0f x =，()f x ∴是偶函数，∴该判断正确；D.解210330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩得，10x -≤<，或01x <≤，()33f x x x∴==+-，()=()f x f x --Q()f x ∴是奇函数，∴该判断错误.故选：AD. 【点睛】本题考查了奇函数、偶函数的定义及判断，考查了推理和计算能力，属于中档题．三、填空题13．函数y x =________. 【答案】12. 【解析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数定义域，再由函数在定义域内单调递增求解． 【详解】由120x -≥，得12x ≤.∴函数y x =-12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦，Q 函数y x =在12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，函数y =在12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，∴函数y x =-12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，∴当12x =时，函数y x =12.故答案为：12.【点睛】本题考查函数的值域及其求法，训练了利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题． 14．已知函数()f x 满足()1221,0f x f x x x ⎛⎫-=-≠ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为________ 【答案】()24133f x x x=--+ 【解析】由已知可得f （1x ）-2f （x ）21x =-，联立两式消去f （1x），解方程组可得．【详解】 ∵()1221,f x f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴f （1x ）-2f （x ）21x=-，联立两式消去f （1x ）， 可得f （x ）=24133x x--+ 故答案为f （x ）=24133x x--+ 【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查整体换元，属于基础题．15．已知()2y f x x =+是奇函数，且()13f =，若()()2g x f x =+，则()1g -=________.【答案】–3.【解析】由已知可知，22()()f x x f x x -+=--，然后结合f （1）3=，可求(1)f -，然后代入即可求解(1)g -． 【详解】()2y f x x =+Q 是奇函数， ()()22f x x f x x ∴-+=--，()()22x f x f x -+=-∴， ()13f =Q ，()15f ∴-=-， ()()2g x f x =+，则()()1123g f -=-+=-. 故答案为：–3 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是奇函数定义的灵活应用，属于容易题．16．已知函数()224f x x kx =--在区间[]2,4-上具有单调性，则k 的取值范围是________.【答案】(][),816,-∞-+∞U .【解析】函数2()24f x x kx =--对称轴为：4kx =，函数()f x 在区间[2-，4]上有单调性，由44k (24)-…，解得k 即可．【详解】Q 函数()224f x x kx =--对称轴4kx =， 又Q 函数()f x 在区间[]2,4-上有单调性， 44k ∴≤或24k -≥， 16k ∴≥或8k ≤-，故答案为：(][),816,-∞-+∞U . 【点睛】此题主要考查二次函数的图象及其性质，利用对称轴在区间上移动得出，()f x 在其区间上具有单调性的条件，属于容易题.17．已知()()2240()40x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()2(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】(2,1)-【解析】判断函数()f x 的单调性，利用单调性()2(2)f a f a ->转化为自变量的不等式，即可求解. 【详解】()f x 在区间(,0],(0,)-∞+∞都是增函数，并且在0x =处函数连续，所以()f x 在R 上是增函数，()2(2)f a f a ->等价于222,20a a a a >+-<-，解得21a -<<. 故答案为:(2,1)- 【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题. 18．设0,0,25x y x y >>+=______.【答案】【解析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值．【详解】=Q0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴Q≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．四、解答题19．已知全集U =R ，集合2{|3180}A x x x =--≥，5{|0}14x B x x +=≤-. （1）求()U C B A ⋂.（2）若集合{|21}C x a x a =<<+，且B C C =I ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(){|14U C B A x x ⋂=≥或5}x <-（2）52a ≥-【解析】试题分析：（1）解不等式求得A,B 及U C B ，根据交集的定义求解；（2）将问题转化为C B ⊆求解，分C =∅和C ≠∅两种情况进行讨论．试题解析 ：（1）由题意得{|3A x x =≤-或6}x ≥，{|514}B x x =-≤<， ∴{|5U B x x =<-ð或14}≥，∴(){|14U C B A x x ⋂=≥或5}x <-． （2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，①当C =∅时，则有21a a ≥+，解得1a ≥．②当C ≠∅时，则有2111425a a a a <+⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，解得512a -≤<．综上可得52a ≥-．实数a 的取值范围为5[)2-+∞，． 20．已知幂函数()af x x =的图象经过点(.（1）求幂函数()f x 的解析式；（2）试求满足()()13f a f a +>-的实数a 的取值范围. 【答案】（1）())0f x x =≥；（2）(]1,3.【解析】（1）把点的坐标代入函数解析式求出a 的值，即可写出()f x 的解析式；（2）根据()f x 在定义域上的单调性，把不等式(1)(3)f a f a +>-化为关于a 的不等式组，求出解集即可． 【详解】（1）幂函数()af x x =的图象经过点(，2a ∴=解得12a =， ∴幂函数())120x x f x ==≥；（2）由（1）知()f x 在定义域[)0,+∞上单调递增， 则不等式()()13f a f a +>-可化为103013a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩解得13a <?，∴实数a 的取值范围是(]1,3.【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，属于容易题． 21．已知函数()211x f x x -=+． (Ⅰ)证明：函数()f x 在区间()0,+∞上是增函数； (Ⅱ)求函数()f x 在区间[]1,17上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析【解析】(Ⅰ)先分离常数得出()321f x x =-+，然后根据增函数的定义，设任意的120x x >>，然后作差，通分，得出()()()()()121212311x x f x f x x x --=++，只需证明()()12f x f x >即可得出()f x 在()0,+∞上是增函数；(Ⅱ)根据()f x 在()0,+∞上是增函数，即可得出()f x 在区间[]1,17上的最大值为()17f ，最小值为()1f ，从而求出()17f ，()1f 即可．【详解】解：(Ⅰ)证明：()213211x f x x x -==-++； 设120x x >>，则：()()()()()121221123331111x x f x f x x x x x --=-=++++； 120x x >>Q ；120x x ∴->，110x +>，210x +>；()()()12123011x x x x -∴>++；()()12f x f x ∴>；()f x ∴在区间()0,+∞上是增函数；(Ⅱ())f x Q 在()0,+∞上是增函数；()f x ∴在区间[]1,17上的最小值为()112f =，最大值为()11176f =． 【点睛】考查分离常数法的运用，反比例函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法． 22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =--.（1）求函数()()f x x R ∈的解析式；（2）写出函数()()f x x R ∈的增区间（不需要证明）；（3）若函数()()[]()2212g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值.【答案】（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩；（2）函数()f x 的增区间：(),1-∞-，()1+∞，，减区间：()1,1-，；（3）当1a ≥时，()min 24g x a =-，当0a ≤时，()min 12g x a =-，当01a <<时，2()min 21g x a a =--+.【解析】（1）根据奇函数定义和当0x …时，2()2f x x x =--，并写出函数在0x >时的解析式；（2）由（1）解析式得出函数的单调区间；（3）通过分类讨论研究二次函数在区间上的最小值，得到本题结论． 【详解】（1）Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴当0x >时，此时0x -<，()()f x f x ∴=--，又Q 当0x ≤时，()22f x x x =--，()()()()22][22f f x x x x x x =--=----=-∴-，∴函数()()f x x R ∈的解析式为：()222,02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩.（2）函数()f x 的增区间：(),1-∞-，()1,+∞﹒ 减区间：()1,1-.（3）函数()()()[]()22222222221,2g x f x ax x x ax x a x x =-+=--+=-++∈，二次函数对称轴为：1x a =+，当21a ≤+时，即1a ≥时，()()min 224g x g a ==-， 当11a ≥+时，即0a ≤时，()()min 112g x g a ==-，当112a <+<时，即01a <<时，2()min (1)21g x g a a a =+=--+ 综上，当1a ≥时，()min 24g x a =-， 当0a ≤时，()min 12g x a =-， 当01a <<时，2()min 21g x a a =--+ 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、函数解析式、二次函数在区间上的最值，本题难度不大，属于中档题．23．函数f(x)的定义域为D ＝{x|x≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)． (1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x －1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．【答案】（1）0；（2）见解析；（3）()(15,1)1,17⋃－【解析】试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f (－x )和f (x )的关系；（3）先利用f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2得到f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).再根据单调性列出不等式求解即可.(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。